V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrázku, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa konštrukciu výkresu, takže vaše znalosti a zručnosti v kreslení budú oveľa relevantnejšou záležitosťou. V tomto ohľade je užitočné obnoviť si pamäť grafov hlavných elementárnych funkcií a prinajmenšom vedieť postaviť priamku a hyperbolu.

Krivkový lichobežník je plochý útvar ohraničený osou, priamkami a grafom spojitej funkcie na segmente, ktorý na tomto intervale nemení znamienko. Nechajte tento obrázok nájsť nie menejúsečka:

Potom plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam.

Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

t.j. určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého útvaru. Vezmime si napríklad určitý integrál . Integrand definuje krivku v rovine, ktorá sa nachádza nad osou (tí, ktorí chcú, môžu dokončiť výkres) a samotný určitý integrál sa numericky rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typická úloha. Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.

Pri zostavovaní plánu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie zostaviť všetky čiary (ak existujú) a len po- paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Vytváranie funkčných grafov je výhodnejšie bodovo.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme kresbu (všimnite si, že rovnica definuje os):

Na segmente sa nachádza graf funkcie cez os, Preto:

odpoveď:

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na nákres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade "od oka" spočítame počet buniek na výkrese - dobre, asi 9 bude napísaných, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa, samozrejme, niekde stala chyba – 20 buniek sa jednoznačne nezmestí do daného čísla, maximálne tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

rozhodnutie: Urobme kresbu:

Ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou(alebo nakoniec nie vyššie danú os), potom jej plochu možno nájsť podľa vzorca:

V tomto prípade:

Pozor! Nezamieňajte si tieto dva typy úloh:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .

rozhodnutie: Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.

Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať..

Oveľa výhodnejšie a rýchlejšie je stavať linky bod po bode, pričom hranice integrácie sa zistia akoby „samo od seba“. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

Vraciame sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme si kresbu:

A teraz pracovný vzorec: Ak je na intervale nejaká súvislá funkcia väčší alebo rovný nejaká spojitá funkcia, potom oblasť obrázku ohraničená grafmi týchto funkcií a priamkami, možno nájsť podľa vzorca:

Tu už nie je potrebné premýšľať, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, záleží na tom, ktorý graf je NAHOR(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NIŽŠIE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Príklad 4

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

rozhodnutie: Najprv urobme kresbu:

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov.

naozaj:

1) Na segmente nad osou je priamkový graf;

2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

Kľúčové slová: integrálny, krivočiary lichobežník, plocha figúrok ohraničená ľaliami

Vybavenie: tabuľa, počítač, multimediálny projektor

Typ lekcie: lekcia-prednáška

Ciele lekcie:

• vzdelávacie: formovať kultúru duševnej práce, vytvárať pre každého študenta situáciu úspechu, formovať pozitívnu motiváciu k učeniu; rozvíjať schopnosť hovoriť a počúvať ostatných.
• vyvíja: formovanie samostatnosti myslenia študenta pri aplikácii vedomostí v rôznych situáciách, schopnosť analyzovať a vyvodzovať závery, rozvoj logiky, rozvoj schopnosti správne klásť otázky a hľadať na ne odpovede. Zlepšenie formovania výpočtových, výpočtových zručností, rozvoj myslenia študentov pri plnení navrhovaných úloh, rozvoj algoritmickej kultúry.
• vzdelávacie: formovať predstavy o krivočiarom lichobežníku, o integráli, osvojiť si zručnosti výpočtu plôch plochých útvarov

Vyučovacia metóda: vysvetľujúce a názorné.

Počas vyučovania

V predchádzajúcich triedach sme sa naučili, ako vypočítať plochy útvarov, ktorých hranice sú prerušované čiary. V matematike existujú metódy, ktoré vám umožňujú vypočítať plochu číslic ohraničenú krivkami. Takéto obrazce sa nazývajú krivočiare lichobežníky a ich plocha sa vypočítava pomocou primitívnych prvkov.

Krivočiary lichobežník ( snímka 1)

Krivočiary lichobežník je útvar ohraničený funkčným grafom, ( w.m.), rovný x = a a x = b a úsečka

Rôzne typy krivočiarych lichobežníkov ( snímka 2)

Zvažujeme rôzne typy krivočiarych lichobežníkov a všimneme si: jedna z čiar je degenerovaná do bodu, úlohu obmedzujúcej funkcie zohráva čiara

Oblasť krivočiareho lichobežníka (snímka 3)

Opravte ľavý koniec intervalu a, a správne X zmeníme, t.j. posunieme pravú stenu krivočiareho lichobežníka a získame meniaci sa obrazec. Plocha premenlivého krivočiareho lichobežníka ohraničeného funkčným grafom je primitívna F pre funkciu f

A v segmente [ a; b] oblasť krivočiareho lichobežníka tvoreného funkciou f, sa rovná prírastku primitívnej funkcie tejto funkcie:

Cvičenie 1:

Nájdite oblasť krivočiareho lichobežníka ohraničeného grafom funkcie: f(x) = x 2 a priamy y=0, x=1, x=2.

Rozhodnutie: ( podľa algoritmu snímky 3)

Nakreslite graf funkcie a čiar

Nájdite jeden z primitívnych derivátov funkcie f(x) = x 2 :

Samokontrola posúvača

Integrálne

Uvažujme krivočiary lichobežník daný funkciou f na segmente [ a; b]. Rozdeľme tento segment na niekoľko častí. Plocha celého lichobežníka bude rozdelená na súčet plôch menších krivočiarych lichobežníkov. ( snímka 5). Každý takýto lichobežník možno považovať približne za obdĺžnik. Súčet plôch týchto obdĺžnikov poskytuje približnú predstavu o celej ploche krivočiareho lichobežníka. Čím menší zlomíme segment [ a; b], tým presnejšie vypočítame plochu.

Tieto úvahy zapisujeme vo forme vzorcov.

Rozdeľte segment [ a; b] na n častí s bodkami x 0 \u003d a, x1, ..., xn \u003d b. Dĺžka k- th označovať podľa xk = xk - xk-1. Poďme si to zhrnúť

Geometricky je tento súčet oblasťou obrázku vytieňovaného na obrázku ( sh.m.)

Súčty tvaru sa nazývajú integrálne súčty funkcie f. (sch.m.)

Celočíselné súčty udávajú približnú hodnotu plochy. Presná hodnota sa získa prechodom na limit. Predstavte si, že upravíme rozdelenie segmentu [ a; b], takže dĺžky všetkých malých segmentov majú tendenciu k nule. Potom sa plocha zloženej figúry priblíži k oblasti krivočiareho lichobežníka. Môžeme povedať, že plocha krivočiareho lichobežníka sa rovná limitu integrálnych súčtov, Sk.t. (sch.m.) alebo integrálne, t.j.

Definícia:

funkčný integrál f(x) od a predtým b sa nazýva limita integrálnych súčtov

= (sch.m.)

Newtonov-Leibnizov vzorec.

Pamätajte, že limit integrálnych súčtov sa rovná ploche krivočiareho lichobežníka, takže môžeme písať:

Sk.t. = (sch.m.)

Na druhej strane sa plocha krivočiareho lichobežníka vypočíta podľa vzorca

S až. (sch.m.)

Porovnaním týchto vzorcov dostaneme:

= (sch.m.)

Táto rovnosť sa nazýva Newton-Leibnizov vzorec.

Pre pohodlie výpočtov je vzorec napísaný takto:

= = (sch.m.)

Úlohy: (sch.m.)

1. Vypočítajte integrál pomocou Newtonovho-Leibnizovho vzorca: ( skontrolujte snímku 5)

2. Zostavte integrály podľa nákresu ( skontrolujte na snímke 6)

3. Nájdite plochu obrazca ohraničenú čiarami: y \u003d x 3, y \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d 2. ( Snímka 7)

Nájdenie oblastí rovinných figúrok ( snímka 8)

Ako nájsť oblasť figúr, ktoré nie sú krivočiarymi lichobežníkmi?

Nech sú uvedené dve funkcie, ktorých grafy vidíte na snímke . (sch.m.) Nájdite oblasť tieňovanej postavy . (sch.m.). Je daný obrazec krivočiary lichobežník? A ako môžete nájsť jeho oblasť pomocou vlastnosti aditívnosti oblasti? Zvážte dva krivočiare lichobežníky a odpočítajte plochu druhého od plochy jedného z nich ( w.m.)

Urobme algoritmus na nájdenie oblasti z animácie na snímke:

1. Funkcie grafu
2. Premietnite priesečníky grafov na os x
3. Vytieňujte obrázok získaný krížením grafov
4. Nájdite krivočiare lichobežníky, ktorých priesečník alebo spojenie je daný obrazec.
5. Vypočítajte plochu každého z nich
6. Nájdite rozdiel alebo súčet oblastí

Ústna úloha: Ako získať oblasť tieňovanej postavy (povedzte pomocou animácie, snímka 8 a 9)

Domáca úloha: Vypracujte abstrakt, č. 353 (a), č. 364 (a).

Bibliografia

1. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre ročníky 9-11 večernej (zmennej) školy / ed. G.D. Glaser. - M: Osvietenie, 1983.
2. Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre ročníky 10-11 strednej školy / Bashmakov M.I. - M: Osvietenstvo, 1991.
3. Bašmakov M.I. Matematika: učebnica pre inštitúcie zač. a priem. Prednášal prof. vzdelanie / M.I. Bašmakov. - M: Akadémia, 2010.
4. Kolmogorov A.N. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre 10-11 buniek. vzdelávacie inštitúcie / A.N. Kolmogorov. - M: Osvietenie, 2010.
5. Ostrovsky S.L. Ako urobiť prezentáciu na lekciu? / S.L. Ostrovského. – M.: Prvý september 2010.

Určitý integrál. Ako vypočítať plochu obrázku

Teraz prejdeme k úvahám o aplikáciách integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typickú a najbežnejšiu úlohu. Ako použiť určitý integrál na výpočet plochy rovinného útvaru. Napokon, tí, ktorí hľadajú zmysel vo vyššej matematike – nech ho nájdu. Nikdy nevieš. V skutočnom živote budete musieť priblížiť letnú chatu so základnými funkciami a nájsť jej oblasť pomocou určitého integrálu.

Ak chcete úspešne zvládnuť materiál, musíte:

1) Pochopte neurčitý integrál aspoň na strednej úrovni. Preto by si figuríny mali lekciu najskôr prečítať nie.

2) Byť schopný použiť Newtonov-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. S určitými integrálmi na stránke môžete nadviazať vrúcne priateľské vzťahy Určitý integrál. Príklady riešení.

V skutočnosti, aby ste našli oblasť obrázku, nepotrebujete toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa konštrukciu výkresu, takže vaše znalosti a zručnosti v kreslení budú oveľa relevantnejšou záležitosťou. V tomto ohľade je užitočné osviežiť si pamäť grafov hlavných elementárnych funkcií a prinajmenšom vedieť postaviť priamku, parabolu a hyperbolu. Dá sa to (mnohí to potrebujú) pomocou metodického materiálu a článku o geometrických transformáciách grafov.

V skutočnosti každý pozná problém hľadania oblasti pomocou určitého integrálu už od školy a trochu predbehneme školské osnovy. Tento článok by možno vôbec neexistoval, ale faktom je, že problém nastáva v 99 prípadoch zo 100, keď študenta s nadšením zvládnu kurz z vyššej matematiky trápi nenávidená veža.

Materiály tohto workshopu sú prezentované jednoducho, podrobne a s minimom teórie.

Začnime s krivočiarym lichobežníkom.

Krivočiary lichobežník nazývaný plochý obrazec ohraničený osou , priamymi čiarami a grafom funkcie súvislej na segmente, ktorý na tomto intervale nemení znamienko. Nechajte tento obrázok nájsť nie menejúsečka:

Potom plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu. Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. Na lekcii Určitý integrál. Príklady riešení Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

t.j. určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého útvaru. Vezmime si napríklad určitý integrál . Integrand definuje krivku v rovine, ktorá sa nachádza nad osou (tí, ktorí chcú, môžu dokončiť výkres) a samotný určitý integrál sa numericky rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typická úloha. Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.

Pri zostavovaní plánu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie zostaviť všetky čiary (ak existujú) a len po- paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Vytváranie funkčných grafov je výhodnejšie bod po bode, s technikou bodovej konštrukcie nájdete v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Nájdete tam aj materiál, ktorý je veľmi užitočný v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme kresbu (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem liahnuť krivočiary lichobežník, je zrejmé, o akej oblasti sa tu bavíme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente sa nachádza graf funkcie cez os, Preto:

odpoveď:

Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na nákres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek na výkrese - no, napíše sa asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa evidentne niekde stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , a osou

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

rozhodnutie: Urobme kresbu:

Ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou(alebo nakoniec nie vyššie danú os), potom jej plochu možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Nezamieňajte si tieto dva typy úloh:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .

rozhodnutie: Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať..

Oveľa výhodnejšie a rýchlejšie je stavať linky bod po bode, pričom hranice integrácie sa zistia akoby „samo od seba“. Technika vytvárania bodov po bode pre rôzne grafy je podrobne popísaná v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

Vraciame sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme si kresbu:

Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec: Ak je na intervale nejaká súvislá funkcia väčší alebo rovný nejaká spojitá funkcia, potom oblasť obrázku ohraničená grafmi týchto funkcií a priamkami, možno nájsť podľa vzorca:

Tu už nie je potrebné premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, záleží na tom, ktorý graf je NAHOR(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NIŽŠIE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca . Keďže os je daná rovnicou , a graf funkcie je umiestnený nie vyššie osy teda

A teraz pár príkladov pre nezávislé riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Pri riešení úloh na výpočet plochy pomocou určitého integrálu sa občas stane vtipná príhoda. Výkres bol urobený správne, výpočty boli správne, ale kvôli nepozornosti ... našiel oblasť nesprávnej postavy, tak sa tvoj poslušný sluha niekoľkokrát posral. Tu je skutočný prípad:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

rozhodnutie: Najprv urobme kresbu:

...Eh, kresba vypadla, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často vyskytuje „závada“, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je priamkový graf;

2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Prejdime ešte k jednej zmysluplnej úlohe.

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Uveďme rovnice v „školskej“ forme a vykonajte kreslenie bod po bode:

Z nákresu je vidieť, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Aká je však spodná hranica? Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať. Alebo root. Čo ak sme ten graf vôbec nepochopili správne?

V takýchto prípadoch je potrebné venovať viac času a analyticky spresniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:


,

Naozaj,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie zvážime dve ťažšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

rozhodnutie: Nakreslite tento obrázok na výkres.

Sakra, zabudol som podpísať rozvrh a prerobiť obrázok, pardon, nie hotz. Nie kresba, dnes je skrátka deň =)

Pre stavbu bod po bode je potrebné poznať vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné vedieť grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostrojiť schematický výkres, na ktorom musia byť grafy a integračné limity zobrazené v zásade správne.

Problémy s integračnými limitmi tu nie sú, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

Plocha krivočiareho lichobežníka sa číselne rovná určitému integrálu

Akýkoľvek určitý integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V triede som povedal, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom PLOCHA.

t.j. určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého útvaru. Vezmime si napríklad určitý integrál . Integrand definuje určitú krivku v rovine (v prípade potreby ju možno vždy nakresliť) a samotný určitý integrál sa číselne rovná ploche zodpovedajúceho krivočiareho lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typická úloha. Prvým a najdôležitejším momentom rozhodnutia je konštrukcia výkresu. Okrem toho musí byť vytvorený výkres SPRÁVNY.

Pri zostavovaní plánu odporúčam nasledujúce poradie: najprv je lepšie zostaviť všetky čiary (ak existujú) a len po- paraboly, hyperboly, grafy iných funkcií. Vytváranie funkčných grafov je výhodnejšie bod po bode, techniku ​​bodovej konštrukcie nájdete v referenčnom materiáli.

Nájdete tam aj materiál, ktorý je veľmi užitočný v súvislosti s našou lekciou - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
Urobme kresbu (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem liahnuť krivočiary lichobežník, je zrejmé, o akej oblasti sa tu bavíme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente sa nachádza graf funkcie cez os, Preto:

odpoveď:

Kto má ťažkosti s výpočtom určitého integrálu a aplikáciou Newtonovho-Leibnizovho vzorca , pozrite si prednášku Určitý integrál. Príklady riešení.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na nákres a zistiť, či je odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek na výkrese - no, napíše sa asi 9, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme mali povedzme odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, tak sa evidentne niekde stala chyba – 20 buniek sa evidentne nezmestí do predmetného čísla, maximálne tucet. Ak bola odpoveď záporná, úloha bola tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , a osou

Toto je príklad „urob si sám“. Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa nachádza krivočiary lichobežník pod nápravou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

Riešenie: Urobme kresbu:

Ak krivočiary lichobežník úplne pod nápravou, potom jeho oblasť možno nájsť podľa vzorca:
V tomto prípade:

Pozor! Tieto dva typy úloh by sa nemali zamieňať:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili len určitý integrál bez akéhokoľvek geometrického významu, potom môže byť záporný.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli plochu obrazca pomocou určitého integrálu, potom je plocha vždy kladná! Preto sa v práve uvažovanom vzorci objavuje mínus.

V praxi sa najčastejšie figúrka nachádza v hornej aj dolnej polrovine, a preto od najjednoduchších školských úloh prechádzame k zmysluplnejším príkladom.

Príklad 4

Nájdite plochu plochej postavy ohraničenú čiarami , .

Riešenie: Najprv musíte urobiť kresbu. Všeobecne povedané, pri konštrukcii výkresu v plošných úlohách nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Dá sa to urobiť dvoma spôsobmi. Prvý spôsob je analytický. Riešime rovnicu:

Preto spodná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Ak je to možné, je lepšie túto metódu nepoužívať.

Oveľa výhodnejšie a rýchlejšie je stavať linky bod po bode, pričom hranice integrácie sa zistia akoby „samo od seba“. Technika vytvárania bodov po bode pre rôzne grafy je podrobne popísaná v pomocníkovi Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií. Analytická metóda hľadania limitov sa však stále niekedy musí použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo závitová konštrukcia neodhalila limity integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A tiež zvážime taký príklad.

Vraciame sa k našej úlohe: racionálnejšie je najprv zostrojiť priamku a až potom parabolu. Urobme si kresbu:

Opakujem, že pri bodovej konštrukcii sa hranice integrácie najčastejšie zisťujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec: Ak na segmente nejaká spojitá funkcia väčší alebo rovný nejaká spojitá funkcia, potom oblasť zodpovedajúceho obrázku možno nájsť podľa vzorca:

Tu už nie je potrebné premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou, a zhruba povedané, záleží na tom, ktorý graf je NAHOR(vo vzťahu k inému grafu), a ktorý je NIŽŠIE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že na segmente sa parabola nachádza nad priamkou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaný údaj je ohraničený parabolou zhora a priamkou zdola.
Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka v dolnej polrovine (pozri jednoduchý príklad č. 3) špeciálnym prípadom vzorca . Keďže os je daná rovnicou a graf funkcie je umiestnený pod osou, potom

A teraz pár príkladov pre nezávislé riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami , .

Pri riešení úloh na výpočet plochy pomocou určitého integrálu sa občas stane vtipná príhoda. Výkres bol urobený správne, výpočty boli správne, ale kvôli nepozornosti ... našiel oblasť nesprávnej postavy, tak sa tvoj poslušný sluha niekoľkokrát posral. Tu je skutočný prípad:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , , , .

Najprv nakreslíme:

Postava, ktorej oblasť potrebujeme nájsť, je vytieňovaná modrou farbou.(pozorne sa pozrite na stav - ako je postava obmedzená!). V praxi sa však v dôsledku nepozornosti často stáva, že musíte nájsť oblasť postavy, ktorá je zatienená zelenou farbou!

Tento príklad je užitočný aj v tom, že sa v ňom plocha obrázku počíta pomocou dvoch určitých integrálov. naozaj:

1) Na segmente nad osou je priamkový graf;

2) Na segmente nad osou je hyperbolový graf.

Je celkom zrejmé, že oblasti sa môžu (a mali by) pridať, preto:

odpoveď:

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami,
Uveďme rovnice v „školskej“ forme a vykonajte kreslenie bod po bode:

Z nákresu je vidieť, že naša horná hranica je „dobrá“: .
Aká je však spodná hranica? Je jasné, že to nie je celé číslo, ale čo? Možno ? Ale kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže sa to ukázať. Alebo root. Čo ak sme ten graf vôbec nepochopili správne?

V takýchto prípadoch je potrebné venovať viac času a analyticky spresniť hranice integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu:

Preto, .

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zmiasť sa v zámenách a znamienkach, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente , podľa zodpovedajúceho vzorca:

odpoveď:

Na záver lekcie zvážime dve ťažšie úlohy.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami , ,

Riešenie: Nakreslite tento obrázok na výkres.

Pre bodovú konštrukciu výkresu je potrebné poznať vzhľad sínusoidy (a vo všeobecnosti je užitočné vedieť grafy všetkých elementárnych funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, možno ich nájsť v trigonometrická tabuľka. V niektorých prípadoch (ako v tomto prípade) je dovolené zostrojiť schematický výkres, na ktorom musia byť grafy a integračné limity zobrazené v zásade správne.

Problémy s integračnými limitmi tu nie sú, vyplývajú priamo z podmienky: - "x" sa zmení z nuly na "pi". Robíme ďalšie rozhodnutie:

Na segmente je graf funkcie umiestnený nad osou, preto:

(1) Ako sú sínusy a kosínusy integrované do nepárnych mocnín, môžete vidieť v lekcii Integrály goniometrických funkcií. Ide o typickú techniku, odštipneme jeden sínus.

(2) Vo formulári používame základnú goniometrickú identitu

(3) Zmeňme premennú , potom:

Nové prerozdelenia integrácie:

Kto má naozaj zlý biznis so suplovaním, choďte na lekciu Náhradná metóda v neurčitom integráli. Pre tých, ktorým nie je veľmi jasný algoritmus náhrady v určitom integráli, navštívte stránku Určitý integrál. Príklady riešení.

Príklad 1 . Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 a x = 2

Postavme postavu (pozri obr.) Postavíme priamku x + 2y - 4 \u003d 0 pozdĺž dvoch bodov A (4; 0) a B (0; 2). Vyjadrením y ako x dostaneme y \u003d -0,5x + 2. Podľa vzorca (1), kde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2 Nájsť

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 m2 Jednotky

Príklad 2 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 a y \u003d 0.

rozhodnutie. Postavme si postavu.

Zostavme priamku x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Zostrojme priamku x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Nájdite priesečník priamok riešením sústavy rovníc:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Na výpočet potrebnej plochy rozdelíme trojuholník AMC na dva trojuholníky AMN a NMC, keďže pri zmene x z A na N je plocha ohraničená priamkou a pri zmene x z N na C ide o priamku.

Pre trojuholník AMN máme: ; y \u003d 0,5x + 2, t.j. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pre trojuholník NMC platí: y = - x + 5, t.j. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Výpočtom plochy každého z trojuholníkov a pridaním výsledkov zistíme:

štvorcových Jednotky

štvorcových Jednotky

9 + 4, 5 = 13,5 štvorcových. Jednotky Kontrola: = 0,5 AC = 0,5 štvorcových. Jednotky

Príklad 3 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

V tomto prípade je potrebné vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka ohraničeného parabolou y = x 2 , priamky x \u003d 2 a x \u003d 3 a os Ox (pozri obr.) Podľa vzorca (1) nájdeme oblasť krivočiareho lichobežníka

= = 6kv. Jednotky

Príklad 4 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d - x 2 + 4 a y = 0

Postavme si postavu. Požadovaná oblasť je uzavretá medzi parabolou y \u003d - x 2 + 4 a os Oh.

Nájdite priesečníky paraboly s osou x. Za predpokladu, že y \u003d 0, nájdeme x \u003d Keďže toto číslo je symetrické okolo osi Oy, vypočítame plochu čísla umiestnenej napravo od osi Oy a výsledok zdvojnásobíme: \u003d + 4x] štvorcových Jednotky 2 = 2 štvorcových. Jednotky

Príklad 5 Vypočítajte plochu obrazca ohraničenú čiarami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Tu je potrebné vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka ohraničeného hornou vetvou paraboly y 2 \u003d x, os Ox a priame čiary x \u003d 1x \u003d 4 (pozri obr.)

Podľa vzorca (1), kde f(x) = a = 1 a b = 4, máme = (= štvorcových jednotiek

Príklad 6 . Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Požadovaná oblasť je ohraničená sínusoidou polovičnej vlny a osou Ox (pozri obr.).

Máme - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metre štvorcových. Jednotky

Príklad 7 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d - 6x, y \u003d 0 a x \u003d 4.

Obrázok sa nachádza pod osou Ox (pozri obr.).

Preto sa jeho plocha zistí podľa vzorca (3)

= =

Príklad 8 Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami: y \u003d a x \u003d 2. Krivku y \u003d zostavíme podľa bodov (pozri obrázok). Plocha obrázku sa teda nachádza podľa vzorca (4)

Príklad 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Tu je potrebné vypočítať plochu ohraničenú kružnicou x 2 + y 2 = r 2 t.j. oblasť kruhu s polomerom r so stredom v počiatku. Nájdite štvrtú časť tejto oblasti, pričom hranice integrácie si vezmeme od 0

dor; máme: 1 = = [

teda 1 =

Príklad 10 Vypočítajte plochu postavy ohraničenú čiarami: y \u003d x 2 a y = 2x

Toto číslo je obmedzené parabolou y \u003d x 2 a priamka y \u003d 2x (pozri obr.) Na určenie priesečníkov daných čiar riešime sústavu rovníc: x 2 – 2x = 0 x = 0 a x = 2

Pomocou vzorca (5) na nájdenie oblasti získame

= }