Teória aritmetického a geometrického postupu. Vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti
Dôležité poznámky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte abrakadabra, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátorovi, ktorý vám poskytne najužitočnejší zdroj
Číselná postupnosť
Poďme si teda sadnúť a začať písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré z nich je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti:
Číselná postupnosť je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.
Napríklad pre našu postupnosť:
Pridelené číslo je špecifické len pre jedno poradové číslo. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako -té číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva -tý člen postupnosti.
Obvykle nazývame celú postupnosť nejaké písmeno (napríklad), a každý člen tejto postupnosti - rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .
V našom prípade:
Najbežnejšie typy progresie sú aritmetické a geometrické. V tejto téme budeme hovoriť o druhom druhu - geometrický postup.
Prečo potrebujeme geometrickú progresiu a jej históriu.
Už v staroveku sa taliansky matematik, mních Leonardo z Pisy (známejší ako Fibonacci), zaoberal praktickými potrebami obchodu. Mních stál pred úlohou určiť, aký najmenší počet závaží je možné použiť na váženie tovaru? Fibonacci vo svojich spisoch dokazuje, že takýto systém váh je optimálny: Toto je jedna z prvých situácií, v ktorej sa ľudia museli vysporiadať s geometrickou progresiou, o ktorej ste už určite počuli a máte o nej aspoň všeobecnú predstavu. Keď úplne pochopíte tému, zamyslite sa nad tým, prečo je takýto systém optimálny?
V súčasnosti sa v životnej praxi prejavuje geometrická progresia pri investovaní peňazí v banke, kedy sa úročí suma nahromadená na účte za predchádzajúce obdobie. Inými slovami, ak vložíte peniaze na termínovaný vklad do sporiteľne, tak o rok sa vklad zvýši o z pôvodnej sumy, t.j. nová suma sa bude rovnať príspevku vynásobenému o. V ďalšom roku sa táto suma zvýši o, t.j. suma získaná v tom čase sa opäť vynásobí atď. Podobná situácia je popísaná v problematike výpočtovej tzv zložené úročenie- percento sa vždy berie zo sumy, ktorá je na účte, pričom sa zohľadňuje predchádzajúci úrok. O týchto úlohách si povieme trochu neskôr.
Existuje oveľa viac jednoduchých prípadov, keď sa aplikuje geometrická progresia. Napríklad šírenie chrípky: jeden človek nakazil človeka, ten zase infikoval iného človeka, a teda druhá vlna nákazy - človeka, a ten zase nakazil ďalšieho...a tak ďalej.. .
Mimochodom, finančná pyramída, to isté MMM, je jednoduchý a suchý výpočet podľa vlastností geometrickej progresie. zaujímavé? Poďme na to.
Geometrická progresia.
Povedzme, že máme číselnú postupnosť:
Hneď odpoviete, že je to jednoduché a názov takejto sekvencie je s rozdielom jej členov. Čo tak niečo takéto:
Ak odčítate predchádzajúce číslo od nasledujúceho čísla, uvidíte, že zakaždým, keď dostanete nový rozdiel (a tak ďalej), ale postupnosť určite existuje a je ľahké si ju všimnúť - každé ďalšie číslo je krát väčšie ako predchádzajúce !
Tento typ sekvencie sa nazýva geometrický postup a je označený.
Geometrická postupnosť ( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, počnúc druhým, je rovný predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.
Obmedzenia, že prvý člen ( ) nie je rovnaký a nie sú náhodné. Povedzme, že neexistujú žiadne a prvý člen je stále rovnaký a q je, hmm .. nech, potom sa ukáže:
Súhlaste, že to nie je progresia.
Ako ste pochopili, dostaneme rovnaké výsledky, ak je to akékoľvek číslo iné ako nula, ale. V týchto prípadoch jednoducho nedôjde k progresii, pretože celý číselný rad bude buď všetky nuly, alebo jedno číslo a všetky ostatné nuly.
Teraz si povedzme podrobnejšie o menovateli geometrickej progresie, teda o.
Zopakujme si: - toto je číslo, koľkokrát sa každý nasledujúci výraz zmení geometrická progresia.
Čo si myslíte, že by to mohlo byť? To je správne, pozitívne a negatívne, ale nie nulové (o tomto sme hovorili trochu vyššie).
Povedzme, že máme pozitívny. Nech v našom prípade a. Aký je druhý termín a? Na to môžete ľahko odpovedať:
V poriadku. Preto, ak, potom všetci ďalší členovia progresie majú rovnaké znamenie - oni pozitívne.
Čo ak je to negatívne? Napríklad a. Aký je druhý termín a?
Je to úplne iný príbeh
Skúste si spočítať obdobie tohto postupu. koľko si dostal? Mám. Ak teda, potom sa striedajú znaky členov geometrickej progresie. To znamená, že ak vidíte progresiu so striedajúcimi sa znakmi v jej členoch, potom je jej menovateľ záporný. Tieto znalosti vám môžu pomôcť otestovať sa pri riešení problémov na túto tému.
Teraz si poďme trochu precvičiť: skúste určiť, ktoré číselné postupnosti sú geometrickou a aritmetickou postupnosťou:
Mám to? Porovnajte naše odpovede:
- Geometrická postupnosť - 3, 6.
- Aritmetický postup - 2, 4.
- Nie je to ani aritmetika, ani geometrická postupnosť - 1, 5, 7.
Vráťme sa k nášmu poslednému postupu a skúsme nájsť jeho výraz rovnakým spôsobom ako v aritmetike. Ako ste možno uhádli, existujú dva spôsoby, ako ho nájsť.
Každý výraz postupne násobíme o.
Takže -tý člen opísanej geometrickej postupnosti sa rovná.
Ako už tušíte, teraz sami odvodíte vzorec, ktorý vám pomôže nájsť ľubovoľného člena geometrickej postupnosti. Alebo ste si to už vymysleli a popísali, ako postupne nájsť th člena? Ak áno, skontrolujte správnosť svojich úvah.
Ilustrujme si to na príklade nájdenia -tého člena tejto postupnosti:
Inými slovami:
Zistite si hodnotu člena daného geometrického postupu.
Stalo? Porovnajte naše odpovede:
Dávajte pozor, aby ste dostali presne to isté číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme postupne násobili každým predchádzajúcim členom geometrickej postupnosti.
Pokúsme sa tento vzorec "odosobniť" - prenesieme ho do všeobecnej podoby a dostaneme:
Odvodený vzorec platí pre všetky hodnoty – kladné aj záporné. Overte si to sami výpočtom členov geometrickej postupnosti s nasledujúcimi podmienkami: , a.
Počítal si? Porovnajme výsledky:
Súhlaste s tým, že by bolo možné nájsť člena progresie rovnakým spôsobom ako člena, existuje však možnosť nesprávneho výpočtu. A ak sme už našli tý člen geometrickej postupnosti a, tak čo môže byť jednoduchšie ako použiť „skrátenú“ časť vzorca.
Nekonečne klesajúci geometrický postup.
Nedávno sme hovorili o tom, čo môže byť väčšie alebo menšie ako nula, existujú však špeciálne hodnoty, pre ktoré sa geometrická progresia nazýva nekonečne klesajúci.
Prečo si myslíte, že má taký názov?
Na začiatok si napíšme nejakú geometrickú postupnosť pozostávajúcu z členov.
Povedzme teda:
Vidíme, že každý nasledujúci výraz je časovo menší ako predchádzajúci, ale bude tam nejaké číslo? Okamžite odpoviete – „nie“. Preto nekonečne klesajúce - klesá, klesá, ale nikdy sa nestane nulou.
Aby sme jasne pochopili, ako to vizuálne vyzerá, skúsme nakresliť graf nášho postupu. Takže v našom prípade má vzorec nasledujúcu formu:
Na grafoch sme zvyknutí budovať závislosť na:
Podstata výrazu sa nezmenila: v prvom vstupe sme ukázali závislosť hodnoty geometrického progresívneho člena od jeho poradového čísla a v druhom vstupe sme jednoducho zobrali hodnotu geometrického progresívneho člena pre a radové číslo bolo označené nie ako, ale ako. Zostáva už len nakresliť graf.
Pozrime sa, čo máš. Tu je graf, ktorý som dostal:
Vidíš? Funkcia klesá, má tendenciu k nule, ale nikdy ju neprekročí, takže nekonečne klesá. Vyznačme si na grafe naše body a zároveň, čo súradnica a znamená:
Skúste schematicky znázorniť graf geometrickej progresie, ak je jej prvý člen rovnaký. Analyzujte, aký je rozdiel oproti predchádzajúcemu grafu?
Zvládli ste to? Tu je graf, ktorý som dostal:
Teraz, keď ste úplne porozumeli základom témy geometrickej postupnosti: viete, čo to je, viete nájsť jej pojem a tiež viete, čo je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť, prejdime k jej hlavnej vlastnosti.
vlastnosť geometrickej progresie.
Pamätáte si na vlastnosť členov aritmetického postupu? Áno, áno, ako nájsť hodnotu určitého počtu progresie, keď existujú predchádzajúce a nasledujúce hodnoty členov tejto progresie. Pamätáte si? toto:
Teraz stojíme pred presne tou istou otázkou pre podmienky geometrickej progresie. Aby sme odvodili takýto vzorec, začnime kresliť a uvažovať. Uvidíte, je to veľmi jednoduché, a ak zabudnete, môžete si to priniesť sami.
Zoberme si ďalší jednoduchý geometrický postup, v ktorom poznáme a. Ako nájsť? S aritmetickým postupom je to ľahké a jednoduché, ale ako je to tu? V skutočnosti nie je nič zložité ani v geometrii - stačí namaľovať každú hodnotu, ktorá nám bola poskytnutá, podľa vzorca.
Pýtate sa a čo s tým teraz urobíme? Áno, veľmi jednoduché. Na začiatok znázornime tieto vzorce na obrázku a pokúsme sa s nimi urobiť rôzne manipulácie, aby sme dosiahli hodnotu.
Abstrahujeme od čísel, ktoré sú nám dané, zameriame sa len na ich vyjadrenie prostredníctvom vzorca. Musíme nájsť hodnotu zvýraznenú oranžovou farbou a poznať výrazy, ktoré s ňou susedia. Pokúsme sa s nimi vykonávať rôzne akcie, v dôsledku ktorých môžeme získať.
Doplnenie.
Skúsme pridať dva výrazy a dostaneme:
Z tohto výrazu, ako vidíte, sa nebudeme môcť nijako vyjadrovať, preto skúsime inú možnosť - odčítanie.
Odčítanie.
Ako vidíte, ani z toho sa nevieme vyjadriť, preto sa pokúsime tieto výrazy navzájom znásobiť.
Násobenie.
Teraz sa pozorne pozrite na to, čo máme, vynásobením podmienok geometrickej progresie, ktoré sme dostali, v porovnaní s tým, čo je potrebné nájsť:
Hádajte, o čom hovorím? Aby sme to našli správne, musíme vynásobiť druhú odmocninu čísel geometrickej postupnosti susediacich s požadovaným číslom:
Dobre. Sami ste odvodili vlastnosť geometrickej progresie. Skúste napísať tento vzorec vo všeobecnej forme. Stalo?
Kedy ste zabudli na stav? Zamyslite sa nad tým, prečo je to dôležité, skúste si to napríklad vypočítať sami, pri. Čo sa stane v tomto prípade? To je pravda, úplný nezmysel, pretože vzorec vyzerá takto:
Preto nezabudnite na toto obmedzenie.
Teraz spočítajme, čo je
Správna odpoveď - ! Ak ste pri výpočte nezabudli na druhú možnú hodnotu, tak ste skvelý chlapík a môžete hneď pristúpiť k tréningu a ak ste zabudli, prečítajte si, čo je rozoberané nižšie a venujte pozornosť tomu, prečo musia byť v odpovedi napísané oba korene .
Nakreslime obe naše geometrické postupnosti – jednu s hodnotou a druhú s hodnotou a skontrolujme, či obe majú právo na existenciu:
Aby sme skontrolovali, či takáto geometrická progresia existuje alebo nie, je potrebné zistiť, či je rovnaká medzi všetkými jej danými členmi? Vypočítajte q pre prvý a druhý prípad.
Vidíte, prečo musíme napísať dve odpovede? Pretože znamienko požadovaného termínu závisí od toho, či je kladné alebo záporné! A keďže nevieme, čo to je, treba napísať obe odpovede s plusom a mínusom.
Teraz, keď ste zvládli hlavné body a odvodili vzorec pre vlastnosť geometrickej postupnosti, nájdite, poznáte a
Porovnajte svoje odpovede so správnymi:
Čo si myslíte, čo keby sme nedostali hodnoty členov geometrickej progresie susediacich s požadovaným číslom, ale v rovnakej vzdialenosti od neho. Napríklad musíme nájsť, a dané a. Môžeme v tomto prípade použiť vzorec, ktorý sme odvodili? Pokúste sa potvrdiť alebo vyvrátiť túto možnosť rovnakým spôsobom, opíšte, z čoho pozostáva každá hodnota, ako ste to urobili pri prvotnom odvodzovaní vzorca.
Čo si dostal?
Teraz sa znova pozorne pozrite.
a zodpovedajúcim spôsobom:
Z toho môžeme usúdiť, že vzorec funguje nielen so susednými s požadovanými členmi geometrickej progresie, ale aj s v rovnakej vzdialenosti z toho, čo členovia hľadajú.
Náš pôvodný vzorec sa teda stáva:
To znamená, že ak sme to v prvom prípade povedali, teraz povieme, že sa to môže rovnať akémukoľvek prirodzenému číslu, ktoré je menšie. Hlavné je, aby boli obe dané čísla rovnaké.
Cvičte na konkrétnych príkladoch, len buďte maximálne opatrní!
- , . Nájsť.
- , . Nájsť.
- , . Nájsť.
Rozhodol som sa? Dúfam, že ste boli mimoriadne pozorní a všimli ste si malý háčik.
Porovnávame výsledky.
V prvých dvoch prípadoch pokojne použijeme vyššie uvedený vzorec a získame nasledujúce hodnoty:
V treťom prípade, po dôkladnom zvážení sériových čísel čísel, ktoré nám boli pridelené, chápeme, že nie sú v rovnakej vzdialenosti od čísla, ktoré hľadáme: je to predchádzajúce číslo, ale odstránené na pozícii, takže nie je možné použiť vzorec.
Ako to vyriešiť? V skutočnosti to nie je také ťažké, ako sa zdá! Poďme si s vami zapísať, z čoho sa skladá každé číslo, ktoré nám bolo pridelené, a želané číslo.
Takže máme a. Pozrime sa, čo s nimi môžeme urobiť. Navrhujem rozdeliť. Dostaneme:
Naše údaje dosadíme do vzorca:
Ďalší krok, ktorý môžeme nájsť - na to musíme vziať odmocninu z výsledného čísla.
Teraz sa znova pozrime na to, čo máme. Máme, ale musíme nájsť, a to sa zase rovná:
Zistili sme všetky potrebné údaje pre výpočet. Nahraďte vo vzorci:
Naša odpoveď: .
Skúste sami vyriešiť ďalší rovnaký problém:
Vzhľadom na to: ,
Nájsť:
koľko si dostal? Mám - .
Ako vidíte, v skutočnosti potrebujete zapamätaj si len jeden vzorec- Všetko ostatné si môžete kedykoľvek sami bez problémov stiahnuť. Ak to chcete urobiť, jednoducho napíšte najjednoduchšiu geometrickú postupnosť na kus papiera a zapíšte si, čomu sa podľa vyššie uvedeného vzorca rovná každé z jeho čísel.
Súčet členov geometrickej postupnosti.
Teraz zvážte vzorce, ktoré nám umožňujú rýchlo vypočítať súčet členov geometrickej progresie v danom intervale:
Aby sme odvodili vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti, vynásobíme všetky časti vyššie uvedenej rovnice. Dostaneme:
Pozrite sa pozorne: čo majú posledné dva vzorce spoločné? Je to tak, napríklad spoloční členovia a podobne, okrem prvého a posledného člena. Skúsme odčítať 1. rovnicu od 2. rovnice. Čo si dostal?
Teraz vyjadrite pomocou vzorca člena geometrickej postupnosti a dosaďte výsledný výraz do nášho posledného vzorca:
Zoskupte výraz. Mali by ste dostať:
Zostáva len vyjadriť:
Podľa toho v tomto prípade.
Čo ak? Aký vzorec potom funguje? Predstavte si geometrickú postupnosť pri. Aká je? Správne rad rovnakých čísel, respektíve vzorec bude vyzerať takto:
Rovnako ako v prípade aritmetického a geometrického postupu existuje veľa legiend. Jednou z nich je legenda o Sethovi, tvorcovi šachu.
Mnoho ľudí vie, že šachová hra bola vynájdená v Indii. Keď sa s ňou hinduistický kráľ stretol, bol potešený jej dôvtipom a rozmanitosťou pozícií, ktoré v nej boli možné. Keď sa kráľ dozvedel, že ho vynašiel jeden z jeho poddaných, rozhodol sa ho osobne odmeniť. Zavolal k sebe vynálezcu a prikázal, aby si od neho vypýtal čokoľvek, čo by chcel, pričom sľúbil, že splní aj tú najšikovnejšiu túžbu.
Seta požiadal o čas na rozmyslenie, a keď na druhý deň Seta predstúpil pred kráľa, prekvapil kráľa nevídanou skromnosťou svojej žiadosti. Požiadal o pšeničné zrno na prvé pole šachovnice, pšenicu na druhé, tretie, štvrté atď.
Kráľ sa nahneval a zahnal Setha so slovami, že žiadosť sluhu nie je hodná kráľovskej štedrosti, ale sľúbil, že sluha dostane svoje obilie za všetky bunky rady.
A teraz otázka znie: pomocou vzorca pre súčet členov geometrickej progresie vypočítajte, koľko zŕn by mal Seth dostať?
Začnime diskutovať. Keďže podľa podmienky Seth požiadal o zrnko pšenice za prvú bunku šachovnice, za druhú, za tretiu, za štvrtú atď., vidíme, že problém je v geometrickom postupe. Čo sa rovná v tomto prípade?
správne.
Celkový počet buniek na šachovnici. Respektíve, . Všetky údaje máme, ostáva už len dosadiť do vzorca a vypočítať.
Aby sme aspoň približne reprezentovali „stupnice“ daného čísla, transformujeme pomocou vlastností stupňa:
Samozrejme, ak chcete, môžete si vziať kalkulačku a vypočítať, k akému číslu sa dostanete, a ak nie, musíte mi dať za pravdu: konečná hodnota výrazu bude.
T.j.:
kvintilión kvadrilión bilión miliárd miliónov miliónov tisíc.
Fuh) Ak si chcete predstaviť obrovskú hodnotu tohto čísla, potom odhadnite, aká veľká stodola by bola potrebná na umiestnenie celého množstva obilia.
Pri výške stodoly m a šírke m by jej dĺžka musela siahať do km, t.j. dvakrát tak ďaleko ako od Zeme k Slnku.
Ak by bol kráľ silný v matematike, mohol by ponúknuť vedcovi, aby spočítal zrnká, pretože na to, aby narátal milión zŕn, by potreboval aspoň deň neúnavného počítania a vzhľadom na to, že je potrebné počítať kvintilióny, zrnká by musel počítať celý život.
A teraz vyriešime jednoduchú úlohu na súčte členov geometrickej postupnosti.
Žiak 5. ročníka Vasya ochorel na chrípku, no naďalej chodí do školy. Každý deň Vasya infikuje dvoch ľudí, ktorí zase infikujú ďalších dvoch ľudí atď. Len jeden človek v triede. Za koľko dní dostane chrípku celá trieda?
Takže prvým členom geometrickej progresie je Vasya, teda osoba. člen geometrickej progresie, to sú dvaja ľudia, ktorých nakazil v prvý deň svojho príchodu. Celkový súčet členov postupu sa rovná počtu žiakov 5A. V súlade s tým hovoríme o progresii, v ktorej:
Dosaďte naše údaje do vzorca pre súčet členov geometrickej progresie:
Do niekoľkých dní ochorie celá trieda. Neveríte vzorcom a číslam? Skúste „infekciu“ žiakov vykresliť sami. Stalo? Pozrite sa, ako to u mňa vyzerá:
Spočítajte si sami, koľko dní by žiaci dostali chrípku, ak by každý nakazil človeka a v triede bol aj človek.
Akú hodnotu ste získali? Ukázalo sa, že všetci začali byť po dni chorí.
Ako vidíte, takáto úloha a jej kresba pripomína pyramídu, v ktorej každá ďalšia „prináša“ nových ľudí. Skôr či neskôr však príde moment, keď ten druhý nedokáže nikoho zaujať. V našom prípade, ak si predstavíme, že trieda je izolovaná, osoba z uzavrie reťazec (). Ak by teda bola osoba zapojená do finančnej pyramídy, v ktorej sa dávali peniaze, ak by ste priviedli ďalších dvoch účastníkov, potom by táto osoba (alebo vo všeobecnosti) nepriviedla nikoho, resp., stratila by všetko, čo investovala do tohto finančného podvodu. .
Všetko, čo bolo povedané vyššie, sa týka klesajúceho alebo rastúceho geometrického postupu, ale ako si pamätáte, máme špeciálny druh - nekonečne klesajúci geometrický postup. Ako vypočítať súčet jeho členov? A prečo má tento typ progresie určité vlastnosti? Poďme na to spolu.
Pre začiatok sa teda pozrime znova na tento obrázok nekonečne klesajúcej geometrickej progresie z nášho príkladu:
A teraz sa pozrime na vzorec pre súčet geometrickej progresie, odvodený o niečo skôr:
alebo
O čo sa usilujeme? Je to tak, graf ukazuje, že má tendenciu k nule. Teda kedy, to sa bude takmer rovnať, respektíve pri výpočte výrazu dostaneme takmer. V tejto súvislosti sa domnievame, že pri výpočte súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej progresie možno túto zátvorku zanedbať, pretože sa bude rovnať.
- vzorec je súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie.
DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti používame iba vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že potrebujeme nájsť súčet nekonečné počet členov.
Ak je uvedené konkrétne číslo n, potom použijeme vzorec pre súčet n členov, aj keď alebo.
A teraz poďme cvičiť.
- Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti s a.
- Nájdite súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti s a.
Dúfam, že ste boli veľmi opatrní. Porovnajte naše odpovede:
Teraz viete všetko o geometrickom postupe a je čas prejsť od teórie k praxi. Najbežnejšie exponenciálne problémy nájdené na skúške sú problémy so zloženým úrokom. Práve o nich sa budeme rozprávať.
Problémy s výpočtom zloženého úroku.
Určite ste už počuli o takzvanom vzorci zloženého úroku. Chápeš, čo tým myslí? Ak nie, poďme na to, pretože po realizácii samotného procesu okamžite pochopíte, čo s tým má geometrická progresia spoločné.
Všetci chodíme do banky a vieme, že existujú rôzne podmienky pre vklady: toto je termín, dodatočná údržba a úrok s dvoma rôznymi spôsobmi výpočtu - jednoduchý a zložitý.
S jednoduchý záujem všetko je viac-menej jasné: úrok sa účtuje raz na konci doby vkladu. To znamená, že ak hovoríme o znížení 100 rubľov ročne, budú pripísané až na konci roka. Na konci vkladu teda dostaneme ruble.
Zložené úročenie je možnosť, v ktorej úroková kapitalizácia, t.j. ich pripočítanie k výške vkladu a následný výpočet príjmu nie z počiatočnej, ale z kumulovanej sumy vkladu. Veľké písmená sa nevyskytujú neustále, ale s určitou periodicitou. Spravidla sú takéto obdobia rovnaké a najčastejšie banky používajú mesiac, štvrťrok alebo rok.
Povedzme, že vložíme všetky rovnaké ruble ročne, ale s mesačnou kapitalizáciou vkladu. čo získame?
Rozumieš tu všetkému? Ak nie, poďme na to krok za krokom.
Priniesli sme ruble do banky. Do konca mesiaca by sme mali mať na účte sumu pozostávajúcu z našich rubľov plus úrok z nich, teda:
Súhlasím?
Môžeme to vytiahnuť zo zátvorky a potom dostaneme:
Súhlasíte, tento vzorec je už viac podobný tomu, ktorý sme napísali na začiatku. Zostáva riešiť percentá
V stave problému sa nám hovorí o ročnom. Ako viete, nenásobíme - konvertujeme percentá na desatinné miesta, to znamená:
Správny? Teraz sa pýtate, odkiaľ pochádza číslo? Veľmi jednoduché!
Opakujem: stav problému hovorí o VÝROČNÝ naakumulovaný úrok MESAČNE. Ako viete, za rok mesiacov nám banka bude účtovať časť ročného úroku za mesiac:
Realizované? Teraz skúste napísať, ako by táto časť vzorca vyzerala, keby som povedal, že úroky sa počítajú denne.
Zvládli ste to? Porovnajme výsledky:
Výborne! Vráťme sa k našej úlohe: napíšte si, koľko bude pripísané na náš účet za druhý mesiac, berúc do úvahy, že z nahromadenej sumy vkladu sa účtuje úrok.
Stalo sa mi toto:
Alebo inak povedané:
Myslím, že ste si už všimli vzor a videli ste v tom všetkom geometrický postup. Napíšte, koľko sa bude jeho člen rovnať, alebo inak povedané, koľko peňazí dostaneme na konci mesiaca.
Vyrobené? Kontrola!
Ako vidíte, ak vložíte peniaze do banky na rok s jednoduchým úrokom, dostanete ruble, a ak ich vložíte so zloženou sadzbou, dostanete ruble. Prínos je malý, ale stáva sa to iba počas tého roka, ale na dlhšie obdobie je kapitalizácia oveľa výnosnejšia:
Zvážte iný typ problému so zloženým úrokom. Po tom, čo ste zistili, to bude pre vás elementárne. Takže úloha znie:
Zvezda začala investovať do odvetvia v roku 2000 s dolárovým kapitálom. Od roku 2001 každoročne dosahuje zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Aký zisk bude mať spoločnosť Zvezda na konci roka 2003, ak by zisk nebol stiahnutý z obehu?
Hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2000.
- hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2001.
- hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2002.
- hlavné mesto spoločnosti Zvezda v roku 2003.
Alebo môžeme stručne napísať:
Pre náš prípad:
2000, 2001, 2002 a 2003.
Respektíve:
rubľov
Všimnite si, že v tomto probléme nemáme delenie ani podľa ani podľa, keďže percentá sa uvádzajú ROČNE a počítajú sa ROČNE. To znamená, že pri čítaní problému zloženého úroku venujte pozornosť tomu, aké percento je uvedené av akom období sa účtuje, a až potom pokračujte vo výpočtoch.
Teraz viete všetko o geometrickom postupe.
Posilovať.
- Nájdite člen geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
- Nájdite súčet prvých členov geometrickej postupnosti, ak je známe, že a
- Spoločnosť MDM Capital začala investovať do tohto odvetvia v roku 2003 s dolárovým kapitálom. Od roku 2004 dosahuje každoročne zisk, ktorý sa rovná kapitálu predchádzajúceho roka. Spoločnosť „MSK Cash Flows“ začala investovať do odvetvia v roku 2005 vo výške 10 000 USD, pričom v roku 2006 začala dosahovať zisk vo výške . O koľko dolárov prevyšuje kapitál jednej spoločnosti kapitál inej spoločnosti na konci roka 2007, ak by zisky neboli stiahnuté z obehu?
odpovede:
- Keďže podmienka problému nehovorí, že progresia je nekonečná a je potrebné nájsť súčet konkrétneho počtu jej členov, výpočet sa vykonáva podľa vzorca:
Spoločnosť "MDM Capital":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- zvýši sa o 100 %, to znamená 2-krát.
Respektíve:
rubľov
Peňažné toky MSK:2005, 2006, 2007.
- zvyšuje o, teda krát.
Respektíve:
rubľov
rubľov
Poďme si to zhrnúť.
1) Geometrická postupnosť ( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, začínajúc od druhého, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.
2) Rovnica členov geometrickej postupnosti -.
3) môže mať akúkoľvek hodnotu okrem a.
- ak, potom všetci ďalší členovia progresie majú rovnaké znamenie - oni pozitívne;
- ak, potom všetci ďalší členovia progresie alternatívne znaky;
- keď - progresia sa nazýva nekonečne klesajúca.
4) , at - vlastnosť geometrickej postupnosti (susedné členy)
alebo
, v (ekvidistantné výrazy)
Keď to nájdete, nezabudnite na to mali by byť dve odpovede..
Napríklad,
5) Súčet členov geometrickej postupnosti sa vypočíta podľa vzorca:
alebo
alebo
DÔLEŽITÉ! Vzorec pre súčet členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti použijeme len vtedy, ak podmienka výslovne uvádza, že je potrebné nájsť súčet nekonečného počtu členov.
6) Úlohy na zložené úročenie sa počítajú aj podľa vzorca člena geometrickej progresie za predpokladu, že prostriedky neboli stiahnuté z obehu:
GEOMETRICKÁ PROGRESIA. STRUČNE O HLAVNOM
Geometrická progresia( ) je číselná postupnosť, ktorej prvý člen je odlišný od nuly a každý člen, počnúc druhým, sa rovná predchádzajúcemu, vynásobený rovnakým číslom. Toto číslo sa volá menovateľ geometrickej progresie.
Menovateľ geometrickej postupnosti môže mať akúkoľvek hodnotu okrem a.
- Ak potom všetci ďalší členovia progresie majú rovnaké znamienko - sú pozitívne;
- ak, potom sa všetky nasledujúce členy progresie striedajú so znakmi;
- keď - progresia sa nazýva nekonečne klesajúca.
Rovnica členov geometrickej postupnosti - .
Súčet členov geometrickej postupnosti vypočítané podľa vzorca:
alebo
Ak progresia nekonečne klesá, potom:
No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.
Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!
Teraz to najdôležitejšie.
Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.
Problém je, že to nemusí stačiť...
Prečo?
Za úspešné zloženie skúšky, za prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.
Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...
Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.
Ale to nie je to hlavné.
Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...
Ale zamysli sa nad sebou...
Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?
VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.
Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.
Budete potrebovať riešiť problémy včas.
A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.
Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.
Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!
Môžete využiť naše úlohy (nie je potrebné) a určite ich odporúčame.
Aby ste s pomocou našich úloh mohli pomôcť, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.
ako? Sú dve možnosti:
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
- Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 499 rubľov
Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.
Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.
Na záver...
Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.
„Rozumiem“ a „Viem, ako vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.
Nájdite problémy a riešte ich!
Geometrická progresia je spolu s aritmetikou dôležitým číselným radom, ktorý sa študuje v kurze školskej algebry v 9. ročníku. V tomto článku sa budeme zaoberať menovateľom geometrickej progresie a tým, ako jej hodnota ovplyvňuje jej vlastnosti.
Definícia geometrickej progresie
Na začiatok uvádzame definíciu tohto číselného radu. Geometrická postupnosť je séria racionálnych čísel, ktorá vzniká postupným násobením jej prvého prvku konštantným číslom nazývaným menovateľ.
Napríklad čísla v rade 3, 6, 12, 24, ... sú geometrickou postupnosťou, pretože ak vynásobíme 3 (prvý prvok) 2, dostaneme 6. Ak 6 vynásobíme 2, dostaneme 12 a tak ďalej.
Členy uvažovanej postupnosti sa zvyčajne označujú symbolom ai, kde i je celé číslo označujúce číslo prvku v rade.
Vyššie uvedená definícia progresie môže byť napísaná v jazyku matematiky takto: an = bn-1 * a1, kde b je menovateľ. Je ľahké skontrolovať tento vzorec: ak n = 1, potom b1-1 = 1 a dostaneme a1 = a1. Ak n = 2, potom an = b * a1 a opäť sa dostávame k definícii uvažovaného radu čísel. Podobná úvaha môže pokračovať pre veľké hodnoty n.
Menovateľ geometrickej progresie
Číslo b úplne určuje, aký charakter bude mať celý číselný rad. Menovateľ b môže byť kladný, záporný alebo väčší alebo menší ako jedna. Všetky vyššie uvedené možnosti vedú k rôznym sekvenciám:
- b > 1. Existuje rastúci rad racionálnych čísel. Napríklad 1, 2, 4, 8, ... Ak je prvok a1 záporný, potom sa celá postupnosť zvýši iba modulo, ale zníži sa s prihliadnutím na znamienko čísel.
- b = 1. Takýto prípad sa často nenazýva progresia, pretože existuje obyčajný rad rovnakých racionálnych čísel. Napríklad -4, -4, -4.
Vzorec pre sumu
Predtým, ako pristúpime k úvahám o konkrétnych problémoch pomocou menovateľa typu uvažovanej progresie, mal by sa uviesť dôležitý vzorec pre súčet jej prvých n prvkov. Vzorec je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Tento výraz môžete získať sami, ak vezmete do úvahy rekurzívnu postupnosť členov progresie. Všimnite si tiež, že vo vyššie uvedenom vzorci stačí poznať iba prvý prvok a menovateľ, aby ste našli súčet ľubovoľného počtu členov.
Nekonečne klesajúca sekvencia
Vyššie bolo vysvetlenie, čo to je. Teraz, keď poznáme vzorec pre Sn, aplikujme ho na tento číselný rad. Pretože každé číslo, ktorého modul nepresahuje 1, má sklon k nule, keď sa zvýši na veľké mocniny, to znamená, že b∞ => 0, ak -1
Keďže rozdiel (1 - b) bude vždy kladný, bez ohľadu na hodnotu menovateľa, znamienko súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti S∞ je jednoznačne určené znamienkom jej prvého prvku a1.
Teraz zvážime niekoľko problémov, kde si ukážeme, ako aplikovať získané poznatky na konkrétne čísla.
Úloha číslo 1. Výpočet neznámych prvkov postupu a súčtu
Pri geometrickej postupnosti je menovateľ postupnosti 2 a jej prvý prvok je 3. Aký bude jej 7. a 10. člen a aký je súčet jej siedmich počiatočných prvkov?
Podmienka problému je pomerne jednoduchá a zahŕňa priame použitie vyššie uvedených vzorcov. Na výpočet prvku s číslom n teda použijeme výraz an = bn-1 * a1. Pre 7. prvok máme: a7 = b6 * a1, dosadením známych údajov dostaneme: a7 = 26 * 3 = 192. To isté urobíme pre 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.
Pre súčet použijeme známy vzorec a určíme túto hodnotu pre prvých 7 prvkov série. Máme: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Úloha číslo 2. Určenie súčtu ľubovoľných prvkov postupu
Nech -2 je menovateľ exponenciálneho postupu bn-1 * 4, kde n je celé číslo. Je potrebné určiť súčet od 5. do 10. prvku tohto radu vrátane.
Nastolený problém nemožno vyriešiť priamo pomocou známych vzorcov. Dá sa to vyriešiť 2 rôznymi spôsobmi. Pre úplnosť uvádzame oboje.
Metóda 1. Jej myšlienka je jednoduchá: musíte vypočítať dva zodpovedajúce súčty prvých členov a potom od jedného odpočítať druhý. Vypočítajte menší súčet: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz vypočítame veľkú sumu: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Všimnite si, že v poslednom výraze boli sčítané iba 4 výrazy, keďže 5. je už zahrnutý v súčte, ktorý je potrebné vypočítať podľa stavu problému. Nakoniec vezmeme rozdiel: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
Metóda 2. Pred dosadením čísel a počítaním môžete získať vzorec pre súčet medzi členmi m a n príslušného radu. Postupujeme presne tak, ako pri metóde 1, len najprv pracujeme so symbolickým znázornením súčtu. Máme: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do výsledného výrazu môžete dosadiť známe čísla a vypočítať konečný výsledok: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Úloha číslo 3. Aký je menovateľ?
Nech a1 = 2, nájdite menovateľa geometrickej postupnosti za predpokladu, že jej nekonečný súčet je 3 a je známe, že ide o klesajúci rad čísel.
Podľa stavu problému nie je ťažké uhádnuť, ktorý vzorec by sa mal použiť na jeho vyriešenie. Samozrejme, za súčet nekonečne klesajúcej progresie. Máme: S∞ = a1 / (1 - b). Odkiaľ vyjadrujeme menovateľa: b = 1 - a1 / S∞. Zostáva nahradiť známe hodnoty a získať požadované číslo: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 alebo -0,333 (3). Tento výsledok môžeme kvalitatívne skontrolovať, ak si zapamätáme, že pre tento typ sekvencie modul b nesmie prekročiť hodnotu 1. Ako vidíte, |-1 / 3|
Úloha číslo 4. Obnovenie série čísel
Nech sú dané 2 prvky číselného radu, napríklad 5. sa rovná 30 a 10. sa rovná 60. Z týchto údajov je potrebné obnoviť celý rad s vedomím, že spĺňa vlastnosti geometrickej postupnosti.
Ak chcete problém vyriešiť, musíte si najprv zapísať zodpovedajúci výraz pre každý známy člen. Máme: a5 = b4 * a1 a a10 = b9 * a1. Teraz vydelíme druhý výraz prvým, dostaneme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odtiaľ určíme menovateľa tak, že odmocninu piateho stupňa z podielu členov známych z podmienky úlohy, b = 1,148698. Výsledné číslo dosadíme do jedného z výrazov pre známy prvok, dostaneme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Zistili sme teda, čo je menovateľom progresie bn a geometrickej postupnosti bn-1 * 17,2304966 = an, kde b = 1,148698.
Kde sa používajú geometrické postupnosti?
Ak by neexistovala aplikácia tohto číselného radu v praxi, potom by sa jeho štúdium zredukovalo na čisto teoretický záujem. Ale existuje taká aplikácia.
Nižšie sú uvedené 3 najznámejšie príklady:
- Zenónov paradox, v ktorom agilný Achilles nestíha pomalú korytnačku, je riešený konceptom nekonečne klesajúcej postupnosti čísel.
- Ak sú pšeničné zrná umiestnené na každej bunke šachovnice tak, že 1 zrnko je umiestnené na 1. bunke, 2 - na 2., 3 - na 3. atď., potom bude potrebných 18446744073709551615 zŕn na vyplnenie všetkých buniek doska!
- V hre „Hanojská veža“ je na preskupenie diskov z jednej tyče na druhú potrebné vykonať 2n - 1 operácií, to znamená, že ich počet rastie exponenciálne od počtu použitých diskov n.
Poučenie
10, 30, 90, 270...
Je potrebné nájsť menovateľa geometrickej progresie.
rozhodnutie:
1 možnosť. Zoberme si ľubovoľný člen postupu (napríklad 90) a vydeľme ho predchádzajúcim (30): 90/30=3.
Ak je známy súčet niekoľkých členov geometrickej postupnosti alebo súčet všetkých členov klesajúcej geometrickej postupnosti, potom na nájdenie menovateľa postupnosti použite príslušné vzorce:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kde Sn je súčet prvých n členov geometrickej postupnosti a
S = b1/(1-q), kde S je súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti (súčet všetkých členov postupnosti s menovateľom menším ako jedna).
Príklad.
Prvý člen klesajúcej geometrickej postupnosti sa rovná jednej a súčet všetkých jej členov sa rovná dvom.
Je potrebné určiť menovateľa tejto progresie.
rozhodnutie:
Doplňte údaje z úlohy do vzorca. Získajte:
2=1/(1-q), odkiaľ – q=1/2.
Postupnosť je postupnosť čísel. V geometrickej postupnosti sa každý nasledujúci člen získa vynásobením predchádzajúceho určitým číslom q, ktoré sa nazýva menovateľ postupnosti.
Poučenie
Ak sú známe dva susedné členy geometrickej b(n+1) a b(n), na získanie menovateľa je potrebné vydeliť číslo s veľkým číslom číslom, ktoré mu predchádza: q=b(n +1)/b(n). Vyplýva to z definície progresie a jej menovateľa. Dôležitou podmienkou je, že prvý člen a menovateľ progresie sa nerovnajú nule, inak sa postup považuje za neurčitý.
Medzi členmi postupnosti sú teda vytvorené nasledujúce vzťahy: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. Vzorcom b(n)=b1 q^(n-1) možno vypočítať ľubovoľný člen geometrickej postupnosti, v ktorej je známy menovateľ q a člen b1. Každý modul progresie sa tiež rovná priemeru jeho susedných členov: |b(n)|=√, takže progresia má svoje .
Analógom geometrickej postupnosti je najjednoduchšia exponenciálna funkcia y=a^x, kde x je v exponente, a je nejaké číslo. V tomto prípade sa menovateľ progresie zhoduje s prvým členom a rovná sa číslu a. Hodnotu funkcie y môžeme chápať ako n-tý člen postupnosti, ak argument x berieme ako prirodzené číslo n (počítadlo).
Ďalšia dôležitá vlastnosť geometrickej progresie, ktorá dáva geometrickú progresiu
Toto číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie, to znamená, že každý člen sa líši od predchádzajúceho q-krát. (Budeme predpokladať, že q ≠ 1, inak je všetko príliš triviálne). Je ľahké vidieť, že všeobecný vzorec n-tého člena geometrickej postupnosti je b n = b 1 q n – 1 ; členy s číslami b n a b m sa líšia o q n – m krát.Už v starovekom Egypte poznali nielen aritmetický, ale aj geometrický postup. Tu je napríklad úloha z Rhindovho papyrusu: „Sedem tvárí má sedem mačiek; každá mačka zje sedem myší, každá myš zje sedem klasov kukurice, z každého klasu vyrastie sedem meríc jačmeňa. Aké veľké sú čísla v tomto rade a ich súčet?
 |
|
Ryža. 1. Problém geometrickej postupnosti starovekého Egypta |
Táto úloha sa opakovala mnohokrát s rôznymi obmenami medzi inými národmi inokedy. Napríklad v písomnej forme v XIII storočia. „Kniha počítadla“ od Leonarda z Pisy (Fibonacci) má problém, v ktorom sa na ceste do Ríma objavuje 7 starých žien (samozrejme pútnikov), z ktorých každá má 7 mulíc, z ktorých každá má 7 vriec, z ktorých každá obsahuje 7 chlebov, z ktorých každý má 7 nožov, z ktorých každý je v 7 pošvách. Problém sa pýta, koľko položiek je tam.
Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Tento vzorec možno dokázať napríklad takto: Sn \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Pridajme číslo b 1 q n k S n a dostaneme:
|
Preto S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) a dostaneme potrebný vzorec.
Už na jednej z hlinených tabuliek starovekého Babylonu, ktoré sa datujú do VI. storočia. pred Kr obsahuje súčet 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Je pravda, že ako v mnohých iných prípadoch, nevieme, odkiaľ bola táto skutočnosť Babylončanom známa. .
Rýchly rast geometrickej progresie v mnohých kultúrach, najmä v Indii, sa opakovane používa ako jasný symbol nesmiernosti vesmíru. V známej legende o vzhľade šachu dáva vládca ich vynálezcovi možnosť, aby si sám vybral odmenu a žiadal taký počet pšeničných zŕn, aké sa získajú, ak sa jedno umiestni na prvé políčko šachovnice. , dva na druhom, štyri na treťom, osem na štvrtom atď., zakaždým, keď sa číslo zdvojnásobí. Vladyka si myslel, že je to nanajvýš pár vriec, ale prerátal sa. Je ľahké vidieť, že za všetkých 64 polí na šachovnici mal vynálezca dostať (2 64 - 1) zrno, ktoré je vyjadrené ako 20-miestne číslo; aj keby bol zasiaty celý povrch Zeme, nazbieranie potrebného množstva zŕn by trvalo minimálne 8 rokov. Táto legenda je niekedy interpretovaná ako odkaz na takmer neobmedzené možnosti skryté v šachovej hre.
Skutočnosť, že toto číslo je skutočne 20-miestne, je ľahko vidieť:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (presnejší výpočet dáva 1,84 10 19). Zaujímalo by ma však, či môžete zistiť, akou číslicou toto číslo končí?
Geometrická progresia je rastúca, ak je menovateľ väčší ako 1 v absolútnej hodnote, alebo klesajúca, ak je menšia ako jedna. V druhom prípade sa číslo q n môže stať ľubovoľne malým pre dostatočne veľké n. Zatiaľ čo rastúca exponenciála rastie nečakane rýchlo, klesajúca exponenciála klesá rovnako rýchlo.
Čím väčšie n, tým slabšie sa číslo q n líši od nuly a čím bližšie je súčet n členov geometrickej progresie S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) k číslu S \u003d b 1 / (1 - q). (Takto to zdôvodnil napríklad F. Viet). Číslo S sa nazýva súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti. Avšak po mnoho storočí otázka, aký je význam súčtu VŠETKÝCH geometrických postupov s nekonečným počtom pojmov, nebola matematikom dostatočne jasná.
Klesajúcu geometrickú progresiu možno vidieť napríklad v Zenónových apóriách „Hrýzanie“ a „Achilles a korytnačka“. V prvom prípade je jasne ukázané, že celá cesta (predpokladajme dĺžku 1) je súčtom nekonečného počtu segmentov 1/2, 1/4, 1/8 atď. Takto to, samozrejme, z pohľadu predstáv o konečnom súčte nekonečnej geometrickej postupnosti. A predsa - ako je to možné?
|
Ryža. 2. Progresia s faktorom 1/2 |
V apórii o Achillovi je situácia trochu komplikovanejšia, pretože tu sa menovateľ postupu nerovná 1/2, ale nejakému inému číslu. Nech napríklad Achilles beží rýchlosťou v, korytnačka sa pohybuje rýchlosťou u a počiatočná vzdialenosť medzi nimi je l. Achilles prejde túto vzdialenosť za čas l / v , korytnačka sa za tento čas posunie o vzdialenosť lu / v. Keď Achilles prebehne týmto segmentom, vzdialenosť medzi ním a korytnačkou sa bude rovnať l (u / v) 2 atď. Ukazuje sa, že dobehnúť korytnačku znamená nájsť súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie s prvou výraz l a menovateľ u / v. Tento súčet - segment, ktorý Achilles nakoniec prebehne k bodu stretnutia s korytnačkou - sa rovná l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Ale opäť, ako by sa mal tento výsledok interpretovať a prečo má vôbec zmysel, nebolo dlho jasné.
|
Ryža. 3. Geometrická progresia s koeficientom 2/3 |
Súčet geometrickej progresie použil Archimedes pri určovaní plochy segmentu paraboly. Nech je daný úsek paraboly ohraničený tetivou AB a dotyčnica v bode D paraboly nech je rovnobežná s AB . Nech C je stred AB , E stred AC , F stred CB . Nakreslite čiary rovnobežné s DC cez body A, E, F, B; nech je dotyčnica nakreslená v bode D , tieto čiary sa pretínajú v bodoch K , L , M , N . Nakreslíme aj segmenty AD a DB. Nech priamka EL pretína priamku AD v bode G a parabolu v bode H; priamka FM pretína priamku DB v bode Q a parabolu v bode R. Podľa všeobecnej teórie kužeľosečiek je DC priemer paraboly (to je úsečka rovnobežná s jej osou); ona a dotyčnica v bode D môžu slúžiť ako súradnicové osi x a y, v ktorých je rovnica paraboly zapísaná ako y 2 \u003d 2px (x je vzdialenosť od D k akémukoľvek bodu daného priemeru, y je dĺžka a segment rovnobežný s danou dotyčnicou z tohto bodu priemeru do nejakého bodu na samotnej parabole).
Na základe parabolickej rovnice je DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , a keďže DK = 2DL , potom KA = 4LH . Pretože KA = 2LG, LH = HG. Plocha segmentu ADB paraboly sa rovná ploche trojuholníka ΔADB a kombinovaným plochám segmentov AHD a DRB. Na druhej strane plocha segmentu AHD sa podobne rovná ploche trojuholníka AHD a zvyšným segmentom AH a HD, s každým z nich je možné vykonať rovnakú operáciu - rozdeliť na trojuholník (Δ) a dva zostávajúce segmenty () atď.:
Plocha trojuholníka ΔAHD sa rovná polovici plochy trojuholníka ΔALD (majú spoločnú základňu AD a výšky sa líšia 2-krát), čo sa zase rovná polovici plochy trojuholník ΔAKD, a teda polovicu plochy trojuholníka ΔACD. Plocha trojuholníka ΔAHD sa teda rovná štvrtine plochy trojuholníka ΔACD. Podobne plocha trojuholníka ΔDRB sa rovná štvrtine plochy trojuholníka ΔDFB. Plochy trojuholníkov ∆AHD a ∆DRB sa teda spolu rovnajú štvrtine plochy trojuholníka ∆ADB. Opakovaním tejto operácie aplikovanej na segmenty AH, HD, DR a RB sa z nich vyberú aj trojuholníky, ktorých plocha bude spolu 4-krát menšia ako plocha trojuholníkov ΔAHD a ΔDRB, spolu, a teda 16-krát menej, ako je plocha trojuholníka ΔADB . Atď:
Archimedes teda dokázal, že „každý segment uzavretý medzi priamkou a parabolou sú štyri tretiny trojuholníka, ktorý má rovnakú základňu a rovnakú výšku ako ona“.
ČÍSELNÉ POSTUPNOSTI VI
§ l48. Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie
Doteraz sme pri sumách vždy predpokladali, že počet členov v týchto sumách je konečný (napríklad 2, 15, 1000 atď.). Ale pri riešení niektorých úloh (najmä vyššej matematiky) sa človek musí vysporiadať so súčtom nekonečného množstva pojmov
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Aké sú tieto sumy? A-priorstvo súčet nekonečného počtu členov a 1 , a 2 , ..., a n , ... sa nazýva hranica sumy S n najprv P čísla kedy P -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Limit (2) samozrejme môže alebo nemusí existovať. Podľa toho sa o sume (1) hovorí, že existuje alebo neexistuje.
Ako zistiť, či v každom konkrétnom prípade existuje súčet (1)? Všeobecné riešenie tejto otázky ďaleko presahuje rámec nášho programu. Je tu však jeden dôležitý špeciálny prípad, ktorý teraz musíme zvážiť. Budeme hovoriť o sčítaní členov nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti.
Nechať byť a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... je nekonečne klesajúca geometrická postupnosť. To znamená, že | q |< 1. Сумма первых P členov tejto progresie sa rovná
Zo základných viet o limitách premenných (pozri § 136) dostaneme:
Ale 1 = 1, a q n = 0. Preto
Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie sa teda rovná prvému členu tohto postupu vydelenému jednou mínus menovateľ tohto postupu.
1) Súčet geometrickej postupnosti 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je
a súčet geometrickej postupnosti je 12; -6; 3; - 3/2, ... sa rovná
2) Jednoduchý periodický zlomok 0,454545 ... sa zmení na obyčajný.
Aby sme tento problém vyriešili, predstavujeme tento zlomok ako nekonečný súčet:
Pravá strana tejto rovnosti je súčtom nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti, ktorej prvý člen je 45/100 a menovateľ je 1/100. Takže
Opísaným spôsobom možno získať aj všeobecné pravidlo premeny jednoduchých periodických zlomkov na obyčajné zlomky (pozri kapitolu II § 38):
Ak chcete previesť jednoduchý periodický zlomok na obyčajný, musíte postupovať nasledovne: do čitateľa vložte obdobie desatinného zlomku a do menovateľa - číslo pozostávajúce z deviatich, koľkokrát je číslic v tomto období. desatinného zlomku.
3) Zmiešaný periodický zlomok 0,58333 .... premeniť na obyčajný zlomok.
Predstavme si tento zlomok ako nekonečný súčet:
Na pravej strane tejto rovnosti tvoria všetky členy počnúc 3/1000 nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť, ktorej prvý člen je 3/1000 a menovateľ je 1/10. Takže
Opísaným spôsobom možno získať aj všeobecné pravidlo premeny zmiešaných periodických frakcií na bežné frakcie (pozri kapitolu II, § 38). Zámerne ho sem nezaraďujeme. Toto ťažkopádne pravidlo sa netreba učiť naspamäť. Je oveľa užitočnejšie vedieť, že akýkoľvek zmiešaný periodický zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie a nejakého čísla. A vzorec
na súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie si treba, samozrejme, pamätať.
Ako cvičenie vás pozývame, aby ste sa okrem nižšie uvedených problémov č.995-1000 ešte raz obrátili na problém č.301 § 38.
Cvičenia
995. Ako sa nazýva súčet nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti?
996. Nájdite súčty nekonečne klesajúcich geometrických postupností:
997. Za aké hodnoty X progresie
nekonečne klesá? Nájdite súčet takejto progresie.
998. V rovnostrannom trojuholníku so stranou a nový trojuholník je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto trojuholníka sa rovnakým spôsobom vpíše nový trojuholník a tak ďalej do nekonečna.
a) súčet obvodov všetkých týchto trojuholníkov;
b) súčet ich plôch.
999. Vo štvorci so stranou a nový štvorec je vpísaný spojením stredov jeho strán; do tohto štvorca sa rovnakým spôsobom vpíše štvorec a tak ďalej do nekonečna. Nájdite súčet obvodov všetkých týchto štvorcov a súčet ich plôch.
1000. Urobte nekonečne klesajúcu geometrickú postupnosť tak, aby sa jej súčet rovnal 25/4 a súčet druhých mocnín jej členov sa rovnal 625/24.