Nechaj L- ľubovoľný lineárny priestor, a i Î L sú jej prvky (vektory).

Definícia 3.3.1. Výraz , kde , - ľubovoľné reálne čísla, nazývané lineárna kombinácia vektory a 1, a 2,…, a n.

Ak je vektor R = , potom to hovoria R rozložené na vektory a 1, a 2,…, a n.

Definícia 3.3.2. Lineárna kombinácia vektorov sa nazýva netriviálne, ak je medzi číslami aspoň jedno iné ako nula. V opačnom prípade sa nazýva lineárna kombinácia triviálne.

Definícia 3.3.3 . Vektory a 1 , a 2 ,…, a n sa nazývajú lineárne závislé, ak existuje ich netriviálna lineárna kombinácia taká, že

= 0 .

Definícia 3.3.4. Vektory a 1 ,a 2 ,…, a n sa nazývajú lineárne nezávislé, ak rovnosť = 0 možné, len ak sú všetky čísla l 1, l 2,…, l n sú súčasne nulové.

Všimnite si, že každý nenulový prvok a 1 môže byť považovaný za lineárne nezávislý systém, pretože rovnosť l a 1 = 0 možné len pod podmienkou l= 0.

Veta 3.3.1. Nevyhnutná a postačujúca podmienka pre lineárnu závislosť a 1 , a 2 ,…, a n je možnosť rozkladu aspoň jedného z týchto prvkov na zvyšok.

Dôkaz. Potreba. Nech prvky a 1 , a 2 ,…, a n lineárne závislé. Znamená to, že = 0 a aspoň jedno z čísel l 1, l 2,…, l n odlišný od nuly. Pre istotu l 1 ¹ 0. Potom

tj prvok a 1 sa rozloží na prvky a 2 , a 3 , ..., a n.

Primeranosť. Nech prvok a 1 rozložíme na prvky a 2 , a 3 , …, a n, t.j. a 1 = . Potom = 0 , preto existuje netriviálna lineárna kombinácia vektorov a 1 , a 2 ,…, a n rovná 0 , takže sú lineárne závislé .

Veta 3.3.2. Ak aspoň jeden z prvkov a 1 , a 2 ,…, a n nula, potom sú tieto vektory lineárne závislé.

Dôkaz . Nechaj a n= 0 , potom = 0 , čo znamená lineárnu závislosť indikovaných prvkov.

Veta 3.3.3. Ak medzi n vektormi nejaké p (p< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Dôkaz. Pre istotu nech sú prvky a 1 , a 2 ,…, a p lineárne závislé. To znamená, že existuje netriviálna lineárna kombinácia taká, že = 0 . Naznačená rovnosť zostane zachovaná, ak prvok pridáme do oboch jeho častí. Potom + = 0 , pričom aspoň jedno z čísel l 1, l 2,…, lp odlišný od nuly. Preto vektory a 1 , a 2 ,…, a n sú lineárne závislé.

Dôsledok 3.3.1. Ak je n prvkov lineárne nezávislých, potom ľubovoľné k z nich sú lineárne nezávislé (k< n).

Veta 3.3.4. Ak vektory a 1, a 2,…, a n- 1 sú lineárne nezávislé a prvky a 1, a 2,…, a n- 1, a n sú lineárne závislé, potom vektor a n možno rozložiť na vektory a 1, a 2,…, a n- 1 .

Dôkaz. Keďže podľa podmienky a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n sú lineárne závislé, potom existuje ich netriviálna lineárna kombinácia = 0 , a (inak, vektory a 1 , a 2 ,…, a n- jeden). Ale potom vektor

,

Q.E.D.

Systém vektorov je tzv lineárne závislé, ak existujú také čísla, medzi ktorými sa aspoň jedno líši od nuly, že rovnosť https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Ak táto rovnosť platí iba vtedy, ak všetky , potom sa nazýva systém vektorov lineárne nezávislé.

Veta. Systém vektorov bude lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak aspoň jeden z jeho vektorov je lineárnou kombináciou ostatných.

Príklad 1 Polynóm je lineárna kombinácia polynómov https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polynómy tvoria lineárne nezávislý systém, pretože https polynóm: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Príklad 2 Maticový systém , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je lineárne nezávislý, pretože lineárna kombinácia sa rovná nulová matica iba v prípade, že https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> lineárne závislé.

Riešenie.

Vytvorte lineárnu kombináciu týchto vektorov https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Vyrovnaním rovnomenných súradníc rovnakých vektorov dostaneme https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Konečne sa dostávame

a

Systém má jedinečné triviálne riešenie, takže lineárna kombinácia týchto vektorov je nulová iba vtedy, ak sú všetky koeficienty nulové. Preto je tento systém vektorov lineárne nezávislý.

Príklad 4 Vektory sú lineárne nezávislé. Aké budú systémy vektorov

a).;

b).?

Riešenie.

a). Zostavte lineárnu kombináciu a prirovnajte ju k nule

Pomocou vlastností operácií s vektormi v lineárnom priestore prepíšeme poslednú rovnosť vo formulári

Keďže vektory sú lineárne nezávislé, koeficienty pre sa musia rovnať nule, t.j.gif" width="12" height="23 src=">

Výsledný systém rovníc má jedinečné triviálne riešenie .

Od rovnosti (*) vykonávané iba na https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – lineárne nezávislé;

b). Napíšte rovnosť https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Aplikovaním podobného uvažovania dostaneme

Riešením sústavy rovníc Gaussovou metódou získame

alebo

Posledný systém má nekonečné množstvo riešení https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Existuje teda ne nulová množina koeficientov, pre ktoré platí rovnosť (**) . Preto systém vektorov je lineárne závislá.

Príklad 5 Vektorový systém je lineárne nezávislý a vektorový systém je lineárne závislý..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

V rovnosti (***) . V skutočnosti by bol systém lineárne závislý.

Zo vzťahu (***) dostaneme alebo Označiť .

Získajte

Úlohy na samostatné riešenie (v triede)

1. Systém obsahujúci nulový vektor je lineárne závislý.

2. Jednovektorový systém a, je lineárne závislý vtedy a len vtedy, a=0.

3. Systém pozostávajúci z dvoch vektorov je lineárne závislý práve vtedy, ak sú vektory proporcionálne (to znamená, že jeden z nich sa získa od druhého vynásobením číslom).

4. Ak sa k lineárne závislému systému pridá vektor, získa sa lineárne závislý systém.

5. Ak je vektor odstránený z lineárne nezávislého systému, potom je výsledný systém vektorov lineárne nezávislý.

6. Ak systém S lineárne nezávislý, ale stane sa lineárne závislým, keď sa pridá vektor b, potom vektor b lineárne vyjadrené pomocou vektorov systému S.

c). Sústava matíc , , v priestore matíc druhého rádu.

10. Nechaj systém vektorov a,b,c vektorový priestor je lineárne nezávislý. Dokážte lineárnu nezávislosť nasledujúcich systémov vektorov:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–ľubovoľné číslo

c).a+b, a+c, b+c.

11. Nechaj a,b,c sú tri vektory v rovine, ktoré možno použiť na vytvorenie trojuholníka. Budú tieto vektory lineárne závislé?

12. Dané dva vektory a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Zoberte ďalšie dva 4D vektory a3 aa4 tak, že systém a1,a2,a3,a4 bol lineárne nezávislý .

a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.

Riešenie. Hľadáme všeobecné riešenie sústavy rovníc

a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

Gaussova metóda. Aby sme to dosiahli, zapíšeme tento homogénny systém do súradníc:

Systémová matica

Povolený systém vyzerá takto: (r A = 2, n= 3). Systém je konzistentný a nedefinovaný. Jeho všeobecné riešenie ( X 2 – voľná premenná): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . Prítomnosť nenulového súkromného riešenia, napríklad , naznačuje, že vektory a 1 , a 2 , a 3 lineárne závislé.

Príklad 2

Zistite, či je daný systém vektorov lineárne závislý alebo lineárne nezávislý:

1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.

Riešenie. Uvažujme o homogénnom systéme rovníc a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ

alebo rozšírené (podľa súradníc)

Systém je homogénny. Ak je nedegenerovaný, tak má unikátne riešenie. V prípade homogénneho systému nulové (triviálne) riešenie. Preto je v tomto prípade systém vektorov nezávislý. Ak je systém zdegenerovaný, potom má nenulové riešenia, a preto je závislý.

Kontrola degenerácie systému:

= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.

Systém je nedegenerovaný a teda aj vektory a 1 , a 2 , a 3 sú lineárne nezávislé.

Úlohy. Zistite, či je daný systém vektorov lineárne závislý alebo lineárne nezávislý:

1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.

2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.

3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.

6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.

7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.

8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.

9. Dokážte, že systém vektorov bude lineárne závislý, ak bude obsahovať:

a) dva rovnaké vektory;

b) dva proporcionálne vektory.

Vektory, ich vlastnosti a pôsobenie s nimi

Vektory, akcie s vektormi, lineárny vektorový priestor.

Vektory sú usporiadanou kolekciou konečného počtu reálnych čísel.

Akcie: 1. Násobenie vektora číslom: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3,4, 0, 7) * 3 \u003d (9, 12,0,21 )

2. Sčítanie vektorov (patria do rovnakého vektorového priestoru) vektor x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-rozmerný (lineárny priestor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Veta. Aby bol systém n vektorov v n-rozmernom lineárnom priestore lineárne závislý, je potrebné a postačujúce, aby jeden z vektorov bol lineárnou kombináciou ostatných.

Veta. Ľubovoľná množina n+ 1. vektor n-rozmerného lineárneho priestoru yavl. lineárne závislé.

Sčítanie vektorov, násobenie vektorov číslami. Odčítanie vektorov.

Súčet dvoch vektorov je vektor smerujúci od začiatku vektora po koniec vektora za predpokladu, že začiatok sa zhoduje s koncom vektora. Ak sú vektory dané ich expanziami v zmysle základných vektorov, potom sčítanie vektorov spočíta ich zodpovedajúce súradnice.

Zoberme si to na príklade karteziánskeho súradnicového systému. Nechaj

Ukážme to

To ukazuje obrázok 3

Súčet ľubovoľného konečného počtu vektorov zistíme pomocou mnohouholníkového pravidla (obr. 4): na zostrojenie súčtu konečného počtu vektorov stačí porovnať začiatok každého nasledujúceho vektora s koncom predchádzajúceho vektora. a zostrojte vektor spájajúci začiatok prvého vektora s koncom posledného.

Vlastnosti operácie sčítania vektorov:

V týchto výrazoch m, n sú čísla.

Rozdiel vektorov sa nazýva vektor. Druhý člen je vektor opačný k vektoru v smere, ale rovnaký v dĺžke.

Operácia odčítania vektora je teda nahradená operáciou sčítania

Vektor, ktorého začiatok je v počiatku súradníc a koniec v bode A (x1, y1, z1), sa nazýva vektor polomeru bodu A a označuje sa alebo jednoducho. Keďže jeho súradnice sa zhodujú so súradnicami bodu A, jeho rozšírenie z hľadiska vektorov má tvar

Vektor začínajúci v bode A(x1, y1, z1) a končiaci v bode B(x2, y2, z2) možno zapísať ako

kde r2 je vektor polomeru bodu B; r 1 - vektor polomeru bodu A.

Preto expanzia vektora z hľadiska orts má tvar

Jeho dĺžka sa rovná vzdialenosti medzi bodmi A a B

NÁSOBENIE

Takže v prípade plochej úlohy sa súčin vektora pomocou a = (ax; ay) a čísla b nájde podľa vzorca

a b = (ax b; ay b)

Príklad 1. Nájdite súčin vektora a = (1; 2) x 3.

3a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Takže v prípade priestorovej úlohy sa súčin vektora a = (ax; ay; az) a čísla b nájde podľa vzorca

a b = (ax b; ay b; az b)

Príklad 1. Nájdite súčin vektora a = (1; 2; -5) krát 2.

2a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Bodový súčin vektorov a kde je uhol medzi vektormi a ; ak buď, tak

Z definície skalárneho súčinu vyplýva, že

kde je napríklad hodnota priemetu vektora do smeru vektora .

Skalárny štvorec vektora:

Vlastnosti bodového produktu:

Bodový produkt v súradniciach

Ak potom

Uhol medzi vektormi

Uhol medzi vektormi - uhol medzi smermi týchto vektorov (najmenší uhol).

Vektorový súčin (vektorový súčin dvoch vektorov.)- je pseudovektor kolmý na rovinu skonštruovaný dvoma faktormi, ktorý je výsledkom binárnej operácie "vektorové násobenie" na vektoroch v trojrozmernom euklidovskom priestore. Súčin nie je komutatívny ani asociatívny (je antikomutatívny) a líši sa od bodového súčinu vektorov. V mnohých inžinierskych a fyzikálnych problémoch je potrebné vedieť postaviť vektor kolmý na dva existujúce - vektorový súčin túto možnosť poskytuje. Krížový súčin je užitočný na „meranie“ kolmosti vektorov – dĺžka krížového súčinu dvoch vektorov sa rovná súčinu ich dĺžok, ak sú kolmé, a klesá na nulu, ak sú vektory rovnobežné alebo antiparalelné.

Vektorový súčin je definovaný iba v trojrozmerných a sedemrozmerných priestoroch. Výsledok vektorového súčinu, podobne ako skalárny súčin, závisí od metriky euklidovského priestoru.

Na rozdiel od vzorca na výpočet skalárneho súčinu zo súradníc vektorov v trojrozmernom pravouhlom súradnicovom systéme, vzorec pre vektorový súčin závisí od orientácie pravouhlého súradnicového systému alebo, inými slovami, jeho „chirality“

Kolinearita vektorov.

Dva nenulové (nerovnajúce sa 0) vektory sa nazývajú kolineárne, ak ležia na rovnobežných priamkach alebo na tej istej priamke. Povoľujeme, ale neodporúčame, synonymum – „paralelné“ vektory. Kolineárne vektory môžu byť nasmerované rovnakým smerom („spolu-riadené“) alebo opačne (v druhom prípade sa niekedy nazývajú „antikolineárne“ alebo „antiparalelné“).

Zmiešaný súčin vektorov( a,b,c)- skalárny súčin vektora a a vektorový súčin vektorov b a c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

niekedy sa mu hovorí trojitý bodový súčin vektorov, zrejme kvôli tomu, že výsledkom je skalár (presnejšie pseudoskalár).

Geometrický význam: Modul zmiešaného produktu sa číselne rovná objemu kvádra tvoreného vektormi (a,b,c) .

Vlastnosti

Zmiešaný produkt je šikmo symetrický vzhľadom na všetky jeho argumenty: tj. e) permutácia akýchkoľvek dvoch faktorov mení znamienko produktu. Z toho vyplýva, že zmiešaný súčin v pravom karteziánskom súradnicovom systéme (na ortonormálnom základe) sa rovná determinantu matice zloženej z vektorov a:

Zmiešaný súčin v ľavom karteziánskom súradnicovom systéme (na ortonormálnom základe) sa rovná determinantu matice zloženej z vektorov a branej so znamienkom mínus:

najmä

Ak sú akékoľvek dva vektory rovnobežné, potom s ktorýmkoľvek tretím vektorom tvoria zmiešaný produkt rovný nule.

Ak sú tri vektory lineárne závislé (t. j. koplanárne, ležia v rovnakej rovine), ich zmiešaný súčin je nula.

Geometrický význam - Zmiešaný produkt v absolútnej hodnote sa rovná objemu kvádra (pozri obrázok) tvoreného vektormi a; znamienko závisí od toho, či je táto trojica vektorov pravá alebo ľavá.

Komplanarita vektorov.

Tri vektory (alebo viac) sa nazývajú koplanárne, ak sú zredukované na spoločný počiatok a ležia v rovnakej rovine

Porovnateľné vlastnosti

Ak je aspoň jeden z troch vektorov nula, potom sa tieto tri vektory tiež považujú za koplanárne.

Trojica vektorov obsahujúcich pár kolineárnych vektorov je koplanárna.

Zmiešaný súčin koplanárnych vektorov. Toto je kritérium pre koplanaritu troch vektorov.

Koplanárne vektory sú lineárne závislé. Toto je tiež kritérium koplanarity.

V 3-rozmernom priestore tvoria základ 3 nekoplanárne vektory

Lineárne závislé a lineárne nezávislé vektory.

Lineárne závislé a nezávislé systémy vektorov.Definícia. Systém vektorov je tzv lineárne závislé, ak existuje aspoň jedna netriviálna lineárna kombinácia týchto vektorov rovná nulovému vektoru. V opačnom prípade, t.j. ak sa len triviálna lineárna kombinácia daných vektorov rovná nulovému vektoru, volajú sa vektory lineárne nezávislé.

Veta (kritérium lineárnej závislosti). Aby bol systém vektorov v lineárnom priestore lineárne závislý, je potrebné a postačujúce, aby aspoň jeden z týchto vektorov bol lineárnou kombináciou ostatných.

1) Ak je medzi vektormi aspoň jeden nulový vektor, potom je celý systém vektorov lineárne závislý.

V skutočnosti, ak napríklad , potom za predpokladu, že máme netriviálnu lineárnu kombináciu .▲

2) Ak niektoré z vektorov tvoria lineárne závislý systém, potom je lineárne závislý celý systém.

V skutočnosti nech sú vektory , , lineárne závislé. Existuje teda netriviálna lineárna kombinácia rovnajúca sa nulovému vektoru. Ale potom, za predpokladu , získame tiež netriviálnu lineárnu kombináciu rovnajúcu sa nulovému vektoru.

2. Základ a rozmer. Definícia. Systém lineárne nezávislých vektorov vektorový priestor sa nazýva základ tento priestor, ak sa dá ľubovoľný vektor z reprezentovať ako lineárna kombinácia vektorov tohto systému, t.j. pre každý vektor existujú reálne čísla taká, že platí rovnosť.Táto rovnosť sa nazýva vektorový rozklad podľa základu a čísel volal vektorové súradnice vzhľadom na základ(alebo v základe) .

Veta (o jedinečnosti expanzie z hľadiska základne). Každý priestorový vektor je možné rozšíriť z hľadiska základu jedinečným spôsobom, t.j. súradnice každého vektora v základe sú definované jednoznačne.

Lineárna závislosť a lineárna nezávislosť vektorov.
Základy vektorov. Afinný súradnicový systém

V hľadisku je vozík s čokoládami a dnes každý návštevník dostane sladkú dvojicu - analytickú geometriu s lineárnou algebrou. Tento článok sa dotkne dvoch častí vyššej matematiky naraz a uvidíme, ako spolu vychádzajú v jednom obale. Dajte si pauzu, zjedzte Twix! ... sakra, no, argumentovať nezmysly. Aj keď v poriadku, nedám gól, nakoniec by mal existovať pozitívny prístup k štúdiu.

Lineárna závislosť vektorov, lineárna nezávislosť vektorov, vektorový základ a iné pojmy majú nielen geometrický výklad, ale predovšetkým algebraický význam. Samotný pojem „vektor“ z pohľadu lineárnej algebry zďaleka nie je vždy tým „obyčajným“ vektorom, ktorý môžeme zobraziť v rovine alebo v priestore. Dôkaz nemusíte hľadať ďaleko, skúste nakresliť vektor päťrozmerného priestoru . Alebo vektor počasia, pre ktorý som si šiel práve do Gismetea: - teplota a atmosférický tlak, resp. Príklad je, samozrejme, nesprávny z hľadiska vlastností vektorového priestoru, ale napriek tomu nikto nezakazuje formalizovať tieto parametre ako vektor. Dych jesene...

Nie, nebudem vás nudiť teóriou, lineárne vektorové priestory, úlohou je rozumieť definície a vety. Nové pojmy (lineárna závislosť, nezávislosť, lineárna kombinácia, báza atď.) sú z algebraického hľadiska použiteľné pre všetky vektory, ale príklady budú uvedené geometricky. Všetko je teda jednoduché, prístupné a vizuálne. Okrem problémov analytickej geometrie sa budeme zaoberať aj niektorými typickými úlohami algebry. Na zvládnutie materiálu je vhodné oboznámiť sa s lekciami Vektory pre figuríny a Ako vypočítať determinant?

Lineárna závislosť a nezávislosť rovinných vektorov.
Rovinný základ a afinný súradnicový systém

Zvážte rovinu vášho počítačového stola (stačí stôl, nočný stolík, podlaha, strop, čokoľvek sa vám páči). Úloha bude pozostávať z nasledujúcich akcií:

1) Vyberte základ roviny. Zhruba povedané, doska stola má dĺžku a šírku, takže je intuitívne jasné, že na zostavenie základu sú potrebné dva vektory. Jeden vektor zjavne nestačí, tri vektory sú príliš veľa.

2) Na základe zvoleného základu nastaviť súradnicový systém(súradnicová mriežka) na priradenie súradníc všetkým položkám v tabuľke.

Nebuďte prekvapení, najprv budú vysvetlenia na prstoch. Navyše na tej vašej. Umiestnite prosím ukazovák ľavej ruky na okraj dosky stola tak, aby sa pozeral na monitor. Toto bude vektor. Teraz miesto malíček pravej ruky na okraj stola rovnakým spôsobom - tak, aby smeroval na obrazovku monitora. Toto bude vektor. Usmej sa, vyzeráš skvele! Čo možno povedať o vektoroch? Dátové vektory kolineárne, čo znamená lineárne vyjadrené cez seba:
, no, alebo naopak: , kde je nenulové číslo.

Obrázok tejto akcie môžete vidieť v lekcii. Vektory pre figuríny, kde som vysvetlil pravidlo pre násobenie vektora číslom.

Nastavia vaše prsty základ v rovine počítačového stola? Očividne nie. Kolineárne vektory sa pohybujú tam a späť sám smer, zatiaľ čo rovina má dĺžku a šírku.

Takéto vektory sa nazývajú lineárne závislé.

Referencia: Slová "lineárny", "lineárny" označujú skutočnosť, že v matematických rovniciach, výrazoch nie sú žiadne mocniny, mocniny, logaritmy, sínusy atď. Existujú iba lineárne (1. stupeň) výrazy a závislosti.

Dva rovinné vektory lineárne závislé vtedy a len vtedy, ak sú kolineárne.

Prekrížte prsty na stole tak, aby medzi nimi bol akýkoľvek uhol okrem 0 alebo 180 stupňov. Dva rovinné vektorylineárne nie sú závislé vtedy a len vtedy, ak nie sú kolineárne. Takže základ je prijatý. Netreba sa hanbiť, že základ sa ukázal ako „šikmý“ s nekolmými vektormi rôznych dĺžok. Veľmi skoro uvidíme, že na jeho konštrukciu je vhodný nielen uhol 90 stupňov, ale nielen jednotkové vektory rovnakej dĺžky.

akýkoľvek rovinný vektor jediná cesta rozšírené z hľadiska základu:
, kde sú reálne čísla . Volajú sa čísla vektorové súradnice v tomto základe.

Aj to hovoria vektorprezentované vo formulári lineárna kombinácia bázové vektory. To znamená, že výraz sa nazýva vektorový rozkladzáklad alebo lineárna kombinácia bázové vektory.

Napríklad možno povedať, že vektor je expandovaný v ortonormálnom základe roviny , alebo možno povedať, že je reprezentovaný ako lineárna kombinácia vektorov .

Poďme formulovať definícia základu formálne: rovinný základ je dvojica lineárne nezávislých (nekolineárnych) vektorov, , kde akýkoľvek rovinný vektor je lineárnou kombináciou základných vektorov.

Podstatným bodom definície je fakt, že sa berú vektory v určitom poradí. základne Toto sú dva úplne odlišné základy! Ako sa hovorí, malíček ľavej ruky sa nedá presunúť na miesto malíčka pravej ruky.

Na základ sme prišli, no nestačí nastaviť súradnicovú mriežku a priradiť súradnice každej položke na vašom počítači. Prečo nie dosť? Vektory sú voľné a putujú po celej rovine. Ako teda priradíte súradnice k tým malým špinavým bodkám tabuľky, ktoré zostali z divokého víkendu? Je potrebný východiskový bod. A takýmto referenčným bodom je bod známy každému - počiatok súradníc. Pochopenie súradnicového systému:

Začnem „školským“ systémom. Už v úvodnej lekcii Vektory pre figuríny Zdôraznil som niektoré rozdiely medzi pravouhlým súradnicovým systémom a ortonormálnym základom. Tu je štandardný obrázok:

Keď sa hovorí o pravouhlý súradnicový systém, potom najčastejšie znamenajú počiatok, súradnicové osi a mierku pozdĺž osí. Skúste zadať do vyhľadávača „obdĺžnikový súradnicový systém“ a uvidíte, že mnohé zdroje vám prezradia, aké súradnicové osi sú známe z 5. – 6. ročníka a ako zakresľovať body do roviny.

Na druhej strane vzniká dojem, že pravouhlý súradnicový systém možno dobre definovať z hľadiska ortonormálneho základu. A takmer je. Znenie znie takto:

pôvodu a ortonormálny základná sada Kartézsky súradnicový systém roviny . Teda pravouhlý súradnicový systém určite je definovaný jedným bodom a dvoma jednotkovými ortogonálnymi vektormi. Preto vidíte výkres, ktorý som uviedol vyššie - v geometrických úlohách sa často (ale zďaleka nie vždy) kreslia vektory aj súradnicové osi.

Myslím, že to každý pochopí pomocou bodu (pôvodu) a ortonormálneho základu AKÝKOĽVEK BOD roviny a AKÝKOĽVEK VEKTOR roviny je možné priradiť súradnice. Obrazne povedané, „všetko v lietadle sa dá očíslovať“.

Musia byť súradnicové vektory jednotkové? Nie, môžu mať ľubovoľnú nenulovú dĺžku. Uvažujme bod a dva ortogonálne vektory ľubovoľnej nenulovej dĺžky:

Takýto základ je tzv ortogonálne. Počiatok súradníc s vektormi definuje súradnicovú sieť a ľubovoľný bod roviny, ľubovoľný vektor má svoje súradnice v danej báze. Napríklad, alebo. Zjavnou nevýhodou je, že súradnicové vektory všeobecne majú rôzne dĺžky iné ako jednota. Ak sú dĺžky rovné jednej, získa sa obvyklý ortonormálny základ.

! Poznámka : v ortogonálnej základni, ako aj pod afinnými základňami roviny a priestoru sa berú do úvahy jednotky pozdĺž osí PODMIENKY. Napríklad jedna jednotka pozdĺž úsečky obsahuje 4 cm, jedna jednotka pozdĺž ordináty obsahuje 2 cm.Táto informácia je dostatočná na to, aby sme v prípade potreby previedli „neštandardné“ súradnice na „naše obvyklé centimetre“.

A druhá otázka, ktorá už bola vlastne zodpovedaná - je potrebné, aby uhol medzi základnými vektormi bol 90 stupňov? nie! Ako hovorí definícia, základné vektory musia byť len nekolineárne. V súlade s tým môže byť uhol akýkoľvek okrem 0 a 180 stupňov.

Bod v lietadle tzv pôvodu a nekolineárne vektory, , sada afinný súradnicový systém roviny :

Niekedy sa tento súradnicový systém nazýva šikmé systém. Body a vektory sú na obrázku znázornené ako príklady:

Ako viete, afinný súradnicový systém je ešte menej pohodlný, vzorce pre dĺžky vektorov a segmentov, ktoré sme zvažovali v druhej časti lekcie, v ňom nefungujú. Vektory pre figuríny, veľa lahodných vzorcov súvisiacich s skalárny súčin vektorov. Ale platia pravidlá pre sčítanie vektorov a násobenie vektora číslom, vzorce na delenie segmentu v tomto ohľade, ako aj niektoré ďalšie typy problémov, ktoré čoskoro zvážime.

Záverom je, že najvhodnejším konkrétnym prípadom afinného súradnicového systému je karteziánsky pravouhlý systém. Preto ju, jej vlastnú, treba najčastejšie vidieť. ... Všetko v tomto živote je však relatívne - je veľa situácií, v ktorých je vhodné mať šikmý (alebo nejaký iný napr. polárny) súradnicový systém. Áno, a humanoidom môžu takéto systémy prísť na chuť =)

Prejdime k praktickej časti. Všetky problémy v tejto lekcii platia pre pravouhlý súradnicový systém aj pre všeobecný afinný prípad. Nie je tu nič zložité, všetok materiál je dostupný aj pre školáka.

Ako určiť kolinearitu rovinných vektorov?

Typická vec. Aby boli dva rovinné vektory sú kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich príslušné súradnice boli proporcionálne.V podstate ide o súradnicu po súradnici spresnenie zjavného vzťahu .

Príklad 1

a) Skontrolujte, či sú vektory kolineárne .
b) Tvoria vektory základ? ?

Riešenie:
a) Zistite, či existuje pre vektory koeficient proporcionality tak, aby boli splnené rovnosti:

Určite vám poviem o „foppish“ verzii aplikácie tohto pravidla, ktorá v praxi funguje celkom dobre. Cieľom je okamžite zostaviť pomer a zistiť, či je správny:

Urobme pomer z pomerov zodpovedajúcich súradníc vektorov:

Skracujeme:
, takže zodpovedajúce súradnice sú úmerné, preto

Je možné vytvoriť vzťah a naopak, toto je ekvivalentná možnosť:

Na samotestovanie sa dá využiť skutočnosť, že kolineárne vektory sú lineárne vyjadrené cez seba. V tomto prípade ide o rovnosť . Ich platnosť sa dá ľahko skontrolovať pomocou elementárnych operácií s vektormi:

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Skúmame kolinearitu vektorov . Vytvorme si systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , z druhej rovnice vyplýva, že , čo znamená, systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Zodpovedajúce súradnice vektorov teda nie sú proporcionálne.

Záver: vektory sú lineárne nezávislé a tvoria základ.

Zjednodušená verzia riešenia vyzerá takto:

Zostavte pomer zo zodpovedajúcich súradníc vektorov :
, preto sú tieto vektory lineárne nezávislé a tvoria základ.

Obyčajne recenzenti túto možnosť neodmietajú, ale problém nastáva v prípadoch, keď sa niektoré súradnice rovnajú nule. Páči sa ti to: . Alebo takto: . Alebo takto: . Ako sa tu prepracovať k pomeru? (Naozaj sa nedá deliť nulou). Z tohto dôvodu som zjednodušené riešenie nazval „fupské“.

odpoveď: a) , b) formulár.

Malý kreatívny príklad pre nezávislé riešenie:

Príklad 2

Pri akej hodnote parametra vektory bude kolineárny?

Vo vzorovom roztoku sa parameter zistí prostredníctvom podielu.

Existuje elegantný algebraický spôsob, ako skontrolovať kolinearitu vektorov. Systematizujme naše znalosti a pridajte ich ako piaty bod:

Pre dva rovinné vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:

2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú kolineárne;

+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je nenulový.

resp. nasledujúce opačné tvrdenia sú ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne závislé;
2) vektory netvoria základ;
3) vektory sú kolineárne;
4) vektory môžu byť navzájom lineárne vyjadrené;
+ 5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov sa rovná nule.

Veľmi, veľmi dúfam, že v tejto chvíli už rozumiete všetkým pojmom a vyhláseniam, s ktorými ste sa stretli.

Pozrime sa bližšie na nový, piaty bod: dva rovinné vektory sú kolineárne práve vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule:. Aby ste túto funkciu mohli používať, samozrejme, musíte byť schopní nájsť determinanty.

my sa rozhodneme Príklad 1 druhým spôsobom:

a) Vypočítajte determinant, zložený zo súradníc vektorov :
, takže tieto vektory sú kolineárne.

b) Dva rovinné vektory tvoria základ, ak nie sú kolineárne (lineárne nezávislé). Vypočítajme determinant zložený zo súradníc vektorov :
, preto sú vektory lineárne nezávislé a tvoria základ.

odpoveď: a) , b) formulár.

Vyzerá oveľa kompaktnejšie a krajšie ako riešenie s proporciami.

Pomocou uvažovaného materiálu je možné stanoviť nielen kolinearitu vektorov, ale aj dokázať rovnobežnosť segmentov, priamok. Zvážte niekoľko problémov so špecifickými geometrickými tvarmi.

Príklad 3

Zadané sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je rovnobežník.

Dôkaz: V úlohe nie je potrebné vytvárať kresbu, pretože riešenie bude čisto analytické. Pamätajte na definíciu rovnobežníka:
Paralelogram Nazýva sa štvoruholník, v ktorom sú protiľahlé strany párovo rovnobežné.

Preto je potrebné preukázať:
1) rovnobežnosť protiľahlých strán a;
2) rovnobežnosť protiľahlých strán a .

Dokazujeme:

1) Nájdite vektory:

2) Nájdite vektory:

Výsledkom je rovnaký vektor („podľa školy“ - rovnaké vektory). Kolinearita je celkom zrejmá, ale je lepšie sa rozhodnúť správne, s usporiadaním. Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov:
, takže tieto vektory sú kolineárne a .

Záver: Protiľahlé strany štvoruholníka sú po pároch rovnobežné, takže podľa definície ide o rovnobežník. Q.E.D.

Viac dobrých a odlišných postáv:

Príklad 4

Zadané sú vrcholy štvoruholníka. Dokážte, že štvoruholník je lichobežník.

Pre presnejšiu formuláciu dôkazu je samozrejme lepšie získať definíciu lichobežníka, ale stačí si len zapamätať, ako vyzerá.

Toto je úloha pre nezávislé rozhodnutie. Kompletné riešenie na konci lekcie.

A teraz je čas pomaly sa presunúť z lietadla do vesmíru:

Ako určiť kolinearitu priestorových vektorov?

Pravidlo je veľmi podobné. Aby boli dva priestorové vektory kolineárne, je potrebné a postačujúce, aby ich zodpovedajúce súradnice boli úmerné.

Príklad 5

Zistite, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:

a) ;
b)
v)

Riešenie:
a) Skontrolujte, či existuje koeficient úmernosti pre zodpovedajúce súradnice vektorov:

Systém nemá žiadne riešenie, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

"Zjednodušené" sa robí kontrolou pomeru. V tomto prípade:
– zodpovedajúce súradnice nie sú proporcionálne, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne.

odpoveď: vektory nie sú kolineárne.

b-c) Toto sú body pre nezávislé rozhodnutie. Vyskúšajte to dvoma spôsobmi.

Existuje metóda na kontrolu kolinearity priestorových vektorov a prostredníctvom determinantu tretieho rádu, táto metóda je uvedená v článku Krížový súčin vektorov.

Podobne ako v prípade roviny možno uvažované nástroje použiť na štúdium rovnobežnosti priestorových segmentov a čiar.

Vitajte v druhej časti:

Lineárna závislosť a nezávislosť trojrozmerných priestorových vektorov.
Priestorová báza a afinný súradnicový systém

Mnohé zo zákonitostí, ktoré sme zvažovali v lietadle, budú platiť aj pre vesmír. Snažil som sa minimalizovať zhrnutie teórie, keďže leví podiel informácií už bol prežutý. Napriek tomu vám odporúčam pozorne si prečítať úvodnú časť, keďže sa objavia nové pojmy a pojmy.

Teraz namiesto roviny počítačového stola preskúmajme trojrozmerný priestor. Najprv vytvoríme jeho základ. Niekto je teraz vnútri, niekto vonku, no v žiadnom prípade nemôžeme utiecť z troch rozmerov: šírky, dĺžky a výšky. Na vytvorenie základne sú preto potrebné tri priestorové vektory. Jeden alebo dva vektory nestačia, štvrtý je nadbytočný.

A opäť sa zahrejeme na prstoch. Zdvihnite ruku a roztiahnite ju rôznymi smermi palec, ukazovák a prostredník. Budú to vektory, vyzerajú rôznymi smermi, majú rôzne dĺžky a majú rôzne uhly medzi sebou. Gratulujeme, základ trojrozmerného priestoru je pripravený! Mimochodom, nemusíte to demonštrovať učiteľom, bez ohľadu na to, ako krútite prstami, ale nemôžete sa dostať preč od definícií =)

Ďalej si položíme dôležitú otázku, či nejaké tri vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru? Pevne zatlačte tromi prstami na dosku stola počítača. Čo sa stalo? Tri vektory sú umiestnené v rovnakej rovine a zhruba povedané, stratili sme jedno z meraní - výšku. Takéto vektory sú koplanárny a je celkom zrejmé, že základ trojrozmerného priestoru nie je vytvorený.

Treba si uvedomiť, že koplanárne vektory nemusia ležať v rovnakej rovine, môžu byť v rovnobežných rovinách (len to nerobte prstami, len Salvador Dali sa tak vytratil =)).

Definícia: vektory sa nazývajú koplanárny ak existuje rovina, s ktorou sú rovnobežné. Tu je logické dodať, že ak takáto rovina neexistuje, potom vektory nebudú koplanárne.

Tri koplanárne vektory sú vždy lineárne závislé, to znamená, že sú lineárne vyjadrené cez seba. Pre jednoduchosť si opäť predstavte, že ležia v rovnakej rovine. Po prvé, vektory nie sú len koplanárne, ale môžu byť aj kolineárne, potom môže byť akýkoľvek vektor vyjadrený prostredníctvom akéhokoľvek vektora. V druhom prípade, ak napríklad vektory nie sú kolineárne, tretí vektor sa cez ne vyjadrí jedinečným spôsobom: (a prečo je ľahké uhádnuť z materiálov predchádzajúcej časti).

Opak je tiež pravdou: tri nekoplanárne vektory sú vždy lineárne nezávislé, to znamená, že nie sú žiadnym spôsobom vyjadrené cez seba. A samozrejme, iba takéto vektory môžu tvoriť základ trojrozmerného priestoru.

Definícia: Základ trojrozmerného priestoru sa nazýva trojica lineárne nezávislých (nekoplanárnych) vektorov, prijaté v určitom poradí, zatiaľ čo ľubovoľný vektor priestoru jediná cesta expanduje v danom základe , kde sú súradnice vektora v danom základe

Pre pripomenutie môžete tiež povedať, že vektor je reprezentovaný ako lineárna kombinácia bázové vektory.

Koncept súradnicového systému je zavedený presne rovnakým spôsobom ako v prípade roviny, postačuje jeden bod a akékoľvek tri lineárne nezávislé vektory:

pôvodu a nekoplanárne vektory, prijaté v určitom poradí, sada afinný súradnicový systém trojrozmerného priestoru :

Samozrejme, že súradnicová mriežka je „šikmá“ a nepohodlná, ale napriek tomu nám vytvorený súradnicový systém umožňuje určite určiť súradnice ľubovoľného vektora a súradnice ľubovoľného bodu v priestore. Podobne ako v rovine, niektoré vzorce, ktoré som už spomenul, nebudú fungovať v afinnom súradnicovom systéme priestoru.

Najznámejší a najpohodlnejší špeciálny prípad afinného súradnicového systému, ako si každý môže domyslieť, je pravouhlý priestorový súradnicový systém:

bod v priestore tzv pôvodu a ortonormálny základná sada Kartézsky súradnicový systém priestoru . známy obrázok:

Predtým, ako pristúpime k praktickým úlohám, opäť systematizujeme informácie:

Pre tri priestorové vektory sú nasledujúce tvrdenia ekvivalentné:
1) vektory sú lineárne nezávislé;
2) vektory tvoria základ;
3) vektory nie sú koplanárne;
4) vektory nemôžu byť lineárne vyjadrené cez seba;
5) determinant zložený zo súradníc týchto vektorov je odlišný od nuly.

Opačné tvrdenia sú podľa mňa pochopiteľné.

Lineárna závislosť / nezávislosť priestorových vektorov sa tradične kontroluje pomocou determinantu (položka 5). Zostávajúce praktické úlohy budú mať vyslovene algebraický charakter. Je čas zavesiť geometrickú palicu na klinec a oháňať sa baseballovou pálkou z lineárnej algebry:

Tri priestorové vektory sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule: .

Upozorňujem na malú technickú nuanciu: súradnice vektorov je možné písať nielen do stĺpcov, ale aj do riadkov (hodnota determinantu sa od toho nezmení - pozri vlastnosti determinantov). Ale je to oveľa lepšie v stĺpcoch, pretože je to výhodnejšie na riešenie niektorých praktických problémov.

Pre tých čitateľov, ktorí trochu zabudli na metódy výpočtu determinantov, alebo sa možno vôbec zle orientujú, odporúčam jednu z mojich najstarších lekcií: Ako vypočítať determinant?

Príklad 6

Skontrolujte, či nasledujúce vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru:

Riešenie: V skutočnosti celé riešenie spočíva vo výpočte determinantu.

a) Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov (determinant je rozšírený na prvom riadku):

, čo znamená, že vektory sú lineárne nezávislé (nie koplanárne) a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

Odpoveď: tieto vektory tvoria základ

b) Toto je bod pre nezávislé rozhodnutie. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Existujú aj kreatívne úlohy:

Príklad 7

Pri akej hodnote parametra budú vektory koplanárne?

Riešenie: Vektory sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa determinant zložený zo súradníc daných vektorov rovná nule:

V podstate je potrebné vyriešiť rovnicu s determinantom. Letíme do núl ako šarkani do jerbov - najvýhodnejšie je otvoriť determinant v druhom riadku a okamžite sa zbaviť mínusov:

Vykonávame ďalšie zjednodušenia a redukujeme záležitosť na najjednoduchšiu lineárnu rovnicu:

Odpoveď: o

Tu je ľahké to skontrolovať, preto musíte výslednú hodnotu nahradiť pôvodným determinantom a uistiť sa jeho opätovným otvorením.

Na záver sa zamyslime nad ďalším typickým problémom, ktorý má skôr algebraický charakter a je tradične súčasťou kurzu lineárnej algebry. Je taký bežný, že si zaslúži samostatnú tému:

Dokážte, že 3 vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru
a nájdite súradnice 4. vektora v danom základe

Príklad 8

Sú uvedené vektory. Ukážte, že vektory tvoria základ trojrozmerného priestoru a nájdite súradnice vektora v tomto základe.

Riešenie: Poďme sa najskôr zaoberať podmienkou. Podľa podmienky sú dané štyri vektory, a ako vidíte, už majú súradnice na nejakom základe. Čo je základ - nezaujíma nás. A nasledujúca vec je zaujímavá: tri vektory môžu tvoriť nový základ. A prvý krok je úplne rovnaký ako pri riešení príkladu 6, je potrebné skontrolovať, či sú vektory skutočne lineárne nezávislé:

Vypočítajte determinant zložený zo súradníc vektorov:

vektory sú teda lineárne nezávislé a tvoria základ trojrozmerného priestoru.

! Dôležité : vektorové súradnice nevyhnutne zapísať do stĺpcov determinant, nie reťazce. V opačnom prípade nastane zmätok v ďalšom algoritme riešenia.