Pohyb tela hodeného vodorovne a pod uhlom k horizontu. Pohyb tiel hodených vodorovne
Uvažujme o pohybe telesa hodeného vodorovne a pohybujúceho sa pôsobením samotnej gravitácie (zanedbajúc odpor vzduchu). Predstavte si napríklad, že loptička ležiaca na stole dostane tlak a tá sa odkotúľa k okraju stola a začne voľne padať, pričom počiatočná rýchlosť je nasmerovaná horizontálne (obr. 174).
Premietnime pohyb lopty na zvislú os a na vodorovnú os. Pohyb priemetu gule na os je pohyb bez zrýchlenia s rýchlosťou ; pohyb priemetu gule na os je voľný pád so zrýchlením nad počiatočnú rýchlosť pri pôsobení gravitácie. Poznáme zákony oboch pohybov. Zložka rýchlosti zostáva konštantná a rovná sa . Komponent rastie úmerne s časom: . Výsledná rýchlosť sa dá ľahko nájsť pomocou paralelogramového pravidla, ako je znázornené na obr. 175. Nakloní sa nadol a jej sklon sa časom zvýši.
Ryža. 174. Pohyb gule kotúľajúcej sa zo stola
Ryža. 175. Lopta hodená horizontálne rýchlosťou má momentálne rýchlosť
Nájdite trajektóriu horizontálne hodeného telesa. Dôležité sú súradnice telesa v čase
Aby sme našli rovnicu trajektórie, vyjadríme z (112.1) čas a dosadíme tento výraz do (112.2). V dôsledku toho dostaneme
Graf tejto funkcie je znázornený na obr. 176. Súradnice bodov trajektórie sú úmerné druhým mocniam úsečiek. Vieme, že takéto krivky sa nazývajú paraboly. Parabola znázorňovala graf dráhy rovnomerne zrýchleného pohybu (§ 22). Voľne padajúce teleso, ktorého počiatočná rýchlosť je horizontálna, sa teda pohybuje pozdĺž paraboly.
Dráha prejdená vo vertikálnom smere nezávisí od počiatočnej rýchlosti. Ale dráha prejdená v horizontálnom smere je úmerná počiatočnej rýchlosti. Preto pri veľkej horizontálnej počiatočnej rýchlosti je parabola, pozdĺž ktorej teleso padá, viac pretiahnutá v horizontálnom smere. Ak sa z vodorovne umiestnenej trubice (obr. 177) vystrelí prúd vody, potom sa jednotlivé častice vody budú, podobne ako guľa, pohybovať po parabole. Čím otvorenejší je kohútik, ktorým voda vstupuje do trubice, tým väčšia je počiatočná rýchlosť vody a tým ďalej od kohútika sa prúd dostane na dno kyvety. Umiestnením sita s predkreslenými parabolami za prúdnicu možno overiť, že prúd vody má skutočne tvar paraboly.
112,1. Akú rýchlosť bude mať teleso vrhnuté horizontálne rýchlosťou 15 m/s po 2 sekundách letu? V akom okamihu bude rýchlosť nasmerovaná pod uhlom 45° k horizontále? Ignorujte odpor vzduchu.
112.2. Lopta zvalená zo stola s výškou 1 m padla vo vzdialenosti 2 m od okraja stola. Aká bola horizontálna rýchlosť lopty? Ignorujte odpor vzduchu.
teória
Ak je teleso vrhnuté pod uhlom k horizontu, potom je počas letu ovplyvnené gravitáciou a odporom vzduchu. Ak sa zanedbá odporová sila, potom zostáva jedinou silou gravitačná sila. Preto sa teleso v dôsledku 2. Newtonovho zákona pohybuje so zrýchlením rovným zrýchleniu voľného pádu; projekcie zrýchlenia na súradnicových osiach sú a x = 0, a pri= -g.
Akýkoľvek zložitý pohyb hmotného bodu môže byť znázornený ako uloženie nezávislých pohybov pozdĺž súradnicových osí a v smere rôznych osí sa typ pohybu môže líšiť. Pohyb lietajúceho telesa môžeme v našom prípade znázorniť ako superpozíciu dvoch nezávislých pohybov: rovnomerný pohyb pozdĺž horizontálnej osi (os X) a rovnomerne zrýchlený pohyb pozdĺž vertikálnej osi (os Y) (obr. 1). .
Projekcie rýchlosti telesa sa preto s časom menia takto:
,
kde je počiatočná rýchlosť, α je uhol vrhania.
Súradnice tela sa teda menia takto:
Pri našom výbere počiatku súradníc, počiatočných súradníc (obr. 1) Potom
Druhá hodnota času, v ktorom sa výška rovná nule, sa rovná nule, čo zodpovedá okamihu hodu, t.j. táto hodnota má aj fyzikálny význam.
Dosah letu sa získa z prvého vzorca (1). Rozsah letu je hodnota súradnice X na konci letu, t.j. v časovom bode rovnajúcom sa t0. Dosadením hodnoty (2) do prvého vzorca (1) dostaneme:
| . | (3) |
Z tohto vzorca je zrejmé, že najväčší dosah letu sa dosiahne pri uhle vrhu 45 stupňov.
Najvyššiu výšku zdvihu hodeného telesa možno získať z druhého vzorca (1). Aby ste to dosiahli, musíte v tomto vzorci nahradiť hodnotu času rovnajúcu sa polovici času letu (2), pretože maximálna výška letu je v strede trajektórie. Vykonaním výpočtov dostaneme
Aktualizované:
Pomocou niekoľkých príkladov (ktoré som pôvodne vyriešil, ako obvykle, na otvet.mail.ru), zvážime triedu problémov elementárnej balistiky: let telesa vypusteného pod uhlom k horizontu s určitou počiatočnou rýchlosťou bez berúc do úvahy odpor vzduchu a zakrivenie zemského povrchu (to znamená, že smerový vektor zrýchlenia voľného pádu g sa považuje za nezmenený).
Úloha 1. Letový dosah telesa sa rovná výške jeho letu nad povrchom Zeme. V akom uhle je telo vrhnuté? (v niektorých zdrojoch je z nejakého dôvodu uvedená nesprávna odpoveď - 63 stupňov).
Čas letu označme 2*t (potom počas t teleso stúpa a počas ďalšieho intervalu t klesá). Nech je horizontálna zložka rýchlosti V1 a vertikálna zložka V2. Potom je rozsah letu S = V1*2*t. Výška letu H \u003d g * t * t / 2 \u003d V2 * t / 2. Rovnaké
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Pomer vertikálnych a horizontálnych rýchlostí je tangens požadovaného uhla α, odkiaľ α = arctan(4) = 76 stupňov.
Úloha 2. Teleso je vrhané z povrchu Zeme rýchlosťou V0 pod uhlom α k horizontu. Nájdite polomer zakrivenia trajektórie tela: a) na začiatku pohybu; b) na vrchole trajektórie.
V oboch prípadoch je zdrojom krivočiareho pohybu gravitácia, teda gravitačné zrýchlenie g, smerujúce kolmo nadol. Všetko, čo je potrebné, je nájsť priemet g, kolmý na aktuálnu rýchlosť V, a prirovnať ho k dostredivému zrýchleniu V^2/R, kde R je požadovaný polomer zakrivenia.
Ako je zrejmé z obrázku, na začatie pohybu môžeme písať
gn = g*cos(a) = V022/R
odkiaľ je požadovaný polomer R = V0^2/(g*cos(a))
Pre horný bod trajektórie (pozri obrázok) máme
g = (VO*cos(a))^2/R
kde R = (VO*cos(a))^2/g
Úloha 3. (variácia na tému) Strela sa pohybovala horizontálne vo výške h a explodovala na dva rovnaké úlomky, z ktorých jeden spadol na zem v čase t1 po výbuchu. Ako dlho po páde prvého kusu padne druhý?
Akúkoľvek vertikálnu rýchlosť V prvý fragment nadobudne, druhý nadobudne rovnakú vertikálnu rýchlosť v absolútnej hodnote, ale smerujúcu opačným smerom (vyplýva to z rovnakej hmotnosti fragmentov a zachovania hybnosti). Navyše, V smeruje nadol, pretože inak druhý fragment dorazí na zem PRED prvým.
h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
Druhý poletí hore, po čase V/g stratí vertikálnu rýchlosť a potom po tom istom čase zletí dolu do počiatočnej výšky h a času t2 jeho oneskorenia vzhľadom na prvý fragment (nie čas letu od moment výbuchu) bude
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*tl)-tl
aktualizované dňa 03.06.2018
citát:
Kameň je hodený rýchlosťou 10 m/s pod uhlom 60° k horizontále. Určte tangenciálne a normálne zrýchlenie telesa po 1,0 s po začatí pohybu, polomer zakrivenia trajektórie v tomto časovom bode, trvanie a rozsah letu. Aký uhol zviera vektor celkového zrýchlenia s vektorom rýchlosti v čase t = 1,0 s
Počiatočná horizontálna rýchlosť Vg = V*cos(60°) = 10*0,5 = 5 m/s a počas celého letu sa nemení. Počiatočná vertikálna rýchlosť VV = V*sin(60°) = 8,66 m/s. Čas letu do najvyššieho bodu je t1 = Vv/g = 8,66/9,8 = 0,884 s, čo znamená, že trvanie celého letu je 2*t1 = 1,767 s. Počas tejto doby bude teleso letieť horizontálne Vg * 2 * t1 = 8,84 m (dosah letu).
Po 1 sekunde bude vertikálna rýchlosť 8,66 - 9,8*1 = -1,14 m/s (smerom nadol). To znamená, že uhol rýchlosti k horizontu bude arctan(1,14/5) = 12,8° (dole). Keďže celkové zrýchlenie je tu jedinečné a nezmenené (ide o zrýchlenie voľného pádu g smerujúce zvisle nadol), potom uhol medzi rýchlosťou telesa a g v tomto časovom bode bude 90-12,8 = 77,2°.
Tangenciálne zrýchlenie je projekcia g k smeru vektora rýchlosti, čo znamená, že je g*sin(12,8) = 2,2 m/s2. Normálne zrýchlenie je projekcia kolmá na vektor rýchlosti g, je rovné g*cos(12,8) = 9,56 m/s2. A keďže to druhé súvisí s rýchlosťou a polomerom krivosti výrazom V^2/R, máme 9,56 = (5*5 + 1,14*1,14)/R, odkiaľ je požadovaný polomer R = 2,75 m.
Ak možno zanedbať odpor vzduchu, potom sa vyhodené teleso svojvoľne pohybuje zrýchlením voľného pádu.
Uvažujme najprv pohyb telesa vrhaného horizontálne rýchlosťou v_vec0 z výšky h nad zemským povrchom (obr. 11.1). 
Vo vektorovej forme je závislosť rýchlosti telesa od času t vyjadrená vzorcom
V projekciách na súradnicových osiach:
v x = v 0 , (2)
vy = -gt. (3)
1. Vysvetlite, ako sa získavajú vzorce z (2) a (3)
x = v 0 t, (4)
y \u003d h – gt 2/2. (5)
Vidíme, že teleso vykonáva dva typy pohybu súčasne: pohybuje sa rovnomerne pozdĺž osi x a rovnomerne zrýchľuje pozdĺž osi y bez počiatočnej rýchlosti.
Obrázok 11.2 zobrazuje polohu tela v pravidelných intervaloch. Poloha telesa pohybujúceho sa rovnomerne v priamke s rovnakou počiatočnou rýchlosťou v rovnakých časových okamihoch je znázornená nižšie a poloha voľne padajúceho telesa je znázornená vľavo. 
Vidíme, že vodorovne vrhané teleso je vždy na tej istej vertikále s rovnomerne sa pohybujúcim telesom a na tej istej horizontále s voľne padajúcim telesom.
2. Vysvetlite, ako sa pomocou vzorcov (4) a (5) získajú výrazy pre čas tpol a rozsah letu telesa l:
Nápoveda. Využite skutočnosť, že v čase pádu je y = 0.
3. Teleso je hodené vodorovne z určitej výšky. V ktorom prípade bude rozsah letu tela väčší: so 4-násobným zvýšením počiatočnej rýchlosti alebo so zvýšením počiatočnej výšky o rovnaký faktor? Koľkokrát viac?
Trajektórie
Na obrázku 11.2 je trajektória horizontálne hodeného telesa znázornená červenou prerušovanou čiarou. Pripomína vetvu paraboly. Overme si tento predpoklad.
4. Dokážte, že pre teleso hodené vodorovne je rovnica trajektórie pohybu, teda závislosť y(x), vyjadrená vzorcom
Nápoveda. Pomocou vzorca (4) vyjadrite t ako x a dosaďte nájdený výraz do vzorca (5).
Vzorec (8) je skutočne parabolická rovnica. Jeho vrchol sa zhoduje s počiatočnou polohou tela, to znamená, že má súradnice x = 0; y \u003d h a vetva paraboly je nasmerovaná nadol (je to označené záporným koeficientom pred x 2).
5. Závislosť y(x) vyjadrujeme v jednotkách SI vzorcom y = 45 - 0,05x 2 .
a) Aká je počiatočná výška a počiatočná rýchlosť telesa?
b) Aký je čas letu a vzdialenosť?
6. Teleso je vrhané vodorovne z výšky 20 m počiatočnou rýchlosťou 5 m/s.
a) Ako dlho bude trvať let telesa?
b) Aká je letová vzdialenosť?
c) Aká je rýchlosť telesa tesne pred dopadom na zem?
d) Pod akým uhlom k horizontu bude nasmerovaná rýchlosť telesa bezprostredne pred dopadom na zem?
e) Aký vzorec v jednotkách SI vyjadruje závislosť modulu rýchlosti telesa od času?
2. Pohyb telesa hodeného šikmo k horizontu
Obrázok 11.3 schematicky znázorňuje počiatočnú polohu telesa, jeho počiatočnú rýchlosť 0 (v t = 0) a zrýchlenie (zrýchlenie voľného pádu). 
Projekcie počiatočnej rýchlosti
v 0x = v 0 cos α, (9)
v 0y = v 0 sin α. (desať)
Na skrátenie nasledujúcich záznamov a objasnenie ich fyzikálneho významu je vhodné ponechať zápis v 0x a v 0y, kým nezískate konečné vzorce.
Rýchlosť telesa vo vektorovom tvare v čase t je v tomto prípade vyjadrená vzorcom
Teraz však v projekciách na súradnicové osi
vx = v0x , (11)
vy = v 0y - gt. (12)
7. Vysvetlite, ako sa získajú nasledujúce rovnice:
x = v 0x t, (13)
y \u003d v 0 r t - gt 2 /2. (štrnásť)
Vidíme, že aj v tomto prípade sa vrhnuté teleso zúčastňuje súčasne dvoch typov pohybu: pohybuje sa rovnomerne pozdĺž osi x a rovnomerne zrýchľuje pozdĺž osi y s počiatočnou rýchlosťou, ako teleso hodené zvisle. smerom nahor.
Trajektória
Obrázok 11.4 schematicky znázorňuje polohu telesa hodeného šikmo k horizontu v pravidelných intervaloch. Vertikálne čiary zdôrazňujú, že sa teleso pohybuje rovnomerne pozdĺž osi x: susedné čiary sú v rovnakej vzdialenosti od seba. 
8. Vysvetlite, ako získať nasledujúcu rovnicu pre trajektóriu telesa hodeného pod uhlom k horizontu:
Vzorec (15) je rovnica paraboly, ktorej vetvy smerujú nadol.
Dráhová rovnica nám môže veľa povedať o pohybe hodeného telesa!
9. Závislosť y(x) je vyjadrená v jednotkách SI vzorcom y = √3 * x - 1,25x 2 .
a) Aký je horizontálny priemet počiatočnej rýchlosti?
b) Aký je vertikálny priemet počiatočnej rýchlosti?
c) V akom uhle k horizontále je teleso vrhnuté?
d) Aká je počiatočná rýchlosť telesa?
Parabolický tvar trajektórie telesa vrhaného pod uhlom k horizontu názorne demonštruje prúd vody (obr. 11.5). 
Čas stúpania a celkový čas letu
10. Pomocou vzorcov (12) a (14) ukážte, že čas zdvihnutia tela t pod a čas celého letu t podlaha sú vyjadrené vzorcami
Nápoveda. V hornom bode trajektórie je v y = 0 a v momente pádu telesa je jeho súradnica y = 0.
Vidíme, že v tomto prípade (rovnako ako v prípade telesa hodeného kolmo nahor) je celý čas letu t floor 2-krát dlhší ako čas stúpania t nižšie. A v tomto prípade pri prezeraní videa v opačnom smere bude stúpanie tela vyzerať presne ako jeho zostup a zostup bude vyzerať ako stúpanie.
Nadmorská výška a rozsah
11. Dokážte, že výška zdvihu h a rozsah letu l sú vyjadrené vzorcami
Nápoveda. Na odvodenie vzorca (18) použite vzorce (14) a (16) alebo vzorec (10) z § 6. Posun pri priamočiarom rovnomerne zrýchlenom pohybe; na odvodenie vzorca (19) použite vzorce (13) a (17).
Poznámka: čas zdvihnutia tela tunder, celý čas letu tfloor a výška zdvihu h závisia iba od vertikálnej projekcie počiatočnej rýchlosti.
12. Do akej výšky sa zdvihla futbalová lopta po dopade, ak spadla na zem 4 s po dopade?
13. Dokážte to
Nápoveda. Použite vzorce (9), (10), (18), (19).
14. Vysvetlite, prečo pri rovnakej počiatočnej rýchlosti v 0 bude dosah letu l rovnaký pri dvoch uhloch α 1 a α 2 súvisiacich vzťahom α 1 + α 2 = 90º (obr. 11.6).
Nápoveda. Použite prvú rovnosť vo vzorci (21) a skutočnosť, že sin α = cos (90º - α).
15. Dve telesá hodené súčasne a s rovnakým modulo počiatočným okom jeden bod. Uhol medzi počiatočnými rýchlosťami je 20º. V akých uhloch k horizontu boli telá hodené?
Maximálny dosah a výška letu
Pri rovnakej počiatočnej rýchlosti modulo sú rozsah letu a výška určené iba uhlom α. Ako zvoliť tento uhol, aby dolet alebo výška letu bola maximálna?
16. Vysvetlite, prečo je maximálny letový dosah dosiahnutý pri α = 45º a je vyjadrený vzorcom
l max \u003d v 0 2 / g. (22)
17. Dokážte, že maximálna výška letu je vyjadrená vzorcom
h max = v 0 2 /(2g) (23)
18. Teleso hodené pod uhlom 15º k horizontu dopadlo vo vzdialenosti 5 m od štartovacieho bodu.
a) Aká je počiatočná rýchlosť telesa?
b) Do akej výšky sa teleso zdvihlo?
c) Aký je maximálny rozsah letu pri rovnakej počiatočnej rýchlosti modulo?
d) Do akej maximálnej výšky by toto teleso mohlo stúpať pri rovnakej počiatočnej rýchlosti v absolútnej hodnote?
Rýchlosť verzus čas
Pri stúpaní sa rýchlosť telesa hodeného šikmo k horizontu v absolútnej hodnote znižuje a pri klesaní sa zvyšuje.
19. Teleso je odhodené pod uhlom 30º k horizontu s počiatočnou rýchlosťou 10 m/s.
a) Ako je vyjadrená závislosť vy(t) v jednotkách SI?
b) Ako je vyjadrené v(t) v jednotkách SI?
c) Aká je minimálna rýchlosť telesa počas letu?
Nápoveda. Použite vzorce (13) a (14), ako aj Pytagorovu vetu.
Doplňujúce otázky a úlohy
20. Hádzanie kamienkov pod rôznymi uhlami Sasha zistil, že nemôže hodiť kamienok ďalej ako 40 m. Do akej maximálnej výšky môže Sasha hodiť kamienok?
21. Medzi dvojitými pneumatikami zadného kolesa nákladného vozidla je zaseknutý kamienok. V akej vzdialenosti od nákladného auta musí ísť za ním idúce auto, aby mu tento kamienok po odpadnutí neublížil? Obe autá idú rýchlosťou 90 km/h.
Nápoveda. Prejdite na referenčný rámec spojený s ktorýmkoľvek z áut.
22. V akom uhle k horizontu by sa malo teleso vrhnúť, aby:
a) rovnala sa výška letu doletu?
b) výška letu bola 3-krát väčšia ako dolet?
c) dosah letu bol 4-násobok výšky?
23. Teleso je vrhané počiatočnou rýchlosťou 20 m/s pod uhlom 60º k horizontu. V akých časových intervaloch po hode bude smerovať rýchlosť telesa pod uhlom 45º k horizontále?
Tu je počiatočná rýchlosť telesa, je rýchlosť telesa v čase t, s- horizontálna vzdialenosť letu, h je výška nad zemou, z ktorej je teleso vrhané horizontálne rýchlosťou .
1.1.33. Kinematické rovnice premietania rýchlosti:
1.1.34. Kinematické súradnicové rovnice:
1.1.35. rýchlosť tela v tom čase t:
V okamihu pád na zem y=h, x = s(obr. 1.9).
1.1.36. Maximálny horizontálny dosah letu:
1.1.37. Výška nad zemou z ktorého je telo vyhodené
horizontálne:
Pohyb telesa vrhaného pod uhlom α k horizontu
s počiatočnou rýchlosťou
1.1.38. Trajektória je parabola(obr. 1.10). Krivočiary pohyb pozdĺž paraboly je výsledkom pridania dvoch priamočiarych pohybov: rovnomerného pohybu pozdĺž horizontálnej osi a rovnako variabilného pohybu pozdĺž vertikálnej osi.
 |
| Ryža. 1.10 |
( je počiatočná rýchlosť tela, sú projekcie rýchlosti na súradnicových osiach v čase t, je doba letu tela, hmax- maximálna výška tela, smax je maximálna horizontálna letová vzdialenosť telesa).
1.1.39. Kinematické projekčné rovnice:
; 
1.1.40. Kinematické súradnicové rovnice:
; 
1.1.41. Výška zdvihu tela do najvyššieho bodu trajektórie:
V čase , (obrázok 1.11).
1.1.42. Maximálna výška tela: 
1.1.43. Čas letu tela: 
V danom čase , (obr. 1.11).
1.1.44. Maximálny horizontálny rozsah letu tela:
1.2. Základné rovnice klasickej dynamiky
Dynamika(z gréčtiny. dynamický- sila) - odvetvie mechaniky, ktoré sa venuje štúdiu pohybu hmotných telies pôsobením síl, ktoré na ne pôsobia. Klasická dynamika je založená na Newtonove zákony . Z nich sa získajú všetky rovnice a vety potrebné na riešenie úloh dynamiky.
1.2.1. Inerciálny systém hlásení - je to referenčný rámec, v ktorom je teleso v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro.
1.2.2. sila je výsledkom interakcie tela s prostredím. Jedna z najjednoduchších definícií sily: vplyv jedného telesa (alebo poľa), ktoré spôsobuje zrýchlenie. V súčasnosti sa rozlišujú štyri typy síl alebo interakcií:
· gravitačné(prejavuje sa vo forme síl univerzálnej gravitácie);
· elektromagnetické(existencia atómov, molekúl a makrotelies);
· silný(zodpovedný za spojenie častíc v jadrách);
· slabý(zodpovedný za rozpad častíc).
1.2.3. Princíp superpozície síl: ak na hmotný bod pôsobí niekoľko síl, výsledná sila sa dá nájsť pravidlom sčítania vektorov:
.
Hmotnosť telesa je mierou zotrvačnosti telesa. Akékoľvek telo vzdoruje pri pokuse uviesť ho do pohybu alebo zmeniť modul alebo smer jeho rýchlosti. Táto vlastnosť sa nazýva zotrvačnosť.
1.2.5. Pulz(hybnosť) je súčinom hmoty t teleso svojou rýchlosťou v:
1.2.6. Newtonov prvý zákon: Akýkoľvek hmotný bod (telo) si zachováva stav pokoja alebo rovnomerného priamočiareho pohybu, až kým ho náraz iných telies neprinúti tento stav zmeniť.
1.2.7. Druhý Newtonov zákon(základná rovnica dynamiky hmotného bodu): rýchlosť zmeny hybnosti telesa sa rovná sile, ktorá naň pôsobí (obr. 1.11):
 |  |
| Ryža. 1.11 | Ryža. 1.12 |
Rovnaká rovnica v projekciách na dotyčnicu a kolmicu na trajektóriu bodu:
a 
.
1.2.8. Tretí Newtonov zákon: sily, ktorými na seba dve telesá pôsobia, sú rovnakej veľkosti a opačného smeru (obr. 1.12):
1.2.9. Zákon zachovania hybnosti pre uzavretý systém: hybnosť uzavretého systému sa v čase nemení (obr. 1.13):
,
kde P je počet hmotných bodov (alebo telies) zahrnutých v systéme.
 |  |
| Ryža. 1.13 |
Zákon zachovania hybnosti nie je dôsledkom Newtonových zákonov, ale je základný zákon prírody, ktorý nepozná výnimky a je dôsledkom homogenity priestoru.
1.2.10. Základná rovnica dynamiky translačného pohybu sústavy telies:
kde je zrýchlenie stredu zotrvačnosti systému; je celková hmotnosť systému z P hmotné body.
1.2.11. Ťažisko systému hmotné body (obr. 1.14, 1.15):
.
Zákon pohybu ťažiska: ťažisko sústavy sa pohybuje ako hmotný bod, ktorého hmotnosť sa rovná hmotnosti celej sústavy a na ktorú pôsobí sila rovnajúca sa vektorovému súčtu všetkých sily pôsobiace na systém.
1.2.12. Impulz telesného systému:
kde je rýchlosť stredu zotrvačnosti sústavy.
 |  |
| Ryža. 1.14 | Ryža. 1.15 |
1.2.13. Veta o pohybe ťažiska: ak je systém vo vonkajšom stacionárnom rovnomernom silovom poli, potom žiadne činnosti vo vnútri systému nemôžu zmeniť pohyb ťažiska systému:
.
1.3. Sily v mechanike
1.3.1. Vzťah telesnej hmotnosti s gravitačnou a podpornou reakciou:
Zrýchlenie voľného pádu (obr. 1.16).
 |
| Ryža. 1.16 |
Beztiažový stav je stav, v ktorom je hmotnosť telesa nulová. V gravitačnom poli nastáva stav beztiaže, keď sa teleso pohybuje iba pôsobením gravitácie. Ak a = g, potom p=0.
1.3.2. Vzťah medzi hmotnosťou, gravitáciou a zrýchlením:
1.3.3. posuvná trecia sila(Obr. 1.17):
kde je koeficient klzného trenia; N je sila normálneho tlaku.
1.3.5. Základné pomery pre teleso na naklonenej rovine(obr. 1.19). :
· trecia sila: 
;
· výsledná sila: ;
· valivá sila: 
;
· zrýchlenie:
 |
| Ryža. 1.19 |
1.3.6. Hookov zákon pre pružinu: predĺženie pružiny Xúmerné elastickej sile alebo vonkajšej sile:
kde k- tuhosť pružiny.
1.3.7. Potenciálna energia elastickej pružiny:
1.3.8. Práca vykonaná na jar:
1.3.9. Napätie- miera vnútorných síl vznikajúcich v deformovateľnom telese vplyvom vonkajších vplyvov (obr. 1.20):
kde je plocha prierezu tyče, d je jeho priemer, je počiatočná dĺžka tyče, je prírastok dĺžky tyče.
 |  |
| Ryža. 1.20 | Ryža. 1.21 |
1.3.10. Kmenový diagram - graf normálového napätia σ = F/S pri relatívnom predĺžení ε = Δ l/l pri naťahovaní tela (obr. 1.21).
1.3.11. Youngov modul je hodnota charakterizujúca elastické vlastnosti materiálu tyče:
1.3.12. Prírastok dĺžky tyčeúmerné napätiu:
1.3.13. Relatívne pozdĺžne napätie (kompresia):
1.3.14. Relatívne priečne napätie (stlačenie):
kde je počiatočný priečny rozmer tyče.
1.3.15. Poissonov pomer- pomer relatívneho priečneho napätia tyče k relatívnemu pozdĺžnemu napätiu:
1.3.16. Hookov zákon pre tyč: relatívny prírastok dĺžky tyče je priamo úmerný napätiu a nepriamo úmerný Youngovmu modulu:
1.3.17. Hustota potenciálnej energie:
1.3.18. Relatívny posun ( obr. 1.22, 1.23 ):
kde je absolútny posun.
 |  |
| Ryža. 1.22 | Obr.1.23 |
1.3.19. Modul šmykuG- hodnota, ktorá závisí od vlastností materiálu a rovná sa takému tangenciálnemu napätiu, pri ktorom (ak by boli možné také obrovské elastické sily).
1.3.20. Tangenciálne elastické napätie:
1.3.21. Hookov zákon pre šmyk:
1.3.22. Špecifická potenciálna energia telesá v šmyku:
1.4. Neinerciálne vzťažné sústavy
Neinerciálna vzťažná sústava je ľubovoľná vzťažná sústava, ktorá nie je inerciálna. Príklady neinerciálnych sústav: sústava pohybujúca sa v priamom smere s konštantným zrýchlením, ako aj rotačná sústava.
Zotrvačné sily nie sú spôsobené interakciou telies, ale vlastnosťami samotných neinerciálnych vzťažných sústav. Newtonove zákony neplatia pre zotrvačné sily. Zotrvačné sily nie sú invariantné vzhľadom na prechod z jednej referenčnej sústavy do druhej.
V neinerciálnej sústave možno použiť aj Newtonove zákony, ak zavedieme zotrvačné sily. Sú fiktívne. Sú zavedené špeciálne na použitie Newtonových rovníc.
1.4.1. Newtonova rovnica pre neinerciálnu vzťažnú sústavu
kde je zrýchlenie hmotného telesa t vzhľadom na neinerciálny systém; – sila zotrvačnosti je fiktívna sila v dôsledku vlastností vzťažnej sústavy.
1.4.2. Dostredivá sila- zotrvačná sila druhého druhu, pôsobiaca na rotujúce teleso a smerujúca pozdĺž polomeru do stredu otáčania (obr. 1.24):
,
kde je dostredivé zrýchlenie.
1.4.3. Odstredivá sila- zotrvačná sila prvého druhu, pôsobiaca na spoj a smerujúca pozdĺž polomeru od stredu otáčania (obr. 1.24, 1.25):
,
kde je odstredivé zrýchlenie.
  |  |
| Ryža. 1.24 | Ryža. 1.25 |
1.4.4. Závislosť od gravitačného zrýchlenia g zo zemepisnej šírky oblasti je znázornené na obr. 1.25.
Gravitácia je výsledkom sčítania dvoch síl: a; teda g(a preto mg) závisí od zemepisnej šírky:
,
kde ω je uhlová rýchlosť rotácie Zeme.
1.4.5. Coriolisova sila- jedna zo zotrvačných síl, ktorá existuje v neinerciálnej vzťažnej sústave v dôsledku rotácie a zákonov zotrvačnosti, ktorá sa prejavuje pri pohybe v smere pod uhlom k osi rotácie (obr. 1.26, 1.27).
kde je uhlová rýchlosť otáčania.
 |  |
| Ryža. 1.26 | Ryža. 1.27 |
1.4.6. Newtonova rovnica pre neinerciálne vzťažné sústavy, berúc do úvahy všetky sily, nadobúda tvar
kde je sila zotrvačnosti spôsobená translačným pohybom neinerciálnej vzťažnej sústavy; a 
– dve zotrvačné sily spôsobené rotačným pohybom referenčného systému; je zrýchlenie telesa vzhľadom na neinerciálnu vzťažnú sústavu.
1.5. energie. Job. Moc.
Ochranné zákony
1.5.1. energie- univerzálna miera rôznych foriem pohybu a interakcie všetkých druhov hmoty.
1.5.2. Kinetická energia je funkcia stavu systému určená iba rýchlosťou jeho pohybu:
Kinetická energia telesa je skalárna fyzikálna veličina rovnajúca sa polovici súčinu hmotnosti m teleso na štvorec jeho rýchlosti.
1.5.3. Veta o zmene kinetickej energie. Práca výsledných síl pôsobiacich na teleso sa rovná zmene kinetickej energie telesa, alebo inými slovami, zmena kinetickej energie telesa sa rovná práci A všetkých síl pôsobiacich na teleso.
1.5.4. Vzťah medzi kinetickou energiou a hybnosťou:
1.5.5. Silová práca je kvantitatívna charakteristika procesu výmeny energie medzi interagujúcimi telesami. Práca v mechanike 
.
1.5.6. Práca konštantnej sily:
Ak sa teleso pohybuje priamočiaro a pôsobí naň konštantná sila F, ktorý zviera so smerom pohybu určitý uhol α (obr. 1.28), potom prácu tejto sily určíme podľa vzorca:
,
kde F je modul sily, ∆r je modul posunutia bodu pôsobenia sily, je uhol medzi smerom sily a posunutím.
Ak< /2, то работа силы положительна. Если >/2, potom je práca vykonaná silou záporná. Pri = /2 (sila smeruje kolmo na posunutie), potom je práca sily nulová.
| Ryža. 1.28 | Ryža. 1.29 |
Práca konštantnej sily F pri pohybe pozdĺž osi X na diaľku (obr. 1.29) sa rovná priemetu sily na tejto osi vynásobené posunutím:
.
Na obr. 1.27 ukazuje prípad, kedy A < 0, т.к. >/2 - tupý uhol.
1.5.7. elementárna práca d A silu F na elementárnom posune d r sa nazýva skalárna fyzikálna veličina rovnajúca sa skalárnemu súčinu sily a posunutia:
1.5.8. Práca s premenlivou silou na úseku trajektórie 1 - 2 (obr. 1.30):
  |
| Ryža. 1.30 |
1.5.9. Okamžitá sila sa rovná práci vykonanej za jednotku času:
.
1.5.10. Priemerný výkon na určitý čas:
1.5.11. Potenciálna energia telo v danom bode je skalárna fyzikálna veličina, rovná práci vykonanej potenciálnou silou pri pohybe telesa z tohto bodu do iného berie sa ako nula referenčnej potenciálnej energie.
Potenciálna energia je určená do nejakej ľubovoľnej konštanty. To sa neodráža vo fyzikálnych zákonoch, pretože zahŕňajú buď rozdiel potenciálnych energií v dvoch polohách tela alebo deriváciu potenciálnej energie vzhľadom na súradnice.
Preto sa potenciálna energia v určitej polohe považuje za rovnú nule a energia tela sa meria vzhľadom na túto polohu (nulová referenčná úroveň).
1.5.12. Princíp minimálnej potenciálnej energie. Každý uzavretý systém má tendenciu prejsť do stavu, v ktorom je jeho potenciálna energia minimálna.
1.5.13. Práca konzervatívnych síl sa rovná zmene potenciálnej energie
.
1.5.14. Vektorová cirkulačná veta: ak je obeh akéhokoľvek vektora sily nulový, potom je táto sila konzervatívna.
Práca konzervatívnych síl pozdĺž uzavretej slučky L je nula(Obr. 1.31):
 |  |
| Ryža. 1.31 |
1.5.15. Potenciálna energia gravitačnej interakcie medzi masami m a M(Obr. 1.32):
1.5.16. Potenciálna energia stlačenej pružiny(Obr. 1.33):
  |   |
| Ryža. 1.32 | Ryža. 1.33 |
1.5.17. Celková mechanická energia systému sa rovná súčtu kinetických a potenciálnych energií:
E = E na + E P.
1.5.18. Potenciálna energia tela na vysokej h nad zemou
E n = mgh.
1.5.19. Vzťah medzi potenciálnou energiou a silou:
Alebo 
alebo
1.5.20. Zákon zachovania mechanickej energie(pre uzavretý systém): celková mechanická energia konzervatívneho systému hmotných bodov zostáva konštantná:
1.5.21. Zákon zachovania hybnosti pre uzavretý systém telies:
1.5.22. Zákon zachovania mechanickej energie a hybnosti s absolútne elastickým centrálnym nárazom (obr. 1.34):
kde m 1 a m 2 - hmotnosti telies; a sú to rýchlosti telies pred nárazom.
 |  |
| Ryža. 1.34 | Ryža. 1.35 |
1.5.23. Rýchlosti tela po dokonale elastickom náraze (obr. 1.35):
.
1.5.24. Rýchlosť tela po úplne nepružnom centrálnom náraze (obr. 1.36):
1.5.25. Zákon zachovania hybnosti keď sa raketa pohybuje (obr. 1.37):
kde a sú hmotnosť a rýchlosť rakety; a hmotnosť a rýchlosť vypudzovaných plynov.
 |  |
|
| Ryža. 1.36 | Ryža. 1.37 | |
1.5.26. Meshcherského rovnica pre raketu.