(Statistična interpretacija de Brogliejevih valov (glej § 216) in Heisenbergovega razmerja negotovosti (glej § 215) je vodila do zaključka, da mora biti enačba gibanja v kvantni mehaniki, ki opisuje gibanje mikrodelcev v različnih poljih sile, enačba iz katere bi opazovalne vrednosti eksperimentalno sledile valovnim lastnostim delcev. Glavna enačba mora biti enačba za valovno funkcijo X,y, z, t),| Y, ker je, ali, natančneje, vrednost | | 2, določa verjetnost, da delec ostane v trenutku t v obsegu V, torej v območju s koordinatami X in x+dx, y in y+dy, z in z+dz.Ker mora želena enačba upoštevati valovne lastnosti delcev, mora biti valovna enačba, podobno kot enačba, ki opisuje elektromagnetno valovanje.

Osnovna enačba nerelativistična kvantna mehanika leta 1926 oblikoval E. Schrödinger. Schrödingerjeva enačba, tako kot vse osnovne enačbe fizike (na primer Newtonove enačbe v klasični mehaniki in Maxwellove enačbe za elektromagnetno polje), ni izpeljana, temveč postulirana. Pravilnost te enačbe potrjuje skladnost z izkušnjami rezultatov, pridobljenih z njeno pomočjo, kar ji posledično daje značaj naravnega zakona. Schrödingerjeva enačba ima obliko

kje ћ =h),p/(2 t-- Laplaceov operator D je masa delca, jaz- imaginarna enota, U (x, y, z, t) - Y je potencialna funkcija delca v polju sile, v katerem se giblje, (x, y, z, t) je želena valovna funkcija delca.

Enačba (217.1) velja za vsak delec (s spinom, enakim 0; glej § 225), ki se giblje z majhno (v primerjavi s svetlobno hitrostjo) hitrostjo, tj. v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной (см. § 216); 2) производные |Yдолжны быть непрерывны; 3) функция | 2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Da pridemo do Schrödingerjeve enačbe, razmislimo o prosto gibajočem se delcu, ki je po de Brogliejevi zamisli povezan z ravnim valovanjem. Zaradi enostavnosti upoštevamo enodimenzionalni primer. Enačba ravnega vala, ki se širi vzdolž osi X, ima obliko (glej § 154) , ali v kompleksnem zapisu . Zato ima de Brogliejev ravninski val obliko

(ob upoštevanju tega w = E/ћ, k=p/ћ|Y). V kvantni mehaniki je eksponent vzet z znakom minus, ker pa samo | 2, potem je to (glej (217.2)) nebistveno. Potem

Uporaba razmerja med energijo E in zagon p (E=p 2 /( 2m)) in z zamenjavo izrazov (217.3) dobimo diferencialno enačbo

ki sovpada z enačbo (217.1) za primer U= 0 (upoštevali smo prosti delec). Če se delec giblje v polju sile, za katerega je značilna potencialna energija ti, potem celotna energija E je sestavljena iz kinetične in potencialne energije. Z analognim sklepanjem in uporabo razmerja med E in R(za ta primer str 2 /(2m)=E–U), zavrtimo do diferencialne enačbe, ki sovpada z (217.1).

Zgornjega razmišljanja ne bi smeli jemati kot izpeljavo Schrödingerjeve enačbe. Pojasnjujejo le, kako je mogoče priti do te enačbe. Dokaz pravilnosti Schrödingerjeve enačbe je soglasje z izkušnjami sklepov, do katerih vodi.

Enačba (217.1) je splošna Schrödingerjeva enačba. Imenuje se tudi časovno odvisna Schrödingerjeva enačba z drugimi besedami, poiščite Schrödingerjevo enačbo za Y. Za številne fizikalne pojave, ki se dogajajo v mikrosvetu, lahko enačbo (217.1) poenostavimo z odpravo odvisnosti stacionarna stanja - stanja s fiksnimi energijskimi vrednostmi. To je mogoče, če je polje sile, v katerem se delec giblje, stacionarno, tj U=U(x, y, z) ni eksplicitno odvisna od časa in ima pomen potencialne energije. V tem primeru lahko rešitev Schrödingerjeve enačbe predstavimo kot zmnožek dveh funkcij, od katerih je ena funkcija samo koordinat, druga pa le funkcija časa, odvisnost od časa pa je izražena s faktorjem , tako da

kje E - skupna energija delca, ki je v primeru stacionarnega polja konstantna. Če nadomestimo (217.4) v (217.1), dobimo

od koder po deljenju s skupnim faktorjem in ustreznih transformacijah pridemo do enačbe, ki definira funkcijo y:

Enačba (217.5) se imenuje Schrödingerjeva enačba za stacionarna stanja. Ta enačba vključuje skupno energijo kot parameter E delci. V teoriji diferencialnih enačb je dokazano, da imajo takšne enačbe neskončno število rešitev, med katerimi se z nalaganjem robnih pogojev izberejo rešitve, ki imajo fizikalni pomen. Za Schrödingerjevo enačbo so takšni pogoji pogoji regularnosti valovnih funkcij: valovne funkcije morajo biti končne, enovrednostne in zvezne skupaj s svojimi prvimi odvodi. Tako imajo pravi fizikalni pomen le rešitve, ki so izražene z regularnimi funkcijami l. Toda redne rešitve ne potekajo za nobene vrednosti parametra E, ampak le za določen nabor le-teh, značilnih za dano nalogo. Te energijske vrednosti se imenujejo lasten. Rešitve, ki se ujemajo lasten imenujemo energijske vrednosti lastne funkcije. Lastne vrednosti E lahko tvorijo zvezne in diskretne serije. V prvem primeru se govori o neprekinjeno, oz neprekinjeno,spekter, v drugem - o diskretnem spektru.

Thomsonov in Rutherfordov model atoma.

Zamisel o atomih kot nedeljivih najmanjših delcih snovi se je pojavila že v starih časih (Demokrit, Epikur, Lukrecij) dokazala resničnost obstoja atomov. Vendar pa se vprašanje o notranji strukturi atomov sploh ni pojavilo, saj so atomi veljali za nedeljive. Pomembno vlogo pri razvoju atomističnega modela je odigral Mendelejev, ki je leta 1869 razvil periodni sistem elementov, v katerem je bilo prvič na znanstveni podlagi postavljeno vprašanje o enotni naravi atomov. V drugi polovici 19. stoletja je bilo eksperimentalno dokazano, da je edektoron ena glavnih sestavin katere koli snovi. Ti zaključki in eksperimentalni podatki so pripeljali do dejstva, da se je v začetku 20. stoletja resno postavilo vprašanje strukture atoma. Prvi poskus ustvarjanja modela atoma na podlagi zbranih eksperimentalnih podatkov pripada Tomsanu. Po tem modelu je atom krogla, zvezno nabita s pozitivnim nabojem s polmerom reda m, znotraj katere elektroni nihajo okoli svojih ravnotežnih položajev; skupni naboj elektronov je enak pozitivnemu naboju kroglice, torej atom je nevtralen. Nekaj ​​let kasneje je bilo dokazano, da je ideja o pozitivnem naboju, ki se neprekinjeno porazdeli znotraj atoma, napačna.

Pri razvoju idej o strukturi atoma so zelo pomembni poskusi angleškega fizika Rutherforda o sipanju alfa delcev v snovi. Alfa delci nastanejo med radioaktivnimi transformacijami, so pozitivno nabiti delci z nabojem 2e in maso približno 7300-kratne mase elektrona. Žarki delcev alfa so zelo monokromatski. Na podlagi svojih raziskav je Rutherford leta 1911 predlagal jedrski (planetarni) model atoma. Po tem modelu je okoli pozitivnega naboja razpoložljivi naboj Ze (Z je redna številka elementa v sistemu Mendelejeva, e je velikost elementarnega naboja - in masa je skoraj enaka masi atoma, v območju z linearnimi dimenzijami reda m se elektroni gibljejo po zaprtih orbitah in tvorijo elektronsko ovojnico atoma. Ker so atomi nevtralni, je naboj enak celotnemu naboju elektronov, tj. Z elektronov se mora vrteti okoli jedra. poenostavljeno predpostavljamo, da se elektron giblje okoli jedra po krožni orbiti s polmerom r. V tem primeru Coulombova sila interakcije med jedrom in elektronom pove normalni pospešek elektrona. Enačba, ki opisuje gibanje elektrona v atom v krogu pod vplivom Coulombove sile = kjer je ε0 električna konstanta me- in v-masa ter hitrost elektrona v orbiti s polmerom r. Enačba vsebuje dve neznanki r in v. Zato sta neskončno število vrednosti polmera in ustreznih vrednosti hitrosti, ki izpolnjujejo to enačbo. Zato se lahko vrednosti r in v nenehno spreminjata, to je, da se lahko oddaja kateri koli, vendar ne točno določen del energije. Potem bi morali biti spektri atomov zvezni. V resnici pa izkušnje kažejo, da imajo atomi črtasti spekter. Po klasični elektrodinamiki morajo hitro gibajoči se elektroni sevati elektromagnetne valove in posledično nenehno izgubljati energijo. Posledično se bodo elektroni približali jedru in na koncu padli nanj. Tako se Rutherfordov atom izkaže za nestabilen sistem, kar je spet v nasprotju z realnostjo. Poskusi, da bi zgradili model atoma v okviru klasične fizike, niso bili uspešni, Thomsonov model je bil ovržen z Rutherfordovimi poskusi, jedrski model pa se je izkazal za nestabilnega in elektrodinamično v nasprotju z eksperimentalnimi podatki. Premagovanje nastalih težav je zahtevalo ustvarjanje kvalitativno nove - kvantne teorije atoma

Črtni spekter vodika

Študija emisijskih spektrov nabitih plinov je pokazala, da ima vsak plin določen črtasti spekter, ki ga sestavljajo posamezne spiralne črte. Najbolj raziskan je spekter najpreprostejšega atoma - atoma vodika. Švicarski znanstvenik Balmer je izbral empirično formulo, ki opisuje vse takrat znane spektralne črte vodikovega atoma v vidnem območju spektra, kjer R prime = Rydbergova konstanta. Kasneje je bilo v spektru vodikovega atoma odkritih več serij. Lymanova serija je v ultravijoličnem območju spektra.

Najdeni so bili tudi v infrardečem območju spektra

Serija Paschen

Serija nosilcev

v=R(1/4^2 -1/n^2) (n=5,6,7…...)

Serija Pfund

v=R(1/5^2 -1/n^2) (n=6,7,8…...)

Serija Humphrey

v=R(1/6^2 -1/n^2) (n=7,8,9…...)

Vse zgornje serije v spektru vodikovega atoma je mogoče opisati z eno formulo, imenovano generalizirana Balmerjeva formula, kjer ima m konstantno vrednost v vsaki seriji m=1,2,3,4,5,6 (opredeljuje vrsto) n , sprejema celoštevilske vrednosti od m +1 (določi posamezne vrstice te serije)

Bohrovi postulati

Prvi poskus zgraditi kakovostno novo – kvantno teorijo atoma je leta 1913 naredil danski fizik Niels Bohr. Zadal si je cilj, da v eno celoto poveže empirične zakonitosti črtnih spektrov, Rutherfordov jedrski model atoma ter kvantno naravo emisije in absorpcije svetlobe. Bohr je svojo teorijo zasnoval na dveh postulatih.

1 postulat (postulat stacionarnih stanj) v atomu obstajajo stacionarna stanja, v katerih ne seva energije, za ta stanja so značilne določene diskretne vrednosti energije. Stacionarna stanja atoma ustrezajo stacionarnim orbitam, po katerih se gibljejo elektroni. Gibanja elektronov v stacionarnih orbitah ne spremlja emisija elektromagnetnih valov. V stacionarnem stanju atoma mora imeti elektron, ki se giblje po krožni orbiti, diskretne kvantne vrednosti vrtilne količine, ki izpolnjujejo pogoj

Kjer je me masa elektrona, je v hitrost

2 postulat (frekvenčno pravilo) ko se elektron premakne iz ene stacionarne orbite v drugo, se odda en foton z energijo

Enaka energijski razliki ustreznih stacionarnih stanj E_m-oziroma energija stacionarnih stanj atoma pred in po sevanju. Pri - sevanje nastane pri - njegova absorpcija Niz možnih diskretnih frekvenc kvantnih prehodov določa črtasti spekter atoma.

O. Stern in V Gerlakh sta izvedla neposredne meritve magnetnih momentov in leta 1922 odkrila, da se ozek snop vodikovih atomov, za katere vemo, da so v nehomogenem magnetnem polju v stanju s, razcepi na dva snopa. V tem stanju je kotna količina elektrona enaka nič. Magnetni moment atoma, povezan z orbitalnim gibanjem elektrona, je sorazmeren z mehanskim momentom, zato je enak nič in magnetno polje ne bi smelo vplivati ​​na gibanje vodikovih atomov v osnovnem stanju, tj. ne bi smelo priti do cepitve . kasneje pa je bilo z uporabo spektralnih instrumentov z visoko ločljivostjo dokazano, da imajo spektralne črte vodikovega atoma fino strukturo tudi v odsotnosti magnetnega polja.Da bi pojasnili fino strukturo spektralnih črt, kot tudi številne Od drugih težav v atomski fiziki sta Uhlenbeck in Goudsmit predlagala, da ima elektron lastno neuničljivo mehansko kotno količino, ki ni povezana z gibanjem elektrona v prostoru zaradi vrtenja. Spin elektrona je kvantna količina, nima klasične analogije, je notranja inherentna lastnost elektrona, podobna njegovi masi in naboju. Če elektronu pripišemo lastno mehansko kotno količino, potem mu ustreza lastni magnetni moment Po splošnih sklepih kvantne mehanike je spin kvantiziran po zakonu, kjer je s spinsko kvantno število.

Enačba gibanja mikrodelca v različnih poljih sil je Schrödingerjeva valovna enačba.

Za stacionarna stanja bo Schrödingerjeva enačba:

M je masa delcev, h je Planckova konstanta, E je skupna energija, U je potencialna energija.

Schrödingerjeva enačba je diferencialna enačba drugega reda in ima rešitev, ki kaže, da mora biti skupna energija v atomu vodika diskretna:

Ta energija je na ustreznih nivojih n =1,2,3,… po formuli:

Najnižja raven E ustreza najmanjši možni energiji. Ta nivo se imenuje glavni nivo, vsi ostali so navdušeni.

Ko se glavno kvantno število n poveča, se energijski nivoji približajo, skupna energija se zmanjša in pri n = E>0 postane elektron prost, nevezan na določeno jedro, atom pa ioniziran.

Popoln opis stanja elektrona v atomu je poleg energije povezan s štirimi značilnostmi, ki jih imenujemo kvantna števila. Ti vključujejo: glavno kvantno število n, orbitalno kvantno število l, magnetno kvantno število m1, magnetno spinsko kvantno število ms.

prestol v prostoru, torej za valovno funkcijo v prostoru so značilni trije sistemi. Vsak od njih ima svoja kvantna števila: n, l, ml.

Vsak mikrodelec, vključno z elektronom, ima tudi svoje notranje kompleksno gibanje. To gibanje lahko označimo s četrtim kvantnim številom ms. Pogovorimo se o tem podrobneje.

A. Glavno kvantno število n po formuli določa nivoje energije elektrona v atomu in lahko zavzame vrednosti n = 1, 2, 3…

B. Orbitalno kvantno število /. Iz rešitve Schrödingerjeve enačbe izhaja, da je kotni moment elektrona (njegov mehanski orbitalni moment) kvantiziran, to pomeni, da ima diskretne vrednosti, določene s formulo

kjer je Ll gibalna količina elektrona v orbiti, l je orbitalno kvantno število, ki ima za dani n vrednost i = 0, 1, 2… (n – 1) in določa gibalno količino elektrona v atom.B. Magnetno kvantno število ml.

Iz rešitve Schrödingerjeve enačbe izhaja tudi, da je vektor Ll (gibalna količina elektrona) usmerjen v prostoru pod vplivom zunanjega magnetnega polja. V tem primeru se bo vektor razvil tako, da bo njegova projekcija na smer zunanjega magnetnega polja

kjer se ml imenuje magnetno kvantno število, ki lahko sprejme vrednosti ml = 0, ±1, ±2, ±1, kar pomeni, da je skupaj (2l + 1) vrednosti.

Glede na navedeno lahko sklepamo, da ima lahko vodikov atom enako energijsko vrednost, saj je v več različnih stanjih (n je enak, l in ml pa različna).

Ko se elektron premika v atomu, elektron opazno kaže valovne lastnosti. Zato kvantna elektronika na splošno zavrača klasične ideje o orbitah elektronov. Govorimo o določanju verjetne lokacije elektrona v orbiti, to pomeni, da je lokacija elektrona lahko predstavljena s pogojnim "oblakom". Elektron med svojim gibanjem je kot "razmazan" po celotnem volumnu tega "oblaka". Kvantni števili n in l označujeta velikost in obliko elektronskega »oblaka«, kvantno število ml pa označuje orientacijo tega »oblaka« v prostoru.

Leta 1925 sta ameriška fizika Uhlenbeck in Goudsmit dokazala, da ima tudi elektron lastno vrtilno količino (spin), čeprav elektrona ne smatramo za kompleksen mikrodelec. Kasneje se je izkazalo, da imajo protoni, nevtroni, fotoni in drugi osnovni delci spin.

Poskusi Sterna, Gerlacha in drugih fizikov so pripeljali do potrebe po karakterizaciji elektrona (in mikrodelcev na splošno) z dodatno notranjo stopnjo svobode. Zato je za popoln opis stanja elektrona v atomu potrebno določiti štiri kvantna števila: glavno je n, orbitalno število l, magnetno število ml in magnetno spinsko število ms. .

V kvantni fiziki je ugotovljeno, da je tako imenovana simetrija ali asimetrija valovnih funkcij določena s spinom delca. Glede na naravo simetrije delcev delimo vse osnovne delce ter iz njih zgrajene atome in molekule v dva razreda. Delci s polcelim spinom (npr. elektroni, protoni, nevtroni) so opisani z asimetričnimi valovnimi funkcijami in so podrejeni Fermi-Diracovi statistiki. Te delce imenujemo fermioni. Delci s celoštevilskim spinom, vključno z ničlo, kot je foton (Ls = 1) ali π-mezon (Ls = 0), so opisani s simetričnimi valovnimi funkcijami in so podrejeni Bose-Einsteinovi statistiki. Te delce imenujemo bozoni. Kompleksni delci (na primer atomska jedra), sestavljeni iz lihega števila fermionov, so tudi fermioni (skupni spin je pol celo število), tisti, ki jih sestavlja sodo število, pa so bozoni (skupni spin je celo število).

Če preidemo od obravnavanja gibanja enega mikrodelca (enega elektrona) k večelektronskim sistemom, se pojavijo posebne lastnosti, ki nimajo analogov v klasični fiziki. Naj bo kvantnomehanski sistem sestavljen iz enakih delcev, kot so elektroni. Vsi elektroni imajo enake fizikalne lastnosti – maso, električni naboj, spin in druge notranje značilnosti (na primer kvantna števila). Takšni delci se imenujejo enaki.

Potrebne lastnosti sistema enakih enakih delcev se kažejo v temeljnem načelu kvantne mehanike - načelu neločljivosti enakih delcev, po katerem je eksperimentalno nemogoče razlikovati enake delce.

V klasični mehaniki lahko tudi enake delce ločimo po položaju v prostoru in momentih. Če so delci v določenem trenutku oštevilčeni, potem je v naslednjih trenutkih časa mogoče izslediti trajektorijo katerega koli od njih. Klasični delci imajo torej individualnost, zato se klasična mehanika sistemov enakih delcev bistveno ne razlikuje od klasične mehanike sistemov različnih delcev.

V kvantni mehaniki je situacija drugačna. Iz razmerja negotovosti sledi, da koncept trajektorije na splošno ni uporaben za mikrodelce; stanje mikrodelca opišemo z valovno funkcijo, ki le omogoča izračunati verjetnost, da se mikrodelec nahaja v bližini ene ali druge točke v prostoru. Če se valovni funkciji dveh enakih delcev v prostoru prekrivata, potem je govorjenje o tem, kateri delec je v določenem območju, praviloma nesmiselno: govorimo lahko le o verjetnosti, da bomo enega od enakih delcev našli v določenem območju. Tako v kvantni mehaniki enaki delci popolnoma izgubijo svojo individualnost in postanejo nerazločljivi. Poudariti je treba, da načelo neločljivosti enakih delcev ni le posledica verjetne interpretacije valovne funkcije, temveč je v kvantno mehaniko uvedeno kot novo načelo, kot je omenjeno zgoraj, temeljno.

Ob upoštevanju fizikalnega pomena količine lahko načelo neločljivosti enakih delcev zapišemo v obliki: , (8.1.1)

kjer sta in sta množica prostorskih koordinat in koordinat sile prvega in drugega delca. Iz izraza (8.1.1) sledi, da sta možna dva primera:

tiste. načelo nerazločnosti enakih delcev vodi do določene simetrične lastnosti valovne funkcije. Če valovna funkcija ne spremeni predznaka, ko delci zamenjajo mesta, se imenuje simetrična, če se spremeni, pa se imenuje antisimetrična. Sprememba predznaka valovne funkcije ne pomeni spremembe stanja, saj samo kvadrat modula valovne funkcije ima fizični pomen.

V kvantni mehaniki je dokazano, da se narava simetrije valovne funkcije s časom ne spreminja. To ni dokaz, da so lastnosti simetrije ali antisimetrije lastnost te vrste mikrodelcev.

Ugotovljeno je, da je simetrija ali antisimetrija valovnih funkcij določena s spinom delcev. Glede na naravo simetrije delimo vse osnovne delce in iz njih zgrajene sisteme (atome, molekule) v dva razreda: delce s polcelim spinom (na primer elektrone, nevtrone in protone) opisuje antisimetrično valovanje. funkcije in upoštevajo Fermi–Diracovo statistiko; te delce imenujemo fermioni. Delci z ničelnim ali celoštevilskim spinom (na primer fotoni, mezoni) so opisani s simetričnimi funkcijami (val) in so podrejeni Bose–Einsteinovi statistiki; te delce imenujemo bozoni.

Kompleksni delci (npr. atomska jedra), sestavljeni iz lihega števila fermionov, so fermioni (skupni spin je pol celo število), iz sodega števila pa so bozoni (skupni spin je celo število).

Odvisnost narave simetrije valovnih funkcij sistema enakih delcev od spina delcev je teoretično utemeljil švicarski fizik W. Pauli, kar je bil še en dokaz, da so spini temeljna lastnost mikrodelcev.

Po preučevanju lastnosti elementov, razvrščenih v vrsti v naraščajočem vrstnem redu njihovih atomskih mas, je veliki ruski znanstvenik D.I. Mendelejev je leta 1869 izpeljal zakon periodičnosti:

lastnosti elementov in s tem lastnosti preprostih in kompleksnih teles, ki jih tvorijo, so v periodični odvisnosti od velikosti atomskih tež elementov.

V skladu s tem zakonom ima sprememba lastnosti kemijskih elementov ob povečanju njihove atomske mase periodičen značaj, tj. po določenem številu elementov (različnih za različna obdobja) se lastnosti elementov ponovijo v istem zaporedju, čeprav z nekaj kvalitativnimi in kvantitativnimi razlikami. Le v treh primerih je Mendelejev prekršil vrstni red elementov – argon je postavil pred kalij, kobalt pred nikelj in telur pred jod. To je zahtevala podobnost lastnosti kemičnih elementov.

Grafični prikaz periodičnega zakona je tabela elementov D.I. Mendelejev. Vsak element v njem ustreza serijski številki. V tabeli je celoten niz elementov razdeljen na ločene segmente, znotraj katerih se začnejo in končajo cikli periodičnih sprememb lastnosti. Navpične segmente imenujemo skupine, vodoravne segmente pa obdobja.

Prve tri periode, ki vsebujejo 2, 8 in 8 elementov, imenujemo majhne, ​​ostale, ki vsebujejo 18, 18 in 32 elementov, pa so velike. Velika obdobja so razdeljena na serije, medtem ko majhna obdobja sovpadajo z ustreznimi serijami.

V vsaki skupini so elementi velikih obdobij razdeljeni v dve podskupini - glavno in sekundarno. Glavna podskupina vključuje podobne elemente, vključno z elementi majhnih in velikih obdobij. Sekundarna podskupina vključuje podobne elemente, vključno z elementi velikih obdobij. Največja možna valenca elementov v skupini je enaka številki skupine. Čeprav nekateri elementi ne kažejo največje valence, na primer kisik, fluor, neon, po drugi strani pa lahko valenca zlata, elementa sekundarne podskupine skupine I, preseže eno, doseže tri.

Odkritje periodičnega zakona je fizike spodbudilo k iskanju njegove razlage s stališča teorije zgradbe atomov in obratno.Periodični zakon je postal sredstvo za preverjanje veljavnosti predlaganih modelov zgradbe atomov.

Na podlagi odkritja elektrona J. Thomsona leta 1897 je angleški fizik E. Rutherford leta 1911 predlagal, da je atom sestavljen iz pozitivno nabitega jedra in elektronov, ki se vrtijo okoli njega v krožnih orbitah. V tem primeru se pozitivni naboj jedra nevtralizira s skupnim negativnim nabojem elektronov, zaradi česar je atom kot celota električno nevtralen. Rutherford je eksperimentalno dokazal, da je naboj jedra številčno enak redni številki elementa v periodnem sistemu.

Šele takrat je bilo mogoče pojasniti razlog za kršitev vrstnega reda elementov v periodnem sistemu (argon pred kalijem, kobalt pred nikljem in telur pred jodom). Našteti elementi so bili razvrščeni glede na spremembo nabojev njihovih jeder. Tako se je izkazalo, da je glavna količina, od katere so odvisne lastnosti elementa, naboj jedra. Iz tega sledi sodobna formulacija Mendelejevega periodičnega zakona:

Lastnosti kemičnih elementov, pa tudi oblike in lastnosti spojin elementov so v periodični odvisnosti od naboja njihovih jeder.

Uvod

Znano je, da je tečaj kvantne mehanike eden najtežjih za razumevanje. To ni povezano toliko z novim in »nenavadnim« matematičnim aparatom, temveč predvsem s težavnostjo razumevanja revolucionarnih s stališča klasične fizike idej, ki so osnova kvantne mehanike, in kompleksnostjo interpretacije rezultatov.

V večini učbenikov o kvantni mehaniki predstavitev gradiva praviloma temelji na analizi rešitev stacionarne Schrödingerjeve enačbe. Stacionarni pristop pa ne omogoča neposredne primerjave rezultatov reševanja kvantnomehanskega problema z analognimi klasičnimi rezultati. Poleg tega so številni procesi, ki jih preučuje tečaj kvantne mehanike (kot je prehod delca skozi potencialno pregrado, razpad kvazistacionarnega stanja itd.), načeloma nestacionarne narave in zato lahko v celoti razumeti le na podlagi rešitev nestacionarne Schrödingerjeve enačbe. Ker je število analitično rešljivih problemov majhno, je uporaba računalnika v procesu študija kvantne mehanike še posebej aktualna.

Schrödingerjeva enačba in fizikalni pomen njenih rešitev

Schrödingerjeva valovna enačba

Ena izmed osnovnih enačb kvantne mehanike je Schrödingerjeva enačba, ki določa spreminjanje stanj kvantnih sistemov skozi čas. Zapisano je v obrazcu

kjer je H hamiltonian sistema, ki sovpada z energijskim operaterjem, če ni odvisen od časa. Vrsta operaterja je določena z lastnostmi sistema. Za nerelativistično gibanje delca mase v potencialnem polju U(r) je operator realen in ga predstavlja vsota operatorjev kinetične in potencialne energije delca

Če se delec giblje v elektromagnetnem polju, bo Hamiltonov operator kompleksen.

Čeprav je enačba (1.1) časovno enačba prvega reda, ima zaradi namišljene enotnosti tudi periodične rešitve. Zato se Schrödingerjeva enačba (1.1) pogosto imenuje Schrödingerjeva valovna enačba, njena rešitev pa časovno odvisna valovna funkcija. Enačba (1.1) z znano obliko operatorja H vam omogoča, da določite vrednost valovne funkcije v katerem koli naslednjem časovnem trenutku, če je ta vrednost znana v začetnem trenutku. Tako Schrödingerjeva valovna enačba izraža načelo vzročnosti v kvantni mehaniki.

Schrödingerjevo valovno enačbo je mogoče dobiti na podlagi naslednjih formalnih premislekov. V klasični mehaniki je znano, da če je energija podana kot funkcija koordinat in momentov

nato prehod na klasično Hamilton--Jacobijevo enačbo za akcijsko funkcijo S

dobimo iz (1.3) s formalno transformacijo

Na enak način dobimo enačbo (1.1) iz (1.3) pri prehodu iz (1.3) na operatorsko enačbo s formalno transformacijo

če (1.3) ne vsebuje zmnožkov koordinat in momentov ali pa vsebuje take zmnožke le-teh, ki po prehodu na operatorje (1.4) med seboj komutirajo. Če po tej transformaciji izenačimo rezultate delovanja na funkcijo operatorjev desnega in levega dela nastale operatorske enačbe, pridemo do valovne enačbe (1.1). Vendar teh formalnih transformacij ne smemo jemati kot izpeljavo Schrödingerjeve enačbe. Schrödingerjeva enačba je posplošitev eksperimentalnih podatkov. V kvantni mehaniki ni izpeljano, tako kot Maxwellove enačbe niso izpeljane v elektrodinamiki, načelo najmanjšega delovanja (ali Newtonove enačbe) v klasični mehaniki.

Enostavno je preveriti, da je enačba (1.1) izpolnjena za valovno funkcijo

opis prostega gibanja delca z določeno gibalno količino. V splošnem primeru veljavnost enačbe (1.1) dokazuje skladnost z izkušnjami vseh sklepov, pridobljenih s pomočjo te enačbe.

Pokažimo, da enačba (1.1) implicira pomembno enakost

kar kaže na ohranitev normalizacije valovne funkcije skozi čas. Pomnožimo (1.1) na levi s funkcijo * in pomnožimo kompleks enačbe, konjugiran na (1.1), s funkcijo in odštejemo drugo enačbo od prve dobljene enačbe; potem najdemo

Z integracijo tega razmerja po vseh vrednostih spremenljivk in ob upoštevanju samopriključnosti operaterja dobimo (1.5).

Če v relaciji (1.6) nadomestimo eksplicitni izraz Hamiltonovega operatorja (1.2) za gibanje delca v potencialnem polju, pridemo do diferencialne enačbe (enačbe kontinuitete)

kjer je gostota verjetnosti in vektor

lahko imenujemo verjetnostni vektor gostote toka.

Kompleksno valovno funkcijo lahko vedno predstavimo kot

kjer in sta realni funkciji časa in koordinat. Torej gostota verjetnosti

in verjetnostno gostoto toka

Iz (1.9) sledi, da je j = 0 za vse funkcije, katerih funkcija Φ ni odvisna od koordinat. Zlasti j= 0 za vse realne funkcije.

Rešitve Schrödingerjeve enačbe (1.1) so na splošno predstavljene s kompleksnimi funkcijami. Uporaba kompleksnih funkcij je zelo priročna, čeprav ni potrebna. Namesto ene kompleksne funkcije lahko stanje sistema opišemo z dvema realnima funkcijama in izpolnjujeta dve sklopljeni enačbi. Na primer, če je operator H realen, potem s substitucijo funkcije v (1.1) in ločitvijo realnega in imaginarnega dela dobimo sistem dveh enačb

v tem primeru imata gostota verjetnosti in gostota verjetnostnega toka obliko

Valovne funkcije v predstavitvi gibalne količine.

Fourierjeva transformacija valovne funkcije označuje porazdelitev momentov v kvantnem stanju. Potrebno je izpeljati integralno enačbo za s Fourierjevo transformacijo potenciala kot jedra.

rešitev. Obstajata dve medsebojno inverzni zvezi med funkcijama in.

Če relacijo (2.1) uporabimo kot definicijo in zanjo uporabimo operacijo, potem ob upoštevanju definicije 3-dimenzionalne -funkcije,

kot rezultat, kot je lahko videti, dobimo inverzno razmerje (2.2). Podobni premisleki so uporabljeni spodaj pri izpeljavi relacije (2.8).

nato za Fourierjevo sliko potenciala, ki ga imamo

Ob predpostavki, da valovna funkcija izpolnjuje Schrödingerjevo enačbo

Če zamenjamo tukaj namesto izrazov (2.1) in (2.3), dobimo

V dvojnem integralu preidemo z integracije po spremenljivki na integracijo po spremenljivki in nato to novo spremenljivko ponovno označimo z. Integral čez izgine pri kateri koli vrednosti le, če je sam integrand enak nič, vendar takrat

To je želena integralna enačba s Fourierjevo transformacijo potenciala kot jedra. Seveda lahko integralno enačbo (2.6) dobimo le pod pogojem, da obstaja Fourierjeva transformacija potenciala (2.4); za to se mora na primer potencial zmanjšati na velikih razdaljah, vsaj kot, kje.

Treba je opozoriti, da iz stanja normalizacije

sledi enakopravnost

To lahko pokažemo z zamenjavo izraza (2.1) za funkcijo v (2.7):

Če tukaj najprej izvedemo integracijo čez, potem zlahka dobimo relacijo (2.8).

Iz statistične interpretacije de Brogliejevih valov (glej § in Heisenbergovo razmerje negotovosti (glej § 215)) je sledilo, da bi morala biti enačba gibanja v kvantni mehaniki, ki opisuje gibanje mikrodelcev v različnih poljih sil, enačba iz čemur bi sledila naslednja opažanja - eksperimentalno dane valovne lastnosti delcev.

Glavna enačba mora biti enačba za valovno funkcijo, saj je ravno ta ali natančneje količina |Ф|2 tista, ki določa verjetnost, da delec ostane v trenutku t v obsegu dV, v območju s koordinatami in X+ dx, y+dy,

z in Ker mora želena enačba upoštevati valovne lastnosti delcev, mora biti valovna enačba, kot enačba, ki opisuje elektromagnetno valovanje. Osnovna enačba nerelativistična kvantna mehanika leta 1926 oblikoval E. Schrödinger. Schrödingerjeva enačba tako kot vse osnovne fizikalne enačbe (na primer Newtonove enačbe v klasični mehaniki in Maxwellove enačbe za elektromagnetno polje) ni izpeljana, temveč postulirana. Pravilnost te enačbe potrjuje soglasje z izkušnjami rezultatov, pridobljenih z njeno pomočjo, kar ji posledično daje značaj naravnega zakona. Enačba

Schrödinger ima obliko

e -

g masa delca; A je Laplaceov operator

imaginarna enota, y,z,t) -

Potencialna funkcija delca v polju sil, v katerem se giblje; z,t) -želeno valovno funkcijo

Enačba velja za vsak delec (s spinom enakim 0; glej § 225), ki se giblje z majhno (v primerjavi s svetlobno hitrostjo) hitrostjo, tj. v z. Dopolnjujejo ga pogoji, ki veljajo za valovno funkcijo: 1) valovna funkcija mora biti končna, enovrednostna in zvezna (glej § 216);

2) izpeljanke -, -, --, must-

dx storiti

da smo neprekinjeni; 3) funkcija |Ф|2 mora biti integrabilna; ta pogoj se v najpreprostejših primerih zmanjša na

Pogoj normalizacije (216.3).

Da pridemo do Schrödingerjeve enačbe, upoštevamo prosto gibajoči se delec, ki je po de Broglieju pridružen.Zaradi poenostavitve upoštevamo enodimenzionalni primer. Enačba ravnega vala, ki se širi vzdolž osi X, ima obliko (glej § 154) t) = A cos - ali v kompleksnem zapisu t)- Zato ima de Brogliejev ravninski val obliko

(217.2)

(ob upoštevanju tega - = -). V kvantnem th

Eksponent je vzet z znakom “-”, ker ima le |Ф|2 fizični pomen, to ni pomembno. Potem

Uporaba razmerja med energijo E in zagon = --) in nadomeščanje

izraz (217.3), dobimo diferencialno enačbo

ki sovpada z enačbo za primer U- O (upoštevali smo prosti delec).

Če se delec giblje v polju sile, za katerega je značilna potencialna energija ti, potem celotna energija E je sestavljena iz kinetične in potencialne energije. Izvajanje podobnega sklepanja in uporaba razmerja med ("za

primer = E-U), pridemo do diferencialne enačbe, ki sovpada z (217.1).

Zgornje sklepanje ne smemo jemati kot izpeljavo Schrödingerjeve enačbe. Pojasnjujejo le, kako je mogoče priti do te enačbe. Dokaz pravilnosti Schrödingerjeve enačbe je soglasje z izkušnjami sklepov, do katerih vodi.

Enačba (217.1) je splošna Schrödingerjeva enačba. Imenuje se tudi časovno odvisna Schrödingerjeva enačba. Za številne fizikalne pojave, ki se dogajajo v mikrokozmosu, lahko enačbo (217.1) poenostavimo z odpravo časovne odvisnosti, z drugimi besedami, da poiščemo Schrödingerjevo enačbo za stacionarna stanja - stanja s fiksnimi energijskimi vrednostmi. To je mogoče, če je polje sile, v katerem se delec giblje, stacionarno, tj U=z) ni eksplicitno odvisna od časa in ima pomen potencialne energije.

V tem primeru lahko rešitev Schrödingerjeve enačbe predstavimo kot zmnožek dveh funkcij, od katerih je ena funkcija samo koordinat, druga pa le funkcija časa, odvisnost od časa pa je izražena

Se pomnoži z e" = e, tako da

(217.4)

kje E je skupna energija delca, ki je konstantna v primeru stacionarnega polja. Če nadomestimo (217.4) v (217.1), dobimo

Od tod po deljenju s skupnim faktorjem e ustreznih transformacij

ing, pridemo do enačbe, ki definira funkcijo

Enačba enak-

Schrödingerjev koncept za stacionarna stanja. Ta enačba vključuje skupno energijo kot parameter E delci. V teoriji diferencialnih enačb je dokazano, da imajo take enačbe neskončno število rešitev, iz katerih se z zastavljanjem robnih pogojev izberejo rešitve, ki imajo fizikalno

Za Schrödingerjevo enačbo so takšni pogoji pogoji za pravilnost valovnih funkcij: valovne funkcije morajo biti končne, enovrednostne in zvezne skupaj s svojimi prvimi odvodi.

Pravi fizikalni pomen imajo torej le rešitve, ki so izražene z regularnimi funkcijami, vendar regularne rešitve ne pridejo za nobeno vrednost parametra E, vendar le za določeno skupino, značilno za to težavo. te energijske vrednosti se imenujejo lasten. Rešitve, ki ustrezajo lastnim vrednostim energije, se imenujejo lastne funkcije. Lastne vrednosti E lahko tvorijo zvezne in diskretne serije. V prvem primeru se govori o neprekinjeno, oz zvezni, spekter, v drugem - diskretni spekter.

§ 218. Načelo vzročnosti v kvantni mehaniki

Iz razmerja negotovosti se pogosto sklepa, da

načelo vzročnosti do pojavov, ki se dogajajo v mikrokozmosu. V tem primeru temeljijo na naslednjih premislekih. V klasični mehaniki po načelo vzročnosti - načelo klasičnega determinizma, na znano stanje sistema v nekem trenutku (v celoti je določeno z vrednostmi koordinat in momentov vseh delcev sistema) in sile, ki delujejo nanj, lahko povsem natančno nastavite njegovo stanje v katerem koli naslednjem trenutek. Zato klasična fizika temelji na naslednjem razumevanju vzročnosti: stanje mehanskega sistema v začetnem trenutku z znanim zakonom medsebojnega delovanja delcev je vzrok, njegovo stanje v posttrenutku pa posledica.

Po drugi strani pa mikroobjekti ne morejo imeti hkrati določene koordinate in določene ustrezne projekcije gibalne količine [dane so z razmerjem negotovosti; zato se sklepa, da v začetnem trenutku stanje sistema ni natančno določeno. . Če stanje sistema v začetnem trenutku ni gotovo, potem nadaljnjih stanj ni mogoče predvideti, kar pomeni, da je načelo vzročnosti kršeno.

Vendar pa v zvezi z mikroobjekti ni kršenega načela vzročnosti, saj v kvantni mehaniki pojem stanja mikroobjekta dobi popolnoma drugačen pomen kot v klasični mehaniki. V kvantni mehaniki je stanje mikroobjekta popolnoma določeno z valovno funkcijo, katere kvadratni modul

2 nastavi gostoto verjetnosti najdenja delca v točki s koordinatami x, y, z.

Po drugi strani pa valovna funkcija izpolnjuje enačbo

Schrödinger, ki vsebuje prvi odvod funkcije Ф glede na čas. To tudi pomeni, da naloga funkcije (za trenutek časa določa njeno vrednost v naslednjih trenutkih. Zato je v kvantni mehaniki začetno stanje vzrok, stanje Ф v naslednjem trenutku pa posledica. To je oblika načela vzročnosti v kvantni mehaniki, tj. nastavitev funkcije vnaprej določa njene vrednosti za vse nadaljnje trenutke. Tako stanje sistema mikrodelcev, definirano v kvantni mehaniki, nedvoumno sledi iz prejšnjega stanja, kot to zahteva načelo vzročnosti. .

§219. Prosto gibanje delcev

prosti delec - delec, ki se giblje v odsotnosti zunanjih polj. Ker je prosto (naj se premika vzdolž osi X) sile ne delujejo, potem potencialna energija delca U(x) = const in jo lahko vzamemo enako nič. Takrat skupna energija delca sovpada z njegovo kinetično energijo. V tem primeru ima Schrödingerjeva enačba (217.5) za stacionarna stanja obliko

(219.1)

Z neposredno zamenjavo lahko preverimo, ali je določena rešitev enačbe (219.1) funkcija - kje A = konst in do= const, z lastno vrednostjo energije

Funkcija = = predstavlja le koordinatni del valovne funkcije. Zato je časovno odvisna valovna funkcija po (217.4)

(219.3) je ravninski monokromatski de Brogliejev val [glej. (217.2)].

Od izraza (219.2) sledi, da je odvisnost energije od gibalne količine

se izkaže za običajno za nerelativistične delce. Zato lahko energija prostega delca traja kakršne koli vrednosti(ker valovno število do lahko sprejme poljubne pozitivne vrednosti), tj. energijo spekter prosti delec je neprekinjeno.

Tako je prosti kvantni delec opisan z ravnim monokromatskim de Brogliejevim valovanjem. To ustreza časovno neodvisni gostoti verjetnosti zaznave delca na dani točki v prostoru

to pomeni, da so vsi položaji prostega delca v prostoru enako verjetni.

§ 220. Delec v enodimenzionalni pravokotni "potencialni jami" z neskončno visoko

"stene"

Opravimo kvalitativno analizo rešitev Schrödingerjeve enačbe z uporabo

riž. 299

(220.4)

glede na delec v enodimenzionalni pravokotni "potencialni vodnjak" z neskončno visokimi "stenami". Takšen "vodnjak" opisuje potencialna energija oblike (zaradi poenostavitve predpostavimo, da se delec giblje vzdolž osi X)

kje je širina "jame", a energija se meri od njenega dna (slika 299).

Schrödingerjevo enačbo (217.5) za stacionarna stanja v primeru enodimenzionalnega problema lahko zapišemo kot

Glede na pogoj problema (neskončno visoke »stene«) delec ne prodre čez »jamo«, zato je verjetnost njegove detekcije (in posledično valovne funkcije) zunaj »jame« enaka nič. . Na mejah "jame" (at X- 0 in x = izginiti mora tudi zvezna valovna funkcija. Zato imajo robni pogoji v tem primeru obliko

Znotraj "jame" (0 X Schrödingerjeva enačba (220.1) se zmanjša na enačbo

Splošna rešitev diferencialne enačbe (220.3):

Ker je po (220.2) = 0, potem AT= 0.

(220.5)

Pogoj (220.2) = 0 je izpolnjen le za kje p- cela števila, torej je nujno, da

Iz izrazov (220.4) in (220.6) sledi, da

tj. stacionarna Schrödingerjeva enačba, ki opisuje gibanje delca v "potencialni jami" z neskončno visokimi "stenami", je izpolnjena le za lastne vrednosti, ki so odvisne od celega števila p. Zato je energija delcev v

»potencialni vodnjak« z neskončno visokimi »stenami« zavzame le določene diskretne vrednosti, tiste. je kvantiziran.

Kvantizirane vrednosti energije se imenujejo ravni energije, in številko P, ki določa nivoje energije delca se imenuje glavno kvantno število. Tako je lahko mikrodelec v »potencialni jami« z neskončno visokimi »stenami« le na določenem energijskem nivoju ali, kot pravijo, delec je v kvantu

Zamenjava vrednosti v (220.5). do iz (220.6) najdemo lastne funkcije:

Integracijska konstanta AMPAK ugotovimo iz normalizacijskega pogoja (216.3), ki ga za ta primer lahko zapišemo v obliki

AT rezultat integracije pol-

AMPAK - a Lastne funkcije bodo videti tako

I razporedi lastnih funkcij (220.8), ki ustrezajo nivojem

energije (220,7) pri n=1,2, 3 so prikazani na sl. 300, a. Na sl. 300, b prikazana je gostota verjetnosti zaznavanja delca na različnih razdaljah od "sten" vrtine, enaka =

Za n= 1, 2 in 3. Iz slike sledi, da je npr. v kvantnem stanju z p= 2 delec ne more biti v sredini “jame”, enako pogosto pa je lahko v njenem levem in desnem delu. To vedenje delca kaže, da so koncepti trajektorij delcev v kvantni mehaniki nevzdržni. Iz izraza (220.7) sledi, da je energijski interval med dvema

Sosednje ravni je enako

Na primer za elektron z velikostjo vrtine - 10 "1 m (brezplačno el

Prestoli v kovini) 10 J

To pomeni, da so ravni energije tako tesno razporejene, da se spekter praktično lahko šteje za neprekinjen. Če so dimenzije jame sorazmerne z atomskim m), potem je za elektron J eV, tj. dobimo eksplicitno diskretne energijske vrednosti (linijski spekter).

Tako je uporaba Schrödingerjeve enačbe za delec v "potencialni jami" z neskončno visoko

»stene« vodi do kvantiziranih vrednosti energije, medtem ko klasična mehanika ne nalaga nobenih omejitev glede energije tega delca.

Poleg tega

Upoštevanje tega problema vodi do zaključka, da delec "v potencialni jami" z neskončno visokimi "stenami" ne more imeti energije manj kot

Najmanj, enako [glej. (220,7)].

Prisotnost minimalne energije, ki ni enaka nič, ni naključna in izhaja iz razmerja negotovosti. Koordinatna negotovost Oh delcev v »jami« širok Ah= Takrat glede na razmerje negotovosti gibalna količina ne more imeti natančne, v tem primeru ničelne vrednosti. Momentna negotovost

Takšno širjenje vrednot

gibalna količina ustreza kinetični energiji

Vse druge ravni (n > 1) imajo energijo, ki presega to minimalno vrednost.

Od formuli (220.9) in (220.7) sledi, da za velika kvantna števila

to pomeni, da so sosednje ravni tesno razporejene: čim bližje, tem več p.Če p je zelo velik, potem lahko govorimo o praktično neprekinjenem zaporedju ravni, značilna lastnost kvantnih procesov - diskretnost - pa je zglajena. Ta rezultat je poseben primer Bohrov korespondenčni princip (1923), po katerem naj bi se zakoni kvantne mehanike pri velikih vrednostih kvantnih števil preoblikovali v zakone klasične fizike.

več splošna razlaga načela korespondence: vsaka nova, bolj splošna teorija, ki je razvoj klasične, je ne zavrača v celoti, ampak vključuje klasično teorijo, nakazuje meje njene uporabe, v določenih omejitvenih primerih pa nova teorija prehaja v staro. Tako gredo formule kinematike in dinamike posebne teorije relativnosti čez v c v formule Newtonove mehanike. Na primer, čeprav da Brogliejeva hipoteza pripisuje valovne lastnosti vsem telesom, lahko v tistih primerih, ko imamo opravka z makroskopskimi telesi, njihove valovne lastnosti zanemarimo, tj. uporabiti klasično Newtonovo mehaniko.

§ 221. Prehod delca skozi potencialno pregrado.

učinek tunela

najpreprostejša potencialna pregrada pravokotne oblike (sl. za enodimenzionalno (vzdolž osi gibanja delca). Za potencialno pregrado pravokotne oblike z višino širine l lahko zapišemo.

Pod danimi pogoji problema, klasični delec, ki ima energijo E, ali neovirano prečkati oviro (s E > U), ali odseva od njega (kdaj E< U) se bo premikal v nasprotni smeri, tj. ne more prebiti ovire. Za mikrodelec, tudi pri E > U, obstaja neničelna verjetnost, da se bo delec odbil od pregrade in premaknil v nasprotno smer. pri E obstaja tudi neničelna verjetnost, da bo delec v tem območju x> tiste. prodre skozi pregrado. Takšni na videz paradoksalni zaključki izhajajo neposredno iz opisane rešitve Schrödingerjeve enačbe

412

ki opisuje gibanje mikrodelca v pogojih danega problema.

Enačba (217.5) za stacionarna stanja za vsako od izbranih sl. 301, a območje ima

(za področja

(za področje

Splošne rešitve teh diferencialnih enačb:

Rešitev (221.3) vsebuje tudi valove (po pomnožitvi s časovnim faktorjem), ki se širijo v obe smeri. Vendar pa na območju 3 obstaja le val, ki je šel skozi pregrado in se širi od leve proti desni. Zato je treba koeficient v formuli (221.3) vzeti enak nič.

Na območju 2 rešitev je odvisna od odnosov E>U oz E Fizikalno zanimiv je primer, ko je skupna energija delca manjša od višine potencialne pregrade, ker pri E Zakoni klasične fizike očitno ne dovoljujejo, da bi delci prebili pregrado. V tem primeru glede na q= - namišljeno število, kjer

(za področje

(za območje 2);

Pomen q in 0, dobimo rešitve Schrödingerjeve enačbe za tri regije v naslednji obliki:

(za področje 3).

AT zlasti za regijo 1 skupna valovna funkcija bo po (217.4) imela obliko

V tem izrazu je prvi člen ravninski val tipa (219.3), ki se širi v pozitivni smeri osi X(ustreza delcu, ki se giblje proti pregradi), in drugi - val, ki se širi v nasprotni smeri, tj. odbije se od pregrade (ustreza delcu, ki se premika od pregrade v levo).

(za področje 3).

Na območju 2 funkcija ne ustreza več ravnim valovom, ki se širijo v obe smeri, saj eksponenti eksponentov niso namišljeni, ampak realni. Lahko se pokaže, da je za poseben primer visoke in široke pregrade, ko je 1,

Kvalitativna narava funkcij in je prikazana na sl. 301, iz katerega izhaja, da val

Tudi znotraj pregrade funkcija ni enaka nič, ampak v regiji 3, če pregrada ni zelo široka, bo spet imela obliko de Brogliejevih valov z enakim zagonom, torej z enako frekvenco, vendar z manjšo amplitudo. Posledično smo ugotovili, da ima delec neničelno verjetnost, da preide potencialno pregrado končne širine.

Tako kvantna mehanika vodi do bistveno novega specifičnega kvantnega pojava, imenovanega učinek tunela, zaradi česar lahko mikroobjekt »preide« skozi potencialno pregrado. v smislu Skupna rešitev enačb za pravokotno potencialno pregrado daje (ob predpostavki, da je koeficient prosojnosti majhen v primerjavi z enoto)

kjer je konstanten faktor, ki ga lahko enačimo z ena; U- višina potencialne pregrade; E - energija delcev; je širina pregrade.

Iz izraza (221.7) sledi, da D zelo odvisen od mase t delcev, širina/pregrada in od (U-širša kot je pregrada, manjša je verjetnost, da bo delec šel skozi njo.

Za potencialno pregrado poljubne oblike (sl. 302), ki izpolnjuje pogoje t.i. polklasični približek(precej gladko obliko krivulje), imamo

kje U=U(x).

S klasičnega vidika je prehod delca skozi potencialno pregrado pri E nemogoče, saj bi moral delec, ki je v pregradnem območju, imeti negativno kinetično energijo. Učinek tunela je specifičen kvantni učinek.

Prehod delca skozi območje, v katerega po zakonih klasične mehanike ne more prodreti, lahko pojasnimo z razmerjem negotovosti. Momentna negotovost Ar na segmentu Ah = je Ar > -. Povezano s tem širjenjem vrednosti zagona, kinetike

302

Češka energija je lahko

dovolj za dokončanje

izkazalo se je, da je energija delca večja od potencialne energije.

Osnove teorije tunelskih križišč so bile postavljene v delih L.I.

Tuneliranje skozi potencialno pregrado je osnova številnih pojavov v fiziki trdne snovi (na primer pojavi v kontaktni plasti na vmesniku med dvema polprevodnikoma), atomski in jedrski fiziki (na primer razpad, termonuklearne reakcije).

§ 222. Linearni harmonični oscilator

V kvantni mehaniki

Linearni harmonični oscilator- sistem, ki izvaja enodimenzionalno gibanje pod delovanjem kvazielastične sile, je model, ki se uporablja v številnih problemih klasične in kvantne teorije (glej § 142). Vzmetno, fizikalno in matematično nihalo so primeri klasičnih harmoničnih oscilatorjev.

Potencialna energija harmoničnega oscilatorja [glej. (141.5)] je

Kje je lastna frekvenca oscilatorja; t - masa delcev.

Odvisnost (222.1) ima obliko parabole (sl. 303), tj. "Potencialna vrtina" je v tem primeru parabolična.

Amplitudo majhnih nihanj klasičnega oscilatorja določa njegova skupna energija E(glej sliko 17).

Dinger, ob upoštevanju izraza (222.1) za potencialno energijo. Nato stacionarna stanja kvantnega oscilatorja določa Schrödingerjeva enačba oblike

= 0, (222.2)

kje E - celotno energijo oscilatorja. V teoriji diferencialnih enačb

Dokazano je, da je enačba (222.2) rešena samo za lastne vrednosti energije

(222.3)

Formula (222.3) kaže, da lahko energija kvantnega oscilatorja

imeti samo diskretne vrednosti, tj. je kvantiziran. Energija je od spodaj omejena z vrednostjo, ki ni enaka nič, kot za pravokotno "jamo" z neskončno visokimi "stenami" (glej § 220) z minimalno vrednostjo energije = Su-

obstoj minimalne energije – se imenuje energija ničelne točke - je značilna za kvantne sisteme in je neposredna posledica relacije negotovosti.

Prisotnost ničelnih nihanj pomeni, da delec ne more biti na dnu "potencialne vrtine" (ne glede na obliko vrtine). Dejansko je »padec na dno jame« povezan z izginotjem gibalne količine delca in hkrati z njegovo negotovostjo. Takrat postane negotovost koordinate poljubno velika, kar pa je v nasprotju s prisotnostjo delca v

"potencialna luknja".

Sklep o prisotnosti energije nihanja ničelne točke kvantnega oscilatorja je v nasprotju z zaključki klasične teorije, po kateri je najmanjša energija, ki jo lahko ima oscilator, nič (kar ustreza delcu, ki miruje v ravnotežnem položaju) . Na primer, glede na zaključke klasične fizike pri T= 0 bi morala energija vibracijskega gibanja atomov kristala izginiti. Posledično bi moralo izginiti tudi sipanje svetlobe zaradi nihanja atomov. Vendar pa poskus pokaže, da intenziteta sipanja svetlobe z nižanjem temperature ni enaka nič, ampak se nagiba k določeni mejni vrednosti, kar kaže, da pri T 0 nihanje atomov v kristalu se ne ustavi. To je potrditev prisotnosti ničelnih nihanj.

Iz formule (222.3) sledi tudi, da se energijski nivoji linearnega harmoničnega oscilatorja nahajajo na enakih razdaljah drug od drugega (glej sliko 303), in sicer je razdalja med sosednjimi energijskimi nivoji enaka in najmanjša energijska vrednost =

Stroga rešitev problema kvantnega oscilatorja vodi do še ene pomembne razlike od klasičnega.

Za delce kvantnega sveta veljajo drugačne zakonitosti kot za objekte klasične mehanike. Po de Brogliejevi predpostavki imajo mikroobjekti tako lastnosti delcev kot valov - in res, ko se elektronski žarek razprši na luknji, opazimo uklon, ki je značilen za valove.

Zato ne moremo govoriti o gibanju kvantnih delcev, temveč o verjetnosti, da bo delec v določenem trenutku na določeni točki.

Kaj opisuje Schrödingerjevo enačbo

Schrödingerjeva enačba je namenjena opisovanju značilnosti gibanja kvantnih objektov v poljih zunanjih sil. Pogosto se delec giblje skozi polje sile, ki ni odvisno od časa. Za ta primer je stacionarna Schrödingerjeva enačba zapisana:

V predstavljeni enačbi sta m in E energija delca v silnem polju, U pa energija tega polja. je Laplaceov operater. - Planckova konstanta, enaka 6,626 10 -34 J s.

(imenuje se tudi verjetnostna amplituda ali psi-funkcija) - to je funkcija, ki vam omogoča, da ugotovite, kje v vesolju je najverjetneje naš mikroobjekt. Fizični pomen ni sama funkcija, ampak njen kvadrat. Verjetnost, da je delec v elementarni prostornini, je:

Zato je mogoče najti funkcijo v končnem obsegu z verjetnostjo:

Ker je psi-funkcija verjetnost, ne more biti niti manjša od nič niti večja od ena. Celotna verjetnost, da najdemo delec v neskončni prostornini, je normalizacijski pogoj:

Za psi-funkcijo deluje princip superpozicije: če je lahko delec ali sistem v več kvantnih stanjih, potem je zanj možno tudi stanje, ki ga določa njihova vsota:

Stacionarna Schrödingerjeva enačba ima veliko rešitev, vendar je treba pri reševanju upoštevati robne pogoje in izbrati samo prave rešitve – tiste, ki imajo fizikalni pomen. Takšne rešitve obstajajo samo za posamezne vrednosti energije delca E, ki tvorijo diskretni energijski spekter delca.

Primeri reševanja problemov

PRIMER 1

telovadba	Valovna funkcija opisuje razdaljo med elektronom in vodikovim jedrom: r je razdalja med elektronom in jedrom, a je prvi Bohrov radij. Kako daleč od jedra je najverjetneje elektron?
rešitev	1) Če prostornino izrazimo s polmerom jedra, ugotovimo verjetnost, da je elektron na določeni razdalji od jedra: 2) Verjetnost, da je elektron znotraj elementarnega "obroča" dr: 3) Najverjetnejšo razdaljo najdemo iz zadnjega izraza: Če rešimo to enačbo, dobimo r = a - najverjetnejšo razdaljo med elektronom in jedrom.
Odgovori	r = a – z največjo verjetnostjo se jedro nahaja na razdalji prvega Bohrovega polmera od jedra.

PRIMER 2

telovadba

Poiščite energijske nivoje delca v neskončno globoki potencialni jami.

rešitev

Naj se delec giblje vzdolž osi x. Širina jame - l. Energijo odštejemo z dna vrtine in jo opišemo s funkcijo: Zapišemo enodimenzionalno stacionarno Schrödingerjevo enačbo: Upoštevajte robne pogoje. Ker menimo, da delec ne more prodreti skozi stene, je zunaj vrtine = 0. Na meji vrtine je tudi psi-funkcija enaka nič: V vrtini je potencialna energija U=0. Potem bo Schrödingerjeva enačba, zapisana za vrtino, poenostavljena: V obliki je to DE harmoničnega oscilatorja: