Domov
Dodávka vody
Stavba štyroch pozoruhodných bodov. Výskumný projekt úžasných trojuholníkových bodov

Stavba štyroch pozoruhodných bodov. Výskumný projekt úžasných trojuholníkových bodov

V trojuholníku sú takzvané štyri pozoruhodné body: priesečník stredníc. Priesečník priesečníkov, priesečník výšok a priesečník odvesníc. Uvažujme o každom z nich.

Priesečník stredov trojuholníka

Veta 1

Na priesečníku mediánov trojuholníka: Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a delia priesečník v pomere $2:1$ od vrcholu.

Dôkaz.

Uvažujme trojuholník $ABC$, kde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ je jeho medián. Keďže mediány rozdeľujú strany na polovicu. Uvažujme strednú čiaru $A_1B_1$ (obr. 1).

Obrázok 1. Stredy trojuholníka

Podľa vety 1 $AB||A_1B_1$ a $AB=2A_1B_1$, teda $\uhol ABB_1=\uhol BB_1A_1,\ \uhol BAA_1=\uhol AA_1B_1$. Preto sú trojuholníky $ABM$ a $A_1B_1M$ podobné podľa prvého kritéria podobnosti trojuholníkov. Potom

Podobne je dokázané, že

Veta bola dokázaná.

Priesečník priesečníkov trojuholníka

Veta 2

Na priesečníku priesečníkov trojuholníka: Priečnice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz.

Uvažujme trojuholník $ABC$, kde $AM,\ BP,\ CK$ sú jeho osi. Nech bod $O$ je priesečníkom osi $AM\ a\ BP$. Nakreslite z tohto bodu kolmo na strany trojuholníka (obr. 2).

Obrázok 2. Osy trojuholníka

Veta 3

Každý bod osy nerozšíreného uhla je rovnako vzdialený od jeho strán.

Podľa vety 3 máme: $OX=OZ,\ OX=OY$. Preto $OY=OZ$. Bod $O$ je teda rovnako vzdialený od strán uhla $ACB$, a preto leží na jeho stredovej osi $CK$.

Veta bola dokázaná.

Priesečník odvesničiek trojuholníka

Veta 4

Odvesny strán trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz.

Nech je daný trojuholník $ABC$, $n,\ m,\ p$ jeho odvesny. Nech bod $O$ je priesečníkom odvesníc $n\ a\ m$ (obr. 3).

Obrázok 3. Kolmice trojuholníka

Na dôkaz potrebujeme nasledujúcu vetu.

Veta 5

Každý bod kolmice na úsečku je rovnako vzdialený od koncov danej úsečky.

Podľa vety 3 máme: $OB=OC,\ OB=OA$. Preto $OA=OC$. To znamená, že bod $O$ je rovnako vzdialený od koncov úsečky $AC$, a teda leží na jej odvesne $p$.

Veta bola dokázaná.

Priesečník nadmorských výšok trojuholníka

Veta 6

Výšky trojuholníka alebo ich predĺženia sa pretínajú v jednom bode.

Dôkaz.

Uvažujme trojuholník $ABC$, kde $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ je jeho výška. Nakreslite čiaru cez každý vrchol trojuholníka rovnobežnú so stranou oproti vrcholu. Dostaneme nový trojuholník $A_2B_2C_2$ (obr. 4).

Obrázok 4. Výšky trojuholníka

Keďže $AC_2BC$ a $B_2ABC$ sú rovnobežníky so spoločnou stranou, potom $AC_2=AB_2$, to znamená, že bod $A$ je stredom strany $C_2B_2$. Podobne dostaneme, že bod $B$ je stredom strany $C_2A_2$ a bod $C$ je stredom strany $A_2B_2$. Z konštrukcie máme, že $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sú teda odvesny trojuholníka $A_2B_2C_2$. Potom podľa vety 4 máme, že výšky $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sa pretínajú v jednom bode.

Najprv dokážme vetu o uhle.

Veta

Dôkaz

1) Vezmite ľubovoľný bod M na osnici uhla BAC, nakreslite kolmice MK a ML na priamky AB a AC a dokážte, že MK = ML (obr. 224). Uvažujme pravouhlé trojuholníky AM K a AML. Sú rovnaké v prepone a ostrom uhle (AM - spoločná prepona, ∠1 = ∠2 podľa podmienky). Preto MK = ML.

2) Nech bod M leží vo vnútri uhla BAC a je rovnako vzdialený od jeho strán AB a AC. Dokážme, že lúč AM je osou uhla BAC (pozri obr. 224). Nakreslite kolmice MK a ML na priamky AB a AC. Pravouhlé trojuholníky AMK a AML sú rovnaké v prepone a nohe (AM - spoločná prepona, MK = ML podľa podmienky). Preto ∠1 = ∠2. To však znamená, že lúč AM je osou uhla BAC. Veta bola dokázaná.


Ryža. 224

Dôsledok 1

Dôsledok 2

V skutočnosti označme písmenom O priesečník osi AA 1 a BB 1 trojuholníka ABC a nakreslime z tohto bodu kolmice OK, OL a OM k priamkam AB, BC a CA (obr. 225). Podľa dokázanej vety OK = OM a OK = OL. Preto je OM \u003d OL, t.j. bod O, v rovnakej vzdialenosti od strán uhla ACB, a preto leží na osi CC1 tohto uhla. V dôsledku toho sa všetky tri osi trojuholníka ABC pretínajú v bode O, čo sa malo dokázať.


Ryža. 225

Vlastnosti kolmice na úsečku

Kolmica úsečky je priamka prechádzajúca stredom danej úsečky a kolmá na ňu.


Ryža. 226

Dokážme vetu o kolmici na úsečku.

Veta

Dôkaz

Nech je priamka m kolmica na úsečku AB, bod O je stredom tejto úsečky (obr. 227, a).


Ryža. 227

1) Uvažujme ľubovoľný bod M na priamke m a dokážte, že AM = VM. Ak sa bod M zhoduje s bodom O, potom táto rovnosť platí, pretože O je stred úsečky AB. Nech M a O sú rôzne body. Pravouhlé trojuholníky OAM a OBM sú rovnaké v dvoch ramenách (OA = OB, OM - spoločná noha), preto AM = VM.

2) Uvažujme ľubovoľný bod N, rovnako vzdialený od koncov úsečky AB, a dokážme, že bod N leží na priamke m. Ak je N bodom úsečky AB, potom sa zhoduje so stredom O úsečky AB, a preto leží na priamke m. Ak bod N neleží na priamke AB, potom je trojuholník ANB rovnoramenný, pretože AN \u003d BN (obr. 227, b). Úsečka NO je stredom tohto trojuholníka, a teda jeho výškou. Teda NO ⊥ AB, teda priamky ON a m sa zhodujú, t.j. N je bod priamky m. Veta bola dokázaná.

Dôsledok 1

Dôsledok 2

Na dôkaz tohto tvrdenia uvažujme odvesnice m a n na strany AB a BC trojuholníka ABC (obr. 228). Tieto priamky sa pretínajú v určitom bode O. Ak totiž predpokladáme opak, teda že m || n, potom by priamka BA, ktorá je kolmá na priamku m, bola kolmá aj na priamku n rovnobežnú s ňou, a potom by bodom B, kolmým na priamku n, prechádzali dve priamky BA a BC, čo je nemožné.


Ryža. 228

Podľa dokázanej vety OB = OA a OB = OS. Preto OA \u003d OC, to znamená, že bod O je rovnako vzdialený od koncov segmentu AC, a preto leží na kolmici p na tento segment. Preto sa všetky tri odvesny m, n a p na strany trojuholníka ABC pretínajú v bode O.

Veta o priesečníku trojuholníka

Dokázali sme, že osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, odvesny na strany trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Už skôr bolo dokázané, že stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode (časť 64). Ukazuje sa, že nadmorské výšky trojuholníka majú podobnú vlastnosť.

Veta

Dôkaz

Uvažujme ľubovoľný trojuholník ABC a dokážme, že priamky AA 1 BB 1 a CC 1 obsahujúce jeho výšky sa pretínajú v jednom bode (obr. 229).


Ryža. 229

Nakreslite čiaru cez každý vrchol trojuholníka ABC rovnobežnú s opačnou stranou. Dostaneme trojuholník A 2 B 2 C 2. Body A, B a C sú stredy strán tohto trojuholníka. AB \u003d A 2 C a AB \u003d CB 2 ako opačné strany rovnobežníkov ABA 2 C a ABCB 2, teda A 2 C \u003d CB 2. Podobne C2A \u003d AB2 a C2B \u003d BA2. Okrem toho, ako vyplýva z konštrukcie, CC 1 ⊥ A 2 B 2, AA 1 ⊥ B 2 C 2 a BB 1 ⊥ A 2 C 2 . Čiary AA 1, BB 1 a CC 1 sú teda odvesny na strany trojuholníka A 2 B 2 C 2. Preto sa pretínajú v jednom bode. Veta bola dokázaná.

Ku každému trojuholníku sú teda priradené štyri body: priesečník stredov, priesečník priesečníkov, priesečník kolmých priesečníkov na strany a priesečník výšok (alebo ich predĺžení). ). Tieto štyri body sa nazývajú nádherné body trojuholníka.

Úlohy

674. Z bodu M osy nerozvinutého uhla O sú na strany tohto uhla nakreslené kolmice MA a MB. Dokážte, že AB ⊥ OM.

675. Strany uhla O sa dotýkajú každej z dvoch kružníc, ktoré majú spoločnú dotyčnicu v bode A. Dokážte, že stredy týchto kružníc ležia na priamke O A.

676. Strany uhla A sa dotýkajú kružnice so stredom O s polomerom r. Nájdite: a) OA, ak r = 5 cm, ∠A = 60°; b) d, ak ОА = 14 dm, ∠A = 90°.

677. Priesečníky vonkajších uhlov vo vrcholoch B a C trojuholníka ABC sa pretínajú v bode O. Dokážte, že bod O je stredom kružnice dotýkajúcej sa priamok AB, BC, AC.

678. Priesečníky AA 1 a BB 1 trojuholníka ABC sa pretínajú v bode M. Nájdite uhly ACM a BCM, ak: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.

679. Odvesna na stranu BC trojuholníka ABC pretína stranu AC v bode D. Nájdite: a) AD a CD, ak BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm; b) AC, ak BD = 11,4 cm, AD = 3,2 cm.

680. Priečinky na strany AB a AC trojuholníka ABC sa pretínajú v bode D strany BC. Dokážte, že: a) bod D je stredom strany BC; b) ∠A - ∠B + ∠C.

681. Odvesna na stranu AB rovnoramenného trojuholníka ABC pretína stranu BC v bode E. Nájdite základňu AC, ak obvod trojuholníka AEC je 27 cm a AB = 18 cm.

682. Rovnoramenné trojuholníky ABC a ABD majú spoločnú základňu AB. Dokážte, že čiara CD prechádza stredom segmentu AB.

683. Dokážte, že ak sa strany AB a AC v trojuholníku ABC nerovnajú, potom medián AM trojuholníka nie je nadmorská výška.

684. Priečnice uhla v základni AB rovnoramenného trojuholníka ABC sa pretínajú v bode M. Dokážte, že priamka CM je kolmá na priamku AB.

685. Výšky AA 1 a BB 1 rovnoramenného trojuholníka ABC nakresleného na stranách sa pretínajú v bode M. Dokážte, že priamka MC je odvesna na úsečku AB.

686. Zostrojte odvesnicu k danej úsečke.

Riešenie

Nech AB je daný segment. Zostrojme dve kružnice so stredmi v bodoch A a B s polomerom AB (obr. 230). Tieto kružnice sa pretínajú v dvoch bodoch M 1 a M 2 . Segmenty AM 1 , AM 2 , VM 1 , VM 2 sú rovnaké ako polomery týchto kružníc.


Ryža. 230

Nakreslíme priamku M 1 M 2. Je to požadovaná kolmica na úsečku AB. V skutočnosti sú body M 1 a M 2 rovnako vzdialené od koncov úsečky AB, takže ležia na kolmici na túto úsečku. Čiara M 1 M 2 je teda kolmica na úsečku AB.

687. Daná je priamka a a dva body A a B ležiace na tej istej strane tejto priamky. Na priamke a zostrojte bod M, ktorý je rovnako vzdialený od bodov A po B.

688. Je daný uhol a úsečka. Zostrojte bod vo vnútri daného uhla, rovnako vzdialený od jeho strán a rovnako vzdialený od koncov daného segmentu.

Odpovede na úlohy

    674. Poučenie. Najprv dokážte, že trojuholník AOB je rovnoramenný.

    676. a) 10 cm; b) 7√2 dm.

    678. a) 46° a 46°; b) 21° a 21°.

    679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) AC = 14,6 cm.

    683. Poučenie. Použite metódu dôkazu protirečením.

    687. Poučenie. Použite vetu z bodu 75.

    688. Poučenie. Všimnite si, že požadovaný bod leží na osi daného uhla.

1 To znamená, že je v rovnakej vzdialenosti od čiar obsahujúcich strany uhla.

Silčenkov Iľja

materiály na lekciu, prezentácia s animáciou

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si Google účet (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com


Popisy snímok:

Stredová čiara trojuholníka je úsečka, ktorá spája stredy dvoch jeho strán a rovná sa polovici tejto strany. Tiež podľa vety je stredná čiara trojuholníka rovnobežná s jednou z jeho strán a rovná sa polovici tejto strany.

Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú.

Pozoruhodné trojuholníkové body

Pozoruhodné trojuholníkové body Priesečník stredov (ťažisko trojuholníka) ; Priesečník osi, stred vpísanej kružnice; Priesečník kolmých osi; Priesečník výšok (ortocentrum); Eulerova priamka a kružnica deviatich bodov; Gergonne a Nagelove body; Bod Fermat-Torricelli;

Priesečník stredov

Stred trojuholníka je úsečka, ktorá spája vrchol ľubovoľného uhla trojuholníka so stredom protiľahlej strany.

I. Strednice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý delí každý stred v pomere 2:1, počítajúc zhora.

dôkaz:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 2. Úsečka A 1 B 1 je rovnobežná so stranou AB a 1/2 AB \u003d A 1 B 1 t.j. AB \u003d 2A1B1 (podľa vety o stredovej čiare trojuholníka), teda 1 \u003d 4 a 3 \u003d 2 ( pretože majú vnútorné priečne ležiace uhly s rovnobežkami AB a A 1 B 1 a sečnou BB 1 pre 1, 4 a AA 1 pre 3, 2 3. Preto sú trojuholníky AOB a A 1 OB 1 podobné v dvoch uhloch a, preto sú ich strany úmerné, t.j. pomery strán AO a A 1 O, BO a B 1 O, AB a A 1 B 1 sú rovnaké. Ale AB = 2A 1 B 1, teda AO \u003d 2A 1 O a BO \u003d 2B 1 O. Priesečník O mediánov BB 1 a AA 1 teda rozdeľuje každý z nich v pomere 2:1, počítajúc zhora.

Ťažisko sa niekedy nazýva ťažisko. Preto sa hovorí, že priesečníkom mediánu je ťažisko trojuholníka. Ťažisko homogénnej trojuholníkovej dosky sa nachádza v rovnakom bode. Ak je podobná platňa umiestnená na kolíku tak, že hrot kolíka zasiahne presne ťažisko trojuholníka, potom bude platňa v rovnováhe. Priesečník stredníc je tiež stredom kružnice jeho stredového trojuholníka. Zaujímavá vlastnosť priesečníka mediánov je spojená s fyzikálnym konceptom ťažiska. Ukazuje sa, že ak sú rovnaké hmotnosti umiestnené vo vrcholoch trojuholníka, ich stred padne presne do tohto bodu.

Priesečník priesečníkov

Osa trojuholníka - úsečka uhla spájajúca vrchol jedného z uhlov trojuholníka s bodom ležiacim na opačnej strane.

Osy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode rovnako vzdialenom od jeho strán.

dôkaz:

C A B A 1 B 1 C 1 0 1. Označte písmenom O priesečník priesečníkov AA 1 a BB 1 trojuholníka ABC. 3. Využime skutočnosť, že každý bod osy rozvinutého uhla je rovnako vzdialený od jeho strán a naopak: každý bod ležiaci vo vnútri uhla a rovnako vzdialený od strán uhla leží na jeho osi. Potom OK=OL a OK=OM. To znamená OM \u003d OL, t.j. bod O je rovnako vzdialený od strán trojuholníka ABC, a preto leží na priesečníku CC1 uhla C. 4. Následne sa všetky tri osi trojuholníka ABC pretínajú v bode O. K L M Veta je dokázaná. 2. nakreslite z tohto bodu kolmice OK, OL a OM na priamky AB, BC a CA.

Priesečník kolmic

Stredová kolmica je priamka prechádzajúca stredom daného segmentu a kolmá naň.

Odvesny na strany trojuholníka sa pretínajú v jednom bode rovnako vzdialenom od vrcholov trojuholníka.

dôkaz:

B C A m n 1. Označte písmenom O priesečník odvesničiek m a n so stranami AB a BC trojuholníka ABC. O 2. Pomocou vety, že každý bod odvesny k úsečke je rovnako vzdialený od koncov tejto úsečky a naopak: každý bod rovnako vzdialený od koncov úsečky leží na kolmici k nej, dostaneme, že OB= OA a OB=OC. 3. Preto OA \u003d OC, to znamená, že bod O je rovnako vzdialený od koncov úsečky AC, a preto leží na kolmici na túto úsečku. 4. Preto sa všetky tri odvesny m, n a p na strany trojuholníka ABC pretínajú v bode O. Veta je dokázaná. R

Priesečník výšok (alebo ich predĺžení)

Výška trojuholníka je kolmica vedená z vrcholu ľubovoľného uhla trojuholníka k čiare obsahujúcej opačnú stranu.

Výšky trojuholníka alebo ich predĺženia sa pretínajú v jednom bode, ktorý môže ležať v trojuholníku, alebo môže byť mimo neho.

dôkaz:

Dokážme, že priamky AA 1 , BB 1 a CC 1 sa pretínajú v jednom bode. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Nakreslite čiaru cez každý vrchol trojuholníka ABC rovnobežnú s opačnou stranou. Dostaneme trojuholník A 2 B 2 C 2. 2. Body A, B a C sú stredy strán tohto trojuholníka. AB \u003d A 2 C a AB \u003d CB 2 ako opačné strany rovnobežníkov ABA 2 C a ABCB 2, teda A 2 C \u003d CB 2. Podobne C2A \u003d AB2 a C2B \u003d BA2. Okrem toho, ako vyplýva z konštrukcie, CC 1 je kolmá na A 2 B 2, AA 1 je kolmá na B 2 C 2 a BB 1 je kolmá na A 2 C 2 (z dôsledkov rovnobežiek a vety sečnice) . Čiary AA 1, BB 1 a CC 1 sú teda odvesny na strany trojuholníka A 2 B 2 C 2. Preto sa pretínajú v jednom bode. Veta bola dokázaná.

V tejto lekcii sa pozrieme na štyri nádherné body trojuholníka. Pri dvoch z nich sa podrobne zastavíme, pripomenieme si dôkazy dôležitých viet a problém vyriešime. Zvyšné dve si pripomíname a charakterizujeme.

téma:Opakovanie kurzu geometrie pre 8. ročník

Lekcia: Štyri pozoruhodné body trojuholníka

Trojuholník sú v prvom rade tri úsečky a tri uhly, takže vlastnosti úsečiek a uhlov sú zásadné.

Segment AB je daný. Ľubovoľný segment má stred a cez neho možno pretiahnuť kolmicu - označujeme ju p. P je teda odvesna.

Veta (základná vlastnosť odvesny)

Akýkoľvek bod ležiaci na kolmici je rovnako vzdialený od koncov úsečky.

Dokáž to

dôkaz:

Uvažujme trojuholníky a (pozri obr. 1). Sú pravouhlé a rovné, pretože. majú spoločnú nohu OM a nohy AO a OB sú rovnaké podľa podmienky, takže máme dva pravouhlé trojuholníky rovnaké v dvoch nohách. Z toho vyplýva, že prepony trojuholníkov sú tiež rovnaké, teda čo sa malo dokázať.

Ryža. jeden

Opačná veta je pravdivá.

Veta

Každý bod rovnako vzdialený od koncov úsečky leží na kolmici na túto úsečku.

Je daná úsečka AB, na ňu kolmá strednica p, bod M, rovnako vzdialený od koncov úsečky (pozri obr. 2).

Dokážte, že bod M leží na kolmici na úsečku.

Ryža. 2

dôkaz:

Uvažujme trojuholník. Je rovnoramenný, ako podľa stavu. Zvážte stred trojuholníka: bod O je stred základne AB, OM je stred. Podľa vlastnosti rovnoramenného trojuholníka je stredom k jeho základni výška aj os. Z toho teda vyplýva, že . Ale priamka p je tiež kolmá na AB. Vieme, že jedinú kolmicu na úsečku AB možno nakresliť do bodu O, čo znamená, že priamky OM a p sa zhodujú, z čoho vyplýva, že bod M patrí do priamky p, ktorú bolo potrebné dokázať.

Ak je potrebné opísať kruh okolo jedného segmentu, dá sa to urobiť a takýchto kruhov je nekonečne veľa, ale stred každého z nich bude ležať na kolmici na segment.

O kolmici sa hovorí, že je to miesto bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od koncov segmentu.

Trojuholník sa skladá z troch segmentov. K dvom z nich nakreslíme stredové kolmice a získame bod O ich priesečníka (pozri obr. 3).

Bod O patrí odvesnici na stranu BC trojuholníka, čo znamená, že je rovnako vzdialený od jeho vrcholov B a C, túto vzdialenosť označme R:.

Okrem toho sa bod O nachádza na kolmici na úsečku AB, t.j. však odtiaľto .

Teda bod O priesečníka dvoch stredov

Ryža. 3

kolmice trojuholníka sú rovnako vzdialené od jeho vrcholov, čo znamená, že leží aj na tretej odvesnici.

Zopakovali sme dôkaz dôležitej vety.

Tri kolmé osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode – v strede kružnice opísanej.

Takže sme zvážili prvý pozoruhodný bod trojuholníka - priesečník jeho odvesníc.

Prejdime k vlastnosti ľubovoľného uhla (pozri obr. 4).

Daný uhol , jeho os AL, bod M leží na osi.

Ryža. štyri

Ak bod M leží na osi uhla, potom je rovnako vzdialený od strán uhla, to znamená, že vzdialenosti od bodu M po AC a po BC strán uhla sú rovnaké.

dôkaz:

Zvážte trojuholníky a . Sú to pravouhlé trojuholníky a sú si rovné, pretože. majú spoločnú preponu AM a uhly a sú rovnaké, pretože AL je os uhla . Pravouhlé trojuholníky sú teda rovnaké v prepone a ostrom uhle, z toho vyplýva, že , čo bolo potrebné dokázať. Bod na osnici uhla je teda rovnako vzdialený od strán tohto uhla.

Opačná veta je pravdivá.

Veta

Ak je bod v rovnakej vzdialenosti od strán nerozvinutého uhla, potom leží na jeho stredovej osi (pozri obr. 5).

Je daný nerozvinutý uhol, bod M, taký, že vzdialenosť od neho k stranám uhla je rovnaká.

Dokážte, že bod M leží na osi uhla.

Ryža. 5

dôkaz:

Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice. Nakreslite z bodu M kolmice MK na stranu AB a MP na stranu AC.

Zvážte trojuholníky a . Sú to pravouhlé trojuholníky a sú si rovné, pretože. majú spoločnú preponu AM, nohy MK a MR sú podľa stavu rovnaké. Pravoúhlé trojuholníky sú teda rovnaké v prepone a vetve. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť zodpovedajúcich prvkov, rovnaké uhly ležia na rovnakých nohách, teda, , teda bod M leží na osi daného uhla.

Ak je potrebné vpísať kružnicu do uhla, dá sa to urobiť a takých kružníc je nekonečne veľa, ale ich stredy ležia na oske daného uhla.

Osa je považovaná za miesto bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od strán uhla.

Trojuholník sa skladá z troch rohov. Zostrojíme osi dvoch z nich, dostaneme bod O ich priesečníka (pozri obr. 6).

Bod O leží na osi uhla, čo znamená, že je od svojich strán AB a BC rovnako vzdialený, vzdialenosť označme r:. Tiež bod O leží na osnici uhla , čo znamená, že je rovnako vzdialený od jeho strán AC a BC: , , teda .

Je ľahké vidieť, že priesečník osi je rovnako vzdialený od strán tretieho uhla, čo znamená, že leží na

Ryža. 6

osi uhla. Všetky tri osi trojuholníka sa teda pretínajú v jednom bode.

Spomenuli sme si teda na dôkaz ďalšej dôležitej vety.

Osy uhlov trojuholníka sa pretínajú v jednom bode - v strede vpísanej kružnice.

Takže sme zvážili druhý úžasný bod trojuholníka - priesečník osi.

Skúmali sme osi uhla a zaznamenali sme jeho dôležité vlastnosti: body osi sú rovnako vzdialené od strán uhla, navyše segmenty dotyčníc nakreslených ku kružnici z jedného bodu sú rovnaké.

Zavedme si nejaký zápis (pozri obr. 7).

Označte rovnaké segmenty dotyčníc x, y a z. Strana BC ležiaca oproti vrcholu A je označená ako a, podobne AC ako b, AB ako c.

Ryža. 7

Úloha 1: V trojuholníku je známy polobvod a dĺžka strany a. Nájdite dĺžku dotyčnice nakreslenej z vrcholu A - AK, označenú x.

Je zrejmé, že trojuholník nie je úplne definovaný a existuje veľa takýchto trojuholníkov, ale ukázalo sa, že majú niektoré spoločné prvky.

Pre problémy, v ktorých hovoríme o vpísanom kruhu, môžeme navrhnúť nasledujúcu techniku ​​riešenia:

1. Nakreslite osy a získajte stred vpísanej kružnice.

2. Zo stredu O nakreslite kolmice do strán a získajte body dotyku.

3. Označte rovnaké dotyčnice.

4. Napíšte spojenie medzi stranami trojuholníka a dotyčnicami.



Sekcie