Matematické znamienko je ľubovoľné číslo. Z histórie matematických symbolov

Balagin Viktor

S objavom matematických pravidiel a teorém prišli vedci s novým matematickým zápisom, znakmi. Matematické znaky sú symboly určené na zaznamenávanie matematických pojmov, viet a výpočtov. V matematike sa na skrátenie záznamu a presnejšie vyjadrenie výroku používajú špeciálne symboly. Okrem čísel a písmen rôznych abecied (latinská, grécka, hebrejská) matematický jazyk používa mnoho špeciálnych symbolov vynájdených v priebehu niekoľkých posledných storočí.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

MATEMATICKÉ SYMBOLY.

Urobil som prácu

žiak 7. ročníka

GBOU stredná škola č.574

Balagin Viktor

akademický rok 2012-2013

MATEMATICKÉ SYMBOLY.

1. Úvod

Slovo matematika k nám prišlo zo starovekej gréčtiny, kde μάθημα znamenalo „učiť sa“, „nadobúdať vedomosti“. A mýli sa ten, kto hovorí: „Ja matematiku nepotrebujem, matematikárom sa nestanem“. Každý potrebuje matematiku. Odhaľuje úžasný svet čísel okolo nás, učí nás jasnejšie a dôslednejšie myslieť, rozvíja myslenie, pozornosť, vychováva k vytrvalosti a vôli. M.V. Lomonosov povedal: "Matematika dáva myseľ do poriadku." Jedným slovom, matematika nás učí naučiť sa získavať vedomosti.

Matematika je prvá veda, ktorú človek ovláda. Najstaršou aktivitou bolo počítanie. Niektoré primitívne kmene počítali počet predmetov pomocou prstov na rukách a nohách. Skalná kresba, ktorá sa do dnešných čias zachovala z doby kamennej, zobrazuje číslo 35 v podobe 35 za sebou nakreslených palíc. Dá sa povedať, že 1 palica je prvý matematický symbol.

Matematické „písanie“, ktoré teraz používame – od zápisu neznámych písmen x, y, z až po znak integrálu – sa vyvíjalo postupne. Rozvoj symboliky zjednodušil prácu s matematickými operáciami a prispel k rozvoju samotnej matematiky.

Zo starogréckeho „symbolu“ (gr. symbolon - znak, znak, heslo, znak) - znak, ktorý je spojený s objektívnosťou, ktorú označuje tak, že význam znaku a jeho predmet sú reprezentované iba znakom samotným a odhaľujú sa iba prostredníctvom jeho výklad.

S objavom matematických pravidiel a teorém prišli vedci s novým matematickým zápisom, znakmi. Matematické znaky sú symboly určené na zaznamenávanie matematických pojmov, viet a výpočtov. V matematike sa na skrátenie záznamu a presnejšie vyjadrenie výroku používajú špeciálne symboly. Okrem čísel a písmen rôznych abecied (latinská, grécka, hebrejská) matematický jazyk používa mnoho špeciálnych symbolov vynájdených v priebehu niekoľkých posledných storočí.

2. Znaky sčítania, odčítania

História matematického zápisu začína paleolitom. Z tejto doby pochádzajú kamene a kosti so zárezmi používanými na počítanie. Najznámejším príkladom jeishango kosť. Slávna kosť z Ishanga (Kongo), pochádzajúca približne z 20-tisíc rokov pred naším letopočtom, dokazuje, že už vtedy človek vykonával pomerne zložité matematické operácie. Zárezy na kostiach slúžili na sčítanie a aplikovali sa v skupinách, čo symbolizovalo sčítanie čísel.

Už staroveký Egypt mal oveľa pokročilejší systém zápisu. Napríklad vahmesov papyrusako symbol na sčítanie sa v texte používa obrázok dvoch nôh kráčajúcich dopredu a na odčítanie - dve nohy kráčajúce dozadu.Starí Gréci označovali sčítanie písaním vedľa seba, no z času na čas na to používali lomítko „/“ a na odčítanie poloeliptickú krivku.

Symboly pre aritmetické operácie sčítania (plus "+'') a odčítania (mínus "-'') sú také bežné, že si takmer nikdy nemyslíme, že neexistovali vždy. Pôvod týchto symbolov je nejasný. Jednou z verzií je, že sa predtým používali pri obchodovaní ako znaky zisku a straty.

Tiež sa verí, že naše znameniepochádza z jednej z foriem slova „et“, čo v latinčine znamená „a“. Výraz a+b napísané v latinčine takto: a et b . Postupne, kvôli častému používaniu, od nápisu " et "zostáva len" t ", ktorý sa časom zmenil na"+ "Prvá osoba, ktorá mohla použiť označenie."ako skratka pre et bola v polovici štrnásteho storočia astronómka Nicole d'Orem (autorka Knihy neba a sveta).

Na konci pätnásteho storočia francúzsky matematik Chiquet (1484) a Talian Pacioli (1494) používali „'' alebo " "" (označuje "plus") pre pridanie a "'' alebo " '' (označuje "mínus") na odčítanie.

Zápis odčítania bol mätúci, pretože namiesto jednoduchého „” v nemeckých, švajčiarskych a holandských knihách sa niekedy používa symbol „÷“, ktorým teraz označujeme delenie. Niekoľko kníh zo sedemnásteho storočia (napríklad knihy Descarta a Mersenna) používalo na označenie odčítania dve bodky „∙ ∙“ alebo tri bodky „∙ ∙ ∙“.

Prvé použitie moderného algebraického znaku ““ odkazuje na nemecký rukopis o algebre z roku 1481, ktorý sa našiel v knižnici v Drážďanoch. V latinskom rukopise z rovnakého obdobia (tiež z drážďanskej knižnice) sú obidva znaky: „" a "-". Systematické používanie značiek "” a “-” pre sčítanie a odčítanie sa vyskytuje vJohann Widmann. Nemecký matematik Johann Widmann (1462-1498) bol prvý, kto použil oba znaky na označenie prítomnosti a neprítomnosti študentov na svojich prednáškach. Pravda, existujú dôkazy, že si tieto znaky „požičal“ od málo známeho profesora na univerzite v Lipsku. V roku 1489 v Lipsku vydal prvú tlačenú knihu (Obchodná aritmetika - „komerčná aritmetika“), v ktorej boli prítomné oba znaky. a , v diele „Rýchly a príjemný účet pre všetkých obchodníkov“ (okolo 1490)

Ako historickú kuriozitu stojí za zmienku, že aj po prijatí znamenianie každý používal tento symbol. Sám Widman ho predstavil ako grécky kríž(znak, ktorý používame dnes), ktorého horizontálny ťah je niekedy o niečo dlhší ako vertikálny. Niektorí matematici ako Record, Harriot a Descartes používali rovnaké znamenie. Iní (napr. Hume, Huygens a Fermat) používali latinský kríž „†“, niekedy umiestnený vodorovne, s priečkou na jednom alebo druhom konci. Nakoniec niektorí (napríklad Halley) použili dekoratívnejší vzhľad “ ».

3. Rovnocenné znamienko

Rovnaké znamienko v matematike a iných exaktných vedách sa píše medzi dva výrazy, ktoré majú rovnakú veľkosť. Diophantus bol prvý, kto použil znamienko rovnosti. Rovnosť označoval písmenom i (z gréckeho isos - rovný). ATstaroveká a stredoveká matematikarovnosť bola označená slovne, napríklad est egale, alebo použili skratku „ae“ z latinského aequalis - „rovnaký“. Iné jazyky tiež používali prvé písmená slova „rovná sa“, ale to nebolo všeobecne akceptované. Znamienko rovnosti „=" zaviedol v roku 1557 waleský lekár a matematik.Robert Record(Záznam R., 1510-1558). Symbol II slúžil v niektorých prípadoch ako matematický symbol rovnosti. Záznam zaviedol symbol "='' s dvoma rovnakými vodorovnými rovnobežnými čiarami, oveľa dlhšími ako tie, ktoré sa používajú dnes. Anglický matematik Robert Record ako prvý použil symbol „rovnosť“ a argumentoval slovami: „žiadne dva objekty sa nemôžu rovnať viac ako dva paralelné segmenty“. Ale aj vXVII storočiaRené Descartespoužil skratku „ae“.François Vietznamienko rovnosti označuje odčítanie. Istý čas šíreniu symbolu Record bránila skutočnosť, že rovnaký symbol sa používal na označenie rovnobežných čiar; nakoniec sa rozhodlo, že symbol paralelizmu bude vertikálny. Znak sa rozšíril až po dielach Leibniza na prelome 17.-18. storočia, teda viac ako 100 rokov po smrti človeka, ktorý ho na tento účel prvýkrát použil.Roberta Record. Na jeho náhrobnom kameni nie sú žiadne slová – len vytesaný znak „rovná sa“.

Súvisiace symboly pre približnú rovnosť „≈“ a identitu „≡“ sú veľmi mladé – prvý zaviedol v roku 1885 Günther, druhý – v roku 1857Riemann

4. Znaky násobenia a delenia

Znak násobenia v podobe kríža („x“) zaviedol anglikánsky kňaz-matematikWilliam Otred v 1631. Pred ním sa pre znak násobenia používalo písmeno M, hoci boli navrhnuté iné označenia: symbol obdĺžnika (Erigon, ), hviezdička ( Johann Rahn, ).

Neskôr Leibniznahradil krížik bodkou (koniec17 storočie), aby nedošlo k zámene s písm X ; pred ním sa takáto symbolika našla vRegiomontana (15. storočia) a anglický vedecThomas Harriot (1560-1621).

Na označenie akcie rozdeleniaPobočkapreferoval lomítko. Delenie hrubého čreva začalo označovaťLeibniz. Pred nimi sa často používalo aj písmeno D.fibonacciho, používa sa aj znak zlomku, ktorý sa používal aj v arabských spisoch. Rozdelenie vo forme obelus ("÷") zaviedol švajčiarsky matematikJohann Rahn(okolo 1660)

5. Znak percenta.

Jedna stotina celku, braná ako jednotka. Samotné slovo „percento“ pochádza z latinského „pro centum“, čo znamená „sto“. V roku 1685 vyšiel v Paríži Mathieu de la Porte's Manual of Commercial Arithmetic (1685). Na jednom mieste išlo o percentá, čo vtedy znamenalo „cto“ (skratka pre cento). Sadzač si však to "cto" pomýlil so zlomkom a napísal "%". Takže kvôli preklepu sa začalo používať toto označenie.

6. Znamenie nekonečna

Začal sa používať aktuálny symbol nekonečna „∞“.John Wallis v roku 1655. John Wallispublikoval veľké pojednanie „Aritmetika nekonečna“ (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, inak Difficiliora Matheseos Problemata), kde predstavil symbol, ktorý vynašielnekonečno. Prečo si vybral práve toto znamenie, sa dodnes nevie. Jedna z najuznávanejších hypotéz spája pôvod tohto symbolu s latinským písmenom „M“, ktoré Rimania používali na označenie čísla 1000.Symbol pre nekonečno nazýva matematik Bernoulli asi o štyridsať rokov neskôr „lemniscus“ (lat. stuha).

Iná verzia hovorí, že kresba „osem“ vyjadruje hlavnú vlastnosť pojmu „nekonečno“: pohyb bez konca . Po línii čísla 8 môžete robiť nekonečný pohyb ako na cyklotrase. Aby sa zavedený znak nepomýlil s číslom 8, matematici sa ho rozhodli umiestniť vodorovne. Stalo. Tento zápis sa stal štandardom pre celú matematiku, nielen pre algebru. Prečo nie je nekonečno označené nulou? Odpoveď je zrejmá: bez ohľadu na to, ako otočíte číslo 0, nezmení sa. Preto voľba padla na 8.

Ďalšou možnosťou je had požierajúci svoj chvost, ktorý jeden a pol tisíc rokov pred naším letopočtom v Egypte symbolizoval rôzne procesy, ktoré nemajú začiatok ani koniec.

Mnohí veria, že Möbiov pás je predchodcom symbolunekonečno, keďže symbol nekonečna bol patentovaný po vynájdení zariadenia „Möbiovho prúžku“ (pomenovaného po matematikovi z devätnásteho storočia Möbiovi). Möbiov pás - pás papiera, ktorý je zahnutý a na koncoch spojený, tvoriaci dve priestorové plochy. Podľa dostupných historických informácií sa však symbol nekonečna začal používať na znázornenie nekonečna dve storočia pred objavením Möbiovho pásu.

7. Známky uhlie a kolmý sti

Symboly " injekciou" a " kolmý" prišiel s 1634francúzsky matematikPierre Erigon. Jeho kolmý symbol bol hore nohami, pripomínal písmeno T. Symbol uhla pripomínal ikonu, dala mu modernú podobuWilliam Otred ().

8. Podpíšte sa paralelizmus a

symbol " paralelizmus» známy už od staroveku, používal saVolavka a Pappus z Alexandrie. Spočiatku bol symbol podobný súčasnému znamienku rovnosti, ale s príchodom druhého, aby sa predišlo zámene, bol symbol otočený vertikálne (Pobočka(1677), Kersey (John Kersey ) a iní matematici 17. storočia)

9. Pi

Prvýkrát sa vytvoril všeobecne uznávaný zápis pre číslo, ktoré sa rovná pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru (3,1415926535...).William Jones v 1706, pričom prvé písmeno gréckych slov περιφέρεια -kruh a περίμετρος - obvod, čo je obvod kruhu. Páči sa mi táto skratkaEuler, ktorého diela označenie definitívne zafixovali.

10. Sínus a kosínus

Zaujímavý je vzhľad sínusov a kosínusov.

Sinus z latinčiny - sínus, dutina. Ale toto meno má dlhú históriu. Indickí matematici ďaleko pokročili v trigonometrii v oblasti 5. storočia. Samotné slovo „trigonometria“ neexistovalo, zaviedol ho Georg Klugel v roku 1770.) To, čo dnes nazývame sínus, zhruba zodpovedá tomu, čo Indiáni nazývali ardha-jiya, v preklade polotetiva (t. j. polovičný akord). Pre stručnosť to nazývali jednoducho - jiya (tetiva). Keď Arabi prekladali diela hinduistov zo sanskrtu, nepreložili „reťazec“ do arabčiny, ale slovo jednoducho prepísali arabskými písmenami. Ukázalo sa, že je to výložník. Ale keďže krátke samohlásky sa v arabskom slabičnom písaní neuvádzajú, naozaj zostáva j-b, ktoré je podobné inému arabskému slovu - jaib (depresia, sínus). Keď Gerard z Cremony v 12. storočí preložil Arabov do latinčiny, preložil toto slovo ako sínus, čo v latinčine znamená aj sínus, prehĺbenie.

Kosínus sa objavil automaticky, pretože Hinduisti ho nazývali koti-jiya alebo skrátene ko-jiya. Koti je v sanskrte zakrivený koniec luku.Moderné skratky a predstavený William Oughtreda opravené v prac Euler.

Označenia tangenta/kotangens sú oveľa neskoršieho pôvodu (anglické slovo tangent pochádza z latinského tangere, dotýkať sa). A ani doteraz neexistuje jednotné označenie - v niektorých krajinách sa častejšie používa označenie tan, v iných - tg

11. Skratka „Čo bolo potrebné preukázať“ (ch.t.d.)

Quod erat demonstrandum » (kwol erat lamonstranlum).
Grécka fráza znamená „čo sa muselo dokázať“ a latinčina – „čo sa muselo ukázať“. Tento vzorec končí každé matematické uvažovanie veľkého gréckeho matematika starovekého Grécka Euklida (III. storočie pred Kristom). Preložené z latinčiny – čo bolo potrebné preukázať. V stredovekých vedeckých pojednaniach sa tento vzorec často písal v skrátenej forme: QED.

12. Matematický zápis.

13. Záver

Matematická veda je nevyhnutná pre civilizovanú spoločnosť. Matematika sa nachádza vo všetkých vedách. Matematický jazyk sa mieša s jazykom chémie a fyziky. Ale aj tak tomu rozumieme. Dá sa povedať, že začíname študovať jazyk matematiky spolu s našou rodnou rečou. Matematika sa stala neoddeliteľnou súčasťou nášho života. Vďaka matematickým objavom minulosti vedci vytvárajú nové technológie. Zachované objavy umožňujú riešiť zložité matematické problémy. A staroveký matematický jazyk je nám jasný a objavy sú pre nás zaujímavé. Archimedes, Platón, Newton vďaka matematike objavili fyzikálne zákony. Učíme sa ich v škole. Aj vo fyzike existujú symboly, pojmy vlastné fyzikálnej vede. Matematický jazyk sa však medzi fyzikálnymi vzorcami nestratí. Naopak, tieto vzorce nemožno napísať bez znalosti matematiky. Prostredníctvom histórie sa poznatky a fakty uchovávajú pre budúce generácie. Pre nové objavy je potrebné ďalšie štúdium matematiky. Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisy snímok:

Matematické symboly Prácu vykonal žiak 7. ročníka školy č.574 Balagin Viktor

Symbol (grécky symbolon - znak, znak, heslo, emblém) je znak, ktorý je spojený s objektívnosťou, ktorú označuje, takže význam znaku a jeho predmet sú reprezentované iba znakom samotným a sú odhalené. len prostredníctvom jeho výkladu. Znaky sú matematické konvencie určené na zaznamenávanie matematických pojmov, viet a výpočtov.

Bone of Ishango Časť Ahmesovho papyrusu

+ − Znamienka plus a mínus. Sčítanie sa označovalo písmenom p (plus) alebo latinským slovom et (spojka „a“) ​​a odčítanie písmenom m (mínus). Výraz a + b bol napísaný v latinčine takto: a et b.

odčítanie zápisu. ÷ ∙ ∙ alebo ∙ ∙ ∙ René Descartes Marin Mersenne

Stránka z knihy Johanna Widmanna. V roku 1489 Johann Widmann vydal prvú tlačenú knihu v Lipsku (Obchodná aritmetika – „komerčná aritmetika“), v ktorej boli prítomné znamienka + aj –.

Zápis sčítania. Christian Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley

Znak rovnosti Diophantus bol prvý, kto použil znamienko rovnosti. Rovnosť označoval písmenom i (z gréckeho isos - rovný).

Znak rovnosti Navrhol v roku 1557 anglický matematik Robert Record „Žiadne dva objekty sa nemôžu rovnať viac ako dva paralelné segmenty.“ V kontinentálnej Európe zaviedol znamienko rovnosti Leibniz.

× ∙ Znak násobenia Zaviedol ho v roku 1631 William Oughtred (Anglicko) vo forme šikmého kríža. Leibniz nahradil krížik bodkou (koniec 17. storočia), aby si ho nepomýlil s písmenom x. William Otred Gottfried Wilhelm Leibniz

percent. Matthieu de la Porte (1685). Jedna stotina celku, braná ako jednotka. "percento" - "pro centum", čo znamená - "sto". "cto" (skratka pre cento). Sadzač si pomýlil "cto" so zlomkom a napísal "%".

Nekonečno. John Wallis John Wallis predstavil symbol, ktorý vynašiel v roku 1655. Had požierajúci svoj chvost symbolizoval rôzne procesy, ktoré nemajú začiatok ani koniec.

Symbol pre nekonečno sa začal používať na reprezentáciu nekonečna dve storočia pred objavením Möbiovho prúžku Möbiov prúžok je prúžok papiera, ktorý je na svojich koncoch zakrivený a spojený tak, aby vytvoril dve priestorové plochy. August Ferdinand Möbius

Uhol a kolmica. Symboly vynašiel v roku 1634 francúzsky matematik Pierre Erigon. Erigonov symbol uhla pripomínal ikonu. Zvislý symbol bol obrátený a pripomína písmeno T . Modernú podobu týmto znakom dal William Oughtred (1657).

Paralelnosť. Symbol používali Herón Alexandrijský a Pappus Alexandrijský. Spočiatku bol symbol podobný súčasnému znamienku rovnosti, ale s príchodom druhého, aby sa predišlo zmätku, bol symbol otočený vertikálne. Volavka Alexandrijská

Pi. π ≈ 3,1415926535... William Jones v roku 1706 π εριφέρεια - obvod a π ερίμετρος - obvod, teda obvod kruhu. Toto zmenšenie potešilo Eulera, ktorého práce toto označenie úplne zafixovali. William Jones

sin Sinus a kosinus cos Sinus (z lat.) - sínus, dutina. koti-jiya alebo skrátene ko-jiya. Koti - zakrivený koniec luku Moderné krátke označenia zaviedol William Otred a zafixoval v dielach Eulera. "arha-jiva" - medzi Indiánmi - "polstruna" Leonard Euler William Otred

Čo bolo potrebné na preukázanie (ch.t.d.) „Quod erat demonstrandum“ QED. Tento vzorec končí každé matematické uvažovanie veľkého matematika starovekého Grécka Euklida (III. storočie pred Kristom).

Rozumieme starovekému matematickému jazyku. Aj vo fyzike existujú symboly, pojmy vlastné fyzikálnej vede. Matematický jazyk sa však medzi fyzikálnymi vzorcami nestratí. Naopak, tieto vzorce nemožno napísať bez znalosti matematiky.

Abstraktná algebra vo veľkej miere využíva symboly na zjednodušenie a skrátenie textu, ako aj štandardnú notáciu pre určité skupiny. Nasleduje zoznam najbežnejších algebraických zápisov, zodpovedajúcich príkazov v ... Wikipedia

Matematické zápisy sú symboly používané na písanie matematických rovníc a vzorcov kompaktným spôsobom. Okrem číslic a písmen rôznych abecied (latinka, vrátane gotiky, gréčtiny a hebrejčiny), ... ... Wikipedia

Článok obsahuje zoznam bežne používaných skratiek pre matematické funkcie, operátory a ďalšie matematické výrazy. Obsah 1 Skratky 1.1 Latinčina 1.2 Grécka abeceda ... Wikipedia

Unicode alebo Unicode (angl. Unicode) je štandard kódovania znakov, ktorý vám umožňuje reprezentovať znaky takmer všetkých písaných jazykov. Normu navrhla v roku 1991 nezisková organizácia Unicode Consortium (Eng. Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Zoznam konkrétnych symbolov používaných v matematike si môžete pozrieť v článku Tabuľka matematických symbolov Matematická notácia ("jazyk matematiky") je komplexný grafický notačný systém, ktorý slúži na prezentáciu abstraktných ... ... Wikipedia

Tento výraz má iné významy, pozri Plus mínus (významy). ± ∓ Znamienko plus mínus (±) je matematický symbol, ktorý je umiestnený pred nejakým výrazom a znamená, že hodnota tohto výrazu môže byť kladná aj ... Wikipedia

Je potrebné skontrolovať kvalitu prekladu a uviesť článok do súladu so štylistickými pravidlami Wikipédie. Môžete pomôcť ... Wikipedia

Alebo matematické symboly sú znaky, ktoré svojimi argumentmi symbolizujú určité matematické operácie. Najbežnejšie sú: Plus: + Mínus:, - Znak násobenia: ×, ∙ Znak delenia::, ∕, ÷ Znak expozície k ... ... Wikipedia

Znaky operácií alebo matematické symboly sú znaky, ktoré symbolizujú určité matematické operácie s ich argumentmi. Najbežnejšie sú: Plus: + Mínus:, - Znak násobenia: ×, ∙ Znak delenia::, ∕, ÷ Konštrukčný znak ... ... Wikipedia

Matematický zápis("jazyk matematiky") - komplexný grafický zápis, ktorý slúži na prezentovanie abstraktných matematických predstáv a úsudkov v ľudsky čitateľnej forme. Tvorí (vo svojej komplexnosti a rozmanitosti) značnú časť nerečových znakových systémov používaných ľudstvom. Tento článok popisuje všeobecne uznávanú medzinárodnú notáciu, hoci rôzne kultúry v minulosti mali svoje vlastné a niektoré z nich majú doteraz obmedzené použitie.

Všimnite si, že matematický zápis sa spravidla používa v spojení s písomnou formou niektorých prirodzených jazykov.

Okrem základnej a aplikovanej matematiky je matematický zápis široko používaný vo fyzike, ako aj (vo svojom neúplnom rozsahu) v strojárstve, informatike, ekonómii a vlastne vo všetkých oblastiach ľudskej činnosti, kde sa využívajú matematické modely. Rozdiely medzi správnym matematickým a aplikovaným štýlom zápisu budú diskutované v priebehu textu.

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ Prihlásenie / v matematike

✪ 3. ročník z matematiky. Tabuľka číslic viacciferných čísel

✪ Sady v matematike

✪ Matematika 19. Matematická zábava - Shishkinova škola

titulky

Ahoj! Toto video nie je o matematike, ale skôr o etymológii a semiotike. Ale som si istý, že sa vám to bude páčiť. Choď! Uvedomujete si, že hľadanie riešenia kubických rovníc vo všeobecnej forme trvalo matematikom niekoľko storočí? Toto je čiastočne dôvod? Pretože neexistovali jasné symboly pre jasné myšlienky, či už nastal náš čas. Existuje toľko postáv, že sa môžete zmiasť. Ale nemôžete nás oklamať, poďme na to. Toto je obrátené veľké písmeno A. Toto je vlastne anglické písmeno, uvedené ako prvé v slovách „all“ a „any“. V ruštine možno tento symbol v závislosti od kontextu čítať takto: pre každého, každého, každého, každého atď. Takýto hieroglyf sa bude nazývať univerzálny kvantifikátor. A tu je ďalší kvantifikátor, ale už existencia. Anglické písmeno e sa v Maľovaní odrážalo zľava doprava, čím naznačovalo zámorské sloveso „existovať“, podľa nášho názoru budeme čítať: existuje, existuje, existuje ďalší podobný spôsob. Výkričník by dodal takémuto existenčnému kvantifikátoru jedinečnosť. Ak je to jasné, ideme ďalej. Pravdepodobne ste v jedenástej triede natrafili na neurčité integrály, preto by som vám chcel pripomenúť, že nejde len o nejaký druh primitívnej derivácie, ale o súbor všetkých primitív k integrandu. Nezabudnite teda na C – konštantu integrácie. Mimochodom, samotná integrálna ikona je len predĺžené písmeno s, ozvena latinského slova sum. Toto je presne geometrický význam určitého integrálu: hľadanie oblasti obrázku pod grafom sčítaním nekonečne malých hodnôt. Pre mňa je to najromantickejšia aktivita v kalkulácii. Školská geometria je však najužitočnejšia, pretože učí logickej prísnosti. V prvom kurze by ste mali jasne pochopiť, čo je dôsledok, čo je ekvivalencia. No, nemôžete sa pliesť medzi nevyhnutnosťou a dostatkom, rozumiete? Skúsme dokonca siahnuť trochu hlbšie. Ak sa rozhodneš ísť na vyššiu matematiku, tak si viem predstaviť, aké zlé je to s tvojím osobným životom, ale preto určite súhlasíš s prekonaním malého cvičenia. Sú tu tri body, každý má ľavú a pravú stranu, ktoré musíte spojiť s jedným z troch nakreslených symbolov. Zastavte sa, vyskúšajte si to sami a potom si vypočujte, čo vám chcem povedať. Ak x=-2, potom |x|=2, ale zľava doprava, takže fráza je už vytvorená. V druhom odseku je na ľavej a pravej strane napísané absolútne to isté. A tretí bod možno komentovať takto: každý obdĺžnik je rovnobežník, ale nie každý rovnobežník je obdĺžnik. Áno, viem, že už nie si malý, ale aj tak tlieskam tým, ktorí toto cvičenie zvládli. No dobre, dosť, poďme si zapamätať sady čísel. Pri počítaní sa používajú prirodzené čísla: 1, 2, 3, 4 atď. V prírode neexistuje -1 jablko, ale, mimochodom, celé čísla vám umožňujú hovoriť o takýchto veciach. Písmeno ℤ nám kričí o dôležitej úlohe nuly, množina racionálnych čísel je označená písmenom ℚ, a to nie je náhoda. V angličtine slovo „quotient“ znamená „postoj“. Mimochodom, ak vás niekde v Brooklyne osloví Afroameričan a povie: „Keep it real!“, môžete si byť istý, že ste matematik, obdivovateľ reálnych čísel. No, mali by ste si prečítať niečo o komplexných číslach, bude to užitočnejšie. Teraz sa vrátime späť, vrátime sa do prvého ročníka najobyčajnejšej gréckej školy. V skratke si pripomeňme starodávnu abecedu. Prvé písmeno je alfa, potom beta, tento hák je gama, potom delta, nasleduje epsilon a tak ďalej, až po posledné písmeno omega. Môžete si byť istí, že aj Gréci majú veľké písmená, ale o smutných veciach sa teraz baviť nebudeme. Sme lepší o veselých - o limitoch. Ale tu nie sú žiadne hádanky, okamžite je jasné, z ktorého slova sa objavil matematický symbol. No a preto môžeme prejsť k záverečnej časti videa. Skúste prosím rozoznať definíciu limitu číselnej postupnosti, ktorá je teraz napísaná pred vami. Kliknite, radšej sa zastavte a zamyslite sa a nech máte šťastie ako ročné dieťa, ktoré sa naučilo slovo „matka“. Ak pre každé epsilon väčšie ako nula existuje prirodzené číslo N, takže pre všetky čísla číselnej postupnosti väčšie ako N platí nerovnosť |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Všeobecné informácie

Systém sa vyvinul, podobne ako prirodzené jazyky, historicky (pozri históriu matematického zápisu) a je organizovaný ako písanie prirodzených jazykov, pričom si odtiaľ požičiava aj mnohé symboly (predovšetkým z latinskej a gréckej abecedy). Symboly sú rovnako ako v bežnom písaní znázornené kontrastnými čiarami na jednotnom pozadí (čierna na bielom papieri, svetlá na tmavej doske, kontrastná na monitore a pod.) a ich význam je určený predovšetkým tvarom a relatívnou pozíciu. Farba sa neberie do úvahy a zvyčajne sa nepoužíva, ale pri použití písmen môžu ich vlastnosti ako štýl a dokonca aj typ písma, ktoré neovplyvňujú význam v bežnom písaní, hrať sémantickú úlohu v matematickom zápise.

Štruktúra

Bežná matematická notácia (najmä tzv matematické vzorce) sa vo všeobecnosti píšu v reťazci zľava doprava, ale nemusia nevyhnutne predstavovať po sebe idúci reťazec znakov. Samostatné bloky znakov môžu byť umiestnené v hornej alebo dolnej polovici riadku, a to aj v prípade, že sa znaky vertikálne neprekrývajú. Niektoré časti sú tiež umiestnené úplne nad alebo pod čiarou. Z gramatickej stránky možno takmer každý „vzorec“ považovať za hierarchicky usporiadanú stromovú štruktúru.

Štandardizácia

Matematická notácia predstavuje systém z hľadiska vzťahu jeho komponentov, ale vo všeobecnosti nie tvoria formálny systém (v chápaní samotnej matematiky). Tie sa v žiadnom komplikovanom prípade nedajú ani programovo rozobrať. Ako každý prirodzený jazyk, aj „jazyk matematiky“ je plný nejednotných označení, homografov, rôznych (medzi jeho nositeľmi) výkladov toho, čo sa považuje za správne atď. Neexistuje dokonca žiadna predvídateľná abeceda matematických symbolov, a to najmä preto, nie je vždy jednoznačne vyriešená otázka, či považovať dve označenia za rôzne znaky alebo za rôzne hláskovanie jedného znaku.

Niektoré matematické zápisy (týkajúce sa najmä meraní) sú štandardizované v ISO 31 -11, ale vo všeobecnosti skôr neexistuje štandardizácia zápisu.

Prvky matematického zápisu

čísla

V prípade potreby použite číselnú sústavu so základom menším ako desať, základ sa píše v dolnom indexe: 20003 8 . Číselné sústavy so základňami väčšími ako desať sa vo všeobecne akceptovanom matematickom zápise nepoužívajú (hoci ich, samozrejme, študuje samotná veda), pretože na ne nie je dostatok čísel. V súvislosti s rozvojom informatiky sa stala aktuálna hexadecimálna číselná sústava, v ktorej sú čísla od 10 do 15 označené prvými šiestimi latinskými písmenami od A po F. Na označenie takýchto čísel sa v informatike používa niekoľko rôznych prístupov. , ale do matematiky sa neprenášajú.

Znaky horného a dolného indexu

Zátvorky, podobné symboly a oddeľovače

Používajú sa zátvorky "()":

Hranaté zátvorky "" sa často používajú vo významoch zoskupovania, keď musíte použiť veľa párov zátvoriek. V tomto prípade sú umiestnené na vonkajšej strane a (s úhľadnou typografiou) majú väčšiu výšku ako zátvorky, ktoré sú vo vnútri.

Hranaté zátvorky "" a okrúhle zátvorky "()" sa používajú na označenie uzavretých a otvorených priestorov.

Zložené zátvorky "()" sa zvyčajne používajú pre , aj keď pre ne platí rovnaké upozornenie ako pre hranaté zátvorky. Ľavé zátvorky "(" a pravé ")" možno použiť samostatne; je opísaný ich účel.

Symboly uhlových zátvoriek " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle )» s úhľadnou typografiou by mali mať tupé uhly a tým sa líšiť od podobných, ktoré majú pravý alebo ostrý uhol. V praxi v to netreba dúfať (najmä pri ručnom písaní vzorcov) a treba ich rozlišovať pomocou intuície.

Na zvýraznenie časti vzorca sa často používajú dvojice symetrických (vzhľadom na zvislú os) symbolov, vrátane tých, ktoré nie sú uvedené v zozname. Je opísaný účel párových zátvoriek.

indexy

V závislosti od umiestnenia sa rozlišujú horné a dolné indexy. Horný index môže znamenať (ale nemusí nutne znamenať) umocnenie to , o iných použitiach .

Premenné

Vo vedách existujú množiny veličín a ktorákoľvek z nich môže mať buď množinu hodnôt a môže byť nazývaná premenlivý hodnotu (variant), alebo len jednu hodnotu a nazývame ju konštantou. V matematike sú veličiny často odklonené od fyzikálneho významu a potom sa premenná zmení na abstraktné(alebo numerická) premenná, označená nejakým symbolom, ktorý nie je obsadený špeciálnym zápisom uvedeným vyššie.

Variabilné X sa považuje za daný, ak je špecifikovaný súbor hodnôt, ktoré naberá (X). Konštantnú hodnotu je vhodné považovať za premennú, pre ktorú je príslušná množina (X) pozostáva z jedného prvku.

Funkcie a operátori

Matematicky medzi nimi nie je žiadny významný rozdiel operátor(unárny), mapovanie a funkciu.

Z toho však vyplýva, že ak na zaznamenanie hodnoty mapovania z daných argumentov je potrebné zadať , potom symbol tohto mapovania označuje funkciu, v iných prípadoch ide skôr o operátor. Symboly niektorých funkcií jedného argumentu sa používajú so zátvorkami a bez nich. Mnohé elementárne funkcie, napr sin ⁡ x (\displaystyle \sin x) alebo sin ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), ale vždy sa volajú elementárne funkcie funkcie.

Operátory a vzťahy (unárne a binárne)

Funkcie

Funkciu možno označovať v dvoch významoch: ako vyjadrenie jej hodnoty s danými argumentmi (napísané f (x), f (x, y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) atď.) alebo vlastne ako funkcia. V druhom prípade sa vloží iba funkčný symbol bez zátvoriek (hoci ho často píšu náhodne).

Existuje veľa zápisov pre bežné funkcie používané v matematickej práci bez ďalšieho vysvetlenia. V opačnom prípade musí byť funkcia nejako opísaná a v základnej matematike sa zásadne nelíši od ľubovoľného písmena a je úplne rovnaká. Pre premenné funkcie je najobľúbenejšie písmeno f, často sa používa aj g a väčšina gréčtiny.

Preddefinované (vyhradené) označenia

Jednopísmenové označenia však môžu mať na želanie iný význam. Napríklad písmeno i sa často používa ako index v kontexte, kde sa neuplatňujú komplexné čísla, a písmeno sa môže použiť ako premenná v niektorých kombinatorikách. Tiež nastavte symboly teórie (ako napr. ⊂ (\displaystyle \subset )" a " ⊃ (\displaystyle \supset )“) a výrokový počet (ako napr. ∧ (\displaystyle \wedge )" a " ∨ (\displaystyle\vee )”) možno použiť v inom zmysle, zvyčajne ako reláciu objednávky a binárnu operáciu.

Indexovanie

Indexovanie sa vykresľuje (zvyčajne dole, niekedy hore) a je v istom zmysle spôsobom, ako rozšíriť obsah premennej. Používa sa však v troch mierne odlišných (hoci sa prekrývajúcich) zmysloch.

Vlastne čísla

Môžete mať viacero rôznych premenných tak, že ich označíte rovnakým písmenom, podobne ako pri použití . Napríklad: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots ). Zvyčajne ich spája nejaký spoločný znak, ale vo všeobecnosti to nie je potrebné.

Navyše ako „indexy“ môžete použiť nielen čísla, ale aj ľubovoľné znaky. Keď sa však ako index zapíše iná premenná a výraz, tento záznam sa interpretuje ako „premenná s číslom určeným hodnotou výrazu indexu“.

V tenzorovej analýze

V lineárnej algebre, tenzorovej analýze, diferenciálnej geometrii s indexmi (vo forme premenných) sa píše

Nekonečno.J. Wallis (1655).

Prvýkrát sa nachádza v pojednaní anglického matematika Johna Valisa „O kužeľosečkách“.

Základ prirodzených logaritmov. L. Euler (1736).

Matematická konštanta, transcendentálne číslo. Toto číslo sa niekedy nazýva neperov na počesť Škótov vedec Napier, autor diela „Popis úžasnej tabuľky logaritmov“ (1614). Konštanta je ticho prítomná po prvý raz v dodatku k anglickému prekladu vyššie uvedeného Napierovho diela, publikovaného v roku 1618. Rovnakú konštantu prvýkrát vypočítal švajčiarsky matematik Jacob Bernoulli pri riešení problému limitnej hodnoty úrokového príjmu.

2,71828182845904523...

Prvé známe použitie tejto konštanty, kde bola označená písmenom b, nájdený v Leibnizových listoch Huygensovi, 1690-1691. list e začal používať Eulera v roku 1727 a prvou publikáciou s týmto listom bola jeho mechanika alebo veda o pohybe, uvedená analyticky, 1736. resp. e bežne nazývané Eulerovo číslo. Prečo bol vybraný list? e, nie je presne známe. Možno je to spôsobené tým, že slovo sa tým začína exponenciálny("exponenciálny", "exponenciálny"). Ďalším predpokladom je, že písm a, b, c a d už široko používaný na iné účely, a e bol prvý „voľný“ list.

Pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Matematická konštanta, iracionálne číslo. Číslo "pi", starý názov je Ludolfovo číslo. Ako každé iracionálne číslo, π je reprezentované nekonečným neperiodickým desatinným zlomkom:

π=3,141592653589793...

Prvýkrát označenie tohto čísla gréckym písmenom π použil britský matematik William Jones v knihe A New Introduction to Mathematics a stalo sa všeobecne akceptovaným po práci Leonharda Eulera. Toto označenie pochádza zo začiatočného písmena gréckych slov περιφερεια - kruh, obvod a περιμετρος - obvod. Johann Heinrich Lambert dokázal v roku 1761 iracionalitu π a Adrien Marie Legendre v roku 1774 dokázal iracionalitu π 2 . Legendre a Euler predpokladali, že π môže byť transcendentálne, t.j. nemôže splniť žiadnu algebraickú rovnicu s celočíselnými koeficientmi, čo nakoniec dokázal v roku 1882 Ferdinand von Lindemann.

pomyselná jednotka. L. Euler (1777, v tlači - 1794).

Je známe, že rovnica x 2 \u003d 1 má dva korene: 1 a -1 . Imaginárna jednotka je jedným z dvoch koreňov rovnice x 2 \u003d -1, označované latinským písmenom i, ďalší koreň: -i. Toto označenie navrhol Leonhard Euler, ktorý na to použil prvé písmeno latinského slova imaginár(imaginárny). Všetky štandardné funkcie rozšíril aj na komplexnú doménu, t.j. množina čísel reprezentovateľných vo forme a+ib, kde a a b sú reálne čísla. Termín „komplexné číslo“ zaviedol do širokého používania nemecký matematik Carl Gauss v roku 1831, hoci tento termín už predtým v rovnakom zmysle používal francúzsky matematik Lazar Carnot v roku 1803.

Jednotkové vektory. W. Hamilton (1853).

Jednotkové vektory sú často spojené so súradnicovými osami súradnicového systému (najmä s osami karteziánskeho súradnicového systému). Jednotkový vektor nasmerovaný pozdĺž osi X, označené i, jednotkový vektor nasmerovaný pozdĺž osi Y, označené j a jednotkový vektor smerovaný pozdĺž osi Z, označené k. vektory i, j, k sa nazývajú orts, majú moduly identity. Termín „ort“ zaviedol anglický matematik a inžinier Oliver Heaviside (1892) a zápis i, j, kÍrsky matematik William Hamilton.

Celočíselná časť čísla, antie. K. Gauss (1808).

Celočíselná časť čísla [x] čísla x je najväčšie celé číslo nepresahujúce x. Takže, =5, [-3,6] = -4. Funkcia [x] sa tiež nazýva "antier of x". Symbol funkcie celočíselnej časti zaviedol Carl Gauss v roku 1808. Niektorí matematici namiesto toho radšej používajú zápis E(x), ktorý navrhol v roku 1798 Legendre.

Uhol rovnobežnosti. N.I. Lobačevskij (1835).

Na rovine Lobachevsky - uhol medzi čiaroubprechádzajúci bodomOrovnobežne s priamkoua, ktorý neobsahuje bodkuO, a kolmo odO na a. α je dĺžka tejto kolmice. Ako je bod odstránenýO z rovného auhol rovnobežnosti klesá z 90° na 0°. Lobačevskij dal vzorec pre uhol rovnobežnostiP( α )=2arctg e - α /q , kde q je nejaká konštanta súvisiaca so zakrivením Lobačevského priestoru.

Neznáme alebo premenlivé množstvá. R. Descartes (1637).

V matematike je premenná veličina charakterizovaná súborom hodnôt, ktoré môže nadobudnúť. To môže znamenať tak skutočnú fyzikálnu veličinu, ktorá sa dočasne považuje za izolovanú od jej fyzikálneho kontextu, ako aj nejakú abstraktnú veličinu, ktorá nemá v reálnom svete analógy. Koncept premennej vznikol v 17. storočí. spočiatku pod vplyvom požiadaviek prírodných vied, ktoré vyniesli do popredia štúdium pohybu, procesov a nielen stavov. Tento koncept si vyžadoval nové formy svojho vyjadrenia. Takýmito novými formami boli doslovná algebra a analytická geometria Reného Descarta. Prvýkrát pravouhlý súradnicový systém a označenie x, y zaviedol René Descartes vo svojom diele „Rozprava o metóde“ v roku 1637. Pierre Fermat tiež prispel k rozvoju súradnicovej metódy, ale jeho práca bola prvýkrát publikovaná až po jeho smrti. Descartes a Fermat použili súradnicovú metódu iba v rovine. Súradnicovú metódu pre trojrozmerný priestor prvýkrát použil Leonhard Euler už v 18. storočí.

Vektor. O.Koshi (1853).

Vektor sa od samého začiatku chápe ako objekt, ktorý má veľkosť, smer a (voliteľne) aplikačný bod. Počiatky vektorového počtu sa objavili spolu s geometrickým modelom komplexných čísel v Gaussovi (1831). Pokročilé operácie na vektoroch publikoval Hamilton ako súčasť svojho kvaterniónového počtu (imaginárne zložky kvaterniónu tvorili vektor). Tento termín vymyslel Hamilton vektor(z latinského slova vektor, nosič) a opísali niektoré operácie vektorovej analýzy. Tento formalizmus použil Maxwell vo svojich prácach o elektromagnetizme, čím upriamil pozornosť vedcov na nový počet. Čoskoro nasledovali Gibbsove prvky vektorovej analýzy (1880) a potom Heaviside (1903) dal vektorovej analýze jej moderný vzhľad. Samotný vektorový znak zaviedol francúzsky matematik Augustin Louis Cauchy v roku 1853.

Sčítanie, odčítanie. J. Widman (1489).

Znamienka plus a mínus boli zrejme vynájdené v nemeckej matematickej škole „kossistov“ (teda algebraistov). Používajú sa v učebnici Jana (Johannesa) Widmanna Rýchle a príjemné počítanie pre všetkých obchodníkov, vydanej v roku 1489. Predtým sa sčítanie označovalo písmenom p(z latinčiny plus„viac“) alebo latinské slovo et(spojka "a") a odčítanie - písmenom m(z latinčiny mínus„menej, menej“). Vo Widmanovi symbol plus nahrádza nielen sčítanie, ale aj spojenie „a“. Pôvod týchto symbolov je nejasný, ale s najväčšou pravdepodobnosťou sa predtým používali v obchodovaní ako znaky zisku a straty. Oba symboly sa v Európe čoskoro stali bežnými – s výnimkou Talianska, ktoré staré označenia používalo asi storočie.

Násobenie. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Násobiaci znak v podobe šikmého kríža zaviedol v roku 1631 Angličan William Outred. Pred ním najčastejšie používané písm M, hoci boli navrhnuté aj iné označenia: symbol obdĺžnika (francúzsky matematik Erigon, 1634), hviezdička (švajčiarsky matematik Johann Rahn, 1659). Neskôr Gottfried Wilhelm Leibniz nahradil krížik bodkou (koniec 17. storočia), aby nedošlo k zámene s písm. X; pred ním takúto symboliku našli nemecký astronóm a matematik Regiomontanus (XV. storočie) a anglický vedec Thomas Harriot (1560 -1621).

divízie. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Outred použil lomku / ako znak rozdelenia. Divízia Colon začala označovať Gottfrieda Leibniza. Pred nimi sa často používal aj list D. Vychádzajúc z Fibonacciho sa používa aj vodorovná čiara zlomku, ktorú používal Heron, Diophantus a v arabských spisoch. V Anglicku a Spojených štátoch amerických sa rozšíril symbol ÷ (obelus), ktorý navrhol Johann Rahn (pravdepodobne za účasti Johna Pella) v roku 1659. Pokus Amerického národného výboru pre matematické štandardy ( Národný výbor pre matematické požiadavky) odstrániť obelus z praxe (1923) bol nepresvedčivý.

percent. M. de la Porte (1685).

Jedna stotina celku, braná ako jednotka. Samotné slovo „percento“ pochádza z latinského „pro centum“, čo znamená „sto“. V roku 1685 vyšla v Paríži kniha Manuál obchodnej aritmetiky od Mathieu de la Porte. Na jednom mieste išlo o percentá, čo vtedy znamenalo „cto“ (skratka pre cento). Sadzač si však to "cto" pomýlil so zlomkom a napísal "%". Takže kvôli preklepu sa začalo používať toto označenie.

Stupne. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Moderné označenie exponentu zaviedol René Descartes vo svojom „ geometrie„(1637), avšak len pre prirodzené mocniny s exponentmi väčšími ako 2. Neskôr Isaac Newton rozšíril túto formu zápisu na záporné a zlomkové exponenty (1676), ktorých výklad už vtedy navrhol: flámsky matematik a inžinier Simon Stevin, anglický matematik John Vallis a francúzsky matematik Albert Girard.

aritmetický koreň n mocnina reálneho čísla a≥0, - nezáporné číslo n-tý stupeň, ktorý sa rovná a. Aritmetická odmocnina 2. stupňa sa nazýva druhá odmocnina a možno ju zapísať bez uvedenia stupňa: √. Aritmetický koreň 3. stupňa sa nazýva kocka. Stredovekí matematici (napríklad Cardano) označovali druhú odmocninu symbolom R x (z lat. Radix, koreň). Moderné označenie prvýkrát použil nemecký matematik Christoph Rudolf z Cossistovej školy v roku 1525. Tento symbol pochádza zo štylizovaného prvého písmena toho istého slova radix. Čiara nad radikálnym výrazom spočiatku chýbala; neskôr ho zaviedol Descartes (1637) s iným účelom (namiesto zátvoriek) a tento znak sa čoskoro spojil so znakom koreňa. Kockový koreň sa v 16. storočí označoval takto: R x .u.cu (z lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) začal používať zaužívanú notáciu pre koreň ľubovoľného stupňa. Tento formát vznikol vďaka Isaacovi Newtonovi a Gottfriedovi Leibnizovi.

Logaritmus, desiatkový logaritmus, prirodzený logaritmus. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Termín „logaritmus“ patrí škótskemu matematikovi Johnovi Napierovi ( "Popis úžasnej tabuľky logaritmov", 1614); vzniklo spojením gréckych slov λογος (slovo, vzťah) a αριθμος (číslo). Logaritmus J. Napiera je pomocné číslo na meranie pomeru dvoch čísel. Modernú definíciu logaritmu prvýkrát uviedol anglický matematik William Gardiner (1742). Podľa definície logaritmus čísla b podľa rozumu a (a ≠ 1, a > 0) - exponent m, na ktorý by sa mal počet zvýšiť a(nazývaný základ logaritmu) dostať b. Označené log a b. takze m = log a b, ak a m = b.

Prvé tabuľky desiatkových logaritmov publikoval v roku 1617 Oxfordský profesor matematiky Henry Briggs. Preto sa v zahraničí dekadické logaritmy často nazývajú brigy. Termín „prirodzený logaritmus“ zaviedli Pietro Mengoli (1659) a Nicholas Mercator (1668), hoci londýnsky učiteľ matematiky John Spidell zostavil tabuľku prirodzených logaritmov už v roku 1619.

Až do konca 19. storočia neexistovala všeobecne akceptovaná notácia pre logaritmus, základ a uvedené vľavo a nad symbolom log, potom nad tým. Nakoniec matematici dospeli k záveru, že najvhodnejšie miesto pre základňu je pod čiarou, za symbolom log. Znak logaritmu - výsledok redukcie slova "logaritmus" - sa vyskytuje v rôznych formách takmer súčasne s objavením sa prvých tabuliek logaritmu, napr. Log- I. Kepler (1624) a G. Briggs (1631), log- B. Cavalieri (1632). Označenie ln pretože prirodzený logaritmus zaviedol nemecký matematik Alfred Pringsheim (1893).

Sínus, kosínus, tangens, kotangens. W. Outred (polovica 17. storočia), I. Bernoulli (18. storočie), L. Euler (1748, 1753).

Skrátený zápis pre sínus a kosínus zaviedol William Outred v polovici 17. storočia. Skratky pre tangens a kotangens: tg, ctg zavedené Johannom Bernoullim v 18. storočí sa rozšírili v Nemecku a Rusku. V iných krajinách sa používajú názvy týchto funkcií. opálenie, postieľka navrhol Albert Girard ešte skôr, na začiatku 17. storočia. Leonhard Euler (1748, 1753) priniesol teóriu goniometrických funkcií do modernej podoby a vďačíme mu aj za upevnenie skutočnej symboliky.Termín „trigonometrické funkcie“ zaviedol nemecký matematik a fyzik Georg Simon Klugel v roku 1770.

Sínusová čiara indických matematikov bola pôvodne tzv "arha jiva"("polstruna", teda polovica akordu), potom slovo "archa" bol vyradený a sínusová čiara sa začala nazývať jednoducho "jiva". Arabskí prekladatelia toto slovo nepreložili "jiva" Arabské slovo "vatar", označujúce tetivu a akord, a prepísané arabskými písmenami a začali volať sínusovú čiaru "džiba". Vzhľadom k tomu, krátke samohlásky nie sú uvedené v arabčine, a dlhé "a" v slove "džiba" označované rovnakým spôsobom ako polosamohláska „y“, Arabi začali vyslovovať názov sínusovej čiary "drbať", čo doslovne znamená "dutina", "prsia". Pri preklade arabských diel do latinčiny európski prekladatelia toto slovo preložili "drbať" latinské slovo sínus, majúci rovnaký význam.Výraz „tangens“ (z lat.dotyčnice- dotykový) zaviedol dánsky matematik Thomas Fincke vo svojej Geometrii kola (1583).

Arcsine. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).

Inverzné goniometrické funkcie sú matematické funkcie, ktoré sú inverzné k goniometrickým funkciám. Názov inverznej goniometrickej funkcie je vytvorený z názvu zodpovedajúcej goniometrickej funkcie pridaním predpony „oblúk“ (z lat. oblúk- oblúk).Inverzné goniometrické funkcie zvyčajne zahŕňajú šesť funkcií: arksínus (arcsin), arkozínus (arccos), arkustangens (arctg), arkkotangens (arcctg), arcsecant (arcsec) a arccosecant (arccosec). Po prvýkrát špeciálne symboly pre inverzné goniometrické funkcie použil Daniel Bernoulli (1729, 1736).Spôsob zápisu inverzných goniometrických funkcií s predponou oblúk(z lat. arcus, arc) sa objavil u rakúskeho matematika Karla Scherfera a presadil sa vďaka francúzskemu matematikovi, astronómovi a mechanikovi Josephovi Louisovi Lagrangeovi. Bolo to myslené tak, že napríklad zvyčajný sínus vám umožňuje nájsť akord, ktorý ho vedie pozdĺž oblúka kruhu, a inverzná funkcia rieši opačný problém. Až do konca 19. storočia ponúkali anglické a nemecké matematické školy iný zápis: hriech -1 a 1/sin, ale nie sú široko používané.

Hyperbolický sínus, hyperbolický kosínus. W. Riccati (1757).

Historici objavili prvý výskyt hyperbolických funkcií v spisoch anglického matematika Abrahama de Moivre (1707, 1722). Ich modernú definíciu a podrobné štúdium vykonal Talian Vincenzo Riccati v roku 1757 v diele „Opusculorum“, navrhol aj ich označenia: sh,ch. Riccati vychádzal z úvahy o jedinej hyperbole. Nezávislý objav a ďalšie štúdium vlastností hyperbolických funkcií uskutočnil nemecký matematik, fyzik a filozof Johann Lambert (1768), ktorý vytvoril široký paralelizmus medzi vzorcami obyčajnej a hyperbolickej trigonometrie. N.I. Lobačevskij následne použil tento paralelizmus a snažil sa dokázať konzistenciu neeuklidovskej geometrie, v ktorej je obyčajná trigonometria nahradená hyperbolickou.

Tak ako sú trigonometrický sínus a kosínus súradnicami bodu na kružnici súradníc, hyperbolický sínus a kosínus sú súradnicami bodu na hyperbole. Hyperbolické funkcie sú vyjadrené ako exponent a úzko súvisia s goniometrickými funkciami: sh(x) = 0,5 (e x-e-x) , ch(x)=0,5(ex+e-x). Analogicky s goniometrickými funkciami sú hyperbolický tangens a kotangens definované ako pomery hyperbolického sínusu a kosínusu, kosínusu a sínusu.

Diferenciál. G. Leibniz (1675, v tlači 1684).

Hlavná, lineárna časť prírastku funkcie.Ak je funkcia y=f(x) jedna premenná x má pri x=x0derivácia a prírastokΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)funkcie f(x) môže byť reprezentovaný akoΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , kde člen R nekonečne malý v porovnaní sΔx. Prvý člendy=f"(x0)Axv tomto expanzii sa nazýva diferenciál funkcie f(x) v bodex0. AT diela Gottfrieda Leibniza, Jacoba a Johanna Bernoulliho slov"rozdiel"bol použitý vo význame „prírastok“, I. Bernoulli ho označil cez Δ. G. Leibniz (1675, publikovaný v roku 1684) použil označenie pre „nekonečne malý rozdiel“d- prvé písmeno slova"diferenciálny", ním tvorený z"rozdiel".

Neurčitý integrál. G. Leibniz (1675, v tlači 1686).

Slovo „integrálny“ prvýkrát použil v tlači Jacob Bernoulli (1690). Možno je tento výraz odvodený z lat celé číslo- celý. Podľa iného predpokladu bolo základom latinské slovo integro- obnoviť, obnoviť. Znamienko ∫ sa používa na označenie integrálu v matematike a je štylizovaným obrázkom prvého písmena latinského slova. summa- súčet. Prvýkrát ho použil nemecký matematik Gottfried Leibniz, zakladateľ diferenciálneho a integrálneho počtu, koncom 17. storočia. Ďalší zo zakladateľov diferenciálneho a integrálneho počtu Isaac Newton vo svojich prácach neponúkol alternatívnu symboliku integrálu, hoci skúšal rôzne možnosti: zvislú čiaru nad funkciou alebo štvorcový symbol, ktorý stojí pred funkciou resp. to ohraničuje. Neurčitý integrál pre funkciu y=f(x) je súbor všetkých primitívnych prvkov danej funkcie.

Určitý integrál. J. Fourier (1819-1822).

Určitý integrál funkcie f(x) s dolnou hranicou a a horná hranica b možno definovať ako rozdiel F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , kde F(x)- nejaká priraďovacia funkcia f(x) . Určitý integrál a ∫ b f(x)dx číselne sa rovná ploche obrázku ohraničenej osou x, rovné čiary x=a a x=b a funkčný graf f(x). Francúzsky matematik a fyzik Jean Baptiste Joseph Fourier navrhol zo začiatku 19. storočia návrh určitého integrálu v podobe, na akú sme zvyknutí.

Derivát. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Derivácia - základný pojem diferenciálneho počtu, charakterizujúci rýchlosť zmeny funkcie f(x) keď sa argument zmení X . Je definovaná ako hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku jej argumentu, pretože prírastok argumentu má tendenciu k nule, ak takáto hranica existuje. Funkcia, ktorá má v určitom bode konečnú deriváciu, sa v tomto bode nazýva diferencovateľná. Proces výpočtu derivácie sa nazýva diferenciácia. Opačným procesom je integrácia. V klasickom diferenciálnom počte je derivácia najčastejšie definovaná prostredníctvom konceptov teórie limitov, avšak historicky sa teória limitov objavila neskôr ako diferenciálny počet.

Termín „derivát“ zaviedol Joseph Louis Lagrange v roku 1797; dy/dx— Gottfried Leibniz v roku 1675. Spôsob označenia derivátu vzhľadom na čas s bodkou nad písmenom pochádza od Newtona (1691).Ruský výraz „derivát funkcie“ prvýkrát použil ruský matematikVasilij Ivanovič Viskovatov (1779-1812).

Súkromný derivát. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Pre funkcie mnohých premenných sú definované parciálne derivácie - derivácie vzhľadom na jeden z argumentov, vypočítané za predpokladu, že zostávajúce argumenty sú konštantné. Notový zápis ∂f/ ∂ X, ∂ z/ ∂ r predstavil francúzsky matematik Adrien Marie Legendre v roku 1786; fX",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ X ∂ r- parciálne deriváty druhého rádu - nemecký matematik Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Rozdiel, prírastok. I. Bernoulli (koniec 17. storočia - prvá polovica 18. storočia), L. Euler (1755).

Označenie prírastku písmenom Δ prvýkrát použil švajčiarsky matematik Johann Bernoulli. Symbol „delta“ vstúpil do bežnej praxe po práci Leonharda Eulera v roku 1755.

Sum. L. Euler (1755).

Súčet je výsledkom sčítania hodnôt (čísla, funkcie, vektory, matice atď.). Na označenie súčtu n čísel a 1, a 2, ..., a n sa používa grécke písmeno "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Znak Σ pre sumu zaviedol Leonhard Euler v roku 1755.

Práca. K. Gauss (1812).

Produkt je výsledkom násobenia. Na označenie súčinu n čísel a 1, a 2, ..., a n sa používa grécke písmeno „pi“ Π: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Napríklad 1 3 5 ... 97 99 = ? 501 (2i-1). Symbol Π pre produkt zaviedol nemecký matematik Carl Gauss v roku 1812. V ruskej matematickej literatúre sa s pojmom „práca“ prvýkrát stretol Leonty Filippovič Magnitsky v roku 1703.

Faktorový. K. Krump (1808).

Faktoriál čísla n (označuje sa n!, vyslovuje sa ako "en faktoriál") je súčinom všetkých prirodzených čísel až po n: n vrátane! = 1 2 3 ... n. Napríklad 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Podľa definície 0! = 1. Faktoriál je definovaný len pre nezáporné celé čísla. Faktoriál čísla n sa rovná počtu permutácií n prvkov. Napríklad 3! = 6, naozaj,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Všetkých šesť a iba šesť permutácií troch prvkov.

Pojem „faktoriálny“ zaviedol francúzsky matematik a politik Louis Francois Antoine Arbogast (1800), označenie n! - francúzsky matematik Christian Kramp (1808).

Modul, absolútna hodnota. K. Weierstrass (1841).

Modul, absolútna hodnota reálneho čísla x - nezáporné číslo definované takto: |x| = x pre x ≥ 0 a |x| = -x pre x ≤ 0. Napríklad |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul komplexného čísla z = a + ib je reálne číslo rovné √(a 2 + b 2).

Predpokladá sa, že termín „modul“ navrhol použiť anglický matematik a filozof, študent Newtona, Roger Cotes. Gottfried Leibniz tiež používal túto funkciu, ktorú nazval "modul" a označil ju: mol x. Všeobecne uznávaný zápis absolútnej hodnoty zaviedol v roku 1841 nemecký matematik Karl Weierstrass. Pre komplexné čísla zaviedli tento pojem začiatkom 19. storočia francúzski matematici Augustin Cauchy a Jean Robert Argan. V roku 1903 rakúsky vedec Konrad Lorenz použil rovnakú symboliku pre dĺžku vektora.

Norm. E. Schmidt (1908).

Norma je funkcionál definovaný na vektorovom priestore a zovšeobecňujúci pojem dĺžky vektora alebo modulu čísla. Znak "norma" (z latinského slova "norma" - "pravidlo", "vzorka") zaviedol nemecký matematik Erhard Schmidt v roku 1908.

Limit. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), mnohí matematici (do začiatku 20. storočia)

Limit - jeden zo základných pojmov matematickej analýzy, čo znamená, že nejaká premenná hodnota sa v procese svojej uvažovanej zmeny približuje k určitej konštantnej hodnote. Pojem limita intuitívne používal už v druhej polovici 17. storočia Isaac Newton, ako aj matematici 18. storočia, ako Leonhard Euler a Joseph Louis Lagrange. Prvé presné definície limity postupnosti poskytli Bernard Bolzano v roku 1816 a Augustin Cauchy v roku 1821. Symbol lim (prvé 3 písmená z latinského slova limes - hranica) sa objavil v roku 1787 u švajčiarskeho matematika Simona Antoina Jeana Lhuilliera, no jeho použitie sa ešte nepodobalo tomu modernému. Výraz lim v pre nás známejšej forme prvýkrát použil írsky matematik William Hamilton v roku 1853.Weierstrass zaviedol označenie blízke modernému, no namiesto šípky, na ktorú sme zvyknutí, použil znamienko rovnosti. Šípka sa objavila začiatkom 20. storočia u viacerých matematikov naraz – napríklad u anglického matematika Godfrieda Hardyho v roku 1908.

funkcia Zeta, d Riemann zeta funkcia. B. Riemann (1857).

Analytická funkcia komplexnej premennej s = σ + it, pre σ > 1, určená absolútne a rovnomerne konvergentným Dirichletovým radom:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Pre σ > 1 platí zobrazenie vo forme Eulerovho súčinu:

ζ(s) = Π p (1-p -s) -s ,

kde sa súčin preberajú všetky prvočísla p. Funkcia zeta hrá veľkú úlohu v teórii čísel.Funkciu zeta ako funkciu reálnej premennej zaviedol v roku 1737 (publikoval v roku 1744) L. Euler, ktorý naznačil jej rozklad na súčin. Potom o tejto funkcii uvažoval nemecký matematik L. Dirichlet a obzvlášť úspešne ruský matematik a mechanik P.L. Čebyšev v štúdiu zákona o rozdelení prvočísel. Najhlbšie vlastnosti funkcie zeta však boli objavené neskôr, po práci nemeckého matematika Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859), kde sa funkcia zeta považovala za funkciu komplexnej premennej; v roku 1857 zaviedol aj názov „funkcia zeta“ a zápis ζ(s).

Gama funkcia, Eulerova Γ-funkcia. A. Legendre (1814).

Funkcia gama je matematická funkcia, ktorá rozširuje pojem faktoriálu na pole komplexných čísel. Zvyčajne sa označuje Γ(z). Funkciu z prvýkrát zaviedol Leonhard Euler v roku 1729; je definovaný vzorcom:

Γ(z) = limn→∞ nz/z(z+1)...(z+n).

Pomocou funkcie G je vyjadrený veľký počet integrálov, nekonečných súčinov a súčtov sérií. Široko používaný v analytickej teórii čísel. Názov „Funkcia gama“ a označenie Γ(z) navrhol francúzsky matematik Adrien Marie Legendre v roku 1814.

Funkcia beta, funkcia B, funkcia Euler B. J. Binet (1839).

Funkcia dvoch premenných p a q definovaných pre p>0, q>0 rovnosťou:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Funkciu beta možno vyjadriť pomocou funkcie Γ: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Tak ako je funkcia gama pre celé čísla zovšeobecnením faktoriálu, funkcia beta je v istom zmysle zovšeobecnením binomických koeficientov.

Mnoho vlastností je popísaných pomocou funkcie beta.elementárne častice podieľať sa na silná interakcia. Túto vlastnosť si všimol taliansky teoretický fyzikGabriele Veneziano v roku 1968. Začalo to teória strún.

Názov „beta funkcia“ a označenie B(p, q) zaviedol v roku 1839 francúzsky matematik, mechanik a astronóm Jacques Philippe Marie Binet.

Laplaceov operátor, Laplacian. R. Murphy (1833).

Lineárny diferenciálny operátor Δ, ktorý funguje φ (x 1, x 2, ..., x n) z n premenných x 1, x 2, ..., x n spája funkciu:

Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.

Najmä pre funkciu φ(x) jednej premennej sa Laplaceov operátor zhoduje s operátorom 2. derivácie: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Rovnica Δφ = 0 sa zvyčajne nazýva Laplaceova rovnica; odtiaľ pochádzajú názvy „Laplace operátor“ alebo „Laplacian“. Označenie Δ zaviedol anglický fyzik a matematik Robert Murphy v roku 1833.

Hamiltonovský operátor, nabla operátor, Hamiltonián. O. Heaviside (1892).

Vektorový diferenciálny operátor formulára

∇ = ∂/∂x i+ ∂/∂r j+ ∂/∂z k,

kde i, j a k- súradnicové vektory. Prostredníctvom operátora nabla sú základné operácie vektorovej analýzy, ako aj Laplaceov operátor vyjadrené prirodzeným spôsobom.

V roku 1853 írsky matematik William Rowan Hamilton zaviedol tento operátor a vytvoril preň symbol ∇ vo forme obráteného gréckeho písmena Δ (delta). V Hamiltone bod symbolu smeroval doľava, neskôr, v dielach škótskeho matematika a fyzika Petra Guthrieho Tatea, symbol získal moderný vzhľad. Hamilton nazval tento symbol slovom „atled“ (slovo „delta“ čítané odzadu). Neskôr anglický učenci, vrátane Olivera Heavisidea, začali tento symbol nazývať „nabla“, podľa názvu písmena ∇ vo fénickej abecede, kde sa vyskytuje. Pôvod písmena je spojený s hudobným nástrojom, akým je harfa, ναβλα (nabla) v starogréčtine znamená „harfa“. Operátor sa volal Hamilton operátor, alebo operátor nabla.

Funkcia. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematický koncept, ktorý odráža vzťah medzi prvkami množín. Môžeme povedať, že funkcia je „zákon“, „pravidlo“, podľa ktorého je každému prvku jednej množiny (nazývanej definičný obor) priradený nejaký prvok inej množiny (nazývaný definičný obor). Matematický koncept funkcie vyjadruje intuitívnu predstavu o tom, ako jedna veličina úplne určuje hodnotu inej veličiny. Termín "funkcia" často znamená numerickú funkciu; teda funkciu, ktorá dáva niektoré čísla do súladu s inými. Matematici dlho uvádzali argumenty bez zátvoriek, napríklad takto - φх. Tento zápis prvýkrát použil švajčiarsky matematik Johann Bernoulli v roku 1718.Zátvorky sa používali iba vtedy, ak bolo veľa argumentov alebo ak bol argument zložitým výrazom. Ozveny tých čias sú bežné a teraz zaznamenávajúsin x, lg xPostupne sa však používanie zátvoriek, f(x) stalo všeobecným pravidlom. A hlavnú zásluhu na tom má Leonhard Euler.

Rovnosť. R. Záznam (1557).

Rovnocenné znamienko navrhol waleský lekár a matematik Robert Record v roku 1557; obrys postavy bol oveľa dlhší ako súčasný, pretože napodobňoval obraz dvoch paralelných segmentov. Autor vysvetlil, že na svete nie je nič rovnejšie ako dva paralelné segmenty rovnakej dĺžky. Predtým sa v starovekej a stredovekej matematike rovnosť označovala slovne (napr. est egale). René Descartes v 17. storočí začal používať æ (z lat. aequalis) a použil moderné znamienko rovnosti na označenie, že koeficient môže byť záporný. François Viète označil odčítanie znakom rovnosti. Symbol Rekordu sa nerozšíril hneď. Rozšíreniu symbolu Record bránila skutočnosť, že od staroveku sa rovnaký symbol používal na označenie rovnobežnosti čiar; nakoniec sa rozhodlo, že symbol paralelizmu bude vertikálny. V kontinentálnej Európe znak "=" zaviedol Gottfried Leibniz až na prelome 17.-18. storočia, teda viac ako 100 rokov po smrti Roberta Recorda, ktorý ho na to prvýkrát použil.

Približne rovnako, približne rovnako. A. Günther (1882).

podpísať " ≈“ zaviedol nemecký matematik a fyzik Adam Wilhelm Sigmund Günther v roku 1882 ako symbol vzťahu „rovnako“.

Viacmenej. T. Harriot (1631).

Tieto dva znaky zaviedol do používania anglický astronóm, matematik, etnograf a prekladateľ Thomas Harriot v roku 1631, predtým sa používali slová „viac“ a „menej“.

Porovnateľnosť. K. Gauss (1801).

Porovnanie - pomer medzi dvoma celými číslami n a m, čo znamená, že rozdiel n-m týchto čísel sa vydelí daným celým číslom a, ktoré sa nazýva modul porovnávania; píše sa: n≡m(mod a) a znie „čísla n a m sú porovnateľné modulo a“. Napríklad 3≡11(mod 4), pretože 3-11 je deliteľné 4; čísla 3 a 11 sú zhodné modulo 4. Porovnania majú mnohé vlastnosti podobné vlastnostiam rovnosti. Teda výraz v jednej časti porovnania možno preniesť s opačným znamienkom do inej časti a porovnania s rovnakým modulom možno sčítať, odčítať, násobiť, obe časti porovnania násobiť rovnakým číslom atď. Napríklad,

3≡9+2 (mod 4) a 3-2≡9 (mod 4)

Zároveň pravdivé prirovnania. A z dvojice skutočných porovnaní 3≡11(mod 4) a 1≡5(mod 4) vyplýva správnosť nasledovného:

3+1≡11+5 (mod 4)

3-1≡11-5 (mod 4)

3 1≡11 5 (mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3 23≡11 23 (mod 4)

V teórii čísel sa uvažujú o metódach riešenia rôznych porovnaní, t.j. metódy na nájdenie celých čísel, ktoré vyhovujú porovnaniam jedného alebo druhého druhu. Modulo porovnanie prvýkrát použil nemecký matematik Carl Gauss vo svojej knihe z roku 1801 Aritmetické výskumy. Na porovnanie navrhol aj symboliku zavedenú v matematike.

identita. B. Riemann (1857).

Identita - rovnosť dvoch analytických výrazov platných pre všetky prípustné hodnoty písmen, ktoré sú v nej zahrnuté. Rovnosť a+b = b+a platí pre všetky číselné hodnoty a a b, a teda ide o identitu. Na zaznamenávanie identít sa v niektorých prípadoch od roku 1857 používa znak „≡“ (čítaj „identicky rovný“), ktorého autorom je v tomto použití nemecký matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann. Dá sa napísať a+b ≡ b+a.

Kolmosť. P.Erigona (1634).

Kolmosť - vzájomná poloha dvoch priamok, rovín alebo priamky a roviny, v ktorej tieto obrazce zvierajú pravý uhol. Znak ⊥ na označenie kolmosti zaviedol v roku 1634 francúzsky matematik a astronóm Pierre Erigon. Pojem kolmosť má množstvo zovšeobecnení, ale všetky sú spravidla sprevádzané znakom ⊥ .

Paralelnosť. W. Outred (1677 posmrtné vydanie).

Paralelizmus - vzťah medzi niektorými geometrickými tvarmi; napríklad rovné čiary. Definované rôzne v závislosti od rôznych geometrií; napríklad v geometrii Euklida a v geometrii Lobačevského. Znak paralelizmu je známy už od staroveku, používali ho Herón a Pappus z Alexandrie. Spočiatku bol symbol podobný súčasnému znamienku rovnosti (iba rozšírenejší), ale s príchodom druhého, aby sa predišlo zmätku, bol symbol otočený vertikálne ||. V tejto podobe sa prvýkrát objavil v posmrtnom vydaní diel anglického matematika Williama Outreda v roku 1677.

Priesečník, spojenie. J. Peano (1888).

Priesečník množín je množina, ktorá obsahuje len tie prvky, ktoré súčasne patria do všetkých daných množín. Spojenie množín je množina, ktorá obsahuje všetky prvky pôvodných množín. Priesečník a spojenie sa tiež nazývajú operácie na množinách, ktoré priraďujú nové množiny k určitým množinám podľa vyššie uvedených pravidiel. Označuje sa ∩ a ∪. Napríklad ak

A= (♠ ♣ ) a B= (♣ ♦ ),

To

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Obsahuje, obsahuje. E. Schroeder (1890).

Ak sú A a B dve množiny a v A nie sú prvky, ktoré nepatria do B, potom hovoria, že A je obsiahnuté v B. Napíšu A⊂B alebo B⊃A (B obsahuje A). Napríklad,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Symboly „obsahuje“ a „obsahuje“ sa objavili v roku 1890 s nemeckým matematikom a logikom Ernstom Schroederom.

Afiliácia. J. Peano (1895).

Ak a je prvkom množiny A, potom napíšte a∈A a čítajte „a patrí do A“. Ak a nie je prvkom A, napíšte a∉A a prečítajte si „a nepatrí do A“. Spočiatku sa nerozlišovali vzťahy „obsahuje“ a „patrí“ („je prvkom“), ale postupom času si tieto pojmy vyžadovali rozlišovanie. Členský znak ∈ prvýkrát použil taliansky matematik Giuseppe Peano v roku 1895. Symbol ∈ pochádza z prvého písmena gréckeho slova εστι - byť.

Univerzálny kvantifikátor, existenčný kvantifikátor. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kvantifikátor je všeobecný názov pre logické operácie, ktoré označujú oblasť pravdy predikátu (matematický výrok). Filozofi dlho venovali pozornosť logickým operáciám, ktoré obmedzujú rozsah pravdivosti predikátu, ale nevyčlenili ich ako samostatnú triedu operácií. Hoci kvantifikátorovo-logické konštrukcie sú široko používané vo vedeckej aj každodennej reči, k ich formalizácii došlo až v roku 1879 v knihe nemeckého logika, matematika a filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregeho „The Calculus of Concepts“. Fregeho zápis vyzeral ako ťažkopádne grafické konštrukcie a nebol akceptovaný. Následne bolo navrhnutých mnoho úspešnejších symbolov, ale zápis ∃ pre existenciálny kvantifikátor (čítaj „existuje“, „existuje“), ktorý navrhol americký filozof, logik a matematik Charles Pierce v roku 1885, a ∀ pre univerzálny kvantifikátor ( čítaj „any“, „každý“, „akýkoľvek“), ktorý vytvoril nemecký matematik a logik Gerhard Karl Erich Gentzen v roku 1935 analogicky so symbolom existenciálneho kvantifikátora (obrátené prvé písmená anglických slov Existence (existencia) a Any ( akýkoľvek)). Napríklad vstup

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

znie takto: "pre ľubovoľné ε>0 existuje δ>0 také, že pre všetky x sa nerovná x 0 a spĺňa nerovnosť |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Prázdna súprava. N. Bourbaki (1939).

Sada, ktorá neobsahuje žiadny prvok. Prázdny znak bol zavedený v knihách Nicolasa Bourbakiho v roku 1939. Bourbaki je kolektívny pseudonym skupiny francúzskych matematikov vytvorených v roku 1935. Jedným z členov skupiny Bourbaki bol Andre Weil, autor symbolu Ø.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

V matematike sa dôkaz chápe ako postupnosť uvažovania založená na určitých pravidlách, ktorá ukazuje, že určité tvrdenie je pravdivé. Od renesancie matematici označovali koniec dôkazu ako "Q.E.D.", z latinského výrazu "Quod Erat Demonstrandum" - "Čo sa malo dokázať." Americký profesor informatiky Donald Edwin Knuth pri vytváraní počítačového layoutového systému ΤΕΧ v roku 1978 použil symbol: vyplnený štvorec, takzvaný „Halmos symbol“, pomenovaný po americkom matematikovi maďarského pôvodu Paulovi Richardovi Halmosovi. Dnes sa dokončenie dôkazu zvyčajne označuje symbolom Halmos. Alternatívne sa používajú iné znaky: prázdny štvorec, pravouhlý trojuholník, // (dve lomky), ako aj ruská skratka "ch.t.d.".

Každý z nás zo školskej lavice (presnejšie z 1. ročníka ZŠ) by mal poznať také jednoduché matematické symboly ako napr. väčšie znamenie a menšie znamenie, ako aj znamienko rovnosti.

Ak je však dosť ťažké zameniť si niečo s druhým, potom asi ako a ktorým smerom sú znamenia viac a menej napísané (menšie znamenie a podpísať sa, ako sa im niekedy hovorí) mnohí hneď po tej istej školskej lavici a zabudnú, lebo. v každodennom živote ich používame len zriedka.

Takmer každý im však skôr či neskôr musí stále čeliť a „zapamätať si“, akým smerom je napísaná postava, ktorú potrebujú, získa jedine tak, že sa o pomoc obráti na svoj obľúbený vyhľadávač. Prečo teda neodpovedať na túto otázku podrobne a zároveň nepovedať návštevníkom našej stránky, ako si zapamätať správny pravopis týchto znakov do budúcnosti?

V tejto krátkej poznámke vám chceme pripomenúť, ako sa píše znamienko väčšie a menšie. To tiež nebude zbytočné povedať ako písať znamienka väčšie alebo rovné na klávesnici a menšie alebo rovnaké, pretože táto otázka tiež často spôsobuje ťažkosti používateľom, ktorí sa s takouto úlohou stretávajú veľmi zriedkavo.

Poďme rovno k veci. Ak nemáte veľký záujem si to všetko zapamätať do budúcna a nabudúce sa vám bude opäť jednoduchšie „googliť“ a teraz vám už len stačí odpovedať na otázku „akým smerom písať znamenie“, tak sme pre vás pripravili krátky odpoveď pre vás - znaky viac a menej sa píšu takto, ako je znázornené na obrázku nižšie.

A teraz si povieme trochu viac o tom, ako to pochopiť a zapamätať si to do budúcnosti.

Vo všeobecnosti je logika chápania veľmi jednoduchá – na ktorú stranu (väčšiu alebo menšiu) sa znak v smere písania pozerá doľava – taký je znak. Podľa toho znak viac vľavo vyzerá so širokou stranou - väčšou.

Príklad použitia znamienka väčšieho ako:

• 50>10 - číslo 50 je väčšie ako číslo 10;
• účasť študentov v tomto semestri bola >90 % tried.

Ako napísať znamienko menej ako, možno nestojí za to znova vysvetľovať. Je to presne to isté ako znamienko väčšie ako. Ak sa značka pozerá doľava s úzkou stranou - menšou, potom je značka pred vami menšia.
Príklad použitia znamienka menej ako:

• 100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
• prišiel na stretnutie<50% депутатов.

Ako vidíte, všetko je celkom logické a jednoduché, takže teraz by ste si v budúcnosti nemali klásť otázky, akým spôsobom písať znamienko väčšie a menšie.

Väčšie alebo rovné/menšie než alebo znamienko rovnosti

Ak ste si už zapamätali, ako sa píše znak, ktorý potrebujete, nebude pre vás ťažké pridať k nemu jednu pomlčku zdola, takže dostanete znak "menej alebo rovnaké" alebo podpísať "viac alebo rovné".

Pokiaľ ide o tieto znaky, niektorí majú ďalšiu otázku - ako napísať takúto ikonu na klávesnici počítača? Výsledkom je, že väčšina jednoducho umiestni dve znamienka za sebou, napríklad „väčšie alebo rovné“ označujúce ako ">=" , čo je v zásade často celkom prijateľné, ale dá sa urobiť krajším a správnejším.

Na zadávanie týchto znakov v skutočnosti existujú špeciálne znaky, ktoré možno zadať na ľubovoľnej klávesnici. Súhlasím, znamenia "≤" a "≥" vyzerať oveľa lepšie.

Znamienko väčšie alebo rovné na klávesnici

Ak chcete na klávesnici napísať „väčšie alebo rovné“ jedným znakom, nemusíte ani prechádzať do tabuľky špeciálnych znakov – stačí zadať znamienko väčšie ako pri stlačenom klávese "alt". Klávesová skratka (zadaná v anglickom rozložení) teda bude nasledovná.

Alebo môžete jednoducho skopírovať ikonu z tohto článku, ak ju potrebujete použiť raz. Tu je, prosím.

≥

Znamienko menšie alebo rovné na klávesnici

Ako ste už pravdepodobne uhádli, na klávesnici môžete písať „menšie alebo rovné“ analogicky so znamienkom väčší ako – stačí zadať znamienko menšie ako a súčasne držať kláves "alt". Klávesová skratka, ktorá sa má zadať v anglickom rozložení, bude nasledovná.

Alebo si to skopírujte z tejto stránky, ak je to pre vás jednoduchšie, tu je.

≤

Ako vidíte, pravidlo pre písanie znamienok väčších a menších ako je celkom ľahko zapamätateľné a ak chcete na klávesnici zadať znamienka väčšie alebo rovné a menšie alebo rovné, stačí stlačiť ďalší kláves - všetko je jednoduché .