Ekvipotenciálne plochy a elektrostatické siločiary.

Chcel by som byť schopný vizualizovať elektrostatické pole. Pole skalárneho potenciálu možno geometricky znázorniť ako kolekciu ekvipotenciálne plochy ( v plochom prípade - čiary) alebo rovné plochy, ako ich nazývajú matematici:

Pre každý takýto povrch platí nasledujúca podmienka (podľa definície!):

(*)

Túto podmienku reprezentujeme v ekvivalentnom zápise:

Tu patrí uvažovaná plocha, vektor je kolmý na prvok plochy (skalárny súčin nenulových vektorov sa rovná nule práve za tejto podmienky). Máme možnosť určiť jednotkový normálový vektor k uvažovanému plošnému prvku:

Keď sa vrátime k fyzike, dospejeme k záveru vektor intenzity elektrostatického poľa je kolmý na ekvipotenciálnu plochu tohto poľa!

Matematický obsah pojmu "gradient skalárneho poľa":

Smer vektora je smer, v ktorom funkcia rastie najrýchlejšie;

Toto je prírastok funkcie na jednotku dĺžky v smere maximálneho nárastu.

Ako vybudovať ekvipotenciálnu plochu?

Nech ekvipotenciálna plocha daná rovnicou (*) prechádza cez bod v priestore so súradnicami ( x,y,z). Nastavme napríklad ľubovoľne malé posuny dvoch súradníc x=>x+dx a y=>y+dy. Z rovnice (*) určíme požadovaný posun dz tak, že koncový bod zostane na uvažovanej ekvipotenciálnej ploche. Týmto spôsobom sa môžete „dostať“ do požadovaného bodu na povrchu.

Siločiara vektorového poľa.

Definícia. Dotyčnica k siločiare sa zhoduje v smere s vektorom, ktorý určuje uvažované vektorové pole.

Vektor a vektor sú v rovnakom smere (t. j. navzájom rovnobežné), ak

V súradnicovom zápise máme:

Je ľahké vidieť, že vzťahy sú platné:

K rovnakému výsledku môžete dospieť, ak zapíšete podmienku rovnobežnosti dvoch vektorov pomocou ich krížového súčinu:

Takže máme vektorové pole . Zvážte elementárny vektor ako prvok siločiary vektorového poľa.

V súlade s definíciou siločiary musia byť splnené tieto vzťahy:

(**)

Takto vyzerajú diferenciálne rovnice siločiary. Analytické riešenie tohto systému rovníc je možné získať vo veľmi zriedkavých prípadoch (pole bodového náboja, konštantné pole atď.). Ale nie je ťažké graficky vykresliť rodinu siločiar.

Nechajte siločiaru prechádzať bodom so súradnicami ( x,y,z). Hodnoty projekcií vektora napätia do súradnicových smerov v tomto bode sú nám známe. Zvolíme ľubovoľne malé miešanie, napr. x=>x+dx. Podľa rovníc (**) určíme potrebné posuny D Y a dz. Presunuli sme sa teda na susedný bod poľnej čiary.V stavebnom procese sa môže pokračovať.

NB! (Nota bene!). Siločiara neurčuje úplne vektor napätia. Ak je na siločiare nastavený kladný smer, vektor napätia môže byť smerovaný v kladnom alebo zápornom smere (ale pozdĺž čiary!). Siločiara neurčuje modul vektora (t. j. jeho hodnotu) uvažovaného vektorového poľa.

Vlastnosti zadaných geometrických objektov:

Ekvipotenciálny povrch ekvipotenciálna plocha

povrch, ktorého všetky body majú rovnaký potenciál. Ekvipotenciálna plocha je ortogonálna k siločiaram. Povrch vodiča v elektrostatike je ekvipotenciálny povrch.

ekvipotenciálna plocha, plocha vo všetkých bodoch, ktorej potenciál (cm. POTENCIÁL (vo fyzike)) elektrické pole má rovnakú hodnotu j= konšt. V rovine sú tieto povrchy ekvipotenciálnymi siločiarami. Používa sa na grafické zobrazenie potenciálneho rozdelenia.
Ekvipotenciálne plochy sú uzavreté a nepretínajú sa. Obraz ekvipotenciálnych plôch sa vykonáva tak, že potenciálne rozdiely medzi susednými ekvipotenciálnymi plochami sú rovnaké. V tomto prípade v tých oblastiach, kde sú čiary ekvipotenciálnych plôch hustejšie, je intenzita poľa väčšia.
Medzi akýmikoľvek dvoma bodmi na ekvipotenciálnej ploche je potenciálny rozdiel nulový. To znamená, že vektor sily v ktoromkoľvek bode trajektórie náboja pozdĺž ekvipotenciálnej plochy je kolmý na vektor rýchlosti. Preto línie napätia (cm. SILA ELEKTRICKÉHO POĽA) elektrostatické polia sú kolmé na ekvipotenciálnu plochu. Inými slovami: ekvipotenciálna plocha je kolmá na siločiary (cm. ELEKTRICKÉ VEDENIE) poľa a vektor intenzity elektrického poľa E je vždy kolmý na ekvipotenciálne plochy a vždy smeruje v smere klesajúceho potenciálu. Práca síl elektrického poľa pri akomkoľvek pohybe náboja po ekvipotenciálnej ploche je nulová, pretože?j = 0.
Ekvipotenciálne plochy poľa bodového elektrického náboja sú gule, v strede ktorých sa náboj nachádza. Ekvipotenciálne plochy rovnomerného elektrického poľa sú roviny kolmé na čiary napätia. Povrch vodiča v elektrostatickom poli je ekvipotenciálny povrch.

encyklopedický slovník. 2009 .

Pozrite sa, čo je "ekvipotenciálna plocha" v iných slovníkoch:

Povrch, ktorého všetky body majú rovnaký potenciál. Ekvipotenciálna plocha je ortogonálna k siločiaram. Povrch vodiča v elektrostatike je ekvipotenciálny povrch... Veľký encyklopedický slovník

Povrch, všetky body do roja majú rovnaký potenciál. Napríklad povrch vodiča v elektrostatike E. p. Fyzikálny encyklopedický slovník. Moskva: Sovietska encyklopédia. Šéfredaktor A. M. Prochorov. 1983... Fyzická encyklopédia

ekvipotenciálna plocha- — [Ya.N. Luginsky, M.S. Fezi Zhilinskaya, Yu.S. Kabirov. Anglický ruský slovník elektrotechniky a energetiky, Moskva, 1999] Témy z elektrotechniky, základné pojmy EN povrch rovnakého potenciálurovnaká energia povrchekvipotenciál ... ... Technická príručka prekladateľa

Ekvipotenciálne plochy elektrického dipólu (tmavo znázornené sú ich prierezy rovinou obrázku; farba podmienene vyjadruje hodnotu potenciálu v rôznych bodoch, najvyššie hodnoty sú fialová a červená, n ... Wikipedia

ekvipotenciálna plocha- vienodo potencialo paviršius statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ekvipotenciálna plocha vok. Äquipotentialfläche, f rus. ekvipotenciálna plocha, fpranc. povrchová depotenciálna konštanta, f; povrch d'égal potenciel, f; povrch… … Fizikos terminų žodynas

Plocha s rovnakým potenciálom, plocha, ktorej všetky body majú rovnaký potenciál. Napríklad povrch vodiča v elektrostatike E. p. V silovom poli sú siločiary kolmé (kolmé) na E. p ... Veľká sovietska encyklopédia

- (z lat. aequus rovný a potenciálny) geom. miesto bodov v poli, na oko zodpovedá rovnakej hodnote potenciálu. E. p. sú kolmé na siločiary. Ekvipotenciál je napríklad povrch vodiča v elektrostatickom ... ... Veľký encyklopedický polytechnický slovník

TEORETICKÉ ZÁKLADY PRÁCE.

Medzi silou elektrického zlomku a elektrickým potenciálom existuje integrálny a diferenciálny vzťah:

j 1 - j 2 = ∫ E dl (1)

E=-grad j (2)

Elektrické pole možno graficky znázorniť dvoma spôsobmi, ktoré sa navzájom dopĺňajú: pomocou ekvipotenciálnych plôch a ťahových čiar (siločiar).

Plocha, ktorej všetky body majú rovnaký potenciál, sa nazýva ekvipotenciálna plocha. Priamka jej priesečníka s rovinou výkresu sa nazýva ekvipotenciál. Siločiary - čiary, dotyčnice, ktoré sa v každom bode zhodujú so smerom vektora E . Na obrázku 1 bodkované čiary znázorňujú ekvipotenciály, plné čiary znázorňujú siločiary elektrického poľa.

Obr.1

Potenciálny rozdiel medzi bodmi 1 a 2 je 0, pretože sú na rovnakom ekvipotenciáli. V tomto prípade z (1):

∫E dl = 0 alebo ∫E dlcos ( Edl ) = 0 (3)

Pokiaľ ide o E a dl vo výraze (3) sa teda nerovnajú 0 cos ( Edl ) = 0 . Preto je uhol medzi ekvipotenciálom a siločiarou p/2.

Z diferenciálneho vzťahu (2) vyplýva, že siločiary smerujú vždy v smere klesajúceho potenciálu.

Veľkosť intenzity elektrického poľa je určená "hrúbkou" siločiar. Čím sú siločiary hrubšie, tým je vzdialenosť medzi ekvipotenciálami menšia, takže siločiary a ekvipotenciály tvoria „krivkové štvorce“. Na základe týchto princípov je možné zostrojiť obraz siločiar s obrazom ekvipotenciálov a naopak.

Dostatočne úplný obraz ekvipotenciálu poľa nám umožňuje vypočítať v rôznych bodoch hodnotu priemetu vektora intenzity E do zvoleného smeru X , spriemerované za určitý interval súradnice ∆x :

E porov. ∆х = - ∆ j /∆х,

kde ∆x - prírastok súradníc pri prechode z jedného ekvipotenciálu do druhého,

∆ j - zodpovedajúce zvýšenie potenciálu,

E porov. ∆х - zlý E x medzi dvoma potenciálmi.

POPIS INŠTALÁCIE A TECHNIKY MERANIA.

Na modelovanie elektrického poľa je vhodné použiť analógiu, ktorá existuje medzi elektrickým poľom vytvoreným nabitými telesami a elektrickým poľom jednosmerného prúdu pretekajúceho cez vodivú vrstvu s rovnomernou vodivosťou. V tomto prípade sa umiestnenie siločiar elektrického poľa ukáže byť podobné umiestneniu čiar elektrických prúdov.

Rovnaké tvrdenie platí pre potenciály. Rozloženie potenciálov poľa vo vodivom filme je rovnaké ako v elektrickom poli vo vákuu.

Ako vodivý film je v práci použitý elektricky vodivý papier s rovnakou vodivosťou vo všetkých smeroch.

Elektródy sú umiestnené na papieri tak, aby bol medzi každou elektródou a vodivým papierom dobrý kontakt.

Prevádzková schéma inštalácie je znázornená na obrázku 2. Inštalácia pozostáva z modulu II, vonkajšieho prvku I, indikátora III, napájacieho zdroja IV. Modul slúži na pripojenie všetkých používaných zariadení. Vzdialeným prvkom je dielektrický panel 1, na ktorý je položený list bieleho papiera 2, naň list uhlíkového papiera 3, potom list vodivého papiera 4, na ktorom sú pripevnené elektródy 5. Napätie je dodávané k elektródam z modulu II pomocou spojovacích vodičov. Indikátor III a sonda 6 sa používajú na určenie potenciálov bodov na povrchu elektricky vodivého papiera.

Ako sonda sa používa drôt so zástrčkou na konci. Potenciál j sonda sa rovná potenciálu bodu na povrchu elektricky vodivého papiera, ktorého sa dotýka. Súbor bodov poľa s rovnakým potenciálom je obrazom ekvipotenciálu poľa. Napájací zdroj IV sa používa ako napájací zdroj TES - 42, ktorý sa k modulu pripája pomocou konektora na zadnej stene modulu. Ako indikátor Ш sa používa voltmeter V7 - 38.

PORIADOK VÝKONU PRÁCE.

1. Položte list bieleho papiera na panel 1 2. Položte naň uhlíkový papier 3 a list vodivého papiera 4 (obr. 2).

2. Nainštalujte elektródy 5 na elektricky vodivý papier a zaistite ich maticami.

3. Pripojte napájací zdroj IV (TEC-42) k modulu pomocou konektora na zadnej stene modulu.

4. Pomocou dvoch vodičov pripojte indikátor III (V7-38 voltmeter) k zásuvkám „PV“ na prednom paneli modulu. Na meranie jednosmerného napätia stlačte príslušné tlačidlo na voltmetri (obr. 2).

5. Pomocou dvoch vodičov pripojte elektródy 5 k modulu P.

6. Pripojte sondu (kábel s dvoma zástrčkami) do zásuvky na prednom paneli modulu.

7. Pripojte stojan k sieti 220 V. Zapnite hlavné napájanie stojana.

Na vizuálne znázornenie vektorových polí sa používa vzor siločiar. Siločiara je imaginárna matematika krivka v priestore, smer dotyčnice, ku ktorej v každom bod, ktorým prechádza, sa zhoduje so smerom vektora polia v rovnakom bode(obr. 1.17).
Ryža. 1.17:
Podmienku rovnobežnosti vektora E → a dotyčnice možno zapísať ako rovnosť nule vektorového súčinu E → a oblúkového prvku d r → siločiary:

Ekvipotenciál je povrch čo je konštantná hodnota elektrického potenciáluφ . V poli bodového náboja, ako je znázornené na obr. , guľové plochy so stredmi v mieste náboja sú ekvipotenciálne; to možno vidieť z rovnice ϕ = q ∕ r = konšt.

Analýzou geometrie elektrických siločiar a ekvipotenciálnych plôch možno naznačiť množstvo všeobecných vlastností geometrie elektrostatického poľa.

Po prvé, siločiary začínajú pri nábojoch. Buď idú do nekonečna, alebo skončia na iných nábojoch, ako na obr. .

Po druhé, v potenciálnom poli nie je možné uzavrieť siločiary. Inak by bolo možné naznačiť takú uzavretú slučku, že práca elektrického poľa pri pohybe náboja po tejto slučke sa nerovná nule.

Po tretie, siločiary pretínajú akýkoľvek ekvipotenciál pozdĺž normály k nej. Elektrické pole je totiž nasmerované všade v smere najrýchlejšieho poklesu potenciálu a na ekvipotenciálnej ploche je potenciál podľa definície konštantný (obr. ).
Ryža. 1,20 :
A napokon siločiary sa nikde nepretínajú okrem bodov, kde E → = 0 . Priesečník siločiar znamená, že pole v priesečníku je nejednoznačnou funkciou súradníc a vektor E → nemá určený smer. Jediný vektor, ktorý má túto vlastnosť, je nulový vektor. Štruktúra elektrického poľa v blízkosti nulového bodu bude analyzovaná v úlohách do ?? .

Metóda siločiar je samozrejme použiteľná na grafické znázornenie ľubovoľných vektorových polí. Takže v kapitole stretneme sa s pojmom magnetické siločiary. Geometria magnetického poľa je však úplne odlišná od geometrie elektrického poľa.

Ryža. 1.21:
Pojem siločiar úzko súvisí s pojmom siločiar. Vezmime ľubovoľnú uzavretú slučku L a nakreslíme elektrickú siločiaru cez každý jej bod (obr. ). Tieto čiary tvoria silovú trubicu. Uvažujme ľubovoľný rez rúrky povrchom S . Kladnú normálu nakreslíme v rovnakom smere, v akom sú nasmerované siločiary. Nech N je tok vektora E → rezom S . Je ľahké vidieť, že ak vo vnútri trubice nie sú žiadne elektrické náboje, potom tok N zostáva rovnaký po celej dĺžke trubice. Aby sme to dokázali, musíme vziať ďalší prierez S′. Podľa Gaussovej vety je tok elektrického poľa cez uzavretý povrch obmedzený bočným povrchom trubice a úsekmi S , S ' rovný nule, pretože vo vnútri silovej trubice nie sú žiadne elektrické náboje. Prietok bočnou plochou je nulový, pretože vektor E → sa dotýka tejto plochy. Preto sa prietok cez úsek S ′ numericky rovná N, ale v opačnom znamienku. Vonkajšia normála k uzavretému povrchu na tomto úseku smeruje opačne n → . Ak nasmerujeme normálu rovnakým smerom, potom sa prietoky cez úseky S a S ′ zhodujú v rozsahu aj znamienkach. Najmä, ak je rúrka nekonečne tenká a časti S a S' sú k nej normálne

E S = E'S'.

Ukazuje sa úplná analógia s prúdením nestlačiteľnej tekutiny. Tam, kde je trubica tenšia, je pole E → silnejšie. V miestach, kde je širší, je pole E → silnejšie. Preto možno silu elektrického poľa posúdiť z hustoty siločiar.

Pred vynálezom počítačov sa na experimentálnu reprodukciu siločiar vzala sklenená nádoba s plochým dnom a do nej sa naliala nevodivá kvapalina, napríklad ricínový olej alebo glycerín. Práškové kryštály sadry, azbestu alebo akýchkoľvek iných podlhovastých častíc boli rovnomerne vmiešané do kvapaliny. Kovové elektródy boli ponorené do kvapaliny. Po pripojení k zdrojom elektriny vybudia elektródy elektrické pole. V tomto poli sú častice elektrifikované a sú navzájom priťahované opačne zelektrizovanými koncami a sú usporiadané vo forme reťazcov pozdĺž siločiar. Obraz siločiar je skreslený tokmi tekutín spôsobenými silami, ktoré naň pôsobia v nehomogénnom elektrickom poli.

Ešte treba urobiť
Ryža. 1,22:
Najlepšie výsledky dosahuje metóda, ktorú použil Robert W. Pohl (1884-1976). Oceľové elektródy sú nalepené na sklenenú dosku, medzi ktorou vzniká elektrické napätie. Potom sa na dosku nalejú podlhovasté častice, napríklad kryštály sadry, a zľahka na ňu poklepú. Sú umiestnené pozdĺž nej pozdĺž siločiar. Na obr. ?? je znázornený obrázok siločiar získaných týmto spôsobom medzi dvoma opačne nabitými kruhmi rámu.

▸ Úloha 9.1

Napíšte rovnicu siločiar v ľubovoľnej ortogonálnej polohe súradnice.

▸ Úloha 9.2

Napíšte rovnicu siločiar v sférických súradniciach.

Ekvipotenciálne plochy sú také plochy, ktorých každý z bodov má rovnaký potenciál. To znamená, že na ekvipotenciálnej ploche má elektrický potenciál konštantnú hodnotu. Takýto povrch je povrchom vodičov, pretože ich potenciál je rovnaký.

Predstavte si taký povrch, pre dva body, ktorého potenciálny rozdiel bude rovný nule. Toto bude ekvipotenciálna plocha. Pretože má rovnaký potenciál. Ak uvažujeme ekvipotenciálnu plochu v dvojrozmernom priestore, povedzme na výkrese, potom bude mať tvar čiary. Práca síl elektrického poľa na pohyb elektrického náboja pozdĺž tejto čiary sa bude rovnať nule.

Jednou z vlastností ekvipotenciálnych plôch je, že sú vždy kolmé na siločiary. Táto vlastnosť môže byť formulovaná a naopak. Akýkoľvek povrch, ktorý je vo všetkých bodoch kolmý na siločiary elektrického poľa, sa nazýva ekvipotenciálny povrch.

Také povrchy sa tiež nikdy navzájom nepretínajú. Pretože by to znamenalo rozdiel v potenciáli v rámci toho istého povrchu, čo je v rozpore s definíciou. Tiež sú vždy zatvorené. Plochy s rovnakým potenciálom nemôžu začať a ísť do nekonečna bez jasných hraníc.

Výkresy spravidla nemusia zobrazovať celý povrch. Častejšie zobrazujú kolmý rez k ekvipotenciálnym plochám. Degenerujú sa teda do línií. To sa ukazuje ako celkom postačujúce na odhad distribúcie tohto poľa. Pri grafickom znázornení sú plochy umiestnené v rovnakom intervale. To znamená, že medzi dvoma susednými povrchmi je pozorovaný rovnaký krok, povedzme jeden volt. Potom podľa hustoty čiar tvorených rezom ekvipotenciálnych plôch možno posúdiť silu elektrického poľa.

Uvažujme napríklad pole vytvorené bodovým elektrickým nábojom. Siločiary takéhoto poľa sú radiálne. To znamená, že začínajú v strede náboja a idú do nekonečna, ak je náboj kladný. Alebo smerované k náboju, ak je záporné. Ekvipotenciálne povrchy takéhoto poľa budú mať tvar guľôčok sústredených v náboji a odchyľujúcich sa od neho. Ak znázorníme dvojrozmerný rez, potom budú ekvipotenciálne čiary vo forme sústredných kruhov, ktorých stred je tiež umiestnený v náboji.

Obrázok 1 - ekvipotenciálne čiary bodového náboja

Pre rovnomerné pole, ako je napríklad pole medzi doskami elektrického kondenzátora, budú mať povrchy s rovnakým potenciálom tvar rovín. Tieto roviny sú navzájom rovnobežné v rovnakej vzdialenosti. Je pravda, že na okrajoch platní bude vzor poľa skreslený v dôsledku okrajového efektu. Ale predstavujeme si, že taniere sú nekonečne dlhé.

Obrázok 2 - rovnomerné ekvipotenciálne čiary poľa

Na znázornenie ekvipotenciálnych čiar pre pole vytvorené dvoma nábojmi rovnakej veľkosti a opačného znamienka nestačí použiť princíp superpozície. Pretože v tomto prípade, keď sú dva obrazy bodových nábojov superponované, budú existovať priesečníky siločiar. Ale to nemôže byť, pretože pole nemôže byť nasmerované dvoma rôznymi smermi naraz. V tomto prípade je potrebné problém vyriešiť analyticky.

Obrázok 3 - Obrázok poľa dvoch elektrických nábojov