Integrácia racionálnych funkcií Zlomok - racionálna funkcia Najjednoduchšie racionálne zlomky Rozklad racionálneho zlomku na najjednoduchšie zlomky Integrácia najjednoduchších zlomkov Všeobecné pravidlo pre integrovanie racionálnych zlomkov

polynóm stupňa n. Zlomková - racionálna funkcia Zlomková - racionálna funkcia je funkcia rovná pomeru dvoch polynómov: Racionálny zlomok sa nazýva vlastný, ak je stupeň čitateľa menší ako stupeň menovateľa, to znamená m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Zlomková - racionálna funkcia Preveďte nesprávny zlomok do správneho tvaru: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Najjednoduchšie racionálne zlomky Vlastné racionálne zlomky tvaru: Nazývajú sa najjednoduchšie racionálne zlomky typov. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Rozklad racionálneho zlomku na jednoduché zlomky Veta: Každý pravidelný racionálny zlomok, ktorého menovateľ je faktorizovaný: možno navyše jedinečným spôsobom znázorniť ako súčet jednoduchých zlomkov: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11) (qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Rozklad racionálneho zlomku na jednoduché zlomky Objasnime si formuláciu vety na nasledujúcich príkladoch: Na nájdenie neurčitých koeficientov A, B, C, D ... sa používajú dve metódy: metóda porovnávania koeficientov a metóda parciálnych koeficientov. hodnoty premennej. Pozrime sa na prvý spôsob s príkladom. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x

Rozklad racionálneho zlomku na jednoduché zlomky Zlomok znázornite ako súčet jednoduchých zlomkov: Najjednoduchšie zlomky zredukujte na spoločného menovateľa Vyrovnajte čitateľov výsledných a pôvodných zlomkov Vyrovnajte koeficienty v rovnakých mocninách x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integrácia najjednoduchších zlomkov Nájdime integrály najjednoduchších racionálnych zlomkov: Uvažujme integráciu zlomkov 3. typu na príklade. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. Ak

Integrácia jednoduchých zlomkovdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1 (3 2 dt t t 9 23 2 9 23 2 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Integrácia jednoduchých zlomkov Integrál tohto typu pomocou substitúcie: je redukovaný na súčet dvoch integrálov: Prvý integrál sa vypočíta zavedením t pod znamienko diferenciálu. Druhý integrál sa vypočíta pomocou rekurzívneho vzorca: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk pri dt N pri dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integrácia jednoduchých zlomkov a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t t tarctg 2223)1)(13(2 2232 t2 3) Ctg (4)1(

Všeobecné pravidlo pre integrovanie racionálnych zlomkov Ak je zlomok nevlastný, reprezentujte ho ako súčet polynómu a vlastného zlomku. Po rozložení menovateľa správneho racionálneho zlomku na faktory ho predstavte ako súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi. Nájdite neurčité koeficienty porovnaním koeficientov alebo metódou parciálnych hodnôt premennej. Integrujte polynóm a výsledný súčet jednoduchých zlomkov.

Príklad Uveďme zlomok do správneho tvaru. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 x 25 2 x 48 23 2 x 48 25

Príklad Faktorizácia menovateľa vlastného zlomku Znázornenie zlomku ako súčet jednoduchých zlomkov Hľadanie neurčitých koeficientov metódou parciálnych hodnôt premennej xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x S x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Sxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Príklad dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

„Matematik, podobne ako umelec alebo básnik, vytvára vzory. A ak sú jeho vzory stabilnejšie, je to len preto, že sa skladajú z myšlienok... Vzory matematika, rovnako ako vzory umelca alebo básnika, musia byť krásne; nápady, rovnako ako farby alebo slová, sa musia zhodovať. Krása je prvou požiadavkou: na svete nie je miesto pre škaredú matematiku».

G.H. Hardy

V prvej kapitole sme si všimli, že existujú primitívne derivácie pomerne jednoduchých funkcií, ktoré už nemožno vyjadriť elementárnymi funkciami. V tomto ohľade nadobúdajú veľký praktický význam tie triedy funkcií, o ktorých možno s istotou povedať, že ich primitívne deriváty sú elementárne funkcie. Táto trieda funkcií zahŕňa racionálne funkcie, čo je pomer dvoch algebraických polynómov. Mnoho problémov vedie k integrácii racionálnych zlomkov. Preto je veľmi dôležité vedieť integrovať takéto funkcie.

2.1.1. Zlomkové racionálne funkcie

Racionálny zlomok(alebo zlomková racionálna funkcia) je pomer dvoch algebraických polynómov:

kde a sú polynómy.

Pripomeň si to polynóm (polynóm, celú racionálnu funkciu) nstupeň sa nazýva funkcia formy

kde sú reálne čísla. Napríklad,

je polynóm prvého stupňa;

je polynóm štvrtého stupňa atď.

Racionálny zlomok (2.1.1) sa nazýva správne, ak je stupeň nižší ako stupeň , t.j. n<m, inak sa zlomok nazýva nesprávne.

Akýkoľvek nesprávny zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet polynómu (celočíselná časť) a vlastného zlomku (zlomková časť). Výber celých a zlomkových častí nesprávneho zlomku sa môže uskutočniť podľa pravidla delenia polynómov „rohom“.

Príklad 2.1.1. Vyberte celé číslo a zlomkové časti nasledujúcich nesprávnych racionálnych zlomkov:

a) , b) .

rozhodnutie . a) Pomocou deliaceho algoritmu "roh" získame

Tak dostaneme

.

b) Tu tiež používame algoritmus „rohového“ delenia:

V dôsledku toho dostaneme

.

Poďme si to zhrnúť. Neurčitý integrál racionálneho zlomku môže byť vo všeobecnosti reprezentovaný ako súčet integrálov polynómu a vlastného racionálneho zlomku. Nájsť primitívne deriváty polynómov nie je ťažké. Preto budeme v budúcnosti uvažovať hlavne o správnych racionálnych zlomkoch.

2.1.2. Najjednoduchšie racionálne zlomky a ich integrácia

Existujú štyri typy správnych racionálnych zlomkov, ktoré sú klasifikované ako najjednoduchšie (elementárne) racionálne zlomky:

kde je celé číslo, , t.j. štvorcový trojčlen nemá skutočné korene.

Integrácia najjednoduchších zlomkov 1. a 2. typu nepredstavuje veľké ťažkosti:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Uvažujme teraz o integrácii najjednoduchších zlomkov 3. typu a nebudeme uvažovať o zlomkoch 4. typu.

Začneme integrálmi formulára

.

Tento integrál sa zvyčajne vypočíta tak, že sa v menovateli vezme celá druhá mocnina. Výsledkom je tabuľkový integrál nasledujúceho tvaru

alebo .

Príklad 2.1.2. Nájdite integrály:

a) , b) .

rozhodnutie . a) Vyberieme celý štvorec zo štvorcového trojčlenu:

Odtiaľto nájdeme

b) Výberom celého štvorca zo štvorcového trojčlenu dostaneme:

teda

.

Ak chcete nájsť integrál

môžeme vytiahnuť deriváciu menovateľa v čitateli a rozšíriť integrál na súčet dvoch integrálov: prvý z nich dosadením prichádza do formy

,

a druhý - k vyššie uvedenému.

Príklad 2.1.3. Nájdite integrály:

.

rozhodnutie . Všimni si . Vyberáme deriváciu menovateľa v čitateli:

Prvý integrál sa vypočíta pomocou substitúcie :

V druhom integráli vyberieme v menovateli celý štvorec

Nakoniec sme dostali

2.1.3. Rozšírenie vlastného racionálneho zlomku
súčet jednoduchých zlomkov

Akýkoľvek správny racionálny zlomok môžu byť reprezentované jednoznačne ako súčet jednoduchých zlomkov. Na to je potrebné rozložiť menovateľa na faktory. Z vyššej algebry je známe, že každý polynóm s reálnymi koeficientmi

Racionálna funkcia je zlomok tvaru , ktorého čitateľ a menovateľ sú polynómy alebo súčin polynómov.

Príklad 1 Krok 2

.

Neurčité koeficienty násobíme polynómami, ktoré nie sú v tomto jednotlivom zlomku, ale ktoré sú v iných získaných zlomkoch:

Otvoríme zátvorky a prirovnáme čitateľa pôvodného prijatého integrandu k získanému výrazu:

V oboch častiach rovnosti hľadáme členy s rovnakými mocninami x a zostavíme z nich sústavu rovníc:

.

Zrušíme všetky x a získame ekvivalentný systém rovníc:

.

Takže konečné rozšírenie integrandu do súčtu jednoduchých zlomkov:

.

Príklad 2 Krok 2 V kroku 1 sme získali nasledujúce rozšírenie pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi v čitateloch:

.

Teraz začneme hľadať neisté koeficienty. Aby sme to dosiahli, prirovnáme čitateľa pôvodného zlomku vo výraze funkcie k čitateľovi výrazu získaného po znížení súčtu zlomkov na spoločného menovateľa:

Teraz musíte vytvoriť a vyriešiť systém rovníc. Aby sme to dosiahli, priradíme koeficienty premennej do zodpovedajúcej miery v čitateli pôvodného výrazu funkcie a podobné koeficienty vo výraze získanom v predchádzajúcom kroku:

Vyriešime výsledný systém:

Takže odtiaľto

.

Príklad 3 Krok 2 V kroku 1 sme získali nasledujúce rozšírenie pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi v čitateloch:

Začneme hľadať neisté koeficienty. Aby sme to dosiahli, prirovnáme čitateľa pôvodného zlomku vo výraze funkcie k čitateľovi výrazu získaného po znížení súčtu zlomkov na spoločného menovateľa:

Rovnako ako v predchádzajúcich príkladoch zostavíme sústavu rovníc:

Zredukujeme x a získame ekvivalentný systém rovníc:

Riešením systému získame nasledujúce hodnoty neistých koeficientov:

Dostaneme konečné rozšírenie integrandu do súčtu jednoduchých zlomkov:

.

Príklad 4 Krok 2 V kroku 1 sme získali nasledujúce rozšírenie pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi v čitateloch:

.

Ako prirovnať čitateľa pôvodného zlomku k výrazu v čitateli získaného po rozklade zlomku na súčet jednoduchých zlomkov a zmenšení tohto súčtu na spoločného menovateľa, už vieme z predchádzajúcich príkladov. Preto len pre kontrolu uvádzame výsledný systém rovníc:

Riešením systému získame nasledujúce hodnoty neistých koeficientov:

Dostaneme konečné rozšírenie integrandu do súčtu jednoduchých zlomkov:

Príklad 5 Krok 2 V kroku 1 sme získali nasledujúce rozšírenie pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi v čitateloch:

.

Tento súčet nezávisle privedieme na spoločného menovateľa, prirovnáme čitateľa tohto výrazu k čitateľovi pôvodného zlomku. Výsledkom by mal byť nasledujúci systém rovníc:

Riešením systému získame nasledujúce hodnoty neistých koeficientov:

.

Dostaneme konečné rozšírenie integrandu do súčtu jednoduchých zlomkov:

.

Príklad 6 Krok 2 V kroku 1 sme získali nasledujúce rozšírenie pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi v čitateloch:

S týmto množstvom vykonáme rovnaké akcie ako v predchádzajúcich príkladoch. Výsledkom by mal byť nasledujúci systém rovníc:

Riešením systému získame nasledujúce hodnoty neistých koeficientov:

.

Dostaneme konečné rozšírenie integrandu do súčtu jednoduchých zlomkov:

.

Príklad 7 Krok 2 V kroku 1 sme získali nasledujúce rozšírenie pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi v čitateloch:

.

Po známych akciách s výsledným súčtom by sa mal získať nasledujúci systém rovníc:

Riešením systému získame nasledujúce hodnoty neistých koeficientov:

Dostaneme konečné rozšírenie integrandu do súčtu jednoduchých zlomkov:

.

Príklad 8 Krok 2 V kroku 1 sme získali nasledujúce rozšírenie pôvodného zlomku na súčet jednoduchých zlomkov s neurčitými koeficientmi v čitateloch:

.

Urobme nejaké zmeny v akciách, ktoré už boli privedené do automatizácie, aby sme získali systém rovníc. Existuje umelý trik, ktorý v niektorých prípadoch pomáha vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Privedením súčtu zlomkov do spoločného menovateľa dostaneme a prirovnaním čitateľa tohto výrazu k čitateľovi pôvodného zlomku dostaneme.

Kontrolné práce o integrácii funkcií vrátane racionálnych zlomkov sa venujú študentom 1. a 2. kurzu. Príklady integrálov budú zaujímavé najmä pre matematikov, ekonómov a štatistikov. Tieto príklady boli požiadané pri kontrolnej práci na LNU. I. Frank. Podmienky nasledujúcich príkladov sú „Nájsť integrál“ alebo „Vypočítať integrál“, preto z dôvodu šetrenia miesta a času neboli vypísané.

Príklad 15. Došli sme k integrácii zlomkových racionálnych funkcií. Medzi integrálmi zaujímajú osobitné miesto, pretože si vyžadujú veľa času na výpočet a pomáhajú učiteľom otestovať vaše znalosti nielen v integrácii. Na zjednodušenie funkcie pod integrálom pridáme a odčítame výraz v čitateli, ktorý nám umožňuje rozdeliť funkciu pod integrálom na dve jednoduché

Výsledkom je, že jeden integrál nájdeme pomerne rýchlo, v druhom musíme zlomok rozšíriť na súčet elementárnych zlomkov

Po zredukovaní na spoločného menovateľa dostaneme takéto čísla

Ďalej otvorte zátvorky a zoskupte

Hodnotu zhodujeme v rovnakých stupňoch „x“ vpravo a vľavo. Výsledkom je systém troch lineárnych rovníc (SLAE) s tromi neznámymi.

Ako riešiť sústavy rovníc je popísané v iných článkoch na stránke. Vo finálnej verzii dostanete nasledujúce riešenia SLAE
A = 4; B = -9/2; C = -7/2.
Dosadíme konštanty v expanzii zlomkov na najjednoduchšie a vykonáme integráciu


Tento príklad je vyriešený.

Príklad 16. Opäť musíte nájsť integrál zlomkovej racionálnej funkcie. Na začiatok rozložíme kubickú rovnicu, ktorá je obsiahnutá v menovateli zlomku, na jednoduché faktory

Ďalej vykonáme rozklad zlomku na najjednoduchší

Pravú stranu zredukujeme na spoločného menovateľa a otvoríme zátvorky v čitateli.


Koeficienty srovnáme pri rovnakých mocninách premennej. Opäť prichádzame do SLAE s tromi neznámymi

Do rozšírenia dosadíme hodnoty A, B, C a vypočítame integrál

Prvé dva členy udávajú logaritmus, posledný sa dá tiež ľahko nájsť.

Príklad 17. V menovateli zlomkovej racionálnej funkcie máme rozdiel kociek. Podľa vzorcov skráteného násobenia ho rozložíme na dva prvočiniteľa

Potom namaľujeme výslednú zlomkovú funkciu pre súčet jednoduchých zlomkov a zredukujeme ich na spoločného menovateľa

V čitateli dostaneme nasledujúci výraz.

Z nej vytvoríme sústavu lineárnych rovníc na výpočet 3 neznámych

A = 1/3; B = -1/3; C = 1/3.
Do vzorca dosadíme A, B, C a vykonáme integráciu. V dôsledku toho sa dostávame k nasledujúcej odpovedi


Tu sa čitateľ druhého integrálu zmenil na logaritmus, zatiaľ čo zvyšok pod integrálom dáva arkustangens.
Podobných príkladov o integrácii racionálnych zlomkov je na internete veľa. Podobné príklady možno nájsť v nižšie uvedených materiáloch.

Integrácia zlomkovo-racionálnej funkcie.
Metóda neurčených koeficientov

Pokračujeme v práci na integrácii zlomkov. V lekcii sme už uvažovali o integráloch niektorých typov zlomkov a túto lekciu možno v istom zmysle považovať za pokračovanie. Na úspešné pochopenie materiálu sú potrebné základné integračné zručnosti, takže ak ste práve začali študovať integrály, to znamená, že ste čajník, musíte začať s článkom Neurčitý integrál. Príklady riešení.

Napodiv, teraz sa nebudeme zaoberať ani tak hľadaním integrálov, ako ... riešením sústav lineárnych rovníc. V tomto spojení silno Odporúčam navštíviť lekciu Menovite sa musíte dobre orientovať v substitučných metódach („školská“ metóda a metóda sčítania (odčítania) systémových rovníc po členoch).

Čo je to zlomková racionálna funkcia? Jednoducho povedané, zlomkovo-racionálna funkcia je zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ tvoria polynómy alebo súčin polynómov. Zlomky sú zároveň sofistikovanejšie ako tie, o ktorých sa hovorí v článku. Integrácia niektorých zlomkov.

Integrácia správnej zlomkovo-racionálnej funkcie

Okamžite príklad a typický algoritmus na riešenie integrálu zlomkovej racionálnej funkcie.

Príklad 1

Krok 1. Prvá vec, ktorú VŽDY urobíme pri riešení integrálu racionálno-zlomkovej funkcie, je položiť si nasledujúcu otázku: je zlomok správny? Tento krok sa robí ústne a teraz vysvetlím, ako:

Najprv sa pozrite do čitateľa a zistite vyššieho stupňa polynóm:

Najvyššia mocnina čitateľa je dva.

Teraz sa pozrite na menovateľa a zistite vyššieho stupňa menovateľ. Samozrejmým spôsobom je otvoriť zátvorky a uviesť podobné podmienky, ale môžete to urobiť jednoduchšie každý zátvorky nájsť najvyšší stupeň

a mentálne vynásobte: - teda najvyšší stupeň menovateľa sa rovná trom. Je úplne zrejmé, že ak naozaj otvoríme zátvorky, nedostaneme stupeň väčší ako tri.

Záver: Najvyššia mocnina čitateľa PRÍSNE menšia ako najvyššia mocnina menovateľa, potom je zlomok správny.

Ak v tomto príklade čitateľ obsahoval polynóm 3, 4, 5 atď. stupňa, potom by zlomok bol nesprávne.

Teraz budeme uvažovať iba o správnych zlomkovo-racionálnych funkciách. Prípad, keď je stupeň čitateľa väčší alebo rovný stupňu menovateľa, rozoberieme na konci lekcie.

Krok 2 Rozložme menovateľa na faktor. Pozrime sa na nášho menovateľa:

Vo všeobecnosti je tu už súčin faktorov, no napriek tomu si kladieme otázku: je možné ešte niečo rozšíriť? Predmetom mučenia bude samozrejme štvorcová trojčlenka. Riešime kvadratickú rovnicu:

Diskriminant je väčší ako nula, čo znamená, že trojčlenka je skutočne faktorizovaná:

Všeobecné pravidlo: VŠETKO, čo sa dá v menovateli rozložiť - faktorizovať

Začnime sa rozhodovať:

Krok 3 Pomocou metódy neurčitých koeficientov rozšírime integrand na súčet jednoduchých (elementárnych) zlomkov. Teraz to bude jasnejšie.

Pozrime sa na našu integrandovú funkciu:

A viete, intuitívna myšlienka nejako prekĺzne, že by bolo pekné zmeniť náš veľký zlomok na niekoľko malých. Napríklad takto:

Vynára sa otázka, je to vôbec možné? Vydýchnime si, zodpovedajúca veta matematického rozboru hovorí – JE TO MOŽNÉ. Takýto rozklad existuje a je jedinečný.

Má to len jeden háčik, koeficienty my Zbohom nepoznáme, odtiaľ názov - metóda neurčitých koeficientov.

Hádate správne, následné gestá sa teda nechichotajte! bude zameraná práve na ich NAUČENIE – zistiť, čomu sa rovnajú.

Buďte opatrní, raz podrobne vysvetľujem!

Takže začnime tancovať od:

Na ľavej strane uvádzame výraz do spoločného menovateľa:

Teraz sa bezpečne zbavíme menovateľov (pretože sú rovnaké):

Na ľavej strane otvárame zátvorky, zatiaľ čo sa ešte nedotýkame neznámych koeficientov:

Zároveň si zopakujeme školské pravidlo násobenia polynómov. Keď som bol učiteľ, naučil som sa povedať toto pravidlo s otvorenou tvárou: Ak chcete vynásobiť polynóm polynómom, musíte vynásobiť každý člen jedného polynómu každým členom druhého polynómu.

Z hľadiska jasného vysvetlenia je lepšie dať koeficienty do zátvoriek (aj keď osobne to nikdy nerobím, aby som ušetril čas):

Zostavíme sústavu lineárnych rovníc.
Najprv hľadáme vyššie tituly:

A zodpovedajúce koeficienty zapíšeme do prvej rovnice systému:

Dobre si zapamätajte nasledujúcu nuanciu. Čo by sa stalo, keby pravá strana vôbec neexistovala? Povedzte, ukázalo by sa to bez akéhokoľvek štvorca? V tomto prípade by v rovnici sústavy bolo potrebné umiestniť nulu vpravo: . Prečo nula? A pretože na pravej strane môžete vždy priradiť rovnakému štvorcu nulu: Ak na pravej strane nie sú žiadne premenné alebo (a) voľný člen, na pravé strany zodpovedajúcich rovníc systému umiestnime nuly.

Zodpovedajúce koeficienty zapíšeme do druhej rovnice systému:

A nakoniec minerálka, vyberáme bezplatných členov.

Eh, ... žartoval som. Vtipy bokom – matematika je vážna veda. V našej ústavnej skupine sa nikto nesmial, keď pani docentka povedala, že členov rozhádže po číselnej osi a vyberie najväčšieho z nich. Poďme vážne. Hoci...kto sa dožije konca tejto lekcie, bude sa aj tak ticho usmievať.

Systém pripravený:

Riešime systém:

(1) Z prvej rovnice ju vyjadríme a dosadíme do 2. a 3. rovnice sústavy. V skutočnosti bolo možné vyjadriť (alebo iné písmeno) z inej rovnice, ale v tomto prípade je výhodné vyjadriť to z 1. rovnice, keďže tam najmenší kurz.

(2) Podobné pojmy uvádzame v 2. a 3. rovnici.

(3) 2. a 3. rovnicu sčítavame po členoch, pričom dostaneme rovnosť , z čoho vyplýva, že

(4) Dosadzujeme do druhej (alebo tretej) rovnice, z ktorej to zistíme

(5) Dosadíme a do prvej rovnice, čím dostaneme .

Ak máte nejaké problémy s metódami riešenia systému, vypracujte ich na hodine. Ako vyriešiť sústavu lineárnych rovníc?

Po vyriešení systému je vždy vhodné vykonať kontrolu - dosadiť zistené hodnoty v každom rovnice systému, v dôsledku toho by všetko malo „konvergovať“.

Takmer dorazil. Zistili sa koeficienty, pričom:

Čistá práca by mala vyzerať asi takto:

Ako vidíte, hlavnou náročnosťou úlohy bolo zostaviť (správne!) a vyriešiť (správne!) sústavu lineárnych rovníc. A v konečnej fáze nie je všetko také ťažké: používame vlastnosti linearity neurčitého integrálu a integrujeme. Upozorňujem na skutočnosť, že pod každým z troch integrálov máme „voľnú“ komplexnú funkciu, o vlastnostiach jej integrácie som hovoril v lekcii Metóda zmeny premennej v neurčitom integráli.

Kontrola: Rozlíšte odpoveď:

Bol získaný pôvodný integrand, čo znamená, že integrál bol nájdený správne.
Pri overovaní bolo potrebné výraz priviesť na spoločného menovateľa, a to nie je náhodné. Metóda neurčitých koeficientov a privedenie výrazu do spoločného menovateľa sú vzájomne inverzné akcie.

Príklad 2

Nájdite neurčitý integrál.

Vráťme sa k zlomku z prvého príkladu: . Je ľahké vidieť, že v menovateli sú všetky faktory RÔZNE. Vynára sa otázka, čo robiť, ak je napríklad daný takýto zlomok: ? Tu máme stupne v menovateli, alebo, matematicky povedané, viacerých faktorov. Okrem toho existuje nerozložiteľná štvorcová trojčlenka (je ľahké overiť, že diskriminant rovnice je záporná, takže trojčlenka nemôže byť žiadnym spôsobom faktorizovaná). Čo robiť? Rozšírenie do súčtu elementárnych zlomkov bude vyzerať takto s neznámymi koeficientmi na vrchu alebo nejakým iným spôsobom?

Príklad 3

Odoslať funkciu

Krok 1. Kontrola, či máme správny zlomok
Najvyššia mocnina čitateľa: 2
Najvyšší menovateľ: 8
, takže zlomok je správny.

Krok 2 Môže byť niečo zahrnuté do menovateľa? Očividne nie, všetko je už rozpísané. Štvorcový trojčlen sa z vyššie uvedených dôvodov nerozšíri na súčin. Dobre. Menej práce.

Krok 3 Predstavme si zlomkovo-racionálnu funkciu ako súčet elementárnych zlomkov.
V tomto prípade má rozklad nasledujúcu formu:

Pozrime sa na nášho menovateľa:
Pri rozklade zlomkovo-racionálnej funkcie na súčet elementárnych zlomkov možno rozlíšiť tri základné body:

1) Ak menovateľ obsahuje „osamelý“ faktor na prvom stupni (v našom prípade), potom na vrchol umiestnime neurčitý koeficient (v našom prípade). Príklady č. 1, 2 pozostávali len z takýchto „osamelých“ faktorov.

2) Ak menovateľ obsahuje viacnásobný multiplikátor, potom ho musíte rozložiť takto:
- to znamená, že postupne zoraďte všetky stupne "x" od prvého po n-tý stupeň. V našom príklade sú dva viaceré faktory: a , pozrite sa ešte raz na rozklad, ktorý som uviedol, a uistite sa, že sú rozložené presne podľa tohto pravidla.

3) Ak menovateľ obsahuje nerozložiteľný polynóm druhého stupňa (v našom prípade ), potom pri rozširovaní v čitateli musíte napísať lineárnu funkciu s neurčitými koeficientmi (v našom prípade s neurčitými koeficientmi a ).

V skutočnosti existuje aj 4. prípad, ale o tom pomlčím, keďže v praxi je extrémne zriedkavý.

Príklad 4

Odoslať funkciu ako súčet elementárnych zlomkov s neznámymi koeficientmi.

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.
Prísne dodržujte algoritmus!

Ak ste prišli na princípy, podľa ktorých musíte rozložiť zlomkovo-racionálnu funkciu na súčet, môžete rozlúsknuť takmer akýkoľvek integrál uvažovaného typu.

Príklad 5

Nájdite neurčitý integrál.

Krok 1. Je zrejmé, že zlomok je správny:

Krok 2 Môže byť niečo zahrnuté do menovateľa? Môcť. Tu je súčet kociek . Faktorizácia menovateľa pomocou skráteného vzorca násobenia

Krok 3 Pomocou metódy neurčitých koeficientov rozšírime integrand na súčet elementárnych zlomkov:

Všimnite si, že polynóm je nerozložiteľný (skontrolujte, či je diskriminant záporný), takže na začiatok umiestnime lineárnu funkciu s neznámymi koeficientmi, a nie iba jedno písmeno.

Zlomok privedieme na spoločného menovateľa:

Poďme vytvoriť a vyriešiť systém:

(1) Z prvej rovnice vyjadríme a dosadíme do druhej rovnice sústavy (toto je najracionálnejší spôsob).

(2) V druhej rovnici uvádzame podobné členy.

(3) Druhú a tretiu rovnicu sústavy pridávame po členoch.

Všetky ďalšie výpočty sú v zásade ústne, pretože systém je jednoduchý.

(1) Súčet zlomkov zapíšeme podľa zistených koeficientov .

(2) Používame vlastnosti linearity neurčitého integrálu. Čo sa stalo v druhom integráli? Túto metódu nájdete v poslednom odseku lekcie. Integrácia niektorých zlomkov.

(3) Opäť použijeme vlastnosti linearity. V treťom integráli začneme vyberať celý štvorec (predposledný odsek lekcie Integrácia niektorých zlomkov).

(4) Vezmeme druhý integrál, v treťom vyberieme úplný štvorec.

(5) Vezmeme tretí integrál. Pripravený.