Všeobecná predstava o celých číslach. Najväčší spoločný násobok a najmenší spoločný deliteľ

Domov

Úprava vody

Čo znamená celé číslo

Zvážte teda, aké čísla sa nazývajú celé čísla.

Celé čísla teda budú označovať tieto čísla: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ atď.

Množina prirodzených čísel je podmnožinou množiny celých čísel, t.j. každé prirodzené číslo bude celé číslo, ale žiadne celé číslo nie je prirodzené číslo.

Celé kladné a celé záporné čísla

Definícia 2

plus.

Čísla $3, 78, 569, 10450 $ sú kladné celé čísla.

Definícia 3

sú celé čísla so znamienkom mínus.

Čísla $−3, −78, −569, -10450$ sú záporné celé čísla.

Poznámka 1

Číslo nula sa nevzťahuje na kladné ani záporné celé čísla.

Celé kladné čísla sú celé čísla väčšie ako nula.

Celé záporné čísla sú celé čísla menšie ako nula.

Množina prirodzených celých čísel je množina všetkých kladných celých čísel a množina všetkých protikladov prirodzených čísel je množina všetkých záporných celých čísel.

Celé číslo nezáporné a celé číslo nezáporné

Volajú sa všetky kladné celé čísla a číslo nula celé nezáporné čísla.

Celé nekladné čísla sú všetky záporné celé čísla a číslo $0$.

Poznámka 2

Touto cestou, celé nezáporné číslo sú celé čísla väčšie ako nula alebo rovné nule a nezáporné celé číslo sú celé čísla menšie ako nula alebo rovné nule.

Napríklad nezáporné celé čísla: $ -32, -123, 0, -5 $ a nezáporné celé čísla: $ 54, 123, 0,856 342, $

Popis meniacich sa hodnôt pomocou celých čísel

Celé čísla sa používajú na popis zmien v počte ľubovoľných položiek.

Zvážte príklady.

Príklad 1

Predpokladajme, že obchod predáva určitý počet položiek. Keď obchod dostane položky v hodnote 520 $, počet položiek v obchode sa zvýši a číslo 520 $ ukazuje pozitívnu zmenu v počte. Keď obchod predáva položky za 50 $, počet položiek v obchode sa zníži a číslo 50 $ bude vyjadrovať negatívnu zmenu v počte. Ak obchod tovar neprivezie ani nepredá, tak počet tovaru zostane nezmenený (t.j. môžeme hovoriť o nulovej zmene počtu).

Vo vyššie uvedenom príklade je zmena v počte tovaru opísaná pomocou celých čísel $ 520 $, $ -50 $ a $ 0 $. Kladná hodnota celého čísla $520$ označuje pozitívnu zmenu v čísle. Záporná hodnota celého čísla $-50$ označuje zápornú zmenu čísla. Celé číslo $0$ označuje nemennosť čísla.

Celé čísla sú vhodné na použitie, pretože nie je potrebné explicitne uvádzať zvýšenie alebo zníženie čísla - znamienko celého čísla označuje smer zmeny a hodnota označuje kvantitatívnu zmenu.

Pomocou celých čísel môžete vyjadriť nielen zmenu množstva, ale aj zmenu ľubovoľnej hodnoty.

Zvážte príklad zmeny ceny produktu.

Príklad 2

Zvýšenie nákladov napríklad o 20 $ rubľov je vyjadrené kladným celým číslom 20 $. Zníženie nákladov, napríklad o 5 $ rubľov, je opísané pomocou záporného celého čísla $ -5 $. Ak nedôjde k žiadnym zmenám nákladov, takáto zmena sa určí pomocou celého čísla $0$.

Samostatne zvážte hodnotu záporných celých čísel ako veľkosť dlhu.

Príklad 3

Napríklad osoba má 5 000 rubľov. Potom pomocou kladného celého čísla $ 5,000 $ môžete ukázať počet rubľov, ktoré má. Osoba musí zaplatiť nájom vo výške 7 000 rubľov, ale také peniaze nemá, v tomto prípade je takáto situácia opísaná záporným celým číslom -7 000 $. V tomto prípade má osoba -7 000 $ rubľov, kde "-" označuje dlh a číslo 7 000 $ predstavuje výšku dlhu.

Informácie v tomto článku tvoria všeobecnú predstavu celé čísla. Najprv je uvedená definícia celých čísel a uvedené príklady. Ďalej sa zvažujú celé čísla na číselnej osi, z ktorých je jasné, ktoré čísla sa nazývajú kladné celé čísla a ktoré záporné celé čísla. Potom sa ukáže, ako sú zmeny v množstvách opísané pomocou celých čísel a záporné celé čísla sa považujú za dlh.

Navigácia na stránke.

Celé čísla - definícia a príklady

Definícia.

Celé čísla sú prirodzené čísla, číslo nula, ako aj čísla opačné k prirodzeným.

Definícia celých čísel hovorí, že ktorékoľvek z čísel 1, 2, 3, …, číslo 0 a tiež ktorékoľvek z čísel −1, −2, −3, … je celé číslo. Teraz môžeme ľahko priniesť celočíselné príklady. Napríklad číslo 38 je celé číslo, číslo 70040 je tiež celé číslo, nula je celé číslo (pripomeňme, že nula NIE JE prirodzené číslo, nula je celé číslo), čísla −999 , −1 , −8 934 832 sú tiež príklady celých čísel.

Všetky celé čísla je vhodné reprezentovať ako postupnosť celých čísel, ktorá má nasledujúci tvar: 0, ±1, ±2, ±3, … Postupnosť celých čísel možno zapísať aj takto: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Z definície celých čísel vyplýva, že množina prirodzených čísel je podmnožinou množiny celých čísel. Preto je každé prirodzené číslo celé číslo, ale nie každé celé číslo je prirodzené číslo.

Celé čísla na súradnicovej čiare

Definícia.

Celé kladné čísla sú celé čísla väčšie ako nula.

Definícia.

Celé záporné čísla sú celé čísla menšie ako nula.

Celé kladné a záporné čísla možno určiť aj podľa ich polohy na súradnicovej čiare. Na vodorovnej súradnicovej čiare ležia body, ktorých súradnice sú kladné celé čísla, napravo od začiatku. Body so zápornými celočíselnými súradnicami sú zase umiestnené vľavo od bodu O.

Je jasné, že množina všetkých kladných celých čísel je množina prirodzených čísel. Na druhej strane, množina všetkých záporných celých čísel je množina všetkých čísel opačných k prirodzeným číslam.

Samostatne upozorňujeme na skutočnosť, že akékoľvek prirodzené číslo môžeme pokojne nazvať celým číslom a žiadne celé číslo NEMÁME nazvať prirodzeným číslom. Prirodzeným môžeme nazvať iba akékoľvek kladné celé číslo, keďže záporné celé čísla a nula nie sú prirodzené.

Celé číslo nezáporné a celé číslo nezáporné

Uveďme definície nezáporných celých čísel a nezáporných celých čísel.

Definícia.

Volajú sa všetky kladné celé čísla spolu s nulou celé nezáporné čísla.

Definícia.

Celé nekladné čísla sú všetky záporné celé čísla spolu s číslom 0 .

Inými slovami, nezáporné celé číslo je celé číslo, ktoré je väčšie alebo rovné nule, a nezáporné celé číslo je celé číslo, ktoré je menšie alebo rovné nule.

Príkladmi nezáporných celých čísel sú čísla -511, -10 030, 0, -2 a ako príklady nezáporných celých čísel uveďme čísla 45, 506, 0, 900 321.

Najčastejšie sa kvôli stručnosti používajú výrazy „nekladné celé čísla“ a „nezáporné celé čísla“. Napríklad namiesto frázy „číslo a je celé číslo a a je väčšie ako nula alebo sa rovná nule“ môžete povedať „a je nezáporné celé číslo“.

Popis meniacich sa hodnôt pomocou celých čísel

Je čas porozprávať sa o tom, na čo slúžia celé čísla.

Hlavným účelom celých čísel je, že s ich pomocou je vhodné opísať zmenu počtu ľubovoľných položiek. Vyrovnajme sa s tým na príkladoch.

Predpokladajme, že na sklade je určité množstvo dielov. Ak sa na sklad privezie napríklad o 400 dielov viac, tak sa počet dielov na sklade zvýši a číslo 400 vyjadruje túto zmenu množstva v kladnom smere (v smere nárastu). Ak sa zo skladu odoberie napríklad 100 dielov, počet dielov na sklade sa zníži a číslo 100 bude vyjadrovať zmenu množstva v zápornom smere (v smere poklesu). Diely nebudú privezené do skladu a diely nebudú odvezené zo skladu, vtedy môžeme hovoriť o nemennosti počtu dielov (čiže môžeme hovoriť o nulovej zmene množstva).

V uvedených príkladoch možno zmenu v počte častí opísať pomocou celých čísel 400, -100 a 0. Kladné celé číslo 400 označuje pozitívnu zmenu množstva (zvýšenie). Záporné celé číslo −100 vyjadruje negatívnu zmenu množstva (pokles). Celé číslo 0 znamená, že množstvo sa nezmenilo.

Pohodlie používania celých čísel v porovnaní s používaním prirodzených čísel spočíva v tom, že nie je potrebné výslovne uvádzať, či sa množstvo zvyšuje alebo znižuje - celé číslo určuje zmenu kvantitatívne a znamienko celého čísla označuje smer zmeny.

Aj celé čísla môžu vyjadrovať nielen zmenu množstva, ale aj zmenu nejakej hodnoty. Poďme sa s tým vyrovnať na príklade zmeny teploty.

Zvýšenie teploty napríklad o 4 stupne je vyjadrené ako kladné celé číslo 4 . Pokles teploty napríklad o 12 stupňov možno opísať záporným celým číslom −12. A invariantnosť teploty je jej zmena určená celým číslom 0.

Samostatne je potrebné povedať o interpretácii záporných celých čísel ako výšky dlhu. Napríklad, ak máme 3 jablká, potom kladné celé číslo 3 predstavuje počet jabĺk, ktoré vlastníme. Na druhej strane, ak niekomu musíme dať 5 jabĺk a nemáme ich k dispozícii, tak túto situáciu možno opísať pomocou celého záporného čísla −5. V tomto prípade „vlastníme“ −5 jabĺk, znamienko mínus označuje dlh a číslo 5 dlh kvantifikuje.

Chápanie záporného celého čísla ako dlhu umožňuje napríklad ospravedlniť pravidlo pre sčítanie záporných celých čísel. Vezmime si príklad. Ak niekto dlhuje 2 jablká jednej osobe a jedno jablko druhej, potom je celkový dlh 2+1=3 jablká, čiže −2+(−1)=−3 .

Bibliografia.

Vilenkin N.Ya. atď. Matematika. 6. ročník: učebnica pre vzdelávacie inštitúcie.

Komu celé čísla zahŕňajú prirodzené čísla, nulu a čísla opačné k prirodzeným číslam.

Celé čísla sú kladné celé čísla.

Napríklad: 1, 3, 7, 19, 23 atď. Takéto čísla používame na počítanie (na stole je 5 jabĺk, auto má 4 kolesá atď.)

Latinské písmeno \mathbb(N) - označené množina prirodzených čísel.

Prirodzené čísla nemôžu zahŕňať záporné (stolička nemôže mať záporný počet nôh) a zlomkové čísla (Ivan nedokázal predať 3,5 bicykla).

Čísla oproti prirodzeným číslam sú záporné celé čísla: -8, -148, -981, ....

Aritmetické operácie s celými číslami

Čo môžete robiť s celými číslami? Dajú sa navzájom násobiť, sčítať a odčítať. Poďme analyzovať každú operáciu na konkrétnom príklade.

Sčítanie celého čísla

Dve celé čísla s rovnakými znamienkami sa sčítajú takto: sčítajú sa moduly týchto čísel a výslednému súčtu predchádza koncové znamienko:

(+11) + (+9) = +20

Odčítanie celých čísel

Dve celé čísla s rôznymi znamienkami sa pridajú takto: modul menšieho čísla sa odpočíta od modulu väčšieho čísla a pred odpoveď sa umiestni znamienko väčšieho čísla modulo:

(-7) + (+8) = +1

Násobenie celého čísla

Ak chcete vynásobiť jedno celé číslo druhým, musíte vynásobiť moduly týchto čísel a umiestniť znamienko „+“ pred prijatú odpoveď, ak boli pôvodné čísla s rovnakými znamienkami, a znamienko „-“, ak boli pôvodné čísla s rôznymi znakmi:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Mali by ste si zapamätať nasledovné pravidlo násobenia celých čísel:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Existuje pravidlo pre násobenie niekoľkých celých čísel. Pripomeňme si to:

Znamienko súčinu bude „+“, ak je počet faktorov so záporným znamienkom párny a „-“, ak je počet faktorov so záporným znamienkom nepárny.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Delenie celých čísel

Delenie dvoch celých čísel sa vykonáva takto: modul jedného čísla sa vydelí modulom druhého a ak sú znamienka čísel rovnaké, pred výsledný kvocient sa umiestni znamienko „+“. a ak sú znamienka pôvodných čísel odlišné, vloží sa znamienko „-“.

(-25) : (+5) = -5

Vlastnosti sčítania a násobenia celých čísel

Poďme analyzovať základné vlastnosti sčítania a násobenia pre ľubovoľné celé čísla a , b a c :

a + b = b + a - komutatívna vlastnosť sčítania;
(a + b) + c \u003d a + (b + c) - asociatívna vlastnosť sčítania;
a \cdot b = b \cdot a - komutatívna vlastnosť násobenia;
(a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- asociatívne vlastnosti násobenia;
a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c je distributívna vlastnosť násobenia.

V piatom storočí pred Kristom sformuloval staroveký grécky filozof Zenón z Elea svoje slávne apórie, z ktorých najznámejšia je aporia „Achilles a korytnačka“. Znie to takto:

Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.

Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.

Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzického hľadiska to vyzerá tak, že sa čas spomalí až úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.

Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:

Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Počas nasledujúceho časového intervalu, ktorý sa rovná prvému, prebehne Achilles ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je úplné riešenie problému. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme ešte študovať, prehodnotiť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.

Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:

Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.

V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z toho istého bodu v rôznych časových okamihoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov v priestore súčasne, ale nemôžete z nich určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria) . Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.

Streda 4. júla 2018

Veľmi dobre sú rozdiely medzi množinou a multimnožinou opísané vo Wikipédii. Pozeráme sa.

Ako vidíte, „súprava nemôže mať dva rovnaké prvky“, ale ak sú v súprave rovnaké prvky, takáto súprava sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto logiku absurdity. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, v ktorých myseľ chýba pri slove „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.

Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, počas skúšok mosta v člne pod mostom. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.

Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „pozor, som v dome“, alebo skôr „matematika študuje abstraktné pojmy“, existuje jedna pupočná šnúra, ktorá ich nerozlučne spája s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Aplikujme matematickú teóriu množín na samotných matematikov.

Učili sme sa veľmi dobre matematiku a teraz sedíme v pokladni a platíme mzdy. Tu si k nám príde matematik pre svoje peniaze. Spočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický platový set“. Vysvetlíme matematiku, že zvyšok účtov dostane až vtedy, keď preukáže, že množina bez identických prvkov sa nerovná množine s identickými prvkami. Tu začína zábava.

V prvom rade zafunguje poslanecká logika: "na ostatných to môžeš aplikovať, ale na mňa nie!" Ďalej sa začnú ubezpečovať, že na bankovkách rovnakej nominálnej hodnoty sú rôzne čísla bankoviek, čo znamená, že ich nemožno považovať za identické prvky. No plat počítame v minciach – na minciach nie sú čísla. Matematik tu bude horúčkovito spomínať na fyziku: rôzne mince majú rôzne množstvo nečistôt, kryštálová štruktúra a usporiadanie atómov pre každú mincu je jedinečné ...

A teraz mám najzaujímavejšiu otázku: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje - o všetkom rozhodujú šamani, veda tu nie je ani zďaleka.

Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plocha polí je rovnaká, čo znamená, že máme multiset. Ale ak vezmeme do úvahy názvy rovnakých štadiónov, dostaneme veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je zároveň množinou aj multimnožinou. Ako správne? A tu matematik-šaman-šuller vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.

Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.

Nedeľa 18. marca 2018

Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale na to sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.

Potrebujete dôkaz? Otvorte Wikipédiu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, pomocou ktorého by ste našli súčet číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v reči matematiky znie úloha takto: „Nájdi súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém vyriešiť nedokážu, ale šamani to elementárne dokážu.

Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic daného čísla. Povedzme, že máme číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.

1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na číselný grafický symbol. Toto nie je matematická operácia.

2. Jeden prijatý obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich samostatné čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.

3. Preveďte jednotlivé grafické znaky na čísla. Toto nie je matematická operácia.

4. Výsledné čísla spočítajte. Teraz je to matematika.

Súčet číslic čísla 12345 je 15. Ide o „kurzy strihania a šitia“ od šamanov, ktoré používajú matematici. Ale to nie je všetko.

Z hľadiska matematiky je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych číselných sústavách bude súčet číslic toho istého čísla rôzny. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. Pri veľkom čísle 12345 si nechcem oklamať hlavu, zvážte číslo 26 z článku o. Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme zvažovať každý krok pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.

Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla odlišný. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to ako keby ste našli plochu obdĺžnika v metroch a centimetroch, čo by vám dalo úplne iné výsledky.

Nula vo všetkých číselných sústavách vyzerá rovnako a nemá žiadny súčet číslic. Toto je ďalší argument v prospech skutočnosti, že . Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje to, čo nie je číslo? Čo pre matematikov neexistuje nič iné ako čísla? Pre šamanov to môžem dovoliť, ale pre vedcov nie. Realita nie je len o číslach.

Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú po ich porovnaní k rôznym výsledkom, potom to nemá nič spoločné s matematikou.

Čo je skutočná matematika? Je to vtedy, keď výsledok matematickej akcie nezávisí od hodnoty čísla, použitej mernej jednotky a od toho, kto túto akciu vykoná.

Nápis na dvere Otvorí dvere a povie:

Ou! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium neurčitej svätosti duší pri vzostupe do neba! Nimbus navrchu a šípka hore. Aké iné WC?

Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole je muž.

Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát denne,

Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:

Osobne sa na sebe snažím vidieť u kakajúceho človeka mínus štyri stupne (jeden obrázok) (zloženie viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A toto dievča nepovažujem za blázna, ktorý nepozná fyziku. Má len oblúkový stereotyp vnímania grafických obrazov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.

1A nie je "mínus štyri stupne" alebo "jeden a". Toto je "kakajúci muž" alebo číslo "dvadsaťšesť" v hexadecimálnej číselnej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.

Dôležité poznámky!
1. Ak namiesto vzorcov vidíte abrakadabra, vymažte vyrovnávaciu pamäť. Ako to urobiť vo vašom prehliadači je napísané tu:
2. Skôr ako začnete čítať článok, venujte pozornosť nášmu navigátorovi, ktorý vám poskytne najužitočnejší zdroj

Aby ste si VEĽMI zjednodušili život, keď potrebujete niečo vypočítať, vyhrať drahocenný čas na OGE alebo USE, urobiť menej hlúpych chýb - prečítajte si túto časť!

Tu je to, čo sa naučíte:

ako počítať rýchlejšie, jednoduchšie a presnejšie pomocouzoskupenie číselpri pridávaní a odčítaní,
ako rýchlo množiť a deliť bez chýb pomocou pravidlá násobenia a kritériá deliteľnosti,
ako výrazne urýchliť výpočty pomocou najmenší spoločný násobok(NOC) a najväčší spoločný deliteľ(GCD).

Vlastníctvo techník tejto sekcie môže nakloniť misky váh jedným alebo druhým smerom ... či už vstúpite na univerzitu svojich snov alebo nie, vy alebo vaši rodičia budete musieť zaplatiť veľa peňazí za vzdelanie alebo vstúpite do rozpočtu .

Poďme sa ponoriť priamo do... (Poďme!)

P.S. POSLEDNÁ CENNÁ RADA...

Veľa celé čísla pozostáva z 3 častí:

celé čísla(podrobnejšie ich zvážime nižšie);
čísla opačné k prirodzeným číslam(všetko zapadne na svoje miesto hneď, ako budete vedieť, čo sú prirodzené čísla);
nula - " " (kde bez neho?)

písmeno Z.

Celé čísla

„Boh stvoril prirodzené čísla, všetko ostatné je dielom ľudských rúk“ (c) Nemecký matematik Kronecker.

Prirodzené čísla súčísla, ktoré používame na počítanie predmetov a práve od toho sa odvíja ich história výskytu - potreba počítať šípy, kože atď.

1, 2, 3, 4...n

písmeno N.

V súlade s tým táto definícia nezahŕňa (nemôžete spočítať, čo tam nie je?) a ešte viac nezahŕňa záporné hodnoty (je tam jablko?).

Okrem toho nie sú zahrnuté všetky zlomkové čísla (tiež nemôžeme povedať „mám notebook“ alebo „predal som autá“)

akýkoľvek prirodzené číslo možno zapísať pomocou 10 číslic:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Takže 14 nie je číslo. Toto je číslo. Z akých čísel sa skladá? To je pravda, z čísel a.

Doplnenie. Zoskupovanie pri pridávaní pre rýchlejšie počítanie a menej chýb

Čo zaujímavé môžete povedať o tomto postupe? Samozrejme, teraz odpoviete "hodnota sumy sa nemení preskupením podmienok." Zdalo by sa, že ide o primitívne pravidlo známe z prvej triedy, no pri riešení veľkých príkladov to okamžite zabudnuté!

Nezabudni na nehopoužite zoskupovanie, aby ste si uľahčili proces počítania a znížili pravdepodobnosť chýb, pretože na skúšku nebudete mať kalkulačku.

Presvedčte sa sami, ktorý výraz je jednoduchšie pridať?

4 + 5 + 3 + 6
4 + 6 + 5 + 3

Samozrejme to druhé! Aj keď výsledok je rovnaký. Ale! Vzhľadom na druhý spôsob je menej pravdepodobné, že urobíte chybu a všetko urobíte rýchlejšie!

Takže vo svojej mysli uvažujete takto:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Odčítanie. Zoskupovanie pri odčítaní pre rýchlejšie počítanie a menej chýb

Pri odčítaní môžeme odčítané čísla aj zoskupovať, napr.

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Čo ak je odčítanie v príklade preložené sčítaním? Môžete sa aj zoskupiť, budete odpovedať a je to tak. Len prosím, nezabudnite na znaky pred číslami, napríklad: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Pamätajte: nesprávne pripevnené značky povedú k chybnému výsledku.

Násobenie. Ako sa množiť vo svojej mysli

Je zrejmé, že hodnota produktu sa nezmení ani zmenou miesta faktorov:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Nepoviem vám, aby ste to „používali pri riešení problémov“ (sama ste to pochopili, však?), ale skôr vám poviem, ako rýchlo vynásobiť nejaké čísla v hlave. Takže pozorne si prezrite tabuľku:

A ešte trochu o násobení. Samozrejme, pamätáte si dve špeciálne príležitosti... Hádaj, čo tým myslím? Tu je o tom:

Ach áno, poďme sa pozrieť znaky deliteľnosti. Celkovo existuje 7 pravidiel pre znaky deliteľnosti, z ktorých prvé 3 už určite poznáte!

Ale zvyšok nie je vôbec ťažké si zapamätať.

7 znakov deliteľnosti čísel, ktoré vám pomôžu rýchlo počítať v hlave!

Prvé tri pravidlá, samozrejme, poznáte.
Štvrtá a piata sú ľahko zapamätateľné - pri delení a pozeráme, či súčet číslic, ktoré tvoria číslo, je deliteľný týmto.
Pri delení podľa dávame pozor na posledné dve číslice čísla – je číslo, ktoré tvoria, deliteľné?
Pri delení číslom musí byť deliteľné aj súčasne. To je celá múdrosť.

Premýšľate teraz - "prečo to všetko potrebujem"?

Po prvé, skúška je bez kalkulačky a tieto pravidlá vám pomôžu orientovať sa v príkladoch.

A po druhé, počuli ste o úlohách GCD a NOC? Známa skratka? Začnime si pamätať a rozumieť.

Najväčší spoločný deliteľ (gcd) – potrebný na redukciu zlomkov a rýchle výpočty

Povedzme, že máte dve čísla: a. Aké je najväčšie číslo deliteľné oboma týmito číslami? Bez váhania odpoviete, pretože viete, že:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Aké čísla v expanzii sú bežné? Správne, 2 * 2 = 4. To bola vaša odpoveď. Pri zachovaní tohto jednoduchého príkladu nezabudnete na algoritmus hľadania GCD. Skúste si to „postaviť“ v hlave. Stalo?

Na nájdenie NOD potrebujete:

Rozložte čísla na prvočiniteľa (na čísla, ktoré nemožno deliť ničím iným ako samým sebou alebo napr. 3, 7, 11, 13 atď.).
Vynásobte ich.

Chápete, prečo sme potrebovali znaky deliteľnosti? Tak, že sa pozriete na číslo a môžete začať bezo zvyšku deliť.

Napríklad nájdime GCD čísel 290 a 485

Prvé číslo - .

Pri pohľade naň môžete okamžite povedať, čím je deliteľné, napíšme:

nemôžete to rozdeliť na nič iné, ale môžete - a dostaneme:

290 = 29 * 5 * 2

Zoberme si ďalšie číslo - 485.

Podľa znakov deliteľnosti musí byť deliteľné bezo zvyšku, keďže končí na. Zdieľame:

Analyzujme pôvodné číslo.

Nedá sa deliť (posledná číslica je nepárna),
- nie je deliteľné, takže číslo tiež nie je deliteľné,
tiež nie je deliteľné a (súčet číslic v čísle nie je deliteľný a)
tiež nie je deliteľné, pretože nie je deliteľné a,
tiež nie je deliteľné a, keďže nie je deliteľné a.
nemožno úplne rozdeliť

Číslo sa teda dá rozložiť len na a.

A teraz poďme nájsť GCD tieto čísla (a). čo je to za číslo? Správne, .

Zacvičíme si?

Úloha číslo 1. Nájdite GCD čísel 6240 a 6800

1) Okamžite delím, pretože obe čísla sú 100% deliteľné:

Úloha číslo 2. Nájdite GCD čísel 345 a 324

Nemôžem tu rýchlo nájsť aspoň jedného spoločného deliteľa, takže sa rozložím na hlavné faktory (čo najmenej):

Najmenší spoločný násobok (LCM) – šetrí čas, pomáha riešiť problémy mimo rámčeka

Povedzme, že máte dve čísla – a. Aké je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné bez stopy(t.j. úplne)? Je ťažké si to predstaviť? Tu je vizuálna stopa pre vás:

Pamätáte si, čo to písmeno znamená? Presne tak, len celé čísla. Aké je teda najmenšie číslo, ktoré vyhovuje x? :

V tomto prípade.

Z tohto jednoduchého príkladu vyplýva niekoľko pravidiel.

Pravidlá pre rýchle nájdenie NOC

Pravidlo 1. Ak je jedno z dvoch prirodzených čísel deliteľné iným číslom, potom väčšie z týchto dvoch čísel je ich najmenším spoločným násobkom.

Nájdite nasledujúce čísla:

NOC (7;21)
NOC (6;12)
NOC (5;15)
NOC (3;33)

Samozrejme, že ste sa s touto úlohou ľahko vyrovnali a dostali ste odpovede - a.

Všimnite si, že v pravidle hovoríme o DVOCH číslach, ak je čísel viac, tak pravidlo nefunguje.

Napríklad LCM (7;14;21) sa nerovná 21, pretože ho nemožno deliť bez zvyšku.

Pravidlo 2. Ak sú dve (alebo viac ako dve) čísla rovnaké, potom najmenší spoločný násobok sa rovná ich súčinu.

Nájsť NOC pre nasledujúce čísla:

NOC (1;3;7)
NOC (3;7;11)
NOC (2;3;7)
NOC (3;5;2)

Počítal si? Tu sú odpovede - , ; .

Ako viete, nie je vždy také ľahké vziať a vyzdvihnúť to isté x, takže pre trochu zložitejšie čísla existuje nasledujúci algoritmus:

Zacvičíme si?

Nájdite najmenší spoločný násobok - LCM (345; 234)

Nájdite najmenší spoločný násobok (LCM) sami

Aké odpovede ste dostali?

Tu je to, čo sa mi stalo:

Ako dlho ti trvalo nájsť NOC? Môj čas je 2 minúty, naozaj viem jeden trik, ktorú navrhujem otvoriť hneď teraz!

Ak ste veľmi pozorní, tak ste si pravdepodobne všimli, že pre dané čísla sme už pátrali GCD a z tohto príkladu by ste mohli vziať faktorizáciu týchto čísel, čím by ste si zjednodušili úlohu, ale to zďaleka nie je všetko.

Pozrite sa na obrázok, možno vás napadnú iné myšlienky:

dobre? Poradím vám: skúste sa množiť NOC a GCD medzi sebou a napíšte si všetky faktory, ktoré budú pri násobení. Zvládli ste to? Mali by ste skončiť s reťazou takto:

Pozrite sa na to bližšie: porovnajte faktory s tým, ako a ako sa rozkladajú.

Aký záver z toho môžete vyvodiť? Správne! Ak hodnoty vynásobíme NOC a GCD medzi sebou, potom dostaneme súčin týchto čísel.

Podľa toho mať čísla a význam GCD(alebo NOC), môžeme nájsť NOC(alebo GCD) nasledujúcim spôsobom:

1. Nájdite súčin čísel:

2. Výsledný produkt vydelíme našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je všetko.

Napíšme pravidlo vo všeobecnej forme:

Pokúsiť sa nájsť GCD ak je známe, že:

Zvládli ste to? .

Záporné čísla – „falošné čísla“ a ich rozpoznanie ľudstvom.

Ako ste už pochopili, ide o čísla opačné ako prirodzené čísla, to znamená:

Záporné čísla možno sčítať, odčítať, násobiť a deliť – rovnako ako prirodzené čísla. Zdalo by sa, že sú také výnimočné? Faktom však je, že záporné čísla si „vybojovali“ svoje právoplatné miesto v matematike až do 19. storočia (do toho momentu sa viedli veľké spory o tom, či existujú alebo nie).

Samotné záporné číslo vzniklo kvôli takej operácii s prirodzenými číslami, ako je "odčítanie". Skutočne, odpočítajte od - to je záporné číslo. Preto sa množina záporných čísel často nazýva „rozšírením množiny“. prirodzené čísla».

Záporné čísla ľudia dlho nepoznali. Takže staroveký Egypt, Babylon a staroveké Grécko - svetlá svojej doby, neuznávali záporné čísla a v prípade získania záporných koreňov v rovnici (napríklad ako my), boli korene odmietnuté ako nemožné.

Po prvýkrát dostali záporné čísla právo na existenciu v Číne a potom v 7. storočí v Indii. Čo si myslíte o tomto priznaní? Je to tak, záporné čísla začali označovať dlhy (inak - manko). Verilo sa, že záporné čísla sú dočasnou hodnotou, ktorá sa v dôsledku toho zmení na kladnú (to znamená, že peniaze sa stále vrátia veriteľovi). Indický matematik Brahmagupta však už vtedy považoval záporné čísla za rovnocenné s kladnými.

V Európe sa užitočnosť záporných čísel, ako aj to, že môžu označovať dlh, objavila oveľa neskôr, teda o tisícročie. Prvá zmienka sa objavila v roku 1202 v „Knihe počítadla“ od Leonarda z Pisy (hneď hovorím, že autor knihy nemá nič spoločné so šikmou vežou v Pise, ale Fibonacciho čísla sú jeho dielom prezývka Leonarda z Pisy je Fibonacci)). Ďalej Európania dospeli k záveru, že záporné čísla môžu znamenať nielen dlhy, ale aj nedostatok čohokoľvek, no nie každý si to uvedomoval.

Takže v XVII storočí tomu Pascal veril. Ako to podľa vás zdôvodnil? To je pravda, "nič nemôže byť menej ako NIČ". Ozvenou tých čias zostáva skutočnosť, že záporné číslo a operácia odčítania sú označené rovnakým symbolom - mínus "-". A pravda: . Je číslo " " kladné, od ktorého sa odčítava, alebo záporné číslo, ku ktorému sa pridáva? ... Niečo zo série, "čo je skôr: sliepka alebo vajce?" Tu je taký druh tejto matematickej filozofie.

Záporné čísla im zabezpečili právo na existenciu s príchodom analytickej geometrie, inými slovami, keď matematici zaviedli niečo ako skutočnú os.

Od tohto momentu prišla rovnosť. Stále však bolo viac otázok ako odpovedí, napr.

pomer

Tento pomer sa nazýva Arnov paradox. Premýšľajte o tom, čo je na tom pochybné?

Poďme sa spolu rozprávať " " viac ako " ", však? Podľa logiky by teda ľavá strana podielu mala byť väčšia ako pravá strana, ale sú rovnaké... Tu je paradox.

V dôsledku toho sa matematici zhodli na tom, že Karl Gauss (áno, áno, to je ten, kto zvažoval súčet (alebo) čísel) v roku 1831 to ukončil - povedal, že záporné čísla majú rovnaké práva ako kladné a to, že sa nevzťahujú na všetko, nič neznamená, keďže na veľa vecí neplatia ani zlomky (nestáva sa, že by kopáč vykopal jamu, nedá sa kúpiť lístok do kina a pod.).

Matematici sa upokojili až v 19. storočí, keď teóriu záporných čísel vytvorili William Hamilton a Hermann Grassmann.

Takto sú kontroverzné, tieto záporné čísla.

Vznik „prázdnoty“ alebo biografia nuly.

V matematike špeciálne číslo. Na prvý pohľad to nie je nič: sčítať, odčítať - nič sa nezmení, ale stačí to pripísať vpravo k "", a výsledné číslo bude mnohonásobne väčšie ako pôvodné. Vynásobením nulou všetko zmeníme na nič, ale nemôžeme deliť „ničím“. Jedným slovom magické číslo)

História nuly je dlhá a komplikovaná. Stopa nuly sa nachádza v spisoch Číňanov v roku 2000 nášho letopočtu. a ešte skôr s Maymi. Prvé použitie symbolu nuly, ako je to dnes, bolo zaznamenané medzi gréckymi astronómami.

Existuje mnoho verzií, prečo bolo zvolené takéto označenie „nič“. Niektorí historici sa prikláňajú k názoru, že ide o omikrón, t.j. Prvé písmeno gréckeho slova pre nič je ouden. Podľa inej verzie slovo „obol“ (minca takmer žiadnej hodnoty) dalo život symbolu nuly.

Nula (alebo nula) ako matematický symbol sa prvýkrát objavuje medzi Indmi (všimnite si, že sa tam začali „vyvíjať“ záporné čísla). Prvý spoľahlivý dôkaz o písaní nuly pochádza z roku 876 a „“ je súčasťou čísla.

Aj nula prišla do Európy oneskorene – až v roku 1600 a rovnako ako záporné čísla čelila odporu (čo narobíte, sú to Európania).

„Nula bola od nepamäti často nenávidená, obávaná alebo dokonca zakázaná,“ píše americký matematik Charles Seif. Takže turecký sultán Abdul-Hamid II na konci 19. storočia. nariadil svojim cenzorom, aby vymazali vzorec vody H2O zo všetkých učebníc chémie, pričom písmeno „O“ považovali za nulu a nechceli, aby jeho iniciály boli očierňované blízkosťou opovrhnutiahodnej nuly.

Na internete nájdete vetu: „Nula je najmocnejšia sila vo vesmíre, dokáže čokoľvek! Nula vytvára v matematike poriadok a vnáša do nej aj chaos. Úplne správna pointa :)

Zhrnutie sekcie a základné vzorce

Sada celých čísel pozostáva z 3 častí:

prirodzené čísla (podrobnejšie ich zvážime nižšie);
čísla opačné k prirodzeným;
nula - " "

Označuje sa množina celých čísel písmeno Z.

1. Prirodzené čísla

Prirodzené čísla sú čísla, ktoré používame na počítanie predmetov.

Množina prirodzených čísel je označená písmeno N.

Pri operáciách s celými číslami budete potrebovať schopnosť nájsť GCD a LCM.

Najväčší spoločný deliteľ (GCD)

Na nájdenie NOD potrebujete:

Rozložte čísla na prvočiniteľa (na čísla, ktoré sa nedajú rozdeliť ničím iným ako samým sebou alebo napr. atď.).
Zapíšte si faktory, ktoré sú súčasťou oboch čísel.
Vynásobte ich.

Najmenší spoločný násobok (LCM)

Na nájdenie NOC potrebujete:

Faktorizujte čísla na prvočísla (veľmi dobre to už viete).
Napíšte faktory zahrnuté do rozšírenia jedného z čísel (je lepšie vziať najdlhší reťazec).
Pridajte k nim chýbajúce faktory z expanzií zostávajúcich čísel.
Nájdite súčin výsledných faktorov.

2. Záporné čísla

Toto sú čísla, ktoré sú opačné ako prirodzené čísla, to znamená:

Teraz chcem od teba počuť...

Dúfam, že ste ocenili super užitočné „triky“ tejto časti a pochopili, ako vám pomôžu pri skúške.

A čo je dôležitejšie, v živote. Nehovorím o tom, ale verte, že toto je. Schopnosť počítať rýchlo a bez chýb zachraňuje v mnohých životných situáciách.

Teraz si na rade ty!

Napíšte, budete pri výpočtoch používať metódy zoskupovania, kritériá deliteľnosti, GCD a LCM?

Možno ste ich už použili? kde a ako?

Možno máte otázky. Alebo návrhy.

Napíšte do komentárov, ako sa vám článok páči.

A veľa šťastia pri skúškach!

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, potom ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak ste dočítali až do konca, tak ste v tých 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Prišli ste na teóriu na túto tému. A opakujem, je to ... je to jednoducho super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné zloženie skúšky, za prijatie do ústavu s rozpočtom a HLAVNE na celý život.

Nebudem ťa o ničom presviedčať, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na skúške lepší ako ostatní a v konečnom dôsledku ... šťastnejší?

VYPLŇTE SI RUKU, RIEŠTE PROBLÉMY V TEJTO TÉME.

Na skúške sa vás nebudú pýtať na teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo ju jednoducho neurobíte včas.

Je to ako v športe – treba opakovať veľakrát, aby ste vyhrali.

Nájdite zbierku kdekoľvek chcete nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Naše úlohy môžete využiť (nie nevyhnutne) a určite ich odporúčame.

Na to, aby ste mohli pomôcť s našimi úlohami, potrebujete pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám v tomto článku -
Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch tutoriálu - Kúpte si učebnicu - 499 rubľov

Áno, takýchto článkov máme v učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný počas celej životnosti stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neprestávajte s teóriou.

„Rozumiem“ a „Viem, ako to vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Sekcie