Apotém sa rovná výške pyramídy. Apotéma pravej pyramídy
Definícia. Bočná tvár- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a jeho opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).
Definícia. Bočné rebrá sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko je rohov v polygóne.
Definícia. výška pyramídy je kolmica spadnutá z vrcholu na základňu pyramídy.
Definícia. Apothem- toto je kolmica bočnej steny pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.
Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.
Definícia. Správna pyramída- Toto je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník a výška klesá do stredu základne.
Objem a povrch pyramídy
Vzorec. objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:
vlastnosti pyramídy
Ak sú všetky bočné hrany rovnaké, potom môže byť okolo základne pyramídy opísaný kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).
Ak sú všetky bočné rebrá rovnaké, potom sú naklonené k základnej rovine v rovnakých uhloch.
Bočné rebrá sú rovnaké, keď zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou, alebo ak možno okolo základne pyramídy opísať kruh.
Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod jedným uhlom, potom môže byť do základne pyramídy vpísaný kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.
Ak sú bočné plochy naklonené k základnej rovine pod jedným uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.
Vlastnosti pravidelnej pyramídy
1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.
2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.
3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.
4. Apotémy všetkých bočných plôch sú rovnaké.
5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.
6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.
7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.
8. Guľu možno vpísať do pyramídy. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.
9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet plochých uhlov na vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π / n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.
Spojenie pyramídy s guľou
Okolo pyramídy možno opísať guľu, keď na základni pyramídy leží mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.
Guľa môže byť vždy opísaná okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.
Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.
Spojenie pyramídy s kužeľom
Kužeľ sa nazýva vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.
Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy rovnaké.
Kužeľ je opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.
Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.
Spojenie pyramídy s valcom
O pyramíde sa hovorí, že je vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.
Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak môže byť kruh opísaný okolo základne pyramídy.
Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.
Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojstenný uhol.
Segment spájajúci vrchol štvorstenu so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).
Bimedián sa nazýva segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).
Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány v pomere 3: 1 začínajúc zhora.
Definícia. Akútna uhlová pyramída je pyramída, v ktorej má apotém viac ako polovicu dĺžky strany základne.
Definícia. tupá pyramída je pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany základne.
Definícia. pravidelný štvorstenŠtvorsten, ktorého štyri strany sú rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných polygónov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.
Definícia. Obdĺžnikový štvorsten nazýva sa štvorsten, ktorý má vo vrchole pravý uhol medzi tromi hranami (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojstenný uhol a steny sú pravouhlé trojuholníky a základňa je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.
Definícia. Izoedrický štvorsten Nazýva sa štvorsten, v ktorom sú bočné strany rovnaké a základňa je pravidelný trojuholník. Tváre takého štvorstenu sú rovnoramenné trojuholníky.
Definícia. Ortocentrický štvorsten nazýva sa štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.
Definícia. hviezdna pyramída Mnohosten, ktorého základom je hviezda, sa nazýva.
Pre úspešné riešenie problémov v geometrii je potrebné jasne pochopiť pojmy, ktoré táto veda používa. Napríklad sú to "priamka", "rovina", "mnohosten", "pyramída" a mnoho ďalších. V tomto článku odpovieme na otázku, čo je apotém.
Dvojité použitie výrazu „apotém“
V geometrii význam slova „apotém“ alebo „apotém“, ako sa tiež nazýva, závisí od toho, na aký objekt je aplikovaný. Existujú dve zásadne odlišné triedy postáv, v ktorých je to jedna z ich charakteristík.
V prvom rade sú to ploché polygóny. Aký je apotém pre mnohouholník? Toto je výška nakreslená od geometrického stredu obrázku po ktorúkoľvek z jeho strán.
Aby bolo jasnejšie, o čo ide, zvážte konkrétny príklad. Predpokladajme, že na obrázku nižšie je pravidelný šesťuholník.
Symbol l označuje dĺžku jeho strany, písmeno a označuje apotém. Pre vyznačený trojuholník to nie je len výška, ale aj stred a stred. Je ľahké ukázať, že z hľadiska strany l sa dá vypočítať takto:
Podobne je apotém definovaný pre ľubovoľný n-uholník.
Druhým sú pyramídy. Čo je apotém pre takúto postavu? Tento problém si vyžaduje podrobnejšie zváženie.
Na túto tému: Ako urobiť mihalnice dlhé a husté za jeden mesiac?
Pyramídy a ich apotéma
Najprv definujme pyramídu z hľadiska geometrie. Tento obrazec je trojrozmerné teleso tvorené jedným n-uholníkom (základňa) a n trojuholníkmi (stranami). Tie sú spojené v jednom bode, ktorý sa nazýva vrchol. Vzdialenosť od nej k základni je výška postavy. Ak padá na geometrický stred n-uholníka, potom sa pyramída nazýva priama. Ak má n-uholník navyše rovnaké uhly a strany, potom sa obrazec nazýva pravidelný. Nižšie je uvedený príklad pyramídy.
Čo je apotém pre takúto postavu? Toto je kolmica, ktorá spája strany n-uholníka s hornou časťou obrázku. Je zrejmé, že predstavuje výšku trojuholníka, ktorý je stranou pyramídy.
Apotém je vhodné použiť pri riešení geometrických problémov s pravidelnými pyramídami. Faktom je, že pre nich sú všetky bočné steny rovnaké ako rovnoramenné trojuholníky. Posledný fakt znamená, že všetkých n apotém je rovnakých, takže pre pravidelnú pyramídu môžeme hovoriť o jedinej takejto priamke.
Apotém štvorhrannej pyramídy správne
Snáď najzrejmejším príkladom tejto postavy bude slávny prvý div sveta – Cheopsova pyramída. Je v Egypte.
Pre každý takýto obrazec s pravidelnou n-uholníkovou základňou možno uviesť vzorce, ktoré umožňujú určiť jeho apotém z hľadiska dĺžky a strany mnohouholníka, z hľadiska bočnej hrany b a výšky h. Tu napíšeme zodpovedajúce vzorce pre rovnú pyramídu so štvorcovou základňou. Apotém h b pre to sa bude rovnať:
Na túto tému: Vlajka Bashkiria - popis, symbolika a história
h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);
h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)
Prvý z týchto výrazov platí pre akúkoľvek pravidelnú pyramídu, druhý - iba pre štvoruholníkovú.
Ukážme si, ako možno tieto vzorce použiť na vyriešenie problému.
geometrický problém
Nech je daný rovný ihlan so štvorcovou základňou. Je potrebné vypočítať jeho základnú plochu. Apotém pyramídy je 16 cm a jej výška je 2-násobok strany základne.
Každý študent vie: na nájdenie plochy štvorca, ktorý je základňou uvažovanej pyramídy, by ste mali poznať jej stranu a. Aby sme to našli, používame nasledujúci vzorec pre apotém:
h b \u003d √ (h 2 + a 2 / 4)
Význam apotémy je známy zo stavu problému. Keďže výška h je dvojnásobkom dĺžky strany a, tento výraz možno previesť takto:
h b = √((2*a) 2 + a 2 /4) = a/2*√17 =>
a = 2*h b /√17
Plocha štvorca sa rovná súčinu jeho strán. Nahradením výsledného výrazu za a máme:
S \u003d a 2 \u003d 4/17 * h b 2
Zostáva dosadiť do vzorca hodnotu apotému z podmienky úlohy a zapísať odpoveď: S ≈ 60,2 cm 2.
Prečítajte si tiež:
Pyramída je priestorový mnohosten alebo mnohosten, ktorý sa nachádza v geometrických úlohách. Hlavnými vlastnosťami tohto obrázku sú jeho objem a povrch, ktoré sú vypočítané na základe znalosti akýchkoľvek dvoch jeho lineárnych charakteristík. Jednou z týchto charakteristík je apotém pyramídy. O tom bude reč v článku.
figúrková pyramída
Predtým, ako uvedieme definíciu apotému pyramídy, zoznámime sa so samotnou postavou. Pyramída je mnohosten, ktorý je tvorený jednou n-uholníkovou základňou a n trojuholníkmi, ktoré tvoria bočnú plochu postavy.
Každá pyramída má vrchol - spojnicu všetkých trojuholníkov. Kolmica vedená z tohto vrcholu k základni sa nazýva výška. Ak výška pretína základňu v geometrickom strede, potom sa obrazec nazýva priamka. Rovná pyramída s rovnostrannou základňou sa nazýva pravidelná pyramída. Na obrázku je znázornená pyramída so šesťhrannou základňou, ktorá je pri pohľade zo strany líca a okraja.
Apotéma pravej pyramídy
Nazýva sa aj apotema. Rozumie sa ako kolmica nakreslená z vrcholu pyramídy na stranu základne postavy. Podľa definície táto kolmica zodpovedá výške trojuholníka, ktorý tvorí bočnú stranu pyramídy.
Pretože uvažujeme o pravidelnej pyramíde s n-gonálnou základňou, potom všetkých n apotém pre ňu bude rovnakých, pretože také sú rovnoramenné trojuholníky bočného povrchu obrázku. Všimnite si, že rovnaké apotémy sú vlastnosťou pravidelnej pyramídy. Pre postavu všeobecného typu (šikmý s nepravidelným n-uholníkom) bude všetkých n apotém odlišných.
Ďalšou vlastnosťou apotému pravidelnej pyramídy je, že je súčasne výškou, mediánom a osou príslušného trojuholníka. To znamená, že ho rozdelí na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.
a vzorce na určenie jeho apotému
V každej pravidelnej pyramíde sú dôležitými lineárnymi charakteristikami dĺžka strany jej základne, bočná hrana b, výška h a apotéma h b. Tieto veličiny sú vo vzájomnom vzťahu pomocou zodpovedajúcich vzorcov, ktoré možno získať nakreslením pyramídy a zvážením potrebných pravouhlých trojuholníkov.
Pravidelná trojuholníková pyramída pozostáva zo 4 trojuholníkových plôch a jedna z nich (základňa) musí byť rovnostranná. Zvyšok je vo všeobecnom prípade rovnoramenný. Apotém trojuholníkovej pyramídy možno určiť z hľadiska iných veličín pomocou nasledujúcich vzorcov:
h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4);
h b \u003d √ (a 2 / 12 + h 2)
Prvý z týchto výrazov platí pre pyramídu s akoukoľvek správnou základňou. Druhý výraz je charakteristický len pre trojuholníkovú pyramídu. Ukazuje, že apotéma je vždy väčšia ako výška postavy.
Apotém pyramídy by sa nemal zamieňať s mnohostenom. V druhom prípade je apotém kolmý segment nakreslený na stranu mnohostenu z jeho stredu. Napríklad apotém rovnostranného trojuholníka je √3/6*a.
Apotémová úloha
Nech je daná pravidelná pyramída s trojuholníkom na základni. Je potrebné vypočítať jeho apotém, ak je známe, že plocha tohto trojuholníka je 34 cm 2 a samotná pyramída pozostáva zo 4 rovnakých plôch.
V súlade s podmienkou úlohy sa zaoberáme štvorstenom pozostávajúcim z rovnostranných trojuholníkov. Vzorec pre oblasť jednej tváre je:
Odkiaľ získame dĺžku strany a:
Na určenie apotémy h b použijeme vzorec obsahujúci bočnú hranu b. V uvažovanom prípade sa jeho dĺžka rovná dĺžke základne, máme:
h b \u003d √ (b 2 - a 2 / 4) \u003d √ 3 / 2 * a
Nahradením hodnoty a až S dostaneme konečný vzorec:
h b = √3/2*2*√(S/√3) = √(S*√3)
Získali sme jednoduchý vzorec, v ktorom apotém pyramídy závisí iba od oblasti jej základne. Ak z podmienky úlohy dosadíme hodnotu S, dostaneme odpoveď: h b ≈ 7,674 cm.
apotéma apotéma
(z gréckeho apotíthēmi - odkladám), 1) úsečka (ako aj jej dĺžka) kolmice. a, spadnutý zo stredu pravidelného mnohouholníka na ktorúkoľvek z jeho strán. 2) V správnej pyramíde je apotém výška a bočný okraj.
APOTHEMAPOPHEMA (grécka apotéma - niečo odložené),
1) úsečka (ako aj jej dĺžka) kolmice a, spadnutá zo stredu pravidelného mnohouholníka na ktorúkoľvek z jej strán.
2) V pravidelnej pyramíde je apotéma výška bočnej steny.
encyklopedický slovník. 2009 .
Synonymá:Pozrite sa, čo je „apotém“ v iných slovníkoch:
Pozri APOTEM. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov A.N., 1910. APOTÉMA, pozri APOTÉMA. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Pavlenkov F., 1907 ... Slovník cudzích slov ruského jazyka
- (z gréčtiny apotithemi odkladám) ..1) úsečka (aj jej dĺžka) kolmice a, znížená zo stredu pravidelného mnohouholníka na niektorú z jej strán2)] V pravidelnej pyramíde je apotéma výška z bočnej strany... Veľký encyklopedický slovník
Exist., počet synoným: 3 apotema (2) dĺžka (10) kolmá (4) Slovník ... Slovník synonym
APOTHEM- (1) dĺžka kolmice spadnutej zo stredu kružnice opísanej okolo pravidelného mnohouholníka na ktorúkoľvek z jej strán; (2) výška bočnej steny pravidelnej pyramídy; (3) výška lichobežníka, čo je bočná strana pravidelného zrezaného ... ... Veľká polytechnická encyklopédia
- (z gréckeho apotithçmi som odložil) 1) dĺžka kolmice spadnutej zo stredu pravidelného mnohouholníka na niektorú z jeho strán (obr. 1); 2) v pravidelnom ihlane A. výška a jeho bočnej steny (obr. 2). Ryža. 1 až…… Veľká sovietska encyklopédia
- (z gréckeho apotfthemi odkladám) 1) úsečka (aj jej dĺžka) kolmice a, spustená zo stredu pravidelného mnohouholníka na niektorú z jej strán. 2) V pravidelnej pyramíde A. výška a bočnej steny (pozri obrázok). K čl. Apotéma... Veľký encyklopedický polytechnický slovník
Dĺžka kolmice spadnutej zo stredu pravidelného mnohouholníka na jednu z jeho strán; apotéma sa rovná polomeru kružnice vpísanej do daného mnohouholníka. A. sa nazývala aj naklonená strana kužeľa ... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron
- (z gréckeho apotithemi odkladám), 1) úsečka (aj jej dĺžka) kolmice a, znížená zo stredu pravidelného mnohouholníka na niektorú z jej strán. 2) V pravidelnej pyramíde A. výška a bočnej steny ... Prírodná veda. encyklopedický slovník
Apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém, apotém (
- apotéma- výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy, ktorá sa kreslí z jej vrcholu (navyše apotéma je dĺžka kolmice, ktorá je znížená zo stredu pravidelného mnohouholníka na 1 jeho stranu);
- bočné steny (ASB, BSC, CSD, DSA) - trojuholníky, ktoré sa zbiehajú v hornej časti;
- bočné rebrá ( AS , BS , CS , D.S. ) - spoločné strany bočných plôch;
- vrchol pyramídy (v. S) - bod, ktorý spája bočné hrany a ktorý neleží v rovine základne;
- výška ( SO ) - segment kolmice, ktorý je pretiahnutý cez vrchol pyramídy do roviny jej základne (konce takéhoto segmentu budú vrcholom pyramídy a základňou kolmice);
- diagonálny rez pyramídy- časť pyramídy, ktorá prechádza vrcholom a uhlopriečkou podstavy;
- základňu (A B C D) je mnohouholník, do ktorého vrchol pyramídy nepatrí.
vlastnosti pyramídy.
1. Keď majú všetky bočné okraje rovnakú veľkosť, potom:
- v blízkosti základne pyramídy je ľahké opísať kruh, zatiaľ čo vrchol pyramídy sa premietne do stredu tohto kruhu;
- bočné rebrá zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou;
- okrem toho platí aj obrátene, t.j. keď bočné hrany zvierajú rovnaké uhly so základnou rovinou alebo keď je možné opísať kruh v blízkosti základne pyramídy a vrchol pyramídy sa premietne do stredu tejto kružnice, potom všetky bočné hrany pyramídy majú rovnakej veľkosti.
2. Keď majú bočné plochy uhol sklonu k rovine základne rovnakej hodnoty, potom:
- v blízkosti základne pyramídy je ľahké opísať kruh, zatiaľ čo vrchol pyramídy sa premietne do stredu tohto kruhu;
- výšky bočných plôch sú rovnako dlhé;
- plocha bočnej plochy je ½ súčinu obvodu základne a výšky bočnej plochy.
3. V blízkosti pyramídy možno opísať guľu, ak základňou pyramídy je mnohouholník, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín, ktoré prechádzajú stredmi okrajov pyramídy, ktoré sú na ne kolmé. Z tejto vety usudzujeme, že guľu možno opísať okolo akéhokoľvek trojuholníka a okolo akejkoľvek pravidelnej pyramídy.
4. Guľu možno vpísať do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v 1. bode (nutná a postačujúca podmienka). Tento bod sa stane stredom gule.
Najjednoduchšia pyramída.
Podľa počtu rohov základne pyramídy sa delia na trojuholníkové, štvoruholníkové atď.
Pyramída bude trojuholníkový, štvoruholníkový, a tak ďalej, keď základňou pyramídy je trojuholník, štvoruholník atď. Trojuholníková pyramída je štvorsten - štvorsten. Štvorhranný - päťsten a tak ďalej.