Objem pyramídy s pravouhlou základňou. Objem pravidelnej pyramídy

Domov

Búrková kanalizácia

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
Ak sa zúčastníte žrebovania, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Mnohosten, ktorého základňou je pravidelný trojuholník a ostatné steny sú rovnoramenné trojuholníky, sa nazýva trojuholníková pyramída.Ďalšia takáto pyramída sa nazýva štvorsten.

Pravidelná pyramída má mnoho vlastností, ktoré sú odvodené od jej základných tvarov:

Všetky strany základne sú si navzájom rovné, pretože je znázornená pravidelným trojuholníkom;
Všetky okraje pyramídy sú tiež rovnaké;
Pretože každá tvár tvorí rovnoramenný trojuholník, v ktorom sú okraje rovnaké a základne sú rovnaké, potom môžeme povedať, že plocha každej tváre je rovnaká;
Všetky dihedrálne uhly na základni sú rovnaké.

Vypočíta sa ako súčet plôch základne a bočného skenovania. Dá sa to nájsť aj výpočtom plochy jednej z bočných plôch a základne. Vzorec pre objem trojuholníkovej pyramídy je tiež odvodený od vlastností trojuholníkov, z ktorých pozostáva:

Základná plocha sa vypočíta podľa vzorca:

Zvážte príklad výpočtu objemu trojuholníkovej pyramídy.

Nech je daná trojuholníková pyramída. Strana základne je a = 2 cm a výška je h = 2√3. Nájdite objem daného mnohostenu.
Najprv nájdime oblasť základne. Aby sme to dosiahli, nahradíme známe údaje do vyššie uvedeného vzorca:

Teraz použijeme nájdenú hodnotu na výpočet objemu trojuholníkovej pyramídy:

Na výpočet plochy trojuholníkovej pyramídy možno použiť aj skrátený vzorec. Kombinuje základnú plochu a výšku a číta takýto vzorec ako tretinu súčinu základnej plochy a výšky pyramídy:

Pri použití tohto vzorca je dôležité prísne dodržiavať výpočty a zníženia. Jedna malá chyba môže viesť k nesprávnemu výsledku. Vo všeobecnosti je zistenie objemu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy veľmi jednoduché.

Definícia pyramídy

Pyramída je mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník a jeho strany sú trojuholníky.

Online kalkulačka

Pyramída má rebrá. Môžeme povedať, že sú ťahaní do bodu tzv summit túto pyramídu. jej základ môže byť ľubovoľný mnohouholník. hrana- toto je obrazec, ktorý sa vytvorí spojením dvoch najbližších hrán so stranou základne. Prednou stranou pyramídy je trojuholník. Vzdialenosť od vrcholu pyramídy do stredu strany základne sa nazýva apotéma. Výška Pyramída sa nazýva dĺžka kolmice od vrcholu k stredu jej základne.

Druhy pyramíd

Existujú nasledujúce typy pyramíd.

Obdĺžnikový- jeho okraj zviera so základňou uhol 90 stupňov.
Správne- jeho základňa je nejaký pravidelný mnohouholník a vrchol sa premieta do stredu tejto základne.
štvorsten Pyramída s trojuholníkom na základni.

Objemové vzorce pyramídy

Objem pyramídy sa nachádza niekoľkými spôsobmi.

Podľa základnej plochy a výšky pyramídy

Jednoduchým vynásobením jednej tretiny základnej plochy výškou pyramídy je jej objem.

Objem pyramídy podľa základnej plochy a výšky

V = 1 3 ⋅ S main ⋅ h V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(main))\cdot hV =3 1 ⋅ S hlavné ⋅ h

S hlavná S_(\text(hlavná)) S hlavné - plocha základne pyramídy;
h h h je výška pyramídy.

Úloha 1

Plocha základne pyramídy je 100 cm 2 100\text( cm)^2 1 0 0 cm2 , a jeho výška je 30 cm 30\text( cm) 3 0 cm. Nájdite objem tela.

Riešenie

S hlavná = 100 S_(\text(hlavná))=100S hlavné = 1 0 0
h = 30 h = 30 h =3 0

Poznáme všetky množstvá, dosadíme ich číselné hodnoty do vzorca a nájdeme:

V = 1 3 ⋅ S hlavné ⋅ h = 1 3 ⋅ 100 ⋅ 30 = 1 000 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot S_(\text(hlavný))\cdot h=\frac(1)( 3)\cdot 100\cdot 30=1000\text(cm)^3V =3 1 ⋅ S hlavné ⋅ h =3 1 ⋅ 1 0 0 ⋅ 3 0 = 1 0 0 0 cm3

Odpoveď

1000 cm3. 1000\text(cm)^3.1 0 0 0 cm3 .

Vzorec pre objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

Táto metóda je vhodná, ak je pyramída pravidelná a trojuholníková.

Objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy

V = h ⋅ a 2 4 3 V=\frac(h\cdot a^2)(4\sqrt(3))V =4 3 h ⋅ a 2

H h h- výška pyramídy;
a a a

Úloha 2

Vypočítajte objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, ak jej základňou je rovnostranný trojuholník, ktorého strana je rovná 5 cm 5\text( cm) 5 cm, a výška pyramídy je 19 cm 19\text( cm) 1 9 cm.

Riešenie

A=5 a=5 a =5
h = 19 h = 19 h =1 9

Stačí nahradiť tieto hodnoty do vzorca pre objem:

V = v ⋅ a 2 4 3 = 19 ⋅ 5 2 4 3 ≈ 68,6 cm 3 (4\sqrt(3))\približne 68,6\text( cm)^3V =4 3 h ⋅ a 2 = 4 3 1 9 ⋅ 5 2 ≈ 6 8 . 6 cm3

Odpoveď

68,6 cm3. 68,6\text(cm)^3.6 8 . 6 cm3 .

Vzorec pre objem pravidelnej štvorhrannej pyramídy

Objem pravidelného štvorbokého ihlana

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2V =3 1 ⋅ h ⋅a 2

H h h- výška pyramídy;
a a a strane základne pyramídy.

Úloha 3

Daná pravidelná štvoruholníková pyramída. Vypočítajte jeho objem, ak je jeho výška 7 cm 7\text (cm) 7 cm a strana základne je - 2 cm 2\text( cm) 2 cm.

Riešenie

A=2 a=2 a =2
h = 7 h = 7 h =7

Vypočítajte podľa vzorca:

V = 1 3 ⋅ h ⋅ a 2 = 1 3 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9,3 cm 3 V=\frac(1)(3)\cdot h\cdot a^2=\frac(1)(3)\cdot 7\cdot 2^2\približne 9,3\text(cm)^3V =3 1 ⋅ h ⋅a 2 = 3 1 ⋅ 7 ⋅ 2 2 ≈ 9 . 3 cm3

Odpoveď

9,3 cm3. 9,3\text(cm)^3.9 . 3 cm3 .

Objemový vzorec pre štvorsten

Objem štvorstenu

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)V =1 2 2 ⋅ a 3

A a a je dĺžka okraja štvorstenu.

Úloha 4

Dĺžka okraja štvorstenu je 13 cm 13\text( cm) 1 3 cm. Nájdite jeho objem.

Riešenie

A=13 a=13 a =1 3

Náhradník a a a do vzorca pre objem štvorstenu:

V = 2 ⋅ a 3 12 = 2 ⋅ 1 3 3 12 ≈ 259 cm 3 3)(12)\cca259\text(cm)^3V =1 2 2 ⋅ a 3 = 1 2 2 ⋅ 1 3 3 ≈ 2 5 9 cm3

Odpoveď

$259\text(cm)^3.$

Pyramídový objemový vzorec ako determinant

Asi najexotickejší spôsob výpočtu objemu daného telesa.

Nech sú vektory, na ktorých je pyramída postavená, uvedené ako na stranách. Potom sa jeho objem bude rovnať jednej šestine zmiešaného súčinu vektorov. Ten sa zasa rovná determinantu zloženému zo súradníc týchto vektorov. Ak je teda pyramída postavená na troch vektoroch:

$\vec(a)=(a_x, a_y, a_z)$

potom objem zodpovedajúcej pyramídy je taký determinant:

Objem pyramídy cez determinant

$V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y \\ c_x & c_y \ & c )$

Úloha 5

Nájdite objem pyramídy prostredníctvom zmiešaného súčinu vektorov, ktorých súradnice sú: $a = (2, 3, 5), b = (1, 4, 4), c = (3, 5, 7) .$

Riešenie

$\vec(a)=(2,3,5)$

Podľa vzorca:

$V=\frac(1)(6)\ cdot\begin(vmatrix) 2 & 3 & 5 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 5 & 7 \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot(2\cdot4\cdot7 + 3\cdot4\cdot3 + 5\cdot1\cdot5 - 5\cdot4\cdot3 - 2\cdot4\cdot5 - 3\cdot1\cdot7) =\frac(1)(6)\cdot(56 + 36 + 25 - 60 - 40 - 21)=\frac(1)(6)\cdot(-4)=-\frac(2)(3)\približne-0,7$

Musíme vziať modul tohto čísla, pretože objem je nezáporná hodnota:

$V=0,7\text( cm)^3$

Odpoveď

$0,7\text(cm)^3.$

štvorhranná pyramída Mnohosten sa nazýva mnohosten, ktorého základňa je štvorec a všetky bočné strany sú identické rovnoramenné trojuholníky.

Tento mnohosten má mnoho rôznych vlastností:

Jeho bočné rebrá a priľahlé dihedrálne uhly sú navzájom rovnaké;
Oblasti bočných plôch sú rovnaké;
Na základni pravidelného štvorbokého ihlana leží štvorec;
Výška znížená z vrcholu pyramídy sa pretína s priesečníkom uhlopriečok základne.

Všetky tieto vlastnosti uľahčujú vyhľadávanie. Pomerne často je však okrem toho potrebné vypočítať objem mnohostenu. Na tento účel použite vzorec pre objem štvorhrannej pyramídy:

To znamená, že objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu výšky pyramídy a plochy základne. Keďže sa rovná súčinu jej rovnakých strán, vzorec štvorcovej plochy ihneď zadáme do objemového vyjadrenia.
Zvážte príklad výpočtu objemu štvorhrannej pyramídy.

Nech je daný štvorhranný ihlan, na základni ktorého leží štvorec so stranou a = 6 cm Bočná strana ihlanu je b = 8 cm Nájdite objem ihlana.

Na zistenie objemu daného mnohostenu potrebujeme dĺžku jeho výšky. Nájdeme ho teda použitím Pytagorovej vety. Najprv vypočítajme dĺžku uhlopriečky. V modrom trojuholníku to bude prepona. Je tiež potrebné pripomenúť, že uhlopriečky štvorca sú rovnaké a sú rozdelené na polovicu v priesečníku:

Teraz z červeného trojuholníka nájdeme výšku, ktorú potrebujeme h. Bude sa rovnať:

Nahraďte požadované hodnoty a nájdite výšku pyramídy:

Teraz, keď poznáme výšku, môžeme nahradiť všetky hodnoty vo vzorci pre objem pyramídy a vypočítať požadovanú hodnotu:

Takto, poznajúc niekoľko jednoduchých vzorcov, sme dokázali vypočítať objem pravidelnej štvorhrannej pyramídy. Nezabudnite, že táto hodnota sa meria v kubických jednotkách.

Definícia. Bočná tvár- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a jeho opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).

Definícia. Bočné rebrá sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko je rohov v polygóne.

Definícia. výška pyramídy je kolmica spadnutá z vrcholu na základňu pyramídy.

Definícia. Apothem- toto je kolmica bočnej steny pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.

Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.

Definícia. Správna pyramída- Toto je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne.

Objem a povrch pyramídy

Vzorec. objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:

vlastnosti pyramídy

Ak sú všetky bočné hrany rovnaké, potom môže byť okolo základne pyramídy opísaný kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).

Ak sú všetky bočné rebrá rovnaké, potom sú naklonené k základnej rovine v rovnakých uhloch.

Bočné rebrá sú rovnaké, keď zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou, alebo ak možno okolo základne pyramídy opísať kruh.

Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod jedným uhlom, potom môže byť do základne pyramídy vpísaný kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.

Ak sú bočné plochy naklonené k základnej rovine pod jedným uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.

Vlastnosti pravidelnej pyramídy

1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.

2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.

3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.

4. Apotémy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.

6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.

7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.

8. Guľu možno vpísať do pyramídy. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.

9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet plochých uhlov na vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π / n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.

Spojenie pyramídy s guľou

Okolo pyramídy možno opísať guľu, keď na základni pyramídy leží mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.

Guľa môže byť vždy opísaná okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.

Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.

Spojenie pyramídy s kužeľom

Kužeľ sa nazýva vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.

Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy rovnaké.

Kužeľ je opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.

Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.

Spojenie pyramídy s valcom

O pyramíde sa hovorí, že je vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.

Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak môže byť kruh opísaný okolo základne pyramídy.

Definícia. Zrezaná pyramída (pyramídový hranol)- Toto je mnohosten, ktorý sa nachádza medzi základňou pyramídy a rovinou rezu rovnobežnou so základňou. Pyramída má teda veľkú základňu a menšiu základňu, ktorá je podobná tej väčšej. Bočné plochy sú lichobežníkové.

Definícia. Trojuholníková pyramída (tetrahedron)- je to pyramída, v ktorej sú tri steny a základňa ľubovoľné trojuholníky.

Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.

Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojstenný uhol.

Segment spájajúci vrchol štvorstenu so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).

Bimedián sa nazýva segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).

Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány v pomere 3: 1 začínajúc zhora.

Definícia. naklonená pyramída je ihlan, v ktorom jedna z hrán zviera tupý uhol (β) so základňou.

Definícia. Obdĺžniková pyramída je pyramída, v ktorej jedna z bočných stien je kolmá na základňu.

Definícia. Akútna uhlová pyramída je pyramída, v ktorej má apotém viac ako polovicu dĺžky strany základne.

Definícia. tupá pyramída je pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany základne.

Definícia. pravidelný štvorstenŠtvorsten, ktorého štyri strany sú rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných polygónov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.

Definícia. Obdĺžnikový štvorsten nazýva sa štvorsten, ktorý má vo vrchole pravý uhol medzi tromi hranami (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojstenný uhol a steny sú pravouhlé trojuholníky a základňa je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.

Definícia. Izoedrický štvorsten Nazýva sa štvorsten, v ktorom sú bočné strany rovnaké a základňa je pravidelný trojuholník. Tváre takého štvorstenu sú rovnoramenné trojuholníky.

Definícia. Ortocentrický štvorsten nazýva sa štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.

Definícia. hviezdna pyramída Mnohosten, ktorého základom je hviezda, sa nazýva.

Definícia. bipyramída- mnohosten pozostávajúci z dvoch rôznych pyramíd (pyramídy môžu byť aj odrezané), ktoré majú spoločnú základňu a vrcholy ležia na opačných stranách základnej roviny.

Sekcie