Nájdite sklon dotyčnice nakreslenej ku grafu. Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie
Nech je daná funkcia f, ktorá má v určitom bode x 0 konečnú deriváciu f (x 0). Potom priamka prechádzajúca bodom (x 0; f (x 0)), ktorá má sklon f '(x 0), sa nazýva dotyčnica.
Čo sa však stane, ak derivácia v bode x 0 neexistuje? Sú dve možnosti:
- Dotyčnica ku grafu tiež neexistuje. Klasickým príkladom je funkcia y = |x | v bode (0; 0).
- Dotyčnica sa stáva vertikálnou. Platí to napríklad pre funkciu y = arcsin x v bode (1; π /2).
Tangentová rovnica
Akákoľvek nevertikálna priamka je daná rovnicou v tvare y = kx + b, kde k je sklon. Tangenta nie je výnimkou a na zostavenie jej rovnice v nejakom bode x 0 stačí poznať hodnotu funkcie a derivácie v tomto bode.
Nech je teda daná funkcia y \u003d f (x), ktorá má na segmente deriváciu y \u003d f '(x). Potom v ľubovoľnom bode x 0 ∈ (a; b) možno nakresliť ku grafu tejto funkcie dotyčnicu, ktorá je daná rovnicou:
y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0)
Tu f '(x 0) je hodnota derivácie v bode x 0 a f (x 0) je hodnota samotnej funkcie.
Úloha. Daná funkcia y = x 3 . Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu tejto funkcie v bode x 0 = 2.
Rovnica dotyčnice: y \u003d f '(x 0) (x - x 0) + f (x 0). Je nám daný bod x 0 = 2, ale hodnoty f (x 0) a f '(x 0) bude potrebné vypočítať.
Najprv nájdime hodnotu funkcie. Všetko je tu jednoduché: f (x 0) = f (2) = 2 3 = 8;
Teraz nájdime derivát: f '(x) \u003d (x 3) ' \u003d 3x 2;
Dosaďte v derivácii x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 2 2 = 12;
Takže dostaneme: y = 12 (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Toto je tangentová rovnica.
Úloha. Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f (x) \u003d 2sin x + 5 v bode x 0 \u003d π / 2.
Tentoraz nebudeme podrobne popisovať každú akciu – naznačíme len kľúčové kroky. Máme:
f (x 0) \u003d f (π / 2) \u003d 2sin (π / 2) + 5 \u003d 2 + 5 \u003d 7;
f '(x) \u003d (2sin x + 5) ' \u003d 2cos x;
f '(x 0) \u003d f '(π / 2) \u003d 2cos (π / 2) \u003d 0;
Tangentová rovnica:
y = 0 (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
V druhom prípade sa čiara ukázala ako vodorovná, pretože jeho sklon k = 0. Nie je na tom nič zlé - práve sme narazili na extrémny bod.
V matematike je jedným z parametrov popisujúcich polohu priamky na kartézskej súradnicovej rovine sklon tejto priamky. Tento parameter charakterizuje sklon priamky k osi x. Aby ste pochopili, ako nájsť sklon, najskôr si spomeňte na všeobecný tvar rovnice priamky v súradnicovom systéme XY.
Vo všeobecnosti môže byť ľubovoľná čiara reprezentovaná výrazom ax+by=c, kde a, b a c sú ľubovoľné reálne čísla, ale nevyhnutne a 2 + b 2 ≠ 0.
Pomocou jednoduchých transformácií sa dá takáto rovnica dostať do tvaru y=kx+d, kde k a d sú reálne čísla. Číslo k je sklon a rovnica priamky tohto druhu sa nazýva rovnica so sklonom. Ukazuje sa, že na nájdenie svahu stačí uviesť pôvodnú rovnicu do vyššie uvedeného tvaru. Pre lepšie pochopenie zvážte konkrétny príklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky danej rovnicou 36x - 18y = 108
Riešenie: Transformujme pôvodnú rovnicu.
Odpoveď: Požadovaný sklon tejto čiary je 2.
Ak sme pri transformácii rovnice dostali výraz typu x = const a v dôsledku toho nevieme znázorniť y ako funkciu x, potom máme do činenia s priamkou rovnobežnou s osou X. Sklonenie taká priamka sa rovná nekonečnu.
Pre čiary, ktoré sú vyjadrené rovnicou ako y = const, je sklon nula. To je typické pre priame čiary rovnobežné s osou x. Napríklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky danej rovnicou 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Riešenie: Pôvodnú rovnicu uvedieme do všeobecného tvaru
24x + 12r - 12r + 28 = 4
Z výsledného výrazu nie je možné vyjadriť y, preto sa sklon tejto priamky rovná nekonečnu a samotná priamka bude rovnobežná s osou Y.
geometrický zmysel
Pre lepšie pochopenie sa pozrime na obrázok:
Na obrázku vidíme graf funkcie typu y = kx. Pre zjednodušenie vezmeme koeficient c = 0. V trojuholníku OAB bude pomer strany BA k AO rovný sklonu k. Pomer BA / AO je zároveň tangensom ostrého uhla α v pravouhlom trojuholníku OAB. Ukazuje sa, že sklon priamky sa rovná dotyčnici uhla, ktorý táto priamka zviera s osou x súradnicovej siete.
Pri riešení problému, ako nájsť sklon priamky, nájdeme dotyčnicu uhla medzi ňou a osou x súradnicovej siete. Hraničné prípady, keď je uvažovaná čiara rovnobežná so súradnicovými osami, potvrdzujú vyššie uvedené. V skutočnosti pre priamku opísanú rovnicou y=const je uhol medzi ňou a osou x rovný nule. Tangenta nulového uhla je tiež nula a sklon je tiež nulový.
Pre priamky kolmé na os x a opísané rovnicou x=konšt. je uhol medzi nimi a osou x 90 stupňov. Tangenta pravého uhla sa rovná nekonečnu a sklon podobných priamych čiar sa rovná nekonečnu, čo potvrdzuje to, čo bolo napísané vyššie.
Tangentný sklon
Bežnou, v praxi často sa vyskytujúcou úlohou je tiež nájsť v určitom bode sklon dotyčnice ku grafu funkcie. Dotyčnica je priamka, preto sa na ňu vzťahuje aj pojem sklon.
Aby sme zistili, ako nájsť sklon dotyčnice, budeme si musieť pripomenúť pojem derivácie. Derivácia ľubovoľnej funkcie v určitom bode je konštanta, ktorá sa číselne rovná dotyčnici uhla, ktorý zviera dotyčnicu v určenom bode ku grafu tejto funkcie a os x. Ukazuje sa, že na určenie sklonu dotyčnice v bode x 0 musíme vypočítať hodnotu derivácie pôvodnej funkcie v tomto bode k \u003d f "(x 0). Zoberme si príklad:
Úloha: Nájdite sklon priamky dotyčnice k funkcii y = 12x 2 + 2xe x pri x = 0,1.
Riešenie: Nájdite deriváciu pôvodnej funkcie vo všeobecnom tvare
y "(0,1) = 24 . 0,1 + 2 . 0,1 . e 0,1 + 2 . e 0,1
Odpoveď: Požadovaný sklon v bode x \u003d 0,1 je 4,831
Zvážte nasledujúci obrázok:
Ukazuje nejakú funkciu y = f(x), ktorá je diferencovateľná v bode a. Označený bod M so súradnicami (a; f(a)). Cez ľubovoľný bod P(a + ∆x; f(a + ∆x)) grafu sa nakreslí sečna MP.
Ak sa teraz bod P posunie pozdĺž grafu do bodu M, potom sa priamka MP bude otáčať okolo bodu M. V tomto prípade bude ∆x inklinovať k nule. Odtiaľ môžeme formulovať definíciu dotyčnice ku grafu funkcie.
Graf dotyčnice k funkcii
Dotyčnica ku grafu funkcie je limitnou pozíciou sečny, keď prírastok argumentu smeruje k nule. Treba si uvedomiť, že existencia derivácie funkcie f v bode x0 znamená, že v tomto bode grafu je dotyčnica jemu.
V tomto prípade sa sklon dotyčnice bude rovnať derivácii tejto funkcie v tomto bode f'(x0). Toto je geometrický význam derivácie. Dotyčnica ku grafu funkcie f diferencovateľnej v bode x0 je nejaká priamka prechádzajúca bodom (x0;f(x0)) a so sklonom f'(x0).
Tangentová rovnica
Skúsme dostať rovnicu dotyčnice ku grafu nejakej funkcie f v bode A(x0; f(x0)). Rovnica priamky so sklonom k má nasledujúci tvar:
Pretože náš sklon sa rovná derivácii f'(x0), potom bude mať rovnica nasledujúci tvar: y = f'(x0)*x + b.
Teraz vypočítajme hodnotu b. Využívame na to fakt, že funkcia prechádza bodom A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, odtiaľto vyjadríme b a dostaneme b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Výslednú hodnotu dosadíme do rovnice dotyčnice:
y = f'(x0)*x + b = f'(x0)*x + f(x0) - f'(x0)*x0 = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f'(x0)*(x - x0).
Zvážte nasledujúci príklad: nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f (x) \u003d x 3 - 2 * x 2 + 1 v bode x \u003d 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f'(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f'(x0) = f'(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Dosaďte získané hodnoty do tangentového vzorca, dostaneme: y = 1 + 4*(x - 2). Otvorením zátvoriek a uvedením podobných výrazov dostaneme: y = 4*x - 7.
Odpoveď: y = 4*x - 7.
Všeobecná schéma zostavenia tangentovej rovnice do grafu funkcie y = f(x):
1. Určte x0.
2. Vypočítajte f(x0).
3. Vypočítajte f'(x)
Téme "Uhlový koeficient dotyčnice ako dotyčnica uhla sklonu" v certifikačnej skúške je zadaných niekoľko úloh naraz. V závislosti od ich stavu sa môže od absolventa vyžadovať, aby poskytol úplnú aj krátku odpoveď. Pri príprave na skúšku z matematiky by si mal študent určite zopakovať úlohy, v ktorých je potrebné vypočítať sklon dotyčnice.
Pomôže vám v tom vzdelávací portál Shkolkovo. Naši odborníci pripravili a prezentovali teoretický a praktický materiál čo najdostupnejšie. Po oboznámení sa s ním budú absolventi akejkoľvek úrovne vzdelania schopní úspešne riešiť problémy súvisiace s deriváciami, v ktorých je potrebné nájsť dotyčnicu sklonu dotyčnice.
Základné momenty
Na nájdenie správneho a racionálneho riešenia takýchto úloh v USE je potrebné pripomenúť základnú definíciu: derivácia je rýchlosť zmeny funkcie; rovná sa dotyčnici sklonu dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie v určitom bode. Rovnako dôležité je dokončiť výkres. Umožní vám nájsť správne riešenie problémov USE na derivácii, v ktorej je potrebné vypočítať tangens sklonu dotyčnice. Pre prehľadnosť je najlepšie nakresliť graf v rovine OXY.
Ak ste sa už oboznámili so základným materiálom na tému derivácie a ste pripravení začať riešiť úlohy na výpočet tangens sklonu tangens, podobne ako úlohy USE, môžete to urobiť online. Ku každej úlohe, napríklad úlohám na tému „Súvislosť derivácie s rýchlosťou a zrýchlením telesa“, sme zapísali správnu odpoveď a algoritmus riešenia. V tomto prípade si žiaci môžu precvičiť vykonávanie úloh rôznej úrovne zložitosti. V prípade potreby je možné cvičenie uložiť do časti „Obľúbené“, aby ste neskôr mohli prediskutovať rozhodnutie s učiteľom.