Polygón štvorcový kosoštvorcový trojuholník je variáciou. Lekcia „Mnohouholníky

Časť roviny ohraničená uzavretou prerušovanou čiarou sa nazýva mnohouholník.

Segmenty tejto prerušovanej čiary sa nazývajú strany mnohouholník. AB, BC, CD, DE, EA (obr. 1) - strany mnohouholníka ABCDE. Súčet všetkých strán mnohouholníka sa nazýva jeho obvod.

Polygón je tzv konvexné, ak sa nachádza na jednej strane ktorejkoľvek z jej strán, neobmedzene presahuje oba vrcholy.

Polygón MNPKO (obr. 1) nebude konvexný, nakoľko sa nachádza na viac ako jednej strane priamky KP.

Budeme brať do úvahy iba konvexné polygóny.

Uhly, ktoré zvierajú dve susedné strany mnohouholníka, sa nazývajú jeho interné rohy a ich vrchy - polygónové vrcholy.

Úsečka spájajúca dva nesusediace vrcholy mnohouholníka sa nazýva uhlopriečka mnohouholníka.

AC, AD - uhlopriečky mnohouholníka (obr. 2).

Rohy susediace s vnútornými rohmi mnohouholníka sa nazývajú vonkajšie rohy mnohouholníka (obr. 3).

V závislosti od počtu uhlov (stran) sa mnohouholník nazýva trojuholník, štvoruholník, päťuholník atď.

Dva polygóny sa považujú za rovnaké, ak sa dajú prekrývať.

Vpísané a ohraničené mnohouholníky

Ak všetky vrcholy mnohouholníka ležia na kružnici, potom sa mnohouholník nazýva zapísané do kruhu a do kruhu popísané v blízkosti mnohouholníka (obr.).

Ak sa všetky strany mnohouholníka dotýkajú kružnice, nazýva sa mnohouholník popísané okolo kruhu a kruh sa nazýva zapísané do mnohouholníka (obr.).

Podobnosť polygónov

Dva polygóny s rovnakým názvom sa nazývajú podobné, ak sú uhly jedného z nich rovnaké ako uhly druhého a podobné strany polygónov sú proporcionálne.

Polygóny s rovnakým počtom strán (uhlov) sa nazývajú polygóny s rovnakým názvom.

Strany podobných mnohouholníkov sa nazývajú podobné, ak spájajú vrcholy zodpovedajúcich rovnakých uhlov (obr.).

Takže napríklad, aby bol mnohouholník ABCDE podobný mnohouholníku A'B'C'D'E', je potrebné, aby: E = ∠E' a navyše AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'.

Pomer obvodov podobných mnohouholníkov

Najprv zvážte vlastnosť série rovnakých pomerov. Majme napríklad vzťahy: 2 / 1 = 4 / 2 = 6 / 3 = 8 / 4 =2.

Nájdite súčet predchádzajúcich členov týchto vzťahov, potom - súčet ich nasledujúcich členov a nájdime pomer prijatých súm, dostaneme:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

To isté dostaneme, ak vezmeme niekoľko ďalších vzťahov, napríklad: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3 a potom zistíme pomer týchto súčtov , dostaneme:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

V oboch prípadoch je súčet predchádzajúcich členov radu rovnakých vzťahov vo vzťahu k súčtu nasledujúcich členov toho istého radu, keďže predchádzajúci člen ktoréhokoľvek z týchto vzťahov súvisí s jeho nasledujúcim.

Túto vlastnosť sme odvodili zvážením množstva numerických príkladov. Dá sa to vyvodiť striktne a všeobecne.

Teraz zvážte pomer obvodov podobných mnohouholníkov.

Nech je mnohouholník ABCDE podobný mnohouholníku A'B'C'D'E' (obr.).

Z podobnosti týchto polygónov vyplýva, že

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Na základe vlastnosti radu rovnakých vzťahov, ktoré sme odvodili, môžeme písať:

Súčet predchádzajúcich členov vzťahov, ktoré sme vzali, je obvod prvého mnohouholníka (P) a súčet nasledujúcich členov týchto vzťahov je obvodom druhého mnohouholníka (P '), takže P / P ' = AB / A'B'.

teda obvody podobných mnohouholníkov sú spojené ako ich zodpovedajúce strany.

Pomer plôch podobných polygónov

Nech sú ABCDE a A'B'C'D'E' podobné polygóny (obr.).

Je známe, že ΔABC ~ ΔA'B'C' ΔACD ~ ΔA'C'D' a ΔADE ~ AA'D'E'.

okrem toho

;

Keďže druhé pomery týchto proporcií sú rovnaké, čo vyplýva z podobnosti mnohouholníkov

Pomocou vlastnosti radu rovnakých pomerov dostaneme:

Alebo

kde S a S' sú plochy týchto podobných mnohouholníkov.

teda plochy podobných mnohouholníkov súvisia ako štvorce podobných strán.

Výsledný vzorec je možné previesť do tohto tvaru: S / S '= (AB / A'B ') 2

Oblasť ľubovoľného mnohouholníka

Nech je potrebné vypočítať plochu ľubovoľného štvoruholníka ABDC (obr.).

Nakreslíme si do nej uhlopriečku, napríklad AD. Dostaneme dva trojuholníky ABD a ACD, ktorých plochy vieme vypočítať. Potom nájdeme súčet obsahov týchto trojuholníkov. Výsledný súčet bude vyjadrovať plochu daného štvoruholníka.

Ak potrebujete vypočítať plochu päťuholníka, potom postupujeme rovnakým spôsobom: nakreslíme diagonály z jedného z vrcholov. Získame tri trojuholníky, ktorých plochy vieme vypočítať. Takže môžeme nájsť oblasť tohto päťuholníka. To isté robíme pri výpočte plochy ľubovoľného mnohouholníka.

Polygónová projekčná plocha

Pripomeňme si, že uhol medzi priamkou a rovinou je uhol medzi danou priamkou a jej priemetom do roviny (obr.).

Veta. Plocha ortogonálneho priemetu mnohouholníka do roviny sa rovná ploche premietnutého mnohouholníka vynásobenej kosínom uhla vytvoreného rovinou mnohouholníka a rovinou premietania.

Každý mnohouholník možno rozdeliť na trojuholníky, ktorých súčet plôch sa rovná ploche mnohouholníka. Preto stačí dokázať vetu o trojuholníku.

Nech sa ΔABC premietne do roviny R. Zvážte dva prípady:

a) jedna zo strán ΔABS je rovnobežná s rovinou R;

b) žiadna zo strán ΔABC nie je rovnobežná R.

Zvážte prvý prípad: nech [AB] || R.

Nakreslite rovinu (AB). R 1 || R a ortogonálne premietnite ΔABC na R 1 a ďalej R(ryža); dostaneme ΔABC 1 a ΔA’B’C’.

Podľa vlastnosti projekcie máme ΔABC 1 (cong) ΔA’B’C‘, a preto

S ∆ ABC1 = S ∆ A'B'C'

Nakreslíme ⊥ a úsečku D 1 C 1 . Potom ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ je uhol medzi rovinou ΔABC a rovinou R jeden . Takže

S ∆ ABC1 = 1 / 2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S ∆ ABC cos φ

a preto S Δ A'B'C' = S Δ ABC cos φ.

Prejdime k úvahe druhý prípad. Nakreslite rovinu R 1 || R cez tento vrchol ΔАВС, vzdialenosť od ktorej k rovine R najmenší (nech je to vrchol A).

Poďme navrhnúť ΔABC na rovine R 1 a R(ryža); nech sú jej projekcie ΔAB 1 C 1 a ΔA’B’C’.

Nech (BC) ∩ p 1 = D. Potom

S Δ A'B'C' = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ

V tejto lekcii začneme novú tému a predstavíme pre nás nový pojem – „polygón“. Pozrieme sa na základné pojmy spojené s polygónmi: strany, vrcholy, rohy, konvexnosť a nekonvexnosť. Potom dokážeme najdôležitejšie fakty, ako je veta o súčte vnútorných uhlov mnohouholníka, veta o súčte vonkajších uhlov mnohouholníka. Výsledkom je, že sa priblížime k štúdiu špeciálnych prípadov mnohouholníkov, o ktorých budeme uvažovať v budúcich lekciách.

Téma: Štvoruholníky

Lekcia: Mnohouholníky

V priebehu geometrie študujeme vlastnosti geometrických tvarov a už sme zvážili najjednoduchšie z nich: trojuholníky a kruhy. Zároveň sme diskutovali aj o konkrétnych špeciálnych prípadoch týchto obrazcov, ako sú pravouhlé, rovnoramenné a pravidelné trojuholníky. Teraz je čas hovoriť o všeobecnejších a zložitejších tvaroch - polygóny.

So špeciálnym prípadom polygóny už poznáme - ide o trojuholník (pozri obr. 1).

Ryža. 1. Trojuholník

Už samotný názov zdôrazňuje, že ide o figúrku, ktorá má tri rohy. Preto v mnohouholník môže ich byť veľa, t.j. viac ako tri. Nakreslíme napríklad päťuholník (pozri obr. 2), t.j. figúrka s piatimi rohmi.

Ryža. 2. Pentagon. Konvexný mnohouholník

Definícia.Polygón- obrazec pozostávajúci z niekoľkých bodov (viac ako dvoch) a zodpovedajúceho počtu segmentov, ktoré ich spájajú do série. Tieto body sa nazývajú vrcholy polygón a segmenty - strany. V tomto prípade žiadne dve susedné strany neležia na rovnakej priamke a žiadne dve nesusediace strany sa nepretínajú.

Definícia.pravidelný mnohouholník je konvexný mnohouholník, v ktorom sú všetky strany a uhly rovnaké.

akýkoľvek mnohouholník rozdeľuje rovinu na dve oblasti: vnútornú a vonkajšiu. Interiér je označovaný aj ako mnohouholník.

Inými slovami, napríklad, keď hovoria o päťuholníku, majú na mysli celú jeho vnútornú oblasť aj hranicu. A do vnútornej oblasti patria aj všetky body, ktoré ležia vo vnútri mnohouholníka, t.j. bod tiež patrí do päťuholníka (pozri obr. 2).

Polygóny sa niekedy nazývajú aj n-uholníky, aby sa zdôraznilo, že sa uvažuje o všeobecnom prípade s neznámym počtom rohov (n kusov).

Definícia. Polygónový obvod je súčet dĺžok strán mnohouholníka.

Teraz sa musíme zoznámiť s typmi polygónov. Delia sa na konvexné a nekonvexné. Napríklad polygón znázornený na obr. 2 je konvexný a na obr. 3 nekonvexné.

Ryža. 3. Nekonvexný mnohouholník

Definícia 1. Polygón volal konvexné, ak pri kreslení priamky cez ktorúkoľvek jej stranu, celú mnohouholník leží len na jednej strane tejto čiary. nekonvexné sú všetky ostatné polygóny.

Je ľahké si predstaviť, že pri predĺžení ktorejkoľvek strany päťuholníka na obr. 2 to všetko bude na jednej strane tejto priamky, t.j. je vypuklý. Ale pri kreslení priamky cez štvoruholník na obr. 3 už vidíme, že ho rozdeľuje na dve časti, t.j. je nekonvexný.

Existuje však iná definícia konvexnosti mnohouholníka.

Definícia 2. Polygón volal konvexné ak pri výbere ľubovoľných dvoch jeho vnútorných bodov a ich spojení s úsečkou sú všetky body úsečky zároveň vnútornými bodmi mnohouholníka.

Ukážku použitia tejto definície môžeme vidieť na príklade konštrukcie segmentov na obr. 2 a 3.

Definícia. Uhlopriečka Mnohouholník je akýkoľvek segment, ktorý spája dva nesusediace vrcholy.

Na opísanie vlastností mnohouholníkov existujú dve najdôležitejšie vety o ich uhloch: Veta o súčte vnútorného uhla konvexného mnohouholníka a Veta o súčte vonkajšieho uhla konvexného mnohouholníka. Zvážme ich.

Veta. Na súčte vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka (n-gon).

Kde je počet jeho uhlov (stran).

Dôkaz 1. Znázornime na obr. 4 konvexný n-uholník.

Ryža. 4. Konvexný n-uholník

Nakreslite všetky možné uhlopriečky z vrcholu. Rozdeľujú n-uholník na trojuholníky, pretože každá zo strán mnohouholníka tvorí trojuholník, okrem strán susediacich s vrcholom. Z obrázku je ľahké vidieť, že súčet uhlov všetkých týchto trojuholníkov sa bude rovnať súčtu vnútorných uhlov n-uholníka. Keďže súčet uhlov ľubovoľného trojuholníka je , potom súčet vnútorných uhlov n-uholníka je:

Q.E.D.

Dôkaz 2. Ďalší dôkaz tejto vety je tiež možný. Nakreslíme podobný n-uholník na obr. 5 a pripojte ktorýkoľvek z jeho vnútorných bodov ku všetkým vrcholom.

Ryža. 5.

Dostali sme rozdelenie n-uholníka na n trojuholníkov (koľko strán, toľko trojuholníkov). Súčet všetkých ich uhlov sa rovná súčtu vnútorných uhlov mnohouholníka a súčtu uhlov vo vnútornom bode a toto je uhol. Máme:

Q.E.D.

Osvedčené.

Podľa dokázanej vety je vidieť, že súčet uhlov n-uholníka závisí od počtu jeho strán (na n). Napríklad v trojuholníku a súčet uhlov je . V štvoruholníku a súčet uhlov - atď.

Veta. Na súčte vonkajších uhlov konvexného mnohouholníka (n-gon).

Kde je počet jej rohov ( strán) a , ..., sú vonkajšie rohy.

Dôkaz. Nakreslíme konvexný n-uholník na obr. 6 a označujú jeho vnútorný a vonkajší uhol.

Ryža. 6. Konvexný n-uholník s vyznačenými vonkajšími rohmi

Pretože vonkajší roh je spojený s vnútorným ako susediaci a podobne aj pre ostatné vonkajšie rohy. potom:

Pri transformáciách sme použili už osvedčenú vetu o súčte vnútorných uhlov n-uholníka.

Osvedčené.

Z dokázanej vety vyplýva zaujímavý fakt, že súčet vonkajších uhlov konvexného n-uholníka sa rovná na počte jeho uhlov (stran). Mimochodom, na rozdiel od súčtu vnútorných uhlov.

Bibliografia

1. Aleksandrov A.D. atď. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometria, 8. ročník. - M.: Vzdelávanie, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometria, 8. ročník. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com().

Domáca úloha

Trojuholník, štvorec, šesťuholník - tieto postavy pozná takmer každý. Nie každý však vie, čo je to pravidelný mnohouholník. Ale to je všetko rovnaké Pravidelný mnohouholník sa nazýva ten, ktorý má rovnaké uhly a strany. Existuje veľa takýchto figúrok, ale všetky majú rovnaké vlastnosti a platia pre ne rovnaké vzorce.

Vlastnosti pravidelných mnohouholníkov

Akýkoľvek pravidelný mnohouholník, či už je to štvorec alebo osemuholník, môže byť vpísaný do kruhu. Táto základná vlastnosť sa často využíva pri konštrukcii figúry. Okrem toho môže byť kruh vpísaný aj do mnohouholníka. V tomto prípade sa počet bodov kontaktu bude rovnať počtu jeho strán. Dôležité je, že kružnica vpísaná do pravidelného mnohouholníka bude mať s ním spoločný stred. Tieto geometrické útvary podliehajú rovnakým vetám. Ľubovoľná strana pravidelného n-uholníka je spojená s polomerom kružnice opísanej okolo nej R. Preto ju možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca: a = 2R ∙ sin180°. Cez môžete nájsť nielen strany, ale aj obvod polygónu.

Ako zistiť počet strán pravidelného mnohouholníka

Každý pozostáva z určitého počtu navzájom rovnakých segmentov, ktoré po spojení tvoria uzavretú čiaru. V tomto prípade majú všetky rohy vytvorenej figúry rovnakú hodnotu. Polygóny sa delia na jednoduché a zložité. Do prvej skupiny patrí trojuholník a štvorec. Zložité polygóny majú viac strán. Patria k nim aj postavičky v tvare hviezdy. V prípade zložitých pravidelných mnohouholníkov sa strany nachádzajú vpísaním do kruhu. Dajme dôkaz. Nakreslite pravidelný mnohouholník s ľubovoľným počtom strán n. Opíšte kruh okolo neho. Zadajte polomer R. Teraz si predstavte, že je daný nejaký n-uholník. Ak body jeho uhlov ležia na kruhu a sú si navzájom rovné, strany možno nájsť podľa vzorca: a = 2R ∙ sinα: 2.

Zistenie počtu strán vpísaného pravouhlého trojuholníka

Rovnostranný trojuholník je pravidelný mnohouholník. Platia pre ňu rovnaké vzorce ako pre štvorec a n-uholník. Trojuholník sa bude považovať za správny, ak má strany rovnakej dĺžky. V tomto prípade sú uhly 60⁰. Zostrojte trojuholník s danou dĺžkou strany a. Keď poznáte jeho stred a výšku, môžete nájsť hodnotu jeho strán. Na tento účel použijeme metódu hľadania pomocou vzorca a \u003d x: cosα, kde x je medián alebo výška. Keďže všetky strany trojuholníka sú rovnaké, dostaneme a = b = c. Potom platí nasledujúce tvrdenie: a = b = c = x: cosα. Podobne môžete nájsť hodnotu strán v rovnoramennom trojuholníku, ale x bude daná výška. Zároveň by sa mala premietať striktne na základňu postavy. Keď teda poznáme výšku x, nájdeme stranu a rovnoramenného trojuholníka pomocou vzorca a \u003d b \u003d x: cosα. Po zistení hodnoty a môžete vypočítať dĺžku základne c. Aplikujme Pytagorovu vetu. Budeme hľadať hodnotu polovice základne c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Potom c = 2xtanα. Takýmto jednoduchým spôsobom môžete zistiť počet strán akéhokoľvek vpísaného mnohouholníka.

Výpočet strán štvorca vpísaného do kruhu

Ako každý iný vpísaný pravidelný mnohouholník, štvorec má rovnaké strany a uhly. Platia preň rovnaké vzorce ako pre trojuholník. Strany štvorca môžete vypočítať pomocou hodnoty uhlopriečky. Zvážme túto metódu podrobnejšie. Je známe, že uhlopriečka pretína uhol. Spočiatku bola jeho hodnota 90 stupňov. Po rozdelení teda vzniknú dve, ktorých uhly pri základni budú rovné 45 stupňom. Každá strana štvorca bude teda rovnaká, to znamená: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kde e je uhlopriečka štvorca alebo základňa po rozdelení vznikol pravouhlý trojuholník. Toto nie je jediný spôsob, ako nájsť strany štvorca. Vpíšme túto postavu do kruhu. Keď poznáme polomer tohto kruhu R, nájdeme stranu štvorca. Vypočítame to takto a4 = R√2. Polomery pravidelných mnohouholníkov sa vypočítavajú podľa vzorca R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), kde a je dĺžka strany.

Ako vypočítať obvod n-uholníka

Obvod n-uholníka je súčtom všetkých jeho strán. Je ľahké to vypočítať. Aby ste to dosiahli, musíte poznať hodnoty všetkých strán. Pre niektoré typy polygónov existujú špeciálne vzorce. Umožňujú vám nájsť obvod oveľa rýchlejšie. Je známe, že každý pravidelný mnohouholník má rovnaké strany. Preto na výpočet jeho obvodu stačí poznať aspoň jeden z nich. Vzorec bude závisieť od počtu strán obrázku. Vo všeobecnosti to vyzerá takto: P \u003d an, kde a je hodnota strany a n je počet uhlov. Napríklad, ak chcete nájsť obvod pravidelného osemuholníka so stranou 3 cm, musíte ho vynásobiť číslom 8, teda P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Pre šesťuholník so stranou 5 cm vypočítame takto: P = 5 ∙ 6 = 30 cm.A tak pre každý mnohouholník.

Nájdenie obvodu rovnobežníka, štvorca a kosoštvorca

Podľa toho, koľko strán má pravidelný mnohouholník, sa vypočíta jeho obvod. Vďaka tomu je úloha oveľa jednoduchšia. Na rozdiel od iných figúrok totiž v tomto prípade netreba hľadať všetky jeho strany, stačí len jedna. Rovnakým princípom nájdeme obvod štvoruholníkov, teda štvorca a kosoštvorca. Napriek tomu, že ide o rôzne čísla, vzorec pre ne je rovnaký P = 4a, kde a je strana. Vezmime si príklad. Ak je strana kosoštvorca alebo štvorca 6 cm, potom nájdeme obvod takto: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rovnobežník má iba opačné strany. Preto sa jeho obvod zisťuje pomocou inej metódy. Potrebujeme teda poznať dĺžku a a šírku b obrázku. Potom použijeme vzorec P \u003d (a + c) ∙ 2. Rovnobežník, v ktorom sú všetky strany a uhly medzi nimi rovnaké, sa nazýva kosoštvorec.

Nájdenie obvodu rovnostranného a pravouhlého trojuholníka

Obvod toho správneho možno nájsť podľa vzorca P \u003d 3a, kde a je dĺžka strany. Ak nie je známy, možno ho nájsť prostredníctvom mediánu. V pravouhlom trojuholníku sú rovnaké iba dve strany. Základ možno nájsť prostredníctvom Pytagorovej vety. Keď budú známe hodnoty všetkých troch strán, vypočítame obvod. Dá sa nájsť použitím vzorca P \u003d a + b + c, kde a a b sú rovnaké strany a c je základ. Pripomeňme, že v rovnoramennom trojuholníku a \u003d b \u003d a teda a + b \u003d 2a, potom P \u003d 2a + c. Napríklad strana rovnoramenného trojuholníka je 4 cm, nájdite jeho základňu a obvod. Hodnotu prepony vypočítame podľa Pytagorovej vety c \u003d √a 2 + v 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Teraz vypočítame obvod P \u003d 4 + 5 2 . u003d 13,65 cm.

Ako nájsť uhly pravidelného mnohouholníka

Pravidelný mnohouholník sa v našom živote vyskytuje každý deň, napríklad obyčajný štvorec, trojuholník, osemuholník. Zdalo by sa, že nie je nič jednoduchšie, ako si túto postavu postaviť sami. Ale to je len na prvý pohľad. Aby ste mohli zostrojiť akýkoľvek n-uholník, potrebujete poznať hodnotu jeho uhlov. Ale ako ich nájdete? Dokonca aj vedci staroveku sa pokúšali postaviť pravidelné polygóny. Hádali, že ich zapadnú do kruhov. A potom boli na ňom vyznačené potrebné body spojené rovnými čiarami. Pre jednoduché figúrky je konštrukčný problém vyriešený. Boli získané vzorce a vety. Napríklad Euclid vo svojom slávnom diele „Začiatok“ sa zaoberal riešením problémov pre 3-, 4-, 5-, 6- a 15-uholníky. Našiel spôsoby, ako ich skonštruovať a nájsť uhly. Pozrime sa, ako to urobiť pre 15-uholník. Najprv musíte vypočítať súčet jeho vnútorných uhlov. Je potrebné použiť vzorec S = 180⁰(n-2). Dostaneme teda 15-uholník, čo znamená, že číslo n je 15. Známe údaje dosadíme do vzorca a dostaneme S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Našli sme súčet všetkých vnútorných uhlov 15-uholníka. Teraz musíme zistiť hodnotu každého z nich. Celkovo je uhlov 15. Vypočítame 2340⁰: 15 = 156⁰. To znamená, že každý vnútorný uhol je 156⁰, teraz pomocou pravítka a kompasu môžete postaviť obyčajný 15-uholník. Ale čo zložitejšie n-uholníky? Po stáročia sa vedci snažili vyriešiť tento problém. Našiel ho až v 18. storočí Carl Friedrich Gauss. Dokázal postaviť 65537-gon. Odvtedy sa problém oficiálne považuje za úplne vyriešený.

Výpočet uhlov n-uholníkov v radiánoch

Samozrejme, existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť rohy polygónov. Najčastejšie sa počítajú v stupňoch. Môžete ich však vyjadriť aj v radiánoch. Ako to spraviť? Je potrebné postupovať nasledovne. Najprv zistíme počet strán pravidelného mnohouholníka, potom od neho odčítame 2. Dostaneme teda hodnotu: n - 2. Nájdený rozdiel vynásobíme číslom n („pi“ \u003d 3,14). Teraz zostáva len rozdeliť výsledný produkt počtom uhlov v n-uholníku. Zvážte tieto výpočty pomocou príkladu toho istého pätnásťstranného. Číslo n je teda 15. Použime vzorec S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Toto samozrejme nie je jediný spôsob, ako vypočítať uhol v radiánoch. Veľkosť uhla v stupňoch jednoducho vydelíte číslom 57,3. Koniec koncov, toľko stupňov zodpovedá jednému radiánu.

Výpočet hodnoty uhlov v stupňoch

Okrem stupňov a radiánov môžete skúsiť nájsť aj hodnotu uhlov pravidelného mnohouholníka v gradoch. Toto sa vykonáva nasledujúcim spôsobom. Od celkového počtu uhlov odpočítajte 2, výsledný rozdiel vydeľte počtom strán pravidelného mnohouholníka. Zistený výsledok vynásobíme 200. Mimochodom, takáto jednotka merania uhlov ako stupňov sa prakticky nepoužíva.

Výpočet vonkajších rohov n-uholníkov

Pre každý pravidelný mnohouholník, okrem vnútorného, ​​môžete vypočítať aj vonkajší uhol. Jeho hodnota sa zisťuje rovnakým spôsobom ako pri iných číslach. Ak teda chcete nájsť vonkajší roh pravidelného mnohouholníka, musíte poznať hodnotu vnútorného. Ďalej vieme, že súčet týchto dvoch uhlov je vždy 180 stupňov. Preto výpočty robíme takto: 180⁰ mínus hodnota vnútorného uhla. Nájdeme rozdiel. Bude sa rovnať hodnote uhla priľahlého k nej. Napríklad vnútorný roh štvorca je 90 stupňov, takže vonkajší uhol bude 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Ako vidíme, nie je ťažké ho nájsť. Vonkajší uhol môže nadobúdať hodnotu od +180° do -180°.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.