Najmenší spoločný násobok troch číslic. Ako nájsť najmenší spoločný násobok čísel
Ako nájsť najmenší spoločný násobok?
Ako nájsť NOC
Tu je video, ktoré vám ukáže dva spôsoby, ako nájsť najmenší spoločný násobok (LCM). Cvičením pomocou prvej z navrhovaných metód môžete lepšie pochopiť, čo je najmenší spoločný násobok.
- Každé číslo reprezentujeme ako súčin jeho prvočísel:
- Zapíšeme mocniny všetkých prvočiniteľov:
- Vyberieme všetkých prvočíselníkov (násobiteľov) s najväčšími stupňami, vynásobíme ich a nájdeme LCM:
- Prvým krokom je rozloženie týchto čísel na prvočísla.
- Vypíšeme faktory, ktoré sú zahrnuté v expanzii čísla 30. To je 2 x 3 x 5.
- Teraz ich musíte vynásobiť chýbajúcim faktorom, ktorý máme pri rozklade 42, a to je 7. Dostaneme 2 x 3 x 5 x 7.
- Nájdeme, čo sa rovná 2 x 3 x 5 x 7 a dostaneme 210.
- Obe čísla rozložíme na prvočísla: 8=2*2*2 a 12=3*2*2
- Znížime rovnaké násobiče pre jedno z čísel. V našom prípade sa 2 * 2 zhodujú, znížime ich na číslo 12, potom 12 bude mať jeden faktor: 3.
- Nájdite súčin všetkých zostávajúcich faktorov: 2*2*2*3=24
Je potrebné nájsť každý faktor každého z dvoch čísel, pre ktoré nájdeme najmenší spoločný násobok, a potom navzájom vynásobiť faktory, ktoré sa zhodovali s prvým a druhým číslom. Výsledkom produktu bude požadovaný násobok.
Napríklad máme čísla 3 a 5 a potrebujeme nájsť LCM (najmenší spoločný násobok). nás treba vynásobiť a tri a päť pre všetky čísla začínajúce od 1 2 3 ... a tak ďalej, kým neuvidíme rovnaké číslo tam aj tam.
Vynásobíme tri a dostaneme: 3, 6, 9, 12, 15
Vynásobte päť a získajte: 5, 10, 15
Metóda prvočíselného rozkladu je najklasickejšia na nájdenie najmenšieho spoločného násobku (LCM) viacerých čísel. Táto metóda je jasne a jednoducho demonštrovaná v nasledujúcom videu:
Sčítanie, násobenie, delenie, zmenšovanie na spoločného menovateľa a ďalšie aritmetické operácie sú veľmi vzrušujúcou činnosťou, obzvlášť obdivované sú príklady, ktoré zaberajú celý hárok.
Nájdite teda pre dve čísla spoločný násobok, ktorý bude najmenším číslom, ktorým sú dve čísla deliteľné. Chcem poznamenať, že v budúcnosti nie je potrebné uchýliť sa k vzorcom, aby ste našli to, čo hľadáte, ak viete počítať vo svojej mysli (a to sa dá natrénovať), potom sa vám v hlave objavia samotné čísla a potom zlomky cvakajú ako orechy.
Na začiatok sa naučíme, že môžeme vynásobiť dve čísla proti sebe, a potom toto číslo zmenšiť a striedavo deliť týmito dvoma číslami, takže nájdeme najmenší násobok.
Napríklad dve čísla 15 a 6. Vynásobíme a dostaneme 90. Toto je jednoznačne väčšie číslo. Navyše, 15 je deliteľné 3 a 6 je deliteľné 3, čo znamená, že tiež delíme 90 3. Dostaneme 30. Skúsime deliť 30 číslom 15 je 2. A 30 delí 6 je 5. Keďže 2 je limita, ukazuje sa, že najmenší násobok čísel 15 a 6 bude 30.
S väčším počtom čísel to bude trochu zložitejšie. ale ak viete, ktoré čísla dávajú pri delení alebo násobení nulový zvyšok, potom v zásade neexistujú žiadne veľké ťažkosti.
Tu je ďalší spôsob, ako nájsť najmenší spoločný násobok. Pozrime sa na názorný príklad.
Je potrebné nájsť LCM troch čísel naraz: 16, 20 a 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.
LCM(16, 20, 28) = 560.
Výsledkom výpočtu bolo teda číslo 560. Je to najmenší spoločný násobok, to znamená, že je bezo zvyšku deliteľné každým z troch čísel.
Najmenší spoločný násobok je číslo, ktoré možno bezo zvyšku deliť niekoľkými danými číslami. Aby ste mohli vypočítať takéto číslo, musíte vziať každé číslo a rozložiť ho na jednoduché faktory. Čísla, ktoré sa zhodujú, sa odstránia. Opustí všetkých po jednom, postupne ich medzi sebou znásobíte a získate požadovaný - najmenší spoločný násobok.
NOC, príp najmenší spoločný násobok, je najmenšie prirodzené číslo dvoch alebo viacerých čísel, ktoré je deliteľné každým z daných čísel bezo zvyšku.
Tu je príklad, ako nájsť najmenší spoločný násobok 30 a 42.
Za 30 je to 2 x 3 x 5.
Pre 42 je to 2 x 3 x 7. Keďže 2 a 3 sú v expanzii čísla 30, prečiarkneme ich.
Výsledkom je, že LCM čísel 30 a 42 je 210.
Nájsť najmenší spoločný násobok, musíte postupovať podľa niekoľkých jednoduchých krokov za sebou. Zvážte to na príklade dvoch čísel: 8 a 12
Pri kontrole sa presvedčíme, že 24 je deliteľné 8 aj 12, a to je najmenšie prirodzené číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. Tu sme nájsť najmenší spoločný násobok.
Skúsim to vysvetliť na príklade čísel 6 a 8. Najmenší spoločný násobok je číslo, ktoré možno týmito číslami deliť (v našom prípade 6 a 8) a nezostane.
Začneme teda násobiť najskôr 6 1, 2, 3 atď. a 8 1, 2, 3 atď.
Téma "Viacnásobné čísla" sa študuje v 5. ročníku strednej školy. Jeho cieľom je zlepšiť písomné a ústne zručnosti matematických výpočtov. V tejto lekcii sú predstavené nové pojmy - "viacnásobné čísla" a "deliteľky", rozpracúva sa technika hľadania deliteľov a násobkov prirodzeného čísla, schopnosť nájsť LCM rôznymi spôsobmi.
Táto téma je veľmi dôležitá. Poznatky na ňom možno uplatniť pri riešení príkladov so zlomkami. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť spoločného menovateľa výpočtom najmenšieho spoločného násobku (LCM).
Násobok A je celé číslo, ktoré je deliteľné A bezo zvyšku.
Každé prirodzené číslo má nekonečný počet jeho násobkov. Považuje sa za najmenej. Násobok nemôže byť menší ako samotné číslo.
Je potrebné dokázať, že číslo 125 je násobkom čísla 5. Aby ste to dosiahli, musíte vydeliť prvé číslo druhým. Ak je 125 deliteľné 5 bez zvyšku, odpoveď je áno.
Táto metóda je použiteľná pre malé čísla.
Pri výpočte LCM existujú špeciálne prípady.
1. Ak potrebujete nájsť spoločný násobok pre 2 čísla (napríklad 80 a 20), pričom jedno z nich (80) je deliteľné bezo zvyšku druhým (20), potom je toto číslo (80) najmenšie násobok týchto dvoch čísel.
LCM (80, 20) = 80.
2. Ak dve nemajú spoločného deliteľa, potom môžeme povedať, že ich LCM je súčinom týchto dvoch čísel.
LCM (6, 7) = 42.
Zvážte posledný príklad. 6 a 7 vo vzťahu k 42 sú deliče. Delia násobok bezo zvyšku.
V tomto príklade sú 6 a 7 párové deliče. Ich súčin sa rovná najväčšiemu násobku (42).
Číslo sa nazýva prvočíslo, ak je deliteľné len samo sebou alebo 1 (3:1=3; 3:3=1). Ostatné sa nazývajú kompozitné.
V inom príklade musíte určiť, či 9 je deliteľ vzhľadom na 42.
42:9=4 (zvyšok 6)
Odpoveď: 9 nie je deliteľom 42, pretože odpoveď má zvyšok.
Deliteľ sa líši od násobku tým, že deliteľ je číslo, ktorým sa delia prirodzené čísla, a samotný násobok je deliteľný týmto číslom.
Najväčší spoločný deliteľ čísel a a b, vynásobený ich najmenším násobkom, dá súčin samotných čísel a a b.
Konkrétne: GCD (a, b) x LCM (a, b) = a x b.
Spoločné násobky pre komplexnejšie čísla sa nachádzajú nasledujúcim spôsobom.
Nájdite napríklad LCM pre 168, 180, 3024.
Tieto čísla rozložíme na prvočísla, zapíšeme ich ako súčin mocnin:
168 = 2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM (168, 180, 3024) = 15120.
Definícia. Nazýva sa najväčšie prirodzené číslo, ktorým sú čísla a a b deliteľné bezo zvyšku najväčší spoločný deliteľ (gcd) tieto čísla.
Nájdite najväčšieho spoločného deliteľa čísel 24 a 35.
Deliteľmi 24 budú čísla 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 a deliteľmi 35 budú čísla 1, 5, 7, 35.
Vidíme, že čísla 24 a 35 majú len jedného spoločného deliteľa – číslo 1. Takéto čísla sa nazývajú nesúdeliteľné.
Definícia. Prirodzené čísla sa nazývajú nesúdeliteľné ak ich najväčší spoločný deliteľ (gcd) je 1.
Najväčší spoločný deliteľ (GCD) možno nájsť bez vypisovania všetkých deliteľov daných čísel.
Rozložením čísel 48 a 36 dostaneme:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Z faktorov zahrnutých do rozšírenia prvého z týchto čísel vypúšťame tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia druhého čísla (t. j. dve dvojky).
Zostávajú faktory 2 * 2 * 3. Ich súčin je 12. Toto číslo je najväčším spoločným deliteľom čísel 48 a 36. Nájdeme aj najväčšieho spoločného deliteľa troch alebo viacerých čísel.
Nájsť najväčší spoločný deliteľ
2) z faktorov zahrnutých do rozšírenia jedného z týchto čísel prečiarknite tie, ktoré nie sú zahrnuté do rozšírenia iných čísel;
3) nájdite súčin zostávajúcich faktorov.
Ak sú všetky dané čísla deliteľné jedným z nich, potom toto číslo je najväčší spoločný deliteľ dané čísla.
Napríklad najväčší spoločný deliteľ 15, 45, 75 a 180 je 15, pretože delí všetky ostatné čísla: 45, 75 a 180.
Najmenší spoločný násobok (LCM)
Definícia. Najmenší spoločný násobok (LCM) prirodzené čísla a a b sú najmenšie prirodzené číslo, ktoré je násobkom oboch a a b. Najmenší spoločný násobok (LCM) čísel 75 a 60 možno nájsť bez vypisovania násobkov týchto čísel za sebou. Aby sme to dosiahli, rozložíme 75 a 60 na jednoduché faktory: 75 \u003d 3 * 5 * 5 a 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Vypíšeme faktory zahrnuté do rozšírenia prvého z týchto čísel a doplníme k nim chýbajúce faktory 2 a 2 z rozšírenia druhého čísla (čiže faktory spojíme).
Dostaneme päť faktorov 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ktorých súčin je 300. Toto číslo je najmenší spoločný násobok čísel 75 a 60.
Nájdite tiež najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel.
Komu nájsť najmenší spoločný násobok niekoľko prirodzených čísel, potrebujete:
1) rozložiť ich na hlavné faktory;
2) napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel;
3) pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel;
4) nájdite súčin výsledných faktorov.
Všimnite si, že ak je jedno z týchto čísel deliteľné všetkými ostatnými číslami, potom je toto číslo najmenším spoločným násobkom týchto čísel.
Napríklad najmenší spoločný násobok 12, 15, 20 a 60 by bol 60, pretože je deliteľný všetkými danými číslami.
Pytagoras (VI. storočie pred Kristom) a jeho študenti študovali problematiku deliteľnosti čísel. Číslo, ktoré sa rovná súčtu všetkých jeho deliteľov (bez samotného čísla), nazývali dokonalé číslo. Napríklad čísla 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) sú dokonalé. Ďalšie dokonalé čísla sú 496, 8128, 33 550 336. Pytagorejci poznali iba prvé tri dokonalé čísla. Štvrtý - 8128 - sa stal známym v 1. storočí. n. e. Piata - 33 550 336 - bola nájdená v 15. storočí. Do roku 1983 už bolo známych 27 dokonalých čísel. Doteraz však vedci nevedia, či existujú nepárne dokonalé čísla, či existuje najväčšie dokonalé číslo.
Záujem starovekých matematikov o prvočísla je spôsobený tým, že každé číslo je buď prvočíslo, alebo môže byť reprezentované ako súčin prvočísel, to znamená, že prvočísla sú ako tehly, z ktorých sa skladá zvyšok prirodzených čísel.
Pravdepodobne ste si všimli, že prvočísla v rade prirodzených čísel sa vyskytujú nerovnomerne – v niektorých častiach radu je ich viac, v iných menej. Ale čím ďalej sa v číselnom rade pohybujeme, tým sú prvočísla zriedkavejšie. Vynára sa otázka: existuje posledné (najväčšie) prvočíslo? Staroveký grécky matematik Euclid (3. storočie pred Kristom) vo svojej knihe „Začiatky“, ktorá bola dvetisíc rokov hlavnou učebnicou matematiky, dokázal, že prvočísel je nekonečne veľa, teda za každým prvočíslom je párne číslo. väčšie prvočíslo.
Na nájdenie prvočísel prišiel s takouto metódou iný grécky matematik tej istej doby, Eratosthenes. Zapísal si všetky čísla od 1 po nejaké číslo a potom prečiarkol jednotku, ktorá nie je prvočíslom ani zloženým číslom, potom prečiarkol cez jednotku všetky čísla po 2 (čísla, ktoré sú násobkom 2, t.j. 4, 6, 8 atď.). Prvé zostávajúce číslo po 2 bolo 3. Potom sa po dvojke prečiarkli všetky čísla po 3 (čísla, ktoré sú násobkami 3, t.j. 6, 9, 12 atď.). nakoniec ostali neprečiarknuté len prvočísla.
Ale mnohé prirodzené čísla sú rovnomerne deliteľné inými prirodzenými číslami.
napríklad:
Číslo 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12;
Číslo 36 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Čísla, ktorými je číslo deliteľné (pre 12 je to 1, 2, 3, 4, 6 a 12), sa nazývajú deliteľmi čísel. Deliteľ prirodzeného čísla a je prirodzené číslo, ktoré delí dané číslo a bez stopy. Prirodzené číslo, ktoré má viac ako dva faktory, sa nazýva zložený .
Všimnite si, že čísla 12 a 36 majú spoločných deliteľov. Sú to čísla: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najväčší deliteľ týchto čísel je 12. Spoločný deliteľ týchto dvoch čísel a a b je číslo, ktorým sú obe dané čísla bezo zvyšku deliteľné a a b.
spoločný násobok niekoľko čísel sa nazýva číslo, ktoré je deliteľné každým z týchto čísel. napríklad, čísla 9, 18 a 45 majú spoločný násobok 180. Ale aj 90 a 360 sú ich spoločné násobky. Spomedzi všetkých jcommon násobkov je vždy ten najmenší, v tomto prípade je to 90. Toto číslo je tzv. najmenejspoločný násobok (LCM).
LCM je vždy prirodzené číslo, ktoré musí byť väčšie ako najväčšie z čísel, pre ktoré je definované.
Najmenší spoločný násobok (LCM). Vlastnosti.
Komutatívnosť:
Asociativita:
Konkrétne, ak a sú prvočísla , potom:
Najmenší spoločný násobok dvoch celých čísel m a n je deliteľom všetkých ostatných spoločných násobkov m a n. Navyše množina spoločných násobkov m,n sa zhoduje s množinou násobkov pre LCM( m,n).
Asymptotiku for možno vyjadriť pomocou niektorých číselných teoretických funkcií.
takze Čebyševova funkcia. Ako aj:
Vyplýva to z definície a vlastností Landauovej funkcie g(n).
Čo vyplýva zo zákona o rozdelení prvočísel.
Hľadanie najmenšieho spoločného násobku (LCM).
NOC( a, b) možno vypočítať niekoľkými spôsobmi:
1. Ak je známy najväčší spoločný deliteľ, môžete použiť jeho vzťah s LCM:
2. Nech je známy kanonický rozklad oboch čísel na prvočiniteľa:
kde p 1 ,...,p k sú rôzne prvočísla a d 1,...,d k a e 1 ,...,ek sú nezáporné celé čísla (môžu byť nulové, ak zodpovedajúce prvočíslo nie je v expanzii).
Potom LCM ( a,b) sa vypočíta podľa vzorca:
Inými slovami, rozšírenie LCM obsahuje všetky hlavné faktory, ktoré sú zahrnuté aspoň v jednom z rozšírenia čísel a, b a vezme sa najväčší z dvoch exponentov tohto faktora.
Príklad:
Výpočet najmenšieho spoločného násobku niekoľkých čísel možno zredukovať na niekoľko po sebe idúcich výpočtov LCM dvoch čísel:
Pravidlo. Ak chcete nájsť LCM série čísel, potrebujete:
- rozložiť čísla na prvočísla;
- preniesť najväčšie rozšírenie na faktory požadovaného súčinu (súčin faktorov najväčšieho počtu z daných) a potom pridať faktory z rozšírenia ďalších čísel, ktoré sa v prvom čísle nevyskytujú alebo sú v ňom menší počet krát;
- výsledným súčinom prvočiniteľov bude LCM daných čísel.
Akékoľvek dve alebo viac prirodzených čísel má svoj vlastný LCM. Ak čísla nie sú navzájom násobkami alebo nemajú v expanzii rovnaké faktory, potom sa ich LCM rovná súčinu týchto čísel.
Prvočísla čísla 28 (2, 2, 7) boli doplnené koeficientom 3 (číslo 21), výsledný súčin (84) bude najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 21 a 28.
Prvočísla najväčšieho čísla 30 boli doplnené o faktor 5 čísla 25, výsledný súčin 150 je väčší ako najväčšie číslo 30 a je deliteľný všetkými danými číslami bezo zvyšku. Toto je najmenší možný súčin (150, 250, 300...), ktorého všetky zadané čísla sú násobkami.
Čísla 2,3,11,37 sú prvočísla, takže ich LCM sa rovná súčinu daných čísel.
pravidlo. Ak chcete vypočítať LCM prvočísel, musíte všetky tieto čísla vynásobiť.
Ďalšia možnosť:
Ak chcete nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) niekoľkých čísel, potrebujete:
1) predstavujú každé číslo ako súčin jeho prvočísel, napríklad:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7,
2) napíšte mocniny všetkých prvočiniteľov:
504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,
3) zapíšte si všetkých prvočíselníkov (násobiteľov) každého z týchto čísel;
4) vyberte najväčší stupeň každého z nich, ktorý sa nachádza vo všetkých rozšíreniach týchto čísel;
5) znásobte tieto právomoci.
Príklad. Nájdite LCM čísel: 168, 180 a 3024.
rozhodnutie. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,
180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .
Vypíšeme najväčšie mocniny všetkých prvočíselných deliteľov a vynásobíme ich:
LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Najmenší spoločný násobok dvoch čísel priamo súvisí s najväčším spoločným deliteľom týchto čísel. Toto prepojenie medzi GCD a NOC je definovaný nasledujúcou vetou.
Veta.
Najmenší spoločný násobok dvoch kladných celých čísel aab sa rovná súčinu aab deleného najväčším spoločným deliteľom aab, tj. LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).
Dôkaz.
Nechať byť M je nejaký násobok čísel a a b. To znamená, že M je deliteľné a a podľa definície deliteľnosti existuje nejaké celé číslo k také, že rovnosť M=a·k platí. Ale M je deliteľné aj b, potom a k je deliteľné b.
Označte gcd(a, b) ako d . Potom môžeme zapísať rovnosti a=a 1 ·d a b=b 1 ·d a a 1 =a:dab 1 =b:d budú prvočísla. Preto podmienku získanú v predchádzajúcom odseku, že a k je deliteľné b, možno preformulovať takto: a 1 d k je deliteľné b 1 d , a to je vzhľadom na vlastnosti deliteľnosti ekvivalentné podmienke, že a 1 k je deliteľné b jedna .
Musíme si tiež zapísať dva dôležité dôsledky z uvažovanej vety.
Spoločné násobky dvoch čísel sú rovnaké ako násobky ich najmenšieho spoločného násobku.
To je pravda, pretože akýkoľvek spoločný násobok M čísel aab je definovaný rovnosťou M=LCM(a, b) t pre nejakú celočíselnú hodnotu t .
Najmenší spoločný násobok kladných čísel aab sa rovná ich súčinu.
Zdôvodnenie tejto skutočnosti je celkom zrejmé. Keďže a a b sú rovnaké ako prvé, potom gcd(a, b)=1 , teda LCM(a,b)=ab: GCD(a,b)=ab:l=ab.
Najmenší spoločný násobok troch alebo viacerých čísel
Hľadanie najmenšieho spoločného násobku troch alebo viacerých čísel možno zredukovať na postupné hľadanie LCM dvoch čísel. Ako sa to robí, je naznačené v nasledujúcej vete: a 1 , a 2 , …, a k sa zhodujú so spoločnými násobkami čísel m k-1 a ak sa teda zhodujú s násobkami m k . A keďže najmenší kladný násobok čísla m k je samotné číslo m k, potom najmenší spoločný násobok čísel a 1 , a 2 , …, a k je m k .
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.
- Vinogradov I.M. Základy teórie čísel.
- Mikhelovič Sh.Kh. Teória čísel.
- Kulikov L.Ya. a iné Zbierka úloh z algebry a teórie čísel: Učebnica pre študentov fiz.-mat. odbornosti pedagogických ústavov.