Opisani krog lastnosti pravokotnega trikotnika. Opisani krog
Cilji lekcije:
- Poglobite znanje na temo "Opisani krogi v trikotnikih"
Cilji lekcije:
- Sistematizirajte znanje o tej temi
- Pripravite se na reševanje zapletenih težav.
Učni načrt:
- Uvod.
- Teoretični del.
- Za trikotnik.
- Praktični del.
Uvod.
Tema "Vpisani in opisani krogi v trikotniku" je ena najtežjih pri predmetu geometrije. V razredu preživi zelo malo časa.
Geometrijski problemi te teme so vključeni v drugi del izpitne naloge USE za srednješolski predmet.
Za uspešno opravljanje teh nalog je potrebno dobro poznavanje osnovnih geometrijskih dejstev in nekaj izkušenj pri reševanju geometrijskih problemov.
Teoretični del.
Opisani poligon- krog, ki vsebuje vsa oglišča mnogokotnika. Središče je točka (običajno označena z O) presečišča pravokotnih simetral na stranice mnogokotnika.
Lastnosti.
Središče opisanega kroga konveksnega n-kotnika leži na presečišču pravokotnih simetral na njegove stranice. Posledično: če je krog opisan poleg n-kotnika, se vse pravokotne simetrale na njegove stranice sekajo v eni točki (središče kroga).
Krog je mogoče obpisati okoli katerega koli pravilnega mnogokotnika.
Za trikotnik.
Za krog rečemo, da je v bližini trikotnika opisan, če gre skozi vsa njegova oglišča.
Krog je mogoče opisati okoli katerega koli trikotnika in samo en. Njegovo središče bo točka presečišča pravokotnih simetral.
Ostri trikotnik ima središče opisanega kroga znotraj, v neumnem - zunaj trikotnika, za pravokotno - na sredini hipotenuze.
Polmer opisanega kroga je mogoče najti s formulami:
Kje:
a, b, c- stranice trikotnika
α
- kot nasprotne strani a,
S- površina trikotnika.
Dokaži:
t.O - točka presečišča srednjih pravokotnic na stranice ΔABC
Dokaz:
- ΔAOC - enakokraki, ker OA=OC (kot polmeri)
- ΔAOC - enakokraki, pravokotni OD - mediana in višina, t.j. t.O leži na pravokotni simetrali na stran AC
- Podobno je dokazano, da TO leži na pravokotnih simetrah na stranica AB in BC
Q.E.D.
Komentar.
Premo, ki poteka skozi središče odseka, pravokotnega nanjo, pogosto imenujemo pravokotna simetrala. V zvezi s tem včasih rečemo, da središče kroga, opisanega okoli trikotnika, leži na presečišču pravokotnih simetral na stranice trikotnika.
Prva stopnja
opisan krog. Vizualni vodnik (2019)
Prvo vprašanje, ki se lahko pojavi, je: opisano – okoli česa?
No, pravzaprav se včasih zgodi okoli česar koli in govorili bomo o krogu, ki je opisan okoli (včasih pravijo »približno«) trikotnika. Kaj je to?
In zdaj si predstavljajte, da se zgodi neverjetno dejstvo:
Zakaj je to dejstvo neverjetno?
Toda trikotniki so različni!
In za vsakogar obstaja krog, ki bo minil skozi vse tri vrhove, to je opisani krog.
Dokaz tega neverjetnega dejstva je mogoče najti v naslednjih ravneh teorije, vendar tukaj samo ugotavljamo, da če vzamemo na primer štirikotnik, potem sploh ne za vsakogar obstaja krog, ki poteka skozi štiri oglišča. Tu je recimo paralelogram odličen štirikotnik, a krog, ki poteka skozi vsa njegova štiri oglišča, ni!
In obstaja samo za pravokotnik:
no, in vsak trikotnik ima vedno svoj opisani krog! In celo vedno je zelo enostavno najti središče tega kroga.
Ali veš kaj je sredinsko pravokotno?
Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če upoštevamo kar tri pravokotne simetrale na stranice trikotnika.
Izkazalo se je (in prav to je treba dokazati, čeprav ne bomo), da Vse tri pravokotnice se sekajo v eni točki. Poglejte sliko – vse tri sredinske navpičnice se sekajo v eni točki.
Ali menite, da središče opisanega kroga vedno leži znotraj trikotnika? Predstavljajte si - ne vedno!
Ampak če oster kot, nato - znotraj:
Kaj storiti s pravokotnim trikotnikom?
In z dodatnim bonusom:
Ker govorimo o polmeru opisanega kroga: koliko je enak za poljuben trikotnik? In na to vprašanje obstaja odgovor: t.i.
in sicer:
In seveda,
1. Obstoj in središče opisanega kroga
Tu se postavlja vprašanje: ali tak krog obstaja za kateri koli trikotnik? Izkazalo se je, da ja, za vse. Poleg tega bomo zdaj oblikovali izrek, ki odgovarja tudi na vprašanje, kje je središče opisanega kroga.
Poglej, takole:
Zberimo se pogum in dokažimo ta izrek. Če ste že prebrali temo "", ugotovili, zakaj se tri simetrale sekajo v eni točki, potem vam bo lažje, če pa je še niste prebrali, ne skrbite: zdaj bomo ugotovili vse ven.
Dokaz bomo izvedli s konceptom lokusa točk (LPT).
No, na primer, ali je niz kroglic "geometrijsko mesto" okroglih predmetov? Ne, seveda, ker obstajajo okrogle ... lubenice. Toda ali je skupek ljudi, »geometrijsko mesto«, sposoben govoriti? Niti ne, ker obstajajo dojenčki, ki ne znajo govoriti. V življenju je na splošno težko najti primer pravega "geometrijskega mesta točk". Geometrija je lažja. Tukaj je na primer tisto, kar potrebujemo:
Tukaj je množica srednja pravokotnica, lastnost "" pa je "enako oddaljena (točka) od koncev segmenta."
da preverimo? Torej se morate prepričati o dveh stvareh:
- Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, je na pravokotni simetrali nanjo.
Povežite se z in z. Potem je črta mediana in višina znotraj. Torej, - enakokraki, - smo poskrbeli, da je katera koli točka, ki leži na pravokotni simetrali, enako oddaljena od točk in.
Vzemite - sredino in povežite in. Dobil mediano. Toda - enakokraki po pogoju, ne le mediana, ampak tudi višina, torej srednja pravokotnica. To pomeni, da točka leži točno na pravokotni simetrali.
Vse! To dejstvo smo v celoti preverili pravokotna simetrala na segment je lokus točk, enako oddaljenih od koncev segmenta.
To je vse lepo in prav, a smo pozabili na omejen krog? Sploh ne, samo pripravili smo si »mostišče za napad«.
Razmislite o trikotniku. Narišimo dve srednji pravokotnici in recimo na odseke in. Na neki točki se bodo križali, kar bomo poimenovali.
In zdaj, pozornost!
Točka leži na pravokotni simetrali;
točka leži na pravokotni simetrali.
In to pomeni in.
Iz tega sledi več stvari:
Najprej mora točka ležati na tretji pravokotni simetrali, na segment.
To pomeni, da mora pravokotna simetrala potekati tudi skozi točko, vse tri pravokotne simetrale pa se sekajo v eni točki.
Drugič: če narišemo krog s središčem v točki in polmerom, potem bo ta krog šel tudi skozi točko in skozi točko, torej bo opisan krog. To pomeni, da že obstaja, da je presečišče treh pravokotnih simetral središče opisanega kroga za kateri koli trikotnik.
In zadnja stvar: o edinstvenosti. Jasno je (skoraj) da je točko mogoče dobiti na edinstven način, zato je krog edinstven. No, "skoraj" - to bomo prepustili vam. Tu smo dokazali izrek. Lahko zavpijete "Hura!".
In če je problem vprašanje "poišči polmer opisanega kroga"? Ali obratno, polmer je podan, vendar želite najti nekaj drugega? Ali obstaja formula, ki povezuje polmer opisanega kroga z drugimi elementi trikotnika?
Upoštevajte, da to pravi sinusni izrek da bi našli polmer opisanega kroga, potrebujete eno stran (kakršno koli!) in kot nasproti njej. In to je to!
3. Središče kroga - znotraj ali zunaj
In zdaj je vprašanje: ali lahko središče opisanega kroga leži zunaj trikotnika.
Odgovor: kolikor je mogoče. Poleg tega je to vedno tako v tupokotnem trikotniku.
In na splošno:
KROG. NAKRATKO O GLAVNEM
1. Krog, opisan okoli trikotnika
To je krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča tega trikotnika.
2. Obstoj in središče opisanega kroga
No, tema je končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.
Ker le 5 % ljudi je sposobno nekaj obvladati sam. In če ste prebrali do konca, potem ste v 5%!
Zdaj najpomembnejša stvar.
Ugotovili ste teorijo na to temo. In, ponavljam, je ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ne bo dovolj ...
Za kaj?
Za uspešno opravljen izpit, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je najpomembneje, za življenje.
Ne bom vas v nič prepričeval, povedal bom samo eno stvar ...
Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavna stvar je, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da si na izpitu zagotovo boljši od drugih in na koncu ... srečnejši?
NAPOLNI ROKO, REŠUJTE TEŽAVE NA TO TEMO.
Na izpitu te teorije ne bodo vprašali.
Boste potrebovali pravočasno rešiti težave.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali pa je preprosto ne boste storili pravočasno.
To je kot v športu – za zanesljivo zmago moraš večkrat ponoviti.
Poiščite zbirko kjer koli želite nujno z rešitvami, podrobno analizo in se odloči, odloči, odloči!
Lahko uporabite naše naloge (ni nujno) in jih vsekakor priporočamo.
Če želite priskočiti na pomoč s pomočjo naših nalog, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
Kako? Obstajata dve možnosti:
- Odklenite dostop do vseh skritih opravil v tem članku - 299 rubljev.
- Odklenite dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 člankih vadnice - 499 rubljev.
Da, v učbeniku imamo 99 takih člankov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih je mogoče takoj odpreti.
Dostop do vseh skritih opravil je omogočen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne prenehajte s teorijo.
"Razumem" in "Vem, kako rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebuješ oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Prva stopnja
opisan krog. Vizualni vodnik (2019)
Prvo vprašanje, ki se lahko pojavi, je: opisano – okoli česa?
No, pravzaprav se včasih zgodi okoli česar koli in govorili bomo o krogu, ki je opisan okoli (včasih pravijo »približno«) trikotnika. Kaj je to?
In zdaj si predstavljajte, da se zgodi neverjetno dejstvo:
Zakaj je to dejstvo neverjetno?
Toda trikotniki so različni!
In za vsakogar obstaja krog, ki bo minil skozi vse tri vrhove, to je opisani krog.
Dokaz tega neverjetnega dejstva je mogoče najti v naslednjih ravneh teorije, vendar tukaj samo ugotavljamo, da če vzamemo na primer štirikotnik, potem sploh ne za vsakogar obstaja krog, ki poteka skozi štiri oglišča. Tu je recimo paralelogram odličen štirikotnik, a krog, ki poteka skozi vsa njegova štiri oglišča, ni!
In obstaja samo za pravokotnik:
no, in vsak trikotnik ima vedno svoj opisani krog! In celo vedno je zelo enostavno najti središče tega kroga.
Ali veš kaj je sredinsko pravokotno?
Zdaj pa poglejmo, kaj se zgodi, če upoštevamo kar tri pravokotne simetrale na stranice trikotnika.
Izkazalo se je (in prav to je treba dokazati, čeprav ne bomo), da Vse tri pravokotnice se sekajo v eni točki. Poglejte sliko – vse tri sredinske navpičnice se sekajo v eni točki.
Ali menite, da središče opisanega kroga vedno leži znotraj trikotnika? Predstavljajte si - ne vedno!
Ampak če oster kot, nato - znotraj:
Kaj storiti s pravokotnim trikotnikom?
In z dodatnim bonusom:
Ker govorimo o polmeru opisanega kroga: koliko je enak za poljuben trikotnik? In na to vprašanje obstaja odgovor: t.i.
in sicer:
In seveda,
1. Obstoj in središče opisanega kroga
Tu se postavlja vprašanje: ali tak krog obstaja za kateri koli trikotnik? Izkazalo se je, da ja, za vse. Poleg tega bomo zdaj oblikovali izrek, ki odgovarja tudi na vprašanje, kje je središče opisanega kroga.
Poglej, takole:
Zberimo se pogum in dokažimo ta izrek. Če ste že prebrali temo "", ugotovili, zakaj se tri simetrale sekajo v eni točki, potem vam bo lažje, če pa je še niste prebrali, ne skrbite: zdaj bomo ugotovili vse ven.
Dokaz bomo izvedli s konceptom lokusa točk (LPT).
No, na primer, ali je niz kroglic "geometrijsko mesto" okroglih predmetov? Ne, seveda, ker obstajajo okrogle ... lubenice. Toda ali je skupek ljudi, »geometrijsko mesto«, sposoben govoriti? Niti ne, ker obstajajo dojenčki, ki ne znajo govoriti. V življenju je na splošno težko najti primer pravega "geometrijskega mesta točk". Geometrija je lažja. Tukaj je na primer tisto, kar potrebujemo:
Tukaj je množica srednja pravokotnica, lastnost "" pa je "enako oddaljena (točka) od koncev segmenta."
da preverimo? Torej se morate prepričati o dveh stvareh:
- Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, je na pravokotni simetrali nanjo.
Povežite se z in z. Potem je črta mediana in višina znotraj. Torej, - enakokraki, - smo poskrbeli, da je katera koli točka, ki leži na pravokotni simetrali, enako oddaljena od točk in.
Vzemite - sredino in povežite in. Dobil mediano. Toda - enakokraki po pogoju, ne le mediana, ampak tudi višina, torej srednja pravokotnica. To pomeni, da točka leži točno na pravokotni simetrali.
Vse! To dejstvo smo v celoti preverili pravokotna simetrala na segment je lokus točk, enako oddaljenih od koncev segmenta.
To je vse lepo in prav, a smo pozabili na omejen krog? Sploh ne, samo pripravili smo si »mostišče za napad«.
Razmislite o trikotniku. Narišimo dve srednji pravokotnici in recimo na odseke in. Na neki točki se bodo križali, kar bomo poimenovali.
In zdaj, pozornost!
Točka leži na pravokotni simetrali;
točka leži na pravokotni simetrali.
In to pomeni in.
Iz tega sledi več stvari:
Najprej mora točka ležati na tretji pravokotni simetrali, na segment.
To pomeni, da mora pravokotna simetrala potekati tudi skozi točko, vse tri pravokotne simetrale pa se sekajo v eni točki.
Drugič: če narišemo krog s središčem v točki in polmerom, potem bo ta krog šel tudi skozi točko in skozi točko, torej bo opisan krog. To pomeni, da že obstaja, da je presečišče treh pravokotnih simetral središče opisanega kroga za kateri koli trikotnik.
In zadnja stvar: o edinstvenosti. Jasno je (skoraj) da je točko mogoče dobiti na edinstven način, zato je krog edinstven. No, "skoraj" - to bomo prepustili vam. Tu smo dokazali izrek. Lahko zavpijete "Hura!".
In če je problem vprašanje "poišči polmer opisanega kroga"? Ali obratno, polmer je podan, vendar želite najti nekaj drugega? Ali obstaja formula, ki povezuje polmer opisanega kroga z drugimi elementi trikotnika?
Upoštevajte, da to pravi sinusni izrek da bi našli polmer opisanega kroga, potrebujete eno stran (kakršno koli!) in kot nasproti njej. In to je to!
3. Središče kroga - znotraj ali zunaj
In zdaj je vprašanje: ali lahko središče opisanega kroga leži zunaj trikotnika.
Odgovor: kolikor je mogoče. Poleg tega je to vedno tako v tupokotnem trikotniku.
In na splošno:
KROG. NAKRATKO O GLAVNEM
1. Krog, opisan okoli trikotnika
To je krog, ki poteka skozi vsa tri oglišča tega trikotnika.
2. Obstoj in središče opisanega kroga
No, tema je končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.
Ker le 5 % ljudi je sposobno nekaj obvladati sam. In če ste prebrali do konca, potem ste v 5%!
Zdaj najpomembnejša stvar.
Ugotovili ste teorijo na to temo. In, ponavljam, je ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ne bo dovolj ...
Za kaj?
Za uspešno opravljen izpit, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je najpomembneje, za življenje.
Ne bom vas v nič prepričeval, povedal bom samo eno stvar ...
Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavna stvar je, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da si na izpitu zagotovo boljši od drugih in na koncu ... srečnejši?
NAPOLNI ROKO, REŠUJTE TEŽAVE NA TO TEMO.
Na izpitu te teorije ne bodo vprašali.
Boste potrebovali pravočasno rešiti težave.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali pa je preprosto ne boste storili pravočasno.
To je kot v športu – za zanesljivo zmago moraš večkrat ponoviti.
Poiščite zbirko kjer koli želite nujno z rešitvami, podrobno analizo in se odloči, odloči, odloči!
Lahko uporabite naše naloge (ni nujno) in jih vsekakor priporočamo.
Če želite priskočiti na pomoč s pomočjo naših nalog, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
Kako? Obstajata dve možnosti:
- Odklenite dostop do vseh skritih opravil v tem članku - 299 rubljev.
- Odklenite dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 člankih vadnice - 499 rubljev.
Da, v učbeniku imamo 99 takih člankov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih je mogoče takoj odpreti.
Dostop do vseh skritih opravil je omogočen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne prenehajte s teorijo.
"Razumem" in "Vem, kako rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebuješ oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Tema "Vpisani in opisani krogi v trikotniku" je ena najtežjih pri predmetu geometrije. V razredu preživi zelo malo časa.
Geometrijski problemi te teme so vključeni v drugi del izpitne naloge USE za srednješolski predmet. Za uspešno opravljanje teh nalog je potrebno dobro poznavanje osnovnih geometrijskih dejstev in nekaj izkušenj pri reševanju geometrijskih problemov.
Za vsak trikotnik je samo en opisan krog. To je krog, na katerem ležijo vsa tri oglišča trikotnika z danimi parametri. Iskanje njegovega polmera bo morda potrebno ne le pri lekciji geometrije. S tem se morajo nenehno ukvarjati oblikovalci, rezkarji, ključavničarji in predstavniki številnih drugih poklicev. Če želite najti njegov polmer, morate poznati parametre trikotnika in njegove lastnosti. Središče opisanega kroga je na presečišču pravokotnih simetral trikotnika.
Predstavljam vam vse formule za iskanje polmera opisanega kroga in ne samo trikotnika. Formule za vpisan krog si lahko ogledate.
a, b z - stranice trikotnika
α -
kot nasprotne strania,
S-površina trikotnika,
p- semiperimeter.
Nato najti polmer ( R) opisanega kroga uporabite formule:
Po drugi strani lahko površino trikotnika izračunamo z eno od naslednjih formul:
In tukaj je še nekaj formul.
1. Polmer opisane krožnice okoli pravilnega trikotnika. Če a stran trikotnika, torej
2. Polmer opisanega kroga okoli enakokrakega trikotnika. Naj bo a, b so stranice trikotnika, torej
