Naredimo risbo

V našem problemu ima funkcija U(x) posebno, diskontinuirano obliko: med stenami je enaka nič, na robovih vodnjaka (na stenah) pa postane neskončna:

Zapišemo Schrödingerjevo enačbo za stacionarna stanja delcev na točkah, ki se nahajajo med stenami:

ali, če upoštevamo formulo (1.1)

Enačbo (1.3) je treba dopolniti z mejnimi pogoji na stenah vrtine. Upoštevajmo, da je valovna funkcija povezana z verjetnostjo iskanja delcev. Poleg tega glede na pogoje problema delca ni mogoče zaznati zunaj sten. Potem mora valovna funkcija na stenah in naprej izginiti, robni pogoji problema pa imajo preprosto obliko:

Zdaj pa začnimo reševati enačbo (1.3). Zlasti lahko upoštevamo, da so njegova rešitev de Brogliejevi valovi. Toda en de Brogliejev val kot rešitev očitno ne velja za naš problem, saj zagotovo opisuje prosti delec, ki "teče" v eni smeri. V našem primeru delec teče "nazaj in nazaj" med stenami. V tem primeru lahko na podlagi principa superpozicije želeno rešitev predstavimo kot dva de Brogliejeva vala, ki tečeta drug proti drugemu z momentoma p in -p, to je v obliki:

Konstante in je mogoče najti iz enega od mejnih pogojev in normalizacijskega pogoja. Slednje kaže, da če seštejete vse verjetnosti, torej poiščete verjetnost, da boste našli elektron med stenami na splošno v (katerem koli mestu), potem dobite eno (verjetnost zanesljivega dogodka je 1), tj:

Glede na prvi robni pogoj imamo:

Tako dobimo rešitev za naš problem:

Kot je znano,. Zato lahko najdeno rešitev prepišemo kot:

Konstanta A je določena iz normalizacijskega pogoja. Toda tukaj to ni posebno zanimivo. Drugi robni pogoj ostane neizkoriščen. Kakšen rezultat zagotavlja? Glede na najdeno rešitev (1.5) vodi do enačbe:

Iz nje vidimo, da v našem problemu impulz p ne more prevzeti nobene vrednosti, ampak samo vrednosti

Mimogrede, n ne more biti enak nič, saj bi bila valovna funkcija takrat enaka nič povsod v intervalu (0…l)! To pomeni, da delec med stenami ne more mirovati! Mora se premikati. Prevodne elektrone najdemo v podobnih pogojih v kovini. Dobljeni sklep velja tudi zanje: elektroni v kovini ne morejo biti stacionarni.

Najmanjši možni zagon gibajočega se elektrona je

Pokazali smo, da impulz elektrona spremeni predznak, ko se odbije od sten. Zato na vprašanje, kolikšen je zagon elektrona, ko je zaklenjen med stene, ni mogoče dokončno odgovoriti: bodisi +p bodisi -p. Zagon je nedoločen. Njena stopnja negotovosti je očitno definirana na naslednji način: =p-(-p)=2p. Negotovost koordinate je enaka l; če poskušate "ujeti" elektron, se bo našel v mejah med stenami, kje natančno pa ni znano. Ker je najmanjša vrednost p , dobimo:

Heisenbergovo relacijo smo potrdili pod pogoji našega problema, torej pod pogojem, da obstaja najmanjša vrednost p. Če imamo v mislih poljubno možno vrednost zagona, potem ima relacija negotovosti naslednjo obliko:

To pomeni, da prvotni Heisenberg-Bohrov postulat o negotovosti določa le spodnjo mejo negotovosti, ki je možna pri meritvah. Če je bil sistem na začetku gibanja obdarjen z minimalnimi negotovostmi, potem lahko sčasoma rastejo.

Vendar formula (1.6) kaže na še en izjemno zanimiv zaključek: izkaže se, da se zagon sistema v kvantni mehaniki ne more vedno spreminjati neprekinjeno (kot je to vedno v klasični mehaniki). Spekter zagona delcev v našem primeru je diskreten, gibalna količina delcev med stenami se lahko spreminja le v skokih (kvantah). Vrednost skoka v obravnavanem problemu je konstantna in enaka .

Na sl. 2. Jasno je prikazan spekter možnih vrednosti gibalne količine delca. Tako diskretnost spremembe mehanskih veličin, ki je klasični mehaniki povsem tuja, v kvantni mehaniki izhaja iz njenega matematičnega aparata. Na vprašanje, zakaj se zagon spreminja pri skokih, je nemogoče najti jasnega. Takšni so zakoni kvantne mehanike; naš zaključek izhaja iz njih logično - to je celotna razlaga.

Obrnimo se zdaj na energijo delca. Energija je povezana z zagonom s formulo (1). Če je spekter zagona diskreten, se samodejno izkaže, da je tudi spekter energijskih vrednosti delcev med stenami diskreten. In je elementaren. Če možne vrednosti po formuli (1.6) nadomestimo s formulo (1.1), dobimo:

kjer je n = 1, 2,…, in se imenuje kvantno število.

Tako smo prejeli nivoje energije.

riž. 3.

riž. 3 prikazuje razporeditev energijskih nivojev, ki ustrezajo pogojem našega problema. Jasno je, da bo pri drugem problemu razporeditev ravni energije drugačna. Če je delec nabit (na primer je elektron), potem bo, ker ni na najnižji energijski ravni, lahko spontano oddaja svetlobo (v obliki fotona). Hkrati bo šel na nižjo energijsko raven v skladu s pogojem:

Valovne funkcije za vsako stacionarno stanje v našem problemu so sinusoidi, katerih ničelne vrednosti nujno padejo na stene. Dve takšni valovni funkciji za n = 1,2 sta prikazani na sl. eno.

Potreba po verjetnostnem pristopu k opisu mikrodelcev je najpomembnejša značilnost kvantne teorije. Ali je mogoče de Brogliejeve valove interpretirati kot verjetnostne valove, t.j. menimo, da se verjetnost zaznavanja mikrodelca na različnih točkah v prostoru razlikuje glede na valovni zakon? Takšna interpretacija de Brogliejevih valov je že napačna, četudi le zato, ker je potem verjetnost, da najdemo delec na nekaterih točkah v prostoru, lahko negativna, kar pa ni smiselno.

Za odpravo teh težav je nemški fizik M. Born leta 1926 predlagal, da se po valovnem zakonu ne spreminja sama verjetnost, temveč količina, imenovana amplituda verjetnosti in označena ψ(x,y,z,t). Ta vrednost se imenuje valovna funkcija(oz ψ-funkcija). Amplituda verjetnosti je lahko kompleksna in verjetnost W sorazmerno s kvadratom njegovega modula:

(|Y| 2 =YY*, Y * - kompleksna konjugirana funkcija Y). Tako ima opis stanja mikroobjekta s pomočjo valovne funkcije statistični, verjetnostni značaj: kvadratni modul valovne funkcije (kvadrat modula amplitude de Brogliejevih valov) določa verjetnost, da se najde delček naenkrat t na območju s koordinatami X in x+dx, y in y+dy, z in z+dz.

V kvantni mehaniki je stanje mikrodelcev opisano na bistveno nov način – s pomočjo valovne funkcije, ki je glavni nosilec informacij o njihove korpuskularne in valovne lastnosti. Verjetnost najdenja delca v elementu prostornine d V je enako

vrednost

(kvadrat modula Y-funkcije) je smiselno gostota verjetnosti, določa verjetnost, da najdemo delček v enoti prostornine v bližini točke s koordinatami x, y, z. Torej fizični pomen nima Y-funkcija sama, temveč kvadrat njenega modula |Y| 2, ki je podana intenzivnost de Brogliejevih valov.

Verjetnost, da najdemo delce naenkrat t v končnem zvezku V, glede na izrek o seštevanju verjetnosti, je enako

Ker |Y| 2d V je definirana kot verjetnost, potem je treba valovno funkcijo Y normalizirati tako, da se verjetnost določenega dogodka spremeni v enoto, če je prostornina V vzemite neskončen volumen celotnega prostora. To pomeni, da mora biti pod tem pogojem delec nekje v vesolju. Zato je pogoj za normalizacijo verjetnosti

kjer se ta integral izračuna po celotnem neskončnem prostoru, torej po koordinatah x, y, z od –¥ do ¥ Tako pogoj kaže na objektiven obstoj delca v prostoru.

Da je valovna funkcija objektivna značilnost stanja mikrodelcev, mora izpolnjevati številne omejevalne pogoje. Funkcija Y, ki označuje verjetnost zaznavanja delovanja mikrodelca v elementu prostornine, bi morala biti končni(verjetnost ne more biti večja od ena), nedvoumno(verjetnost ne more biti dvoumna) in neprekinjeno(verjetnost se ne more nenadoma spremeniti).

Valovna funkcija izpolnjuje načelo superpozicije:če je sistem lahko v različnih stanjih, ki jih opisujejo valovne funkcije Y 1 , Y 2 ,..., Y n,... potem je lahko tudi v stanju Y, opisano z linearno kombinacijo teh funkcij:

kjer C n (n=1, 2, ...) so poljubna kompleksna števila. Dodatek valovne funkcije(amplitude verjetnosti), ne verjetnosti(določeno s kvadrati modulov valovnih funkcij) bistveno razlikuje kvantno teorijo od klasične statistične teorije, v kateri za neodvisne dogodke velja naslednje: izrek o seštevanju verjetnosti.

Valovna funkcija Y, ki je glavna značilnost stanja mikroobjektov, omogoča v kvantni mehaniki izračun povprečnih vrednosti fizikalnih veličin, ki označujejo dani mikro-objekti. Na primer, povprečna razdalja á rñ elektrona iz jedra se izračuna po formuli

Schrödingerjeva enačba za stacionarna stanja. Osnovno enačbo nerelativistične kvantne mehanike je leta 1926 oblikoval E. Schrödinger. Schrödingerjeva enačba, tako kot vse osnovne enačbe fizike (na primer Newtonove enačbe v klasični mehaniki in Maxwellove enačbe za elektromagnetno polje), ni izpeljana, ampak postulirana. Pravilnost te enačbe potrjuje soglasje z izkušnjami rezultatov, pridobljenih z njeno pomočjo, kar ji posledično daje značaj naravnega zakona. Schrödingerjeva enačba ima obliko

kjer je ћ=h/(2p), m-masa delcev, D-Laplaceov operater i je imaginarna enota, U(x, y, z, t) je potencialna funkcija delca v polju sil, v katerem se giblje, Y(x, y, z, t) je zahtevana valovna funkcija delca .

Enačba velja za kateri koli delec (s spinom " lasten neuničljiv mehanski kotni moment elektrona" , ki ni povezana s gibanjem elektrona v vesolju, enako 0;), ki se premika z majhno (v primerjavi s svetlobno) hitrostjo, torej s hitrostjo v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волно­вая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной 2) производные mora biti neprekinjena; 3) funkcija |Y| 2 mora biti integrabilna; ta pogoj se v najpreprostejših primerih reducira na pogoj normalizacije verjetnosti.

Enačba

je splošna Schrödingerjeva enačba. Imenuje se tudi časovno odvisna Schrödingerjeva enačba. Za številne fizikalne pojave, ki se pojavljajo v mikrosvetu, je mogoče njegovo enačbo poenostaviti z odpravo odvisnosti Y od časa, z drugimi besedami, najti Schrödingerjevo enačbo za stacionarna stanja - stanja s fiksnimi vrednostmi energije. To je mogoče, če je polje sil, v katerem se delec premika, stacionarno, torej funkcija U=U(x, y, z) ni eksplicitno odvisna od časa in ima pomen potencialne energije. V tem primeru lahko rešitev Schrödingerjeve enačbe predstavimo kot produkt dveh funkcij, od katerih je ena funkcija samo koordinat, druga je le funkcija časa, odvisnost od časa pa je izražena s faktorjem , tako da

kjer je E skupna energija delca, ki je v primeru mirujočega polja konstantna. Če nadomestimo v splošno Schrödingerjevo enačbo, dobimo

od koder po deljenju s skupnim faktorjem in ustreznimi transformacijami pridemo do enačbe, ki definira funkcijo y:

Ta enačba se imenuje Schrödingerjeva enačba za stacionarna stanja. Ta enačba vključuje skupno energijo E delca kot parameter. V teoriji diferencialnih enačb je dokazano, da imajo takšne enačbe neskončno število rešitev, med katerimi se z nalaganjem mejnih pogojev izberejo rešitve, ki imajo fizični pomen. Za Schrödingerjevo enačbo so takšni pogoji pogoji pravilnosti valovnih funkcij: valovne funkcije morajo biti končne, enovrednostne in neprekinjene skupaj s svojimi prvimi izpeljankami. Tako imajo le rešitve, ki so izražene z regularnimi funkcijami od y, pravi fizični pomen. Toda redne rešitve se ne izvajajo za nobene vrednosti parametra E, ampak le za določeno množico le-teh, kar je značilno za dani problem. Te energijske vrednosti se imenujejo lastne vrednosti. Rešitve, ki ustrezajo lastnim vrednostim energije, se imenujejo lastne funkcije. Lastne vrednosti E lahko tvorijo neprekinjeno ali diskretno vrsto. V prvem primeru govorimo o neprekinjenem ali neprekinjenem spektru, v drugem pa o diskretnem spektru.

V približku idealnega plina ima Clausius-Clapeyronova enačba obliko

Maxwellova druga enačba je posplošitev...: zakona elektromagnetne indukcije

Kjer je a koeficient trenja. To enačbo lahko prepišemo kot

Hidrostatika. Osnovne lastnosti hidrostatičnega tlaka. Osnovna enačba hidrostatike.

Diferencialna enačba. Karakteristični polinom.

Pri razvoju de Brogliejeve ideje o valovnih lastnostih delcev je Schrödinger leta 1926 dobil enačbo

104. (20)

kjer je m masa delca, imaginarna enota, U je potencialna energija delca, D je Laplaceov operater (glej (1.10)).

Rešitev Schrödingerjeve enačbe omogoča, da najdemo valovno funkcijo Y(x, y, z, t) delca, ki opisuje mikrostanje delca in njegove valovne lastnosti.

Če je polje zunanjih sil konstantno v času (tj. stacionarno), potem U ni eksplicitno odvisno od t. V tem primeru se rešitev enačbe (20) razdeli na dva faktorja

Y(x, y, z, t) =y(x, y, z)exp[-i(E/ )t] (21)

V stacionarnem primeru ima Schrödingerjeva enačba obliko

(22)

kjer je E, U - skupna in potencialna energija, m - masa delcev.

Treba je opozoriti, da je zgodovinsko ime "valovna funkcija" nastalo zaradi dejstva, da se enačba (20) ali (22), ki določa to funkcijo, nanaša na obliko valovnih enačb.

104. Vodikov atom in vodiku podobni »atomi« (He + , Li 2+ in drugi) kot najpreprostejši kvantno mehanski sistemi: kvantna stanja, radialne in kotne komponente valovne funkcije, orbitalna simetrija.

Na podlagi svojih raziskav je Rutherford leta 1911 predlagal jedrsko napravo (planetarni) atomski model. Po tem modelu se elektroni gibljejo po zaprtih orbitah okoli pozitivnega jedra in tvorijo elektronsko lupino atoma v območju z linearnimi dimenzijami reda 10 -10 m. Naboj jedra je Ze(Z-- serijska številka elementa v sistemu Mendelejev, e -.elementarni naboj), velikost 10 -15 - 10 -14 m, masa, skoraj enaka masi atoma. Ker so atomi nevtralni, je naboj jedra enak celotnemu naboju elektronov, torej se mora vrteti okoli jedra Z elektronov.

atom vodika in vodiku podobni sistemi- to so sistemi, sestavljeni iz jedra z nabojem Ze in enega elektrona (na primer ioni He +, Li 2+).

Rešitev problema energijskih nivojev elektrona za atom vodika (pa tudi vodiku podobnih sistemov: helijev ion He + , dvojno ioniziran litij Li + + itd.) se reducira na problem gibanja elektronov v Kulonovo polje jedra.

Potencialna energija interakcije elektrona z jedrom z nabojem Ze(za atom vodika Z=1),

kje r je razdalja med elektronom in jedrom. Grafična funkcija U(r) je prikazana s krepko krivuljo na sl. 6, neskončno padajoča (povečanje. modulo) pri padanju r, torej ko se elektron približa jedru.

Stanje elektrona v atomu vodika opisujemo z valovno funkcijo Ψ, ki izpolnjuje stacionarno Schrödingerjevo enačbo ob upoštevanju vrednosti (1):"

, (2)

kje m je masa elektrona, E je skupna energija elektrona v atomu.

To je tako imenovana stacionarna Schrödingerjeva enačba za elektron vodiku podobnega atoma VDPA.

1. Energija. V teoriji diferencialnih enačb je dokazano, da imajo enačbe tipa (2) rešitve, ki izpolnjujejo zahteve edinstvenosti, končnosti in kontinuitete valovne funkcije Ψ samo za lastne vrednosti energije

(n= 1, 2, 3,…), (3)

za diskreten niz negativnih energijskih vrednosti.

Tako kot v primeru »potencialne vrtine« z neskončno visokimi »stenami« rešitev Schrödingerjeve enačbe za vodikov atom vodi do pojava diskretnih energijskih nivojev. Možne vrednosti E 1 , E 2 , E 3, ... so prikazani na sl. 6 kot vodoravne črte. Najnižja raven E 1, ki ustreza najmanjši možni energiji, - osnovno, drugo ( E n >E 1 , n = 2, 3,…) – navdušen. Pri E < 0 движение электрона является povezane je znotraj hiperbolične "potencialne vrtine". Iz slike izhaja, da se glavno kvantno število povečuje P ravni energije so bolj razporejene n=∞ E ∞ = 0. Kdaj E> 0 gibanje elektrona je prost; continuum regija E >0(osenčeno na sliki 6) ustreza ionizirani atom. Ionizacijska energija atoma vodika je

E i = - E 1 = jaz 4 / (8h 2 ε 0 2) = 13,55 eV.

2. Kvantna števila. V kvantni mehaniki je dokazano, da Schrödingerjevo enačbo (2) izpolnjujejo lastne funkcije , ki ga določajo tri kvantna števila: glavna P, orbitalni l in magnetna m l .

Glavno kvantno število n v skladu z (3) določa energijske nivoje elektrona v atomu in ima lahko poljubno celo število, začenši od ene:

Schrödingerjeva enačba je poimenovana po avstrijskem fiziku Erwinu Schrödingerju. Je glavno teoretično orodje kvantne mehanike. V kvantni mehaniki igra Schrödingerjeva enačba enako vlogo kot enačba gibanja (Newtonov drugi zakon) v klasični mehaniki. Schrödingerjeva enačba je zapisana za t.i y- funkcije (psi - funkcije). V splošnem primeru je psi funkcija funkcija koordinat in časa: y = y (x,y,z,t). Če je mikrodelec v mirujočem stanju, potem funkcija psi ni odvisna od časa: y= y (x,y,z).

V najpreprostejšem primeru enodimenzionalnega gibanja mikrodelca (na primer samo vzdolž osi x ) Schrödingerjeva enačba ima obliko:

kje y(x)– psi – funkcija, ki je odvisna samo od ene koordinate x ; m – masa delcev; - Planckova konstanta (= h/2π); E je skupna energija delca, U - potencialna energija. V klasični fiziki količina (E–U ) bi bila enaka kinetični energiji delca. V kvantni mehaniki zaradi razmerja negotovosti koncept kinetične energije je nesmiseln. Upoštevajte, da je potencialna energija U je značilnost zunanje polje sile v katerem se delec premika. Ta vrednost je povsem določena. V tem primeru je tudi funkcija koordinat U = U (x,y,z).

V tridimenzionalnem primeru, kdaj y = y (x,y,z) namesto prvega člena v Schrödingerjevi enačbi bi morali zapisati vsoto treh delnih izvodov psi-funkcije glede na tri koordinate.

Za kaj se uporablja Schrödingerjeva enačba? Kot smo že omenili, je to osnovna enačba kvantne mehanike. Če jo zapišemo in rešimo (kar sploh ni lahka naloga) za določen mikrodelec, potem dobimo vrednost psi-funkcije na kateri koli točki prostora, v katerem se delec giblje. Kaj daje? Kvadrat modula psi funkcije označuje verjetnost zaznavanje delca v določenem območju prostora. Vzemite neko točko v prostoru s koordinatami x , y , z (slika 6). Kakšna je verjetnost, da najdemo delec na tej točki? Odgovor: ta verjetnost je nič! (točka nima dimenzij, delec preprosto ne more fizično zadeti točke). Torej je vprašanje zastavljeno napačno. Povejmo drugače: kakšna je verjetnost, da najdemo delec v majhnem območju prostora z prostornino dV = dx dy dz središče na določeni točki? odgovor:

kje dP je elementarna verjetnost zaznavanja delca v osnovnem volumnu dV . Enačba (22) velja za realno psi-funkcijo (lahko je tudi kompleksna, v tem primeru je treba v enačbo (22) nadomestiti kvadrat modula psi-funkcije). Če ima območje prostora končno prostornino V , nato verjetnost P za zaznavanje delca v tem volumnu najdemo z integracijo izraza (22) po volumnu V :

Spomni se tega verjetnostni opis gibanja mikrodelcev je osnovna ideja kvantne mehanike. Tako je s pomočjo Schrödingerjeve enačbe rešen glavni problem kvantne mehanike: opis gibanja preučevanega predmeta, v tem primeru kvantno mehanskega delca.

Opažamo še vrsto drugih pomembnih dejstev. Kot je razvidno iz formule (21), je Schrödingerjeva enačba diferencialna enačba drugega reda. Posledično se bosta v procesu reševanja pojavili dve poljubni konstanti. Kako jih najti? Za to uporabite t.i mejne razmere: iz specifične vsebine fizičnega problema je treba poznati vrednost psi-funkcije na mejah območja gibanja mikrodelca. Poleg tega je t.i stanje normalizacije, ki mu mora psi-funkcija izpolnjevati:

Pomen tega pogoja je preprost: verjetnost zaznavanja delca vsaj nekje znotraj območja njegovega gibanja je določen dogodek, katerega verjetnost je enaka eni.

Mejni pogoji so tisti, ki napolnijo rešitev Schrödingerjeve enačbe s fizičnim pomenom. Brez teh pogojev je rešitev enačbe čisto matematični problem, brez fizičnega pomena. V naslednjem razdelku na konkretnem primeru obravnavamo uporabo mejnih pogojev in normalizacijskega pogoja pri reševanju Schrödingerjeve enačbe.

psi funkcija

valovna funkcija (državna funkcija, psi funkcija, amplituda verjetnosti) - funkcija kompleksne vrednosti uporablja v kvantna mehanika za verjetnostni opis države kvantno mehanski sistem. V širšem smislu enako kot vektor stanja.

Različica imena "amplituda verjetnosti" je povezana z statistična interpretacija valovna funkcija: gostota verjetnosti, da se delček najde na dani točki v prostoru v danem času, je enaka kvadratu absolutne vrednosti valovne funkcije tega stanja.

Fizični pomen kvadrata modula valovne funkcije

Valovna funkcija je odvisna od koordinat (ali posplošenih koordinat) sistema in na splošno od časa ter je oblikovana tako, da kvadratni njo modul je bila gostota verjetnosti(za diskretne spektre - samo verjetnost) za zaznavanje sistema v položaju, ki ga opisujejo koordinate v trenutku:

Nato lahko v danem kvantnem stanju sistema, opisanem z valovno funkcijo, izračunamo verjetnost, da bo delec zaznan v katerem koli območju prostora končnega volumna: .

Nabor koordinat, ki delujejo kot argumenti funkcije, predstavlja celoten nabor fizikalnih veličin ki jih je mogoče izmeriti v sistemu. V kvantni mehaniki je mogoče izbrati več celotnih nizov veličin, zato lahko valovno funkcijo istega stanja zapišemo iz različnih argumentov. Določa celoten nabor veličin, izbranih za snemanje valovne funkcije predstavitev valovne funkcije. Ja, možno koordinirati izvedba, impulzivno predstavitev, v kvantna teorija polja uporablja druga kvantizacija in predstavitev polnilne številke oz Predstavitev Focka in itd.

Če je valovna funkcija, na primer, elektrona v atomu, podana v koordinatni predstavitvi, potem je kvadrat modula valovne funkcije gostota verjetnosti, da se elektron najde na določeni točki v prostoru. Če je v predstavitvi zagona podana ista valovna funkcija, potem je kvadrat njenega modula gostota verjetnosti, da najdemo eno ali drugo zagonz.

Uvod

Znano je, da je potek kvantne mehanike eden najtežje razumljivih. To ni povezano toliko z novim in "nenavadnim" matematičnim aparatom, ampak predvsem s težavo razumevanja revolucionarnih, s stališča klasične fizike, idej, ki so podlaga kvantne mehanike, in kompleksnosti interpretacije rezultatov.

V večini učbenikov kvantne mehanike predstavitev gradiva praviloma temelji na analizi rešitev stacionarne Schrödingerjeve enačbe. Stacionarni pristop pa ne omogoča neposredne primerjave rezultatov reševanja kvantno mehanskega problema z analognimi klasičnimi rezultati. Poleg tega so številni procesi, ki jih preučujemo v okviru kvantne mehanike (kot je prehod delca skozi potencialno pregrado, razpad kvazistacionarnega stanja itd.), načeloma nestacionarni in zato lahko v celoti razumeti le na podlagi rešitev nestacionarne Schrödingerjeve enačbe. Ker je število analitično rešljivih problemov majhno, je uporaba računalnika v procesu proučevanja kvantne mehanike še posebej pomembna.

Schrödingerjeva enačba in fizični pomen njenih rešitev

Schrödingerjeva valovna enačba

Ena od osnovnih enačb kvantne mehanike je Schrödingerjeva enačba, ki določa spreminjanje stanj kvantnih sistemov skozi čas. Zapisano je v obliki

kjer je H hamiltonian sistema, ki sovpada z energijskim operaterjem, če ni odvisen od časa. Vrsta operaterja je določena z lastnostmi sistema. Za nerelativistično gibanje masnega delca v potencialnem polju U(r) je operater realen in ga predstavlja vsota operatorjev kinetične in potencialne energije delca.

Če se delec premika v elektromagnetnem polju, bo Hamiltonov operater kompleksen.

Čeprav je enačba (1.1) enačba prvega reda v času, ima zaradi imaginarne enote tudi periodične rešitve. Zato se Schrödingerjeva enačba (1.1) pogosto imenuje Schrödingerjeva valovna enačba, njena rešitev pa časovno odvisna valovna funkcija. Enačba (1.1) z znano obliko operatorja H vam omogoča, da določite vrednost valovne funkcije v katerem koli naslednjem trenutku, če je ta vrednost znana v začetnem trenutku. Tako Schrödingerjeva valovna enačba izraža načelo vzročnosti v kvantni mehaniki.

Schrödingerjevo valovno enačbo je mogoče dobiti na podlagi naslednjih formalnih premislekov. V klasični mehaniki je znano, da če je energija podana kot funkcija koordinat in momentov

nato prehod na klasično Hamilton--Jacobijevo enačbo za akcijsko funkcijo S

lahko dobimo iz (1.3) s formalno transformacijo

Na enak način dobimo enačbo (1.1) iz (1.3) ob prehodu iz (1.3) v operatorsko enačbo s formalno transformacijo

če (1.3) ne vsebuje produktov koordinat in momentov ali vsebuje takšne produkte le-teh, ki po prehodu na operaterje (1.4) komutirajo drug z drugim. Če po tej transformaciji izenačimo rezultate delovanja na funkcijo operatorjev desnega in levega dela nastale operatorske enačbe, pridemo do valovne enačbe (1.1). Vendar teh formalnih transformacij ne smemo jemati kot izpeljavo Schrödingerjeve enačbe. Schrödingerjeva enačba je posplošitev eksperimentalnih podatkov. Ni ga izpeljana v kvantni mehaniki, tako kot Maxwellove enačbe niso izpeljane v elektrodinamiki, principu najmanjšega delovanja (ali Newtonovih enačbah) v klasični mehaniki.

Preprosto je preveriti, da je enačba (1.1) za valovno funkcijo izpolnjena

ki opisujejo prosto gibanje delca z določeno vrednostjo gibalne količine. V splošnem primeru se veljavnost enačbe (1.1) dokazuje s soglasjem z izkušnjami vseh sklepov, pridobljenih s pomočjo te enačbe.

Pokažimo, da enačba (1.1) implicira pomembno enakost

kar kaže na ohranitev normalizacije valovne funkcije skozi čas. Pomnožimo (1.1) na levi s funkcijo *, kompleks enačbe, konjugirano s (1.1), pomnožimo s funkcijo in od prve dobljene enačbe odštejemo drugo enačbo; potem najdemo

Če integriramo to relacijo po vseh vrednostih spremenljivk in upoštevamo samoprilagojenost operaterja, dobimo (1.5).

Če v razmerju (1.6) gibanje delca v potencialnem polju nadomestimo z eksplicitnim izrazom Hamiltonovega operaterja (1.2), potem pridemo do diferencialne enačbe (enačbe kontinuitete)

kjer je gostota verjetnosti in vektor

lahko imenujemo vektor gostote toka verjetnosti.

Kompleksno valovno funkcijo lahko vedno predstavimo kot

kjer in sta realni funkciji časa in koordinat. Torej gostota verjetnosti

in gostoto verjetnostnega toka

Iz (1.9) sledi, da je j = 0 za vse funkcije, katerih funkcija Φ ni odvisna od koordinat. Zlasti j= 0 za vse realne funkcije.

Rešitve Schrödingerjeve enačbe (1.1) so na splošno predstavljene s kompleksnimi funkcijami. Uporaba kompleksnih funkcij je zelo priročna, čeprav ni potrebna. Namesto ene kompleksne funkcije lahko stanje sistema opišemo z dvema realnima funkcijama in izpolnjevanjem dveh povezanih enačb. Na primer, če je operater H realen, potem z zamenjavo funkcije v (1.1) in ločitvijo realnega in imaginarnega dela dobimo sistem dveh enačb

v tem primeru imata gostota verjetnosti in gostota verjetnostnega toka obliko

Valovne funkcije v predstavitvi zagona.

Fourierjeva transformacija valovne funkcije označuje porazdelitev momentov v kvantnem stanju. Potrebno je izpeljati integralno enačbo za s Fourierjevo transformacijo potenciala kot jedro.

Odločitev. Obstajata dve medsebojno inverzni povezavi med funkcijama in.

Če je relacija (2.1) uporabljena kot definicija in se zanjo uporabi operacija, potem ob upoštevanju definicije 3-dimenzionalne funkcije,

kot rezultat, kot je enostavno videti, dobimo inverzno razmerje (2.2). Podobni premisleki so uporabljeni v nadaljevanju pri izpeljavi relacije (2.8).

potem za Fourierjevo sliko potenciala, ki ga imamo

Ob predpostavki, da valovna funkcija izpolnjuje Schrödingerjevo enačbo

Če tu nadomestimo namesto izrazov (2.1) in (2.3) in oziroma (2.3), dobimo

V dvojnem integralu preidemo od integracije nad spremenljivko k integraciji nad spremenljivko, nato pa to novo spremenljivko ponovno označimo z. Integral nad izgine pri kateri koli vrednosti le, če je sam integrand enak nič, vendar takrat

To je želena integralna enačba s Fourierjevo transformacijo potenciala kot jedro. Seveda je integralno enačbo (2.6) mogoče dobiti le pod pogojem, da obstaja Fourierjeva transformacija potenciala (2.4); za to se mora na primer potencial zmanjšati na velikih razdaljah, vsaj kolikor, kje.

Treba je opozoriti, da iz pogoja normalizacije

sledi enakost

To lahko pokažemo tako, da izraz (2.1) za funkcijo nadomestimo z (2.7):

Če tukaj najprej izvedemo integracijo nad, bomo zlahka dobili relacijo (2.8).