Všeobecná rovnica roviny online. Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi

V rámci tohto materiálu budeme analyzovať, ako nájsť rovnicu roviny, ak poznáme súradnice jej troch rôznych bodov, ktoré neležia na jednej priamke. Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať, čo je pravouhlý súradnicový systém v trojrozmernom priestore. Najprv predstavíme základný princíp tejto rovnice a ukážeme, ako ju použiť pri riešení konkrétnych problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Na začiatok si musíme zapamätať jednu axiómu, ktorá znie takto:

Definícia 1

Ak sa tri body navzájom nezhodujú a neležia na jednej priamke, potom v trojrozmernom priestore nimi prechádza iba jedna rovina.

Inými slovami, ak máme tri rôzne body, ktorých súradnice sa nezhodujú a ktoré nemožno spojiť priamkou, potom môžeme určiť rovinu, ktorá cez ne prechádza.

Povedzme, že máme pravouhlý súradnicový systém. Označme to O x y z . Obsahuje tri body M so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3), ktoré nemožno spojiť priamo riadok. Na základe týchto podmienok môžeme zapísať rovnicu roviny, ktorú potrebujeme. Existujú dva prístupy k riešeniu tohto problému.

1. Prvý prístup používa všeobecnú rovnicu roviny. V doslovnom tvare sa zapisuje ako A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Pomocou neho môžete nastaviť v pravouhlom súradnicovom systéme určitú rovinu alfa, ktorá prechádza prvým daným bodom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Ukazuje sa, že vektor normálnej roviny α bude mať súradnice A , B , C .

Definícia N

Keď poznáme súradnice normálového vektora a súradnice bodu, ktorým rovina prechádza, môžeme zapísať všeobecnú rovnicu tejto roviny.

Od toho budeme pokračovať ďalej.

Teda podľa podmienok úlohy máme súradnice požadovaného bodu (aj troch), cez ktorý rovina prechádza. Ak chcete nájsť rovnicu, musíte vypočítať súradnice jej normálneho vektora. Označte to n → .

Pripomeňme si pravidlo: každý nenulový vektor danej roviny je kolmý na normálový vektor tej istej roviny. Potom máme, že n → bude kolmé na vektory zložené z počiatočných bodov M 1 M 2 → a M 1 M 3 → . Potom môžeme označiť n → ako vektorový súčin tvaru M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Pretože M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) a M 1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dôkazy týchto rovníc sú uvedené v článku venovanom výpočtu súradníc vektora zo súradníc bodov), potom sa ukazuje, že:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z jeden

Ak vypočítame determinant, dostaneme súradnice normálového vektora n → potrebujeme. Teraz môžeme napísať rovnicu, ktorú potrebujeme pre rovinu prechádzajúcu tromi danými bodmi.

2. Druhý prístup k nájdeniu rovnice prechádzajúcej cez M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) je založené na takom koncepte, akým je komplanarita vektorov.

Ak máme množinu bodov M (x, y, z) , tak v pravouhlej súradnicovej sústave definujú rovinu pre dané body M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ), M 3 (x 3 , y 3 , z 3) len vtedy, ak vektory M 1 M   → = (x - x 1, y - y 1, z - z 1), M 1 M 2   → = (x2-x1,y2-y1,z2-z1) a M1M3  → = (x3-x1,y3-y1,z3-z1) budú koplanárne.

Na diagrame to bude vyzerať takto:

To bude znamenať, že zmiešaný súčin vektorov M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → sa bude rovnať nule: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , keďže toto je hlavná podmienka komplanarity: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1), M 1 M 2   → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1 z2-zi) a M1M3  → = (x3-x1,y3-y1,z3-z1).

Výslednú rovnicu zapíšeme v súradnicovom tvare:

Po vypočítaní determinantu môžeme dostať rovnicu roviny, ktorú potrebujeme pre tri body, ktoré neležia na jednej priamke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), M3 (x3, y3, z3).

Z výslednej rovnice môžete prejsť na rovnicu roviny v segmentoch alebo na normálnu rovnicu roviny, ak si to vyžadujú podmienky úlohy.

V ďalšom odseku uvedieme príklady, ako sa nami naznačené prístupy realizujú v praxi.

Príklady úloh na zostavenie rovnice roviny prechádzajúcej 3 bodmi

Predtým sme identifikovali dva prístupy, ktoré možno použiť na nájdenie požadovanej rovnice. Pozrime sa, ako sa používajú pri riešení problémov a kedy si vybrať každý z nich.

Príklad 1

Sú tri body, ktoré neležia na jednej priamke, so súradnicami M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Napíšte rovnicu pre rovinu, ktorá nimi prechádza.

Riešenie

Postupne používame oba spôsoby.

1. Nájdite súradnice dvoch vektorov, ktoré potrebujeme M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 -- 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Teraz vypočítame ich vektorový súčin. V tomto prípade nebudeme popisovať výpočty determinantu:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Máme normálový vektor roviny, ktorý prechádza cez tri požadované body: n → = (- 5 , 30 , 2) . Ďalej musíme vziať jeden z bodov, napríklad M 1 (- 3 , 2 , - 1) , a napísať rovnicu pre rovinu s vektorom n → = (- 5 , 30 , 2) . Dostaneme, že: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

Toto je rovnica roviny, ktorú potrebujeme, ktorá prechádza tromi bodmi.

2. Používame iný prístup. Rovnicu pre rovinu s tromi bodmi M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3, z 3) napíšeme v nasledujúci formulár:

x - x 1 r - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tu môžete nahradiť údaje zo stavu problému. Pretože x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, v dôsledku toho dostaneme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 r + 2 z - 73

Máme rovnicu, ktorú potrebujeme.

odpoveď:- 5x + 30 rokov + 2z - 73 .

Čo ak však dané body stále ležia na tej istej priamke a potrebujeme pre ne zostaviť rovinnú rovnicu? Tu treba hneď povedať, že táto podmienka nebude úplne správna. Takýmito bodmi môže prechádzať nekonečne veľa rovín, preto je nemožné vypočítať jednu odpoveď. Uvažujme nad takýmto problémom, aby sme dokázali nesprávnosť takejto formulácie otázky.

Príklad 2

Máme pravouhlý súradnicový systém v 3D priestore obsahujúci tri body so súradnicami M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Pre rovinu, ktorá cez ňu prechádza, je potrebné napísať rovnicu.

Riešenie

Použijeme prvý spôsob a začneme výpočtom súradníc dvoch vektorov M 1 M 2 → a M 1 M 3 → . Vypočítajme ich súradnice: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Vektorový súčin sa bude rovnať:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Keďže M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , potom budú naše vektory kolineárne (prečítajte si o nich článok, ak ste zabudli na definíciu tohto pojmu). Počiatočné body M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sú teda na tej istej priamke a náš problém má nekonečne veľa možností odozvy.

Ak použijeme druhú metódu, dostaneme:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 r - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 r. + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Z výslednej rovnosti tiež vyplýva, že dané body M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) sú na tej istej priamke.

Ak chcete nájsť aspoň jednu odpoveď na tento problém z nekonečného množstva jeho možností, musíte postupovať podľa týchto krokov:

1. Napíšte rovnicu priamky M 1 M 2, M 1 M 3 alebo M 2 M 3 (v prípade potreby si pozrite materiál o tomto úkone).

2. Vezmite bod M 4 (x 4 , y 4 , z 4), ktorý neleží na priamke M 1 M 2 .

3. Napíšte rovnicu roviny, ktorá prechádza tromi rôznymi bodmi M 1, M 2 a M 4, ktoré neležia na jednej priamke.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Nech je potrebné nájsť rovnicu roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi, ktoré neležia na jednej priamke. Ak označíme ich vektory polomerov a aktuálny vektor polomerov , môžeme ľahko získať požadovanú rovnicu vo vektorovej forme. V skutočnosti musia byť vektory koplanárne (všetky ležia v požadovanej rovine). Preto sa vektor-skalárny súčin týchto vektorov musí rovnať nule:

Toto je rovnica roviny prechádzajúcej tromi danými bodmi vo vektorovej forme.

Keď sa pozrieme na súradnice, dostaneme rovnicu v súradniciach:

Ak tri dané body ležia na rovnakej priamke, potom by vektory boli kolineárne. Preto by zodpovedajúce prvky posledných dvoch riadkov determinantu v rovnici (18) boli úmerné a determinant by bol zhodne rovný nule. Preto by sa rovnica (18) stala identitou pre akékoľvek hodnoty x, y a z. Geometricky to znamená, že každým bodom priestoru prechádza rovina, v ktorej ležia aj tri dané body.

Poznámka 1. Rovnaký problém možno vyriešiť bez použitia vektorov.

Označením súradníc troch daných bodov napíšeme rovnicu ktorejkoľvek roviny prechádzajúcej prvým bodom:

Na získanie rovnice požadovanej roviny je potrebné, aby rovnica (17) bola splnená súradnicami ďalších dvoch bodov:

Z rovníc (19) je potrebné určiť pomery dvoch koeficientov k tretiemu a zistené hodnoty zadať do rovnice (17).

Príklad 1. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi.

Rovnica pre rovinu prechádzajúcu prvým z týchto bodov bude:

Podmienky, aby rovina (17) prešla cez dva ďalšie body a prvý bod, sú:

Pridaním druhej rovnice k prvej dostaneme:

Dosadením do druhej rovnice dostaneme:

Dosadením do rovnice (17) namiesto A, B, C, respektíve 1, 5, -4 (čísla im úmerné), dostaneme:

Príklad 2. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Rovnica akejkoľvek roviny prechádzajúcej bodom (0, 0, 0) bude]

Podmienky prechodu tejto roviny cez body (1, 1, 1) a (2, 2, 2) sú:

Znížením druhej rovnice o 2 vidíme, že na určenie dvoch neznámych má vzťah jednu rovnicu s

Odtiaľto sa dostávame. Ak teraz dosadíme do rovinnej rovnice namiesto jej hodnoty, zistíme:

Toto je rovnica požadovanej roviny; záleží na ľubovôli

veličiny B, C (a to z pomeru, t.j. cez tri dané body prechádza nekonečne veľa rovín (tri dané body ležia na jednej priamke).

Poznámka 2. Úloha nakreslenia roviny cez tri dané body, ktoré neležia na tej istej priamke, sa dá ľahko vyriešiť vo všeobecnej forme, ak použijeme determinanty. Pretože v rovniciach (17) a (19) koeficienty A, B, C nemôžu byť súčasne rovné nule, potom, keď tieto rovnice považujeme za homogénny systém s tromi neznámymi A, B, C, napíšeme potrebný a dostatočný podmienka existencie riešenia tohto systému, iné ako nulové (1. časť, kap. VI, § 6):

Rozšírením tohto determinantu o prvky prvého riadku dostaneme rovnicu prvého stupňa vzhľadom na aktuálne súradnice, ktorým budú vyhovovať najmä súradnice troch daných bodov.

Toto možno overiť aj priamo, ak do rovnice napísanej pomocou determinantu dosadíme súradnice ktoréhokoľvek z týchto bodov. Na ľavej strane sa získa determinant, v ktorom sú buď prvky prvého riadku nulové, alebo sú dva rovnaké riadky. Formulovaná rovnica teda predstavuje rovinu prechádzajúcu tromi danými bodmi.

V tejto lekcii sa pozrieme na to, ako používať determinant na skladanie rovinná rovnica. Ak neviete, čo je determinant, prejdite na prvú časť lekcie - " Matice a determinanty». V opačnom prípade riskujete, že v dnešnom materiáli ničomu nerozumiete.

Rovnica roviny o troch bodoch

Prečo vôbec potrebujeme rovnicu roviny? Je to jednoduché: ak to poznáme, môžeme ľahko vypočítať uhly, vzdialenosti a iné svinstvá v úlohe C2. Vo všeobecnosti je táto rovnica nevyhnutná. Preto problém formulujeme:

Úloha. V priestore sú tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke. Ich súradnice:

M = (xi, yi, zi);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Je potrebné napísať rovnicu roviny prechádzajúcej týmito tromi bodmi. A rovnica by mala vyzerať takto:

Ax + By + Cz + D = 0

kde čísla A, B, C a D sú koeficienty, ktoré v skutočnosti chcete nájsť.

Ako získať rovnicu roviny, ak sú známe iba súradnice bodov? Najjednoduchšie je dosadiť súradnice do rovnice Ax + By + Cz + D = 0. Získate systém troch rovníc, ktorý sa dá ľahko vyriešiť.

Mnoho študentov považuje toto riešenie za mimoriadne zdĺhavé a nespoľahlivé. Minuloročná skúška z matematiky ukázala, že pravdepodobnosť, že urobíte chybu vo výpočte, je naozaj vysoká.

Najpokročilejší učitelia preto začali hľadať jednoduchšie a elegantnejšie riešenia. A našli to! Pravda, získaná technika skôr súvisí s vyššou matematikou. Osobne som sa musel prehrabať celým federálnym zoznamom učebníc, aby som sa uistil, že máme právo používať túto techniku ​​bez akéhokoľvek zdôvodnenia a dôkazov.

Rovnica roviny cez determinant

Dosť bolo ohovárania, poďme na vec. Na začiatok veta o tom, ako súvisí determinant matice a rovnica roviny.

Veta. Nech sú dané súradnice troch bodov, cez ktoré treba nakresliť rovinu: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Potom možno rovnicu tejto roviny zapísať z hľadiska determinantu:

Skúsme napríklad nájsť pár rovín, ktoré sa skutočne vyskytujú v problémoch C2. Pozrite sa, ako rýchlo sa všetko počíta:

Ai = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Zložíme determinant a prirovnáme ho k nule:

Otvorenie determinantu:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 01 (z − 1) + 10 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Ako vidíte, pri výpočte čísla d som rovnicu trochu upravil, aby premenné x, y a z boli v správnom poradí. To je všetko! Rovnica roviny je pripravená!

Úloha. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi:

A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);

Okamžite nahraďte súradnice bodov v determinante:

Opätovné rozšírenie determinantu:

a = 11 z + 01 x + 10 y = z;
b = 11 x + 00 z + 11 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Takže opäť získame rovinnú rovnicu! V poslednom kroku som opäť musel zmeniť znaky v ňom, aby som získal „krásnejší“ vzorec. V tomto riešení to nie je potrebné, ale aj tak sa to odporúča - aby sa zjednodušilo ďalšie riešenie problému.

Ako vidíte, teraz je oveľa jednoduchšie napísať rovnicu roviny. Body dosadíme do matice, vypočítame determinant - a je to, rovnica je hotová.

Toto by mohol byť koniec lekcie. Mnoho študentov však neustále zabúda, čo je vo vnútri determinantu. Napríklad, ktorý riadok obsahuje x 2 alebo x 3 a ktorý riadok iba x . Aby sme sa s tým konečne vysporiadali, pozrime sa, odkiaľ každé číslo pochádza.

Odkiaľ pochádza vzorec s determinantom?

Poďme teda zistiť, odkiaľ pochádza taká drsná rovnica s determinantom. To vám pomôže zapamätať si ho a úspešne ho aplikovať.

Všetky roviny, ktoré sa vyskytujú v úlohe C2, sú definované tromi bodmi. Tieto body sú vždy vyznačené na výkrese, prípadne sú naznačené aj priamo v texte problému. V každom prípade, aby sme zostavili rovnicu, musíme zapísať ich súradnice:

M = (xi, yi, zi);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Zvážte ešte jeden bod na našej rovine s ľubovoľnými súradnicami:

T = (x, y, z)

Zoberieme ľubovoľný bod z prvých troch (napríklad bod M ) a nakreslíme z neho vektory do každého z troch zostávajúcich bodov. Dostaneme tri vektory:

MN = (x2 - x 1, y2 - y1, z2 - zi);
MK = (x3 - x 1, y3 - y1, z3 - zi);
MT = (x-x1,y-y1,z-z1).

Teraz z týchto vektorov urobme štvorcovú maticu a prirovnajme jej determinant k nule. Súradnice vektorov sa stanú riadkami matice - a dostaneme rovnaký determinant, ktorý je uvedený vo vete:

Tento vzorec znamená, že objem krabice postavenej na vektoroch MN , MK a MT je rovný nule. Preto všetky tri vektory ležia v rovnakej rovine. Najmä ľubovoľný bod T = (x, y, z) je presne to, čo sme hľadali.

Nahradenie bodov a riadkov determinantu

Determinanty majú niektoré úžasné vlastnosti, vďaka ktorým je to ešte jednoduchšie riešenie úlohy C2. Napríklad je pre nás jedno, z ktorého bodu budeme kresliť vektory. Preto nasledujúce determinanty dávajú rovnakú rovinnú rovnicu ako vyššie:

Môžete tiež vymeniť riadky determinantu. Rovnica zostane nezmenená. Mnohí ľudia napríklad radi píšu čiaru so súradnicami bodu T = (x; y; z) úplne hore. Prosím, ak je to pre vás výhodné:

Niekoho mätie, že jedna z čiar obsahuje premenné x , y a z , ktoré pri dosadzovaní bodov nezmiznú. Ale nemali by zmiznúť! Nahradením čísel do determinantu by ste mali dostať nasledujúcu konštrukciu:

Potom sa determinant rozšíri podľa schémy uvedenej na začiatku hodiny a získa sa štandardná rovnica roviny:

Ax + By + Cz + D = 0

Pozrite si príklad. Je posledný v dnešnej lekcii. Zámerne vymením čiary, aby som sa uistil, že odpoveďou bude rovnaká rovnica roviny.

Úloha. Napíšte rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1,1,0);
D1 = (0, 1, 1).

Takže zvážime 4 body:

B1 = (1, 0, 1);
C = (1,1,0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Najprv urobme štandardný determinant a prirovnajme ho k nule:

Otvorenie determinantu:

a = 01 (z - 1) + 10 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je všetko, dostali sme odpoveď: x + y + z − 2 = 0 .

Teraz preusporiadame pár riadkov v determinante a uvidíme, čo sa stane. Napríklad napíšme riadok s premennými x, y, z nie dole, ale hore:

Rozšírime výsledný determinant znova:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 10 + y (−1) (−1) + (x − 1) 10 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dostali sme presne rovnakú rovinnú rovnicu: x + y + z − 2 = 0. Takže v skutočnosti nezáleží na poradí riadkov. Zostáva zapísať odpoveď.

Takže sme videli, že rovnica roviny nezávisí od postupnosti priamok. Je možné vykonať podobné výpočty a dokázať, že rovnica roviny nezávisí od bodu, ktorého súradnice odpočítame od ostatných bodov.

Vo vyššie uvedenom probléme sme použili bod B 1 = (1, 0, 1), ale bolo celkom možné vziať C = (1, 1, 0) alebo D 1 = (0, 1, 1). Vo všeobecnosti akýkoľvek bod so známymi súradnicami ležiaci v požadovanej rovine.

Aby mohla byť jedna rovina vedená cez ľubovoľné tri body v priestore, je potrebné, aby tieto body neležali na jednej priamke.

Uvažujme body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v spoločnej karteziánskej súradnicovej sústave.

Aby ľubovoľný bod M(x, y, z) ležal v rovnakej rovine ako body M 1 , M 2 , M 3 , musia byť vektory koplanárne.

(
) = 0

Touto cestou,

Rovnica roviny prechádzajúcej tromi bodmi:

Rovnica roviny vzhľadom na dva body a vektor kolineárny s rovinou.

Nech body M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) a vektor
.

Zostavme rovnicu roviny prechádzajúcej danými bodmi M 1 a M 2 a ľubovoľným bodom M (x, y, z) rovnobežným s vektorom .

vektory
a vektor
musia byť koplanárne, t.j.

(
) = 0

Rovinná rovnica:

Rovnica roviny vzhľadom na jeden bod a dva vektory,

kolineárna rovina.

Nech sú dané dva vektory
a
, kolineárne roviny. Potom pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine, vektory
musia byť koplanárne.

Rovinná rovnica:

Rovinná rovnica podľa bodu a normálového vektora .

Veta. Ak je bod M daný v priestore 0 (X 0 , r 0 , z 0 ), potom rovnica roviny prechádzajúcej bodom M 0 kolmo na normálny vektor (A, B, C) vyzerá ako:

A(X – X 0 ) + B(r – r 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dôkaz. Pre ľubovoľný bod M(x, y, z) patriaci rovine zostavíme vektor . Pretože vektor - normálový vektor, potom je kolmý na rovinu, a teda kolmý na vektor
. Potom skalárny súčin

= 0

Tak dostaneme rovnicu roviny

Veta bola dokázaná.

Rovnica roviny v segmentoch.

Ak je vo všeobecnej rovnici Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, vydeľte obe časti (-D)

,

nahradenie
, dostaneme rovnicu roviny v segmentoch:

Čísla a, b, c sú priesečníky roviny s osami x, y, z.

Rovinná rovnica vo vektorovom tvare.

kde

- vektor polomeru aktuálneho bodu M(x, y, z),

Jednotkový vektor, ktorý má smer kolmice klesnutý k rovine z počiatku.

,  a  sú uhly, ktoré zviera tento vektor s osami x, y, z.

p je dĺžka tejto kolmice.

V súradniciach má táto rovnica tvar:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Vzdialenosť od bodu k rovine.

Vzdialenosť od ľubovoľného bodu M 0 (x 0, y 0, z 0) k rovine Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 je:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P (4; -3; 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Takže A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, použite vzorec:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej cez dva body P(2; 0; -1) a

Q(1; -1; 3) je kolmá na rovinu 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normálny vektor k rovine 3x + 2y - z + 5 = 0
rovnobežne s požadovanou rovinou.

Dostaneme:

Príklad. Nájdite rovnicu roviny prechádzajúcej bodmi A(2, -1, 4) a

В(3, 2, -1) kolmo na rovinu X + pri + 2z – 3 = 0.

Požadovaná rovinná rovnica má tvar: A X+ B r+ C z+ D = 0, normálový vektor k tejto rovine (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) patrí do roviny. Rovina, ktorá je nám daná, kolmá na požadovanú, má normálny vektor (1, 1, 2). Pretože body A a B patria obom rovinám a roviny sú teda navzájom kolmé

Takže normálny vektor (11, -7, -2). Pretože bod A patrí do želanej roviny, potom jeho súradnice musia spĺňať rovnicu tejto roviny, t.j. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Celkovo dostaneme rovnicu roviny: 11 X - 7r – 2z – 21 = 0.

Príklad. Nájdite rovnicu roviny s vedomím, že bod P(4, -3, 12) je základňou kolmice spadnutej z počiatku do tejto roviny.

Nájdenie súradníc normálového vektora
= (4, -3, 12). Požadovaná rovnica roviny má tvar: 4 X – 3r + 12z+ D = 0. Aby sme našli koeficient D, dosadíme súradnice bodu Р do rovnice:

16 + 9 + 144 + D = 0

Celkovo dostaneme požadovanú rovnicu: 4 X – 3r + 12z – 169 = 0

Príklad. Vzhľadom na súradnice vrcholov pyramídy A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Nájdite dĺžku hrany A 1 A 2 .

Nájdite uhol medzi hranami A 1 A 2 a A 1 A 4.

Nájdite uhol medzi hranou A 1 A 4 a plochou A 1 A 2 A 3 .

Najprv nájdite normálový vektor k ploche A 1 A 2 A 3 ako krížový produkt vektorov
a
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Nájdite uhol medzi normálovým vektorom a vektorom
.

-4 – 4 = -8.

Požadovaný uhol  medzi vektorom a rovinou bude rovný  = 90 0 - .

Nájdite oblasť tváre A 1 A 2 A 3 .

Nájdite objem pyramídy.

Nájdite rovnicu roviny А 1 А 2 А 3 .

Vzorec používame na rovnicu roviny prechádzajúcej tromi bodmi.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z-4 = 0;

Pri použití PC verzie „ Kurz vyššej matematiky” môžete spustiť program, ktorý vyrieši vyššie uvedený príklad pre ľubovoľné súradnice vrcholov pyramídy.

Program spustíte dvojitým kliknutím na ikonu:

V okne programu, ktoré sa otvorí, zadajte súradnice vrcholov pyramídy a stlačte Enter. Všetky rozhodovacie body je teda možné získať jeden po druhom.

Poznámka: Na spustenie programu musíte mať na svojom počítači nainštalovaný Maple ( Waterloo Maple Inc.), akúkoľvek verziu začínajúcu MapleV Release 4.