V niektorých problémoch fyziky nie je možné stanoviť priame spojenie medzi veličinami popisujúcimi proces. Existuje však možnosť získať rovnosť obsahujúcu deriváty skúmaných funkcií. Takto vznikajú diferenciálne rovnice a potreba ich riešenia, aby sme našli neznámu funkciu.

Tento článok je určený pre tých, ktorí stoja pred problémom riešenia diferenciálnej rovnice, v ktorej je neznáma funkcia funkciou jednej premennej. Teória je postavená tak, že s nulovým porozumením diferenciálnych rovníc môžete robiť svoju prácu.

Každý typ diferenciálnych rovníc je spojený s metódou riešenia s podrobným vysvetlením a riešením typických príkladov a problémov. Musíte len určiť typ diferenciálnej rovnice vášho problému, nájsť podobný analyzovaný príklad a vykonať podobné akcie.

Na úspešné riešenie diferenciálnych rovníc budete potrebovať aj schopnosť nájsť množiny primitívnych integrálov (neurčitých integrálov) rôznych funkcií. V prípade potreby vám odporúčame pozrieť si časť.

Najprv zvážime typy obyčajných diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré je možné riešiť s ohľadom na deriváciu, potom prejdeme k ODR druhého rádu, potom sa zameriame na rovnice vyššieho rádu a skončíme systémami diferenciálnych rovníc.

Pripomeňme, že ak y je funkciou argumentu x .

Diferenciálne rovnice prvého rádu.

Najjednoduchšie diferenciálne rovnice prvého rádu tvaru .

Uveďme si niekoľko príkladov takéhoto DE .

Diferenciálne rovnice možno vyriešiť vzhľadom na deriváciu vydelením oboch strán rovnosti f(x) . V tomto prípade dospejeme k rovnici , ktorá bude ekvivalentná tej pôvodnej pre f(x) ≠ 0 . Príkladmi takýchto ODR sú .

Ak existujú hodnoty argumentu x, pre ktoré funkcie f(x) a g(x) súčasne zmiznú, objavia sa ďalšie riešenia. Dodatočné riešenia rovnice dané x sú všetky funkcie definované pre tieto hodnoty argumentov. Príklady takýchto diferenciálnych rovníc sú .

Diferenciálne rovnice druhého rádu.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

LODE s konštantnými koeficientmi je veľmi bežný typ diferenciálnych rovníc. Ich riešenie nie je nijak zvlášť náročné. Najprv sa nájdu korene charakteristickej rovnice . Pre rôzne p a q sú možné tri prípady: korene charakteristickej rovnice môžu byť skutočné a rôzne, skutočné a zhodné alebo komplexný konjugát. V závislosti od hodnôt koreňov charakteristickej rovnice je všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice napísané ako , alebo , resp.

Uvažujme napríklad lineárnu homogénnu diferenciálnu rovnicu druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Korene jeho charakteristickej rovnice sú k 1 = -3 a k 2 = 0. Korene sú skutočné a odlišné, preto je všeobecné riešenie LDE s konštantnými koeficientmi


Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Všeobecné riešenie LIDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi y sa hľadá ako súčet všeobecného riešenia zodpovedajúcej LODE a konkrétne riešenie pôvodnej nehomogénnej rovnice, teda . Predchádzajúci odsek je venovaný hľadaniu všeobecného riešenia homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi. A konkrétne riešenie je určené buď metódou neurčitých koeficientov pre určitý tvar funkcie f (x) , stojacej na pravej strane pôvodnej rovnice, alebo metódou variácie ľubovoľných konštánt.

Ako príklady LIDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi uvádzame


Pre pochopenie teórie a zoznámenie sa s podrobnými riešeniami príkladov vám na stránke ponúkame lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Lineárne homogénne diferenciálne rovnice (LODE) a lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu (LNDE).

Špeciálnym prípadom diferenciálnych rovníc tohto typu sú LODE a LODE s konštantnými koeficientmi.

Všeobecné riešenie LODE na určitom intervale je reprezentované lineárnou kombináciou dvoch lineárne nezávislých partikulárnych riešení y 1 a y 2 tejto rovnice, tj. .

Hlavná ťažkosť spočíva práve v hľadaní lineárne nezávislých parciálnych riešení tohto typu diferenciálnych rovníc. Zvyčajne sa konkrétne riešenia vyberajú z nasledujúcich systémov lineárne nezávislých funkcií:


Konkrétne riešenia však nie sú vždy prezentované v tejto forme.

Príkladom LODU je .

Všeobecné riešenie LIDE sa hľadá v tvare , kde je všeobecné riešenie zodpovedajúcej LODE a je konkrétnym riešením pôvodnej diferenciálnej rovnice. Práve sme hovorili o hľadaní, ale dá sa určiť pomocou metódy variácie ľubovoľných konštánt.

Príkladom LNDE je .

Diferenciálne rovnice vyššieho rádu.

Diferenciálne rovnice pripúšťajúce redukciu rádu.

Poradie diferenciálnej rovnice , ktorý neobsahuje požadovanú funkciu a jej derivácie až do k-1 rádu, možno redukovať na n-k nahradením .

V tomto prípade sa pôvodná diferenciálna rovnica zníži na . Po nájdení jeho riešenia p(x) zostáva vrátiť sa k náhrade a určiť neznámu funkciu y .

Napríklad diferenciálna rovnica po výmene sa stane oddeliteľnou rovnicou a jej poradie sa zníži z tretej na prvú.

Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení.
Diferenciálne rovnice so separovateľnými premennými

Diferenciálne rovnice (DE). Tieto dve slová obyčajného laika zvyčajne vydesia. Zdá sa, že diferenciálne rovnice sú pre mnohých študentov niečo poburujúce a ťažko zvládnuteľné. Uuuuuu... diferenciálne rovnice, ako toto všetko prežijem?!

Takýto názor a takýto postoj je zásadne nesprávny, pretože v skutočnosti DIFERENCIÁLNE ROVNICE SÚ JEDNODUCHÉ A DOKONCA ZÁBAVNÉ. Čo potrebujete vedieť a vedieť sa naučiť riešiť diferenciálne rovnice? Ak chcete úspešne študovať rozdiely, musíte byť dobrí v integrácii a rozlišovaní. Čím lepšie sa témy študujú Derivácia funkcie jednej premennej a Neurčitý integrál, tým ľahšie bude pochopenie diferenciálnych rovníc. Poviem viac, ak máte viac-menej slušné integračné schopnosti, tak téma je prakticky zvládnutá! Čím viac integrálov rôznych typov dokážete vyriešiť, tým lepšie. prečo? Musíte sa veľa integrovať. A rozlišovať. Tiež vysoko odporucany naučiť sa nájsť.

V 95% prípadov sú v testoch 3 typy diferenciálnych rovníc prvého poriadku: oddeliteľné rovnice, ktorým sa budeme venovať v tejto lekcii; homogénne rovnice a lineárne nehomogénne rovnice. Pre začiatočníkov, ktorí študujú difúzory, vám odporúčam, aby ste si prečítali lekcie v tomto poradí a po preštudovaní prvých dvoch článkov nebude na škodu upevniť svoje zručnosti na ďalšom workshope - rovnice, ktoré sa redukujú na homogénne.

Existujú ešte zriedkavejšie typy diferenciálnych rovníc: rovnice v totálnych diferenciáloch, Bernoulliho rovnice a niektoré ďalšie. Z posledných dvoch typov sú najdôležitejšie rovnice v totálnych diferenciáloch, keďže okrem tohto DE uvažujem o novom materiáli - čiastočná integrácia.

Ak vám zostáva len deň alebo dva, potom pre ultra rýchlu prípravu existuje bleskový kurz vo formáte pdf.

Takže orientačné body sú nastavené - poďme na to:

Najprv si pripomeňme obvyklé algebraické rovnice. Obsahujú premenné a čísla. Najjednoduchší príklad: . Čo znamená vyriešiť obyčajnú rovnicu? To znamená nájsť súbor čísel ktoré spĺňajú túto rovnicu. Je ľahké vidieť, že detská rovnica má jeden koreň: . Pre zábavu si urobme kontrolu a nahraďte nájdený koreň do našej rovnice:

- získa sa správna rovnosť, čo znamená, že riešenie je nájdené správne.

Difúzory sú usporiadané takmer rovnakým spôsobom!

Diferenciálnej rovnice prvá objednávka všeobecne obsahuje:
1) nezávislá premenná;
2) závislá premenná (funkcia);
3) prvá derivácia funkcie: .

V niektorých rovniciach 1. rádu nemusí byť "x" alebo (a) "y", ale to nie je podstatné - dôležité takže v DU bol prvá derivácia a nemal deriváty vyšších rádov - atď.

Čo znamená ? Riešiť diferenciálnu rovnicu znamená nájsť súbor všetkých funkcií ktoré spĺňajú túto rovnicu. Takáto množina funkcií má často tvar ( je ľubovoľná konštanta), ktorá sa nazýva všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Príklad 1

Riešiť diferenciálnu rovnicu

Plná munícia. Kde začať rozhodnutie?

Najprv musíte prepísať derivát do trochu inej podoby. Pripomíname si ťažkopádny zápis, ktorý mnohí z vás pravdepodobne považovali za smiešny a nepotrebný. Je to to, čo vládne v difúzoroch!

V druhom kroku sa pozrime, či je to možné rozdelené premenné?Čo to znamená oddeliť premenné? Zhruba povedané, na ľavej strane musíme odísť len "hry", a napravo organizovať iba x. Separácia premenných sa vykonáva pomocou „školských“ manipulácií: zátvorky, prenos pojmov z časti do časti so zmenou znamienka, prenos faktorov z časti do časti podľa pravidla proporcie atď.

Diferenciály a sú plnými multiplikátormi a aktívnymi účastníkmi nepriateľských akcií. V tomto príklade sú premenné ľahko oddelené preklápacími faktormi podľa pravidla proporcie:

Premenné sú oddelené. Na ľavej strane - iba "Hra", na pravej strane - iba "X".

Ďalšia fáza - integrácia diferenciálnych rovníc. Je to jednoduché, integrály zavesíme na obe časti:

Samozrejme, treba brať integrály. V tomto prípade sú tabuľkové:

Ako si pamätáme, konštanta je priradená akejkoľvek primitívnej derivácii. Sú tu dva integrály, ale konštantu stačí napísať raz (pretože konštanta + konštanta sa stále rovná inej konštante). Vo väčšine prípadov je umiestnený na pravej strane.

Presne povedané, po zobratí integrálov sa diferenciálna rovnica považuje za vyriešenú. Jediná vec je, že naše „y“ nie je vyjadrené pomocou „x“, to znamená, že je prezentované riešenie v implicitnom formulár. Implicitné riešenie diferenciálnej rovnice sa nazýva všeobecný integrál diferenciálnej rovnice. To znamená, že ide o všeobecný integrál.

Odpoveď v tejto forme je celkom prijateľná, existuje však lepšia možnosť? Skúsme dostať spoločné rozhodnutie.

Rado sa stalo, pamätajte na prvú techniku, je veľmi bežný a často používaný v praktických úlohách: ak sa po integrácii objaví logaritmus na pravej strane, potom v mnohých prípadoch (ale v žiadnom prípade nie vždy!) je tiež vhodné zapísať konštantu pod logaritmus.

t.j. NAMIESTO zvyčajne sa píšu záznamy .

Prečo je to potrebné? A aby sa ľahšie vyjadrilo „y“. Používame vlastnosť logaritmov . V tomto prípade:

Teraz je možné odstrániť logaritmy a moduly:

Funkcia je uvedená explicitne. Toto je všeobecné riešenie.

Odpoveď: spoločné rozhodnutie: .

Odpovede na mnohé diferenciálne rovnice sa dajú pomerne ľahko skontrolovať. V našom prípade sa to robí celkom jednoducho, vezmeme nájdené riešenie a rozlíšime ho:

Potom deriváciu dosadíme do pôvodnej rovnice:

- získa sa správna rovnosť, čo znamená, že všeobecné riešenie vyhovuje rovnici, ktorú bolo potrebné skontrolovať.

Zadaním rôznych hodnôt konštanty môžete získať nekonečný počet súkromné ​​rozhodnutia Diferenciálnej rovnice. Je jasné, že niektorá z funkcií , atď. spĺňa diferenciálnu rovnicu.

Niekedy sa nazýva všeobecné riešenie rodina funkcií. V tomto príklade je to všeobecné riešenie je rodina lineárnych funkcií, alebo skôr rodina priamych úmerností.

Po podrobnej diskusii o prvom príklade je vhodné odpovedať na niekoľko naivných otázok o diferenciálnych rovniciach:

1)V tomto príklade sa nám podarilo oddeliť premenné. Je to vždy možné? Nie vždy. A ešte častejšie sa premenné nedajú oddeliť. Napríklad v homogénne rovnice prvého poriadku treba najskôr vymeniť. V iných typoch rovníc, napríklad v lineárnej nehomogénnej rovnici prvého rádu, musíte použiť rôzne triky a metódy na nájdenie všeobecného riešenia. Oddeliteľné premenné rovnice, o ktorých uvažujeme v prvej lekcii, sú najjednoduchším typom diferenciálnych rovníc.

2) Je vždy možné integrovať diferenciálnu rovnicu? Nie vždy. Je veľmi jednoduché vymyslieť „vymyslenú“ rovnicu, ktorá sa nedá integrovať, navyše existujú integrály, ktoré sa nedajú vziať. Ale takéto DE možno vyriešiť približne pomocou špeciálnych metód. D'Alembert a Cauchy zaručujú... ...fuj, číha viac. Práve teraz som veľa čítal, skoro som dodal "z druhého sveta."

3) V tomto príklade sme dostali riešenie vo forme všeobecného integrálu . Dá sa vždy zo všeobecného integrálu nájsť všeobecné riešenie, teda vyjadrenie „y“ v explicitnej forme? Nie vždy. Napríklad: . No, ako tu môžem vyjadriť "y"?! V takýchto prípadoch by mala byť odpoveď napísaná ako všeobecný integrál. Okrem toho sa niekedy dá nájsť všeobecné riešenie, ktoré je však napísané tak ťažkopádne a nemotorne, že je lepšie nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu

4) ...nateraz snáď stačí. V prvom príklade sme sa stretli ďalší dôležitý bod, ale aby som "atrapy" nezasypal lavínou nových informácií, nechám to až na ďalšiu hodinu.

Neponáhľajme sa. Ďalšie jednoduché diaľkové ovládanie a ďalšie typické riešenie:

Príklad 2

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku

rozhodnutie: podľa stavu, ktorý je potrebné nájsť súkromné ​​riešenie DE, ktorý spĺňa danú počiatočnú podmienku. Tento druh kladenia otázok sa tiež nazýva Cauchy problém.

Najprv nájdeme všeobecné riešenie. V rovnici nie je žiadna premenná „x“, ale to by nemalo byť trápne, hlavná vec je, že má prvú deriváciu.

Deriváciu prepíšeme do požadovaného tvaru:

Je zrejmé, že premenné možno rozdeliť, chlapci naľavo, dievčatá napravo:

Integrujeme rovnicu:

Získa sa všeobecný integrál. Tu som nakreslil konštantu s prízvukovou hviezdou, faktom je, že veľmi skoro sa zmení na inú konštantu.

Teraz sa snažíme previesť všeobecný integrál na všeobecné riešenie (explicitne vyjadrite „y“). Spomíname na starú, dobrú školu: . V tomto prípade:

Konštanta v ukazovateli akosi nevyzerá kóšer, preto je zvyčajne spustená z neba na zem. V detailoch sa to deje takto. Pomocou vlastnosti stupňov prepíšeme funkciu takto:

Ak je konštanta, potom je tiež nejaká konštanta, premenujte ju na písmeno:

Pamätajte, že "demolácia" konštanty je druhá technika, ktorý sa často používa pri riešení diferenciálnych rovníc.

Takže všeobecné riešenie je: Taká pekná rodina exponenciálnych funkcií.

V záverečnej fáze musíte nájsť konkrétne riešenie, ktoré spĺňa danú počiatočnú podmienku. Je to tiež jednoduché.

aká je úloha? Treba vyzdvihnúť taký hodnota konštanty na splnenie podmienky .

Môžete to zariadiť rôznymi spôsobmi, ale najzrozumiteľnejšie to bude asi takto. Vo všeobecnom riešení namiesto „x“ nahradíme nulu a namiesto „y“ dve:



t.j.

Štandardné prevedenie:

Teraz dosadíme nájdenú hodnotu konštanty do všeobecného riešenia:
– toto je konkrétne riešenie, ktoré potrebujeme.

Odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Urobme kontrolu. Overenie konkrétneho riešenia zahŕňa dve fázy:

Najprv je potrebné skontrolovať, či nájdené konkrétne riešenie skutočne spĺňa počiatočnú podmienku? Namiesto "x" dosadíme nulu a uvidíme, čo sa stane:
- áno, skutočne bola získaná dvojka, čo znamená, že počiatočná podmienka je splnená.

Druhá etapa je už známa. Zoberieme výsledné konkrétne riešenie a nájdeme deriváciu:

Dosaďte do pôvodnej rovnice:

- získa sa správna rovnosť.

Záver: konkrétne riešenie bolo nájdené správne.

Prejdime k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 3

Riešiť diferenciálnu rovnicu

rozhodnutie: Prepíšeme derivát do tvaru, ktorý potrebujeme:

Posúdenie, či je možné premenné oddeliť? Môcť. Druhý výraz prenesieme na pravú stranu so zmenou znamienka:

A preklopíme faktory podľa pravidla proporcie:

Premenné sú oddelené, integrujme obe časti:

Musím ťa varovať, blíži sa súdny deň. Ak ste sa dobre neučili neurčité integrály, vyriešil niekoľko príkladov, potom už nie je kam ísť - musíte ich teraz ovládať.

Integrál ľavej strany je ľahké nájsť, s integrálom kotangens sa zaoberáme štandardnou technikou, ktorú sme zvažovali v lekcii Integrácia goniometrických funkcií Minulý rok:

Na pravej strane máme logaritmus a podľa môjho prvého technického odporúčania by sa pod logaritmus mala zapisovať aj konštanta.

Teraz sa pokúsime zjednodušiť všeobecný integrál. Keďže máme iba logaritmy, je celkom možné (a nevyhnutné) sa ich zbaviť. Cez známe vlastnosti maximálne "zbaliť" logaritmy. Napíšem veľmi podrobne:

Obal je kompletný na barbarské roztrhanie:

Je možné vyjadriť "y"? Môcť. Obe časti musia byť štvorcové.

Ale nemusíš.

Tretí technický tip: ak na získanie všeobecného riešenia potrebujete získať moc alebo zakoreniť, potom Väčšinou mali by ste sa zdržať týchto akcií a nechať odpoveď vo forme všeobecného integrálu. Faktom je, že všeobecné riešenie bude vyzerať hrozne - s veľkými koreňmi, znakmi a iným odpadom.

Preto odpoveď píšeme ako všeobecný integrál. Za dobrú formu sa považuje prezentácia vo forme, to znamená, že na pravej strane, ak je to možné, ponechajte iba konštantu. Nie je to potrebné, ale potešiť profesora je vždy prospešné ;-)

odpoveď: všeobecný integrál:

! Poznámka: všeobecný integrál ktorejkoľvek rovnice možno zapísať viacerými spôsobmi. Ak sa teda váš výsledok nezhoduje s predtým známou odpoveďou, neznamená to, že ste rovnicu vyriešili nesprávne.

Všeobecný integrál sa tiež kontroluje pomerne ľahko, hlavná vec je vedieť ho nájsť derivácia funkcie definovanej implicitne. Rozlišujme odpoveď:

Oba výrazy vynásobíme:

A delíme podľa:

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná presne, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.

Príklad 4

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku. Spustite kontrolu.

Toto je príklad „urob si sám“.

Pripomínam, že algoritmus pozostáva z dvoch fáz:
1) nájdenie všeobecného riešenia;
2) nájdenie požadovaného konkrétneho riešenia.

Kontrola sa tiež vykonáva v dvoch krokoch (pozri vzor v príklade č. 2), potrebujete:
1) uistite sa, že konkrétne nájdené riešenie spĺňa počiatočnú podmienku;
2) skontrolujte, či konkrétne riešenie vo všeobecnosti vyhovuje diferenciálnej rovnici.

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Príklad 5

Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice , ktoré spĺňajú počiatočnú podmienku. Spustite kontrolu.

rozhodnutie: Najprv nájdime všeobecné riešenie Táto rovnica už obsahuje hotové diferenciály a , čo znamená, že riešenie je zjednodušené. Oddelenie premenných:

Integrujeme rovnicu:

Integrál vľavo je tabuľkový, integrál vpravo je braný metóda sčítania funkcie pod znamienkom diferenciálu:

Všeobecný integrál bol získaný, je možné úspešne vyjadriť všeobecné riešenie? Môcť. Logaritmy zavesíme na obe strany. Keďže sú kladné, modulo znaky sú nadbytočné:

(Dúfam, že každý chápe premenu, také veci by už mali byť známe)

Takže všeobecné riešenie je:

Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.
Vo všeobecnom riešení namiesto „x“ nahradíme nulu a namiesto „y“ logaritmus dvoch:

Známejší dizajn:

Nájdenú hodnotu konštanty dosadíme do všeobecného riešenia.

odpoveď: súkromné ​​riešenie:

Kontrola: Najprv skontrolujte, či je splnená počiatočná podmienka:
- všetko je dobré.

Teraz skontrolujme, či nájdené konkrétne riešenie vôbec vyhovuje diferenciálnej rovnici. Nájdeme derivát:

Pozrime sa na pôvodnú rovnicu: – uvádza sa v diferenciáloch. Existujú dva spôsoby kontroly. Je možné vyjadriť diferenciál z nájdenej derivácie:

Nájdené partikulárne riešenie a výsledný diferenciál dosadíme do pôvodnej rovnice :

Používame základnú logaritmickú identitu:

Získa sa správna rovnosť, čo znamená, že konkrétne riešenie je nájdené správne.

Druhý spôsob kontroly je zrkadlový a známejší: z rovnice vyjadrite deriváciu, preto všetky časti vydelíme takto:

A v transformovanom DE dosadíme získané partikulárne riešenie a nájdenú deriváciu. V dôsledku zjednodušení by sa mala dosiahnuť aj správna rovnosť.

Príklad 6

Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Vyjadrite odpoveď ako všeobecný integrál.

Toto je príklad na samoriešenie, úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Aké ťažkosti čakajú pri riešení diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými?

1) Nie vždy je zrejmé (najmä pre čajník), že premenné možno oddeliť. Zvážte podmienený príklad: . Tu musíte vyňať faktory zo zátvoriek: a oddeliť korene:. Ako ďalej postupovať je jasné.

2) Ťažkosti pri samotnej integrácii. Integrály často vznikajú nie najjednoduchšie, a ak existujú nedostatky v zručnostiach hľadania neurčitý integrál, potom to bude s mnohými difúzormi ťažké. Kompilátori zbierok a príručiek sú navyše populárni s logikou „keďže diferenciálna rovnica je jednoduchá, potom budú aspoň integrály komplikovanejšie“.

3) Transformácie s konštantou. Ako si každý všimol, s konštantou v diferenciálnych rovniciach sa dá narábať celkom voľne a niektoré transformácie nie sú začiatočníkovi vždy jasné. Pozrime sa na ďalší hypotetický príklad: . V ňom je vhodné vynásobiť všetky výrazy 2: . Výsledná konštanta je tiež nejaký druh konštanty, ktorú možno označiť: . Áno, a keďže na pravej strane je logaritmus, odporúča sa prepísať konštantu ako inú konštantu: .

Problém je v tom, že sa často neobťažujú indexmi a používajú rovnaké písmeno. Výsledkom je, že záznam o rozhodnutí má nasledujúcu formu:

Aká heréza? Tu sú chyby! Presne povedané, áno. Z vecného hľadiska však k chybám nedochádza, pretože v dôsledku transformácie premennej konštanty sa stále získava premenná konštanta.

Alebo iný príklad, predpokladajme, že v priebehu riešenia rovnice sa získa všeobecný integrál. Táto odpoveď vyzerá škaredo, preto je vhodné zmeniť znamienko každého výrazu: . Formálne je tam opäť chyba - vpravo má byť napísané . Neformálne sa však predpokladá, že „mínus ce“ je stále konštanta ( ktorý rovnako dobre nadobúda akékoľvek hodnoty!), takže dávať "mínus" nemá zmysel a môžete použiť rovnaké písmeno.

Pokúsim sa vyhnúť nedbanlivému prístupu a pri prevode stále uvádzam rôzne indexy pre konštanty.

Príklad 7

Vyriešte diferenciálnu rovnicu. Spustite kontrolu.

rozhodnutie: Táto rovnica pripúšťa separáciu premenných. Oddelenie premenných:

Integrujeme:

Konštanta tu nemusí byť definovaná pod logaritmom, pretože z toho nebude nič dobré.

odpoveď: všeobecný integrál:

Kontrola: Diferencujte odpoveď (implicitná funkcia):

Zbavíme sa zlomkov, preto oba výrazy vynásobíme takto:

Pôvodná diferenciálna rovnica bola získaná, čo znamená, že všeobecný integrál bol nájdený správne.

Príklad 8

Nájdite konkrétne riešenie DE.
,

Toto je príklad „urob si sám“. Jediným náznakom je, že tu získate všeobecný integrál a presnejšie povedané, musíte sa snažiť nájsť nie konkrétne riešenie, ale súkromný integrál. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

6.1. ZÁKLADNÉ POJMY A DEFINÍCIE

Pri riešení rôznych problémov matematiky a fyziky, biológie a medicíny nie je často možné okamžite stanoviť funkčnú závislosť vo forme vzorca spájajúceho premenné, ktoré popisujú skúmaný proces. Zvyčajne je potrebné použiť rovnice obsahujúce okrem nezávislej premennej a neznámej funkcie aj jej derivácie.

Definícia. Nazýva sa rovnica týkajúca sa nezávislej premennej, neznámej funkcie a jej derivátov rôznych rádov diferenciál.

Neznáma funkcia sa zvyčajne označuje y(x) alebo jednoducho y, a jeho deriváty sú y", y" atď.

Možné sú aj iné zápisy, napr.: ak r= x(t), potom x"(t), x""(t) sú jeho deriváty a t je nezávislá premenná.

Definícia. Ak funkcia závisí od jednej premennej, potom sa diferenciálna rovnica nazýva obyčajná. Všeobecná forma obyčajná diferenciálna rovnica:

alebo

Funkcie F a f nemusí obsahovať nejaké argumenty, ale na to, aby boli rovnice diferenciálne, je nevyhnutná prítomnosť derivácie.

Definícia.Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie, ktorá je v ňom zahrnutá.

Napríklad, x 2 y"- r= 0, y" + hriech X= 0 sú rovnice prvého rádu a y"+ 2 y"+ 5 r= X je rovnica druhého rádu.

Pri riešení diferenciálnych rovníc sa používa integračná operácia, ktorá je spojená so vznikom ľubovoľnej konštanty. Ak sa použije integračná akcia nčasy, potom, samozrejme, bude riešenie obsahovať nľubovoľné konštanty.

6.2. DIFERENČNÉ ROVNICE PRVÉHO RADU

Všeobecná forma diferenciálna rovnica prvého rádu je definovaný výrazom

Rovnica nemusí explicitne obsahovať X a y, ale nevyhnutne obsahuje y“.

Ak možno rovnicu zapísať ako

potom dostaneme diferenciálnu rovnicu prvého rádu vyriešenú vzhľadom na deriváciu.

Definícia. Všeobecným riešením diferenciálnej rovnice prvého rádu (6.3) (alebo (6.4)) je množina riešení , kde S je ľubovoľná konštanta.

Graf na riešenie diferenciálnej rovnice je tzv integrálna krivka.

Dávať ľubovoľnú konštantu S rôzne hodnoty, je možné získať konkrétne riešenia. Na povrchu xOy všeobecné riešenie je skupina integrálnych kriviek zodpovedajúcich každému konkrétnemu riešeniu.

Ak si stanovíte bod A(x0, y0), cez ktorý musí prechádzať integrálna krivka, teda spravidla z množiny funkcií jedno možno vyčleniť - konkrétne riešenie.

Definícia.Súkromné ​​rozhodnutie diferenciálnej rovnice je jej riešenie, ktoré neobsahuje ľubovoľné konštanty.

Ak je všeobecné riešenie, potom z podm

môžete nájsť trvalý S. Podmienka je tzv počiatočný stav.

Problém nájsť konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice (6.3) alebo (6.4), ktoré spĺňa počiatočnú podmienku pri volal Cauchyho problém. Má tento problém vždy riešenie? Odpoveď je obsiahnutá v nasledujúcej vete.

Cauchyho veta(teorém o existencii a jedinečnosti riešenia). Vpustite diferenciálnu rovnicu y"= f(x, y) funkciu f(x, y) a jej

čiastočná derivácia definované a nepretržité v niekt

oblasti D, obsahujúci bodku Potom v oblasti D existujú

jediné riešenie rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku pri

Cauchyho veta hovorí, že za určitých podmienok existuje jedinečná integrálna krivka r= f(x), prechod cez bod Body, v ktorých nie sú splnené podmienky vety

Mačky sú tzv špeciálne. Prestávky v týchto bodoch f(x, y) alebo.

Jedným bodom prechádza buď niekoľko integrálnych kriviek, alebo žiadna.

Definícia. Ak sa riešenie (6.3), (6.4) nachádza vo formulári f(x, y, c)= 0 nie je povolené vzhľadom na y, potom sa volá spoločný integrál Diferenciálnej rovnice.

Cauchyho veta len zaručuje, že riešenie existuje. Keďže neexistuje jediná metóda na nájdenie riešenia, zvážime len niektoré typy diferenciálnych rovníc prvého rádu, ktoré sú integrovateľné do štvorcov.

Definícia. Diferenciálna rovnica sa nazýva integrovateľné v kvadratúre, ak sa hľadanie jeho riešenia redukuje na integráciu funkcií.

6.2.1. Diferenciálne rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými

Definícia. Diferenciálna rovnica prvého rádu sa nazýva rovnica s oddeliteľné premenné,

Pravá strana rovnice (6.5) je súčinom dvoch funkcií, z ktorých každá závisí len od jednej premennej.

Napríklad rovnica je rovnica s oddeľovaním

odovzdávanie premenných
a rovnica

nemožno zastupovať vo forme (6.5).

Vzhľadom na to , prepíšeme (6.5) ako

Z tejto rovnice dostaneme diferenciálnu rovnicu so separovanými premennými, v ktorej diferenciály obsahujú funkcie, ktoré závisia len od príslušnej premennej:

Integrujeme termín po termíne, máme

kde C= C2 - C1 je ľubovoľná konštanta. Výraz (6.6) je všeobecný integrál rovnice (6.5).

Delením oboch častí rovnice (6.5) môžeme stratiť tie riešenia, pre ktoré, Skutočne, ak pri

potom je zrejme riešením rovnice (6.5).

Príklad 1 Nájdite riešenie vyhovujúcej rovnice

podmienka: r= 6 at X= 2 (y(2) = 6).

rozhodnutie. Poďme vymeniť v" nato . Vynásobte obe strany

dx, keďže v ďalšej integrácii nemožno odísť dx v menovateli:

a potom delením oboch častí dostaneme rovnicu,

ktoré je možné integrovať. Integrujeme:

Potom ; potenciovaním dostaneme y = C . (x + 1) - ob-

Riešenie.

Na základe počiatočných údajov určíme ľubovoľnú konštantu ich dosadením do všeobecného riešenia

Konečne sa dostávame r= 2(x + 1) je konkrétne riešenie. Zvážte niekoľko ďalších príkladov riešenia rovníc s oddeliteľnými premennými.

Príklad 2 Nájdite riešenie rovnice

rozhodnutie. Vzhľadom na to , dostaneme .

Integráciou oboch strán rovnice máme

kde

Príklad 3 Nájdite riešenie rovnice rozhodnutie. Obe časti rovnice delíme tými faktormi, ktoré závisia od premennej, ktorá sa nezhoduje s premennou pod diferenciálnym znamienkom, t.j. a integrovať. Potom dostaneme

a nakoniec

Príklad 4 Nájdite riešenie rovnice

rozhodnutie. Vedieť, čo dostaneme. Sekcia-

lim premenné. Potom

Integrácia, chápeme

Komentujte. V príkladoch 1 a 2 požadovaná funkcia r výslovne vyjadrené (všeobecné riešenie). V príkladoch 3 a 4 - implicitne (všeobecný integrál). V budúcnosti nebude forma rozhodnutia špecifikovaná.

Príklad 5 Nájdite riešenie rovnice rozhodnutie.

Príklad 6 Nájdite riešenie rovnice uspokojujúce

stav y(e)= 1.

rozhodnutie. Rovnicu zapíšeme do tvaru

Vynásobením oboch strán rovnice dx a ďalej, dostávame

Integráciou oboch strán rovnice (integrál na pravej strane je prevzatý časťami), dostaneme

Ale podľa podmienok r= 1 at X= e. Potom

Nahraďte nájdené hodnoty S do všeobecného riešenia:

Výsledný výraz sa nazýva partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice.

6.2.2. Homogénne diferenciálne rovnice prvého rádu

Definícia. Diferenciálna rovnica prvého rádu sa nazýva homogénne ak to môže byť reprezentované ako

Uvádzame algoritmus na riešenie homogénnej rovnice.

1. Namiesto toho r zaviesť novú funkciu Potom a preto

2. Z hľadiska funkcie u rovnica (6.7) nadobúda tvar

náhrada redukuje homogénnu rovnicu na rovnicu s oddeliteľnými premennými.

3. Pri riešení rovnice (6.8) najskôr nájdeme u a potom r= ux.

Príklad 1 vyriešiť rovnicu rozhodnutie. Rovnicu zapíšeme do tvaru

Robíme náhradu:
Potom

Poďme vymeniť

Vynásobte dx: Deliť podľa X a ďalej potom

Integráciou oboch častí rovnice vzhľadom na zodpovedajúce premenné máme

alebo, keď sa vrátime k starým premenným, konečne sa dostaneme

Príklad 2vyriešiť rovnicu rozhodnutie.Nechať byť potom

Vydeľte obe strany rovnice x2: Otvorme zátvorky a usporiadajme výrazy:

Keď prejdeme k starým premenným, dostaneme sa ku konečnému výsledku:

Príklad 3Nájdite riešenie rovnice vzhľadom na to

rozhodnutie.Vykonanie štandardnej výmeny dostaneme

alebo

alebo

Takže konkrétne riešenie má formu Príklad 4 Nájdite riešenie rovnice

rozhodnutie.

Príklad 5Nájdite riešenie rovnice rozhodnutie.

Samostatná práca

Nájdite riešenie diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými (1-9).

Nájdite riešenie homogénnych diferenciálnych rovníc (9-18).

6.2.3. Niektoré aplikácie diferenciálnych rovníc prvého rádu

Problém rádioaktívneho rozpadu

Rýchlosť rozpadu Ra (rádia) v každom časovom okamihu je úmerná jeho dostupnej hmotnosti. Nájdite zákon rádioaktívneho rozpadu Ra, ak je známe, že v počiatočnom okamihu bolo Ra a polčas rozpadu Ra je 1590 rokov.

rozhodnutie. Nech je momentálne hmotnosť Ra X= x(t) g, a Potom je rýchlosť rozpadu Ra

Podľa zadania

kde k

Oddelením premenných v poslednej rovnici a integráciou dostaneme

kde

Na určenie C používame počiatočnú podmienku: .

Potom a preto,

Faktor proporcionality k určená z dodatočnej podmienky:

Máme

Odtiaľ a požadovaný vzorec

Problém rýchlosti rozmnožovania baktérií

Rýchlosť rozmnožovania baktérií je úmerná ich počtu. Na začiatku tam bolo 100 baktérií. Do 3 hodín sa ich počet zdvojnásobil. Nájdite závislosť počtu baktérií od času. Koľkokrát sa počet baktérií zvýši za 9 hodín?

rozhodnutie. Nechať byť X- počet baktérií v súčasnosti t. Potom, podľa stavu,

kde k- koeficient proporcionality.

Odtiaľ Z podmienky je známe, že . znamená,

Z dodatočnej podmienky . Potom

Požadovaná funkcia:

Takže, o t= 9 X= 800, t.j. v priebehu 9 hodín sa počet baktérií zvýšil 8-krát.

Úlohou je zvýšiť množstvo enzýmu

V kultúre pivovarských kvasníc je rýchlosť rastu aktívneho enzýmu úmerná jeho počiatočnému množstvu. X. Počiatočné množstvo enzýmu a zdvojnásobil do hodiny. Nájdite závislosť

x(t).

rozhodnutie. Podľa podmienky má diferenciálna rovnica procesu tvar

odtiaľ

ale . znamená, C= a a potom

Je tiež známe, že

teda

6.3. ROVNICE DRUHÉHO RADU

6.3.1. Základné pojmy

Definícia.Diferenciálna rovnica druhého rádu sa nazýva vzťah spájajúci nezávislú premennú, požadovanú funkciu a jej prvú a druhú deriváciu.

V špeciálnych prípadoch môže x v rovnici chýbať, pri alebo y". Rovnica druhého rádu však musí nevyhnutne obsahovať y". Vo všeobecnom prípade je diferenciálna rovnica druhého rádu napísaná ako:

alebo, ak je to možné, vo forme povolenej pre druhý derivát:

Rovnako ako v prípade rovnice prvého rádu, aj rovnica druhého rádu môže mať všeobecné a konkrétne riešenie. Všeobecné riešenie vyzerá takto:

Nájdenie súkromného riešenia

za počiatočných podmienok – dané

číslo) sa volá Cauchyho problém. Geometricky to znamená, že je potrebné nájsť integrálnu krivku pri= y(x), prechádza cez daný bod a majúci v tomto bode dotyčnicu, ktorá je o

vidlice s kladným smerom osi Vôl daný uhol. e. (obr. 6.1). Cauchyho problém má jedinečné riešenie, ak pravá strana rovnice (6.10), vopred

je nespojitý a má spojité parciálne derivácie vzhľadom na ty, ty" v nejakom susedstve východiskového bodu

Ak chcete nájsť konštantu zahrnuté v konkrétnom riešení, je potrebné systém povoliť

Ryža. 6.1. integrálna krivka

Obyčajná diferenciálna rovnica nazývaná rovnica, ktorá dáva do vzťahu nezávislú premennú, neznámu funkciu tejto premennej a jej derivátov (alebo diferenciálov) rôznych rádov.

Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššieho derivátu, ktorý je v ňom obsiahnutý.

Okrem obyčajných sa študujú aj parciálne diferenciálne rovnice. Ide o rovnice týkajúce sa nezávislých premenných, neznámej funkcie týchto premenných a jej parciálnych derivácií vzhľadom na rovnaké premenné. Ale budeme len uvažovať obyčajné diferenciálne rovnice a preto slovo „obyčajný“ pre stručnosť vynecháme.

Príklady diferenciálnych rovníc:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Rovnica (1) je štvrtého rádu, rovnica (2) je tretieho rádu, rovnice (3) a (4) sú druhého rádu, rovnica (5) je prvého rádu.

Diferenciálnej rovnice n poradie nemusí explicitne obsahovať funkciu, všetky jej derivácie od prvého do n rádu a nezávislou premennou. Nemusí explicitne obsahovať deriváty niektorých rádov, funkciu, nezávislú premennú.

Napríklad v rovnici (1) zjavne nie sú žiadne derivácie tretieho a druhého rádu, ani funkcie; v rovnici (2) - derivácia a funkcia druhého rádu; v rovnici (4) - nezávislá premenná; v rovnici (5) - funkcie. Iba rovnica (3) explicitne obsahuje všetky derivácie, funkciu a nezávislú premennú.

Riešením diferenciálnej rovnice volá sa akákoľvek funkcia y = f(x), ktorého dosadením do rovnice sa zmení na identitu.

Proces hľadania riešenia diferenciálnej rovnice sa nazýva jej integrácia.

Príklad 1 Nájdite riešenie diferenciálnej rovnice.

rozhodnutie. Túto rovnicu zapíšeme v tvare . Riešením je nájsť funkciu jej deriváciou. Pôvodná funkcia, ako je známe z integrálneho počtu, je primitívna funkcia pre, t.j.

Tak to je riešenie danej diferenciálnej rovnice . meniace sa v ňom C, dostaneme rôzne riešenia. Zistili sme, že existuje nekonečný počet riešení diferenciálnej rovnice prvého rádu.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice n poradie je jeho riešenie vyjadrené explicitne vzhľadom na neznámu funkciu a obsahujúce n nezávislé ľubovoľné konštanty, t.j.

Riešenie diferenciálnej rovnice v príklade 1 je všeobecné.

Parciálne riešenie diferenciálnej rovnice volá sa jeho riešenie, v ktorom sú ľubovoľným konštantám priradené špecifické číselné hodnoty.

Príklad 2 Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice a konkrétne riešenie pre .

rozhodnutie. Obe časti rovnice integrujeme toľkokrát, aby sa poradie diferenciálnej rovnice rovnalo.

,

.

V dôsledku toho sme dostali všeobecné riešenie -

daná diferenciálna rovnica tretieho rádu.

Teraz nájdime konkrétne riešenie za špecifikovaných podmienok. Aby sme to dosiahli, nahradíme ich hodnoty namiesto ľubovoľných koeficientov a získame

.

Ak je okrem diferenciálnej rovnice počiatočná podmienka uvedená v tvare , potom sa takýto problém nazýva Cauchy problém . Hodnoty a sú dosadené do všeobecného riešenia rovnice a nájde sa hodnota ľubovoľnej konštanty C a potom konkrétne riešenie rovnice pre nájdenú hodnotu C. Toto je riešenie Cauchyho problému.

Príklad 3 Vyriešte Cauchyho úlohu pre diferenciálnu rovnicu z príkladu 1 za podmienky .

rozhodnutie. Do všeobecného riešenia dosadíme hodnoty z počiatočnej podmienky r = 3, X= 1. Dostávame

Pre danú diferenciálnu rovnicu prvého rádu zapíšeme riešenie Cauchyho úlohy:

Riešenie diferenciálnych rovníc, dokonca aj tých najjednoduchších, si vyžaduje dobré zručnosti v integrácii a preberaní derivácií vrátane zložitých funkcií. Vidno to na nasledujúcom príklade.

Príklad 4 Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

rozhodnutie. Rovnica je napísaná v takej forme, že obe strany je možné okamžite integrovať.

.

Aplikujeme metódu integrácie zmenou premennej (substitúciou). Nechajte teda.

Povinné vziať dx a teraz - pozor - robíme to podľa pravidiel diferenciácie komplexnej funkcie, keďže X a existuje komplexná funkcia ("jablko" - extrahovanie druhej odmocniny alebo, čo je to isté - zvýšenie na "jedna sekunda" a "mleté ​​mäso" - samotný výraz pod odmocninou):

Nájdeme integrál:

Návrat k premennej X, dostaneme:

.

Toto je všeobecné riešenie tejto diferenciálnej rovnice prvého stupňa.

Pri riešení diferenciálnych rovníc sa budú vyžadovať nielen zručnosti z predchádzajúcich sekcií vyššej matematiky, ale aj zručnosti zo elementárnej, teda školskej matematiky. Ako už bolo spomenuté, v diferenciálnej rovnici akéhokoľvek rádu nemusí existovať nezávislá premenná, teda premenná X. Vyriešiť tento problém pomôžu poznatky o proporciách, na ktoré sa nezabudlo (také má však každý) zo školskej lavice. Toto je ďalší príklad.

diferenciálna rovnica (DE) je rovnica,
kde sú nezávislé premenné, y je funkcia a sú parciálne derivácie.

Obyčajná diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá má iba jednu nezávislú premennú, .

Parciálna diferenciálna rovnica je diferenciálna rovnica, ktorá má dve alebo viac nezávislých premenných.

Slová „obyčajné“ a „čiastočné deriváty“ možno vynechať, ak je jasné, o ktorej rovnici sa uvažuje. V nasledujúcom texte sú uvažované obyčajné diferenciálne rovnice.

Poradie diferenciálnej rovnice je poradie najvyššej derivácie.

Tu je príklad rovnice prvého poriadku:

Tu je príklad rovnice štvrtého rádu:

Niekedy je diferenciálna rovnica prvého rádu napísaná z hľadiska diferenciálov:

V tomto prípade sú premenné x a y rovnaké. To znamená, že nezávislá premenná môže byť buď x alebo y. V prvom prípade je y funkciou x. V druhom prípade je x funkciou y . Ak je to potrebné, môžeme túto rovnicu uviesť do tvaru, v ktorom derivácia y′ vstupuje explicitne.
Vydelením tejto rovnice dx dostaneme:
.
Od a z toho vyplýva
.

Riešenie diferenciálnych rovníc

Deriváty elementárnych funkcií sú vyjadrené v termínoch elementárnych funkcií. Integrály elementárnych funkcií sa často nevyjadrujú ako elementárne funkcie. S diferenciálnymi rovnicami je situácia ešte horšia. V dôsledku riešenia môžete získať:

• explicitná závislosť funkcie od premennej;

  Riešenie diferenciálnej rovnice je funkcia y = u (X), ktorý je definovaný, je n-krát diferencovateľný a .

• implicitná závislosť vo forme rovnice typu Φ (x, y) = 0 alebo sústavy rovníc;

  Integrál diferenciálnej rovnice je riešením diferenciálnej rovnice, ktorá má implicitný tvar.

• závislosť vyjadrená prostredníctvom elementárnych funkcií a integrálov z nich;

  Riešenie diferenciálnej rovnice v kvadratúrach - ide o hľadanie riešenia v podobe kombinácie elementárnych funkcií a ich integrálov.

• riešenie nemôže byť vyjadrené elementárnymi funkciami.

Keďže riešenie diferenciálnych rovníc je redukované na výpočet integrálov, riešenie zahŕňa sústavu konštánt C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Počet konštánt sa rovná poradiu rovnice. Parciálny integrál diferenciálnej rovnice je všeobecný integrál pre dané hodnoty konštánt C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Referencie:
V.V. Stepanov, Kurz diferenciálnych rovníc, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, Lan, 2003.