Boltzmannova konštanta. Univerzálna plynová konštanta je univerzálna, základná fyzikálna konštanta R, rovná súčinu Boltzmannovej konštanty k a Avogadrovej konštanty

Motýle, samozrejme, nevedia nič o hadoch. Ale vtáky, ktoré lovia motýle, o nich vedia. Vtáky, ktoré nepoznajú hady, s väčšou pravdepodobnosťou...

Boltzmannova konštanta (k (\displaystyle k) alebo k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) je fyzikálna konštanta, ktorá určuje vzťah medzi teplotou a energiou. Pomenovaný po rakúskom fyzikovi Ludwigovi Boltzmannovi, ktorý významne prispel k štatistickej fyzike, v ktorej hrá táto konštanta kľúčovú úlohu. Jeho hodnota v Medzinárodnej sústave jednotiek SI podľa zmeny definícií základných jednotiek SI (2018) sa presne rovná

Vzťah medzi teplotou a energiou

V homogénnom ideálnom plyne pri absolútnej teplote T (\displaystyle T), energia na translačný stupeň voľnosti je, ako vyplýva z Maxwellovho rozdelenia, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Pri izbovej teplote (300 °C) je táto energia 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\times 10^(-21)) J alebo 0,013 eV. V monatomickom ideálnom plyne má každý atóm tri stupne voľnosti zodpovedajúce trom priestorovým osám, čo znamená, že každý atóm má energiu v 3 2 kT (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Pri znalosti tepelnej energie je možné vypočítať strednú odmocninu atómovej rýchlosti, ktorá je nepriamo úmerná druhej odmocnine atómovej hmotnosti. Stredná kvadratická rýchlosť pri izbovej teplote sa pohybuje od 1370 m/s pre hélium do 240 m/s pre xenón. V prípade molekulového plynu sa situácia komplikuje, napríklad dvojatómový plyn má 5 stupňov voľnosti - 3 translačné a 2 rotačné (pri nízkych teplotách, keď nie sú excitované vibrácie atómov v molekule a ďalšie stupne voľnosti). sloboda sa nepridáva).

Definícia entropie

Entropia termodynamického systému je definovaná ako prirodzený logaritmus počtu rôznych mikrostavov Z (\displaystyle Z) zodpovedajúce danému makroskopickému stavu (napríklad stavu s danou celkovou energiou).

Faktor proporcionality k (\displaystyle k) a je Boltzmannovou konštantou. Toto je výraz, ktorý definuje vzťah medzi mikroskopickými ( Z (\displaystyle Z)) a makroskopické stavy ( S (\displaystyle S)), vyjadruje ústrednú myšlienku štatistickej mechaniky.

Narodil sa v roku 1844 vo Viedni. Boltzmann je priekopníkom a objaviteľom vo vede. Jeho práce a výskumy boli často spoločnosťou nepochopené a odmietané. S ďalším vývojom fyziky však boli jeho práce uznané a následne publikované.

Vedecké záujmy vedca pokrývali také základné oblasti, ako je fyzika a matematika. Od roku 1867 pôsobil ako pedagóg na viacerých vysokých školách. Vo svojom výskume zistil, že je to kvôli chaotickým dopadom molekúl na steny nádoby, v ktorej sa nachádzajú, pričom teplota priamo závisí od rýchlosti pohybu častíc (molekúl), inými slovami od nich. Preto čím rýchlejšie sa tieto častice pohybujú, tým vyššia je teplota. Boltzmannova konštanta je pomenovaná po slávnom rakúskom vedcovi. Bol to on, kto neoceniteľne prispel k rozvoju statickej fyziky.

Fyzikálny význam tejto konštantnej hodnoty

Boltzmannova konštanta definuje vzťah medzi vecami ako teplota a energia. V statickej mechanike hrá hlavnú kľúčovú úlohu. Boltzmannova konštanta sa rovná k=1,3806505(24)*10-23 J/K. Čísla v zátvorkách označujú prípustnú chybu hodnoty hodnoty vzhľadom na posledné číslice. Stojí za zmienku, že Boltzmannovu konštantu možno odvodiť aj z iných fyzikálnych konštánt. Tieto výpočty sú však dosť zložité a ťažko vykonateľné. Vyžadujú hlboké znalosti nielen v oblasti fyziky, ale aj

Boltzmannova konštanta, čo je koeficient rovný k = 1,38 10 - 23 J K, je súčasťou značného počtu vzorcov vo fyzike. Svoje meno dostala podľa rakúskeho fyzika, jedného zo zakladateľov molekulárnej kinetickej teórie. Sformulujeme definíciu Boltzmannovej konštanty:

Definícia 1

Boltzmannova konštanta nazývaná fyzikálna konštanta, ktorá určuje vzťah medzi energiou a teplotou.

Nemalo by sa zamieňať so Stefan-Boltzmannovou konštantou spojenou s vyžarovaním energie absolútne tuhého telesa.

Na výpočet tohto koeficientu existujú rôzne metódy. V tomto článku sa pozrieme na dva z nich.

Nájdenie Boltzmannovej konštanty pomocou rovnice ideálneho plynu

Túto konštantu možno nájsť pomocou rovnice popisujúcej stav ideálneho plynu. Experimentálne možno určiť, že zahrievanie akéhokoľvek plynu z T 0 \u003d 273 K na T1 \u003d 373 K vedie k zmene jeho tlaku z p 0 \u003d 1,013 10 5 Pa na p 0 \u003d 1,38 10 5 Pa. Ide o pomerne jednoduchý experiment, ktorý sa dá urobiť aj so vzduchom. Na meranie teploty musíte použiť teplomer a tlak - manometer. Je dôležité si uvedomiť, že počet molekúl v móle akéhokoľvek plynu je približne rovný 6 10 23 a objem pri tlaku 1 atóm je V = 22,4 l. Berúc do úvahy všetky menované parametre, môžeme pristúpiť k výpočtu Boltzmannovej konštanty k:

Aby sme to dosiahli, napíšeme rovnicu dvakrát, pričom do nej dosadíme stavové parametre.

Keď poznáme výsledok, môžeme nájsť hodnotu parametra k:

Nájdenie Boltzmannovej konštanty pomocou Brownovho pohybového vzorca

Pre druhú metódu výpočtu musíme tiež vykonať experiment. Pre neho musíte vziať malé zrkadlo a zavesiť ho do vzduchu pomocou elastickej nite. Predpokladajme, že zrkadlovo-vzduchový systém je v stabilnom stave (statická rovnováha). Molekuly vzduchu narážajú na zrkadlo, ktoré sa v podstate správa ako Brownova častica. Ak však vezmeme do úvahy jeho zavesený stav, môžeme pozorovať rotačné oscilácie okolo určitej osi zhodnej so zavesením (vertikálne smerovaný závit). Teraz nasmerujeme lúč svetla na povrch zrkadla. Aj pri miernych pohyboch a otáčaní zrkadla sa lúč, ktorý sa v ňom odráža, výrazne posunie. To nám dáva možnosť merať rotačné vibrácie objektu.

Ak označíme modul krútenia ako L, moment zotrvačnosti zrkadla vzhľadom na os otáčania ako J a uhol natočenia zrkadla ako φ, môžeme napísať oscilačnú rovnicu nasledujúceho tvaru:

Mínus v rovnici súvisí so smerom momentu elastických síl, ktorý má tendenciu vrátiť zrkadlo do rovnovážnej polohy. Teraz vynásobme obe časti φ, integrujme výsledok a získame:

Nasledujúca rovnica je zákon zachovania energie, ktorý bude platiť pre tieto vibrácie (to znamená, že potenciálna energia sa premení na kinetickú energiu a naopak). Tieto oscilácie môžeme považovať za harmonické, preto:

Pri odvodení jedného zo vzorcov sme použili zákon rovnomerného rozloženia energie v stupňoch voľnosti. Môžeme to teda napísať takto:

Ako sme už povedali, uhol natočenia sa dá merať. Takže, ak je teplota približne 290 K a modul krútenia L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 10 - 6, potom môžeme vypočítať hodnotu koeficientu, ktorý potrebujeme takto:

Preto, keď poznáme základy Brownovho pohybu, môžeme nájsť Boltzmannovu konštantu meraním makro parametrov.

Hodnota Boltzmannovej konštanty

Hodnota skúmaného koeficientu spočíva v tom, že ho možno použiť na spojenie parametrov mikrokozmu s parametrami, ktoré opisujú makrokozmos, napríklad termodynamická teplota s energiou translačného pohybu molekúl:

Tento koeficient je zahrnutý v rovniciach priemernej energie molekuly, stavu ideálneho plynu, kinetickej teórie plynu, Boltzmann-Maxwellovho rozdelenia a mnohých ďalších. Na určenie entropie je potrebná aj Boltzmannova konštanta. Pri štúdiu polovodičov hrá dôležitú úlohu napríklad v rovnici popisujúcej závislosť elektrickej vodivosti od teploty.

Príklad 1

podmienka: vypočítať priemernú energiu molekuly plynu pozostávajúcej z N-atómových molekúl pri teplote T s vedomím, že v molekulách sú excitované všetky stupne voľnosti – rotačné, translačné, vibračné. Všetky molekuly sa považujú za objemové.

Riešenie

Energia je rovnomerne rozdelená medzi stupne voľnosti pre každý z jej stupňov, čo znamená, že tieto stupne budú mať rovnakú kinetickú energiu. Bude sa rovnať ε i = 1 2 k T . Potom na výpočet priemernej energie môžeme použiť vzorec:

ε = i 2 k T , kde i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l je súčet translačných rotačných stupňov voľnosti. Písmeno k znamená Boltzmannovu konštantu.

Prejdime k určovaniu počtu stupňov voľnosti molekuly:

m p o s t = 3, m r = 3, teda m k o l = 3 N-6.

i \u003d 6 + 6 N - 12 \u003d 6 N - 6; e = 6N-62kT = 3N-3kT.

odpoveď: za týchto podmienok bude priemerná energia molekuly rovná ε = 3 N - 3 k T .

Príklad 2

podmienka: je zmes dvoch ideálnych plynov, ktorých hustota za normálnych podmienok je p. Určte, aká bude koncentrácia jedného plynu v zmesi za predpokladu, že poznáme molárne hmotnosti oboch plynov μ 1, μ 2.

Riešenie

Najprv vypočítajte celkovú hmotnosť zmesi.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02.

Parameter m 01 označuje hmotnosť molekuly jedného plynu, m 02 je hmotnosť molekuly druhého plynu, n 2 je koncentrácia molekúl jedného plynu, n 2 je koncentrácia druhého plynu. Hustota zmesi sa rovná ρ.

Teraz z tejto rovnice vyjadríme koncentráciu prvého plynu:

n 1 \u003d ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02.

p = n k T → n = p k T .

Dosaďte výslednú rovnakú hodnotu:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02).

Keďže molárne hmotnosti plynov sú nám známe, môžeme nájsť hmotnosti molekúl prvého a druhého plynu:

m 01 = μ 1 N A, m 02 = μ 2 N A.

Vieme tiež, že zmes plynov je za normálnych podmienok, t.j. tlak je 1 atm a teplota je 290 K. Takže môžeme považovať problém za vyriešený.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Ako exaktná kvantitatívna veda sa fyzika nezaobíde bez súboru veľmi dôležitých konštánt, ktoré sú ako univerzálne koeficienty zahrnuté v rovniciach, ktoré vytvárajú vzťah medzi určitými veličinami. Ide o základné konštanty, vďaka ktorým takéto vzťahy nadobúdajú nemennosť a sú schopné vysvetliť správanie fyzikálnych systémov v rôznych mierkach.

Medzi takéto parametre charakterizujúce vlastnosti vlastné hmote nášho Vesmíru patrí Boltzmannova konštanta – veličina zahrnutá v množstve najdôležitejších rovníc. Predtým, ako sa však pozrieme na jeho vlastnosti a význam, nemožno nepovedať pár slov o vedcovi, ktorého meno nesie.

Ludwig Boltzmann: vedecké zásluhy

Jeden z najväčších vedcov 19. storočia Rakúšan Ludwig Boltzmann (1844-1906) významne prispel k rozvoju molekulárnej kinetickej teórie, stal sa jedným z tvorcov štatistickej mechaniky. Bol autorom ergodickej hypotézy, štatistickej metódy pri opise ideálneho plynu, základnej rovnice fyzikálnej kinetiky. Veľa pracoval na otázkach termodynamiky (Boltzmannova H-veta, štatistický princíp pre druhý termodynamický zákon), teórie žiarenia (Stefanov-Boltzmannov zákon). Vo svojich prácach sa dotkol aj niektorých problémov elektrodynamiky, optiky a iných odvetví fyziky. Jeho meno je zvečnené v dvoch fyzikálnych konštantách, o ktorých bude reč nižšie.

Ludwig Boltzmann bol presvedčeným a dôsledným zástancom teórie atómovej a molekulárnej štruktúry hmoty. Dlhé roky musel bojovať proti nepochopeniu a odmietaniu týchto myšlienok vo vtedajšej vedeckej komunite, keď mnohí fyzici považovali atómy a molekuly za prílišnú abstrakciu, v lepšom prípade za podmienené zariadenie slúžiace na uľahčenie výpočtov. Boltzmannová bolestivá choroba a útoky konzervatívne zmýšľajúcich kolegov vyvolali u Boltzmanna ťažkú ​​depresiu, ktorú nedokázal zniesť, vynikajúci vedec spáchal samovraždu. Na náhrobnom pomníku, nad bustou Boltzmanna, je na znak uznania jeho zásluh vyrytá rovnica S = k∙logW – jeden z výsledkov jeho plodnej vedeckej činnosti. Konštanta k v tejto rovnici je Boltzmannova konštanta.

Energia molekúl a teplota hmoty

Pojem teplota slúži na charakterizáciu stupňa zahriatia telesa. Vo fyzike sa používa absolútna teplotná stupnica, ktorá je založená na závere molekulárno-kinetickej teórie o teplote ako miere, ktorá odráža veľkosť energie tepelného pohybu častíc látky (rozumej samozrejme priemerná kinetická energia mnohých častíc).

SI joule aj CGS erg sú príliš veľké jednotky na vyjadrenie energie molekúl a v praxi bolo veľmi ťažké týmto spôsobom merať teplotu. Vhodnou jednotkou teploty je stupeň a meranie sa vykonáva nepriamo prostredníctvom registrácie meniacich sa makroskopických charakteristík látky - napríklad objemu.

Ako súvisí energia a teplota?

Na výpočet stavov reálnej látky pri teplotách a tlakoch blízkych normálu sa úspešne používa model ideálneho plynu, to znamená takého plynu, ktorého veľkosť molekuly je oveľa menšia ako objem, ktorý zaberá určité množstvo plynu, a vzdialenosť medzi časticami výrazne presahuje polomer ich interakcie. Na základe rovníc kinetickej teórie je priemerná energia takýchto častíc definovaná ako E cf = 3/2∙kT, kde E je kinetická energia, T je teplota a 3/2∙k je zavedený faktor úmernosti. od Boltzmanna. Číslo 3 tu charakterizuje počet stupňov voľnosti translačného pohybu molekúl v troch priestorových dimenziách.

Hodnota k, ktorá bola neskôr na počesť rakúskeho fyzika nazvaná Boltzmannovou konštantou, ukazuje, koľko joulu alebo ergu obsahuje jeden stupeň. Inými slovami, jeho hodnota určuje, o koľko štatisticky v priemere vzrastie energia tepelného chaotického pohybu jednej častice monatomického ideálneho plynu so zvýšením teploty o 1 stupeň.

Koľkokrát je stupeň menší ako joule

Číselná hodnota tejto konštanty sa dá získať rôznymi spôsobmi, napríklad meraním absolútnej teploty a tlaku, pomocou rovnice ideálneho plynu alebo pomocou Brownovho modelu pohybu. Teoretické odvodenie tejto veličiny na súčasnej úrovni poznania nie je možné.

Boltzmannova konštanta je 1,38 × 10 -23 J/K (tu K je kelvin, stupeň na stupnici absolútnej teploty). Pre skupinu častíc v 1 mole ideálneho plynu (22,4 litra) sa koeficient súvisiaci s energiou a teplotou (univerzálna plynová konštanta) získa vynásobením Boltzmannovej konštanty Avogadrovým číslom (počet molekúl v mole): R = kN A a je 8,31 J / (mol∙kelvin). Na rozdiel od posledne menovaného je však Boltzmannova konštanta svojou povahou univerzálnejšia, pretože vstupuje aj do iných dôležitých vzťahov a tiež sama slúži na určenie inej fyzikálnej konštanty.

Štatistické rozloženie energie molekúl

Keďže makroskopické stavy hmoty sú výsledkom správania sa veľkého súboru častíc, sú opísané pomocou štatistických metód. Tie zahŕňajú aj zistenie, ako sú distribuované energetické parametre molekúl plynu:

• Maxwellovské rozdelenie kinetických energií (a rýchlostí). Ukazuje, že v plyne v rovnováhe má väčšina molekúl rýchlosti blízke nejakej najpravdepodobnejšej rýchlosti v = √(2kT/m 0), kde m 0 je hmotnosť molekuly.
• Boltzmannovo rozdelenie potenciálnych energií pre plyny v poli akýchkoľvek síl, ako je zemská príťažlivosť. Závisí to od pomeru dvoch faktorov: príťažlivosti k Zemi a chaotického tepelného pohybu častíc plynu. Výsledkom je, že čím nižšia je potenciálna energia molekúl (bližšie k povrchu planéty), tým vyššia je ich koncentrácia.

Obe štatistické metódy sú kombinované do Maxwell-Boltzmannovho rozdelenia obsahujúceho exponenciálny faktor e - E/ kT , kde E je súčet kinetickej a potenciálnej energie a kT je nám už známa priemerná energia tepelného pohybu riadená Boltzmannova konštanta.

Konštantná k a entropia

Vo všeobecnom zmysle možno entropiu charakterizovať ako mieru nevratnosti termodynamického procesu. Táto nezvratnosť je spojená s rozptylom - disipáciou - energie. V štatistickom prístupe navrhnutom Boltzmannom je entropia funkciou počtu spôsobov, ktorými môže byť fyzikálny systém implementovaný bez zmeny jeho stavu: S = k∙lnW.

Konštanta k tu nastavuje mieru rastu entropie so zvýšením tohto počtu (W) možností implementácie systému alebo mikrostavov. Max Planck, ktorý priviedol tento vzorec do jeho modernej podoby a navrhol dať konštante k meno Boltzmann.

Stefan-Boltzmannov zákon žiarenia

Fyzikálny zákon, ktorý určuje, ako závisí svietivosť energie (výkon žiarenia na jednotku povrchu) čierneho telesa od jeho teploty, má tvar j = σT 4, to znamená, že teleso vyžaruje v pomere k štvrtej mocnine svojej teploty. Tento zákon sa používa napríklad v astrofyzike, keďže žiarenie hviezd je charakteristikami blízke žiareniu čierneho telesa.

V tomto pomere existuje ďalšia konštanta, ktorá tiež riadi rozsah javu. Ide o Stefanovu-Boltzmannovu konštantu σ, ktorá je približne 5,67 × 10 -8 W / (m 2 ∙K 4). Jeho rozmer zahŕňa kelviny, čo znamená, že je jasné, že je tu zahrnutá aj Boltzmannova konštanta k. Hodnota σ je skutočne definovaná ako (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), kde c je rýchlosť svetla a h je Planckova konštanta. Takže Boltzmannova konštanta v kombinácii s inými svetovými konštantami tvorí veličinu, ktorá opäť spája energiu (výkon) a teplotu – v tomto prípade vo vzťahu k žiareniu.

Fyzikálna podstata Boltzmannovej konštanty

Už bolo uvedené vyššie, že Boltzmannova konštanta je jednou z takzvaných základných konštánt. Nejde len o to, že umožňuje nadviazať spojenie medzi charakteristikami mikroskopických javov na molekulárnej úrovni a parametrami procesov pozorovaných v makrokozme. A nielen to, že táto konštanta je zahrnutá v množstve dôležitých rovníc.

V súčasnosti nie je známe, či existuje nejaký fyzikálny princíp, z ktorého by sa to dalo teoreticky odvodiť. Inými slovami, z ničoho nevyplýva, že hodnota danej konštanty by mala byť presne taká. Ako mieru korešpondencie kinetickej energie častíc by sme namiesto stupňov mohli použiť iné veličiny a iné jednotky, potom by bola číselná hodnota konštanty iná, ale zostala by konštantnou hodnotou. Spolu s ďalšími základnými veličinami tohto druhu - medzná rýchlosť c, Planckova konštanta h, elementárny náboj e, gravitačná konštanta G - veda berie Boltzmannovu konštantu ako danosť nášho sveta a používa ju na teoretický popis fyzikálnych procesov prebiehajúcich v to.