Kocka s plnou plochou. Ako zistiť plochu a objem kocky

Zaostrite na samotnej kocke. Ukazuje, že ktorákoľvek z plôch kocky je štvorec. Problém nájdenia plochy tváre kocky sa teda redukuje na problém nájdenia plochy ktoréhokoľvek zo štvorcov (tváre kocky). Je možná ktorákoľvek z plôch kocky, pretože dĺžky všetkých jej hrán sú medzi sebou.

Príklad: Dĺžka hrany kocky je 11 cm, treba nájsť jej plochu.

Riešenie: ak poznáte dĺžku tváre, môžete nájsť jej oblasť:

S = 112 = 121 cm2

Odpoveď: plocha tváre kocky s hranou 11 cm je 121 cm²

Poznámka

Každá kocka má 8 vrcholov, 12 hrán, 6 stien a 3 steny v hornej časti.
Kocka je taká postava, ktorá je neuveriteľne bežná v každodennom živote. Stačí pripomenúť herné kocky, kocky, kocky v rôznych detských a tínedžerských dizajnéroch.
Mnohé architektonické prvky majú kubický tvar.
Kubické metre sa používajú na meranie objemov rôznych látok v rôznych sférach spoločnosti.
Z vedeckého hľadiska je kubický meter mierou objemu látky, ktorá sa zmestí do kocky s dĺžkou hrany 1 m.
Môžete teda zadať ďalšie jednotky objemu: kubické milimetre, centimetre, decimetre atď.
Okrem rôznych kubických jednotiek objemu je v ropnom a plynárenskom priemysle možné použiť ďalšiu jednotku - barel (1m³ = 6,29 barelov)

Užitočné rady

Ak je dĺžka jej okraja pre kocku známa, potom okrem oblasti tváre možno nájsť aj ďalšie parametre tejto kocky, napríklad:
Povrch kocky: S = 6*a²;
Objem: V = 6*a³;
Polomer vpísanej gule: r = a/2;
Polomer gule opísanej okolo kocky: R = ((√3)*a))/2;
Uhlopriečka kocky (úsečka spájajúca dva protiľahlé vrcholy kocky, ktorá prechádza jej stredom): d = a*√3

Zdroje:

• plocha kocky, ak sú okraje 11 cm

Kocka je pravidelný mnohosten, ktorého každá plocha je štvorec. Plocha kocky je plocha jej povrchu, ktorá pozostáva zo súčtu plôch jej plôch, to znamená súčtu plôch štvorcov, ktoré tvoria kocku.

Video kurz „Get an A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné zloženie skúšky z matematiky o 60-65 bodov. Kompletne všetky úlohy 1-13 profilu POUŽÍVAJTE v matematike. Vhodné aj na absolvovanie Základného USE v matematike. Ak chcete skúšku zvládnuť s 90-100 bodmi, musíte 1. časť vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a bez nich sa nezaobíde ani stobodový študent, ani humanista.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, pasce a tajomstvá skúšky. Všetky relevantné úlohy časti 1 z úloh Bank of FIPI boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám USE-2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky skúšobných úloh. Textové úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov USE úloh. Stereometria. Prefíkané triky na riešenie, užitočné cheaty, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly - k úlohe 13. Pochopenie namiesto napchávania. Vizuálne vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklady pre riešenie zložitých úloh 2. časti skúšky.

Kocka je úžasná figúrka. Je to rovnaké zo všetkých strán. Ktorákoľvek z jeho plôch sa môže okamžite stať základňou alebo stranou. A na tomto sa nič nezmení. A vzorce pre neho sú vždy ľahko zapamätateľné. A nezáleží na tom, čo potrebujete nájsť - objem alebo povrch kocky. V druhom prípade sa ani nemusíte učiť niečo nové. Stačí si zapamätať iba vzorec pre oblasť štvorca.

čo je oblasť?

Táto hodnota sa zvyčajne označuje latinským písmenom S. Okrem toho to platí pre školské predmety ako fyzika a matematika. Meria sa v štvorcových jednotkách dĺžky. Všetko závisí od daných veličín v probléme. Môže byť mm, cm, m alebo km na druhú. Okrem toho existujú prípady, keď jednotky nie sú ani uvedené. Hovoríme zjednodušene o číselnom vyjadrení plochy bez názvu.

Čo je teda oblasť? Ide o hodnotu, ktorá je číselnou charakteristikou daného útvaru alebo objemového telesa. Zobrazuje veľkosť jeho povrchu, ktorý je ohraničený stranami postavy.

Aký tvar sa nazýva kocka?

Tento obrazec je mnohosten. A nie ľahké. Je to správne, to znamená, že má všetky prvky navzájom rovnocenné. Či už ide o strany alebo okraje. Každý povrch kocky je štvorec.

Iný názov kocky je pravidelný šesťsten, ak v ruštine, potom šesťsten. Môže byť vytvorený zo štvoruholníkového hranola alebo rovnobežnostena. Pod podmienkou, že všetky hrany sú rovnaké a uhly zvierajú 90 stupňov.

Táto postava je taká harmonická, že sa často používa v každodennom živote. Napríklad prvé hračky dieťaťa sú kocky. A zábavou pre starších je Rubikova kocka.

Ako súvisí kocka s inými tvarmi a telesami?

Ak nakreslíte časť kocky, ktorá prechádza tromi jej stenami, bude to vyzerať ako trojuholník. Keď sa vzdialite od hornej časti, časť sa zväčší. Príde moment, keď sa už 4 tváre pretnú a postava v sekcii sa stane štvoruholníkom. Ak nakreslíte rez stredom kocky tak, aby bol kolmý na jej hlavné uhlopriečky, dostanete pravidelný šesťuholník.

Vo vnútri kocky môžete nakresliť štvorsten (trojuholníkový ihlan). Jeden z jeho rohov sa považuje za vrchol štvorstenu. Zvyšné tri sa budú zhodovať s vrcholmi, ktoré ležia na opačných koncoch hrán vybraného rohu kocky.

Dá sa do nej vpísať oktaedrón (konvexný pravidelný mnohosten, ktorý vyzerá ako dve spojené pyramídy). Aby ste to dosiahli, musíte nájsť stredy všetkých plôch kocky. Budú to vrcholy osemstenu.

Opačná operácia je tiež možná, to znamená, že je skutočne možné umiestniť kocku do osemstenu. Až teraz sa stredy tvárí prvého stanú vrcholmi druhého.

Metóda 1: výpočet plochy kocky od jej okraja

Na výpočet celkového povrchu kocky potrebujete poznať jeden z jej prvkov. Najjednoduchšie je to vyriešiť, keď poznáte jeho hranu alebo inak povedané stranu štvorca, z ktorej sa skladá. Zvyčajne je táto hodnota označená latinským písmenom "a".

Teraz si musíte zapamätať vzorec, podľa ktorého sa vypočíta plocha štvorca. Aby nedošlo k zámene, jeho označenie sa uvádza písmenom S 1.

Pre pohodlie je lepšie dávať čísla všetkým vzorcom. Tento bude prvý.

Toto je však plocha iba jedného štvorca. Je ich šesť: 4 na bokoch a 2 na spodnej a hornej strane. Potom sa povrch kocky vypočíta podľa nasledujúceho vzorca: S = 6 * a 2 . Jej číslo je 2.

Metóda 2: ako vypočítať plochu, ak je známy objem telesa

Z matematického vyjadrenia pre objem šesťstenu je odvodený jeden, z ktorého sa dá vypočítať dĺžka hrany. Tu je:

Číslovanie pokračuje a tu je číslo 3.

Teraz ho možno vypočítať a nahradiť do druhého vzorca. Ak konáme podľa noriem matematiky, musíme odvodiť nasledujúci výraz:

Toto je vzorec pre plochu celého povrchu kocky, ktorý možno použiť, ak je známy objem. Toto číslo rekordu je 4.

Metóda 3: Výpočet plochy z uhlopriečky kocky

Toto je vzorec číslo 5.

Je ľahké z neho odvodiť výraz pre hranu kocky:

Toto je šiesty vzorec. Po jej výpočte môžete opäť použiť vzorec pod druhým číslom. Ale je lepšie napísať niečo takéto:

Ukázalo sa, že je to číslo 7. Ak sa pozriete pozorne, všimnete si, že posledný vzorec je pohodlnejší ako výpočet krok za krokom.

Metóda 4: Ako použiť polomer vpísanej alebo opísanej kružnice na výpočet plochy kocky

Ak označíme polomer kružnice opísanej okolo šesťstenu písmenom R, potom sa povrch kocky dá ľahko vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:

Jeho sériové číslo je 8. Ľahko sa získava vďaka tomu, že priemer kruhu sa úplne zhoduje s hlavnou uhlopriečkou.

Označením polomeru vpísaného kruhu latinským písmenom r môžeme získať nasledujúci vzorec pre oblasť celého povrchu šesťstenu:

Toto je vzorec číslo 9.

Niekoľko slov o bočnom povrchu šesťstenu

Ak je v probléme potrebné nájsť oblasť bočného povrchu kocky, musíte použiť techniku ​​opísanú vyššie. Keď je už zadaný okraj tela, potom je potrebné vynásobiť iba plochu štvorca 4. Tento údaj sa objavil v dôsledku skutočnosti, že kocka má iba 4 bočné steny. Matematický zápis tohto výraz je nasledovný:

Jeho číslo je 10. Ak sú uvedené nejaké iné hodnoty, postupujte podobne ako vyššie opísané metódy.

Príklady úloh

Prvá podmienka. Povrch kocky je známy. Je to rovných 200 cm². Vypočítajte hlavnú uhlopriečku kocky.

1 spôsob. Musíte použiť vzorec, ktorý je označený číslom 2. Nebude ťažké z neho odvodiť „a“. Tento matematický zápis bude vyzerať ako druhá odmocnina kvocientu rovného S x 6. Po dosadení čísel dostanete:

a = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).

Piaty vzorec vám umožňuje okamžite vypočítať hlavnú uhlopriečku kocky. Aby ste to dosiahli, musíte vynásobiť hodnotu hrany √3. Je to jednoduché. Odpoveď je, že uhlopriečka je 10 cm.

2 spôsobom. V prípade, že ste zabudli vzorec pre uhlopriečku, zapamätajte si Pytagorovu vetu.

Podobne ako to bolo v prvej metóde, nájdite okraj. Potom musíte dvakrát zapísať vetu pre preponu: prvú pre trojuholník na prednej strane, druhú pre tú, ktorá obsahuje požadovanú uhlopriečku.

x² = a² + a², kde x je uhlopriečka štvorca.

d² \u003d x² + a² \u003d a² + a² + a² \u003d 3 a². Z tohto záznamu je ľahké vidieť, ako sa získa vzorec pre uhlopriečku. A potom budú všetky výpočty, ako v prvej metóde. Je trochu dlhší, ale umožňuje vám nepamätať si vzorec, ale získať ho sami.

Odpoveď: Uhlopriečka kocky je 10 cm.

Druhá podmienka. Zo známeho povrchu, ktorý je 54 cm 2, vypočítajte objem kocky.

Pomocou vzorca pod druhým číslom musíte zistiť hodnotu hrany kocky. Ako sa to robí, je podrobne popísané v prvej metóde riešenia predchádzajúceho problému. Po vykonaní všetkých výpočtov dostaneme \u003d 3 cm.

Teraz musíte použiť vzorec pre objem kocky, v ktorom je dĺžka hrany zvýšená na tretiu mocninu. To znamená, že objem sa vypočíta takto: V \u003d 3 3 \u003d 27 cm 3.

Odpoveď: objem kocky je 27 cm3.

Tretia podmienka. Je potrebné nájsť hranu kocky, pre ktorú je splnená nasledujúca podmienka. Zväčšenie okraja o 9 jednotiek zväčší celkový povrch o 594.

Keďže v úlohe nie sú žiadne explicitné čísla, iba rozdiel medzi tým, čo bolo a čím sa stalo, je potrebné zaviesť dodatočnú notáciu. Nie je to ťažké. Nech sa požadovaná hodnota rovná "a". Potom sa zväčšený okraj kocky bude rovnať (a + 9).

Keď to viete, musíte dvakrát napísať vzorec pre povrch kocky. Prvý - pre počiatočnú hodnotu hrany - sa bude zhodovať s číslom 2. Druhý bude mierne odlišný. V ňom namiesto "a" musíte napísať súčet (a + 9). Keďže problém sa zaoberá rozdielom v oblastiach, je potrebné odpočítať menšiu z väčšej oblasti:

6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 \u003d 594.

Musíte urobiť premeny. Najprv vložte zátvorku 6 na ľavú stranu rovnice a potom zjednodušte to, čo zostáva v zátvorkách. Konkrétne (a + 9) 2 - a 2 . Tu je zapísaný rozdiel štvorcov, ktorý je možné previesť nasledovne: (a + 9 - a) (a + 9 + a). Po zjednodušení výrazu sa získa 9(2a + 9).

Teraz sa musí vynásobiť číslom 6, teda číslom, ktoré bolo pred zátvorkou, a prirovnať k 594: 54 (2a + 9) \u003d 594. Toto je lineárna rovnica s jednou neznámou. Je ľahké to vyriešiť. Najprv musíte otvoriť zátvorky a potom presunúť výraz s neznámou hodnotou na ľavú stranu rovnosti a čísla doprava. Získa sa rovnica: 2a \u003d 2. Z nej je zrejmé, že požadovaná hodnota je 1.

Toto je celková plocha všetkých plôch figúry. Povrch kocky sa rovná súčtu plôch všetkých jej šiestich stien. Plocha povrchu je číselná charakteristika povrchu. Na výpočet plochy povrchu kocky potrebujete poznať určitý vzorec a dĺžku jednej zo strán kocky. Aby ste mohli rýchlo vypočítať povrch kocky, musíte si zapamätať vzorec a samotný postup. Nižšie podrobne analyzujeme poradie výpočtu celkový povrch kocky a uveďte konkrétne príklady.

Vykonáva sa podľa vzorca SA \u003d 6a 2. Kocka (pravidelný šesťsten) je jedným z 5 typov pravidelných mnohostenov, čo je pravidelný pravouhlý rovnobežnosten, kocka má 6 stien, pričom každá z týchto stien je štvorcová.

Pre výpočet plochy povrchu kocky Musíte si zapísať vzorec SA = 6a 2 . Teraz sa pozrime, prečo má tento vzorec takú formu. Ako sme už povedali, kocka má šesť rovnakých štvorcových plôch. Na základe skutočnosti, že strany štvorca sú rovnaké, plocha štvorca je - a 2, kde a je strana kocky. Keďže kocka má 6 rovnakých štvorcových plôch, na určenie jej povrchu je potrebné vynásobiť plochu jednej plochy (štvorca) šiestimi. Výsledkom je, že získame vzorec na výpočet plochy povrchu (SA) kocky: SA \u003d 6a 2, kde a je hrana kocky (strana štvorca).

Aký je povrch kocky.

Meria sa v štvorcových jednotkách, napríklad v mm 2, cm 2, m 2 atď. Pre ďalšie výpočty budete musieť merať okraj kocky. Ako vieme, hrany kocky sú rovnaké, takže vám bude stačiť zmerať len jednu (ľubovoľnú) hranu kocky. Takéto meranie môžete vykonať pomocou pravítka (alebo pásky). Venujte pozornosť merným jednotkám na pravítku alebo metre a zapíšte si hodnotu, označte ju ako a.

Príklad: a = 2 cm.

Umocnite výslednú hodnotu. Takže robíte kvadratúru dĺžky hrany kocky. Ak chcete číslo odmocniť, vynásobte ho samotným. Náš vzorec bude vyzerať takto: SA \u003d 6 * a 2

Vypočítali ste plochu jednej z plôch kocky.

Príklad: a = 2 cm

a 2 \u003d 2 x 2 \u003d 4 cm 2

Výslednú hodnotu vynásobte šiestimi. Pamätajte, že kocka má 6 rovnakých strán. Po určení plochy jednej z plôch vynásobte výslednú hodnotu 6 tak, aby boli do výpočtu zahrnuté všetky plochy kocky.

Tu sa dostávame k záverečnej akcii výpočet plochy povrchu kocky.

Príklad: a 2 \u003d 4 cm 2

SA \u003d 6 x a 2 \u003d 6 x 4 \u003d 24 cm 2