S tem videoposnetkom začnem serijo lekcij o sistemih enačb. Danes bomo govorili o reševanju sistemov linearnih enačb metoda dodajanja To je eden najpreprostejših načinov, a hkrati eden najučinkovitejših.

Metoda dodajanja je sestavljena iz treh preprostih korakov:

1. Poglejte sistem in izberite spremenljivko, ki ima enake (ali nasprotne) koeficiente v vsaki enačbi;
2. Izvedite algebraično odštevanje (za nasprotna števila - seštevanje) enačb drug od drugega in nato prinesite podobne člene;
3. Reši novo enačbo, ki jo dobimo po drugem koraku.

Če je vse opravljeno pravilno, bomo na izhodu dobili eno samo enačbo z eno spremenljivko- Ne bo težko rešiti. Nato ostane le zamenjati najdeni koren v izvirnem sistemu in dobiti končni odgovor.

Vendar v praksi ni tako preprosto. Za to je več razlogov:

• Reševanje enačb s seštevanjem pomeni, da morajo vse vrstice vsebovati spremenljivke z enakimi/nasprotnimi koeficienti. Kaj pa, če ta zahteva ni izpolnjena?
• Ne vedno, po tem seštevanju / odštevanju enačb na ta način, bomo dobili lepo konstrukcijo, ki jo je mogoče enostavno rešiti. Ali je mogoče nekako poenostaviti izračune in pospešiti izračune?

Če želite dobiti odgovor na ta vprašanja in se hkrati ukvarjati z nekaj dodatnimi tankočutnostmi, na katere mnogi študenti "padejo", si oglejte moj video vadnico:

S to lekcijo začnemo serijo predavanj o sistemih enačb. In začeli bomo z najpreprostejšimi, in sicer s tistimi, ki vsebujejo dve enačbi in dve spremenljivki. Vsak od njih bo linearen.

Sistemi so gradivo za 7. razred, vendar bo ta učna ura uporabna tudi za srednješolce, ki želijo okrepiti svoje znanje o tej temi.

Na splošno obstajata dve metodi za reševanje takšnih sistemov:

1. Metoda seštevanja;
2. Metoda izražanja ene spremenljivke v smislu druge.

Danes se bomo ukvarjali s prvo metodo – uporabili bomo metodo odštevanja in seštevanja. Toda za to morate razumeti naslednje dejstvo: ko imate dve ali več enačb, lahko vzamete kateri koli dve od njih in ju seštejete. Dodajajo se izraz za izrazom, t.j. K "X" se doda "X" in podane so podobne, "igre" do "iger" - spet so podane podobne in tisto, kar je desno od znaka enakosti, se doda tudi drug drugemu in podobne so tudi tam podano.

Rezultat takšnih mahinacij bo nova enačba, ki bo, če ima korenine, zagotovo med koreninami prvotne enačbe. Naša naloga je torej narediti odštevanje ali seštevanje tako, da bodisi $x$ bodisi $y$ izgineta.

Kako to doseči in katero orodje uporabiti za to - o tem bomo govorili zdaj.

Reševanje enostavnih problemov z metodo seštevanja

Tako se učimo uporabljati metodo seštevanja na primeru dveh preprostih izrazov.

Naloga št. 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Upoštevajte, da ima $y$ koeficient $-4$ v prvi enačbi in $+4$ v drugi. So si medsebojno nasprotni, zato je logično domnevati, da če jih seštejemo, se bodo v nastali količini "igre" medsebojno izničile. Dodamo in dobimo:

Rešimo najenostavnejšo konstrukcijo:

Super, našli smo X. Kaj zdaj z njim? Lahko ga nadomestimo s katero koli enačbo. Postavimo ga v prvo:

\[-4y=12\levo| :\levo(-4 \desno) \desno.\]

Odgovor: $\left(2;-3\right)$.

Naloga št. 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

Tukaj je situacija povsem podobna, le pri X-jih. Sestavimo jih skupaj:

Dobili smo najenostavnejšo linearno enačbo, rešimo jo:

Zdaj pa poiščimo $x$:

Odgovor: $\left(-3;3\right)$.

Pomembne točke

Torej, pravkar smo rešili dva preprosta sistema linearnih enačb z metodo seštevanja. Še enkrat ključne točke:

1. Če obstajajo nasprotni koeficienti za eno od spremenljivk, je treba v enačbo sešteti vse spremenljivke. V tem primeru bo eden od njih uničen.
2. Najdeno spremenljivko nadomestimo s katero koli enačbo sistema, da najdemo drugo.
3. Končni zapis odgovora je mogoče predstaviti na različne načine. Na primer, tako - $x=...,y=...$ ali v obliki koordinat točk - $\left(...;... \right)$. Druga možnost je boljša. Glavna stvar, ki si jo je treba zapomniti, je, da je prva koordinata $x$, druga pa $y$.
4. Pravilo, da se odgovor zapiše v obliki točkovnih koordinat, ni vedno uporabno. Na primer, ga ni mogoče uporabiti, če vloga spremenljivk ni $x$ in $y$, ampak na primer $a$ in $b$.

V naslednjih nalogah bomo obravnavali tehniko odštevanja, ko koeficienti niso nasprotni.

Reševanje enostavnih nalog z metodo odštevanja

Naloga št. 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Upoštevajte, da tukaj ni nasprotnih koeficientov, so pa enaki. Zato od prve enačbe odštejemo drugo enačbo:

Zdaj zamenjamo vrednost $x$ v katero koli enačbo sistema. Gremo najprej:

Odgovor: $\left(2;5\right)$.

Naloga št. 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Spet vidimo isti koeficient $5$ za $x$ v prvi in ​​drugi enačbi. Zato je logično domnevati, da morate od prve enačbe odšteti drugo:

Izračunali smo eno spremenljivko. Zdaj pa poiščimo drugo, na primer tako, da vrednost $y$ nadomestimo z drugo konstrukcijo:

Odgovor: $\left(-3;-2 \right)$.

Nianse rešitve

Kaj torej vidimo? V bistvu se shema ne razlikuje od rešitve prejšnjih sistemov. Edina razlika je v tem, da enačb ne seštevamo, ampak jih odštevamo. Delamo algebraično odštevanje.

Z drugimi besedami, takoj ko vidite sistem, sestavljen iz dveh enačb z dvema neznankama, morate najprej pogledati koeficiente. Če so kjer koli enake, se enačbe odštejejo, če pa so nasprotne, se uporabi metoda seštevanja. To se vedno naredi tako, da eden od njih izgine, v končni enačbi, ki ostane po odštevanju, pa bi ostala le ena spremenljivka.

Seveda to še ni vse. Zdaj bomo obravnavali sisteme, v katerih so enačbe na splošno nekonsistentne. tiste. v njih ni takih spremenljivk, ki bi bile ali enake ali nasprotne. V tem primeru se za reševanje takšnih sistemov uporablja dodatna tehnika, in sicer množenje vsake enačbe s posebnim koeficientom. Kako ga najti in kako na splošno rešiti takšne sisteme, bomo zdaj govorili o tem.

Reševanje nalog z množenjem s koeficientom

Primer #1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vidimo, da niti za $x$ niti za $y$ koeficienta nista le medsebojno nasprotna, ampak na splošno ne korelirata z drugo enačbo. Ti koeficienti nikakor ne bodo izginili, tudi če enačbe seštejemo ali odštejemo. Zato je treba uporabiti množenje. Poskusimo se znebiti spremenljivke $y$. Da bi to naredili, pomnožimo prvo enačbo s koeficientom $y$ iz druge enačbe, drugo enačbo pa s koeficientom $y$ iz prve enačbe, ne da bi spremenili predznak. Pomnožimo in dobimo nov sistem:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Poglejmo si: za $y$ nasprotni koeficienti. V takšni situaciji je treba uporabiti metodo dodajanja. dodajmo še:

Zdaj moramo najti $y$. Če želite to narediti, nadomestite $x$ v prvem izrazu:

\[-9y=18\levo| :\levo(-9 \desno) \desno.\]

Odgovor: $\left(4;-2\right)$.

Primer #2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Spet koeficienti za nobeno od spremenljivk niso skladni. Pomnožimo s koeficienti pri $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Naš novi sistem je enak prejšnjemu, vendar so koeficienti $y$ medsebojno nasprotni, zato je tukaj enostavno uporabiti metodo seštevanja:

Zdaj poiščite $y$ tako, da v prvo enačbo nadomestite $x$:

Odgovor: $\left(-2;1\right)$.

Nianse rešitve

Ključno pravilo tukaj je naslednje: vedno pomnožite samo s pozitivnimi številkami - to vas bo rešilo pred neumnimi in žaljivimi napakami, povezanimi s spreminjanjem znakov. Na splošno je shema rešitev precej preprosta:

1. Pogledamo sistem in analiziramo vsako enačbo.
2. Če vidimo, da niti za $y$ niti za $x$ koeficienta nista konsistentna, t.j. niso niti enaki niti nasprotni, potem naredimo naslednje: izberemo spremenljivko, ki se je želimo znebiti, in nato pogledamo koeficiente v teh enačbah. Če prvo enačbo pomnožimo s koeficientom iz druge in drugo, ki ustreza, pomnožimo s koeficientom iz prve, potem bomo na koncu dobili sistem, ki je popolnoma enak prejšnjemu, in koeficienti pri $ y$ bo skladen. Vsa naša dejanja ali transformacije so namenjena samo pridobivanju ene spremenljivke v eni enačbi.
3. Najdemo eno spremenljivko.
4. Najdeno spremenljivko nadomestimo v eno od dveh enačb sistema in poiščemo drugo.
5. Odgovor zapišemo v obliki koordinat točk, če imamo spremenljivki $x$ in $y$.

Toda tudi tako preprost algoritem ima svoje posebnosti, na primer, koeficienti $x$ ali $y$ so lahko ulomki in druga "grda" števila. Zdaj bomo te primere obravnavali ločeno, saj lahko v njih ravnate na nekoliko drugačen način kot po standardnem algoritmu.

Reševanje nalog z ulomnimi števili

Primer #1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Najprej upoštevajte, da druga enačba vsebuje ulomke. Vendar upoštevajte, da lahko 4 $ delite z 0,8 $. Dobimo 5 $. Pomnožimo drugo enačbo s 5 $:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(align) \right.\]

enačbe odštejemo ena od druge:

$n$ smo našli, zdaj izračunamo $m$:

Odgovor: $n=-4;m=5$

Primer #2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ prav.\]

Tu, tako kot v prejšnjem sistemu, obstajajo ulomni koeficienti, vendar se za nobeno od spremenljivk koeficienti ne prilegajo drug drugemu za celo število. Zato uporabljamo standardni algoritem. Znebite se $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12,5k=5 \\\end(align) \right.\]

Uporabimo metodo odštevanja:

Najdemo $p$ tako, da zamenjamo $k$ v drugi konstrukt:

Odgovor: $p=-4;k=-2$.

Nianse rešitve

To je vse optimizacija. V prvi enačbi sploh nismo pomnožili z ničemer, drugo enačbo pa smo pomnožili s 5$. Kot rezultat, smo dobili konsistentno in celo enako enačbo za prvo spremenljivko. V drugem sistemu smo delovali po standardnem algoritmu.

Toda kako najti številke, s katerimi morate pomnožiti enačbe? Konec koncev, če pomnožimo z ulomnimi števili, dobimo nove ulomke. Zato je treba ulomke pomnožiti s številom, ki bi dalo novo celo število, nato pa je treba spremenljivke pomnožiti s koeficienti po standardnem algoritmu.

Za zaključek bi vas rad opozoril na obliko zapisnika o odgovorih. Kot sem že rekel, ker tukaj nimamo $x$ in $y$, ampak druge vrednosti, uporabljamo nestandardni zapis oblike:

Reševanje kompleksnih sistemov enačb

Kot zadnji dotik današnje video vadnice si oglejmo nekaj res zapletenih sistemov. Njihova kompleksnost bo v tem, da bodo vsebovali spremenljivke tako na levi kot na desni. Zato bomo morali za njihovo reševanje uporabiti predobdelavo.

Sistem št. 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \desno )-1=5\levo(2x-1 \desno)+8 \\\end(poravnaj) \desno.\]

Vsaka enačba ima določeno kompleksnost. Zato z vsakim izrazom ravnamo kot z običajno linearno konstrukcijo.

Skupno dobimo končni sistem, ki je enakovreden prvotnemu:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Poglejmo si koeficiente $y$: $3$ dvakrat ustreza $6$, zato prvo enačbo pomnožimo z $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Koeficienti $y$ so zdaj enaki, zato od prve enačbe odštejemo drugo: $$

Zdaj pa poiščimo $y$:

Odgovor: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistem #2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\levo(a-5 \desno)+b \\\end(poravnaj) \desno.\]

Pretvorimo prvi izraz:

Opravimo se z drugim:

\[-3\left(b-2a \desno)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

Skupno bo naš začetni sistem imel naslednjo obliko:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Če pogledamo koeficiente $a$, vidimo, da je treba prvo enačbo pomnožiti z $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Od prve konstrukcije odštejemo drugo:

Zdaj poiščite $a$:

Odgovor: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \desno)$.

To je vse. Upam, da vam bo ta video vadnica pomagala razumeti to težko temo, in sicer reševanje sistemov preprostih linearnih enačb. V nadaljevanju bo na to temo še veliko lekcij: analizirali bomo bolj zapletene primere, kjer bo spremenljivk več, same enačbe pa bodo že nelinearne. Se vidiva kmalu!

Sistemi enačb se pogosto uporabljajo v gospodarski industriji pri matematičnem modeliranju različnih procesov. Na primer pri reševanju problemov vodenja in načrtovanja proizvodnje, logističnih poti (problem transporta) ali namestitve opreme.

Sistemi enačb se ne uporabljajo samo na področju matematike, temveč tudi v fiziki, kemiji in biologiji pri reševanju problemov iskanja velikosti populacije.

Sistem linearnih enačb je izraz za dve ali več enačb z več spremenljivkami, za katere je treba najti skupno rešitev. Takšno zaporedje števil, za katerega vse enačbe postanejo resnične enakosti ali dokažejo, da zaporedje ne obstaja.

Linearna enačba

Enačbe v obliki ax+by=c imenujemo linearne. Oznake x, y so neznanke, katerih vrednost je treba najti, b, a so koeficienti spremenljivk, c je prosti člen enačbe.
Rešitev enačbe z izrisom njenega grafa bo videti kot ravna črta, katere vse točke so rešitev polinoma.

Vrste sistemov linearnih enačb

Najpreprostejši so primeri sistemov linearnih enačb z dvema spremenljivkama X in Y.

F1(x, y) = 0 in F2(x, y) = 0, kjer so F1,2 funkcije in (x, y) so funkcijske spremenljivke.

Rešite sistem enačb - pomeni najti takšne vrednosti (x, y), za katere sistem postane prava enakost, ali ugotoviti, da ni ustreznih vrednosti x in y.

Par vrednosti (x, y), zapisan kot točkovne koordinate, se imenuje rešitev sistema linearnih enačb.

Če imajo sistemi eno skupno rešitev ali pa ni rešitve, se imenujejo enakovredni.

Homogeni sistemi linearnih enačb so sistemi, katerih desna stran je enaka nič. Če ima desni del za znakom "enako" vrednost ali je izražen s funkcijo, tak sistem ni homogen.

Število spremenljivk je lahko veliko več kot dve, potem bi morali govoriti o primeru sistema linearnih enačb s tremi ali več spremenljivkami.

Soočeni s sistemi šolarji domnevajo, da mora število enačb nujno sovpadati s številom neznank, vendar ni tako. Število enačb v sistemu ni odvisno od spremenljivk, lahko jih je poljubno veliko.

Enostavne in zapletene metode za reševanje sistemov enačb

Splošnega analitičnega načina reševanja takšnih sistemov ni, vse metode temeljijo na numeričnih rešitvah. Šolski tečaj matematike podrobno opisuje metode, kot so permutacija, algebraično seštevanje, substitucija, pa tudi grafična in matrična metoda, rešitev po Gaussovi metodi.

Glavna naloga pri poučevanju metod reševanja je naučiti, kako pravilno analizirati sistem in poiskati optimalen algoritem rešitve za vsak primer. Glavna stvar ni zapomniti sistema pravil in dejanj za vsako metodo, ampak razumeti načela uporabe določene metode.

Rešitev primerov sistemov linearnih enačb 7. razreda splošnoizobraževalnega šolskega programa je precej preprosta in je zelo podrobno razložena. V katerem koli učbeniku matematike je temu razdelku posvečeno dovolj pozornosti. Rešitev primerov sistemov linearnih enačb po Gaussovi in ​​Cramerjevi metodi je podrobneje preučena na prvih tečajih visokošolskih zavodov.

Rešitev sistemov po substitucijski metodi

Dejanja metode substitucije so usmerjena v izražanje vrednosti ene spremenljivke skozi drugo. Izraz se nadomesti v preostalo enačbo, nato pa se reducira v eno samo spremenljivo obliko. Dejanje se ponovi glede na število neznank v sistemu

Navedimo primer sistema linearnih enačb 7. razreda po substitucijski metodi:

Kot je razvidno iz primera, je bila spremenljivka x izražena s F(X) = 7 + Y. Nastali izraz, ki je bil zamenjan v 2. enačbo sistema namesto X, je pomagal dobiti eno spremenljivko Y v 2. enačbi . Rešitev tega primera ne povzroča težav in vam omogoča, da dobite vrednost Y. Zadnji korak je preverjanje dobljenih vrednosti.

Primera sistema linearnih enačb ni vedno mogoče rešiti s substitucijo. Enačbe so lahko zapletene in izraz spremenljivke v smislu druge neznanke bo preveč okoren za nadaljnje izračune. Kadar so v sistemu več kot 3 neznanke, je nadomestna rešitev tudi nepraktična.

Rešitev primera sistema linearnih nehomogenih enačb:

Rešitev z uporabo algebrskega seštevanja

Pri iskanju rešitve sistemov po metodi seštevanja se izvaja terminsko seštevanje in množenje enačb z različnimi števili. Končni cilj matematičnih operacij je enačba z eno spremenljivko.

Uporaba te metode zahteva prakso in opazovanje. Sistem linearnih enačb ni enostavno rešiti z metodo seštevanja s številom spremenljivk 3 ali več. Algebraično seštevanje je uporabno, če enačbe vsebujejo ulomke in decimalna števila.

Algoritem delovanja rešitve:

1. Pomnožite obe strani enačbe z neko številko. Kot rezultat aritmetične operacije mora eden od koeficientov spremenljivke postati enak 1.
2. Dobljeni izraz dodajte izraz za izrazom in poiščite eno od neznank.
3. Dobljeno vrednost nadomestite v 2. enačbo sistema, da poiščete preostalo spremenljivko.

Metoda rešitve z uvedbo nove spremenljivke

Novo spremenljivko lahko uvedemo, če mora sistem najti rešitev za največ dve enačbi, število neznank pa ne sme biti večje od dveh.

Metoda se uporablja za poenostavitev ene od enačb z uvedbo nove spremenljivke. Nova enačba je rešena glede na vneseno neznano, nastalo vrednost pa uporabi za določitev izvirne spremenljivke.

Iz primera je razvidno, da je bilo z uvedbo nove spremenljivke t mogoče reducirati 1. enačbo sistema na standardni kvadratni trinom. Polinom lahko rešite tako, da poiščete diskriminanto.

Vrednost diskriminanta je treba poiskati z dobro znano formulo: D = b2 - 4*a*c, kjer je D želeni diskriminant, b, a, c so množitelji polinoma. V danem primeru je a=1, b=16, c=39, torej D=100. Če je diskriminanta večja od nič, potem obstajata dve rešitvi: t = -b±√D / 2*a, če je diskriminanta manjša od nič, potem obstaja samo ena rešitev: x= -b / 2*a.

Rešitev za nastale sisteme najdemo z metodo seštevanja.

Vizualna metoda za reševanje sistemov

Primerno za sisteme s 3 enačbami. Metoda je sestavljena iz izrisa grafov vsake enačbe, ki je vključena v sistem, na koordinatni osi. Koordinate presečišč krivulj bodo splošna rešitev sistema.

Grafična metoda ima številne nianse. Razmislite o več primerih reševanja sistemov linearnih enačb na vizualni način.

Kot je razvidno iz primera, sta bili za vsako vrstico sestavljeni dve točki, vrednosti spremenljivke x so bile izbrane poljubno: 0 in 3. Na podlagi vrednosti x so bile najdene vrednosti za y: 3 in 0. Točke s koordinatami (0, 3) in (3, 0) smo označili na grafu in jih povezali s črto.

Korake je treba ponoviti za drugo enačbo. Točka presečišča premic je rešitev sistema.

V naslednjem primeru je potrebno najti grafično rešitev sistema linearnih enačb: 0,5x-y+2=0 in 0,5x-y-1=0.

Kot je razvidno iz primera, sistem nima rešitve, ker so grafi vzporedni in se ne sekajo po celotni dolžini.

Sistema iz primerov 2 in 3 sta si podobna, a ko sta konstruirana, postane očitno, da se njune rešitve razlikujejo. Ne smemo pozabiti, da ni vedno mogoče reči, ali ima sistem rešitev ali ne, vedno je treba zgraditi graf.

Matrica in njene sorte

Matrice se uporabljajo za kratko zapisovanje sistema linearnih enačb. Matrica je posebna vrsta tabele, napolnjena s številkami. n*m ima n - vrstic in m - stolpcev.

Matrica je kvadratna, če je število stolpcev in vrstic enako. Matrični vektor je matrika z enim stolpcem z neskončno možnim številom vrstic. Matrica z enotami vzdolž ene od diagonal in drugimi ničelnimi elementi se imenuje identiteta.

Inverzna matrika je taka matrika, s katero se prvotna matrika pomnoži v enotno, taka matrika obstaja samo za prvotno kvadratno.

Pravila za pretvorbo sistema enačb v matriko

Pri sistemih enačb so koeficienti in prosti členi enačb zapisani kot števila matrike, ena enačba je ena vrstica matrike.

Vrstica matrike se imenuje neničelna, če vsaj en element vrstice ni enak nič. Če se torej v kateri koli enačbi število spremenljivk razlikuje, je treba namesto manjkajoče neznane vnesti nič.

Stolpci matrike morajo strogo ustrezati spremenljivkam. To pomeni, da lahko koeficiente spremenljivke x zapišemo samo v en stolpec, na primer prvi, koeficient neznanega y - samo v drugi.

Pri množenju matrike se vsi elementi matrike zaporedno pomnožijo s številom.

Možnosti za iskanje inverzne matrike

Formula za iskanje inverzne matrike je precej preprosta: K -1 = 1 / |K|, kjer je K -1 inverzna matrika in |K| - matrična determinanta. |K| ne sme biti enak nič, potem ima sistem rešitev.

Za matriko dvakrat dva je determinanto enostavno izračunati, le elemente je treba pomnožiti diagonalno drug z drugim. Za možnost "tri po tri" obstaja formula |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Lahko uporabite formulo ali pa se spomnite, da morate iz vsake vrstice in vsakega stolpca vzeti en element, tako da se številke stolpcev in vrstic elementov ne ponavljajo v izdelku.

Rešitev primerov sistemov linearnih enačb po matrični metodi

Matrična metoda iskanja rešitve omogoča zmanjšanje okornih vnosov pri reševanju sistemov z velikim številom spremenljivk in enačb.

V primeru so a nm koeficienti enačb, matrika je vektor, x n so spremenljivke, b n pa prosti izrazi.

Rešitev sistemov po Gaussovi metodi

V višji matematiki se Gaussova metoda preučuje skupaj s Cramerjevo metodo, proces iskanja rešitve sistemov pa imenujemo Gauss-Cramerjeva metoda reševanja. Te metode se uporabljajo za iskanje spremenljivk sistemov z velikim številom linearnih enačb.

Gaussova metoda je zelo podobna rešitvam substitucije in algebrskega seštevanja, vendar je bolj sistematična. Pri šolskem tečaju se Gaussova rešitev uporablja za sisteme 3 in 4 enačb. Namen metode je spraviti sistem v obliko obrnjenega trapeza. Z algebrskimi transformacijami in substitucijami najdemo vrednost ene spremenljivke v eni od enačb sistema. Druga enačba je izraz z 2 neznankama, 3 in 4 - s 3 oziroma 4 spremenljivkami.

Ko sistem spravimo v opisano obliko, se nadaljnja rešitev reducira na zaporedno substitucijo znanih spremenljivk v enačbe sistema.

V šolskih učbenikih za 7. razred je primer Gaussove rešitve opisan takole:

Kot je razvidno iz primera, sta v koraku (3) dobili dve enačbi 3x 3 -2x 4 =11 in 3x 3 +2x 4 =7. Rešitev katere koli enačbe vam bo omogočila, da najdete eno od spremenljivk x n.

Izrek 5, ki je omenjen v besedilu, pravi, da če eno od enačb sistema nadomestimo z enakovredno, bo tudi nastali sistem enakovreden prvotnemu.

Gaussova metoda je za srednješolce težko razumljiva, vendar je eden najzanimivejših načinov za razvoj iznajdljivosti otrok, ki študirajo v nadaljevalnem študijskem programu pri pouku matematike in fizike.

Za lažje beleženje izračunov je običajno narediti naslednje:

Koeficienti enačb in prosti členi so zapisani v obliki matrike, kjer vsaka vrstica matrike ustreza eni od enačb sistema. loči levo stran enačbe od desne. Rimske številke označujejo števila enačb v sistemu.

Najprej zapišejo matriko, s katero bodo delali, nato pa vsa dejanja, izvedena z eno od vrstic. Nastala matrika se napiše za znakom "puščica" in nadaljuje z izvajanjem potrebnih algebraičnih operacij, dokler ni dosežen rezultat.

Posledično je treba dobiti matriko, v kateri je ena od diagonal 1, vsi drugi koeficienti pa enaki nič, to pomeni, da se matrika zmanjša na eno obliko. Ne smemo pozabiti narediti izračunov s številkami obeh strani enačbe.

Ta zapis je manj okoren in vam omogoča, da vas ne zmoti naštevanje številnih neznank.

Brezplačna uporaba katere koli metode rešitve bo zahtevala skrb in določeno količino izkušenj. Vse metode se ne uporabljajo. Nekateri načini iskanja rešitev so bolj zaželeni na določenem področju človekove dejavnosti, drugi pa obstajajo z namenom učenja.

Algebraična metoda seštevanja

Sistem enačb z dvema neznankama lahko rešujete na različne načine – z grafično metodo ali z metodo spremenljivke.

V tej lekciji se bomo seznanili z drugim načinom reševanja sistemov, ki vam bo zagotovo všeč - to je algebraična metoda seštevanja.

In od kod ideja – da bi nekaj vstavili v sisteme? Pri reševanju sistemov je glavna težava prisotnost dveh spremenljivk, saj z dvema spremenljivkama ne moremo rešiti enačb. Zato je treba enega od njih na nek zakonit način izključiti. In takšni zakoniti načini so matematična pravila in lastnosti.

Ena od teh lastnosti zveni takole: vsota nasprotnih števil je nič. To pomeni, da če obstajajo nasprotni koeficienti za eno od spremenljivk, bo njihova vsota enaka nič in to spremenljivko bomo lahko izključili iz enačbe. Jasno je, da nimamo pravice dodajati le izrazov s spremenljivko, ki jo potrebujemo. Enačbe je treba sešteti kot celoto, t.j. ločeno dodajte podobne izraze na levi strani, nato na desni. Kot rezultat bomo dobili novo enačbo, ki bo vsebovala samo eno spremenljivko. Oglejmo si konkretne primere.

Vidimo, da je v prvi enačbi spremenljivka y, v drugi pa je nasprotno število y. Torej je to enačbo mogoče rešiti z metodo seštevanja.

Ena od enačb ostane takšna, kot je. Kateri koli ti je najbolj všeč.

Toda druga enačba bo pridobljena s seštevanjem teh dveh enačb člen za členom. tiste. Dodajte 3x do 2x, dodajte y k -y, dodajte 8 proti 7.

Dobimo sistem enačb

Druga enačba tega sistema je preprosta enačba z eno spremenljivko. Iz nje najdemo x \u003d 3. Če nadomestimo najdeno vrednost v prvi enačbi, najdemo y = -1.

Odgovor: (3; - 1).

vzorec dizajna:

Rešite sistem enačb z algebraičnim seštevanjem

V tem sistemu ni spremenljivk z nasprotnimi koeficienti. Vemo pa, da je mogoče obe strani enačbe pomnožiti z istim številom. Prvo enačbo sistema pomnožimo z 2.

Potem bo prva enačba dobila obliko:

Zdaj vidimo, da pri spremenljivki x obstajajo nasprotni koeficienti. Torej bomo naredili enako kot v prvem primeru: eno od enačb bomo pustili nespremenjeno. Na primer, 2y + 2x \u003d 10. In drugo dobimo z dodajanjem.

Zdaj imamo sistem enačb:

Z lahkoto najdemo iz druge enačbe y = 1, nato pa iz prve enačbe x = 4.

vzorec dizajna:

Naj povzamemo:

Naučili smo se reševati sisteme dveh linearnih enačb z dvema neznankama z uporabo algebraične metode seštevanja. Tako zdaj poznamo tri glavne metode za reševanje takšnih sistemov: grafično metodo, metodo spremembe spremenljivke in metodo seštevanja. S temi metodami je mogoče rešiti skoraj vsak sistem. V bolj zapletenih primerih se uporablja kombinacija teh tehnik.

Seznam uporabljene literature:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7 razred v 2 delih, 1. del, Učbenik za izobraževalne ustanove / A.G. Mordkovich. - 10. izd., popravljeno - Moskva, "Mnemosyne", 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7 razred v 2 delih, 2. del, Naročnik za izobraževalne ustanove / [A.G. Mordkovich in drugi]; uredil A.G. Mordkovich - 10. izdaja, revidirano - Moskva, Mnemosyne, 2007.
3. ONA. Tulchinskaya, algebra 7. razred. Blitz anketa: vodnik za študente izobraževalnih ustanov, 4. izdaja, popravljena in dopolnjena, Moskva, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., algebra 7. razred. Tematske testne naloge v novi obliki za študente izobraževalnih ustanov, urednik A.G. Mordkovich, Moskva, "Mnemosyne", 2011.
5. Aleksandrova L.A. Algebra 7. razred. Samostojno delo za študente izobraževalnih ustanov, urednik A.G. Mordkovich - 6. izdaja, stereotipno, Moskva, "Mnemosyne", 2010.

Z uporabo metode seštevanja se enačbe sistema seštevajo člen za členom, medtem ko lahko 1 ali obe (več) enačbi pomnožimo s poljubnim številom. Posledično pridejo do enakovrednega SLE , kjer ima ena od enačb samo eno spremenljivko.

Za rešitev sistema člen za členom seštevanje (odštevanje) sledite naslednjim korakom:

1. Izberemo spremenljivko, za katero bodo izdelani enaki koeficienti.

2. Zdaj morate sešteti ali odšteti enačbe in dobiti enačbo z eno spremenljivko.

Sistemska rešitev so presečišča grafov funkcije.

Poglejmo si primere.

Primer 1

Dani sistem:

Po analizi tega sistema lahko vidite, da sta koeficienta spremenljivke enaka po absolutni vrednosti in različna po predznaku (-1 in 1). V tem primeru je mogoče enačbe enostavno dodati izraz za členom:

Dejanja, ki so obkrožena z rdečo, se izvajajo v mislih.

Rezultat terminskega seštevanja je bilo izginotje spremenljivke y. Prav v tem in To je pravzaprav pomen metode - znebiti se prve spremenljivke.

-4 - y + 5 = 0 → y = 1,

Kot sistem je rešitev videti takole:

odgovor: x = -4 , y = 1.

Primer 2

Dani sistem:

V tem primeru lahko uporabite "šolsko" metodo, vendar ima precej velik minus - ko izrazite katero koli spremenljivko iz katere koli enačbe, boste dobili rešitev v navadnih ulomkih. In reševanje ulomkov vzame dovolj časa in verjetnost napak se poveča.

Zato je bolje uporabiti seštevanje (odštevanje) enačb po členu. Analizirajmo koeficiente ustreznih spremenljivk:

Poiščite število, s katerim je mogoče deliti 3 in naprej 4 , medtem ko je nujno, da je to število čim manjše. to je najmanjši skupni večkratnik. Če vam je težko najti pravo številko, potem lahko pomnožite koeficiente:.

Naslednji korak:

Pomnožite 1. enačbo z ,

Pomnožite 3. enačbo z ,

S tem matematičnim programom lahko rešite sistem dveh linearnih enačb z dvema spremenljivkama z uporabo metode substitucije in metode seštevanja.

Program ne daje le odgovora na problem, ampak nudi tudi podrobno rešitev z razlago korakov rešitve na dva načina: substitucijska metoda in metoda seštevanja.

Ta program je lahko koristen srednješolcem pri pripravah na teste in izpite, pri preverjanju znanja pred enotnim državnim izpitom, staršem za nadzor reševanja številnih problemov iz matematike in algebre. Ali pa vam je morda predrago najeti mentorja ali kupiti nove učbenike? Ali pa želite le čim prej opraviti domačo nalogo iz matematike ali algebre? V tem primeru lahko uporabite tudi naše programe s podrobno rešitvijo.

Na ta način lahko izvajate lastno usposabljanje in/ali usposabljanje svojih mlajših bratov ali sester, hkrati pa se poveča raven izobrazbe na področju nalog, ki jih je treba reševati.

Pravila za vnos enačb

Vsaka latinična črka lahko deluje kot spremenljivka.
Na primer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Pri vnosu enačb lahko uporabite oklepaje. V tem primeru se enačbe najprej poenostavijo. Enačbe po poenostavitvah morajo biti linearne, t.j. oblike ax+by+c=0 z natančnostjo vrstnega reda elementov.
Na primer: 6x+1 = 5(x+y)+2

V enačbah lahko uporabljate ne samo cela števila, ampak tudi ulomna števila v obliki decimalnih in navadnih ulomkov.

Pravila za vnos decimalnih ulomkov.
Celoštevilski in ulomni deli v decimalnih ulomkih so lahko ločeni s piko ali vejico.
Na primer: 2,1n + 3,5m = 55

Pravila za vnos navadnih ulomkov.
Samo celo število lahko deluje kot števec, imenovalec in celi del ulomka.
Imenovalec ne more biti negativen.
Pri vnosu številskega ulomka je števec ločen od imenovalca z deljenjem: /
Celo število je ločeno od ulomka z ampersandom: &

Primeri.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Rešite sistem enačb

Ugotovljeno je bilo, da nekateri skripti, potrebni za rešitev te naloge, niso bili naloženi in program morda ne bo deloval.
Morda imate omogočen AdBlock.
V tem primeru ga onemogočite in osvežite stran.

V brskalniku imate onemogočen JavaScript.
Za prikaz rešitve mora biti omogočen JavaScript.
Tukaj so navodila, kako omogočiti JavaScript v vašem brskalniku.

Ker Veliko je ljudi, ki želijo rešiti problem, vaša zahteva je v čakalni vrsti.
Po nekaj sekundah se bo spodaj prikazala rešitev.
Prosim počakaj sekunda ...

Če ti opazil napako v rešitvi, potem lahko o tem pišete v obrazcu za povratne informacije.
Ne pozabi navedite, katero nalogo se odločiš kaj vnesite v polja.

Naše igre, uganke, emulatorji:

Malo teorije.

Reševanje sistemov linearnih enačb. Metoda zamenjave

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo substitucije:
1) izrazite eno spremenljivko iz neke enačbe sistema z drugo;
2) dobljeni izraz nadomestimo z drugo enačbo sistema namesto te spremenljivke;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Izrazimo iz prve enačbe y skozi x: y = 7-3x. Če v drugo enačbo nadomestimo izraz 7-3x namesto y, dobimo sistem:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Preprosto je pokazati, da imata prvi in ​​drugi sistem enake rešitve. V drugem sistemu druga enačba vsebuje samo eno spremenljivko. Rešimo to enačbo:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Če zamenjamo številko 1 namesto x v enačbo y=7-3x, najdemo ustrezno vrednost y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - rešitev sistema

Imenujemo sisteme enačb v dveh spremenljivkah, ki imata enake rešitve enakovredno. Sistemi, ki nimajo rešitev, se prav tako štejejo za enakovredne.

Reševanje sistemov linearnih enačb s seštevanjem

Razmislite o drugem načinu reševanja sistemov linearnih enačb - metodi seštevanja. Pri reševanju sistemov na ta način, pa tudi pri reševanju s substitucijsko metodo, prehajamo iz danega sistema v drug njemu enakovredni sistem, v katerem ena od enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

Zaporedje dejanj pri reševanju sistema linearnih enačb z metodo seštevanja:
1) pomnožimo enačbe sistemskega izraza s členom, pri čemer izberemo faktorje tako, da koeficienti za eno od spremenljivk postanejo nasprotna števila;
2) seštej člen za členom levi in ​​desni del enačb sistema;
3) reši dobljeno enačbo z eno spremenljivko;
4) poiščite ustrezno vrednost druge spremenljivke.

Primer. Rešimo sistem enačb:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

V enačbah tega sistema so koeficienti y nasprotni števili. Če člen za členom dodamo levi in ​​desni del enačbe, dobimo enačbo z eno spremenljivko 3x=33. Zamenjajmo eno od enačb sistema, na primer prvo, z enačbo 3x=33. Vzemimo sistem
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

Iz enačbe 3x=33 ugotovimo, da je x=11. Če nadomestimo to vrednost x v enačbo \(x-3y=38 \), dobimo enačbo s spremenljivko y: \(11-3y=38 \). Rešimo to enačbo:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Tako smo našli rešitev sistema enačb tako, da dodamo: \(x=11; y=-9 \) ali \((11; -9) \)

Izkoriščajoč dejstvo, da so v enačbah sistema koeficienti y nasprotni števili, smo njegovo rešitev zmanjšali na rešitev enakovrednega sistema (s seštevanjem obeh delov vsake enačbe prvotnega simema), v katerem je ena enačb vsebuje samo eno spremenljivko.

Knjige (učbeniki) Povzetki enotnega državnega izpita in testov OGE na spletu Igre, uganke Grafičenje funkcij Pravopisni slovar ruskega jezika Slovar mladinskega slenga Katalog ruskih šol Katalog srednjih šol v Rusiji Katalog ruskih univerz Seznam nalog