Množenje preprostih in mešanih ulomkov z različnimi imenovalci. Delitev navadnih ulomkov: pravila, primeri, rešitve
) in imenovalec pri imenovalcu (dobimo imenovalec produkta).
Formula za množenje ulomkov:
Na primer:
Preden nadaljujemo z množenjem števcev in imenovalcev, je treba preveriti možnost zmanjšanja ulomka. Če vam uspe zmanjšati ulomek, vam bo lažje nadaljevati z izračuni.
Delitev navadnega ulomka z ulomkom.
Delitev ulomkov, ki vključujejo naravno število.
Ni tako strašljivo, kot se zdi. Tako kot v primeru seštevanja celo število pretvorimo v ulomek z enoto v imenovalcu. Na primer:
Množenje mešanih ulomkov.
Pravila za množenje ulomkov (mešano):
- pretvori mešane frakcije v nepravilne;
- pomnožite števce in imenovalce ulomkov;
- zmanjšamo ulomek;
- če dobimo nepravilni ulomek, potem nepravilni ulomek pretvorimo v mešani.
Opomba!Če želite mešani ulomek pomnožiti z drugim mešanim ulomkom, jih morate najprej spraviti v obliko nepravilnih ulomkov in nato pomnožiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.
Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.
Primerneje je uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.
Opomba!Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, je treba imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti nespremenjen.
Iz zgornjega primera je jasno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, če je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.
Večstopenjski ulomki.
V srednji šoli pogosto najdemo trinadstropne (ali več) ulomke. Primer:
Da bi tak ulomek pripeljal v običajno obliko, se uporablja delitev na 2 točki:
Opomba! Pri deljenju ulomkov je zelo pomemben vrstni red delitve. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.
Opomba, na primer:
Ko delite eno s katerim koli ulomkom, bo rezultat enak ulomek, le obrnjen:
Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:
1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomnimi izrazi je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, koncentrirano in jasno. Bolje je, da v osnutek zapišete nekaj dodatnih vrstic, kot da se zmedete v izračunih v glavi.
2. Pri nalogah z različnimi vrstami ulomkov – pojdite na vrsto navadnih ulomkov.
3. Zmanjšamo vse ulomke, dokler jih ni več mogoče zmanjšati.
4. Večstopenjske frakcijske izraze vnesemo v navadne, z deljenjem na 2 točki.
5. Enoto v mislih razdelimo na ulomek, preprosto tako, da ulomek obrnemo.
Množenje in deljenje ulomkov.
Pozor!
Obstajajo dodatni
gradivo v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki močno "ni zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")
Ta operacija je veliko lepša od seštevanja-odštevanja! Ker je lažje. Spomnim vas: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). to je:
Na primer:
Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Ne rabiš tukaj...
Če želite ulomek deliti z ulomkom, morate obrniti drugič(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, t.j.:
Na primer:
Če se množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki ujame, je v redu. Tako kot pri seštevanju naredimo ulomek iz celega števila z enoto v imenovalcu - in gremo! Na primer:
V srednji šoli se morate pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) ulomki. Na primer:
Kako ta ulomek spraviti v dostojno obliko? Ja, zelo enostavno! Uporabite delitev na dve točki:
Vendar ne pozabite na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropnem ulomku je enostavno narediti napako. Prosimo, upoštevajte, na primer:
V prvem primeru (izraz na levi):
V drugem (izraz na desni):
Čutite razliko? 4 in 1/9!
Kakšen je vrstni red delitve? Ali oklepaji ali (kot tukaj) dolžina vodoravnih pomišljajev. Razvijte oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:
potem deli - pomnoži po vrsti, od leve proti desni!
In še en zelo preprost in pomemben trik. Pri akcijah z diplomami vam bo prišel prav! Delimo enoto s katerim koli ulomkom, na primer s 13/15:
Posnetek se je obrnil! In vedno se zgodi. Ko delite 1 s katerim koli ulomkom, je rezultat isti ulomek, le obrnjen.
To so vsa dejanja z ulomki. Zadeva je precej preprosta, vendar daje več kot dovolj napak. Upoštevajte praktične nasvete in manj jih bo (napak)!
Praktični nasveti:
1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomnimi izrazi je natančnost in pozornost! To niso običajne besede, ne dobre želje! To je huda potreba! Vse izračune na izpitu opravite kot popolno nalogo, zbrano in jasno. Bolje je, da napišete dve dodatni vrstici v osnutek, kot da se zmotite pri računanju v glavi.
2. V primerih z različnimi vrstami ulomkov - pojdite na navadne ulomke.
3. Vse ulomke zmanjšamo do konca.
4. Večnivojske ulomne izraze reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (sledimo vrstnemu redu deljenja!).
5. Enoto v mislih razdelimo na ulomek, preprosto tako, da ulomek obrnemo.
Tukaj so naloge, ki jih morate opraviti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite gradivo te teme in praktične nasvete. Ocenite, koliko primerov bi lahko pravilno rešili. Prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke...
Zapomni si pravilen odgovor pridobljeno od drugega (predvsem tretjega) časa - ne šteje! Takšno je kruto življenje.
torej rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je priprava na izpit. Rešimo primer, preverimo, rešimo naslednje. Odločili smo se za vse – ponovno smo preverili od prvega do zadnjega. Ampak le po poglej odgovore.
Izračunaj:
Ste se odločili?
Iščete odgovore, ki se ujemajo z vašimi. Posebej sem jih zapisal v neredu, tako rekoč stran od skušnjave ... Tukaj so, odgovori, zapisani s podpičjem.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
In zdaj sklepamo. Če se je vse izšlo - vesel za vas! Elementarni izračuni z ulomki niso vaša težava! Lahko narediš resnejše stvari. Če ne...
Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak tole rešljiva Težave.
Če vam je to spletno mesto všeč...
Mimogrede, imam za vas še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učenje - z zanimanjem!)
lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.
Navadna ulomna števila se prvič srečajo s šolarji v 5. razredu in jih spremljajo skozi vse življenje, saj je v vsakdanjem življenju pogosto potrebno upoštevati ali uporabiti kakšen predmet ne v celoti, ampak v ločenih delih. Začetek študija te teme - delite. Delnice so enake dele na katero je predmet razdeljen. Navsezadnje ni vedno mogoče na primer dolžine ali cene izdelka izraziti kot celo število, upoštevati je treba dele ali deleže katere koli mere. Nastala iz glagola "zdrobiti" - razdeliti na dele in ima arabske korenine, se je v VIII stoletju v ruščini pojavila sama beseda "frakcija".
Ulomni izrazi že dolgo veljajo za najtežji del matematike. V 17. stoletju, ko so se pojavili prvi matematični učbeniki, so jih imenovali "zlomljene številke", kar je bilo ljudem zelo težko prikazati v razumevanju.
Sodobno obliko preprostih frakcijskih ostankov, katerih deli so ločeni natančno z vodoravno črto, je prvi promoviral Fibonacci - Leonardo iz Pise. Njegovi spisi so datirani v leto 1202. Toda namen tega članka je bralcu preprosto in jasno razložiti, kako pride do množenja mešanih ulomkov z različnimi imenovalci.
Množenje ulomkov z različnimi imenovalci
Na začetku je treba določiti sorte frakcij:
- pravilno;
- narobe;
- mešano.
Nato se morate spomniti, kako se pomnožijo ulomna števila z enakimi imenovalci. Samo pravilo tega postopka je enostavno oblikovati neodvisno: rezultat množenja preprostih ulomkov z enakimi imenovalci je ulomni izraz, katerega števec je produkt števcev, imenovalec pa je produkt imenovalcev teh ulomkov. . To pomeni, da je novi imenovalec prvotno kvadrat enega od obstoječih.
Pri množenju enostavni ulomki z različnimi imenovalci za dva ali več dejavnikov se pravilo ne spremeni:
a/b * c/d = a*c / b*d.
Edina razlika je v tem, da bo oblikovano število pod ulomno črto produkt različnih številk in ga seveda ne moremo imenovati kvadrat enega številskega izraza.
Vredno je razmisliti o množenju ulomkov z različnimi imenovalci na primerih:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Primeri uporabljajo načine za zmanjšanje ulomnih izrazov. Zmanjšate lahko samo števila števca s številkami imenovalca; sosednjih faktorjev nad ali pod ulomno črto ni mogoče zmanjšati.
Poleg preprostih ulomkov obstaja koncept mešanih ulomkov. Mešano število je sestavljeno iz celega in ulomnega dela, torej je vsota teh števil:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Kako deluje množenje?
Za obravnavo je na voljo več primerov.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Primer uporablja množenje števila z navaden delni del, lahko zapišete pravilo za to dejanje s formulo:
a * b/c = a*b /c.
Pravzaprav je tak produkt vsota enakih ulomnih ostankov, število izrazov pa označuje to naravno število. poseben primer:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Obstaja še ena možnost za reševanje množenja števila z ulomnim ostankom. Imenovalec preprosto delite s to številko:
d* e/f = e/f: d.
To tehniko je koristno uporabiti, ko je imenovalec deljen z naravnim številom brez ostanka ali, kot pravijo, v celoti.
Pretvorite mešana števila v nepravilne ulomke in dobite produkt na prej opisan način:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Ta primer vključuje način predstavitve mešanega ulomka kot nepravilnega ulomka, lahko ga predstavimo tudi kot splošno formulo:
a bc = a*b+ c / c, kjer se imenovalec novega ulomka tvori tako, da se celo število pomnoži z imenovalcem in ga doda števcu prvotnega ulomnega ostanka, imenovalec pa ostane enak.
Ta postopek deluje tudi obratno. Če želite izbrati celo število in ulomni preostanek, morate števec nepravilnega ulomka deliti z imenovalcem z "vogalom".
Množenje nepravilnih ulomkov proizvedeno na običajen način. Ko gre vnos pod eno ulomno črto, morate po potrebi zmanjšati ulomke, da s to metodo zmanjšate števila in je lažje izračunati rezultat.
Na internetu je veliko pomočnikov za reševanje celo zapletenih matematičnih problemov v različnih različicah programa. Zadostno število tovrstnih storitev ponuja svojo pomoč pri izračunu množenja ulomkov z različnimi številkami v imenovalcih - tako imenovani spletni kalkulatorji za računanje ulomkov. Sposobni so ne samo množiti, ampak tudi izvajati vse druge preproste aritmetične operacije z navadnimi ulomki in mešanimi števili. Delati z njim ni težko, na strani spletnega mesta se izpolnijo ustrezna polja, izbere se znak matematičnega dejanja in pritisne "izračunaj". Program šteje samodejno.
Tema računskih operacij z ulomnimi števili je aktualna v celotnem izobraževanju srednješolskih in starejših šolarjev. V srednji šoli ne razmišljajo več o najpreprostejših vrstah, ampak celoštevilski ulomni izrazi, vendar se znanje o pravilih za transformacijo in izračune, pridobljeno prej, uporablja v izvirni obliki. Dobro naučeno osnovno znanje daje polno zaupanje v uspešno reševanje najzahtevnejših nalog.
Za zaključek je smiselno navesti besede Leva Tolstoja, ki je zapisal: »Človek je drobec. Ni v moči človeka, da poveča svoj števec - svoje lastne zasluge, ampak vsak lahko zmanjša svoj imenovalec - svoje mnenje o sebi in se s tem zmanjšanjem približa svoji popolnosti.
Prej ali slej se vsi otroci v šoli začnejo učiti ulomkov: njihovega seštevanja, deljenja, množenja in vseh možnih dejanj, ki jih je mogoče izvesti le z ulomki. Da bi otroku zagotovili ustrezno pomoč, starši sami ne bi smeli pozabiti, kako so cela števila razdeljena na ulomke, sicer mu ne boste mogli na noben način pomagati, temveč ga le zmedli. Če se morate spomniti tega dejanja, vendar vseh informacij v glavi ne morete združiti v eno samo pravilo, vam bo ta članek pomagal: naučili se boste, kako deliti število z ulomkom in si ogledali ilustrativne primere.
Kako razdeliti število na ulomek
Zapišite svoj primer na osnutek, da boste lahko beležili in pikice. Ne pozabite, da je med celicami, tik ob njihovem presečišču, zapisano celo število, in ulomna števila – vsako v svoji celici.
- Pri tej metodi morate ulomek obrniti na glavo, to je imenovalec zapisati v števec, števec pa v imenovalec.
- Predznak deljenja je treba spremeniti v množenje.
- Zdaj morate samo izvesti množenje po že preučenih pravilih: števec se pomnoži s celim številom, imenovalca pa se ne dotaknemo.
Seveda boste zaradi takšnega dejanja v števcu dobili zelo veliko število. V tem stanju je nemogoče pustiti delček - učitelj tega odgovora preprosto ne bo sprejel. Zmanjšajte ulomek tako, da števec delite z imenovalcem. Dobljeno celo število zapišite levo od ulomka v sredino celic, preostanek pa bo novi števec. Imenovalec ostane nespremenjen.
Ta algoritem je precej preprost, tudi za otroka. Po pet- ali šestkratnem zaključku si bo dojenček zapomnil postopek in ga bo lahko uporabil za poljubne frakcije.
Kako deliti število z decimalko
Obstajajo tudi druge vrste ulomkov - decimalni. Delitev nanje poteka po povsem drugem algoritmu. Če ste naleteli na tak primer, sledite navodilom:
- Najprej pretvorite obe številki v decimalke. To je enostavno narediti: vaš delilec je že predstavljen kot ulomek, deljivo naravno število pa ločite z vejico, tako da dobite decimalni ulomek. To pomeni, da če je bila dividenda številka 5, dobite ulomek 5,0. Število morate ločiti za toliko števk, kolikor stoji za decimalno vejico in delilnikom.
- Po tem morate oba decimalna ulomka narediti naravna števila. Sprva se morda zdi nekoliko zmedeno, vendar je to najhitrejši način delitve in vam bo vzel nekaj sekund po nekaj vadbah. Ulomek 5,0 bo postal število 50, ulomek 6,23 bo 623.
- Naredite delitev. Če so se številke izkazale za velike ali se bo delitev zgodila s preostankom, jo izvedite v stolpcu. Tako boste jasno videli vsa dejanja tega primera. Vejice vam ni treba posebej postaviti, saj se bo sama pojavila med delitvijo v stolpec.
Tovrstna delitev se sprva zdi preveč zmedena, saj morate dividendo in delitelj spremeniti v ulomek, nato pa nazaj v naravna števila. Toda po kratkem treningu boste takoj začeli videti tiste številke, ki jih morate le deliti med seboj.
Ne pozabite, da je sposobnost pravilne delitve ulomkov in celih števil nanje lahko uporabna večkrat v življenju, zato mora otrok popolnoma poznati ta pravila in preprosta načela, da v starejših razredih ne postanejo kamen spotike, zaradi otrok se ne more odločati za zahtevnejše naloge.
§ 87. Seštevanje ulomkov.
Seštevanje ulomkov ima veliko podobnosti s seštevanjem celih števil. Seštevanje ulomkov je dejanje, ki sestoji iz dejstva, da se več danih števil (izrazov) združi v eno število (vsoto), ki vsebuje vse enote in ulomke enot izrazov.
Po vrsti bomo obravnavali tri primere:
1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Seštevanje mešanih številk.
1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Razmislite o primeru: 1 / 5 + 2 / 5 .
Vzemite segment AB (slika 17), ga vzemite kot enoto in ga razdelite na 5 enakih delov, potem bo del AC tega segmenta enak 1/5 segmenta AB, del istega segmenta pa CD bo enako 2/5 AB.
Iz risbe je razvidno, da če vzamemo odsek AD, bo ta enak 3/5 AB; toda segment AD je natančno vsota odsekov AC in CD. Torej lahko zapišemo:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Če upoštevamo te člene in nastali znesek, vidimo, da je števec vsote pridobljen s seštevanjem števcev členov, imenovalec pa je ostal nespremenjen.
Iz tega dobimo naslednje pravilo: Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate sešteti njihove števce in pustiti isti imenovalec.
Razmislite o primeru:
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Dodajmo ulomke: 3/4 + 3/8 Najprej jih je treba zmanjšati na najnižji skupni imenovalec:
Vmesne povezave 6/8 + 3/8 ni bilo mogoče napisati; za večjo jasnost smo to zapisali tukaj.
Če torej želite sešteti ulomke z različnimi imenovalci, jih morate najprej pripeljati do najnižjega skupnega imenovalca, sešteti njihove števce in podpisati skupni imenovalec.
Razmislite o primeru (dodatne faktorje bomo napisali nad ustreznimi ulomki):
3. Seštevanje mešanih številk.
Seštejmo številke: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Najprej dajmo ulomne dele naših številk k skupnemu imenovalcu in jih ponovno prepišimo:
Zdaj zaporedoma dodajte cele in ulomne dele:
§ 88. Odštevanje ulomkov.
Odštevanje ulomkov je definirano na enak način kot odštevanje celih števil. To je dejanje, s katerim se glede na vsoto dveh členov in enega od njiju najde drug izraz. Oglejmo si tri primere po vrsti:
1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
3. Odštevanje mešanih števil.
1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci.
Razmislite o primeru:
13 / 15 - 4 / 15
Vzemimo odsek AB (slika 18), ga vzemimo kot enoto in ga razdelimo na 15 enakih delov; potem bo AC del tega segmenta 1/15 AB, AD del istega segmenta pa bo ustrezal 13/15 AB. Odstavimo še en segment ED, enak 4/15 AB.
Od 13/15 moramo odšteti 4/15. Na risbi to pomeni, da je treba segment ED odšteti od segmenta AD. Posledično bo ostal segment AE, kar je 9/15 segmenta AB. Torej lahko zapišemo:
Primer, ki smo ga naredili, kaže, da smo števec razlike dobili z odštevanjem števcev, imenovalec pa je ostal enak.
Zato, da bi odšteli ulomke z enakimi imenovalci, morate od števca minusa odšteti števec odšteka in pustiti isti imenovalec.
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci.
Primer. 3/4 - 5/8
Najprej zmanjšajmo te ulomke na najmanjši skupni imenovalec:
Vmesna povezava 6 / 8 - 5 / 8 je napisana tukaj zaradi jasnosti, vendar jo lahko v prihodnosti preskočite.
Torej, če želite od ulomka odšteti ulomek, jih morate najprej pripeljati do najmanjšega skupnega imenovalca, nato od števca minusa odšteti števec odšteka in pod njihovo razliko podpisati skupni imenovalec.
Razmislite o primeru:
3. Odštevanje mešanih števil.
Primer. 10 3 / 4 - 7 2 / 3 .
Pripeljemo ulomne dele minuenda in odšteka na najnižji skupni imenovalec:
Od celote smo odšteli celoto in od ulomka ulomek. Obstajajo pa primeri, ko je delni del odštekanega dela večji od delnega dela minuenda. V takih primerih morate iz celega dela zmanjšanega vzeti eno enoto, jo razdeliti na tiste dele, v katerih je izražen ulomni del, in dodati ulomnemu delu zmanjšanega. In potem bo odštevanje izvedeno na enak način kot v prejšnjem primeru:
§ 89. Množenje ulomkov.
Pri preučevanju množenja ulomkov bomo preučili naslednja vprašanja:
1. Množenje ulomka s celim številom.
2. Iskanje ulomka danega števila.
3. Množenje celega števila z ulomkom.
4. Množenje ulomka z ulomkom.
5. Množenje mešanih števil.
6. Koncept obresti.
7. Iskanje odstotkov danega števila. Poglejmo jih zaporedno.
1. Množenje ulomka s celim številom.
Množenje ulomka s celim številom ima enak pomen kot množenje celega števila s celim številom. Množenje ulomka (množitelja) s celim številom (množiteljem) pomeni sestavljanje vsote enakih členov, pri čemer je vsak člen enak množitelju, število členov pa je enako množitelju.
Torej, če morate pomnožiti 1/9 s 7, lahko to storite takole:
Rezultat smo zlahka dobili, saj se je dejanje zmanjšalo na seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci. posledično
Upoštevanje tega dejanja kaže, da je množenje ulomka s celim številom enakovredno povečanju tega ulomka tolikokrat, kot je enot v celem številu. In ker se povečanje ulomka doseže bodisi s povečanjem njegovega števca
ali z zmanjšanjem imenovalca 
, potem lahko števec pomnožimo s celim številom ali z njim delimo imenovalec, če je taka delitev možna.
Od tu dobimo pravilo:
Če želite ulomek pomnožiti s celim številom, morate števec pomnožiti s tem celim številom in pustiti isti imenovalec ali, če je mogoče, deliti imenovalec s tem številom, pri čemer števec ostane nespremenjen.
Pri množenju so možne okrajšave, na primer:
2. Iskanje ulomka danega števila. Obstaja veliko težav, v katerih morate najti ali izračunati del določenega števila. Razlika med temi nalogami in drugimi je v tem, da dajejo število nekaterih predmetov ali merskih enot in morate najti del tega števila, ki je tudi tukaj označen z določenim ulomkom. Za lažje razumevanje bomo najprej navedli primere tovrstnih problemov, nato pa predstavili način njihovega reševanja.
1. naloga. Imel sem 60 rubljev; 1/3 tega denarja sem porabil za nakup knjig. Koliko so stanejo knjige?
2. naloga. Vlak mora prevoziti razdaljo med mestoma A in B, ki je enaka 300 km. Prevozil je že 2/3 te razdalje. Koliko kilometrov je to?
3. naloga. V vasi je 400 hiš, od tega 3/4 zidanih, ostale lesene. Koliko zidanih hiš je tam?
Tukaj je nekaj od številnih težav, s katerimi se moramo soočiti, da najdemo delček določenega števila. Običajno jih imenujemo težave za iskanje ulomka danega števila.
Rešitev problema 1. Od 60 rubljev. 1/3 sem porabil za knjige; Torej, da bi našli stroške knjig, morate število 60 deliti s 3:
Rešitev problema 2. Pomen težave je, da morate najti 2/3 od 300 km. Izračunaj prvo 1/3 od 300; to dosežemo tako, da 300 km delimo s 3:
300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).
Če želite najti dve tretjini 300, morate dobljeni količnik podvojiti, to je pomnožiti z 2:
100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).
Rešitev problema 3. Tukaj morate določiti število opečnih hiš, ki so 3/4 od 400. Najprej poiščimo 1/4 od 400,
400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).
Za izračun treh četrtin 400 je treba dobljeni količnik potrojiti, torej pomnožiti s 3:
100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).
Na podlagi rešitve teh problemov lahko izpeljemo naslednje pravilo:
Če želite najti vrednost ulomka iz danega števila, morate to število deliti z imenovalcem ulomka in dobljeni količnik pomnožiti z njegovim števcem.
3. Množenje celega števila z ulomkom.
Prej (§ 26) je bilo ugotovljeno, da je treba množenje celih števil razumeti kot seštevanje enakih izrazov (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20). V tem odstavku (1. odstavek) je bilo ugotovljeno, da množenje ulomka s celim številom pomeni, da najdemo vsoto enakih členov, ki je enaka temu ulomku.
V obeh primerih je bilo množenje sestavljeno iz iskanja vsote enakih členov.
Zdaj pa preidemo na množenje celega števila z ulomkom. Tukaj se bomo srečali s takšnim, na primer, množenjem: 9 2 / 3. Povsem očitno je, da prejšnja definicija množenja v tem primeru ne velja. To je razvidno iz dejstva, da takšnega množenja ne moremo nadomestiti z seštevanjem enakih števil.
Zaradi tega bomo morali dati novo definicijo množenja, to je, z drugimi besedami, odgovoriti na vprašanje, kaj naj razumemo z množenjem z ulomkom, kako naj to dejanje razumemo.
Pomen množenja celega števila z ulomkom je jasen iz naslednje definicije: pomnožiti celo število (množitelj) z ulomkom (množiteljem) pomeni najti ta ulomek množitelja.
Pomnožiti 9 z 2/3 namreč pomeni najti 2/3 od devetih enot. V prejšnjem odstavku so bili tovrstni problemi rešeni; zato je enostavno ugotoviti, da imamo na koncu 6.
Toda zdaj se postavlja zanimivo in pomembno vprašanje: zakaj se tako navidezno različna dejanja, kot je iskanje vsote enakih števil in iskanje ulomka števila, v aritmetiki imenujeta ista beseda "množenje"?
To se zgodi, ker prejšnje dejanje (večkratno ponavljanje števila z izrazi) in novo dejanje (iskanje ulomka števila) dajeta odgovor na homogena vprašanja. To pomeni, da tukaj izhajamo iz premislekov, da se homogena vprašanja ali naloge rešujejo z enim in istim dejanjem.
Če želite to razumeti, upoštevajte naslednjo težavo: "1 m tkanine stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 4 m takega blaga?
Ta problem je rešen tako, da se število rubljev (50) pomnoži s številom metrov (4), to je 50 x 4 = 200 (rubljev).
Vzemimo isti problem, vendar bo v njem količina tkanine izražena kot ulomno število: "1 m tkanine stane 50 rubljev. Koliko bo stalo 3/4 m takega blaga?
To težavo je treba rešiti tudi tako, da pomnožite število rubljev (50) s številom metrov (3/4).
Številke v njem lahko tudi večkrat spremenite, ne da bi spremenili pomen težave, na primer vzemite 9/10 m ali 2 3/10 m itd.
Ker imajo te naloge enako vsebino in se razlikujejo le po številkah, dejanja, ki jih uporabljamo pri njihovem reševanju, imenujemo z isto besedo – množenje.
Kako se celo število pomnoži z ulomkom?
Vzemimo številke, ki smo jih naleteli na zadnji problem:
Po definiciji moramo najti 3/4 od 50. Najprej najdemo 1/4 od 50, nato pa 3/4.
1/4 od 50 je 50/4;
3/4 od 50 je .
Posledično.
Razmislite o drugem primeru: 12 5 / 8 = ?
1/8 od 12 je 12/8,
5/8 števila 12 je .
posledično
Od tu dobimo pravilo:
Če želite celo število pomnožiti z ulomkom, morate celo število pomnožiti s števcem ulomka in ta produkt narediti števec, imenovalec danega ulomka pa podpisati kot imenovalec.
To pravilo zapišemo s črkami:
Da bi bilo to pravilo popolnoma jasno, se je treba spomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno najdeno pravilo primerjati s pravilom za množenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38.
Ne pozabite, da morate pred množenjem narediti (če je mogoče) kosi, na primer:
4. Množenje ulomka z ulomkom. Množenje ulomka z ulomkom ima enak pomen kot množenje celega števila z ulomkom, torej pri množenju ulomka z ulomkom morate poiskati ulomek v množitelju iz prvega ulomka (množitelja).
Namreč, pomnožiti 3/4 z 1/2 (pol) pomeni najti polovico 3/4.
Kako pomnožite ulomek z ulomkom?
Vzemimo primer: 3/4 krat 5/7. To pomeni, da morate od 3/4 najti 5/7. Poiščite najprej 1/7 od 3/4 in nato 5/7
1/7 od 3/4 bi bilo izraženo takole:
5/7 Številke 3/4 bodo izražene na naslednji način:
V to smer,
Drug primer: 5/8 krat 4/9.
1/9 od 5/8 je ,
4/9 številke 5/8 so .
V to smer, 
Iz teh primerov je mogoče razbrati naslednje pravilo:
Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate števec pomnožiti s števcem, imenovalec pa z imenovalcem in narediti prvi produkt števec, drugi produkt pa imenovalec produkta.
To pravilo lahko na splošno zapišemo takole:
Pri množenju je treba narediti (če je mogoče) zmanjšanja. Razmislite o primerih:
5. Množenje mešanih števil. Ker je mešana števila zlahka zamenjati z nepravilnimi ulomki, se ta okoliščina običajno uporablja pri množenju mešanih števil. To pomeni, da se v primerih, ko so množitelj, množitelj ali oba faktorja izražena kot mešana števila, nadomestijo z nepravilnimi ulomki. Pomnožite, na primer, mešana števila: 2 1/2 in 3 1/5. Vsak od njih spremenimo v nepravilen ulomek, nato pa bomo nastale ulomke pomnožili po pravilu množenja ulomka z ulomkom:
Pravilo.Če želite mešana števila pomnožiti, jih morate najprej pretvoriti v nepravilne ulomke in nato pomnožiti po pravilu množenja ulomka z ulomkom.
Opomba.Če je eden od faktorjev celo število, se lahko množenje izvede na podlagi zakona distribucije, kot sledi:
6. Koncept obresti. Pri reševanju problemov in pri izvajanju različnih praktičnih izračunov uporabljamo vse vrste ulomkov. Vendar je treba upoštevati, da številne količine zanje ne dopuščajo kakršne koli, temveč naravne podrazdelitve. Na primer, lahko vzamete stotino (1/100) rublja, to bo peni, dve stotini je 2 kopejke, tri stotinke je 3 kopejke. Lahko vzamete 1/10 rublja, to bo "10 kopejk ali cent. Lahko vzamete četrtino rublja, to je 25 kopej, pol rublja, to je 50 kopejk (petdeset kopejk). Ampak praktično ne Ne vzemite na primer 2/7 rubljev, ker rubelj ni razdeljen na sedmine.
Merska enota za težo, to je kilogram, omogoča najprej decimalne delitve, na primer 1/10 kg ali 100 g. In take ulomke kilograma, kot so 1/6, 1/11, 1/ 13 je nenavadnih.
Na splošno so naše (metrične) mere decimalne in omogočajo decimalne podrazdelitve.
Vendar pa je treba opozoriti, da je v najrazličnejših primerih izjemno uporabno in priročno uporabljati enak (enoten) način delitve količin. Dolgoletne izkušnje so pokazale, da je tako upravičena delitev delitev na »stotinke«. Poglejmo si nekaj primerov, povezanih z najrazličnejšimi področji človeške prakse.
1. Cena knjig se je znižala za 12/100 od prejšnje cene.
Primer. Prejšnja cena knjige je 10 rubljev. Zmanjšala se je za 1 rubelj. 20 kop.
2. Hranilnice med letom izplačajo vlagateljem 2/100 zneska, ki je vložen v varčevanje.
Primer. V blagajno se položi 500 rubljev, prihodek od tega zneska za leto je 10 rubljev.
3. Število diplomantov ene šole je bilo 5/100 celotnega števila študentov.
PRIMER Na šoli se je izobraževalo le 1200 dijakov, od tega jih je 60 diplomiralo.
Stotinki števila se imenuje odstotek..
Beseda "odstotek" je izposojena iz latinskega jezika in njen koren "cent" pomeni sto. Skupaj s predlogom (procentum) ta beseda pomeni »za sto«. Pomen tega izraza izhaja iz dejstva, da so bile sprva v starem Rimu obresti denar, ki ga je dolžnik plačal posojilodajalcu "za vsakih sto". Beseda "cent" se sliši v tako znanih besedah: centner (sto kilogramov), centimeter (pravijo centimeter).
Na primer, namesto da bi rekli, da je tovarna proizvedla 1/100 vseh izdelkov, ki jih je proizvedla v zadnjem mesecu, bomo rekli takole: tovarna je v preteklem mesecu proizvedla en odstotek zavrženih izdelkov. Namesto da bi rekli: tovarna je proizvedla 4/100 več izdelkov od zastavljenega načrta, bomo rekli: obrat je plan presegel za 4 odstotke.
Zgornje primere je mogoče izraziti drugače:
1. Cena knjig se je znižala za 12 odstotkov prejšnje cene.
2. Hranilnice plačujejo vlagateljem 2 odstotka letno od zneska, vloženega v varčevanje.
3. Število diplomantov ene šole je bilo 5 odstotkov števila vseh dijakov v šoli.
Za skrajšanje črke je običajno namesto besede "odstotek" napisati znak %.
Vendar se je treba spomniti, da znak % običajno ni zapisan v izračunih, lahko ga zapišemo v izjavi o problemu in v končnem rezultatu. Ko izvajate izračune, morate s to ikono namesto celega števila napisati ulomek z imenovalcem 100.
Morate biti sposobni zamenjati celo število z navedeno ikono z ulomkom z imenovalcem 100:
Nasprotno pa se morate navaditi pisati celo število z označeno ikono namesto ulomka z imenovalcem 100:
7. Iskanje odstotkov danega števila.
1. naloga.Šola je prejela 200 kubičnih metrov. m drv, od tega 30 % brezova drva. Koliko brezovega lesa je bilo?
Pomen tega problema je, da so bila brezova drva le del drv, ki so bila dostavljena v šolo, in ta del je izražen kot ulomek 30/100. Torej smo soočeni z nalogo, da najdemo ulomek števila. Da ga rešimo, moramo 200 pomnožiti s 30/100 (naloge za iskanje ulomka števila se rešujejo tako, da število pomnožimo z ulomkom.).
Torej je 30% od 200 enako 60.
Ulomek 30/100, ki ga srečamo pri tej težavi, omogoča zmanjšanje za 10. To zmanjšanje bi bilo mogoče izvesti od samega začetka; rešitev problema se ne bi spremenila.
2. naloga. V taboru je bilo 300 otrok različnih starosti. Otroci, stari 11 let, so bili 21 %, otroci, stari 12 let, 61 % in končno 13 letniki 18 %. Koliko otrok vsake starosti je bilo v taboru?
V tem problemu morate izvesti tri izračune, to je zaporedoma najti število otrok, starih 11 let, nato 12 let in na koncu 13 let.
Torej, tukaj bo treba trikrat najti ulomek števila. Naredimo to:
1) Koliko otrok je bilo starih 11 let?
2) Koliko otrok je bilo starih 12 let?
3) Koliko otrok je bilo starih 13 let?
Po rešitvi težave je koristno sešteti najdena števila; njihova vsota mora biti 300:
63 + 183 + 54 = 300
Pozorni morate biti tudi na dejstvo, da je vsota odstotkov, podanih v stanju težave, 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To nakazuje, da je bilo skupno število otrok v kampu vzeto za 100 %.
3 a da cha 3. Delavec je prejemal 1200 rubljev na mesec. Od tega je 65 % porabil za hrano, 6 % za stanovanje in ogrevanje, 4 % za plin, elektriko in radio, 10 % za kulturne potrebe in 15 % privarčeval. Koliko denarja je bilo porabljenega za potrebe, navedene v nalogi?
Če želite rešiti to težavo, morate 5-krat najti ulomek števila 1200. Naredimo to.
1) Koliko denarja se porabi za hrano? Naloga pravi, da je ta strošek 65% vseh zaslužkov, torej 65/100 od števila 1200. Naredimo izračun:
2) Koliko denarja je bilo plačano za stanovanje z ogrevanjem? S trditvijo, kot je bila prejšnja, pridemo do naslednjega izračuna:
3) Koliko denarja ste plačali za plin, elektriko in radio?
4) Koliko denarja se porabi za kulturne potrebe?
5) Koliko denarja je delavec prihranil?
Za preverjanje je koristno dodati številke, ki jih najdete v teh 5 vprašanjih. Znesek mora biti 1.200 rubljev. Ves zaslužek se vzame kot 100 %, kar je enostavno preveriti s seštevanjem odstotkov, podanih v pogoju problema.
Rešili smo tri probleme. Kljub temu, da so se te naloge nanašale na različne stvari (dostava drv za šolo, število otrok različnih starosti, stroški delavca), so bile rešene na enak način. To se je zgodilo, ker je bilo pri vseh nalogah treba najti nekaj odstotkov podanih številk.
§ 90. Deljenje ulomkov.
Pri preučevanju delitve ulomkov bomo preučili naslednja vprašanja:
1. Celo število delite s celo število.
2. Deljenje ulomka s celim številom
3. Deljenje celega števila z ulomkom.
4. Deljenje ulomka z ulomkom.
5. Delitev mešanih števil.
6. Iskanje števila glede na njegov ulomek.
7. Iskanje števila po odstotkih.
Poglejmo jih zaporedno.
1. Celo število delite s celo število.
Kot je bilo navedeno v razdelku o celih številih, je deljenje dejanje, sestavljeno iz dejstva, da se glede na zmnožek dveh faktorjev (dividende) in enega od teh faktorjev (delitelj) najde še en faktor.
Deljenje celega števila s celim številom smo obravnavali v oddelku celih števil. Tam smo srečali dva primera deljenja: deljenje brez ostanka ali "v celoti" (150:10 = 15) in deljenje s preostankom (100:9 = 11 in 1 v ostanku). Zato lahko rečemo, da na področju celih števil natančna delitev ni vedno mogoča, ker dividenda ni vedno produkt delitelja in celega števila. Po uvedbi množenja z ulomkom lahko obravnavamo vsak primer deljenja celih števil (izključeno je samo deljenje z nič).
Na primer, deljenje 7 z 12 pomeni iskanje števila, katerega zmnožek krat 12 bi bil 7. To število je ulomek 7/12, ker je 7/12 12 = 7. Drug primer: 14: 25 = 14/25, ker je 14/25 25 = 14.
Torej, če želite celo število deliti s celim številom, morate narediti ulomek, katerega števec je enak dividendi, imenovalec pa je delilec.
2. Deljenje ulomka s celim številom.
Ulomek 6/7 delimo s 3. Glede na zgoraj podano definicijo delitve imamo tukaj produkt (6/7) in enega od faktorjev (3); potrebno je najti takšen drugi faktor, ki bi po množenju s 3 dal dani produkt 6/7. Očitno bi moral biti trikrat manjši od tega izdelka. To pomeni, da je bila pred nami postavljena naloga zmanjšati ulomek 6/7 za 3-krat.
Že vemo, da lahko zmanjšamo ulomek tako, da zmanjšamo njegov števec ali povečamo imenovalec. Zato lahko napišete:
V tem primeru je števec 6 deljiv s 3, zato je treba števec zmanjšati za 3-krat.
Vzemimo še en primer: 5 / 8 deljeno z 2. Tukaj števec 5 ni deljiv z 2, kar pomeni, da bo treba imenovalec pomnožiti s tem številom:
Na podlagi tega lahko navedemo pravilo: Če želite ulomek deliti s celim številom, morate števec ulomka deliti s tem celim številom(če je možno), pustite isti imenovalec ali pomnožite imenovalec ulomka s tem številom, tako da ostane isti števec.
3. Deljenje celega števila z ulomkom.
Naj bo potrebno 5 deliti z 1 / 2, torej najti število, ki bo po množenju z 1 / 2 dalo zmnožek 5. Očitno mora biti to število večje od 5, saj je 1 / 2 pravilen ulomek, in pri množenju števila z ustreznim ulomkom mora biti zmnožek manjši od množitelja. Da bo bolj jasno, zapišimo svoja dejanja na naslednji način: 5: 1 / 2 = X , torej x 1 / 2 \u003d 5.
Takšno številko moramo najti X , kar bi po množenju z 1/2 dalo 5. Ker množenje določenega števila z 1/2 pomeni najti 1/2 tega števila, torej 1/2 neznanega števila X je 5 in celo število X dvakrat toliko, to je 5 2 = 10.
Torej 5: 1 / 2 = 5 2 = 10
Preverimo: 
Poglejmo še en primer. Naj bo potrebno 6 deliti z 2/3. Najprej poskusimo poiskati želeni rezultat s pomočjo risbe (slika 19).
sl.19
Nariši odsek AB, enak 6 nekaterih enot, in vsako enoto razdeli na 3 enake dele. V vsaki enoti je tri tretjine (3 / 3) v celotnem segmentu AB 6-krat večje, t.j. e. 18/3. S pomočjo majhnih oklepajev povežemo 18 dobljenih segmentov 2; Samo 9 segmentov bo. To pomeni, da je ulomek 2/3 v b enotah 9-krat ali, z drugimi besedami, ulomek 2/3 je 9-krat manjši od 6 celih enot. posledično
Kako doseči ta rezultat brez risbe z uporabo samo izračunov? Argumentirali bomo takole: 6 je treba deliti z 2/3, torej je treba odgovoriti na vprašanje, kolikokrat je 2/3 vsebovano v 6. Najprej ugotovimo: kolikokrat je 1/3 vsebovan v 6? V celi enoti - 3 tretjine in v 6 enotah - 6-krat več, to je 18 tretjin; da najdemo to število, moramo 6 pomnožiti s 3. Zato je 1/3 v enotah b 18-krat, 2/3 pa v b ne 18-krat, ampak polovico manj, to je 18: 2 = 9. Zato smo pri delitvi 6 z 2/3 naredili naslednje:
Od tu dobimo pravilo za deljenje celega števila z ulomkom. Če želite celo število deliti z ulomkom, morate to celo število pomnožiti z imenovalcem danega ulomka in tako, da ta izdelek postane števec, ga delite s števcem danega ulomka.
Pravilo zapišemo s črkami:
Da bi bilo to pravilo popolnoma jasno, se je treba spomniti, da lahko ulomek obravnavamo kot količnik. Zato je koristno najdeno pravilo primerjati s pravilom za deljenje števila s količnikom, ki je bilo določeno v 38. §. Upoštevajte, da je bila tam pridobljena ista formula.
Pri delitvi so možne okrajšave, na primer:
4. Deljenje ulomka z ulomkom.
Naj bo potrebno 3/4 deliti s 3/8. Kaj bo označevalo število, ki bo pridobljeno z deljenjem? Odgovoril bo na vprašanje, kolikokrat je ulomek 3/8 v ulomku 3/4. Da bi razumeli to vprašanje, naredimo risbo (slika 20).
Vzemite segment AB, ga vzemite kot enoto, ga razdelite na 4 enake dele in označite 3 takšne dele. Odsek AC bo enak 3/4 segmenta AB. Vsakega od štirih začetnih segmentov razdelimo na polovico, nato pa bo odsek AB razdeljen na 8 enakih delov in vsak tak del bo enak 1/8 odseka AB. 3 take segmente povežemo z loki, potem bo vsak od segmentov AD in DC enak 3/8 segmenta AB. Risba kaže, da je segment, ki je enak 3/8, vsebovan v segmentu, ki je enak 3/4, točno 2-krat; Torej lahko rezultat delitve zapišemo takole:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Poglejmo še en primer. Naj bo potrebno 15/16 deliti s 3/32:
Razmišljamo lahko takole: najti moramo število, ki bo po množenju s 3/32 dalo zmnožek 15/16. Zapišimo izračune takole:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznana številka X sestavi 15/16
1/32 neznana številka X je ,
32/32 številk X pobotati se .
posledično
Če želite ulomek deliti z ulomkom, morate števec prvega ulomka pomnožiti z imenovalcem drugega in imenovalec prvega ulomka pomnožiti s števcem drugega in prvi produkt narediti števec in drugič imenovalec.
Zapišimo pravilo s črkami:
Pri delitvi so možne okrajšave, na primer:
5. Delitev mešanih števil.
Pri delitvi mešanih števil jih je treba najprej pretvoriti v nepravilne ulomke, nato pa nastale ulomke razdeliti po pravilih za deljenje ulomnih števil. Razmislite o primeru:
Pretvorite mešana števila v nepravilne ulomke:
Zdaj pa se razdelimo:
Torej, če želite deliti mešana števila, jih morate pretvoriti v nepravilne ulomke in nato deliti po pravilu za deljenje ulomkov.
6. Iskanje števila glede na njegov ulomek.
Med različnimi nalogami o ulomkih so včasih takšne, v katerih je podana vrednost nekega ulomka neznanega števila in je treba to število najti. Ta vrsta problema bo inverzna problemu iskanja ulomka danega števila; tam je bilo podano število in je bilo treba najti del tega števila, tukaj je podan ulomek števila in to število je treba najti samo. Ta ideja bo postala še bolj jasna, če se obrnemo na rešitev te vrste problema.
1. naloga. Prvi dan so steklarji zasteklili 50 oken, kar je 1/3 vseh oken zgrajene hiše. Koliko oken je v tej hiši?
Rešitev. Problem pravi, da 50 zastekljenih oken predstavlja 1/3 vseh oken hiše, kar pomeni, da je skupno 3x več oken, t.j.
Hiša je imela 150 oken.
2. naloga. V trgovini so prodali 1500 kg moke, kar je 3/8 skupne zaloge moke v trgovini. Kakšna je bila prvotna zaloga moke v trgovini?
Rešitev. Iz pogoja problema je razvidno, da prodanih 1500 kg moke predstavlja 3/8 celotne zaloge; to pomeni, da bo 1/8 te zaloge 3-krat manj, to pomeni, da ga izračunate, morate zmanjšati 1500 za 3-krat:
1500: 3 = 500 (to je 1/8 delnice).
Očitno bo celotna zaloga 8-krat večja. posledično
500 8 \u003d 4.000 (kg).
Začetna zaloga moke v trgovini je bila 4000 kg.
Iz obravnave tega problema je mogoče razbrati naslednje pravilo.
Če želite poiskati število po dani vrednosti njegovega ulomka, je dovolj, da to vrednost delite s števcem ulomka in rezultat pomnožite z imenovalcem ulomka.
Rešili smo dve nalogi pri iskanju števila glede na njegov ulomek. Takšne probleme, kot je še posebej dobro razvidno iz zadnjega, rešujeta dve dejanji: deljenje (ko najdemo en del) in množenje (ko najdemo celo število).
Po tem, ko smo preučili delitev ulomkov, lahko zgornje težave rešimo z enim dejanjem, in sicer z delitvijo z ulomkom.
Na primer, zadnjo nalogo je mogoče rešiti z enim dejanjem, kot je ta:
V prihodnosti bomo rešili problem iskanja števila po njegovem ulomku v enem dejanju - deljenju.
7. Iskanje števila po odstotkih.
Pri teh nalogah boste morali najti številko, ki poznate nekaj odstotkov tega števila.
1. naloga. V začetku tega leta sem od hranilnice prejel 60 rubljev. prihodek od zneska, ki sem ga vložil v prihranke pred enim letom. Koliko denarja sem dal v hranilnico? (Blagajne dajejo vlagateljem 2 % prihodka na leto.)
Pomen problema je v tem, da sem določeno vsoto denarja dal v hranilnico in tam ležal eno leto. Po enem letu sem od nje prejel 60 rubljev. dohodek, ki je 2/100 denarja, ki sem ga vložil. Koliko denarja sem vložil?
Zato moramo ob poznavanju dela tega denarja, izraženega na dva načina (v rubljih in ulomkih), najti celoten, še neznan znesek. To je običajen problem iskanja števila glede na njegov ulomek. Z delitvijo se rešujejo naslednje naloge:
Tako je bilo v hranilnico vloženih 3000 rubljev.
2. naloga. V dveh tednih so ribiči mesečni načrt izpolnili za 64 %, pripravili so 512 ton rib. Kakšen je bil njihov načrt?
Iz stanja problema je razvidno, da so ribiči del načrta dokončali. Ta del znaša 512 ton, kar je 64 % načrtovanega. Koliko ton rib je treba nabirati po načrtu, ne vemo. Rešitev problema bo sestavljena iz iskanja te številke.
Takšne naloge se rešujejo z delitvijo:
Torej, po načrtu morate pripraviti 800 ton rib.
3. naloga. Vlak je šel iz Rige v Moskvo. Ko je prevozil 276. kilometer, je eden od potnikov mimoidočega sprevodnika vprašal, koliko poti sta že prepotovala. Na to je sprevodnik odgovoril: "Prevozili smo že 30% celotne poti." Kakšna je razdalja od Rige do Moskve?
Iz pogoja problema je razvidno, da je 30 % poti od Rige do Moskve 276 km. Najti moramo celotno razdaljo med tema mesti, torej za ta del najti celoto:
§ 91. Vzajemna števila. Zamenjava deljenja z množenjem.
Vzemite ulomek 2/3 in preuredite števec na mesto imenovalca, dobimo 3/2. Dobili smo ulomek, vzajemno od tega.
Da bi dobili ulomek, recipročen danemu, morate na mesto imenovalca postaviti njegov števec, imenovalec pa na mesto števca. Na ta način lahko dobimo ulomek, ki je recipročen kateremu koli ulomku. Na primer:
3/4, vzvratno 4/3; 5/6, obratno 6/5
Dva ulomka, ki imata lastnost, da je števec prvega imenovalec drugega, imenovalec prvega pa števec drugega, se imenujeta medsebojno inverzno.
Zdaj pa pomislimo, kateri ulomek bo recipročen 1/2. Očitno bo 2/1 ali samo 2. Če iščemo recipročno vrednost tega, smo dobili celo število. In ta primer ni osamljen; nasprotno, za vse ulomke s števcem 1 (ena) bodo recipročne vrednosti cela števila, na primer:
1 / 3, inverzno 3; 1/5, obratno 5
Ker smo se pri iskanju vzajemnih vrednosti srečali tudi s celimi števili, v prihodnje ne bomo govorili o vzajemnih vrednostih, ampak o recipročnih.
Ugotovimo, kako napisati recipročno vrednost celega števila. Za ulomke je to rešeno preprosto: imenovalec morate postaviti na mesto števca. Na enak način lahko dobite recipročno vrednost celega števila, saj ima lahko vsako celo število imenovalec 1. Torej bo recipročna vrednost 7 1 / 7, ker je 7 \u003d 7 / 1; za število 10 je obratno 1/10, saj je 10 = 10/1
To idejo je mogoče izraziti na drug način: recipročno vrednost danega števila dobimo tako, da eno delimo z danim številom. Ta izjava ne velja samo za cela števila, ampak tudi za ulomke. Dejansko, če želite napisati število, ki je recipročna vrednost ulomka 5/9, potem lahko vzamemo 1 in ga delimo s 5/9, tj.
Zdaj pa izpostavimo eno lastnine vzajemno vzajemne številke, ki nam bodo koristne: zmnožek medsebojno vzajemnih števil je enak ena. Vsekakor:
S to lastnostjo lahko najdemo recipročne vrednosti na naslednji način. Najdimo vzajemno število 8.
Označimo ga s črko X , nato 8 X = 1, torej X = 1 / 8 . Poiščimo drugo število, obratno od 7/12, označimo ga s črko X , nato 7/12 X = 1, torej X = 1:7 / 12 oz X = 12 / 7 .
Tu smo uvedli koncept recipročnih števil, da bi nekoliko dopolnili informacije o delitvi ulomkov.
Ko število 6 delimo s 3/5, naredimo naslednje:
Bodite posebno pozorni na izraz in ga primerjajte z danim: .
Če izraz vzamemo ločeno, brez povezave s prejšnjim, potem je nemogoče rešiti vprašanje, od kod je prišel: iz deljenja 6 s 3/5 ali iz množenja 6 s 5/3. V obeh primerih je rezultat enak. Torej lahko rečemo da lahko deljenje enega števila z drugim nadomestimo z množenjem dividende z recipročno vrednostjo delitelja.
Primeri, ki jih navajamo spodaj, v celoti potrjujejo ta sklep.