Príklady translačného pohybu pozdĺž krivočiarej trajektórie. Pohyb tela pozdĺž krivočiarej trajektórie
6. krivočiary pohyb. Uhlový posun, uhlová rýchlosť a zrýchlenie tela. Dráha a posun pri krivočiarom pohybe telesa.
Krivočiary pohyb- ide o pohyb, ktorého trajektóriou je zakrivená čiara (napríklad kružnica, elipsa, hyperbola, parabola). Príkladom krivočiareho pohybu je pohyb planét, koniec ručičky hodín na ciferníku atď. Všeobecne krivočiara rýchlosť zmeny veľkosti a smeru.
Krivočiary pohyb hmotného bodu sa považuje za rovnomerný pohyb, ak modul rýchlosť konštantný (napríklad rovnomerný pohyb v kruhu) a rovnomerne zrýchlený, ak je modul a smer rýchlosť zmeny (napríklad pohyb telesa hodeného šikmo k horizontu).
Ryža. 1.19. Trajektória a vektor posunutia pri krivočiarom pohybe.
Pri pohybe po zakrivenej ceste vektor posunu smerované pozdĺž tetivy (obr. 1.19), a l- dĺžka trajektórie . Okamžitá rýchlosť telesa (čiže rýchlosť telesa v danom bode trajektórie) smeruje tangenciálne k tomu bodu trajektórie, kde sa pohybujúce teleso práve nachádza (obr. 1.20).
Ryža. 1.20. Okamžitá rýchlosť pri krivočiarom pohybe.
Krivočiary pohyb je vždy zrýchlený pohyb. T.j krivočiare zrýchlenie je vždy prítomný, aj keď sa nemení modul rýchlosti, ale mení sa iba smer rýchlosti. Zmena rýchlosti za jednotku času je tangenciálne zrýchlenie :
alebo 
Kde v τ , v 0 sú rýchlosti v danom okamihu t 0 + Δt a t 0 resp.
Tangenciálne zrýchlenie v danom bode trajektórie sa smer zhoduje so smerom rýchlosti telesa alebo je mu opačný.
Normálne zrýchlenie je zmena rýchlosti v smere za jednotku času:
Normálne zrýchlenie smerované pozdĺž polomeru zakrivenia trajektórie (smerom k osi rotácie). Normálne zrýchlenie je kolmé na smer rýchlosti.
dostredivé zrýchlenie je normálne zrýchlenie pre rovnomerný kruhový pohyb.
Plné zrýchlenie s rovnako variabilným krivočiarym pohybom tela rovná sa:
Pohyb telesa po krivočiarej trajektórii možno približne znázorniť ako pohyb po oblúkoch kružníc (obr. 1.21).
Ryža. 1.21. Pohyb tela pri krivočiarom pohybe.
Krivočiary pohyb
Krivočiare pohyby- pohyby, ktorých trajektórie nie sú priame, ale zakrivené čiary. Planéty a riečne vody sa pohybujú po krivočiarych trajektóriách.
Krivočiary pohyb je vždy pohyb so zrýchlením, aj keď absolútna hodnota rýchlosti je konštantná. Krivočiary pohyb s konštantným zrýchlením prebieha vždy v rovine, v ktorej sa nachádzajú vektory zrýchlenia a počiatočné rýchlosti bodu. V prípade krivočiareho pohybu s konštantným zrýchlením v rovine xOy projekcie v X a v r jeho rýchlosť na osi Vôl a Oj a súradnice X a r body kedykoľvek t určené vzorcami
Špeciálnym prípadom krivočiareho pohybu je kruhový pohyb. Kruhový pohyb, dokonca aj rovnomerný, je vždy zrýchlený pohyb: modul rýchlosti je vždy nasmerovaný tangenciálne k trajektórii, pričom sa neustále mení smer, takže kruhový pohyb vždy nastáva s dostredivým zrýchlením, kde r je polomer kruhu.
Vektor zrýchlenia pri pohybe po kružnici smeruje k stredu kružnice a kolmo na vektor rýchlosti.
Pri krivočiarom pohybe môže byť zrýchlenie reprezentované ako súčet normálnych a tangenciálnych komponentov:
Normálne (centripetálne) zrýchlenie smeruje k stredu zakrivenia trajektórie a charakterizuje zmenu rýchlosti v smere:
v- okamžitá rýchlosť, r je polomer zakrivenia trajektórie v danom bode.
Tangenciálne (tangenciálne) zrýchlenie smeruje tangenciálne k trajektórii a charakterizuje zmenu rýchlostného modulu.
Celkové zrýchlenie, s ktorým sa hmotný bod pohybuje, sa rovná:
Okrem dostredivého zrýchlenia sú najdôležitejšími charakteristikami rovnomerného pohybu v kruhu perióda a frekvencia otáčania.
Obdobie obehu je čas, ktorý telo potrebuje na dokončenie jednej otáčky .
Obdobie je označené písmenom T c) a určuje sa podľa vzorca:
kde t- doba obratu P- počet otáčok vykonaných počas tejto doby.
Frekvencia obehu- ide o hodnotu, ktorá sa číselne rovná počtu otáčok vykonaných za jednotku času.
Frekvencia sa označuje gréckym písmenom (nu) a nachádza sa podľa vzorca:
Frekvencia sa meria v 1/s.
Perióda a frekvencia sú vzájomne inverzné veličiny:
Ak sa teleso pohybuje v kruhu rýchlosťou v, vykoná jednu otáčku, potom dráhu, ktorú toto teleso prejde, možno nájsť vynásobením rýchlosti v na jedno otočenie:
l = vT. Na druhej strane sa táto dráha rovná obvodu 2π r. Takže
vT= 2π r,
kde w(od -1) - uhlová rýchlosť.
Pri konštantnej frekvencii otáčok je dostredivé zrýchlenie priamo úmerné vzdialenosti od pohybujúcej sa častice k stredu rotácie.
Uhlová rýchlosť (w) je hodnota rovnajúca sa pomeru uhla natočenia polomeru, na ktorom sa nachádza rotačný bod, k časovému intervalu, počas ktorého k tomuto otočeniu došlo:
.
Vzťah medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou:
Pohyb telesa možno považovať za známy len vtedy, keď je známe, ako sa každý z jeho bodov pohybuje. Najjednoduchší pohyb tuhých telies je translačný. Prekladové nazývaný pohyb tuhého telesa, pri ktorom sa akákoľvek priamka nakreslená v tomto telese pohybuje rovnobežne so sebou samým.
Dobre viete, že v závislosti od tvaru trajektórie sa pohyb delí na priamočiary a krivočiary. V predchádzajúcich lekciách sme sa naučili pracovať s priamočiarym pohybom, konkrétne vyriešiť hlavný problém mechaniky pre tento typ pohybu.
Je však jasné, že v reálnom svete máme najčastejšie dočinenia s krivočiarym pohybom, kedy je trajektóriou zakrivená čiara. Príklady takéhoto pohybu sú trajektória telesa hodeného pod uhlom k horizontu, pohyb Zeme okolo Slnka a dokonca aj trajektória vašich očí, ktoré teraz sledujú tento abstrakt.
Táto lekcia bude venovaná otázke, ako sa rieši hlavný problém mechaniky v prípade krivočiareho pohybu.
Na začiatok si určme, aké zásadné rozdiely má krivočiary pohyb (obr. 1) voči priamočiaremu a k čomu tieto rozdiely vedú.
Ryža. 1. Trajektória krivočiareho pohybu
Povedzme si, ako je vhodné opísať pohyb telesa pri krivočiarom pohybe.
Pohyb môžete rozdeliť na samostatné úseky, z ktorých každý môže byť pohyb považovaný za priamočiary (obr. 2).
Ryža. 2. Rozdelenie krivočiareho pohybu na segmenty priamočiareho pohybu
Nasledujúci prístup je však pohodlnejší. Tento pohyb budeme reprezentovať ako súbor niekoľkých pohybov po oblúkoch kružníc (obr. 3). Všimnite si, že takýchto priečok je menej ako v predchádzajúcom prípade, navyše pohyb po kružnici je krivočiary. Okrem toho sú príklady pohybu v kruhu v prírode veľmi časté. Z toho môžeme vyvodiť záver:
Aby sme mohli opísať krivočiary pohyb, musíme sa naučiť opísať pohyb pozdĺž kruhu a potom reprezentovať ľubovoľný pohyb ako súbor pohybov pozdĺž oblúkov kruhov.
Ryža. 3. Rozdelenie krivočiareho pohybu na pohyby po oblúkoch kružníc
Začnime teda štúdium krivočiareho pohybu štúdiom rovnomerného pohybu v kruhu. Pozrime sa, aké sú zásadné rozdiely medzi krivočiarym a priamočiarym pohybom. Na začiatok si pripomeňme, že v deviatom ročníku sme sa učili, že rýchlosť telesa pri pohybe po kružnici smeruje tangenciálne k trajektórii (obr. 4). Mimochodom, túto skutočnosť môžete pozorovať v praxi, ak sa pozriete na to, ako sa pri použití brúsneho kameňa pohybujú iskry.
Uvažujme pohyb telesa po kruhovom oblúku (obr. 5).
Ryža. 5. Rýchlosť telesa pri pohybe v kruhu
Upozorňujeme, že v tomto prípade sa modul rýchlosti telesa v bode rovná modulu rýchlosti telesa v bode:
Vektor sa však nerovná vektoru . Máme teda vektor rozdielu rýchlosti (obr. 6):
Ryža. 6. Vektor rozdielu rýchlosti
Navyše k zmene rýchlosti došlo až po chvíli. Dostaneme teda známu kombináciu:
Nejde o nič iné ako o zmenu rýchlosti v priebehu času alebo o zrýchlenie telesa. Môžeme vyvodiť veľmi dôležitý záver:
Pohyb po zakrivenej dráhe je zrýchlený. Podstatou tohto zrýchlenia je plynulá zmena smeru vektora rýchlosti.
Ešte raz si všimneme, že aj keď sa hovorí, že sa teleso pohybuje rovnomerne po kruhu, znamená to, že modul rýchlosti telesa sa nemení. Takýto pohyb je však vždy zrýchlený, pretože sa mení smer rýchlosti.
V deviatom ročníku ste sa učili, čo je toto zrýchlenie a ako je smerované (obr. 7). Dostredivé zrýchlenie smeruje vždy do stredu kružnice, po ktorej sa teleso pohybuje.
Ryža. 7. Dostredivé zrýchlenie
Modul dostredivého zrýchlenia možno vypočítať pomocou vzorca:
Obrátime sa na popis rovnomerného pohybu tela v kruhu. Zhodneme sa, že rýchlosť, ktorú ste použili pri popise translačného pohybu, sa teraz bude nazývať lineárna rýchlosť. A lineárnou rýchlosťou budeme rozumieť okamžitú rýchlosť v bode trajektórie rotujúceho telesa.
Ryža. 8. Pohyb bodov disku
Predstavte si disk, ktorý sa pre istotu otáča v smere hodinových ručičiek. Na jeho polomere označíme dva body a (obr. 8). Zvážte ich pohyb. Po určitú dobu sa tieto body budú pohybovať po oblúkoch kruhu a stanú sa bodmi a . Je zrejmé, že bod sa posunul viac ako bod. Z toho môžeme usúdiť, že čím je bod ďalej od osi rotácie, tým väčšia je lineárna rýchlosť, ktorou sa pohybuje.
Ak sa však pozorne pozrieme na body a , môžeme povedať, že uhol, o ktorý sa otočili vzhľadom na os otáčania, zostal nezmenený. Sú to uhlové charakteristiky, ktoré budeme používať na opis pohybu v kruhu. Všimnite si, že na opis pohybu v kruhu môžeme použiť rohu charakteristiky.
Úvahu o pohybe v kruhu začneme najjednoduchším prípadom – rovnomerným pohybom v kruhu. Pripomeňme, že rovnomerný translačný pohyb je pohyb, pri ktorom teleso vykonáva rovnaké posuny v ľubovoľných rovnakých časových intervaloch. Analogicky môžeme definovať rovnomerný pohyb v kruhu.
Rovnomerný pohyb v kruhu je pohyb, pri ktorom sa teleso otáča v rovnakých časových intervaloch o rovnaké uhly.
Podobne ako pojem lineárna rýchlosť sa zavádza aj pojem uhlová rýchlosť.
Uhlová rýchlosť rovnomerného pohybu ( nazývaná fyzikálna veličina rovnajúca sa pomeru uhla, pod ktorým sa teleso otočilo, k času, počas ktorého k tomuto obratu došlo.
Vo fyzike sa najčastejšie používa radiánová miera uhla. Napríklad uhol at sa rovná radiánom. Uhlová rýchlosť sa meria v radiánoch za sekundu:
Nájdite vzťah medzi uhlovou rýchlosťou bodu a lineárnou rýchlosťou tohto bodu.
Ryža. 9. Vzťah medzi uhlovou a lineárnou rýchlosťou
Bod prechádza počas otáčania oblúkom dĺžky, pričom sa otáča pod uhlom. Z definície radiánovej miery uhla môžeme napísať:
Ľavú a pravú časť rovnosti vydelíme časovým intervalom, pre ktorý bol pohyb vykonaný, potom použijeme definíciu uhlových a lineárnych rýchlostí:
Všimnite si, že čím ďalej je bod od osi otáčania, tým vyššia je jeho lineárna rýchlosť. A body umiestnené na samotnej osi otáčania sú pevné. Príkladom toho je kolotoč: čím bližšie ste k stredu kolotoča, tým ľahšie sa na ňom udržíte.
Táto závislosť lineárnych a uhlových rýchlostí sa využíva v geostacionárnych satelitoch (satelity, ktoré sú vždy nad tým istým bodom zemského povrchu). Vďaka takýmto satelitom sme schopní prijímať televízny signál.
Pripomeňme, že predtým sme zaviedli pojmy perióda a frekvencia rotácie.
Obdobie rotácie je doba jednej kompletnej rotácie. Obdobie rotácie je označené písmenom a meria sa v sekundách v SI:
Frekvencia otáčania je fyzikálna veličina rovnajúca sa počtu otáčok, ktoré telo vykoná za jednotku času.
Frekvencia je označená písmenom a meria sa v recipročných sekundách:
Súvisia s nimi:
Existuje vzťah medzi uhlovou rýchlosťou a frekvenciou otáčania telesa. Ak si pamätáme, že úplná otáčka je , je ľahké vidieť, že uhlová rýchlosť je:
Nahradením týchto výrazov do závislosti medzi uhlovou a lineárnou rýchlosťou je možné získať závislosť lineárnej rýchlosti od periódy alebo frekvencie:
Zapíšme si tiež vzťah medzi dostredivým zrýchlením a týmito veličinami:
Poznáme teda vzťah medzi všetkými charakteristikami rovnomerného pohybu v kruhu.
Poďme si to zhrnúť. V tejto lekcii sme začali popisovať krivočiary pohyb. Pochopili sme, ako spojiť krivočiary pohyb s kruhovým pohybom. Kruhový pohyb je vždy zrýchlený a prítomnosť zrýchlenia spôsobuje, že rýchlosť vždy mení svoj smer. Takéto zrýchlenie sa nazýva dostredivé. Nakoniec sme si zapamätali niektoré charakteristiky pohybu v kruhu (lineárna rýchlosť, uhlová rýchlosť, perióda a frekvencia rotácie) a našli sme medzi nimi vzťah.
Bibliografia
- G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fyzika 10. - M .: Vzdelávanie, 2008.
- A.P. Rymkevič. fyzika. Kniha problémov 10-11. - M.: Drop, 2006.
- O.Ya Savčenková. Problémy vo fyzike. - M.: Nauka, 1988.
- A.V. Peryshkin, V.V. Krauklis. Kurz fyziky. T. 1. - M .: Štát. uch.-ped. vyd. min. školstvo RSFSR, 1957.
- Ayp.ru ().
- Wikipedia ().
Domáca úloha
Vyriešením úloh na túto hodinu sa budete môcť pripraviť na otázky 1 GIA a otázky A1, A2 Jednotnej štátnej skúšky.
- Úlohy 92, 94, 98, 106, 110 - so. úlohy A.P. Rymkevič, vyd. desať
- Vypočítajte uhlovú rýchlosť minútovej, sekundovej a hodinovej ručičky hodín. Vypočítajte dostredivé zrýchlenie pôsobiace na hroty týchto šípok, ak je polomer každej z nich jeden meter.
Ak vezmeme do úvahy krivočiary pohyb telesa, uvidíme, že jeho rýchlosť je v rôznych okamihoch rôzna. Aj keď sa modul rýchlosti nemení, stále dochádza k zmene smeru rýchlosti. Vo všeobecnom prípade sa mení modul aj smer rýchlosti.
Pri krivočiarom pohybe sa teda rýchlosť plynule mení, takže tento pohyb nastáva so zrýchlením. Na určenie tohto zrýchlenia (podľa modulu a smeru) je potrebné nájsť zmenu rýchlosti ako vektor, t.j. nájsť prírastok modulu rýchlosti a zmenu jeho smeru.
Ryža. 49. Zmena rýchlosti pri krivočiarom pohybe
Nech má napríklad krivočiaro sa pohybujúci bod (obr. 49) v určitom okamihu rýchlosť a po krátkom čase rýchlosť. Prírastok rýchlosti je rozdiel medzi vektormi a . Keďže tieto vektory majú rôzne smery, musíme vziať ich vektorový rozdiel. Prírastok rýchlosti bude vyjadrený vektorom reprezentovaným stranou rovnobežníka s uhlopriečkou a druhou stranou. Zrýchlenie je pomer prírastku rýchlosti k časovému intervalu, počas ktorého k tomuto prírastku došlo. Takže zrýchlenie
Smer sa zhoduje s vektorom .
Voľbou dostatočne malého sa dostaneme ku konceptu okamžitého zrýchlenia (porov. § 16); s ľubovoľným vektorom bude predstavovať priemerné zrýchlenie za určité časové obdobie.
Smer zrýchlenia pri krivočiarom pohybe sa nezhoduje so smerom rýchlosti, zatiaľ čo pri priamočiarom pohybe sa tieto smery zhodujú (alebo sú opačné). Na zistenie smeru zrýchlenia pri krivočiarom pohybe stačí porovnať smery rýchlostí v dvoch blízkych bodoch trajektórie. Pretože rýchlosti sú nasmerované pozdĺž dotyčníc k trajektórii, potom formou samotnej trajektórie je možné usúdiť, ktorým smerom je zrýchlenie nasmerované z trajektórie. V skutočnosti, keďže rozdiel v rýchlostiach v dvoch blízkych bodoch trajektórie je vždy nasmerovaný v smere, v ktorom je trajektória zakrivená, znamená to, že zrýchlenie vždy smeruje ku konkávnosti trajektórie. Napríklad, keď sa guľa kotúľa po zakrivenom žľabe (obr. 50), jej zrýchlenie po častiach a smeruje tak, ako je znázornené šípkami, a to nezávisí od toho, či sa guľa kotúľa z alebo v opačnom smere.
Ryža. 50. Zrýchlenia pri krivočiarom pohybe vždy smerujú ku konkávnosti trajektórie
Ryža. 51. K odvodeniu vzorca pre dostredivé zrýchlenie
Zvážte rovnomerný pohyb bodu pozdĺž krivočiarej trajektórie. Už vieme, že ide o zrýchlený pohyb. Poďme nájsť zrýchlenie. Na to stačí zvážiť zrýchlenie pre konkrétny prípad rovnomerného pohybu po kružnici. Zoberme si dve blízke polohy a pohyblivý bod, oddelené malým časovým intervalom (obr. 51, a). Rýchlosti pohybujúceho sa bodu v a sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale rozdielne v smere. Nájdime rozdiel medzi týmito rýchlosťami pomocou trojuholníkového pravidla (obr. 51, b). Trojuholníky a sú podobné ako rovnoramenné trojuholníky s rovnakými vrcholovými uhlami. Dĺžku strany reprezentujúcej nárast rýchlosti za určitý čas je možné nastaviť na , kde je modul požadovaného zrýchlenia. Jemu podobná strana je tetivou oblúka; vzhľadom na malosť oblúka môže byť dĺžka jeho tetivy približne rovnaká ako dĺžka oblúka, t.j. . ďalej 
; , kde je polomer trajektórie. Z podobnosti trojuholníkov vyplýva, že pomery podobných strán v nich sú rovnaké:
kde nájdeme modul požadovaného zrýchlenia:
Smer zrýchlenia je kolmý na tetivu. Pre dostatočne malé časové intervaly môžeme predpokladať, že dotyčnica oblúka sa prakticky zhoduje s jeho tetivou. To znamená, že zrýchlenie možno považovať za smerované kolmo (normálne) k dotyčnici trajektórie, t.j. pozdĺž polomeru k stredu kružnice. Preto sa takéto zrýchlenie nazýva normálne alebo dostredivé zrýchlenie.
Ak trajektóriou nie je kružnica, ale ľubovoľná zakrivená čiara, potom by sa vo vzorci (27.1) mal použiť polomer kruhu, ktorý je v danom bode najbližšie ku krivke. Smer normálového zrýchlenia bude v tomto prípade tiež kolmý na dotyčnicu k trajektórii v danom bode. Ak je počas krivočiareho pohybu zrýchlenie konštantné čo do veľkosti a smeru, možno ho zistiť ako pomer prírastku rýchlosti k časovému intervalu, počas ktorého k tomuto prírastku došlo, nech už je tento časový interval akýkoľvek. Takže v tomto prípade sa zrýchlenie dá nájsť podľa vzorca
podobný vzorcu (17.1) pre priamočiary pohyb s konštantným zrýchlením. Tu je rýchlosť tela v počiatočnom okamihu, a je rýchlosť v čase.
Bodová kinematika. spôsob. Pohybujte sa. Rýchlosť a zrýchlenie. Ich projekcie na súradnicových osiach. Výpočet prejdenej vzdialenosti. Priemerné hodnoty.
Bodová kinematika- časť kinematiky, ktorá študuje matematický popis pohybu hmotných bodov. Hlavnou úlohou kinematiky je opísať pohyb pomocou matematického aparátu bez zisťovania príčin, ktoré tento pohyb spôsobujú.
Cesta a pohyb.Čiara, po ktorej sa bod telesa pohybuje, sa nazýva trajektórie. Dĺžka dráhy je tzv spôsob, akým sme cestovali. Vektor spájajúci počiatočný a koncový bod trajektórie sa nazýva pohyb. Rýchlosť- vektorová fyzikálna veličina charakterizujúca rýchlosť pohybu tela, číselne sa rovná pomeru pohybu v malom časovom úseku k hodnote tohto obdobia. Časový interval sa považuje za dostatočne malý, ak sa rýchlosť pri nerovnomernom pohybe počas tohto intervalu nezmenila. Definujúci vzorec pre rýchlosť je v = s/t. Jednotkou rýchlosti je m/s. V praxi sa používa jednotka rýchlosti km/h (36 km/h = 10 m/s). Zmerajte rýchlosť rýchlomerom.
Zrýchlenie- vektorová fyzikálna veličina charakterizujúca rýchlosť zmeny rýchlosti, ktorá sa číselne rovná pomeru zmeny rýchlosti k časovému úseku, počas ktorého k tejto zmene došlo. Ak sa rýchlosť mení počas celej doby pohybu rovnako, potom zrýchlenie možno vypočítať podľa vzorca a=Δv/Δt. Jednotka zrýchlenia - m/s 2
Rýchlosť a zrýchlenie pri krivočiarom pohybe. Tangenciálne a normálne zrýchlenia.
Krivočiare pohyby- pohyby, ktorých trajektórie nie sú priame, ale zakrivené čiary.
Krivočiary pohyb- vždy ide o pohyb so zrýchlením, aj keď absolútna hodnota rýchlosti je konštantná. Krivočiary pohyb s konštantným zrýchlením prebieha vždy v rovine, v ktorej sa nachádzajú vektory zrýchlenia a počiatočné rýchlosti bodu. V prípade krivočiareho pohybu s konštantným zrýchlením v rovine xOy projekcie v x a v y jeho rýchlosť na osi Vôl a Oj a súradnice X a r body kedykoľvek t určené vzorcami
v x \u003d v 0 x + a x t, x \u003d x 0 + v 0 x t + a x t + a x t 2 / 2; v y \u003d v 0 y + a y t, y \u003d y 0 + v 0 y t + a y t 2 / 2
Špeciálnym prípadom krivočiareho pohybu je kruhový pohyb. Kruhový pohyb, dokonca rovnomerný, je vždy zrýchlený pohyb: modul rýchlosti je vždy smerovaný tangenciálne k trajektórii, pričom sa neustále mení smer, takže kruhový pohyb vždy nastáva s dostredivým zrýchlením |a|=v 2 /r kde r je polomer kruhu.
Vektor zrýchlenia pri pohybe po kružnici smeruje k stredu kružnice a kolmo na vektor rýchlosti.
Pri krivočiarom pohybe môže byť zrýchlenie reprezentované ako súčet normálových a tangenciálnych zložiek:
Normálne (centripetálne) zrýchlenie smeruje k stredu zakrivenia trajektórie a charakterizuje zmenu rýchlosti v smere:
v- okamžitá rýchlosť, r je polomer zakrivenia trajektórie v danom bode.
Tangenciálne (tangenciálne) zrýchlenie smeruje tangenciálne k trajektórii a charakterizuje zmenu rýchlostného modulu.
Celkové zrýchlenie, s ktorým sa hmotný bod pohybuje, sa rovná:
Tangenciálne zrýchlenie charakterizuje rýchlosť zmeny rýchlosti pohybu číselnou hodnotou a smeruje tangenciálne k trajektórii.
Preto
Normálne zrýchlenie charakterizuje rýchlosť zmeny smeru rýchlosti. Vypočítajme vektor:
4. Kinematika tuhého telesa. Rotácia okolo pevnej osi. Uhlová rýchlosť a zrýchlenie. Vzťah medzi uhlovými a lineárnymi rýchlosťami a zrýchleniami.
Kinematika rotačného pohybu.
Pohyb tela môže byť translačný aj rotačný. V tomto prípade je telo reprezentované ako systém pevne prepojených hmotných bodov.
Pri translačnom pohybe sa každá priamka nakreslená v tele pohybuje rovnobežne so sebou samým. Podľa tvaru trajektórie môže byť translačný pohyb priamočiary a krivočiary. Pri translačnom pohybe všetky body tuhého telesa počas rovnakého časového obdobia vykonávajú rovnaké pohyby vo veľkosti a smere. Preto sú rýchlosti a zrýchlenia všetkých bodov tela v každom okamihu rovnaké. Na opísanie translačného pohybu stačí definovať pohyb jedného bodu.
Rotačný pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi nazývaný taký pohyb, pri ktorom sa všetky body tela pohybujú po kružniciach, ktorých stredy ležia na jednej priamke (osi rotácie).
Os otáčania môže prechádzať telom alebo ležať mimo neho. Ak os otáčania prechádza telesom, tak body ležiace na osi zostávajú počas otáčania telesa v pokoji. Body tuhého telesa, ktoré sa nachádzajú v rôznych vzdialenostiach od osi otáčania, prechádzajú rôznymi vzdialenosťami v rovnakých časových intervaloch, a preto majú rôzne lineárne rýchlosti.
Keď sa teleso otáča okolo pevnej osi, body telesa za rovnakú dobu vykonajú rovnaký uhlový posun. Modul sa rovná uhlu otáčania telesa okolo osi v čase, smer vektora uhlového posunu so smerom otáčania telesa je spojený skrutkovým pravidlom: ak skombinujete smery otáčania skrutky so smerom otáčania telesa, potom sa vektor bude zhodovať s translačným pohybom skrutky. Vektor je nasmerovaný pozdĺž osi rotácie.
Rýchlosť zmeny uhlového posunu určuje uhlovú rýchlosť - ω. Analogicky s lineárnou rýchlosťou, koncepty priemerná a okamžitá uhlová rýchlosť:
Uhlová rýchlosť je vektorová veličina.
Charakterizuje rýchlosť zmeny uhlovej rýchlosti priemerné a okamžité
uhlové zrýchlenie.
Vektor a sa môže zhodovať s vektorom a môže byť oproti nemu
Pri krivočiarom pohybe sa mení smer vektora rýchlosti. V tomto prípade sa môže zmeniť aj jeho modul, teda dĺžka. V tomto prípade sa vektor zrýchlenia rozloží na dve zložky: dotyčnicu k trajektórii a kolmú na trajektóriu (obr. 10). Komponent sa nazýva tangenciálny(tangenciálne) zrýchlenie, komponent - normálne(dostredivé) zrýchlenie.
Krivkové zrýchlenie
Tangenciálne zrýchlenie charakterizuje rýchlosť zmeny lineárnej rýchlosti a normálové zrýchlenie charakterizuje rýchlosť zmeny smeru.
Celkové zrýchlenie sa rovná vektorovému súčtu tangenciálneho a normálového zrýchlenia:
(15)
Celkový modul zrýchlenia je:
.
Zvážte rovnomerný pohyb bodu po kružnici. V čom 
a 
. Bod nech je v uvažovanom čase t v polohe 1 (obr. 11). Po čase Δt bude bod po prejdení dráhy v polohe 2 Δs, rovná oblúku 1-2. V tomto prípade sa rýchlosť bodu v zvýši Δv, v dôsledku čoho sa vektor rýchlosti, ktorý zostáva nezmenený, otočí o uhol Δφ
, ktorý sa svojou veľkosťou zhoduje so stredovým uhlom na základe oblúka dĺžky Δs:
(16)
kde R je polomer kružnice, po ktorej sa bod pohybuje. Nájdeme prírastok vektora rýchlosti Aby sme to dosiahli, posunieme vektor 
aby sa jeho začiatok zhodoval so začiatkom vektora . Potom bude vektor reprezentovaný segmentom nakresleným od konca vektora po koniec vektora . Tento segment slúži ako základňa rovnoramenného trojuholníka so stranami a a uhol Δφ v hornej časti. Ak je uhol Δφ malý (čo platí pre malé Δt), pre strany tohto trojuholníka môžeme približne písať:
.
Dosadením Δφ z (16) získame výraz pre modul vektora:
.
Vydelením oboch častí rovnice Δt a prechodom na limit dostaneme hodnotu dostredivého zrýchlenia:
Tu sú množstvá v a R sú konštantné, takže ich možno vyňať z medzného znaku. Limitom pomeru je rýchlostný modul 
Nazýva sa tiež lineárna rýchlosť.
Polomer zakrivenia
Polomer kruhu R sa nazýva polomer zakrivenia trajektórie. Prevrátená hodnota R sa nazýva zakrivenie dráhy:
.
kde R je polomer príslušného kruhu. Ak α je stredový uhol zodpovedajúci oblúku kružnice s, potom, ako je známe, medzi R, α a s platí nasledujúci vzťah:
s = Ra. (18)
Pojem polomer zakrivenia platí nielen pre kruh, ale pre akúkoľvek zakrivenú čiaru. Polomer zakrivenia (alebo jeho recipročné - zakrivenie) charakterizuje mieru zakrivenia čiary. Čím menší je polomer zakrivenia (resp. čím je zakrivenie väčšie), tým viac je čiara ohnutá. Pozrime sa na tento koncept podrobnejšie.
Kružnica zakrivenia rovinnej čiary v niektorom bode A je hraničnou polohou kružnice prechádzajúcej bodom A a ďalšími dvoma bodmi B 1 a B 2, keď sa nekonečne približujú k bodu A (na obr. 12 je krivka nakreslená plná čiara a kružnica zakrivenia je prerušovaná). Polomer kružnice zakrivenia udáva polomer zakrivenia príslušnej krivky v bode A a stred tejto kružnice je stredom zakrivenia krivky pre rovnaký bod A.
Nakreslite v bodoch B 1 a B 2 dotyčnice B 1 D a B 2 E ku kružnici prechádzajúcej bodmi B 1 , A a B 2 . Normály týchto dotyčníc B 1 C a B 2 C budú polomery R kružnice a pretínajú sa v jej strede C. Zaveďme uhol Δα medzi normály B1C a B 2 C; je zrejmé, že sa rovná uhlu medzi dotyčnicami B 1 D a B 2 E. Označme úsek krivky medzi bodmi B 1 a B 2 ako Δs. Potom podľa vzorca (18):
.
Kruh zakrivenia plochej zakrivenej čiary
Určenie zakrivenia rovinnej krivky v rôznych bodoch
Na obr. 13 znázorňuje kruhy zakrivenia rovnej čiary v rôznych bodoch. V bode Ai, kde je krivka plochejšia, je polomer zakrivenia väčší ako v bode A2, respektíve zakrivenie priamky v bode Ai bude menšie ako v bode A2. V bode A 3 je krivka ešte plochejšia ako v bodoch A 1 a A 2, takže polomer zakrivenia v tomto bode bude väčší a zakrivenie menšie. Okrem toho kružnica zakrivenia v bode A 3 leží na druhej strane krivky. Preto je veľkosti zakrivenia v tomto bode priradené znamienko opačné k znamienku zakrivenia v bodoch A 1 a A 2: ak sa zakrivenie v bodoch A 1 a A 2 považuje za kladné, potom bude zakrivenie v bode A 3 negatívne.