Prednáška: "Metódy riešenia exponenciálnych rovníc."

1 . exponenciálne rovnice.

Rovnice obsahujúce v exponente neznáme sa nazývajú exponenciálne rovnice. Najjednoduchšia z nich je rovnica ax = b, kde a > 0 a a ≠ 1.

1) Pre b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Pre b > 0 má rovnica pomocou monotónnosti funkcie a koreňovej vety jeden koreň. Aby sme ho našli, musí byť b reprezentované ako b = aс, ax = bс ó x = c alebo x = logab.

Exponenciálne rovnice vedú prostredníctvom algebraických transformácií k štandardným rovniciam, ktoré sa riešia pomocou nasledujúcich metód:

1) metóda redukcie na jeden základ;

2) metóda hodnotenia;

3) grafická metóda;

4) metóda zavádzania nových premenných;

5) metóda faktorizácie;

6) exponenciálne - mocninné rovnice;

7) exponenciálny s parametrom.

2 . Spôsob redukcie na jeden základ.

Metóda je založená na nasledujúcej vlastnosti stupňov: ak sú dva stupne rovnaké a ich základy sú rovnaké, potom sa ich exponenty rovnajú, t.j. rovnicu je potrebné zredukovať do tvaru

Príklady. Vyriešte rovnicu:

1 . 3x = 81;

Predstavme si pravú stranu rovnice v tvare 81 = 34 a napíšme rovnicu ekvivalentnú pôvodnému 3 x = 34; x = 4. Odpoveď: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> a prejdite na rovnicu pre exponenty 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Odpoveď: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Všimnite si, že čísla 0,2, 0,04, √5 a 25 sú mocniny 5. Využime to a transformujme pôvodnú rovnicu takto:

, odkiaľ 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, z čoho nájdeme riešenie x = -1. odpoveď: -1.

5. 3x = 5. Podľa definície logaritmu x = log35. Odpoveď: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Prepíšme rovnicu ako 32x+4,22x+4 = 32x,2x+8, t.j.png" width="181" height="49 src="> Preto x - 4 =0, x = 4. Odpoveď: 4.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Pomocou vlastností mocnín zapíšeme rovnicu v tvare x+1 = 2, x =1. odpoveď: 1.

Banka úloh č.1.

Vyriešte rovnicu:

Test číslo 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) bez koreňov
	1) 7;1 2) bez koreňov 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test č. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) bez koreňov 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Metóda hodnotenia.

Koreňová veta: ak funkcia f (x) rastie (klesá) na intervale I, číslo a je ľubovoľná hodnota, ktorú na tomto intervale nadobúda f, potom rovnica f (x) = a má jeden koreň na intervale I.

Pri riešení rovníc metódou odhadu sa využíva táto veta a vlastnosti monotónnosti funkcie.

Príklady. Riešiť rovnice: 1. 4x = 5 - x.

rozhodnutie. Prepíšme rovnicu ako 4x + x = 5.

1. ak x \u003d 1, potom 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 platí, potom 1 je koreň rovnice.

Funkcia f(x) = 4x je rastúca na R a g(x) = x je rastúca na R => h(x)= f(x)+g(x) je rastúca na R ako súčet rastúcich funkcií, takže x = 1 je jediným koreňom rovnice 4x = 5 – x. odpoveď: 1.

2.

rozhodnutie. Rovnicu prepíšeme do tvaru .

1. ak x = -1, potom , 3 = 3-pravda, takže x = -1 je koreň rovnice.

2. dokázať, že je jedinečný.

3. Funkcia f(x) = - klesá na R, a g(x) = - x - klesá na R => h(x) = f(x) + g(x) - klesá na R, ako súčet klesajúcich funkcií. Takže podľa koreňovej vety je x = -1 jediným koreňom rovnice. odpoveď: -1.

Banka úloh č.2. vyriešiť rovnicu

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 = 1 – x;

4. Metóda zavádzania nových premenných.

Metóda je opísaná v časti 2.1. Zavedenie novej premennej (substitúcia) sa zvyčajne uskutočňuje po transformáciách (zjednodušení) členov rovnice. Zvážte príklady.

Príklady. R jesť rovnica: 1. .

Prepíšme rovnicu inak: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> t.j.png" width="210" height = "45">

rozhodnutie. Prepíšme rovnicu inak:

Označte https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nevhodné.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> je iracionálna rovnica. Upozorňujeme, že

Riešenie rovnice je x = 2,5 ≤ 4, takže 2,5 je koreň rovnice. Odpoveď: 2.5.

rozhodnutie. Prepíšme rovnicu do tvaru a obe strany vydeľme 56x+6 ≠ 0. Dostaneme rovnicu

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, takže..png" width="118" height="56">

Korene kvadratickej rovnice - t1 = 1 a t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

rozhodnutie . Rovnicu prepíšeme do tvaru

a všimnite si, že ide o homogénnu rovnicu druhého stupňa.

Vydelíme rovnicu 42x a dostaneme

Nahraďte https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Odpoveď: 0; 0,5.

Banka úloh č. 3. vyriešiť rovnicu

b)

G)

Test č. 3 s výberom odpovedí. Minimálna úroveň.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
A2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) bez koreňov 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) bez koreňov 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Test č. 4 s výberom odpovedí. Všeobecná úroveň.

A1	1) 2; 1 2) ½; 0 3) 2; 0 4) 0
А2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) bez koreňov

5. Metóda faktorizácie.

1. Vyriešte rovnicu: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Riešenie..png" width="169" height="69"> , odkiaľ

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

rozhodnutie. Vyberme 6x na ľavej strane rovnice a 2x na pravej strane. Dostaneme rovnicu 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Keďže 2x >0 pre všetky x, môžeme obe strany tejto rovnice vydeliť 2x bez strachu, že stratíme riešenia. Dostaneme 3x = 1ó x = 0.

3.

rozhodnutie. Rovnicu riešime faktoringom.

Vyberieme druhú mocninu binomu

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 je koreň rovnice.

Rovnica x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 = 270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x = 1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15,x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test č. 6 Všeobecná úroveň.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1; 3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponenciálne - mocninné rovnice.

K exponenciálnym rovniciam pripájajú takzvané exponenciálne mocninné rovnice, t. j. rovnice v tvare (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Ak je známe, že f(x)>0 a f(x) ≠ 1, potom rovnica, podobne ako exponenciálna, sa rieši tak, že sa exponenty g(x) = f(x) rovnajú.

Ak podmienka nevylučuje možnosť f(x)=0 a f(x)=1, tak pri riešení exponenciálnej mocninnej rovnice musíme tieto prípady zvážiť.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

rozhodnutie. x2 +2x-8 - dáva zmysel pre ľubovoľné x, pretože polynóm, takže rovnica je ekvivalentná množine

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponenciálne rovnice s parametrami.

1. Pre aké hodnoty parametra p má rovnica 4 (5 – 3)•2 +4p2–3p = 0 (1) jednoznačné riešenie?

rozhodnutie. Zavedme zmenu 2x = t, t > 0, potom rovnica (1) bude mať tvar t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0. (2)

Diskriminant rovnice (2) je D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Rovnica (1) má jedinečné riešenie, ak rovnica (2) má jeden kladný koreň. To je možné v nasledujúcich prípadoch.

1. Ak D = 0, teda p = 1, potom rovnica (2) bude mať tvar t2 – 2t + 1 = 0, teda t = 1, preto rovnica (1) má jedinečné riešenie x = 0.

2. Ak p1, potom 9(p – 1)2 > 0, potom rovnica (2) má dva rôzne korene t1 = p, t2 = 4p – 3. Množina systémov spĺňa podmienku úlohy

Nahradením t1 a t2 do systémov máme

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

rozhodnutie. Nechať byť potom rovnica (3) bude mať tvar t2 – 6t – a = 0. (4)

Nájdite hodnoty parametra a, pre ktoré aspoň jeden koreň rovnice (4) spĺňa podmienku t > 0.

Zaveďme funkciu f(t) = t2 – 6t – a. Možné sú nasledujúce prípady.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Prípad 2. Rovnica (4) má jedinečné kladné riešenie, ak

D = 0, ak a = – 9, potom rovnica (4) bude mať tvar (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Prípad 3. Rovnica (4) má dva korene, ale jeden z nich nespĺňa nerovnosť t > 0. To je možné, ak

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Teda pri a 0 má rovnica (4) jediný kladný koreň . Potom rovnica (3) má jedinečné riešenie

Pre< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

Ak< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
ak a = – 9, potom x = – 1;

ak je  0, potom

Porovnajme metódy riešenia rovníc (1) a (3). Všimnite si, že pri riešení rovnice (1) bola redukovaná na kvadratickú rovnicu, ktorej diskriminant je plný štvorec; teda korene rovnice (2) boli okamžite vypočítané podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice a potom boli urobené závery týkajúce sa týchto koreňov. Rovnica (3) bola zredukovaná na kvadratickú rovnicu (4), ktorej diskriminant nie je dokonalý štvorec, preto je vhodné pri riešení rovnice (3) použiť vety o umiestnení koreňov štvorcového trinomu a grafický model. Všimnite si, že rovnicu (4) možno vyriešiť pomocou Vietovej vety.

Poďme riešiť zložitejšie rovnice.

Úloha 3. Vyriešte rovnicu

rozhodnutie. ODZ: x1, x2.

Predstavme si náhradu. Nech 2x = t, t > 0, potom v dôsledku transformácií bude mať rovnica tvar t2 + 2t – 13 – a = 0. (*) Nájdite hodnoty a, pre ktoré je aspoň jeden koreň rovnica (*) spĺňa podmienku t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Odpoveď: ak a > - 13, a  11, a  5, potom ak a - 13,

a = 11, a = 5, potom neexistujú žiadne korene.

Bibliografia.

1. Guzeev základy vzdelávacej technológie.

2. Technológia Guzeev: od recepcie k filozofii.

M. "Riaditeľ" č.4, 1996

3. Guzeev a organizačné formy vzdelávania.

4. Guzeev a prax integrálnej vzdelávacej technológie.

M. "Výchova ľudí", 2001

5. Guzeev z foriem lekcie - seminára.

Matematika v škole č.2, 1987, s.9 - 11.

6. Vzdelávacie technológie Selevko.

M. "Výchova ľudí", 1998

7. Školáci Episheva sa učia matematiku.

M. "Osvietenie", 1990

8. Ivanov pripraviť hodiny - workshopy.

Matematika v škole číslo 6, 1990, s. 37-40.

9. Smirnov model vyučovania matematiky.

Matematika v škole číslo 1, 1997, s. 32-36.

10. Tarasenko spôsoby organizácie praktickej práce.

Matematika v škole číslo 1, 1993, s. 27 - 28.

11. O jednom z druhov samostatnej práce.

Matematika v škole číslo 2, 1994, s.63 - 64.

12. Chazankinské tvorivé schopnosti školákov.

Matematika v škole číslo 2, 1989, s. desať.

13. Scanavi. Vydavateľstvo, 1997

14. a kol., Algebra a začiatky analýzy. Didaktické materiály pre

15. Krivonogovove úlohy z matematiky.

M. "Prvý september", 2002

16. Čerkasov. Príručka pre stredoškolákov a

vstup na univerzity. "A S T - tlačová škola", 2002

17. Zhevnyak pre uchádzačov o štúdium na univerzitách.

Minsk a RF "Recenzia", ​​1996

18. Písomné D. Príprava na skúšku z matematiky. M. Rolf, 1999

19. a iné.Učiť sa riešiť rovnice a nerovnice.

M. "Intelekt - Stred", 2003

20. a iné Vzdelávacie a školiace materiály pre prípravu na E G E.

M. "Intelekt - Stred", 2003 a 2004

21 a iné.Varianty CMM. Testovacie centrum Ministerstva obrany Ruskej federácie, 2002, 2003

22. Goldbergove rovnice. "Quantum" č. 3, 1971

23. Volovič M. Ako úspešne učiť matematiku.

Matematika, 1997 č. 3.

24 Okunev za lekciu, deti! M. Osveta, 1988

25. Yakimanskaya - orientované vzdelávanie v škole.

26. Liimets pracujú na hodine. M. Vedomosti, 1975

Príklady:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Ako riešiť exponenciálne rovnice

Pri riešení akejkoľvek exponenciálnej rovnice sa ju snažíme dostať do tvaru \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \) a potom prejsť na rovnosť ukazovateľov, to znamená:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Napríklad:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Dôležité! Z rovnakej logiky vyplývajú pre takýto prechod dve požiadavky:
- číslo v ľavá a pravá strana by mali byť rovnaké;
- stupne vľavo a vpravo musia byť "čisté", to znamená, že by nemali existovať žiadne, násobenia, delenie atď.

Napríklad:

Na uvedenie rovnice do tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\) a sa používajú.

Príklad . Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
rozhodnutie:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Vieme, že \(27 = 3^3\). S týmto vedomím transformujeme rovnicu.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Vlastnosťou koreňa \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) dostaneme, že \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Ďalej pomocou vlastnosti stupňa \((a^b)^c=a^(bc)\ získame \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Vieme tiež, že \(a^b a^c=a^(b+c)\). Aplikovaním tohto na ľavú stranu dostaneme: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1)=3^(x+0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Teraz si zapamätajte, že: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Tento vzorec možno použiť aj naopak: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Potom \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Aplikovaním vlastnosti \((a^b)^c=a^(bc)\) na pravú stranu dostaneme: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) = 3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		A teraz máme základy rovnaké a neexistujú žiadne rušivé koeficienty atď. Takže môžeme urobiť prechod.
		Príklad . Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) rozhodnutie: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Opäť použijeme vlastnosť stupňa \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) v opačnom smere. \(4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Teraz si zapamätajte, že \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Pomocou vlastností stupňa transformujeme: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Pozorne sa pozrieme na rovnicu a vidíme, že náhrada \(t=2^x\) sa tu sama navrhuje. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Našli sme však hodnoty \(t\) a potrebujeme \(x\). Vraciame sa k X a robíme opačnú substitúciu. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformujte druhú rovnicu pomocou vlastnosti zápornej mocniny... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...a riešte až do odpovede. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Odpoveď : \(-1; 1\). Otázkou zostáva - ako pochopiť, kedy použiť ktorú metódu? Prichádza so skúsenosťami. Medzitým ste sa k tomu nedopracovali, použite všeobecné odporúčanie na riešenie zložitých problémov – „ak nevieš, čo máš robiť, rob, čo môžeš“. To znamená, hľadajte, ako môžete rovnicu v princípe transformovať, a skúste to urobiť - čo ak to vyjde? Hlavná vec je robiť iba matematicky odôvodnené transformácie. exponenciálne rovnice bez riešení Pozrime sa na ďalšie dve situácie, ktoré študentov často mätú: - kladné číslo na mocninu sa rovná nule, napríklad \(2^x=0\); - kladné číslo na mocninu sa rovná zápornému číslu, napríklad \(2^x=-4\). Skúsme to vyriešiť hrubou silou. Ak x je kladné číslo, potom ako x rastie, celá mocnina \(2^x\) bude len rásť: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Tiež minulé. Existujú záporné x. Zapamätajúc si vlastnosť \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\) skontrolujeme: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Napriek tomu, že sa číslo každým krokom zmenšuje, nikdy nedosiahne nulu. Negatívny stupeň nás teda tiež nezachránil. Dostávame sa k logickému záveru: Kladné číslo k ľubovoľnej mocnine zostane kladným číslom. Obidve vyššie uvedené rovnice teda nemajú riešenia. exponenciálne rovnice s rôznymi základmi V praxi sa niekedy vyskytujú exponenciálne rovnice s rôznymi bázami, ktoré nie sú navzájom redukovateľné, a zároveň s rovnakými exponentmi. Vyzerajú takto: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kde \(a\) a \(b\) sú kladné čísla. Napríklad: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Takéto rovnice sa dajú ľahko vyriešiť delením ktoroukoľvek z častí rovnice (zvyčajne delením pravou stranou, teda \ (b ^ (f (x)) \). Takto môžete deliť, pretože kladné číslo je v akomkoľvek stupni kladné (to znamená, že nedelíme nulou.) Získame: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Príklad . Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(5^(x+7)=3^(x+7)\) rozhodnutie: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Tu nemôžeme zmeniť päťku na trojku alebo naopak (aspoň bez použitia). Takže nemôžeme prísť k tvaru \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Zároveň sú ukazovatele rovnaké. Rozdeľme rovnicu pravou stranou, teda \(3^(x+7)\) (môžeme to urobiť, pretože vieme, že trojka nebude v žiadnom stupni nula). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Teraz si zapamätajte vlastnosť \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) a použite ju zľava v opačnom smere. Vpravo jednoducho znížime zlomok. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Nezdalo sa, že by to bolo lepšie. Pamätajte však na ďalšiu vlastnosť stupňa: \(a^0=1\), inými slovami: "akékoľvek číslo s nulovou mocninou sa rovná \(1\)". Platí to aj naopak: "jednotku možno znázorniť ako akékoľvek číslo umocnené na nulu." Využijeme to tak, že základ sprava spravíme rovnaký ako ten vľavo. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Zbavíme sa základov. Píšeme odpoveď. Odpoveď : \(-7\). Niekedy nie je "rovnakosť" exponentov zrejmá, ale zručné využitie vlastností stupňa tento problém rieši. Príklad . Vyriešte exponenciálnu rovnicu \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) rozhodnutie: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Rovnica vyzerá dosť smutne... Nielenže sa nedajú zredukovať základy na rovnaké číslo (sedem sa nebude rovnať \(\frac(1)(3)\)), ale aj ukazovatele sú iné... Použime však ľavú exponentnú dvojku. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Majte na pamäti vlastnosť \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformujte vľavo: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Teraz, keď si pamätáme zápornú mocninu \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformujeme vpravo: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleluja! Skóre je rovnaké! Konajúc podľa schémy, ktorá je nám už známa, sa rozhodneme pred odpoveďou. Odpoveď : \(2\).

Vybavenie:

• počítač,
• multimediálny projektor,
• obrazovka,
• Dodatok 1(prezentácia v PowerPointe) „Metódy riešenia exponenciálnych rovníc“
• príloha 2(Riešenie rovnice ako „Tri rôzne základy stupňov“ vo Worde)
• Dodatok 3(list vo Worde na praktickú prácu).
• Dodatok 4(list vo Worde na domácu úlohu).

Počas vyučovania

1. Organizačná fáza

• posolstvo k téme hodiny (napísané na tabuli),
• potreba zovšeobecňujúcej hodiny v ročníkoch 10-11:

Fáza prípravy študentov na aktívnu asimiláciu vedomostí

Opakovanie

Definícia.

Exponenciálna rovnica je rovnica obsahujúca v exponente premennú (odpovedá žiak).

Poznámka učiteľa. Exponenciálne rovnice patria do triedy transcendentálnych rovníc. Tento ťažko vysloviteľný názov naznačuje, že takéto rovnice sa vo všeobecnosti nedajú riešiť vo forme vzorcov.

Na počítačoch sa dajú vyriešiť len približne numerickými metódami. Ale čo skúšobné otázky? Celý trik je v tom, že skúšajúci poskladá problém tak, že pripustí len analytické riešenie. Inými slovami, môžete (a mali by ste!) robiť také identické transformácie, ktoré zredukujú danú exponenciálnu rovnicu na najjednoduchšiu exponenciálnu rovnicu. Toto je najjednoduchšia rovnica a nazýva sa: najjednoduchšia exponenciálna rovnica. Je to vyriešené logaritmus.

Situácia s riešením exponenciálnej rovnice pripomína cestu bludiskom, ktorú špeciálne vymyslel zostavovateľ úlohy. Z týchto veľmi všeobecných úvah vyplývajú celkom konkrétne odporúčania.

Ak chcete úspešne vyriešiť exponenciálne rovnice, musíte:

1. Nielen aktívne poznať všetky exponenciálne identity, ale nájsť aj množiny hodnôt premennej, na ktorej sú tieto identity definované, aby človek pri používaní týchto identít nezískal zbytočné korene, ba čo viac, nestrácal riešenia rovnice.

2. Aktívne poznať všetky exponenciálne identity.

3. Prehľadne, podrobne a bez chýb vykonajte matematické transformácie rovníc (preneste členy z jednej časti rovnice do druhej, nezabudnite zmeniť znamienko, zlomok zmenšiť na spoločného menovateľa atď.). Toto sa nazýva matematická kultúra. Zároveň by sa samotné výpočty mali vykonávať automaticky rukami a hlava by mala premýšľať o všeobecnom vodítku riešenia. Premeny je potrebné robiť čo najšetrnejšie a najpodrobnejšie. Len to zaručí správne, bezchybné riešenie. A pamätajte: malá aritmetická chyba môže jednoducho vytvoriť transcendentálnu rovnicu, ktorá sa v zásade nedá vyriešiť analyticky. Ukázalo sa, že ste zablúdili a narazili na stenu labyrintu.

4. Poznať metódy riešenia úloh (teda poznať všetky cesty labyrintom riešenia). Pre správnu orientáciu v každej fáze budete musieť (vedome alebo intuitívne!):

• definovať typ rovnice;
• zapamätajte si príslušný typ metóda riešeniaúlohy.

Etapa zovšeobecňovania a systematizácie študovaného materiálu.

Učiteľ spolu so žiakmi za zapojenia počítača prevedie prehľadové zopakovanie všetkých typov exponenciálnych rovníc a spôsobov ich riešenia a zostaví všeobecnú schému. (Používa sa výukový počítačový program L.Ya. Borevského "Kurz matematiky - 2000", autorom prezentácie v PowerPointe je T.N. Kuptsova.)

Ryža. jeden. Obrázok ukazuje všeobecnú schému všetkých typov exponenciálnych rovníc.

Ako je možné vidieť z tohto diagramu, stratégiou riešenia exponenciálnych rovníc je najskôr túto exponenciálnu rovnicu zredukovať na rovnicu, s rovnakými základmi , a potom - a s rovnakými exponentmi.

Po získaní rovnice s rovnakými základmi a exponentmi nahradíte tento stupeň novou premennou a získate jednoduchú algebraickú rovnicu (zvyčajne zlomkovú racionálnu alebo kvadratickú) vzhľadom na túto novú premennú.

Vyriešením tejto rovnice a vykonaním inverznej substitúcie skončíte so súborom jednoduchých exponenciálnych rovníc, ktoré možno vo všeobecnosti vyriešiť pomocou logaritmu.

Rovnice stoja oddelene, v ktorých sa vyskytujú iba produkty (súkromných) mocnín. Pomocou exponenciálnych identít je možné tieto rovnice okamžite priviesť k jednej báze, najmä k najjednoduchšej exponenciálnej rovnici.

Zvážte, ako sa rieši exponenciálna rovnica s tromi rôznymi základňami stupňov.

(Ak má učiteľ učebný počítačový program od L.Ya. Borevského "Kurz matematiky - 2000", potom samozrejme pracujeme s diskom, ak nie, môžete si z neho vytlačiť tento typ rovnice pre každú lavicu, ktorý je uvedený nižšie .)

Ryža. 2. Plán riešenia rovnice.

Ryža. 3. Začiatok riešenia rovnice

Ryža. 4. Koniec riešenia rovnice.

Vykonávanie praktickej práce

Určte typ rovnice a vyriešte ju.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Zhrnutie lekcie

Hodnotenie lekcie.

koniec lekcie

Pre učiteľa

Schéma praktických pracovných odpovedí.

Cvičenie: zo zoznamu rovníc vyberte rovnice zadaného typu (uveďte číslo odpovede do tabuľky):

1. Tri rôzne základne
2. Dve rôzne bázy - rôzne exponenty
3. Základy mocnin - mocniny jedného čísla
4. Rovnaké základy, rôzne exponenty
5. Rovnaké základy exponentov - rovnaké exponenty
6. Súčin síl
7. Dve rôzne základy stupňov - rovnaké ukazovatele
8. Najjednoduchšie exponenciálne rovnice

1. (súčin síl)

2. (rovnaké základy - rôzne exponenty)

Táto lekcia je určená pre tých, ktorí sa práve začínajú učiť exponenciálne rovnice. Ako vždy, začnime definíciou a jednoduchými príkladmi.

Ak čítate túto lekciu, mám podozrenie, že už aspoň minimálne rozumiete najjednoduchším rovniciam – lineárnym a štvorcovým: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ atď. Schopnosť riešiť takéto konštrukcie je absolútne nevyhnutná, aby sme „neviseli“ v téme, o ktorej sa teraz bude diskutovať.

Takže exponenciálne rovnice. Uvediem pár príkladov:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Niektoré sa vám môžu zdať komplikovanejšie, niektoré sú, naopak, príliš jednoduché. Všetky však spája jedna dôležitá vlastnosť: obsahujú exponenciálnu funkciu $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Preto uvádzame definíciu:

Exponenciálna rovnica je každá rovnica, ktorá obsahuje exponenciálnu funkciu, t.j. výraz v tvare $((a)^(x))$. Okrem zadanej funkcie môžu takéto rovnice obsahovať akékoľvek ďalšie algebraické konštrukcie - polynómy, korene, trigonometriu, logaritmy atď.

Dobre teda. Rozumel definícii. Teraz otázka znie: ako vyriešiť všetky tieto svinstvá? Odpoveď je jednoduchá a zložitá zároveň.

Začnime dobrou správou: z mojej skúsenosti s mnohými študentmi môžem povedať, že pre väčšinu z nich sú exponenciálne rovnice oveľa jednoduchšie ako rovnaké logaritmy a ešte viac trigonometria.

Je tu však aj zlá správa: niekedy zostavovateľov úloh pre všetky druhy učebníc a skúšok navštívi „inšpirácia“ a ich drogami zapálený mozog začne produkovať také brutálne rovnice, že nielen pre študentov je ich riešenie problematické - aj mnohí učitelia sa zaseknú na takýchto problémoch.

Nehovorme však o smutných veciach. A vráťme sa k tým trom rovniciam, ktoré boli dané na samom začiatku príbehu. Pokúsme sa vyriešiť každý z nich.

Prvá rovnica: $((2)^(x))=4$. No a na akú moc treba zvýšiť číslo 2, aby sme dostali číslo 4? Možno to druhé? Veď $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — a dostali sme správnu číselnú rovnosť, t.j. naozaj $x=2$. No, ďakujem, čiapočka, ale táto rovnica bola taká jednoduchá, že ju dokázala vyriešiť aj moja mačka. :)

Pozrime sa na nasledujúcu rovnicu:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Tu je to však trochu ťažšie. Mnoho študentov vie, že $((5)^(2))=25$ je násobiteľská tabuľka. Niektorí sa tiež domnievajú, že $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ je v podstate definícia záporných exponentov (podobne ako vo vzorci $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Nakoniec len pár vyvolených tipuje, že tieto fakty možno skombinovať a výsledkom je nasledujúci výsledok:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Naša pôvodná rovnica bude teda prepísaná takto:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Šípka doprava ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

A teraz je to už úplne vyriešené! Na ľavej strane rovnice je exponenciálna funkcia, na pravej strane rovnice je exponenciálna funkcia, inde nie je nič okrem nich. Preto je možné „vyhodiť“ základy a hlúpo prirovnať ukazovatele:

Získali sme najjednoduchšiu lineárnu rovnicu, ktorú môže každý študent vyriešiť iba v niekoľkých riadkoch. Dobre, v štyroch riadkoch:

\[\začiatok(zarovnanie)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\koniec (zarovnanie)\]

Ak ste nerozumeli tomu, čo sa dialo v posledných štyroch riadkoch, určite sa vráťte k téme „lineárne rovnice“ a zopakujte si ju. Pretože bez jasnej asimilácie tejto témy je príliš skoro na to, aby ste sa zaoberali exponenciálnymi rovnicami.

\[((9)^(x))=-3\]

No a ako sa rozhodneš? Prvá myšlienka: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, takže pôvodnú rovnicu možno prepísať takto:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Potom si pripomíname, že pri zvýšení stupňa na moc sa ukazovatele znásobia:

\[((\vľavo(((3)^(2)) \vpravo))^(x))=((3)^(2x))\šípka doprava ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\začiatok(zarovnanie)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\koniec (zarovnanie)\]

A za takéto rozhodnutie dostávame úprimne zaslúženú dvojku. Pretože sme s vyrovnanosťou Pokémona poslali znamienko mínus pred trojicu k sile práve tejto trojky. A to nemôžete urobiť. A preto. Pozrite sa na rôzne mocniny trojky:

\[\begin(matica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matica)\]

Pri zostavovaní tejto tablety som sa nezvrhol hneď, ako som to urobil: považoval som pozitívne stupne, negatívne a dokonca aj zlomkové ... no, kde je tu aspoň jedno záporné číslo? On nie je! A nemôže byť, pretože exponenciálna funkcia $y=((a)^(x))$, po prvé, vždy nadobúda iba kladné hodnoty (bez ohľadu na to, koľko vynásobíte jednu alebo vydelíte dvoma, stále to bude kladné číslo) a po druhé, základ takejto funkcie, číslo $a$, je podľa definície kladné číslo!

Ako teda vyriešiť rovnicu $((9)^(x))=-3$? Nie, nie sú tam žiadne korene. A v tomto zmysle sú exponenciálne rovnice veľmi podobné tým kvadratickým - tiež nemusia existovať žiadne korene. Ale ak v kvadratických rovniciach je počet koreňov určený diskriminantom (diskriminant je kladný - 2 korene, záporný - žiadne korene), potom v exponenciálnych rovniciach všetko závisí od toho, čo je napravo od znamienka rovnosti.

Sformulujeme teda kľúčový záver: najjednoduchšia exponenciálna rovnica v tvare $((a)^(x))=b$ má koreň práve vtedy, keď $b>0$. Keď poznáte tento jednoduchý fakt, môžete ľahko určiť, či rovnica, ktorá vám bola navrhnutá, má korene alebo nie. Tie. oplatí sa to vôbec riešiť alebo rovno napísať, že tam nie sú korene.

Tieto poznatky nám mnohonásobne pomôžu, keď musíme riešiť zložitejšie problémy. Medzitým dosť textov - je čas naštudovať si základný algoritmus na riešenie exponenciálnych rovníc.

Ako riešiť exponenciálne rovnice

Takže sformulujme problém. Je potrebné vyriešiť exponenciálnu rovnicu:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Podľa "naivného" algoritmu, ktorý sme použili predtým, je potrebné reprezentovať číslo $b$ ako mocninu čísla $a$:

Navyše, ak je namiesto premennej $x$ akýkoľvek výraz, dostaneme novú rovnicu, ktorá sa už dá vyriešiť. Napríklad:

\[\začiatok(zarovnanie)& ((2)^(x))=8\šípka doprava ((2)^(x))=((2)^(3))\šípka doprava x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Šípka doprava ((3)^(-x))=((3)^(4))\Šípka doprava -x=4\Šípka doprava x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Šípka doprava ((5)^(2x))=((5)^(3))\Šípka doprava 2x=3\Šípka doprava x=\frac(3)( 2). \\\end(zarovnať)\]

A napodiv, táto schéma funguje asi v 90% prípadov. A čo tých zvyšných 10% potom? Zvyšných 10 % sú mierne „schizofrenické“ exponenciálne rovnice tvaru:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Na akú silu potrebujete zvýšiť 2, aby ste dostali 3? V prvom? Ale nie: $((2)^(1))=2$ nestačí. V druhom? Ani jedno: $((2)^(2))=4$ je príliš veľa. Čo potom?

Znalí študenti už pravdepodobne uhádli: v takých prípadoch, keď nie je možné vyriešiť „krásne“, je s prípadom spojené „ťažké delostrelectvo“ - logaritmy. Dovoľte mi pripomenúť, že pomocou logaritmov môže byť každé kladné číslo vyjadrené ako mocnina akéhokoľvek iného kladného čísla (s výnimkou jedného):

Pamätáte si tento vzorec? Keď hovorím svojim študentom o logaritmoch, vždy vás varujem: tento vzorec (je to aj základná logaritmická identita alebo, ak chcete, definícia logaritmu) vás bude prenasledovať veľmi dlho a „vynorí sa“ vo väčšine prípadov. nečakané miesta. No vynorila sa. Pozrime sa na našu rovnicu a tento vzorec:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

Ak predpokladáme, že $a=3$ je naše pôvodné číslo vpravo a $b=2$ je samotný základ exponenciálnej funkcie, na ktorú chceme znížiť pravú stranu, dostaneme nasledovné:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Šípka doprava ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Šípka doprava x=( (\log )_(2))3. \\\end(zarovnať)\]

Dostali sme trochu zvláštnu odpoveď: $x=((\log )_(2))3$. Pri nejakej inej úlohe by s takouto odpoveďou mnohí zapochybovali a začali svoje riešenie preverovať: čo ak sa niekde stala chyba? Ponáhľam sa vás potešiť: nie je tu žiadna chyba a logaritmy v koreňoch exponenciálnych rovníc sú celkom typickou situáciou. Tak si zvykajte. :)

Teraz analogicky vyriešime zostávajúce dve rovnice:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Šípka doprava x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Šípka doprava ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Šípka doprava 2x=( (\log )_(4))11\Šípka doprava x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Mimochodom, posledná odpoveď môže byť napísaná inak:

Boli sme to my, kto zaviedol multiplikátor do argumentu logaritmu. Ale nikto nám nebráni pridať tento faktor k základu:

Všetky tri možnosti sú navyše správne - sú to len rôzne formy zápisu toho istého čísla. Ktorý si vyberiete a zapíšete do tohto rozhodnutia, je len na vás.

Tak sme sa naučili riešiť akékoľvek exponenciálne rovnice v tvare $((a)^(x))=b$, kde čísla $a$ a $b$ sú striktne kladné. Tvrdá realita nášho sveta je však taká, že takéto jednoduché úlohy vás stretnú veľmi, veľmi zriedka. Častejšie sa stretnete s niečím takým:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(zarovnať)\]

No a ako sa rozhodneš? Dá sa to vôbec riešiť? A ak áno, ako?

Žiadna panika. Všetky tieto rovnice sú rýchlo a jednoducho zredukované na tie jednoduché vzorce, ktoré sme už zvážili. Stačí si vedieť zapamätať pár trikov z kurzu algebry. A samozrejme, neexistujú tu žiadne pravidlá pre prácu s titulmi. O tom všetkom teraz budem hovoriť. :)

Transformácia exponenciálnych rovníc

Prvá vec, ktorú si treba zapamätať, je, že každá exponenciálna rovnica, bez ohľadu na to, aká môže byť zložitá, musí byť tak či onak zredukovaná na najjednoduchšie rovnice – práve tie, ktoré sme už uvažovali a ktoré vieme vyriešiť. Inými slovami, schéma riešenia akejkoľvek exponenciálnej rovnice vyzerá takto:

1. Zapíšte si pôvodnú rovnicu. Napríklad: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Urob nejaké hlúposti. Alebo dokonca nejaké svinstvo s názvom „transformovať rovnicu“;
3. Na výstupe získajte najjednoduchšie výrazy ako $((4)^(x))=4$ alebo niečo podobné. Navyše jedna počiatočná rovnica môže poskytnúť niekoľko takýchto výrazov naraz.

S prvým bodom je všetko jasné - dokonca aj moja mačka môže napísať rovnicu na list. Zdá sa, že aj s tretím bodom je to viac-menej jasné – takých rovníc sme už riešili vyššie.

Ale čo druhý bod? Aké sú premeny? Čo previesť na čo? A ako?

Nuž, poďme na to. V prvom rade by som chcel upozorniť na nasledovné. Všetky exponenciálne rovnice sú rozdelené do dvoch typov:

1. Rovnica sa skladá z exponenciálnych funkcií s rovnakým základom. Príklad: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Vzorec obsahuje exponenciálne funkcie s rôznymi základňami. Príklady: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ a $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09$.

Začnime rovnicami prvého typu – tie sa riešia najjednoduchšie. A pri ich riešení nám pomôže taká technika, ako je výber stabilných výrazov.

Zvýraznenie stabilného výrazu

Pozrime sa ešte raz na túto rovnicu:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

čo vidíme? Štyri sú zvýšené v rôznych stupňoch. Ale všetky tieto mocniny sú jednoduché súčty premennej $x$ s inými číslami. Preto je potrebné pamätať na pravidlá pre prácu s titulmi:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a )^(y))). \\\end(zarovnať)\]

Jednoducho povedané, sčítanie exponentov sa dá previesť na súčin mocnín a odčítanie sa jednoducho prevedie na delenie. Skúsme použiť tieto vzorce na mocniny z našej rovnice:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(zarovnať)\]

Prepíšeme pôvodnú rovnicu s ohľadom na túto skutočnosť a potom zhromaždíme všetky výrazy vľavo:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -jedenásť; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(zarovnať)\]

Prvé štyri výrazy obsahujú prvok $((4)^(x))$ — vyberme ho zo zátvorky:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(zarovnať)\]

Zostáva rozdeliť obe časti rovnice zlomkom $-\frac(11)(4)$, t.j. v podstate vynásobte prevráteným zlomkom - $-\frac(4)(11)$. Dostaneme:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Pôvodnú rovnicu sme zredukovali na najjednoduchšiu a dostali sme konečnú odpoveď.

Zároveň sme v procese riešenia objavili (a dokonca vyňali zo zátvorky) spoločný činiteľ $((4)^(x))$ - toto je stabilný výraz. Môže byť označená ako nová premenná, alebo ju môžete jednoducho presne vyjadriť a získať odpoveď. V každom prípade je kľúčový princíp riešenia nasledovný:

Nájdite v pôvodnej rovnici stabilný výraz obsahujúci premennú, ktorú možno ľahko odlíšiť od všetkých exponenciálnych funkcií.

Dobrou správou je, že takmer každá exponenciálna rovnica pripúšťa takýto stabilný výraz.

Je tu však aj zlá správa: takéto výrazy môžu byť veľmi zložité a môže byť dosť ťažké ich rozlíšiť. Pozrime sa teda na ďalší problém:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Možno si teraz niekto položí otázku: „Pasha, si ukameňovaný? Tu sú rôzne základy - 5 a 0,2. Ale skúsme previesť mocninu so základom 0,2. Zbavme sa napríklad desatinného zlomku a privedieme ho k obvyklému:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Ako vidíte, číslo 5 sa predsa len objavilo, aj keď v menovateli. Zároveň bol ukazovateľ prepísaný na negatívny. A teraz si pripomenieme jedno z najdôležitejších pravidiel pre prácu s titulmi:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Šípka doprava ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Tu som, samozrejme, trochu podvádzal. Pretože pre úplné pochopenie musel byť vzorec na zbavenie sa negatívnych ukazovateľov napísaný takto:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Šípka doprava ((\doľava(\frac(1)(5) \doprava))^(-\doľava(x+1 \doprava)))=((\doľava(\frac(5)(1) \ vpravo))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Na druhej strane nám nič nebránilo pracovať len s jedným zlomkom:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=(\left(((5)^(-1)) \ vpravo))^(-\vľavo(x+1 \vpravo)))=((5)^(\vľavo(-1 \vpravo)\cdot \vľavo(-\vľavo(x+1 \vpravo) \vpravo) ))=((5)^(x+1))\]

Ale v tomto prípade musíte byť schopní zvýšiť stupeň na iný stupeň (pripomínam vám: v tomto prípade sa ukazovatele sčítavajú). Ale nemusel som zlomky „preklápať“ - možno to pre niekoho bude jednoduchšie. :)

V každom prípade bude pôvodná exponenciálna rovnica prepísaná takto:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(zarovnať)\]

Ukazuje sa teda, že pôvodnú rovnicu je možné vyriešiť ešte jednoduchšie ako predtým zvažovanú rovnicu: tu ani nemusíte vyberať stabilný výraz - všetko sa zredukovalo samo. Zostáva len pamätať si, že $1=((5)^(0))$, odkiaľ dostaneme:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\end(zarovnať)\]

To je celé riešenie! Dostali sme konečnú odpoveď: $x=-2$. Zároveň by som rád poznamenal jeden trik, ktorý nám výrazne zjednodušil všetky výpočty:

V exponenciálnych rovniciach sa určite zbavte desatinných zlomkov, preložte ich na obyčajné. To vám umožní vidieť rovnaké základy stupňov a výrazne zjednodušiť riešenie.

Teraz prejdime k zložitejším rovniciam, v ktorých sú rôzne bázy, ktoré sa vo všeobecnosti navzájom nedajú redukovať pomocou mocnín.

Použitie vlastnosti exponent

Dovoľte mi pripomenúť, že máme dve obzvlášť drsné rovnice:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\end(zarovnať)\]

Hlavným problémom je, že nie je jasné, čo a na akom základe viesť. Kde sú ustálené výrazy? Kde sú spoločné dôvody? Nič z toho neexistuje.

Ale skúsme ísť inou cestou. Ak neexistujú žiadne hotové identické základne, môžete sa ich pokúsiť nájsť rozpočítaním dostupných základov.

Začnime prvou rovnicou:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cbodka 3\šípka doprava ((21)^(3x))=((\vľavo(7\cbodka 3 \vpravo))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\end(zarovnať)\]

Ale koniec koncov môžete urobiť opak - vytvorte číslo 21 z čísel 7 a 3. Je to obzvlášť ľahké urobiť vľavo, pretože ukazovatele oboch stupňov sú rovnaké:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(zarovnať)\]

To je všetko! Vybrali ste exponent zo súčinu a okamžite ste dostali krásnu rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť niekoľkými riadkami.

Teraz sa poďme zaoberať druhou rovnicou. Tu je všetko oveľa komplikovanejšie:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

V tomto prípade sa zlomky ukázali ako nezredukovateľné, ale ak by sa niečo dalo znížiť, určite to zredukujte. Výsledkom sú často zaujímavé dôvody, s ktorými už môžete pracovať.

Žiaľ, na nič sme neprišli. Vidíme však, že exponenty vľavo v súčine sú opačné:

Dovoľte mi pripomenúť vám: aby ste sa zbavili znamienka mínus v exponente, stačí zlomok „prehodiť“. Prepíšme teda pôvodnú rovnicu:

\[\začiatok(zarovnanie)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(zarovnať)\]

V druhom riadku sme len uzavreli súčet zo súčinu podľa pravidla $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right ))^ (x))$ a v tom druhom jednoducho vynásobili číslo 100 zlomkom.

Teraz si všimnite, že čísla vľavo (v základni) a vpravo sú trochu podobné. ako? Áno, samozrejme: sú to mocnosti rovnakého čísla! Máme:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \vpravo))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10) \vpravo))^(2)). \\\end(zarovnať)\]

Naša rovnica bude teda prepísaná takto:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \vpravo))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \vpravo))^(3\vľavo(x-1 \vpravo)))=((\vľavo(\frac(10)(3) \vpravo))^(3x-3))\]

Zároveň vpravo môžete získať aj stupeň s rovnakým základom, na ktorý stačí zlomok „prehodiť“:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Nakoniec naša rovnica bude mať tvar:

\[\začiatok(zarovnanie)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(zarovnať)\]

To je celé riešenie. Jeho hlavná myšlienka spočíva v tom, že aj keď máme rôzne dôvody, pokúšame sa tieto dôvody postupne zredukovať na jeden a ten istý. V tom nám pomáhajú elementárne transformácie rovníc a pravidlá pre prácu s mocninami.

Ale aké pravidlá a kedy použiť? Ako pochopiť, že v jednej rovnici musíte obe strany niečím rozdeliť a v inej - rozložiť základ exponenciálnej funkcie na faktory?

Odpoveď na túto otázku prinesie skúsenosť. Vyskúšajte si najprv jednoduché rovnice a potom úlohy postupne komplikujte - a čoskoro budú vaše schopnosti stačiť na vyriešenie akejkoľvek exponenciálnej rovnice z rovnakého USE alebo akejkoľvek nezávislej / testovacej práce.

A aby som vám pomohol v tejto ťažkej úlohe, navrhujem stiahnuť súbor rovníc z mojej webovej stránky na nezávislé riešenie. Všetky rovnice majú odpovede, takže si ich môžete kedykoľvek overiť.

Na youtube kanál našej stránky, aby ste boli informovaní o všetkých nových video lekciách.

Najprv si pripomeňme základné vzorce stupňov a ich vlastnosti.

Súčin čísla a sa samo o sebe stane n-krát, môžeme tento výraz zapísať ako a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Mocninné alebo exponenciálne rovnice- Sú to rovnice, v ktorých sú premenné v mocninách (alebo exponentoch) a základom je číslo.

Príklady exponenciálnych rovníc:

V tomto príklade je číslo 6 základ, je vždy na spodku a premenná X stupňa alebo miery.

Uveďme viac príkladov exponenciálnych rovníc.
2 x * 5 = 10
16x-4x-6=0

Teraz sa pozrime, ako sa riešia exponenciálne rovnice?

Zoberme si jednoduchú rovnicu:

2 x = 2 3

Takýto príklad sa dá vyriešiť aj v mysli. Je možné vidieť, že x=3. Koniec koncov, aby boli ľavá a pravá strana rovnaké, musíte namiesto x zadať číslo 3.
Teraz sa pozrime, ako by sa malo toto rozhodnutie urobiť:

2 x = 2 3
x = 3

Na vyriešenie tejto rovnice sme odstránili rovnaké dôvody(teda dvojky) a zapísal čo ostalo, to sú stupne. Dostali sme odpoveď, ktorú sme hľadali.

Teraz zhrňme naše riešenie.

Algoritmus na riešenie exponenciálnej rovnice:
1. Treba skontrolovať rovnakýči základy rovnice vpravo a vľavo. Ak dôvody nie sú rovnaké, hľadáme možnosti riešenia tohto príkladu.
2. Keď sú základy rovnaké, prirovnať stupňa a vyriešiť výslednú novú rovnicu.

Teraz poďme vyriešiť niekoľko príkladov:

Začnime jednoducho.

Základy na ľavej a pravej strane sa rovnajú číslu 2, čo znamená, že základňu môžeme zahodiť a priradiť ich stupňom.

x+2=4 Ukázalo sa, že najjednoduchšia rovnica.
x = 4 - 2
x=2
Odpoveď: x=2

V nasledujúcom príklade môžete vidieť, že základy sú rôzne, sú to 3 a 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Na začiatok prenesieme deväť na pravú stranu, dostaneme:

Teraz musíte urobiť rovnaké základy. Vieme, že 9=3 2 . Použime mocninný vzorec (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Dostaneme 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 teraz je jasné, že základy na ľavej a pravej strane sú rovnaké a rovnajú sa trom, čo znamená, že ich môžeme zahodiť a vyrovnať stupne.

3x=2x+16 dostala najjednoduchšiu rovnicu
3x-2x=16
x=16
Odpoveď: x=16.

Pozrime sa na nasledujúci príklad:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

V prvom rade sa pozrieme na základne, základne sú rôzne dva a štyri. A my musíme byť rovnakí. Štvornásobok transformujeme podľa vzorca (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

A tiež používame jeden vzorec a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridajte do rovnice:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Z rovnakých dôvodov sme uviedli príklad. Ale prekážajú nám ďalšie čísla 10 a 24. Čo s nimi? Ak sa pozriete pozorne, môžete vidieť, že na ľavej strane opakujeme 2 2x, tu je odpoveď - môžeme dať 2 2x zo zátvoriek:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Vypočítajme výraz v zátvorkách:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Celú rovnicu vydelíme 6:

Predstavte si 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 základy sú rovnaké, zahoďte ich a porovnajte stupne.
2x \u003d 2 sa ukázalo ako najjednoduchšia rovnica. Vydelíme 2, dostaneme
x = 1
Odpoveď: x = 1.

Poďme vyriešiť rovnicu:

9 x - 12 x 3 x +27 = 0

Poďme sa transformovať:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Dostaneme rovnicu:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Základy sú pre nás rovnaké, rovné 3. Na tomto príklade je vidieť, že prvá trojka má stupeň dvakrát (2x) ako druhá (len x). V tomto prípade sa môžete rozhodnúť substitučná metóda. Číslo s najmenším stupňom sa nahrádza takto:

Potom 3 2x \u003d (3x) 2 \u003d t 2

Všetky stupne nahradíme x v rovnici s t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Dostaneme kvadratickú rovnicu. Riešime cez diskriminant, dostaneme:
D = 144-108 = 36
t1 = 9
t2 = 3

Späť na premennú X.

Berieme t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

teda

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Našiel sa jeden koreň. Hľadáme druhého, od t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Odpoveď: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Na stránke sa môžete v sekcii POMOC ROZHODNÚŤ klásť otázky, ktoré vás zaujímajú, určite vám odpovieme.

Pripojte sa ku skupine