Zadané 4 body nájdite zmiešaný súčin vektorov. Krížový súčin vektorov
Označenie: abc.
Vymenovanie. Online kalkulačka je určená na výpočet zmiešaného súčinu vektorov. Výsledné riešenie sa uloží do súboru programu Word. Okrem toho sa v Exceli vytvorí šablóna riešenia.
Známky porovnávania vektorov
Tri vektory (alebo viac) sa považujú za koplanárne, ak po redukcii na spoločný počiatok ležia v rovnakej rovine.Ak je aspoň jeden z troch vektorov nula, potom sa tieto tri vektory tiež považujú za koplanárne.
Znak koplanarity. Ak je systém a, b, c správny, potom abc>0 ; ak vľavo, tak abc Geometrický význam zmiešaného produktu. Zmiešaný súčin abc troch nekoplanárnych vektorov a, b, c sa rovná objemu rovnobežnostenu postaveného na vektoroch a, b, c so znamienkom plus, ak je systém a, b, c správny a so znamienkom mínus, ak je tento systém ponechaný.
Vlastnosti zmiešaného produktu
- Pri kruhovej permutácii faktorov sa zmiešaný súčin nemení, pri permutácii dvoch faktorov obráti svoje znamienko: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
Vyplýva to z geometrického významu. - (a+b)cd=acd+bcd (distributívna vlastnosť). Rozširuje sa na ľubovoľný počet termínov.
Vyplýva to z definície zmiešaného produktu. - (ma)bc=m(abc) (asociatívna vlastnosť vzhľadom na skalárny faktor).
Vyplýva to z definície zmiešaného produktu. Tieto vlastnosti umožňujú aplikovať transformácie na zmiešané produkty, ktoré sa líšia od bežných algebraických len tým, že poradie faktorov možno meniť len s prihliadnutím na znamienko súčinu. - Zmiešaný produkt, ktorý má aspoň dva rovnaké faktory, sa rovná nule: aab=0 .
Príklad č. 1. Nájdite zmiešaný produkt. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.
Príklad č. 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Všetky členy, okrem dvoch extrémnych, sa rovnajú nule. Tiež bca=abc . Preto (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.
Príklad č. 3. Vypočítajte zmiešaný súčin troch vektorov a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Riešenie. Na výpočet zmiešaného súčinu vektorov je potrebné nájsť determinant systému zložený zo súradníc vektorov. Systém zapíšeme do formulára
V tejto lekcii sa pozrieme na ďalšie dve operácie s vektormi: krížový súčin vektorov a zmiešaný súčin vektorov (okamžitý odkaz pre tých, ktorí to potrebujú). Nevadí, občas sa stane, že pre úplné šťastie sa navyše bodový súčin vektorov, je potrebné stále viac a viac. Taká je vektorová závislosť. Niekto môže mať dojem, že sa dostávame do džungle analytickej geometrie. To nie je pravda. V tejto sekcii vyššej matematiky je vo všeobecnosti málo palivového dreva, možno až dosť na Pinocchia. V skutočnosti je materiál veľmi bežný a jednoduchý - sotva ťažší ako rovnaký skalárny produkt, dokonca bude menej typických úloh. Hlavnou vecou v analytickej geometrii, ako mnohí uvidia alebo už videli, je NEMÝLIŤ SA VÝPOČTOV. Opakujte ako kúzlo a budete šťastní =)
Ak sa vektory lesknú niekde ďaleko, ako blesky na obzore, nevadí, začnite lekciou Vektory pre figuríny obnoviť alebo znovu získať základné vedomosti o vektoroch. Pripravenejší čitatelia sa môžu s informáciami zoznámiť selektívne, snažil som sa zhromaždiť čo najkompletnejšiu zbierku príkladov, ktoré sa často nachádzajú v praktickej práci
Čo ti urobí radosť? Keď som bol malý, vedel som žonglovať s dvoma a dokonca aj s tromi loptičkami. Dopadlo to dobre. Teraz nie je potrebné vôbec žonglovať, pretože zvážime iba priestorové vektory a ploché vektory s dvomi súradnicami budú vynechané. prečo? Takto sa zrodili tieto akcie – vektor a zmiešaný súčin vektorov sú definované a fungujú v trojrozmernom priestore. Už jednoduchšie!
V tejto operácii, rovnakým spôsobom ako v skalárnom súčine, dva vektory. Nech sú to nezničiteľné písmená.
Samotná akcia označené nasledujúcim spôsobom: . Sú aj iné možnosti, ale ja som zvyknutý takto označovať krížový súčin vektorov v hranatých zátvorkách krížikom.
A hneď otázka: ak je v bodový súčin vektorov sú zapojené dva vektory a tu sú teda dva vektory tiež znásobené v čom je rozdiel? Jasný rozdiel predovšetkým vo VÝSLEDKU:
Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je ČÍSLO:
Výsledkom krížového súčinu vektorov je VEKTOR: , čiže vektory vynásobíme a opäť dostaneme vektor. Uzavretý klub. Odtiaľ vlastne pochádza aj názov operácie. V rôznej náučnej literatúre sa môžu aj označenia líšiť, ja použijem písmeno .
Definícia krížového produktu
Najprv bude definícia s obrázkom, potom komentáre.
Definícia: krížový produkt nekolineárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa nazýva VEKTOR, dĺžkačo je číselne rovná ploche rovnobežníka, postavené na týchto vektoroch; vektor ortogonálne k vektorom a je nasmerovaný tak, aby základ mal správnu orientáciu: 
Rozoberáme definíciu podľa kostí, je tam veľa zaujímavých vecí!
Môžeme teda zdôrazniť nasledujúce dôležité body:
1) Zdrojové vektory označené červenými šípkami podľa definície nie kolineárne. O niečo neskôr bude vhodné zvážiť prípad kolineárnych vektorov.
2) Nasnímané vektory v prísnom poradí: – "a" sa vynásobí "byť", nie "byť" na "a". Výsledok násobenia vektorov je VEKTOR , ktorý je označený modrou farbou. Ak sa vektory vynásobia v opačnom poradí, dostaneme vektor rovnakej dĺžky a opačného smeru (karmínová farba). Teda rovnosť 
.
3) Teraz sa zoznámime s geometrickým významom vektorového súčinu. Toto je veľmi dôležitý bod! DĹŽKA modrého vektora (a teda karmínového vektora ) sa číselne rovná PLOHE rovnobežníka postaveného na vektoroch . Na obrázku je tento rovnobežník vytieňovaný čiernou farbou.
Poznámka : výkres je schematický a, samozrejme, nominálna dĺžka krížového produktu sa nerovná ploche rovnobežníka.
Pripomíname si jeden z geometrických vzorcov: plocha rovnobežníka sa rovná súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi. Preto na základe vyššie uvedeného platí vzorec na výpočet DĹŽKY vektorového súčinu:
Zdôrazňujem, že vo vzorci hovoríme o DĹŽKE vektora, a nie o vektore samotnom. Aký je praktický význam? A význam je taký, že v problémoch analytickej geometrie sa oblasť rovnobežníka často nachádza prostredníctvom konceptu vektorového produktu:
Dostávame druhý dôležitý vzorec. Uhlopriečka rovnobežníka (červená bodkovaná čiara) ho rozdeľuje na dva rovnaké trojuholníky. Preto oblasť trojuholníka postavená na vektoroch (červené tieňovanie) možno nájsť podľa vzorca:
4) Nemenej dôležitým faktom je, že vektor je ortogonálny k vektorom, tj 
. Samozrejme, opačne orientovaný vektor (karmínová šípka) je tiež ortogonálny k pôvodným vektorom.
5) Vektor smeruje tak, že základ Má správny orientácia. V lekcii o prechod na nový základ Hovoril som podrobne o rovinná orientácia a teraz zistíme, aká je orientácia priestoru. Vysvetlím na vašich prstoch pravá ruka. Mentálne spojiť ukazovák s vektorom a prostredník s vektorom. Prstenník a malíček zatlačte do dlane. Ako výsledok palec- vektorový súčin sa vyhľadá. Toto je správne orientovaný základ (je na obrázku). Teraz vymeňte vektory ( ukazovákom a prostredníkom) v dôsledku toho sa na niektorých miestach palec otočí a vektorový produkt sa už bude pozerať nadol. To je tiež správne orientovaný základ. Možno máte otázku: aký základ má ľavicová orientácia? "Priraďte" rovnaké prsty ľavá ruka vectors a získajte ľavú základňu a orientáciu ľavého priestoru (v tomto prípade bude palec umiestnený v smere spodného vektora). Obrazne povedané, tieto základy „krútia“ alebo orientujú priestor rôznymi smermi. A tento koncept by sa nemal považovať za niečo pritiahnuté za vlasy alebo abstraktné - napríklad najbežnejšie zrkadlo mení orientáciu priestoru a ak „vytiahnete odrazený predmet zo zrkadla“, vo všeobecnosti to nebude možné. skombinujte ho s „originálom“. Mimochodom, priložte tri prsty k zrkadlu a analyzujte odraz ;-)
... aké je dobré, že o tom teraz viete orientované vpravo a vľavo základy, lebo vyjadrenia niektorých lektorov o zmene orientácie sú hrozné =)
Vektorový súčin kolineárnych vektorov
Definícia bola podrobne vypracovaná, zostáva zistiť, čo sa stane, keď sú vektory kolineárne. Ak sú vektory kolineárne, potom môžu byť umiestnené na jednej priamke a náš rovnobežník sa tiež „zloží“ do jednej priamky. Oblasť takých, ako hovoria matematici, degenerovať rovnobežník je nulový. To isté vyplýva zo vzorca - sínus nuly alebo 180 stupňov sa rovná nule, čo znamená, že plocha je nula
Teda ak , tak 
. Prísne vzaté, samotný krížový súčin sa rovná nulovému vektoru, ale v praxi sa to často zanedbáva a píše sa, že sa jednoducho rovná nule.
Špeciálnym prípadom je vektorový súčin vektora a samotného:
Pomocou krížového súčinu môžete skontrolovať kolinearitu trojrozmerných vektorov a okrem iného budeme analyzovať aj tento problém.
Na riešenie praktických príkladov to môže byť potrebné trigonometrická tabuľka nájsť z neho hodnoty sínusov.
No, založme oheň:
Príklad 1
a) Nájdite dĺžku vektorového súčinu vektorov ak 
b) Nájdite oblasť rovnobežníka postaveného na vektoroch, ak 
Riešenie: Nie, toto nie je preklep, zámerne som urobil počiatočné údaje v položkách podmienky rovnaké. Pretože dizajn riešení bude iný!
a) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť dĺžka vektor (vektorový súčin). Podľa zodpovedajúceho vzorca:
Odpoveď:
Keďže sa pýtali na dĺžku, tak v odpovedi uvádzame rozmer - jednotky.
b) Podľa stavu sa vyžaduje nájsť námestie rovnobežník postavený na vektoroch. Plocha tohto rovnobežníka sa číselne rovná dĺžke krížového produktu:
Odpoveď:
Upozorňujeme, že v odpovedi o vektorovom produkte sa vôbec nehovorí, na čo sa nás pýtali oblasť postavy, respektíve, rozmer je štvorcových jednotiek.
Vždy sa pozrieme na to, ČO sa má podľa podmienky nájsť, a na základe toho formulujeme jasný odpoveď. Môže sa to zdať ako doslovnosť, ale doslovníkov je medzi učiteľmi dosť a úloha s dobrými šancami sa vráti na prepracovanie. Aj keď to nie je obzvlášť napätá hnidopicha - ak je odpoveď nesprávna, potom má človek dojem, že človek nerozumie jednoduchým veciam a / alebo sa neponoril do podstaty úlohy. Tento moment treba mať vždy pod kontrolou, riešiť akýkoľvek problém vo vyššej matematike, ale aj v iných predmetoch.
Kde sa stratilo veľké písmeno „en“? V zásade by sa to dalo dodatočne prilepiť k riešeniu, ale v záujme skrátenia záznamu som to neurobil. Dúfam, že to každý chápe a je to označenie toho istého.
Populárny príklad riešenia „urob si sám“:
Príklad 2
Nájdite oblasť trojuholníka postaveného na vektoroch, ak 
Vzorec na nájdenie oblasti trojuholníka cez vektorový produkt je uvedený v komentároch k definícii. Riešenie a odpoveď na konci hodiny.
V praxi je úloha naozaj veľmi bežná, trojuholníky sa dajú vo všeobecnosti mučiť.
Na vyriešenie iných problémov potrebujeme:
Vlastnosti krížového súčinu vektorov
Niektoré vlastnosti vektorového súčinu sme už zvážili, zahrniem ich však do tohto zoznamu.
Pre ľubovoľné vektory a ľubovoľné číslo platia nasledujúce vlastnosti:
1) V iných zdrojoch informácií sa táto položka zvyčajne nerozlišuje vo vlastnostiach, ale z praktického hľadiska je veľmi dôležitá. Tak nech je.
2) 
- o majetku sa hovorí aj vyššie, niekedy je tzv antikomutatívnosť. Inými slovami, na poradí vektorov záleží.
3) - kombinácia resp asociatívne zákony o vektorových produktoch. Konštanty sú ľahko vyňaté z limitov vektorového súčinu. Ozaj, čo tam robia?
4) - distribúcia resp distribúcia zákony o vektorových produktoch. Problémy nie sú ani s otváraním držiakov.
Ako ukážku zvážte krátky príklad:
Príklad 3
Nájdite ak 
Riešenie: Podľa podmienky je opäť potrebné nájsť dĺžku vektorového súčinu. Namaľujeme si našu miniatúru: 
(1) Podľa asociatívnych zákonov vyberáme konštanty za hranice vektorového súčinu.
(2) Vyberieme konštantu z modulu, zatiaľ čo modul „žerie“ znamienko mínus. Dĺžka nemôže byť záporná.
(3) Čo nasleduje, je jasné.
Odpoveď: 
Je čas hodiť drevo do ohňa:
Príklad 4
Vypočítajte obsah trojuholníka postaveného na vektoroch, ak 
Riešenie: Nájdite oblasť trojuholníka pomocou vzorca 
. Háčik je v tom, že samotné vektory „ce“ a „te“ sú reprezentované ako súčty vektorov. Algoritmus je tu štandardný a trochu pripomína príklady č. 3 a 4 z lekcie. Bodový súčin vektorov. Pre prehľadnosť si to rozložme do troch krokov:
1) V prvom kroku vyjadríme vektorový produkt prostredníctvom vektorového produktu, v skutočnosti, vyjadriť vektor v termínoch vektora. O dĺžke zatiaľ nepadlo ani slovo!
(1) Dosadíme výrazy vektorov .
(2) Pomocou distributívnych zákonov otvárame zátvorky podľa pravidla násobenia polynómov.
(3) Pomocou asociatívnych zákonov odstránime všetky konštanty za vektorovými súčinmi. S malými skúsenosťami je možné vykonať akcie 2 a 3 súčasne.
(4) Prvý a posledný člen sa rovnajú nule (nulový vektor) kvôli príjemnej vlastnosti . V druhom termíne používame vlastnosť antikomutativity vektorového produktu:
(5) Uvádzame podobné výrazy.
V dôsledku toho sa ukázalo, že vektor je vyjadrený prostredníctvom vektora, čo bolo potrebné na dosiahnutie: 
2) V druhom kroku nájdeme dĺžku vektorového súčinu, ktorý potrebujeme. Táto akcia je podobná ako v príklade 3: 
3) Nájdite oblasť požadovaného trojuholníka: 
Kroky 2-3 riešenia by mohli byť usporiadané v jednej línii.
Odpoveď:
Uvažovaný problém je v testoch celkom bežný, tu je príklad nezávislého riešenia:
Príklad 5
Nájdite ak
Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny. Pozrime sa, akí pozorní ste boli pri štúdiu predchádzajúcich príkladov ;-)
Krížový súčin vektorov v súradniciach
uvedené na ortonormálnom základe , sa vyjadruje vzorcom:
Vzorec je naozaj jednoduchý: súradnicové vektory napíšeme do horného riadku determinantu, súradnice vektorov „zabalíme“ do druhého a tretieho riadku a dáme v prísnom poradí- najprv súradnice vektora "ve", potom súradnice vektora "double-ve". Ak je potrebné vynásobiť vektory v inom poradí, riadky by sa mali tiež vymeniť: 
Príklad 10
Skontrolujte, či sú nasledujúce priestorové vektory kolineárne:
a)
b) 
Riešenie: Test je založený na jednom z tvrdení v tejto lekcii: ak sú vektory kolineárne, ich krížový súčin je nula (nulový vektor): 
.
a) Nájdite vektorový produkt: 
Takže vektory nie sú kolineárne.
b) Nájdite vektorový súčin: 
Odpoveď: a) nie kolineárne, b)
Tu sú snáď všetky základné informácie o vektorovom súčine vektorov.
Táto časť nebude príliš veľká, pretože existuje len málo problémov, kde sa používa zmiešaný súčin vektorov. V skutočnosti bude všetko spočívať na definícii, geometrickom význame a niekoľkých pracovných vzorcoch.
Zmiešaný súčin vektorov je súčinom troch vektorov:
Takto sa zoradili ako vlak a čakajú, nevedia sa dočkať, kým sa spočítajú.
Najprv opäť definícia a obrázok:
Definícia: Zmiešaný produkt nekoplanárne vektory, prijaté v tomto poradí, sa volá objem rovnobežnostena, postavené na týchto vektoroch, vybavené znamienkom „+“, ak je základ pravý, a znamienkom „-“, ak je základ ľavý.
Urobme kresbu. Pre nás neviditeľné čiary sú nakreslené bodkovanou čiarou: 
Poďme sa ponoriť do definície:
2) Nasnímané vektory v určitom poradí, to znamená, že permutácia vektorov v produkte, ako by ste mohli hádať, nezostane bez následkov.
3) Pred komentovaním geometrického významu si všimnem zrejmú skutočnosť: zmiešaný súčin vektorov je ČÍSLO: . Vo vzdelávacej literatúre môže byť dizajn trochu odlišný, zvykol som označovať zmiešaný produkt a výsledok výpočtov písmenom „pe“.
Podľa definície zmiešaným produktom je objem kvádra, postavený na vektoroch (postava je nakreslená červenými vektormi a čiernymi čiarami). To znamená, že číslo sa rovná objemu daného rovnobežnostena.
Poznámka : Výkres je schematický.
4) Nezaťažujme sa opäť pojmom orientácia základne a priestoru. Význam záverečnej časti je, že k objemu možno pridať znamienko mínus. Zjednodušene povedané, zmiešaný produkt môže byť negatívny: .
Vzorec na výpočet objemu kvádra postaveného na vektoroch priamo vyplýva z definície.
Ak chcete túto tému podrobne zvážiť, musíte pokryť niekoľko ďalších častí. Téma priamo súvisí s pojmami ako bodka a krížový súčin. V tomto článku sme sa pokúsili poskytnúť presnú definíciu, uviesť vzorec, ktorý pomôže určiť produkt pomocou súradníc vektorov. Okrem toho článok obsahuje časti uvádzajúce vlastnosti diela a predstavuje podrobnú analýzu typických rovností a problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Termín
Aby ste určili, čo je tento pojem, musíte vziať tri vektory.
Definícia 1
zmiešaný produkt a → , b → a d → je hodnota, ktorá sa rovná bodovému súčinu a → × b → a d → , kde a → × b → je násobenie a → a b → . Operácia násobenia a → , b → a d → sa často označuje a → · b → · d → . Vzorec môžete transformovať takto: a → b → d → = (a → × b → , d →) .
Násobenie v súradnicovom systéme
Vektory môžeme násobiť, ak sú špecifikované v súradnicovej rovine.
Vezmite i → , j → , k →
Súčin vektorov v tomto konkrétnom prípade bude mať nasledujúci tvar: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →
Definícia 2
Ak chcete vykonať bodový produkt v súradnicovom systéme musíte sčítať výsledky získané pri násobení súradníc.
Preto:
a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →
Môžeme tiež definovať zmiešaný súčin vektorov, ak sú v danom súradnicovom systéme špecifikované súradnice vektorov, ktoré sa násobia.
a → × b → = (a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → , d x i → + d y j → + d z k →) = = a y a z b y b z d x - a x a z b x b z d x a z b y d x y d x y d x d x d x y
Dá sa teda dospieť k záveru, že:
a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
Definícia 3
Zmiešaný produkt možno prirovnať na determinant matice, ktorej riadky sú vektorové súradnice. Vizuálne to vyzerá takto: a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
Vlastnosti operácií s vektormi Z vlastností, ktoré vynikajú v skalárnom alebo vektorovom súčine, môžete odvodiť vlastnosti, ktoré charakterizujú zmiešaný súčin. Nižšie uvádzame hlavné vlastnosti.
- (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R;
- a → b → d → = d → a → b → = b → d → a → ; a → d → b → = b → a → d → = d → b → a → ;
- (a (1) → + a (2) →) b → d → = a (1) → b → d → + a (2) → b → d → a → (b(1 ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →
Okrem vyššie uvedených vlastností by sa malo objasniť, že ak je faktor nula, potom výsledok násobenia bude tiež nula.
Výsledok násobenia bude tiež nula, ak sú dva alebo viac faktorov rovnakých.
V skutočnosti, ak a → = b → , potom podľa definície vektorového produktu [ a → × b → ] = a → b → sin 0 = 0 sa zmiešaný produkt rovná nule, pretože ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .
Ak a → = b → alebo b → = d → , potom sa uhol medzi vektormi [ a → × b → ] a d → rovná π 2 . Podľa definície skalárneho súčinu vektorov ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .
Vlastnosti operácie násobenia sa najčastejšie vyžadujú pri riešení problémov.
Aby sme túto tému mohli podrobne analyzovať, uveďme si niekoľko príkladov a podrobne ich opíšme.
Príklad 1
Dokážte rovnosť ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , kde λ je nejaké reálne číslo.
Aby sme našli riešenie tejto rovnosti, je potrebné transformovať jej ľavú stranu. Na to musíte použiť tretiu vlastnosť zmiešaného produktu, ktorá znie:
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Analyzovali sme, že (([ a → × b → ] , b →) = 0 . Z toho vyplýva, že
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)
Podľa prvej vlastnosti ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) a ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . Teda ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) . Preto,
([ a ⇀ × b ⇀ ] , d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →)
Rovnosť bola preukázaná.
Príklad 2
Je potrebné dokázať, že modul zmiešaného súčinu troch vektorov nie je väčší ako súčin ich dĺžok.
Riešenie
Na základe podmienky môžeme príklad znázorniť ako nerovnosť a → × b → , d → ≤ a → b → d → .
Podľa definície transformujeme nerovnosť a → × b → , d → = a → × b → d → cos (a → × b → ^ , d →) = = a → b → sin (a → , b → ^) d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)
Pomocou elementárnych funkcií môžeme usúdiť, že 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1 , 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ] , d →) ≤ 1 .
Z toho možno usudzovať, že
(a → × b → , d →) = a → b → hriech (a → , b →) ^ d → cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → b → 1 d → 1 = a → b → d →
Nerovnosť bola preukázaná.
Analýza typických úloh
Aby sme mohli určiť, aký je súčin vektorov, musíme poznať súradnice vynásobených vektorov. Na operáciu môžete použiť nasledujúci vzorec a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
Príklad 3
V pravouhlom súradnicovom systéme sú 3 vektory s nasledujúcimi súradnicami: a → = (1 , - 2 , 3) , b → (- 2, 2, 1) , d → = (3, - 2, 5 ). Je potrebné určiť, čomu sa rovná súčin označených vektorov a → · b → · d →.
Na základe vyššie uvedenej teórie môžeme použiť pravidlo, ktoré hovorí, že zmiešaný produkt možno vypočítať z hľadiska maticového determinantu. Bude to vyzerať takto: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7
Príklad 4
Je potrebné nájsť súčin vektorov i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 k → , kde i → , j → , k → sú jednotkové vektory pravouhlého Kartézsky súradnicový systém.
Na základe podmienky, že sa vektory nachádzajú v danom súradnicovom systéme, môžeme odvodiť ich súradnice: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → - k → = (1 , 1 , - 1 ) i → + j → + 2 k → = (1 , 1 , 2)
Použite vzorec uvedený vyššie
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0
Je tiež možné definovať zmiešaný produkt pomocou dĺžky vektora, ktorá je už známa, a uhla medzi nimi. Analyzujme túto tézu na príklade.
Príklad 5
V pravouhlom súradnicovom systéme existujú tri vektory a → , b → a d →, ktoré sú na seba kolmé. Sú to pravé trojky a ich dĺžky sú 4 , 2 a 3 . Musíme vynásobiť vektory.
Označme c → = a → × b → .
Podľa pravidla je výsledkom násobenia skalárnych vektorov číslo, ktoré sa rovná výsledku násobenia dĺžok použitých vektorov kosínusom uhla medzi nimi. Dospeli sme k záveru, že a → b → d → = ([ a → × b → ] , d →) = c → , d → = c → d → cos (c → , d → ^) .
Použijeme dĺžku vektora d → zadanú v príklade podmienky: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Je potrebné definovať c → a c → , d → ^ . Podmienkou a → , b → ^ = π 2 , a → = 4 , b → = 2 . Vektor c → nájdeme pomocou vzorca: c → = [ a → × b → ] = a → b → sin a → , b → ^ = 4 2 sin π 2 = 8
Dá sa usúdiť, že c → je kolmé na a → a b → . Vektory a → , b → , c → budú správne trojité, preto sa používa karteziánsky súradnicový systém. Vektory c → a d → budú jednosmerné, teda c → , d → ^ = 0 . Pomocou odvodených výsledkov riešime príklad a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .
a → · b → · d → = 24 .
Používame faktory a → , b → a d → .
Vektory a → , b → a d → pochádzajú z rovnakého bodu. Používame ich ako boky na stavbu postavy.
Označte, že c → = [ a → × b → ] . Pre tento prípad môžete definovať súčin vektorov ako a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = c → n p c → d → , kde n p c → d → je numerická projekcia vektor d → do smeru vektora c → = [ a → × b → ] .
Absolútna hodnota n p c → d → sa rovná číslu, ktoré sa tiež rovná výške postavy, pre ktorú sú ako strany použité vektory a → , b → a d →. Na základe toho treba objasniť, že c → = [ a → × b → ] je kolmé na a → a vektor a vektor podľa definície násobenia vektorov. Hodnota c → = a → x b → sa rovná ploche kvádra postaveného na vektoroch a → a b → .
Dospeli sme k záveru, že modul produktu a → b → d → = c → n p c → d → sa rovná výsledku vynásobenia základnej plochy výškou obrazca, ktorý je postavený na vektoroch a → , b → a d → .
Definícia 4
Absolútna hodnota krížového produktu je objem rovnobežnostena: V paralelelelepi pida = a → · b → · d → .
Tento vzorec je geometrický význam.
Definícia 5
Objem štvorstenu, ktorý je postavený na a → , b → a d → , sa rovná 1/6 objemu rovnobežnostena = 1 6 · a → · b → · d → .
Aby sme si upevnili vedomosti, rozoberieme niekoľko typických príkladov.
Príklad 6
Je potrebné nájsť objem rovnobežnostena, ktorého strany sú A B → = (3, 6, 3) , A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2), zadané v pravouhlom súradnicovom systéme. Objem kvádra možno nájsť pomocou vzorca absolútnej hodnoty. Z toho vyplýva: A B → A C → A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18
Potom V paralelné potrubie = -18 = 18 .
V paralelelepipida = 18
Príklad 7
Súradnicový systém obsahuje body A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3) , D (- 2, 3, 1). Je potrebné určiť objem štvorstenu, ktorý sa nachádza v týchto bodoch.
Použime vzorec V t e t r hedra = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Súradnice vektorov vieme určiť zo súradníc bodov: A B → = (3 - 0 , - 1 - 1 , 5 - 0) = (3 , - 2 , 5) A C → = (1 - 0 , 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) AD → = (- 2 - 0, 3 - 1, 1 - 0) = (- 2, 2, 1)
Ďalej definujeme zmiešaný produkt A B → A C → A D → súradnicami vektorov: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 = - 7 Objem V t e r a hedra = 1 6 - 7 = 7 6 .
V t e t ra hedra = 7 6 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter