Kinetická energia rotujúceho telesa. Kinetická energia pri rotačnom pohybe

Kinetická energia je aditívna veličina. Preto sa kinetická energia tela pohybujúceho sa ľubovoľným spôsobom rovná súčtu kinetických energií všetkých n hmotných bodov, na ktoré možno toto teleso mentálne rozdeliť:

Ak sa teleso otáča okolo pevnej osi z uhlovou rýchlosťou , potom lineárna rýchlosť i-tého bodu , Ri je vzdialenosť k osi otáčania. teda

Porovnaním je možné vidieť, že moment zotrvačnosti telesa I je mierou zotrvačnosti počas rotačného pohybu, rovnako ako hmotnosť m je mierou zotrvačnosti počas translačného pohybu.

Vo všeobecnom prípade možno pohyb tuhého telesa znázorniť ako súčet dvoch pohybov - translačného s rýchlosťou vc a rotačného s uhlovou rýchlosťou ω okolo okamžitej osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti. Potom celková kinetická energia tohto telesa

Tu Ic je moment zotrvačnosti okolo okamžitej osi rotácie prechádzajúcej stredom zotrvačnosti.

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu.

Rotačná dynamika

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu:

alebo M=Je, kde M je moment sily M = [ r F ] , J - moment zotrvačnosti je moment hybnosti telesa.

ak M(vonkajšia)=0 - zákon zachovania momentu hybnosti. - kinetická energia rotujúceho telesa.

rotačná práca.

Zákon zachovania momentu hybnosti.

Moment hybnosti (hybnosť) hmotného bodu A vzhľadom na pevný bod O je fyzikálna veličina určená vektorovým súčinom:

kde r je vektor polomeru nakreslený z bodu O do bodu A, p=mv je hybnosť hmotného bodu (obr. 1); L je pseudovektor, ktorého smer sa zhoduje so smerom translačného pohybu pravej skrutky pri jej rotácii z r na p.

Modul vektora hybnosti

kde α je uhol medzi vektormi r a p, l je rameno vektora p vzhľadom na bod O.

Moment hybnosti vo vzťahu k pevnej osi z je skalárna hodnota Lz, ktorá sa rovná priemetu vektora momentu hybnosti na túto os, definovaného vzhľadom na ľubovoľný bod O tejto osi. Moment hybnosti Lz nezávisí od polohy bodu O na osi z.

Keď sa absolútne tuhé teleso otáča okolo pevnej osi z, každý bod telesa sa pohybuje po kružnici s konštantným polomerom ri rýchlosťou vi. Rýchlosť vi a hybnosť mivi sú kolmé na tento polomer, t. j. polomer je ramenom vektora mivi . Môžeme teda napísať, že moment hybnosti jednotlivej častice je

a smeruje pozdĺž osi v smere určenom pravidlom pravej skrutky.

Hybnosť tuhého telesa vzhľadom na os je súčtom hybnosti jednotlivých častíc:

Pomocou vzorca vi = ωri dostaneme

Moment hybnosti tuhého telesa okolo osi sa teda rovná momentu zotrvačnosti telesa okolo tej istej osi vynásobenému uhlovou rýchlosťou. Rozlišujme rovnicu (2) vzhľadom na čas:

Tento vzorec je ďalšou formou rovnice dynamiky rotačného pohybu tuhého telesa okolo pevnej osi: derivácia momentu hybnosti tuhého telesa okolo osi sa rovná momentu síl okolo tej istej osi.

Dá sa ukázať, že vektorová rovnosť platí

V uzavretom systéme je moment vonkajších síl M = 0 a odkiaľ

Výraz (4) je zákon zachovania momentu hybnosti: moment hybnosti uzavretého systému je zachovaný, t.j. v čase sa nemení.

Zákon zachovania momentu hybnosti ako aj zákon zachovania energie je základným prírodným zákonom. Je spojená so symetrickou vlastnosťou priestoru - jeho izotropiou, t.j. s invariantnosťou fyzikálnych zákonov vzhľadom na voľbu smeru súradnicových osí referenčného systému (vzhľadom na rotáciu uzavretého systému v priestore o akýkoľvek uhol).

Tu si ukážeme zákon zachovania momentu hybnosti pomocou Žukovského lavice. Osoba sediaca na lavičke, rotujúca okolo zvislej osi a držiaca činky vo vystretých rukách (obr. 2), je otáčaná vonkajším mechanizmom s uhlovou rýchlosťou ω1. Ak človek pritlačí činky k telu, zníži sa moment zotrvačnosti systému. Moment vonkajších síl je však rovný nule, moment hybnosti sústavy je zachovaný a uhlová rýchlosť otáčania ω2 sa zvyšuje. Podobne gymnasta pri preskakovaní hlavy priťahuje ruky a nohy k telu, aby znížil moment zotrvačnosti a tým zvýšil uhlovú rýchlosť otáčania.

Tlak v kvapaline a plyne.

Molekuly plynu, ktoré vykonávajú chaotický, chaotický pohyb, nie sú viazané alebo skôr slabo viazané interakčnými silami, preto sa pohybujú takmer voľne a v dôsledku zrážok sa rozptyľujú na všetky strany, pričom vypĺňajú celý im poskytnutý objem. t.j. objem plynu je určený objemom nádoby obsadenej plynom.

A kvapalina, ktorá má určitý objem, má formu nádoby, v ktorej je uzavretá. Ale na rozdiel od plynov v kvapalinách, priemerná vzdialenosť medzi molekulami zostáva v priemere konštantná, takže kvapalina má takmer konštantný objem.

Vlastnosti kvapalín a plynov sú v mnohých smeroch veľmi rozdielne, ale vo viacerých mechanických javoch sú ich vlastnosti určené rovnakými parametrami a rovnakými rovnicami. Z tohto dôvodu je hydroaeromechanika odvetvím mechaniky, ktoré študuje rovnováhu a pohyb plynov a kvapalín, interakciu medzi nimi a medzi nimi obtekajúcimi tuhými telesami, t.j. uplatňuje sa jednotný prístup k štúdiu kvapalín a plynov.

Kvapaliny a plyny sa v mechanike považujú s vysokou presnosťou za spojité, súvisle rozložené v časti priestoru, ktorú zaberajú. V plynoch hustota výrazne závisí od tlaku. Založené zo skúseností. že stlačiteľnosť kvapaliny a plynu možno často zanedbať a je vhodné použiť jednotný pojem - nestlačiteľnosť kvapaliny - kvapaliny všade s rovnakou hustotou, ktorá sa v čase nemení.

Umiestnime ho do tenkej dosky v pokoji, v dôsledku čoho budú časti kvapaliny umiestnené na opačných stranách dosky pôsobiť na každý z jej prvkov ΔS silami ΔF, ktoré budú rovnaké v absolútnej hodnote a budú smerovať kolmo na miesto. ΔS, bez ohľadu na orientáciu miesta, inak by prítomnosť tangenciálnych síl uviedla častice kvapaliny do pohybu (obr. 1)

Fyzikálna veličina určená normálovou silou pôsobiacou zo strany kvapaliny (alebo plynu) na jednotku plochy sa nazýva tlak p / kvapalina (alebo plyn): p=ΔF / ΔS.

Jednotkou tlaku je pascal (Pa): 1 Pa sa rovná tlaku vytvorenému silou 1 N, ktorá je rovnomerne rozložená po ploche 1 m2, ktorá je k nej kolmá (1 Pa = 1 N/m2).

Rovnovážny tlak kvapalín (plynov) sa riadi Pascalovým zákonom: tlak v ktoromkoľvek mieste kvapaliny v pokoji je rovnaký vo všetkých smeroch a tlak sa rovnako prenáša celým objemom, ktorý kvapalina v pokoji zaberá.

Preskúmajme vplyv hmotnosti tekutiny na rozloženie tlaku vo vnútri stacionárnej nestlačiteľnej tekutiny. Keď je kvapalina v rovnováhe, tlak pozdĺž akejkoľvek horizontálnej čiary je vždy rovnaký, inak by rovnováha nebola. To znamená, že voľný povrch tekutiny v pokoji je vždy vodorovný (neberieme do úvahy príťažlivosť tekutiny stenami nádoby). Ak je tekutina nestlačiteľná, potom je hustota tekutiny nezávislá od tlaku. Potom pri priereze S stĺpca kvapaliny, jeho výške h a hustote ρ je hmotnosť P=ρgSh, pričom tlak na spodnú základňu je: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

t.j. tlak sa mení lineárne s nadmorskou výškou. Tlak ρgh sa nazýva hydrostatický tlak.

Podľa vzorca (1) bude tlaková sila na spodné vrstvy kvapaliny väčšia ako na horné, preto na teleso ponorené do kvapaliny (plynu) pôsobí sila určená Archimedovým zákonom: vznášajúce sa smerom nahor sila rovnajúca sa hmotnosti kvapaliny (plynu) vytlačenej telesom: FA = ρgV, kde ρ je hustota kvapaliny, V je objem telesa ponoreného do kvapaliny.

« Fyzika - 10. ročník

Prečo sa korčuliar naťahuje pozdĺž osi rotácie, aby zvýšil uhlovú rýchlosť rotácie.
Mal by sa vrtuľník otáčať, keď sa otáča jeho vrtuľa?

Položené otázky naznačujú, že ak na teleso nepôsobia vonkajšie sily alebo je ich pôsobenie kompenzované a jedna časť telesa sa začne otáčať jedným smerom, potom sa druhá časť musí otáčať opačným smerom, rovnako ako keď je palivo vyvrhnuté z raketa, samotná raketa sa pohybuje opačným smerom.

moment impulzu.

Ak vezmeme do úvahy rotujúci disk, je zrejmé, že celková hybnosť disku je nulová, pretože každá častica tela zodpovedá častici pohybujúcej sa rovnakou rýchlosťou v absolútnej hodnote, ale v opačnom smere (obr. 6.9).

Ale disk sa pohybuje, uhlová rýchlosť rotácie všetkých častíc je rovnaká. Je však jasné, že čím ďalej je častica od osi rotácie, tým je jej hybnosť väčšia. Preto je pre rotačný pohyb potrebné zaviesť ešte jednu charakteristiku, podobnú impulzu, a to moment hybnosti.

Moment hybnosti častice pohybujúcej sa po kruhu je súčinom hybnosti častice a vzdialenosti od nej k osi rotácie (obr. 6.10):

Lineárne a uhlové rýchlosti sú teda vo vzťahu v = ωr

Všetky body tuhej hmoty sa pohybujú vzhľadom na pevnú os rotácie s rovnakou uhlovou rýchlosťou. Pevné teleso môže byť reprezentované ako súbor hmotných bodov.

Moment hybnosti tuhého telesa sa rovná súčinu momentu zotrvačnosti a uhlovej rýchlosti otáčania:

Moment hybnosti je vektorová veličina, podľa vzorca (6.3) moment hybnosti smeruje rovnako ako uhlová rýchlosť.

Základná rovnica dynamiky rotačného pohybu v impulznej forme.

Uhlové zrýchlenie telesa sa rovná zmene uhlovej rýchlosti delenej časovým intervalom, počas ktorého k tejto zmene došlo: Tento výraz dosaďte do základnej rovnice pre dynamiku rotačného pohybu. teda I(co2 - co1) = MΔt, alebo IΔω = MΔt.

teda

∆L = M∆t. (6.4)

Zmena momentu hybnosti sa rovná súčinu celkového momentu síl pôsobiacich na teleso alebo sústavu a času pôsobenia týchto síl.

Zákon zachovania momentu hybnosti:

Ak je celkový moment síl pôsobiacich na teleso alebo sústavu telies s pevnou osou otáčania rovný nule, potom sa aj zmena momentu hybnosti rovná nule, t.j. moment hybnosti sústavy zostáva konštantný.

∆L=0, L=konšt.

Zmena hybnosti sústavy sa rovná celkovej hybnosti síl pôsobiacich na sústavu.

Točiaci sa korčuliar roztiahne ruky do strán, čím sa zvýši moment zotrvačnosti, aby sa znížila uhlová rýchlosť otáčania.

Zákon zachovania momentu hybnosti možno demonštrovať pomocou nasledujúceho experimentu, ktorý sa nazýva „experiment so Žukovského lavicou“. Osoba stojí na lavičke, ktorej stredom prechádza vertikálna os otáčania. Muž drží v rukách činky. Ak sa lavica otáča, potom môže človek zmeniť rýchlosť otáčania pritlačením činiek na hruď alebo spustením rúk a následným roztiahnutím. Rozpažovaním rúk zvyšuje moment zotrvačnosti a uhlová rýchlosť otáčania klesá (obr. 6.11, a), spúšťaním rúk znižuje moment zotrvačnosti a zvyšuje sa uhlová rýchlosť otáčania lavice (obr. 6.11, b).

Človek môže lavičku otáčať aj chôdzou po jej okraji. V tomto prípade sa lavica bude otáčať v opačnom smere, pretože celkový moment hybnosti musí zostať rovný nule.

Princíp činnosti zariadení nazývaných gyroskopy je založený na zákone zachovania momentu hybnosti. Hlavnou vlastnosťou gyroskopu je zachovanie smeru osi otáčania, ak na túto os nepôsobia vonkajšie sily. V 19. storočí gyroskopy používali navigátori na plavbu po mori.

Kinetická energia rotujúceho tuhého telesa.

Kinetická energia rotujúceho pevného telesa sa rovná súčtu kinetických energií jeho jednotlivých častíc. Rozdeľme telo na malé prvky, z ktorých každý možno považovať za hmotný bod. Potom sa kinetická energia telesa rovná súčtu kinetických energií hmotných bodov, z ktorých pozostáva:

Uhlová rýchlosť otáčania všetkých bodov tela je preto rovnaká,

Hodnota v zátvorke, ako už vieme, je moment zotrvačnosti tuhého telesa. Nakoniec vzorec pre kinetickú energiu tuhého telesa s pevnou osou otáčania má tvar

Vo všeobecnom prípade pohybu tuhého telesa, keď je os otáčania voľná, jeho kinetická energia sa rovná súčtu energií translačných a rotačných pohybov. Takže kinetická energia kolesa, ktorého hmotnosť je sústredená v ráfiku, ktorý sa valí po ceste konštantnou rýchlosťou, sa rovná

Tabuľka porovnáva vzorce mechaniky translačného pohybu hmotného bodu s podobnými vzorcami pre rotačný pohyb tuhého telesa.

Úlohy

1. Určte, koľkokrát je efektívna hmotnosť väčšia ako tiažová hmotnosť vlaku s hmotnosťou 4000 ton, ak hmotnosť kolies je 15 % hmotnosti vlaku. Kolesá považujte za disky s priemerom 1,02 m. Ako sa zmení odpoveď, ak je priemer kolies polovičný?

2. Určte zrýchlenie, s ktorým sa pár kolies s hmotnosťou 1200 kg kotúľa dolu kopcom so sklonom 0,08. Kolesá považujte za disky. Koeficient valivého odporu 0,004. Určte adhéznu silu kolies ku koľajniciam.

3. Určte zrýchlenie, s akým sa dvojica kolies s hmotnosťou 1400 kg valí do kopca so sklonom 0,05. Koeficient aerodynamického odporu 0,002. Aký by mal byť koeficient adhézie, aby sa kolesá nešmýkali. Kolesá považujte za disky.

4. Určte zrýchlenie, s akým sa valí vozeň s hmotnosťou 40 ton z kopca so sklonom 0,020, ak má osem kolies s hmotnosťou 1200 kg a priemerom 1,02 m. Určte silu priľnavosti kolies ku koľajniciam. Koeficient aerodynamického odporu 0,003.

5. Určte tlakovú silu brzdových čeľustí na pneumatiky, ak vlak s hmotnosťou 4000 ton spomaľuje so zrýchlením 0,3 m/s 2 . Moment zotrvačnosti jedného dvojkolesia je 600 kg m 2, počet náprav 400, súčiniteľ klzného trenia bloku 0,18, súčiniteľ valivého odporu 0,004.

6. Určte brzdnú silu pôsobiacu na štvornápravový vozeň s hmotnosťou 60 ton na brzdové obloženie zriaďovacej stanice, ak rýchlosť na 30 m trati klesla z 2 m/s na 1,5 m/s. Moment zotrvačnosti jedného dvojkolesia je 500 kg m 2 .

7. Rýchlomer lokomotívy ukázal zvýšenie rýchlosti vlaku v priebehu jednej minúty z 10 m/s na 60 m/s. Pravdepodobne došlo k preklzávaniu predného dvojkolesia. Určte moment síl pôsobiacich na kotvu elektromotora. Moment zotrvačnosti dvojkolesia 600 kg m 2 , kotvy 120 kg m 2 . Prevodový pomer ozubené koleso 4.2. Prítlačná sila na koľajnice je 200 kN, súčiniteľ šmykového trenia kolies po koľajnici je 0,10.

11. KINETICKÁ ENERGIA ROTÁTORA

POHYBY

Odvodíme vzorec pre kinetickú energiu rotačného pohybu. Nechajte teleso otáčať sa uhlovou rýchlosťou ω okolo pevnej osi. Akákoľvek malá častica telesa vykonáva translačný pohyb v kruhu s rýchlosťou , kde RI - vzdialenosť k osi rotácie, polomer obežnej dráhy. Kinetická energia častice omši m i rovná sa . Celková kinetická energia systému častíc sa rovná súčtu ich kinetických energií. Sčítajme vzorce pre kinetickú energiu častíc telesa a vyberieme znamienko súčtu polovice druhej mocniny uhlovej rýchlosti, ktorá je rovnaká pre všetky častice, . Súčet súčinov hmotností častíc a štvorcov ich vzdialeností od osi rotácie je moment zotrvačnosti telesa okolo osi rotácie. . takze kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi sa rovná polovici súčinu momentu zotrvačnosti telesa okolo osi a druhej mocniny uhlovej rýchlosti otáčania:

Rotujúce telesá môžu uchovávať mechanickú energiu. Takéto telesá sa nazývajú zotrvačníky. Zvyčajne sú to telesá revolúcie. Použitie zotrvačníkov na hrnčiarskom kruhu je známe už od staroveku. V spaľovacích motoroch piest počas zdvihu odovzdáva mechanickú energiu zotrvačníku, ktorý potom počas nasledujúcich troch cyklov vykonáva prácu na otáčaní hriadeľa motora. V razidlách a lisoch je zotrvačník poháňaný elektromotorom s relatívne malým výkonom, akumuluje mechanickú energiu takmer na celú otáčku a v krátkom momente nárazu ju dá za prácu razenia.

Existujú početné pokusy použiť rotujúce zotrvačníky na pohon vozidiel: autá, autobusy. Nazývajú sa mahomobily, gyronosiče. Takýchto experimentálnych strojov bolo vytvorených veľa. Perspektívne by bolo využitie zotrvačníkov na akumuláciu energie pri brzdení elektrických vlakov, aby sa akumulovaná energia využila pri následnej akcelerácii. Je známe, že zásobník energie zotrvačníka sa používa vo vlakoch metra v New Yorku.

mechanika.

Otázka 1

Referenčný systém. Inerciálne referenčné systémy. Galileo-Einsteinov princíp relativity.

referenčný systém- ide o súbor telies, vo vzťahu ku ktorým sa opisuje pohyb daného telesa a súradnicový systém s ním spojený.

Inerciálny referenčný systém (ISO)- sústava, v ktorej je voľne sa pohybujúce teleso v pokoji alebo rovnomernom priamočiarom pohybe.

Galileo-Einsteinov princíp relativity- Všetky prírodné javy v akejkoľvek inerciálnej vzťažnej sústave sa vyskytujú rovnakým spôsobom a majú rovnakú matematickú formu. Inými slovami, všetky ISO sú rovnaké.

Otázka č.2

Pohybová rovnica. Druhy pohybu tuhého telesa. Hlavná úloha kinematiky.

Pohybové rovnice hmotného bodu:

- kinematická pohybová rovnica

Druhy pohybu tuhého telesa:

1) Translačný pohyb – akákoľvek priamka nakreslená v tele sa pohybuje rovnobežne sama so sebou.

2) Rotačný pohyb – ľubovoľný bod tela sa pohybuje po kružnici.

φ = φ(t)

Hlavná úloha kinematiky- ide o získanie časových závislostí rýchlosti V= V(t) a súradníc (alebo polomerového vektora) r = r(t) hmotného bodu zo známej časovej závislosti jeho zrýchlenia a = a(t) a známe počiatočné podmienky V 0 a r 0 .

Otázka č.7

Pulz (Počet pohybov) je vektorová fyzikálna veličina, ktorá charakterizuje mieru mechanického pohybu telesa. V klasickej mechanike sa hybnosť telesa rovná súčinu hmotnosti m to poukazuje na jeho rýchlosť v, smer hybnosti sa zhoduje so smerom vektora rýchlosti:

V teoretickej mechanike zovšeobecnená hybnosť je čiastočná derivácia Lagrangianu systému vzhľadom na zovšeobecnenú rýchlosť

Ak Lagrangian systému nezávisí od niektorých zovšeobecnená súradnica, potom kvôli Lagrangeove rovnice .

Pre voľnú časticu má Lagrangeova funkcia tvar: , teda:

Nezávislosť lagrangea uzavretého systému od jeho polohy v priestore vyplýva z vlastnosti homogénnosť priestoru: pre dobre izolovaný systém jeho správanie nezávisí od toho, kde v priestore ho umiestnime. Autor: Noetherova veta z tejto homogenity vyplýva zachovanie nejakej fyzikálnej veličiny. Táto veličina sa nazýva impulz (obyčajný, nie zovšeobecnený).

V klasickej mechanike komplet spád sústava hmotných bodov sa nazýva vektorová veličina rovnajúca sa súčtu súčinov hmotností hmotných bodov pri ich rýchlosti:

podľa toho sa veličina nazýva hybnosť jedného hmotného bodu. Je to vektorová veličina nasmerovaná rovnakým smerom ako je rýchlosť častice. Jednotkou hybnosti v medzinárodnom systéme jednotiek (SI) je kilogram meter za sekundu(kg m/s)

Ak máme čo do činenia s telesom konečnej veľkosti, na určenie jeho hybnosti je potrebné rozložiť teleso na malé časti, ktoré možno považovať za hmotné body a sčítať ich, ako výsledok dostaneme:

hybnosť systému, ktorý nie je ovplyvnený žiadnymi vonkajšími silami (alebo sú kompenzované), zachovalé na čas:

Zachovanie hybnosti v tomto prípade vyplýva z druhého a tretieho Newtonovho zákona: napísanie druhého Newtonovho zákona pre každý z hmotných bodov tvoriacich systém a jeho súčet cez všetky hmotné body, ktoré tvoria systém, na základe tretieho Newtonovho zákona. zákona získame rovnosť (*).

V relativistickej mechanike je trojrozmerná hybnosť systému neinteragujúcich hmotných bodov množstvo

,

kde m i- hmotnosť i- materiálny bod.

Pre uzavretý systém neinteragujúcich hmotných bodov je táto hodnota zachovaná. Trojrozmerná hybnosť však nie je relativisticky invariantná veličina, pretože závisí od referenčného rámca. Zmysluplnejšou hodnotou bude štvorrozmerná hybnosť, ktorá je pre jeden hmotný bod definovaná ako

V praxi sa často používajú tieto vzťahy medzi hmotnosťou, hybnosťou a energiou častice:

V zásade platí, že pre systém neinteragujúcich hmotných bodov sa ich 4-momenty sčítavajú. Pre interagujúce častice v relativistickej mechanike by sa však mali brať do úvahy nielen hybnosti častíc, ktoré tvoria systém, ale aj hybnosť poľa interakcie medzi nimi. Oveľa zmysluplnejšou veličinou v relativistickej mechanike je preto tenzor hybnosti energie, ktorý plne spĺňa zákony zachovania.

Otázka č. 8

Moment zotrvačnosti- skalárna fyzikálna veličina, miera zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe okolo osi, rovnako ako hmotnosť telesa je mierou jeho zotrvačnosti pri posuvnom pohybe. Vyznačuje sa rozložením hmotností v tele: moment zotrvačnosti sa rovná súčtu súčinov elementárnych hmotností a druhej mocniny ich vzdialeností k základnej množine

Axiálny moment zotrvačnosti

Axiálne momenty zotrvačnosti niektorých telies.

Moment zotrvačnosti mechanického systému vzhľadom na pevnú os ("axiálny moment zotrvačnosti") sa nazýva hodnota J a rovná súčtu súčinov hmotností všetkých n hmotné body systému na druhé mocniny ich vzdialeností od osi:

,

• m i- hmotnosť i-tý bod,
• RI- vzdialenosť od i-tý bod k osi.

Axiálny moment zotrvačnosti telo J a je mierou zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe okolo osi, rovnako ako hmotnosť telesa je mierou jeho zotrvačnosti pri translačnom pohybe.

,

• dm = ρ dV- hmotnosť malého objemového prvku telesa dV,
• ρ - hustota,
• r- vzdialenosť od prvku dV na os a.

Ak je teleso homogénne, teda jeho hustota je všade rovnaká

Odvodenie vzorca

dm a momenty zotrvačnosti DJ i. Potom

Tenkostenný valec (krúžok, obruč)

Odvodenie vzorca

Moment zotrvačnosti telesa sa rovná súčtu momentov zotrvačnosti jeho častí. Rozdelenie tenkostenného valca na prvky s hmotou dm a momenty zotrvačnosti DJ i. Potom

Pretože všetky prvky tenkostenného valca sú v rovnakej vzdialenosti od osi otáčania, vzorec (1) sa prevedie na tvar

Steinerova veta

Moment zotrvačnosti Pevné teleso vzhľadom na ktorúkoľvek os závisí nielen od hmotnosti, tvaru a rozmerov telesa, ale aj od polohy telesa vzhľadom na túto os. Podľa Steinerovej vety (Huygens-Steinerova veta) moment zotrvačnosti telo J vzhľadom na ľubovoľnú os sa rovná súčtu moment zotrvačnosti toto telo Jc vzhľadom k osi prechádzajúcej ťažiskom tela rovnobežne s uvažovanou osou a súčinom hmotnosti tela m na štvorcovú vzdialenosť d medzi nápravami:

Ak je moment zotrvačnosti telesa okolo osi prechádzajúcej ťažiskom telesa, potom sa moment zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi umiestnenej vo vzdialenosti od nej rovná

,

kde je celková hmotnosť telesa.

Napríklad moment zotrvačnosti tyče okolo osi prechádzajúcej jej koncom je:

Rotačná energia

Kinetická energia rotačného pohybu- energia telesa spojená s jeho otáčaním.

Hlavnými kinematickými charakteristikami rotačného pohybu telesa sú jeho uhlová rýchlosť (ω) a uhlové zrýchlenie. Hlavnými dynamickými charakteristikami rotačného pohybu sú moment hybnosti okolo rotačnej osi z:

Kz = Izω

a kinetickej energie

kde I z je moment zotrvačnosti telesa okolo osi otáčania.

Podobný príklad možno nájsť pri uvažovaní o rotujúcej molekule s hlavnými osami zotrvačnosti ja 1, ja 2 a ja 3. Rotačná energia takejto molekuly je daná výrazom

kde ω 1, ω 2 a ω 3 sú hlavné zložky uhlovej rýchlosti.

Vo všeobecnom prípade sa energia počas rotácie s uhlovou rýchlosťou zistí podľa vzorca:

, kde ja je tenzor zotrvačnosti.

Otázka #9

moment impulzu (moment hybnosti, moment hybnosti, orbitálny moment, moment hybnosti) charakterizuje veľkosť rotačného pohybu. Množstvo, ktoré závisí od toho, koľko hmoty sa otáča, ako je rozložená okolo osi rotácie a ako rýchlo rotácia prebieha.

Treba si uvedomiť, že rotácia je tu chápaná v širokom zmysle, nielen ako pravidelná rotácia okolo osi. Napríklad aj pri priamočiarom pohybe telesa za ľubovoľným imaginárnym bodom, ktorý neleží na pohybovej línii, má aj uhlovú hybnosť. Azda najväčšiu úlohu zohráva moment hybnosti pri popise skutočného rotačného pohybu. Je však mimoriadne dôležitý pre oveľa širšiu triedu problémov (najmä ak má problém stredovú alebo osovú symetriu, ale nielen v týchto prípadoch).

Zákon zachovania hybnosti(zákon zachovania momentu hybnosti) - vektorový súčet všetkých momentov hybnosti okolo ľubovoľnej osi pre uzavretý systém zostáva v prípade rovnováhy systému konštantný. V súlade s tým je moment hybnosti uzavretého systému vzhľadom na akúkoľvek nečasovú deriváciu momentu hybnosti momentom sily:

Požiadavka uzavretia systému sa teda môže oslabiť na požiadavku, aby sa hlavný (celkový) moment vonkajších síl rovnal nule:

kde je moment jednej zo síl pôsobiacich na sústavu častíc. (Ale samozrejme, ak neexistujú žiadne vonkajšie sily, aj táto požiadavka je splnená).

Matematicky zákon zachovania momentu hybnosti vyplýva z izotropie priestoru, teda z nemennosti priestoru vzhľadom na rotáciu o ľubovoľný uhol. Pri otáčaní o ľubovoľný nekonečne malý uhol sa vektor polomeru častice s číslom zmení o , a rýchlosti - . Lagrangeova funkcia systému sa pri takejto rotácii nezmení, kvôli izotropii priestoru. Takže

1. Zvážte rotáciu tela okolo nehybný os Z. Rozdeľme celé teleso na množinu elementárnych hmôt m i. Lineárna rýchlosť elementárnej hmotnosti m i– v i = w R i, kde R i– vzdialenosť hmotnosti m i od osi otáčania. Preto kinetická energia i-tá elementárna hmotnosť sa bude rovnať . Celková kinetická energia tela: , tu je moment zotrvačnosti telesa okolo osi otáčania.

Kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi je teda:

2. Teraz nechajte telo sa točí o nejakej osi, a os sa pohybuje progresívne, pričom zostáva paralelný sám so sebou.

NAPRÍKLAD: Guľa, ktorá sa šmýka, vykonáva rotačný pohyb a jej ťažisko, ktorým prechádza os otáčania (bod "O") sa posúva dopredu (obr. 4.17).

Rýchlosť i-že elementárna hmotnosť telesa sa rovná , kde je rýchlosť niektorého bodu "O" telesa; – vektor polomeru, ktorý určuje polohu elementárnej hmoty vo vzťahu k bodu „O“.

Kinetická energia elementárnej hmoty sa rovná:

POZNÁMKA: vektorový súčin sa zhoduje v smere s vektorom a má modul rovný (obr. 4.18).

Berúc do úvahy túto poznámku, môžeme to napísať , kde je vzdialenosť hmoty od osi rotácie. V druhom člene urobíme cyklickú permutáciu faktorov, po ktorej získame

Aby sme získali celkovú kinetickú energiu telesa, spočítame tento výraz cez všetky elementárne hmotnosti, pričom zo súčtu vyberieme konštantné faktory. Získajte

Súčet elementárnych hmotností je hmotnosť telesa "m". Výraz sa rovná súčinu hmotnosti tela a vektora polomeru stredu zotrvačnosti tela (podľa definície stredu zotrvačnosti). Nakoniec - moment zotrvačnosti tela okolo osi prechádzajúcej bodom "O". Preto sa dá písať

.

Ak zoberieme stred zotrvačnosti telesa "C" ako bod "O", vektor polomeru sa bude rovnať nule a druhý člen zmizne. Potom, keď označíme cez - rýchlosť stredu zotrvačnosti a cez - moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os prechádzajúcu bodom "C", dostaneme:

(4.6)

Kinetická energia telesa pri rovinnom pohybe sa teda skladá z energie translačného pohybu s rýchlosťou rovnajúcou sa rýchlosti stredu zotrvačnosti a z energie rotácie okolo osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti telesa.

Práca vonkajších síl pri rotačnom pohybe tuhého telesa.

Nájdite prácu vykonanú silami, keď sa teleso otáča okolo pevnej osi Z.

Na hmotu nech pôsobí vnútorná sila a vonkajšia sila (výsledná sila leží v rovine kolmej na os rotácie) (obr. 4.19). Tieto sily vytvárajú v čase dt práca:

Po vykonaní cyklickej permutácie faktorov v zmiešaných produktoch vektorov zistíme:

kde , - momenty vnútorných a vonkajších síl vzhľadom na bod "O".

Zhrnutím všetkých elementárnych hmôt dostaneme elementárnu prácu vykonanú na tele za čas dt:

Súčet momentov vnútorných síl sa rovná nule. Potom, keď označíme celkový moment vonkajších síl cez , dospejeme k výrazu:

.

Je známe, že skalárny súčin dvoch vektorov je skalár rovný súčinu modulu jedného z vynásobených vektorov a priemetu druhého na smer prvého, berúc do úvahy, že , (smery os Z a zhodujú sa), dostaneme

,

ale w dt=d j, t.j. uhol, pod ktorým sa teleso otáča v čase dt. Takže

.

Znak diela závisí od znaku M z , t.j. zo znamienka priemetu vektora do smeru vektora .

Takže keď sa teleso otáča, vnútorné sily nepracujú a práca vonkajších síl je určená vzorcom .

Práca vykonaná v konečnom časovom intervale sa zistí integráciou

.

Ak priemet výsledného momentu vonkajších síl na smer zostane konštantný, potom ho možno vyňať z integrálneho znamienka:

, t.j. .

Tie. práca vonkajšej sily pri rotačnom pohybe telesa sa rovná súčinu priemetu momentu vonkajšej sily a smeru a uhla natočenia.

Na druhej strane práca vonkajšej sily pôsobiacej na teleso smeruje k prírastku kinetickej energie telesa (alebo sa rovná zmene kinetickej energie rotujúceho telesa). Ukážme si to:

;

teda

. (4.7)

Sám za seba:

Elastické sily;

Hookov zákon.

PREDNÁŠKA 7

Hydrodynamika

Prúdové vedenia a elektrónky.

Hydrodynamika študuje pohyb kvapalín, ale jej zákony platia aj pre pohyb plynov. V stacionárnom prúdení tekutiny je rýchlosť jej častíc v každom bode priestoru veličinou nezávislou od času a funkciou súradníc. Pri stacionárnom prúdení tvoria trajektórie častíc tekutiny prúdnicu. Súbor prúdnic tvorí prúdnicovú rúru (obr. 5.1). Predpokladáme, že kvapalina je nestlačiteľná, potom objem kvapaliny pretekajúcej sekciami S 1 a S 2 bude rovnaký. Za sekundu sa objem tekutiny rovná

, (5.1)

kde a sú rýchlosti tekutín v prierezoch S 1 a S 2 a vektory a sú definované ako a , kde a sú normály k úsekom S 1 a S 2. Rovnica (5.1) sa nazýva rovnica kontinuity prúdu. Z toho vyplýva, že rýchlosť tekutiny je nepriamo úmerná prierezu prúdovej trubice.

Bernoulliho rovnica.

Budeme uvažovať o ideálnej nestlačiteľnej kvapaline, v ktorej nedochádza k vnútornému treniu (viskozita). Vyberme tenkú prúdovú trubicu v stacionárne prúdiacej kvapaline (obr. 5.2) s prierezmi S1 a S2 kolmo na prúdnice. v sekcii 1 v krátkom čase tčastice sa pohybujú na určitú vzdialenosť l 1 a v sekcii 2 - na diaľku l 2. Cez oba úseky v čase t prejdú rovnaké malé objemy kvapaliny V= V 1 = V 2 a nesie veľa tekutín m=rV, kde r je hustota kvapaliny. Vo všeobecnosti ide o zmenu mechanickej energie celej kvapaliny v prúdovej trubici medzi sekciami S1 a S2, čo sa stalo v tom čase t, možno nahradiť zmenou objemovej energie V, ku ktorému došlo pri presune z 1. do 2. sekcie. Pri takomto pohybe sa zmení kinetická a potenciálna energia tohto objemu a celková zmena jeho energie

, (5.2)

kde v 1 a v 2 - rýchlosť častíc tekutiny v úsekoch S1 a S2 v tomto poradí; g- gravitačné zrýchlenie; h1 a h2- výšky stredu sekcií.

V ideálnej kvapaline nedochádza k žiadnym stratám trením, takže dochádza k prírastku energie DE sa musí rovnať práci vykonanej tlakovými silami na pridelený objem. Pri absencii trecích síl táto práca:

Vyrovnaním pravých strán rovnosti (5.2) a (5.3) a prenesením členov s rovnakými indexmi do jednej časti rovnosti dostaneme

. (5.4)

Oddiely rúr S1 a S2 boli prijaté svojvoľne, takže možno tvrdiť, že výraz je platný v ktorejkoľvek sekcii aktuálnej trubice

. (5.5)

Rovnica (5.5) sa nazýva Bernoulliho rovnica. Pre horizontálne prúdenie h = konšt., a rovnosť (5.4) má formu

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

tie. tlak je menší v tých bodoch, kde je rýchlosť väčšia.

Sily vnútorného trenia.

Viskozita je vlastná skutočnej kvapaline, čo sa prejavuje tým, že akýkoľvek pohyb kvapaliny a plynu sa spontánne zastaví pri absencii príčin, ktoré ho spôsobili. Uvažujme experiment, v ktorom je vrstva kvapaliny umiestnená nad pevným povrchom a doska plávajúca na nej s povrchom sa pohybuje nad ňou rýchlosťou S(obr. 5.3). Prax ukazuje, že na to, aby sa platňa pohybovala konštantnou rýchlosťou, je potrebné na ňu pôsobiť silou. Keďže doska nedostáva zrýchlenie, znamená to, že pôsobenie tejto sily je vyvážené inou silou, ktorá má rovnakú veľkosť a je opačne smerovaná, čo je trecia sila. . Newton ukázal, že sila trenia

, (5.7)

kde d- hrúbka vrstvy kvapaliny, h - koeficient viskozity alebo koeficient trenia kvapaliny, znamienko mínus zohľadňuje rôzny smer vektorov F tr a v o. Ak skúmame rýchlosť častíc tekutiny na rôznych miestach vrstvy, ukáže sa, že sa mení podľa lineárneho zákona (obr. 5.3):

v(z) = (vo/d) z.

Rozlíšením tejto rovnosti dostaneme dv/dz= v 0 /d. S týmto v hlave

vzorec (5.7) má tvar

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

kde h- dynamický viskozitný koeficient. Hodnota dv/dz nazývaný rýchlostný gradient. Ukazuje, ako rýchlo sa mení rýchlosť v smere osi z. o dv/dz= gradient konštantnej rýchlosti sa numericky rovná zmene rýchlosti v keď sa zmení z za jednotku. Vložíme číselne do vzorca (5.8) dv/dz =-1 a S= 1, dostaneme h = F. to znamená fyzikálny význam h: koeficient viskozity sa číselne rovná sile, ktorá pôsobí na vrstvu kvapaliny s jednotkovou plochou pri rýchlostnom gradiente rovnajúcom sa jednej. Jednotka viskozity SI sa nazýva pascalová sekunda (označuje sa Pa s). V systéme CGS je jednotkou viskozity 1 poise (P), pričom 1 Pa s = 10P.