Ko v kvadratni enačbi ni korenin. Kvadratne enačbe

Formule za korenine kvadratne enačbe. Upoštevani so primeri resničnih, večkratnih in kompleksnih korenin. Faktorizacija kvadratnega trinoma. Geometrijska interpretacija. Primeri določanja korenin in faktorizacije.

Osnovne formule

Razmislite o kvadratni enačbi:
(1) .
Korenine kvadratne enačbe(1) so določene s formulami:
; .
Te formule je mogoče kombinirati na naslednji način:
.
Ko so korenine kvadratne enačbe znane, lahko polinom druge stopnje predstavimo kot produkt faktorjev (faktoriziranih):
.

Nadalje predpostavljamo, da so to resnične številke.
Razmislite diskriminanta kvadratne enačbe:
.
Če je diskriminanta pozitivna, ima kvadratna enačba (1) dve različni realni koreni:
; .
Potem ima faktorizacija kvadratnega trinoma obliko:
.
Če je diskriminanta nič, ima kvadratna enačba (1) dva večkratna (enaka) realna korena:
.
Faktorizacija:
.
Če je diskriminanta negativna, ima kvadratna enačba (1) dva kompleksna konjugirana korena:
;
.
Tukaj je namišljena enota, ;
in so resnični in namišljeni deli korenin:
; .
Potem

.

Grafična interpretacija

Če grafično prikažemo funkcijo
,
ki je parabola, bodo točke presečišča grafa z osjo korenine enačbe
.
Ko , graf seka abscisno os (os) v dveh točkah.
Ko se graf na eni točki dotakne osi x.
Ko , graf ne prečka osi x.

Spodaj so primeri takšnih grafov.

Uporabne formule, povezane s kvadratno enačbo

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izpeljava formule za korenine kvadratne enačbe

Izvedemo transformacije in uporabimo formule (f.1) in (f.3):




,
kje
; .

Tako smo dobili formulo za polinom druge stopnje v obliki:
.
Iz tega je razvidno, da je enačba

izvajal pri
in .
To je in so korenine kvadratne enačbe
.

Primeri določanja korenin kvadratne enačbe

Primer 1

(1.1) .

Rešitev

.
V primerjavi z našo enačbo (1.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Iskanje diskriminanta:
.
Ker je diskriminanta pozitivna, ima enačba dve dejanski koreni:
;
;
.

Od tu dobimo razgradnjo kvadratnega trinoma na faktorje:

.

Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 prečka os x v dveh točkah.

Narišemo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Prečka x-os (os) v dveh točkah:
in .
Te točke so korenine prvotne enačbe (1.1).

Odgovori

;
;
.

Primer 2

Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(2.1) .

Rešitev

Kvadratno enačbo zapišemo v splošni obliki:
.
V primerjavi z izvirno enačbo (2.1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Iskanje diskriminanta:
.
Ker je diskriminanta nič, ima enačba dva večkratna (enaka) korena:
;
.

Potem ima faktorizacija trinoma obliko:
.

Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 na eni točki se dotakne osi x.

Narišemo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Na eni točki se dotakne osi x (os):
.
Ta točka je koren prvotne enačbe (2.1). Ker je ta koren razložen dvakrat:
,
potem se tak koren imenuje večkratnik. To pomeni, da menijo, da obstajata dve enaki korenini:
.

Odgovori

;
.

Primer 3

Poiščite korenine kvadratne enačbe:
(3.1) .

Rešitev

Kvadratno enačbo zapišemo v splošni obliki:
(1) .
Prepišimo prvotno enačbo (3.1):
.
V primerjavi z (1) najdemo vrednosti koeficientov:
.
Iskanje diskriminanta:
.
Diskriminant je negativen, . Zato pravih korenin ni.

Najdete lahko zapletene korenine:
;
;
.

Potem


.

Graf funkcije ne prečka osi x. Pravih korenin ni.

Narišemo funkcijo
.
Graf te funkcije je parabola. Ne prečka abscise (os). Zato pravih korenin ni.

Odgovori

Pravih korenin ni. Kompleksne korenine:
;
;
.

Delajmo z kvadratne enačbe. To so zelo priljubljene enačbe! V svoji najbolj splošni obliki kvadratna enačba izgleda takole:

Na primer:

tukaj a =1; b = 3; c = -4

tukaj a =2; b = -0,5; c = 2,2

tukaj a =-3; b = 6; c = -18

No, razumeš idejo...

Kako rešiti kvadratne enačbe?Če imate kvadratno enačbo v tej obliki, je vse preprosto. Zapomni si čarobno besedo diskriminatorno . Redki srednješolec te besede še ni slišal! Besedna zveza "odloči se prek diskriminatorja" je pomirjujoča in pomirjujoča. Ker ni treba čakati na trike diskriminantov! Uporaba je preprosta in brez težav. Torej, formula za iskanje korenin kvadratne enačbe izgleda takole:

Izraz pod korenskim znakom je enak diskriminatorno. Kot lahko vidite, za iskanje x uporabimo samo a, b in c. tiste. koeficienti iz kvadratne enačbe. Previdno zamenjajte vrednosti a, b in c v to formulo in razmislite. Nadomestek s svojimi znaki! Na primer za prvo enačbo a =1; b = 3; c= -4. Tukaj pišemo:

Primer skoraj rešen:

To je vse.

Kateri primeri so možni pri uporabi te formule? Obstajajo samo trije primeri.

1. Diskriminant je pozitiven. To pomeni, da lahko iz njega izvlečete koren. Ali je korenina dobro ali slabo izvlečena, je drugo vprašanje. Pomembno je, kaj se načeloma ekstrahira. Potem ima vaša kvadratna enačba dva korena. Dve različni rešitvi.

2. Diskriminant je nič. Potem imate eno rešitev. Strogo gledano, to ni en sam koren, ampak dva enaka. Toda to igra vlogo pri neenakostih, kjer bomo to vprašanje podrobneje preučili.

3. Diskriminant je negativen. Negativno število ne vzame kvadratnega korena. No, v redu. To pomeni, da ni rešitev.

Vse je zelo preprosto. In kaj mislite, da ne morete zgrešiti? No ja, kako...
Najpogostejše napake so zamenjava z znaki vrednot a, b in c. Oziroma ne z njihovimi znaki (kje se je tu zmedti?), ampak z zamenjavo negativnih vrednosti v formulo za izračun korenin. Tukaj se shrani podroben zapis formule z določenimi številkami. Če obstajajo težave z izračuni, torej naredi!

Recimo, da moramo rešiti naslednji primer:

tukaj a = -6; b = -5; c=-1

Recimo, da veste, da prvič le redko dobite odgovore.

No, ne bodi len. Za pisanje dodatne vrstice bo trajalo 30 sekund in število napak bo močno padel. Zato pišemo podrobno, z vsemi oklepaji in znaki:

Zdi se, da je tako skrbno slikati neverjetno težko. Ampak se samo zdi. Poskusi. No ali pa izberi. Kaj je bolje, hitro ali prav? Poleg tega te bom osrečil. Čez nekaj časa ne bo treba vsega tako skrbno barvati. Ravno prav se bo izšlo. Še posebej, če uporabljate praktične tehnike, ki so opisane spodaj. Ta zlobni primer s kopico minusov bo rešen enostavno in brez napak!

torej kako rešiti kvadratne enačbe skozi diskriminant, ki smo se ga spomnili. Ali naučeno, kar je tudi dobro. Ali lahko pravilno prepoznate a, b in c. Ali veste kako previdno jih nadomestimo v korensko formulo in previdno preštejte rezultat. Ali ste razumeli, da je ključna beseda tukaj - previdno?

Vendar so kvadratne enačbe pogosto videti nekoliko drugače. Na primer, takole:

to nepopolne kvadratne enačbe . Lahko jih rešimo tudi z diskriminantom. Samo pravilno morate ugotoviti, kaj je tukaj enako a, b in c.

Uresničeno? V prvem primeru a = 1; b = -4; a c? Sploh ne obstaja! No, ja, tako je. V matematiki to pomeni, da c = 0 ! To je vse. Namesto tega v formulo nadomestite nič c, in vse se nam bo izšlo. Podobno z drugim primerom. Samo nič tukaj nimamo Z, a b !

Toda nepopolne kvadratne enačbe je mogoče rešiti veliko lažje. Brez kakršnekoli diskriminacije. Razmislite o prvi nepopolni enačbi. Kaj je mogoče storiti na levi strani? X lahko vzamete iz oklepajev! Vzemimo ga ven.

In kaj od tega? In dejstvo, da je produkt enak nič, če in samo če je kateri koli faktor enak nič! Ne verjameš? No, potem si izmislite dve številki, ki ni nič, ki bosta po množenju dali nič!
Ne deluje? nekaj ...
Zato lahko samozavestno zapišemo: x = 0, oz x = 4

Vse. To bodo korenine naše enačbe. Oba sta primerna. Ko katero koli od njih nadomestimo v izvirno enačbo, dobimo pravilno identiteto 0 = 0. Kot vidite, je rešitev veliko enostavnejša kot prek diskriminanta.

Tudi drugo enačbo je mogoče enostavno rešiti. Premikamo 9 na desno stran. Dobimo:

Ostaja še izvleči koren iz 9 in to je to. Pridobite:

tudi dve korenini . x = +3 in x = -3.

Tako se rešujejo vse nepopolne kvadratne enačbe. Tako, da vzamete X iz oklepajev, ali pa preprosto prenesete številko na desno, čemur sledi izvleček korena.
Te metode je zelo težko zamenjati. Preprosto zato, ker boste morali v prvem primeru izvleči koren iz X, kar je nekako nerazumljivo, v drugem primeru pa ni ničesar vzeti iz oklepajev ...

Zdaj si oglejte praktične tehnike, ki dramatično zmanjšajo število napak. Prav tiste, ki so posledica nepazljivosti ... za kar je potem boleče in žaljivo ...

Prvi sprejem. Ne bodite leni, preden rešite kvadratno enačbo, da jo spravite v standardno obliko. Kaj to pomeni?
Recimo, da po kateri koli transformaciji dobite naslednjo enačbo:

Ne hitite s pisanjem formule korenin! Skoraj zagotovo boste pomešali možnosti a, b in c. Zgradite primer pravilno. Najprej x na kvadrat, nato brez kvadrata, nato prosti član. Všečkaj to:

In še enkrat, ne hitite! Minus pred x na kvadrat vas lahko zelo razburi. Pozabiti je enostavno ... Znebite se minusa. Kako? Ja, kot je bilo učeno v prejšnji temi! Celotno enačbo moramo pomnožiti z -1. Dobimo:

In zdaj lahko varno zapišete formulo za korenine, izračunate diskriminanto in dokončate primer. Odločite se sami. Na koncu bi morali imeti korenine 2 in -1.

Drugi sprejem. Preverite svoje korenine! Po Vietinem izreku. Brez skrbi, vse ti bom razložil! Preverjanje zadnja stvar enačbo. tiste. tisti, s katerim smo zapisali formulo korenin. Če (kot v tem primeru) koeficient a = 1, enostavno preverite korenine. Dovolj je, da jih pomnožite. Dobiti bi moral brezplačen termin, tj. v našem primeru -2. Bodite pozorni, ne 2, ampak -2! brezplačni član s svojim znakom . Če se ni izšlo, pomeni, da so se že nekje zapletli. Poiščite napako. Če se je izšlo, morate zložiti korenine. Zadnji in končni pregled. Moralo bi biti razmerje b Z nasprotno znak. V našem primeru -1+2 = +1. Koeficient b, ki je pred x, je enako -1. Torej, vse je prav!
Škoda, da je tako preprosto le za primere, kjer je x na kvadrat čist, s koeficientom a = 1. Toda vsaj preverite takšne enačbe! Manj bo napak.

Sprejem tretji. Če ima vaša enačba ulomne koeficiente, se znebite ulomkov! Enačbo pomnožite s skupnim imenovalcem, kot je opisano v prejšnjem razdelku. Pri delu z ulomki se napake iz nekega razloga vzpenjajo ...

Mimogrede, obljubil sem zlobni primer s kopico minusov za poenostavitev. Prosim! Tukaj je.

Da se ne bi zmedli v minusih, enačbo pomnožimo z -1. Dobimo:

To je vse! Odločanje je zabavno!

Torej, povzamemo temo.

Praktični nasveti:

1. Pred reševanjem pripeljemo kvadratno enačbo v standardno obliko, jo zgradimo prav.

2. Če je pred x v kvadratu negativen koeficient, ga odpravimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z -1.

3. Če so koeficienti ulomki, ulomke izločimo tako, da celotno enačbo pomnožimo z ustreznim faktorjem.

4. Če je x na kvadrat čist, koeficient zanj je enak eni, rešitev zlahka preverimo z Vietovim izrekom. Naredi!

Frakcijske enačbe. ODZ.

Nadaljujemo z obvladovanjem enačb. Z linearnimi in kvadratnimi enačbami že znamo delati. Zadnji pogled ostaja ulomne enačbe. Ali pa se imenujejo tudi veliko bolj trdni - ulomne racionalne enačbe. To je isto.

Frakcijske enačbe.

Kot pove že ime, te enačbe nujno vsebujejo ulomke. Ampak ne samo ulomki, ampak ulomki, ki imajo neznano v imenovalcu. Vsaj v enem. Na primer:

Naj vas spomnim, če samo v imenovalcih številke, to so linearne enačbe.

Kako se odločiti ulomne enačbe? Najprej se znebite ulomkov! Po tem se enačba najpogosteje spremeni v linearno ali kvadratno. In potem vemo, kaj storiti... V nekaterih primerih se lahko spremeni v identiteto, kot je 5=5, ali v napačen izraz, kot je 7=2. Toda to se zgodi redko. Spodaj ga bom omenil.

Toda kako se znebiti ulomkov!? Zelo preprosto. Uporaba vseh enakih identičnih transformacij.

Celotno enačbo moramo pomnožiti z istim izrazom. Tako, da se vsi imenovalci zmanjšajo! Vse bo takoj postalo lažje. Pojasnim s primerom. Recimo, da moramo rešiti enačbo:

Kako so jih učili v osnovni šoli? Vse prenesemo v eno smer, zmanjšamo na skupni imenovalec itd. Pozabite, kako slabe sanje! To morate storiti, ko seštevate ali odštevate ulomne izraze. Ali pa delajte z neenakostmi. In v enačbah oba dela takoj pomnožimo z izrazom, ki nam bo dal možnost, da zmanjšamo vse imenovalce (tj. v bistvu s skupnim imenovalcem). In kaj je ta izraz?

Na levi strani, da zmanjšate imenovalec, morate pomnožiti z x+2. In na desni je potrebno množenje z 2. Torej je treba enačbo pomnožiti z 2(x+2). Pomnožimo:

To je običajno množenje ulomkov, vendar bom podrobno napisal:

Upoštevajte, da oklepaja še ne odpiram. (x + 2)! Torej v celoti pišem:

Na levi strani se v celoti zmanjša (x+2), na desni pa 2. Po potrebi! Po zmanjšanju dobimo linearna enačba:

To enačbo lahko reši vsak! x = 2.

Rešimo še en primer, malo bolj zapleten:

Če se spomnimo, da je 3 = 3/1, in 2x = 2x/ 1 se lahko zapiše:

In spet se znebimo tistega, kar nam v resnici ni všeč - iz ulomkov.

Vidimo, da je za zmanjšanje imenovalca z x potrebno ulomek pomnožiti z (x - 2). In enote nam niso ovira. No, pomnožimo. vse levo stran in vse desna stran:

Spet oklepaji (x - 2) ne razkrivam. Z nosilcem delam kot celoto, kot da bi bila ena številka! To je treba vedno storiti, sicer se ne bo nič zmanjšalo.

Z občutkom globokega zadovoljstva sekamo (x - 2) in dobimo enačbo brez ulomkov, v ravnilu!

In zdaj odpremo oklepaje:

Damo podobne, vse prenesemo na levo stran in dobimo:

Klasična kvadratna enačba. Toda minus naprej ni dober. Vedno se ga lahko znebite tako, da pomnožite ali delite z -1. Toda če natančno pogledate primer, boste opazili, da je to enačbo najbolje deliti z -2! V enem zamahu bo minus izginil, koeficienti pa bodo postali lepši! Delimo z -2. Na levi strani - izraz za členom in na desni - samo delite nič z -2, nič in dobite:

Rešujemo preko diskriminanta in preverjamo po Vietovem izreku. Dobimo x=1 in x=3. Dve korenini.

Kot lahko vidite, je v prvem primeru enačba po transformaciji postala linearna, tukaj pa je kvadratna. Zgodi se, da se po odstranitvi ulomkov vsi x zmanjšajo. Nekaj ​​je ostalo, na primer 5=5. To pomeni, da x je lahko karkoli. Karkoli že bo, se bo še vedno zmanjšalo. In dobimo čisto resnico, 5=5. Toda, ko se znebite ulomkov, se lahko izkaže, da je popolnoma neresnično, na primer 2=7. In to pomeni to nobenih rešitev! S katerim koli x se izkaže za napačno.

Ugotovil glavni način reševanja ulomne enačbe? Je preprosto in logično. Prvotni izraz spremenimo tako, da izgine vse, kar nam ni všeč. Ali se vmešava. V tem primeru gre za ulomke. Enako bomo storili z vsemi vrstami zapletenih primerov z logaritmi, sinusi in drugimi grozotami. mi nenehno vsega tega se bomo znebili.

Vendar moramo prvotni izraz spremeniti v smeri, ki jo potrebujemo v skladu s pravili, ja ... Razvoj katerega je priprava na izpit iz matematike. Tukaj se učimo.

Zdaj se bomo naučili, kako zaobiti enega od glavne zasede na izpitu! Toda najprej poglejmo, ali padeš vanj ali ne?

Vzemimo preprost primer:

Zadeva je že znana, oba dela pomnožimo s (x - 2), dobimo:

Ne pozabite, z oklepaji (x - 2) delamo kot z enim, integralnim izrazom!

Tukaj nisem več pisal tistega v imenovalce, nedostojen je ... In v imenovalnike nisem vrisal oklepajev, razen x - 2 nič ni, ne moreš risati. Skrajšamo:

Odpremo oklepaje, vse premaknemo v levo, damo podobne:

Rešimo, preverimo, dobimo dva korena. x = 2 in x = 3. Odlično.

Recimo, da naloga pravi, da zapišemo koren ali njihovo vsoto, če je korenov več. Kaj bomo napisali?

Če se odločite, da je odgovor 5, vi so bili ujeti v zasedo. In naloga vam ne bo štela. Delali so zaman ... Pravilen odgovor je 3.

Kaj je narobe?! In poskusite preveriti. Zamenjajte vrednosti neznanega v izvirno primer. In če pri x = 3 vse skupaj čudovito raste, dobimo 9 = 9, nato s x = 2 delimo z nič! Česa se absolutno ne da narediti. Pomeni x = 2 ni rešitev in se pri odgovoru ne upošteva. To je tako imenovana tuja ali dodatna korenina. Samo zavržemo. Obstaja samo ena končna korenina. x = 3.

Kako to?! Slišim ogorčene vzklike. Učili so nas, da je enačbo mogoče pomnožiti z izrazom! To je ista preobrazba!

Ja, identično. Pod majhnim pogojem - izraz, s katerim pomnožimo (delimo) - drugačen od nič. AMPAK x - 2 pri x = 2 enako nič! Torej je vse pošteno.

In kaj lahko zdaj naredim?! Ne množite z izrazom? Ali vsakič preveriš? Spet nejasno!

Umirjeno! Brez panike!

V tej težki situaciji nas bodo rešile tri čarobne črke. Vem, kaj si mislil. Pravilno! to ODZ . Območje veljavnih vrednosti.

Uporaba enačb je v našem življenju zelo razširjena. Uporabljajo se pri številnih izračunih, gradnji konstrukcij in celo športu. Enačbe je človek uporabljal že od antičnih časov, od takrat pa se je njihova uporaba le še povečevala. Diskriminant vam omogoča reševanje vseh kvadratnih enačb s splošno formulo, ki ima naslednjo obliko:

Diskriminantna formula je odvisna od stopnje polinoma. Zgornja formula je primerna za reševanje kvadratnih enačb naslednje oblike:

Diskriminant ima naslednje lastnosti, ki jih morate vedeti:

* "D" je 0, če ima polinom več korenin (enake korenine);

* "D" je simetričen polinom glede na korenine polinoma in je zato polinom v svojih koeficientih; poleg tega so koeficienti tega polinoma cela števila, ne glede na razširitev, v kateri so vzeti koreni.

Recimo, da imamo kvadratno enačbo naslednje oblike:

1 enačba

Po formuli imamo:

Ker ima \, potem ima enačba 2 korena. Opredelimo jih:

Kje lahko rešim enačbo prek diskriminantnega spletnega reševalca?

Enačbo lahko rešite na naši spletni strani https://site. Brezplačni spletni reševalec vam bo omogočil, da v nekaj sekundah rešite spletno enačbo katere koli zapletenosti. Vse kar morate storiti je, da vnesete svoje podatke v reševalec. Na naši spletni strani si lahko ogledate tudi video navodila in se naučite reševati enačbo. Če imate kakršna koli vprašanja, jih lahko postavite v naši skupini Vkontakte http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se naši skupini, vedno vam z veseljem pomagamo.

Naloge za kvadratno enačbo se preučujejo tako v šolskem kurikulumu kot na univerzah. Razumemo jih kot enačbe oblike a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kjer je x- spremenljivka, a,b,c – konstante; a<>0 . Težava je najti korenine enačbe.

Geometrijski pomen kvadratne enačbe

Graf funkcije, ki jo predstavlja kvadratna enačba, je parabola. Rešitve (korenine) kvadratne enačbe so presečišča parabole z osjo x. Iz tega sledi, da so možni trije primeri:
1) parabola nima presečišča z osjo x. To pomeni, da je v zgornji ravnini z vejami navzgor ali spodnji z vejami navzdol. V takih primerih kvadratna enačba nima realnih korenin (ima dve kompleksni koreni).

2) parabola ima eno točko preseka z osjo Ox. Takšna točka se imenuje oglišče parabole in kvadratna enačba v njej pridobi svojo najmanjšo ali največjo vrednost. V tem primeru ima kvadratna enačba en pravi koren (ali dva enaka korena).

3) Zadnji primer je v praksi bolj zanimiv - obstajata dve točki presečišča parabole z osjo abscise. To pomeni, da obstajata dve realni koreni enačbe.

Na podlagi analize koeficientov pri potencih spremenljivk lahko potegnemo zanimive zaključke o postavitvi parabole.

1) Če je koeficient a večji od nič, je parabola usmerjena navzgor, če je negativna, so veje parabole usmerjene navzdol.

2) Če je koeficient b večji od nič, potem leži vrh parabole v levi polravnini, če ima negativno vrednost, potem v desni.

Izpeljava formule za reševanje kvadratne enačbe

Prenesimo konstanto iz kvadratne enačbe

za znak enakosti dobimo izraz

Obe strani pomnožite s 4a

Če želite dobiti cel kvadrat na levi, dodajte b ^ 2 v oba dela in izvedite transformacijo

Od tu najdemo

Formula diskriminante in korenine kvadratne enačbe

Diskriminanta je vrednost radikalnega izraza. Če je pozitivna, ima enačba dva realna korena, izračunana po formuli Ko je diskriminanta nič, ima kvadratna enačba eno rešitev (dve sovpadajoči koreni), kar je enostavno dobiti iz zgornje formule za D = 0. Ko je diskriminanta negativna, ni pravih korenin. Vendar pa se za preučevanje rešitev kvadratne enačbe v kompleksni ravnini njihova vrednost izračuna po formuli

Vietin izrek

Razmislite o dveh koreninah kvadratne enačbe in na njuni podlagi sestavite kvadratno enačbo. Sam Vietin izrek zlahka sledi iz zapisa: če imamo kvadratno enačbo oblike potem je vsota njenih korenov enaka koeficientu p, vzetemu z nasprotnim predznakom, in je produkt korenov enačbe enak prostemu členu q. Formula za zgoraj bo videti tako, kot Če konstanta a v klasični enačbi ni nič, potem morate celotno enačbo deliti z njo in nato uporabiti Vietin izrek.

Razpored kvadratne enačbe na faktorjih

Naj bo postavljena naloga: razstaviti kvadratno enačbo na faktorje. Za izvedbo najprej rešimo enačbo (poiščemo korenine). Nato najdene korenine nadomestimo v formulo za razširitev kvadratne enačbe.Ta problem bo rešen.

Naloge za kvadratno enačbo

1. naloga. Poiščite korenine kvadratne enačbe

x^2-26x+120=0 .

Rešitev: Zapišite koeficiente in jih nadomestite z diskriminantno formulo

Koren te vrednosti je 14, enostavno ga je najti s kalkulatorjem ali si ga zapomniti ob pogosti uporabi, vendar vam bom zaradi udobja na koncu članka dal seznam kvadratov števil, ki jih je pogosto mogoče najdemo pri takih nalogah.
Najdena vrednost se nadomesti v korensko formulo

in dobimo

2. naloga. reši enačbo

2x2+x-3=0.

Rešitev: Imamo popolno kvadratno enačbo, izpišemo koeficiente in poiščemo diskriminanta


S pomočjo dobro znanih formul najdemo korenine kvadratne enačbe

3. naloga. reši enačbo

9x2 -12x+4=0.

Rešitev: Imamo popolno kvadratno enačbo. Določite diskriminanto

Dobili smo primer, ko korenine sovpadajo. Vrednosti korenov najdemo po formuli

4. naloga. reši enačbo

x^2+x-6=0 .

Rešitev: V primerih, ko so koeficienti za x majhni, je priporočljivo uporabiti Vietin izrek. Glede na njegov pogoj dobimo dve enačbi

Iz drugega pogoja dobimo, da mora biti produkt enak -6. To pomeni, da je ena od korenin negativna. Imamo naslednji možni par rešitev(-3;2), (3;-2) . Ob upoštevanju prvega pogoja zavrnemo drugi par rešitev.
Korenine enačbe so

5. naloga. Poišči dolžine stranic pravokotnika, če je njegov obseg 18 cm, površina pa 77 cm 2.

Rešitev: polovica oboda pravokotnika je enaka vsoti sosednjih stranic. Označimo x - večjo stran, nato pa je 18-x njena manjša stran. Površina pravokotnika je enaka zmnožku teh dolžin:
x(18x)=77;
oz
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Poiščite diskriminanto enačbe

Izračunamo korenine enačbe

Če x=11, potem 18x=7, velja tudi obratno (če je x=7, potem je 21-x=9).

Problem 6. Faktorizirajte kvadratno enačbo 10x 2 -11x+3=0.

Rešitev: Izračunajte korenine enačbe, za to najdemo diskriminanta

Najdeno vrednost nadomestimo v formulo korenin in izračunamo

Uporabimo formulo za razširitev kvadratne enačbe v smislu korenin

Če razširimo oklepaje, dobimo identiteto.

Kvadratna enačba s parametrom

Primer 1. Za katere vrednosti parametra a , ali ima enačba (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 en koren?

Rešitev: Z neposredno zamenjavo vrednosti a=3 vidimo, da nima rešitve. Nadalje bomo uporabili dejstvo, da ima enačba z ničelnim diskriminantom en koren večkratnosti 2. Izpišimo diskriminant

poenostavimo in izenačimo z nič

Dobili smo kvadratno enačbo glede na parameter a, katere rešitev je enostavno dobiti z uporabo Vietovega izreka. Vsota korenin je 7, njihov zmnožek pa 12. S preprostim naštevanjem ugotovimo, da bodo številke 3.4 korenine enačbe. Ker smo rešitev a=3 že na začetku izračunov zavrnili, bo edina pravilna - a=4. Tako ima enačba za a = 4 en koren.

Primer 2. Za katere vrednosti parametra a , enačbo a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ima več kot en koren?

Rešitev: Najprej razmislite o singularnih točkah, to bo vrednosti a=0 in a=-3. Ko je a=0, bo enačba poenostavljena na obliko 6x-9=0; x=3/2 in bo en koren. Za a= -3 dobimo identiteto 0=0.
Izračunaj diskriminanto

in poiščite vrednosti a, za katere je pozitiven

Iz prvega pogoja dobimo a>3. Za drugo najdemo diskriminanto in korenine enačbe


Določimo intervale, kjer funkcija zavzame pozitivne vrednosti. Z zamenjavo točke a=0 dobimo 3>0 . Torej, zunaj intervala (-3; 1/3) je funkcija negativna. Ne pozabite na piko a=0 kar je treba izključiti, saj ima izvirna enačba en koren.
Kot rezultat dobimo dva intervala, ki izpolnjujeta pogoj problema

Podobnih nalog bo v praksi veliko, poskusite se z nalogami ukvarjati sami in ne pozabite upoštevati pogojev, ki se med seboj izključujejo. Dobro preučite formule za reševanje kvadratnih enačb, pogosto so potrebne pri izračunih v različnih problemih in znanostih.

Kvadratna enačba - enostavno rešiti! *Dalje v besedilu "KU". Prijatelji, zdi se, da je v matematiki lahko lažje kot reševanje takšne enačbe. Nekaj ​​pa mi je govorilo, da ima veliko ljudi težave z njim. Odločil sem se, da vidim, koliko prikazov Yandex daje na zahtevo na mesec. Evo, kaj se je zgodilo, poglejte:

Kaj to pomeni? To pomeni, da približno 70.000 ljudi na mesec išče te podatke, in to je poletje, in kaj se bo dogajalo med šolskim letom – zahtev bo dvakrat več. To ni presenetljivo, saj tisti fantje in dekleta, ki so že dolgo končali šolo in se pripravljajo na izpit, iščejo te informacije, šolarji pa si tudi poskušajo osvežiti spomin.

Kljub temu, da obstaja veliko spletnih mest, ki govorijo, kako rešiti to enačbo, sem se odločil, da tudi prispevam in objavim gradivo. Prvič, želim, da obiskovalci pridejo na moje spletno mesto na to zahtevo; drugič, v drugih člankih, ko se pojavi govor "KU", bom dal povezavo do tega članka; tretjič, povedal vam bom nekaj več o njegovi rešitvi, kot je običajno navedeno na drugih straneh. Začnimo! Vsebina članka:

Kvadratna enačba je enačba v obliki:

kjer so koeficienti a,bin s poljubnimi številkami z a≠0.

V šolskem tečaju je snov podana v naslednji obliki - pogojno se izvede razdelitev enačb v tri razrede:

1. Imeti dve korenini.

2. * Imeti samo en koren.

3. Brez korenin. Tukaj je vredno omeniti, da nimajo pravih korenin

Kako se izračunajo korenine? Samo!

Izračunamo diskriminanto. Pod to "grozno" besedo se skriva zelo preprosta formula:

Korenske formule so naslednje:

*Te formule je treba poznati na pamet.

Takoj lahko zapišete in se odločite:

Primer:

1. Če je D > 0, ima enačba dva korena.

2. Če je D = 0, ima enačba en koren.

3. Če D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Poglejmo enačbo:

Ob tej priložnosti, ko je diskriminanta nič, šolski tečaj pravi, da je pridobljen en koren, tukaj je enak devet. Tako je, ampak ...

Ta predstavitev je nekoliko napačna. Pravzaprav obstajata dve korenini. Da, da, ne bodite presenečeni, izkaže se dva enaka korena, in če smo matematično natančni, je treba v odgovor zapisati dve korenini:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ampak to je tako - majhna digresija. V šoli lahko zapišete in rečete, da je samo en koren.

Zdaj pa naslednji primer:

Kot vemo, se koren negativnega števila ne izloči, zato v tem primeru ni rešitve.

To je celoten proces odločanja.

Kvadratna funkcija.

Takole je rešitev videti geometrijsko. To je izjemno pomembno razumeti (v prihodnosti bomo v enem od člankov podrobno analizirali rešitev kvadratne neenakosti).

To je funkcija obrazca:

kjer sta x in y spremenljivki

a, b, c so podane številke, kjer je a ≠ 0

Graf je parabola:

To pomeni, da se izkaže, da z reševanjem kvadratne enačbe z "y" enako nič najdemo presečne točke parabole z osjo x. Ti točki sta lahko dve (diskriminanta je pozitivna), ena (diskriminanta je nič) ali nobena (diskriminanta je negativna). Več o kvadratni funkciji Lahko si ogledatečlanek Inne Feldman.

Razmislite o primerih:

Primer 1: Odločite se 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = -12

* Levo in desno stran enačbe lahko takoj razdelite z 2, torej jo poenostavite. Izračuni bodo lažji.

2. primer: Odloči se x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dobili smo, da je x 1 = 11 in x 2 = 11

V odgovoru je dovoljeno zapisati x = 11.

Odgovor: x = 11

3. primer: Odloči se x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminant je negativen, v realnih številkah ni rešitve.

Odgovor: ni rešitve

Diskriminant je negativen. Obstaja rešitev!

Tukaj bomo govorili o reševanju enačbe v primeru, ko dobimo negativni diskriminant. Ali veš kaj o kompleksnih številkah? Tukaj se ne bom spuščal v podrobnosti, zakaj in kje so nastali ter kakšna je njihova posebna vloga in nujnost v matematiki, to je tema za velik ločen članek.

Koncept kompleksnega števila.

Malo teorije.

Kompleksno število z je število v obliki

z = a + bi

kjer sta a in b realni števili, i je tako imenovana imaginarna enota.

a+bi je ENA ŠTEVILKA, ne seštevek.

Namišljena enota je enaka korenu minus ena:

Zdaj razmislite o enačbi:

Pridobite dve konjugirani koreni.

Nepopolna kvadratna enačba.

Razmislite o posebnih primerih, ko je koeficient "b" ali "c" enak nič (ali pa sta oba enaka nič). Rešujejo se enostavno brez diskriminatorjev.

Primer 1. Koeficient b = 0.

Enačba ima obliko:

Preobrazimo:

Primer:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Primer 2. Koeficient c = 0.

Enačba ima obliko:

Transformiraj, faktoriziraj:

*Promnožek je enak nič, če je vsaj eden od faktorjev enak nič.

Primer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ali x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Primer 3. Koeficienta b = 0 in c = 0.

Tukaj je jasno, da bo rešitev enačbe vedno x = 0.

Uporabne lastnosti in vzorci koeficientov.

Obstajajo lastnosti, ki omogočajo reševanje enačb z velikimi koeficienti.

ax 2 + bx+ c=0 enakost

a + b+ c = 0, potem

— če za koeficiente enačbe ax 2 + bx+ c=0 enakost

a+ z =b, potem

Te lastnosti pomagajo rešiti določeno vrsto enačbe.

Primer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Vsota koeficientov je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, torej

2. primer: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Enakost a+ z =b, pomeni

Pravilnosti koeficientov.

1. Če je v enačbi ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficient "b" (a 2 +1), koeficient "c" pa je številčno enak koeficientu "a", potem so njegove korenine

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 = -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Če je v enačbi ax 2 - bx + c \u003d 0 koeficient "b" (a 2 +1), koeficient "c" pa je številčno enak koeficientu "a", potem so njegove korenine

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Če je v enačbi ax 2 + bx - c = 0 koeficient "b" enako (a 2 – 1), in koeficient "c" številčno enak koeficientu "a", potem so njene korenine enake

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Če je v enačbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficient "b" enak (a 2 - 1), koeficient c pa je številčno enak koeficientu "a", potem so njegovi koreni enaki

sekira 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Primer. Razmislite o enačbi 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietin izrek.

Vietin izrek je poimenovan po slavnem francoskem matematiku Francoisu Vieti. Z uporabo Vietinega izreka lahko izrazimo vsoto in produkt korenov poljubnega KU v smislu njegovih koeficientov.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Če povzamemo, število 14 daje le 5 in 9. To sta korenine. Z določeno spretnostjo lahko z uporabo predstavljenega izreka številne kvadratne enačbe takoj ustno rešite.

Poleg tega Vietin izrek. priročno, ker po reševanju kvadratne enačbe na običajen način (skozi diskriminanto) lahko preverimo nastale korene. Priporočam, da to počnete ves čas.

NAČIN PRENOSA

Pri tej metodi se koeficient "a" pomnoži s prostim izrazom, kot da bi ga "prenesli" nanj, zato se imenuje način prenosa. Ta metoda se uporablja, ko je enostavno najti korenine enačbe z uporabo Vietinega izreka in, kar je najpomembneje, kadar je diskriminanta natančen kvadrat.

Če a± b+c≠ 0, potem se uporabi tehnika prenosa, na primer:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Glede na izrek Vieta v enačbi (2) je enostavno ugotoviti, da je x 1 = 10 x 2 = 1

Dobljene korenine enačbe je treba deliti z 2 (ker sta bila oba "vržena" iz x 2), dobimo

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Kakšna je utemeljitev? Poglejte, kaj se dogaja.

Diskriminante enačb (1) in (2) so:

Če pogledate korenine enačb, dobimo samo različne imenovalce, rezultat pa je odvisen natančno od koeficienta pri x 2:

Drugi (spremenjeni) koreni so 2-krat večji.

Zato rezultat delimo z 2.

*Če vržemo tri enake vrste, potem rezultat delimo s 3 itd.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

sq. ur-ie in izpit.

Na kratko bom povedal o njegovem pomenu – ODLOČATI BI MORALO hitro in brez razmišljanja, na pamet je treba poznati formule korenin in diskriminanta. Veliko nalog, ki so del nalog USE, se nanaša na reševanje kvadratne enačbe (vključno z geometrijskimi).

Kaj je vredno omeniti!

1. Oblika enačbe je lahko "implicitna". Možen je na primer naslednji vnos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ali 15x+42+9x 2 - 45x=0 ali 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga spraviti v standardno obliko (da se ne boste zmedli pri reševanju).

2. Ne pozabite, da je x neznana vrednost in jo lahko označimo s katero koli drugo črko – t, q, p, h in drugimi.