Oblasť základne hranola. Hranolový povrch

Definícia. Hranol- je to mnohosten, ktorého všetky vrcholy sú umiestnené v dvoch rovnobežných rovinách a v tých istých rovinách sú dve strany hranola, ktoré sú rovnakými mnohouholníkmi s príslušnými rovnobežnými stranami a všetky hrany, ktoré v nich neležia roviny sú rovnobežné.

Volajú sa dve rovnaké tváre hranolové základne(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Všetky ostatné plochy hranola sú tzv bočné steny(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Všetky bočné plochy tvoria bočný povrch hranola .

Všetky bočné strany hranola sú rovnobežníky .

Hrany, ktoré neležia na základniach, sa nazývajú bočné hrany hranola ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Uhlopriečka hranola nazýva sa segment, ktorého konce sú dva vrcholy hranola, ktoré neležia na jednej z jeho plôch (AD 1).

Dĺžka úsečky spájajúcej podstavy hranola a kolmá na obe podstavy súčasne je tzv. výška hranola .

Označenie:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najskôr sú v poradí obchádzania označené vrcholy jednej základne a potom v rovnakom poradí vrcholy druhej; konce každej bočnej hrany sú označené rovnakými písmenami, iba vrcholy ležiace v jedna základňa je označená písmenami bez indexu a v druhej - s indexom)

Názov hranola je spojený s počtom uhlov na obrázku ležiacom pri jeho základni, napríklad na obrázku 1 je základňa päťuholník, takže hranol je tzv. päťuholníkový hranol. Ale odvtedy taký hranol má 7 plôch, potom to sedemsten(2 strany sú základne hranola, 5 strán sú rovnobežníky, sú jeho bočné strany)

Medzi rovnými hranolmi vyniká konkrétny typ: pravidelné hranoly.

Priamy hranol sa nazýva správne, ak sú jeho základne pravidelné mnohouholníky.

Rovnobežníkovité

kváder- pravý rovnobežnosten, ktorého základňou je obdĺžnik.

Vlastnosti a vety:

,

kde d je uhlopriečka štvorca;
a - strana námestia.

Myšlienka hranolu je daná:

• rôzne architektonické štruktúry;
• Detské hračky;
• krabice na balenie;
• dizajnérske predmety atď.

Celková a bočná plocha hranola

S plná \u003d S strana + 2S hlavná,

kde S plný- celková plocha, S strana- bočná plocha, S hlavná- základná plocha

Plocha bočného povrchu rovného hranola sa rovná súčinu obvodu základne a výšky hranola.

S strana\u003d P hlavná * h,

kde S strana je plocha bočného povrchu rovného hranola,

P hlavná - obvod základne rovného hranolu,

h je výška priameho hranola, rovná bočnej hrane.

Objem hranola

Objem hranola sa rovná súčinu plochy základne a výšky.

V školských osnovách pre predmet objemová geometria sa štúdium trojrozmerných útvarov zvyčajne začína jednoduchým geometrickým telesom - hranolovým mnohostenom. Úlohu jeho základov plnia 2 rovnaké polygóny ležiace v rovnobežných rovinách. Špeciálnym prípadom je pravidelný štvorhranný hranol. Jeho základňami sú 2 rovnaké pravidelné štvoruholníky, na ktoré sú strany kolmé, majúce tvar rovnobežníkov (alebo obdĺžnikov, ak hranol nie je naklonený).

Ako vyzerá hranol

Pravidelný štvorhranný hranol je šesťuholník, na základni ktorého sú 2 štvorce a bočné strany sú znázornené obdĺžnikmi. Ďalším názvom tejto geometrickej postavy je rovný rovnobežnosten.

Obrázok, ktorý zobrazuje štvoruholníkový hranol, je zobrazený nižšie.

Môžete vidieť aj na obrázku najdôležitejšie prvky, ktoré tvoria geometrické teleso. Bežne sa označujú ako:

Niekedy v problémoch v geometrii nájdete koncept sekcie. Definícia bude znieť takto: rez sú všetky body objemového telesa, ktoré patria do roviny rezu. Rez je kolmý (pretína okraje obrázku pod uhlom 90 stupňov). Pri pravouhlom hranole sa uvažuje aj s diagonálnym rezom (maximálny počet sekcií, ktoré je možné postaviť sú 2), prechádzajúcimi cez 2 hrany a uhlopriečky podstavy.

Ak je rez nakreslený tak, že rovina rezu nie je rovnobežná ani so základňami, ani s bočnými plochami, výsledkom je zrezaný hranol.

Na nájdenie redukovaných prizmatických prvkov sa používajú rôzne pomery a vzorce. Niektoré z nich sú známe z priebehu planimetrie (napríklad na nájdenie plochy základne hranola stačí pripomenúť vzorec pre plochu štvorca).

Plocha a objem

Ak chcete určiť objem hranola podľa vzorca, musíte poznať oblasť jeho základne a výšky:

V = Sprim h

Pretože základom pravidelného štvorstenného hranola je štvorec so stranou a, Vzorec môžete napísať v podrobnejšej forme:

V = a² h

Ak hovoríme o kocke - pravidelnom hranole s rovnakou dĺžkou, šírkou a výškou, objem sa vypočíta takto:

Aby ste pochopili, ako nájsť bočnú plochu hranola, musíte si predstaviť jeho zametanie.

Z výkresu je zrejmé, že bočná plocha je tvorená 4 rovnakými obdĺžnikmi. Jeho plocha sa vypočíta ako súčin obvodu základne a výšky postavy:

Strana = Poz. h

Keďže obvod štvorca je P = 4a vzorec má tvar:

Sside = 4h

Pre kocku:

Strana strany = 4a²

Na výpočet celkovej plochy hranola pridajte 2 základné plochy k bočnej ploche:

Plná = Sstrana + 2Szákladňa

Pri použití na štvoruholníkový pravidelný hranol má vzorec tvar:

Plný = 4a h + 2a²

Pre povrch kocky:

Plný = 6a²

Keď poznáte objem alebo plochu povrchu, môžete vypočítať jednotlivé prvky geometrického telesa.

Hľadanie hranolových prvkov

Často sa vyskytujú problémy, pri ktorých je daný objem alebo je známa hodnota bočnej plochy, kde je potrebné určiť dĺžku strany základne alebo výšku. V takýchto prípadoch možno odvodiť vzorce:

• dĺžka základnej strany: a = strana S/4h = √(V/h);
• výška alebo dĺžka bočného rebra: h = strana S/4a = V/a2;
• základná plocha: Sprim = V/h;
• oblasť bočnej tváre: Side gr = Sstrana / 4.

Ak chcete určiť, akú veľkú plochu má diagonálna časť, musíte poznať dĺžku uhlopriečky a výšku postavy. Pre štvorec d = a√2. Preto:

Sdiag = ah√2

Na výpočet uhlopriečky hranola sa používa vzorec:

dcena = √(2a² + h²)

Aby ste pochopili, ako použiť vyššie uvedené pomery, môžete si precvičiť a vyriešiť niekoľko jednoduchých úloh.

Príklady problémov s riešeniami

Tu sú niektoré z úloh, ktoré sa objavujú na štátnych záverečných skúškach z matematiky.

Cvičenie 1.

Piesok sa nasype do krabice, ktorá má tvar pravidelného štvoruholníkového hranola. Výška jeho hladiny je 10 cm Aká bude hladina piesku, ak ho presuniete do nádoby rovnakého tvaru, ale s 2-krát dlhšou základňou?

Malo by sa argumentovať nasledovne. Množstvo piesku v prvej a druhej nádobe sa nezmenilo, t.j. jeho objem v nich je rovnaký. Dĺžku základne môžete definovať ako a. V tomto prípade pre prvý box bude objem látky:

V₁ = ha2 = 10a2

Pre druhú krabicu je dĺžka základne 2a, ale výška hladiny piesku nie je známa:

V2 = h(2a)2 = 4 ha2

Pretože V1 = V2, výrazy možno prirovnať:

10a² = 4ha²

Po zmenšení oboch strán rovnice o a² dostaneme:

V dôsledku toho bude nová úroveň piesku h = 10/4 = 2,5 cm.

Úloha 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravidelný hranol. Je známe, že BD = AB₁ = 6√2. Nájdite celkový povrch tela.

Aby ste ľahšie pochopili, ktoré prvky sú známe, môžete nakresliť obrázok.

Keďže hovoríme o pravidelnom hranole, môžeme usúdiť, že základňa je štvorec s uhlopriečkou 6√2. Uhlopriečka bočnej plochy má rovnakú hodnotu, preto má aj bočná plocha tvar štvorca rovnajúceho sa základni. Ukazuje sa, že všetky tri rozmery - dĺžka, šírka a výška - sú rovnaké. Môžeme konštatovať, že ABCDA₁B₁C₁D₁ je kocka.

Dĺžka ktorejkoľvek hrany je určená pomocou známej uhlopriečky:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celkový povrch sa zistí podľa vzorca pre kocku:

Plný = 6a² = 662 = 216

Úloha 3.

V izbe prebieha rekonštrukcia. Je známe, že jeho podlaha má tvar štvorca s rozlohou 9 m². Výška miestnosti je 2,5 m Aké sú najnižšie náklady na tapetovanie miestnosti, ak 1 m² stojí 50 rubľov?

Keďže podlaha a strop sú štvorce, teda pravidelné štvoruholníky a jej steny sú kolmé na vodorovné plochy, môžeme usúdiť, že ide o pravidelný hranol. Je potrebné určiť plochu jeho bočného povrchu.

Dĺžka miestnosti je a = √9 = 3 m.

Námestie bude pokryté tapetou Strana strany = 4 3 2,5 = 30 m².

Najnižšie náklady na tapety pre túto miestnosť budú 50 30 = 1 500 rubľov.

Na riešenie úloh pre pravouhlý hranol teda stačí vedieť vypočítať obsah a obvod štvorca a obdĺžnika, ako aj poznať vzorce na zistenie objemu a povrchu.

Ako nájsť plochu kocky

Rôzne hranoly sa od seba líšia. Zároveň majú veľa spoločného. Ak chcete nájsť oblasť základne hranola, musíte zistiť, ako vyzerá.

Všeobecná teória

Hranol je akýkoľvek mnohosten, ktorého strany majú tvar rovnobežníka. Okrem toho môže byť na svojej základni akýkoľvek mnohosten - od trojuholníka po n-uholník. Okrem toho sú základne hranola vždy rovnaké. Čo neplatí pre bočné plochy - môžu sa výrazne líšiť vo veľkosti.

Pri riešení problémov sa stretávame nielen s oblasťou základne hranola. Môže byť potrebné poznať bočnú plochu, to znamená všetky plochy, ktoré nie sú základňou. Celý povrch už bude spojením všetkých tvárí, ktoré tvoria hranol.

Niekedy sa v úlohách objavujú výšky. Je kolmá na základne. Uhlopriečka mnohostenu je segment, ktorý v pároch spája ľubovoľné dva vrcholy, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Je potrebné poznamenať, že plocha základne rovného alebo nakloneného hranola nezávisí od uhla medzi nimi a bočnými plochami. Ak majú rovnaké čísla v hornej a dolnej časti tváre, ich plochy budú rovnaké.

trojuholníkový hranol

Na základni má postavu s tromi vrcholmi, čiže trojuholník. Je známe, že je to iné. Ak potom stačí pripomenúť, že jeho plocha je určená polovicou súčinu nôh.

Matematický zápis vyzerá takto: S = ½ av.

Na zistenie plochy základne vo všeobecnej forme sú užitočné vzorce: Volavka a tá, v ktorej je polovica strany vytiahnutá do výšky, ktorá je k nej prikreslená.

Prvý vzorec by mal byť napísaný takto: S \u003d √ (p (r-a) (r-in) (r-c)). Tento záznam obsahuje polobvod (p), teda súčet troch strán delený dvomi.

Po druhé: S = ½ n a * a.

Ak chcete poznať oblasť základne trojuholníkového hranola, ktorá je pravidelná, trojuholník sa ukáže ako rovnostranný. Má svoj vlastný vzorec: S = ¼ a 2 * √3.

štvoruholníkový hranol

Jeho základňou je ktorýkoľvek zo známych štvoruholníkov. Môže to byť obdĺžnik alebo štvorec, rovnobežnosten alebo kosoštvorec. V každom prípade, aby ste mohli vypočítať plochu základne hranola, budete potrebovať svoj vlastný vzorec.

Ak je základňou obdĺžnik, jeho obsah sa určí takto: S = av, kde a, b sú strany obdĺžnika.

Pokiaľ ide o štvoruholníkový hranol, základná plocha bežného hranola sa vypočíta pomocou vzorca pre štvorec. Pretože je to on, kto leží na základni. S \u003d a 2.

V prípade, že základňou je rovnobežnosten, bude potrebná nasledujúca rovnosť: S \u003d a * n a. Stáva sa, že je daná strana rovnobežnostena a jeden z uhlov. Potom na výpočet výšky budete musieť použiť ďalší vzorec: na \u003d b * sin A. Okrem toho uhol A susedí so stranou „b“ a výška je protiľahlá k tomuto uhlu.

Ak na základni hranola leží kosoštvorec, potom na určenie jeho plochy bude potrebný rovnaký vzorec ako pre rovnobežník (pretože ide o jeho špeciálny prípad). Môžete však použiť aj toto: S = ½ d 1 d 2. Tu d 1 a d 2 sú dve uhlopriečky kosoštvorca.

Pravidelný päťuholníkový hranol

V tomto prípade ide o rozdelenie mnohouholníka na trojuholníky, ktorých oblasti sa dajú ľahšie zistiť. Aj keď sa stáva, že figúry môžu byť s rôznym počtom vrcholov.

Keďže základom hranola je pravidelný päťuholník, možno ho rozdeliť na päť rovnostranných trojuholníkov. Potom sa plocha základne hranola rovná ploche jedného takého trojuholníka (vzorec je uvedený vyššie), vynásobenej piatimi.

Pravidelný šesťhranný hranol

Podľa princípu opísaného pre päťuholníkový hranol je možné rozdeliť základný šesťuholník na 6 rovnostranných trojuholníkov. Vzorec pre oblasť základne takéhoto hranola je podobný predchádzajúcemu. Iba v ňom by sa malo vynásobiť šesť.

Vzorec bude vyzerať takto: S = 3/2 a 2 * √3.

Úlohy

č.1. Je daná pravidelná priamka. Jej uhlopriečka je 22 cm, výška mnohostenu je 14 cm. Vypočítajte plochu základne hranola a celého povrchu.

Riešenie. Základňa hranola je štvorec, ale jeho strana nie je známa. Jeho hodnotu zistíte z uhlopriečky štvorca (x), ktorá súvisí s uhlopriečkou hranola (d) a jeho výškou (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Na druhej strane, tento segment "x" je prepona v trojuholníku, ktorého nohy sa rovnajú strane štvorca. To znamená, x 2 \u003d a 2 + a 2. Ukazuje sa teda, že a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.

Namiesto d nahraďte číslo 22 a nahraďte „n“ jeho hodnotou - 14, ukáže sa, že strana štvorca je 12 cm. Teraz je ľahké zistiť základnú plochu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .

Ak chcete zistiť plochu celého povrchu, musíte pridať dvojnásobok hodnoty základnej plochy a zoštvornásobiť stranu. Ten sa dá ľahko nájsť podľa vzorca pre obdĺžnik: vynásobte výšku mnohostenu a stranu základne. To znamená, že 14 a 12 sa toto číslo bude rovnať 168 cm2. Celková plocha hranola je 960 cm2.

Odpoveď. Základná plocha hranola je 144 cm2. Celá plocha - 960 cm 2 .

2. Dana Na základni leží trojuholník so stranou 6 cm.V tomto prípade je uhlopriečka bočnej plochy 10 cm.Vypočítajte plochy: základňa a bočná plocha.

Riešenie. Keďže hranol je pravidelný, jeho základňou je rovnostranný trojuholník. Jeho plocha sa teda rovná 6-krát na druhú ¼ a druhej odmocnine z 3. Jednoduchým výpočtom dostaneme výsledok: 9√3 cm2. Toto je oblasť jednej základne hranola.

Všetky bočné plochy sú rovnaké a sú to obdĺžniky so stranami 6 a 10 cm, na výpočet ich plôch stačí tieto čísla vynásobiť. Potom ich vynásobte tromi, pretože hranol má presne toľko bočných plôch. Potom sa plocha bočného povrchu navinie 180 cm 2 .

Odpoveď. Plochy: základňa - 9√3 cm 2, bočná plocha hranola - 180 cm 2.