Delenie nevlastných zlomkov. Násobenie jednoduchých a zmiešaných zlomkov s rôznymi menovateľmi
Minule sme sa naučili sčítať a odčítať zlomky (pozri lekciu „Sčítanie a odčítanie zlomkov“). Najťažším momentom týchto akcií bolo privedenie zlomkov k spoločnému menovateľovi.
Teraz je čas zaoberať sa násobením a delením. Dobrou správou je, že tieto operácie sú ešte jednoduchšie ako sčítanie a odčítanie. Na začiatok zvážte najjednoduchší prípad, keď existujú dva kladné zlomky bez oddelenej celočíselnej časti.
Ak chcete vynásobiť dva zlomky, musíte vynásobiť ich čitateľov a menovateľov oddelene. Prvé číslo bude čitateľom nového zlomku a druhé bude menovateľom.
Ak chcete rozdeliť dva zlomky, musíte vynásobiť prvý zlomok „prevrátenou“ sekundou.
Označenie:
Z definície vyplýva, že delenie zlomkov sa redukuje na násobenie. Ak chcete zlomok obrátiť, stačí vymeniť čitateľa a menovateľa. Preto celú lekciu budeme uvažovať hlavne o násobení.
Následkom násobenia môže vzniknúť (a často aj vzniká) redukovaný zlomok - samozrejme, treba ho zmenšiť. Ak sa po všetkých redukciách zlomok ukázal ako nesprávny, mala by sa v ňom rozlíšiť celá časť. Čo sa však pri násobení nestane, je redukcia na spoločného menovateľa: žiadne krížové metódy, maximálne faktory a najmenšie spoločné násobky.
Podľa definície máme:
Násobenie zlomkov celočíselnou časťou a zápornými zlomkami
Ak je v zlomkoch celočíselná časť, musia sa previesť na nesprávne - a až potom vynásobiť podľa schém uvedených vyššie.
Ak je v čitateli zlomku, v menovateli alebo pred ním mínus, možno ho vyňať z hraníc násobenia alebo úplne odstrániť podľa nasledujúcich pravidiel:
- Plus krát mínus dáva mínus;
- Dve negatíva znamenajú pozitívnu odpoveď.
Doteraz sme sa s týmito pravidlami stretávali len pri sčítavaní a odčítaní záporných zlomkov, kedy bolo potrebné zbaviť sa celej časti. Pre produkt ich možno zovšeobecniť, aby „spálili“ niekoľko mínusov naraz:
- Mínusy vo dvojiciach škrtáme, kým úplne nezmiznú. V extrémnom prípade môže prežiť jeden mínus - ten, ktorý nenašiel zhodu;
- Ak nezostali žiadne mínusy, operácia je dokončená - môžete začať násobiť. Ak posledné mínus nie je prečiarknuté, keďže nenašlo pár, vytiahneme ho z hraníc násobenia. Dostanete záporný zlomok.
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Všetky zlomky preložíme na nesprávne a mínusy potom vytiahneme mimo hraníc násobenia. To, čo zostane, sa rozmnožuje podľa zaužívaných pravidiel. Dostaneme:
Ešte raz vám pripomeniem, že mínus, ktoré nasleduje pred zlomkom so zvýraznenou celočíselnou časťou, sa vzťahuje konkrétne na celý zlomok, a nie len na jeho celočíselnú časť (to platí pre posledné dva príklady).
Venujte pozornosť aj záporným číslam: po vynásobení sú uvedené v zátvorkách. Robí sa to preto, aby sa oddelili mínusy od znamienok násobenia a spresnil sa celý zápis.
Znižovanie frakcií za chodu
Násobenie je veľmi pracná operácia. Čísla sú tu dosť veľké a na zjednodušenie úlohy sa môžete pokúsiť zlomok ešte zmenšiť pred násobením. Čitatelia a menovatelia zlomkov sú v podstate bežné faktory, a preto ich možno redukovať pomocou základnej vlastnosti zlomku. Pozrite si príklady:
Úloha. Nájdite hodnotu výrazu:
Podľa definície máme:
Vo všetkých príkladoch sú červenou farbou vyznačené čísla, ktoré boli zredukované a to, čo z nich zostalo.
Poznámka: v prvom prípade boli multiplikátory úplne znížené. Jednotky zostali na svojom mieste, ktoré možno vo všeobecnosti vynechať. V druhom príklade nebolo možné dosiahnuť úplné zníženie, ale celkové množstvo výpočtov sa stále znížilo.
Túto techniku však v žiadnom prípade nepoužívajte pri sčítaní a odčítaní zlomkov! Áno, niekedy sa vyskytnú podobné čísla, ktoré chcete len znížiť. Pozrite sa sem:
To nemôžeš!
Chyba sa vyskytuje v dôsledku skutočnosti, že pri sčítaní zlomku sa v čitateli zlomku objaví súčet a nie súčin čísel. Preto nie je možné použiť hlavnú vlastnosť zlomku, pretože táto vlastnosť sa zaoberá špecificky násobením čísel.
Jednoducho neexistuje žiadny iný dôvod na zmenšenie zlomkov, takže správne riešenie predchádzajúceho problému vyzerá takto:
Správne rozhodnutie:
Ako vidíte, správna odpoveď nebola taká krásna. Vo všeobecnosti buďte opatrní.
) a menovateľ menovateľom (dostaneme menovateľa súčinu).
Vzorec na násobenie zlomkov:
Napríklad:
Pred pristúpením k násobeniu čitateľov a menovateľov je potrebné skontrolovať možnosť zníženia zlomkov. Ak sa vám podarí zlomok znížiť, bude pre vás jednoduchšie pokračovať vo výpočtoch.
Delenie obyčajného zlomku zlomkom.
Delenie zlomkov zahŕňajúcich prirodzené číslo.
Nie je to také strašidelné, ako sa zdá. Rovnako ako v prípade sčítania prevedieme celé číslo na zlomok s jednotkou v menovateli. Napríklad:
Násobenie zmiešaných frakcií.
Pravidlá pre násobenie zlomkov (zmiešané):
- previesť zmiešané frakcie na nesprávne;
- vynásobte čitateľov a menovateľov zlomkov;
- znížime zlomok;
- ak dostaneme nevlastný zlomok, tak premeníme nevlastný zlomok na zmiešaný.
Poznámka! Ak chcete vynásobiť zmiešaný zlomok iným zmiešaným zlomkom, musíte ich najskôr uviesť do tvaru nesprávnych zlomkov a potom vynásobiť podľa pravidla pre násobenie obyčajných zlomkov.
Druhý spôsob, ako vynásobiť zlomok prirodzeným číslom.
Výhodnejšie je použiť druhú metódu násobenia obyčajného zlomku číslom.
Poznámka! Na vynásobenie zlomku prirodzeným číslom je potrebné vydeliť menovateľa zlomku týmto číslom a ponechať čitateľa nezmenený.
Z uvedeného príkladu je zrejmé, že túto možnosť je vhodnejšie použiť vtedy, keď je menovateľ zlomku bezo zvyšku delený prirodzeným číslom.
Viacúrovňové zlomky.
Na strednej škole sa často nachádzajú trojposchodové (alebo viac) zlomky. Príklad:
Aby sa takýto zlomok dostal do jeho obvyklej podoby, používa sa rozdelenie na 2 body:
Poznámka! Pri delení zlomkov je veľmi dôležité poradie delenia. Buďte opatrní, tu sa dá ľahko zmiasť.
Poznámka, napríklad:
Pri delení jedného zlomkom bude výsledkom rovnaký zlomok, len prevrátený:
Praktické tipy na násobenie a delenie zlomkov:
1. Najdôležitejšia vec pri práci so zlomkovými výrazmi je presnosť a pozornosť. Všetky výpočty robte opatrne a presne, sústredene a jasne. Je lepšie zapísať si do návrhu pár riadkov navyše, ako sa zmiasť vo výpočtoch v hlave.
2. V úlohách s rôznymi druhmi zlomkov – prejdite na typ obyčajných zlomkov.
3. Všetky frakcie redukujeme, až kým to už nie je možné.
4. Viacúrovňové zlomkové výrazy prenesieme na bežné, pomocou delenia cez 2 body.
5. Jednotku v mysli rozdelíme na zlomok, a to jednoduchým otočením zlomku.
Obyčajné zlomkové čísla sa prvýkrát stretávajú so školákmi v 5. ročníku a sprevádzajú ich po celý život, pretože v každodennom živote je často potrebné zvážiť alebo použiť nejaký predmet nie úplne, ale oddelene. Začiatok štúdia tejto témy - zdieľanie. Akcie sú rovnaké diely do ktorých je objekt rozdelený. Koniec koncov, nie je vždy možné vyjadriť napríklad dĺžku alebo cenu produktu ako celé číslo, treba brať do úvahy časti alebo podiely akejkoľvek miery. Slovo "zlomok" sa v ruštine objavilo v VIII storočí zo slovesa "rozdrviť" - rozdeliť na časti a má arabské korene.
Zlomkové výrazy sa dlho považovali za najťažšiu časť matematiky. V 17. storočí, keď sa objavili prvé učebnice matematiky, sa im hovorilo „zlomené čísla“, čo bolo veľmi ťažké prejaviť v chápaní ľudí.
Modernú formu jednoduchých frakčných zvyškov, ktorých časti sú presne oddelené vodorovnou čiarou, prvýkrát presadil Fibonacci – Leonardo z Pisy. Jeho spisy pochádzajú z roku 1202. Účelom tohto článku je však jednoducho a jasne vysvetliť čitateľovi, ako dochádza k násobeniu zmiešaných zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi
Spočiatku je potrebné určiť odrody frakcií:
- správne;
- nesprávne;
- zmiešané.
Ďalej si musíte pamätať, ako sa násobia zlomkové čísla s rovnakými menovateľmi. Samotné pravidlo tohto procesu sa dá ľahko formulovať nezávisle: výsledkom násobenia jednoduchých zlomkov s rovnakými menovateľmi je zlomkový výraz, ktorého čitateľ je súčinom čitateľov a menovateľ je súčinom menovateľov týchto zlomkov. . To znamená, že v skutočnosti je novým menovateľom druhá mocnina jedného z existujúcich.
Pri násobení jednoduché zlomky s rôznymi menovateľmi pre dva alebo viac faktorov sa pravidlo nemení:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Jediný rozdiel je v tom, že utvorené číslo pod zlomkovou čiarou bude súčinom rôznych čísel a, samozrejme, nemožno ho nazvať druhou mocninou jedného číselného výrazu.
Stojí za to zvážiť násobenie zlomkov s rôznymi menovateľmi pomocou príkladov:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
V príkladoch sa používajú spôsoby redukcie zlomkových výrazov. Môžete zmenšiť iba čísla čitateľa číslami menovateľa, susediace faktory nad alebo pod zlomkovou čiarou sa nedajú zmenšiť.
Spolu s jednoduchými zlomkovými číslami existuje aj koncept zmiešaných zlomkov. Zmiešané číslo pozostáva z celého čísla a zlomkovej časti, to znamená, že ide o súčet týchto čísel:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Ako funguje násobenie?
Na zváženie je uvedených niekoľko príkladov.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Príklad používa násobenie čísla číslom obyčajná zlomková časť, pravidlo pre túto akciu môžete zapísať podľa vzorca:
a * b/c = a*b /c.
V skutočnosti je takýto súčin súčtom rovnakých zlomkových zvyškov a počet členov označuje toto prirodzené číslo. Špeciálny prípad:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Existuje ďalšia možnosť riešenia násobenia čísla zlomkovým zvyškom. Jednoducho vydeľte menovateľa týmto číslom:
d* e/f = e/f: d.
Je užitočné použiť túto techniku, keď je menovateľ delený prirodzeným číslom bezo zvyšku alebo, ako sa hovorí, úplne.
Preveďte zmiešané čísla na nesprávne zlomky a získajte produkt vyššie opísaným spôsobom:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Tento príklad zahŕňa spôsob, ako reprezentovať zmiešaný zlomok ako nesprávny zlomok, môže byť tiež reprezentovaný ako všeobecný vzorec:
a bc = a*b+ c / c, kde menovateľ nového zlomku vznikne vynásobením celočíselnej časti menovateľom a jeho pripočítaním k čitateľovi pôvodného zlomkového zvyšku, pričom menovateľ zostáva rovnaký.
Tento proces funguje aj opačne. Ak chcete izolovať časť celého čísla a zlomkový zvyšok, musíte rozdeliť čitateľa nesprávneho zlomku jeho menovateľom pomocou „rohu“.
Násobenie nesprávnych zlomkov vyrábané bežným spôsobom. Keď záznam prejde pod jednu zlomkovú čiaru, ak je to potrebné, musíte zlomky zmenšiť, aby ste znížili čísla pomocou tejto metódy a ľahšie sa vypočíta výsledok.
Na internete je množstvo pomocníkov na riešenie aj zložitých matematických úloh v rôznych programových variáciách. Dostatočný počet takýchto služieb ponúka svoju pomoc pri výpočte násobenia zlomkov s rôznymi číslami v menovateľoch – takzvané online kalkulačky na počítanie zlomkov. Sú schopní nielen násobiť, ale aj vykonávať všetky ostatné jednoduché aritmetické operácie s obyčajnými zlomkami a zmiešanými číslami. Nie je ťažké s ním pracovať, príslušné polia sú vyplnené na stránke webu, vyberie sa znamienko matematickej akcie a stlačí sa tlačidlo „vypočítať“. Program počíta automaticky.
Téma aritmetických operácií so zlomkovými číslami je aktuálna počas celého vzdelávania žiakov stredných a vyšších škôl. Na strednej škole už neuvažujú nad najjednoduchším druhom, ale celočíselné zlomkové výrazy, ale znalosti pravidiel pre transformáciu a výpočty, získané skôr, sa uplatňujú v pôvodnej podobe. Dobre naučené základné znalosti dávajú plnú dôveru v úspešné riešenie najzložitejších úloh.
Na záver má zmysel citovať slová Leva Tolstého, ktorý napísal: „Človek je zlomok. Nie je v silách človeka zväčšovať svojho čitateľa – svoje zásluhy, ale každý môže svojho menovateľa – svoju mienku o sebe zmenšiť, a týmto zmenšením sa priblížiť k svojej dokonalosti.
So zlomkami môžete vykonávať všetky akcie vrátane delenia. Tento článok ukazuje delenie obyčajných zlomkov. Uvedú sa definície, zvážia sa príklady. Zastavme sa pri delení zlomkov prirodzenými číslami a naopak. Zvážime delenie obyčajného zlomku zmiešaným číslom.
Delenie obyčajných zlomkov
Delenie je opakom násobenia. Pri delení je neznámy súčiniteľ pri známom súčine a ďalší súčiniteľ, kde je jeho daný význam zachovaný pri obyčajných zlomkoch.
Ak je potrebné rozdeliť obyčajný zlomok a b o c d, potom na určenie takéhoto čísla musíte vynásobiť deliteľom c d, čím sa nakoniec získa dividenda a b. Zoberme si číslo a napíšme ho a b · d c , kde d c je prevrátená hodnota c d čísla. Rovnosti možno zapísať pomocou vlastností násobenia, a to: a b d c c d = a b d c c d = a b 1 = a b , kde výraz a b d c je podiel delenia a b c d .
Odtiaľ získame a sformulujeme pravidlo na delenie obyčajných zlomkov:
Definícia 1
Na rozdelenie obyčajného zlomku a b c d je potrebné vynásobiť dividendu prevrátenou hodnotou deliteľa.
Napíšme pravidlo ako výraz: a b: c d = a b d c
Pravidlá delenia sa redukujú na násobenie. Aby ste sa toho držali, musíte sa dobre orientovať v násobení obyčajných zlomkov.
Prejdime k deleniu obyčajných zlomkov.
Príklad 1
Vykonajte rozdelenie 9 7 na 5 3 . Výsledok zapíšte ako zlomok.
Riešenie
Číslo 5 3 je prevrátené číslo 3 5 . Musíte použiť pravidlo na delenie obyčajných zlomkov. Tento výraz píšeme takto: 9 7: 5 3 \u003d 9 7 3 5 \u003d 9 3 7 5 \u003d 27 35.
odpoveď: 9 7: 5 3 = 27 35 .
Pri zmenšovaní zlomkov by ste mali zvýrazniť celú časť, ak je čitateľ väčší ako menovateľ.
Príklad 2
Deliť 8 15: 24 65 . Odpoveď napíšte zlomkom.
Riešenie
Riešením je prejsť z delenia na násobenie. Píšeme ho v tomto tvare: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9
Je potrebné vykonať zníženie, a to takto: 8 65 15 24 \u003d 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 \u003d 13 3 3 \u003d 13 9
Vyberieme celú časť a dostaneme 13 9 = 1 4 9 .
odpoveď: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .
Delenie mimoriadneho zlomku prirodzeným číslom
Používame pravidlo delenia zlomku prirodzeným číslom: na delenie a b prirodzeným číslom n je potrebné vynásobiť iba menovateľa n. Odtiaľ dostaneme výraz: a b: n = a b · n .
Pravidlo delenia je dôsledkom pravidla násobenia. Preto vyjadrenie prirodzeného čísla ako zlomku poskytne rovnosť tohto typu: a b: n \u003d a b: n 1 \u003d a b 1 n \u003d a b n.
Zvážte toto rozdelenie zlomku číslom.
Príklad 3
Vydeľte zlomok 1645 číslom 12.
Riešenie
Použite pravidlo na delenie zlomku číslom. Dostaneme výraz ako 16 45: 12 = 16 45 12 .
Zredukujeme zlomok. Dostaneme 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135 .
odpoveď: 16 45: 12 = 4 135 .
Delenie prirodzeného čísla spoločným zlomkom
Pravidlo rozdelenia je podobné o pravidlo delenia prirodzeného čísla obyčajným zlomkom: na vydelenie prirodzeného čísla n obyčajným a b je potrebné vynásobiť číslo n prevrátenou hodnotou zlomku a b .
Na základe pravidla máme n: a b \u003d n b a a vďaka pravidlu násobenia prirodzeného čísla obyčajným zlomkom dostaneme náš výraz v tvare n: a b \u003d n b a. Toto rozdelenie je potrebné zvážiť na príklade.
Príklad 4
Vydeľte 25 číslom 15 28 .
Riešenie
Musíme prejsť od delenia k násobeniu. Píšeme v tvare výrazu 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15 . Zmenšime zlomok a dostaneme výsledok v tvare zlomku 46 2 3 .
odpoveď: 25: 15 28 = 46 2 3 .
Delenie spoločného zlomku zmiešaným číslom
Pri delení obyčajného zlomku zmiešaným číslom si kľudne posvietite na delenie obyčajných zlomkov. Musíte previesť zmiešané číslo na nesprávny zlomok.
Príklad 5
Rozdeľte zlomok 35 16 na 3 1 8 .
Riešenie
Keďže 3 1 8 je zmiešané číslo, predstavme si ho ako nevlastný zlomok. Potom dostaneme 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8 . Teraz rozdeľme zlomky. Dostaneme 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10
odpoveď: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .
Delenie zmiešaného čísla sa vykonáva rovnakým spôsobom ako bežné čísla.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter