Izpeljava formule matematičnega pričakovanja. Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke
Teorija verjetnosti je posebna veja matematike, ki jo preučujejo samo študenti visokošolskih zavodov. Obožujete izračune in formule? Se ne bojite možnosti spoznavanja normalne porazdelitve, entropije ansambla, matematičnega pričakovanja in variance diskretne naključne spremenljivke? Potem vas bo ta tema zelo zanimala. Seznanimo se z nekaterimi najpomembnejšimi osnovnimi pojmi tega oddelka znanosti.
Spomnimo se osnov
Tudi če se spomnite najpreprostejših konceptov teorije verjetnosti, ne zanemarite prvih odstavkov članka. Dejstvo je, da brez jasnega razumevanja osnov ne boste mogli delati s spodaj obravnavanimi formulami.
Torej, obstaja nekaj naključnega dogodka, nekaj eksperimenta. Kot rezultat izvedenih dejanj lahko dobimo več rezultatov - nekateri so pogostejši, drugi manj pogosti. Verjetnost dogodka je razmerje med številom dejansko doseženih izidov ene vrste in skupnim številom možnih. Šele ob poznavanju klasične definicije tega koncepta lahko začnete preučevati matematično pričakovanje in disperzijo neprekinjenih naključnih spremenljivk.
povprečno
Že v šoli, pri pouku matematike, ste začeli delati z aritmetično sredino. Ta koncept se pogosto uporablja v teoriji verjetnosti, zato ga ni mogoče prezreti. Za nas je trenutno glavno, da ga bomo srečali v formulah za matematično pričakovanje in varianco naključne spremenljivke.
Imamo zaporedje številk in želimo najti aritmetično sredino. Vse, kar se od nas zahteva, je sešteti vse, kar je na voljo, in deliti s številom elementov v zaporedju. Naj imamo števila od 1 do 9. Vsota elementov bo 45 in to vrednost bomo delili z 9. Odgovor: - 5.
Disperzija
V znanstvenem smislu je varianca povprečni kvadrat odstopanj dobljenih vrednosti lastnosti od aritmetične sredine. Ena je označena z veliko latinično črko D. Kaj je potrebno za izračun? Za vsak element zaporedja izračunamo razliko med razpoložljivim številom in aritmetično sredino ter jo kvadriramo. Vrednosti bo natanko toliko, kolikor je lahko rezultatov za dogodek, o katerem razmišljamo. Nato povzamemo vse prejeto in delimo s številom elementov v zaporedju. Če imamo pet možnih izidov, potem delimo s pet.
Varianca ima tudi lastnosti, ki si jih morate zapomniti, da jo uporabite pri reševanju problemov. Na primer, če se naključna spremenljivka poveča za X-krat, se varianca poveča za X-krat kvadrat (tj. X*X). Nikoli ni manjša od nič in ni odvisna od premika vrednosti za enako vrednost navzgor ali navzdol. Tudi pri neodvisnih poskusih je varianca vsote enaka vsoti variance.
Zdaj moramo vsekakor upoštevati primere variance diskretne naključne spremenljivke in matematičnega pričakovanja.
Recimo, da izvedemo 21 poskusov in dobimo 7 različnih rezultatov. Vsakega od njih smo opazovali 1,2,2,3,4,4 oziroma 5-krat. Kakšna bo razlika?
Najprej izračunamo aritmetično sredino: vsota elementov je seveda 21. Delimo jo s 7 in dobimo 3. Zdaj od vsakega števila v prvotnem zaporedju odštejemo 3, vsako vrednost kvadriramo in rezultate seštejemo. . Izkazalo se je 12. Zdaj nam ostane, da število delimo s številom elementov, in zdi se, da je to vse. Ampak obstaja ulov! Razpravljajmo o tem.
Odvisnost od števila poskusov
Izkazalo se je, da je pri izračunu variance imenovalec lahko eno od dveh številk: N ali N-1. Tukaj je N število izvedenih poskusov ali število elementov v zaporedju (kar je v bistvu ista stvar). od česa je odvisno?
Če se število testov meri v stotinah, moramo v imenovalec vpisati N. Če v enotah, potem N-1. Znanstveniki so se odločili, da mejo narišejo precej simbolično: danes poteka vzdolž številke 30. Če smo izvedli manj kot 30 poskusov, bomo količino delili z N-1, če je več, pa z N.
Naloga
Vrnimo se k našemu primeru reševanja problema variance in pričakovanja. Dobili smo vmesno število 12, ki smo ga morali deliti z N ali N-1. Ker smo izvedli 21 poskusov, kar je manj kot 30, bomo izbrali drugo možnost. Odgovor je torej: varianca je 12 / 2 = 2.
Pričakovana vrednost
Pojdimo na drugi koncept, ki ga moramo upoštevati v tem članku. Matematično pričakovanje je rezultat seštevanja vseh možnih rezultatov, pomnoženih z ustreznimi verjetnostmi. Pomembno je razumeti, da se končna vrednost, kot tudi rezultat izračuna variance, pridobi samo enkrat za celotno nalogo, ne glede na to, koliko rezultatov upošteva.
Formula matematičnega pričakovanja je precej preprosta: vzamemo izid, ga pomnožimo z verjetnostjo, dodamo enako za drugi, tretji rezultat itd. Vse, kar je povezano s tem konceptom, je enostavno izračunati. Na primer, vsota matematičnih pričakovanj je enaka matematičnemu pričakovanju vsote. Enako velja za delo. Vsaka količina v teoriji verjetnosti ne omogoča izvajanja tako preprostih operacij. Vzemimo nalogo in izračunajmo vrednost dveh konceptov, ki smo jih preučevali hkrati. Poleg tega nas je motila teorija – čas je za prakso.
Še en primer
Izvedli smo 50 poskusov in dobili 10 vrst rezultatov – številke od 0 do 9 –, ki se pojavljajo v različnih odstotkih. To so: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Spomnimo se, da morate za pridobitev verjetnosti odstotne vrednosti deliti s 100. Tako dobimo 0,02; 0,1 itd. Naj predstavimo primer reševanja problema za varianco naključne spremenljivke in matematično pričakovanje.
Aritmetično sredino izračunamo s formulo, ki se je spomnimo iz osnovne šole: 50/10 = 5.
Zdaj pa prevedemo verjetnosti v število izidov "v kosih", da bo bolj priročno štetje. Dobimo 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 in 9. Od vsake dobljene vrednosti odštejemo aritmetično sredino, nakar vsakega od dobljenih rezultatov kvadriramo. Oglejte si, kako to storite s prvim elementom kot primer: 1 - 5 = (-4). Nadalje: (-4) * (-4) = 16. Za druge vrednosti opravite te operacije sami. Če ste naredili vse pravilno, potem po dodajanju vsega dobite 90.
Nadaljujmo z izračunom variance in povprečja tako, da 90 delimo z N. Zakaj izberemo N in ne N-1? Tako je, saj število izvedenih poskusov presega 30. Torej: 90/10 = 9. Dobili smo disperzijo. Če dobite drugo številko, ne obupajte. Najverjetneje ste naredili banalno napako pri izračunih. Še enkrat preveri, kaj si napisal, pa bo zagotovo vse prišlo na svoje mesto.
Na koncu se spomnimo formule matematičnega pričakovanja. Ne bomo dali vseh izračunov, napisali bomo le odgovor, s katerim lahko preverite po zaključku vseh zahtevanih postopkov. Pričakovana vrednost bo 5,48. Spomnimo se le, kako izvajati operacije na primeru prvih elementov: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... in tako naprej. Kot lahko vidite, preprosto pomnožimo vrednost izida z njegovo verjetnostjo.
Odstopanje
Drug koncept, ki je tesno povezan z disperzijo in matematičnim pričakovanjem, je standardni odklon. Označena je z latinskimi črkami sd ali z grškimi malimi črkami "sigma". Ta koncept kaže, kako v povprečju vrednosti odstopajo od osrednje značilnosti. Če želite najti njegovo vrednost, morate izračunati kvadratni koren variance.
Če narišete normalno porazdelitev in želite videti kvadratno odstopanje neposredno na njej, lahko to storite v več korakih. Vzemite polovico slike levo ali desno od načina (srednja vrednost), narišite pravokotno na vodoravno os, tako da so površine nastalih številk enake. Vrednost segmenta med sredino porazdelitve in nastalo projekcijo na vodoravno os bo standardni odklon.
Programska oprema
Kot je razvidno iz opisov formul in predstavljenih primerov, izračun variance in matematičnega pričakovanja z aritmetičnega vidika ni najlažji postopek. Da ne bi izgubljali časa, je smiselno uporabiti program, ki se uporablja v visokem šolstvu - imenuje se "R". Ima funkcije, ki vam omogočajo izračun vrednosti za številne koncepte iz statistike in teorije verjetnosti.
Na primer, definirate vektor vrednosti. To se naredi na naslednji način: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
končno
Razpršenost in matematično pričakovanje sta brez katerih je v prihodnosti težko kaj izračunati. V glavnem tečaju predavanj na univerzah se upoštevajo že v prvih mesecih študija predmeta. Prav zaradi nerazumevanja teh enostavnih pojmov in nezmožnosti njihovega izračuna mnogi študenti takoj začnejo zaostajati v programu in kasneje dobijo slabe ocene na seji, zaradi česar so prikrajšani za štipendijo.
Vadite vsaj en teden po pol ure na dan in rešujete naloge, podobne tistim, ki so predstavljene v tem članku. Nato se boste na katerem koli testu teorije verjetnosti spopadli s primeri brez tujih nasvetov in goljufij.
Matematično pričakovanje je povprečna vrednost naključne spremenljivke.Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov vseh možnih vrednosti in njihovih verjetnosti:
Primer.
X -4 6 10
p 0,2 0,3 0,5
Rešitev: Matematično pričakovanje je enako vsoti produktov vseh možnih vrednosti X in njihovih verjetnosti:
M (X) \u003d 4 * 0,2 + 6 * 0,3 + 10 * 0,5 \u003d 6.
Za izračun matematičnega pričakovanja je priročno izvesti izračune v Excelu (še posebej, če je podatkov veliko), predlagamo uporabo že pripravljene predloge ().
Primer za samostojno rešitev (lahko uporabite kalkulator).
Poiščite matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke X, ki jo podaja zakon porazdelitve:
X 0,21 0,54 0,61
p 0,1 0,5 0,4
Matematično pričakovanje ima naslednje lastnosti.
Lastnost 1. Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako sami konstanti: М(С)=С.
Lastnost 2. Iz predznaka pričakovanja lahko vzamemo konstantni faktor: М(СХ)=СМ(Х).
Lastnost 3. Matematično pričakovanje produkta medsebojno neodvisnih naključnih spremenljivk je enako zmnožku matematičnih pričakovanj faktorjev: M (X1X2 ... Xp) \u003d M (X1) M (X2) *. ..*M(Xn)
Lastnost 4. Matematično pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj členov: М(Хг + Х2+...+Хn) = М(Хг)+М(Х2)+…+М (Хn).
Naloga 189. Poišči matematično pričakovanje naključne spremenljivke Z, če sta znani matematični pričakovanji X in Y: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;
Rešitev: Z uporabo lastnosti matematičnega pričakovanja (matematično pričakovanje vsote je enako vsoti matematičnih pričakovanj členov; konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka matematičnega pričakovanja), dobimo M(Z)= M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.
190. Z uporabo lastnosti matematičnega pričakovanja dokaži, da je: a) M(X - Y) = M(X)-M (Y); b) matematično pričakovanje deviacije X-M(X) je nič.
191. Diskretna naključna spremenljivka X ima tri možne vrednosti: x1= 4 Z verjetnostjo p1 = 0,5; x3 = 6 Z verjetnostjo P2 = 0,3 in x3 z verjetnostjo p3. Poiščite: x3 in p3, saj vemo, da je M(X)=8.
192. Podan je seznam možnih vrednosti diskretne naključne spremenljivke X: x1 \u003d -1, x2 \u003d 0, x3 \u003d 1, znana so tudi matematična pričakovanja te količine in njenega kvadrata: M (X ) \u003d 0,1, M (X ^ 2) \u003d 0 ,9. Poiščite verjetnosti p1, p2, p3, ki ustrezajo možnim vrednostim xi
194. Serija 10 delov vsebuje tri nestandardne dele. Dva predmeta sta bila izbrana naključno. Poiščite matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke X - število nestandardnih delov med dvema izbranima.
196. Poišči matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke X-števila takšnih metov petih kock, pri vsaki od katerih se bo na dveh kockah pojavila ena točka, če je skupno število metov dvajset.
Matematično pričakovanje binomske porazdelitve je enako zmnožku števila poskusov in verjetnosti, da se dogodek zgodi v enem poskusu:
Osnovne numerične značilnosti diskretnih in zveznih naključnih spremenljivk: matematično pričakovanje, varianca in standardni odklon. Njihove lastnosti in primeri.
Zakon distribucije (funkcija porazdelitve in porazdelitveni niz ali gostota verjetnosti) v celoti opisuje obnašanje naključne spremenljivke. Toda pri številnih težavah je dovolj poznati nekatere numerične značilnosti preučevane količine (na primer njeno povprečno vrednost in morebitno odstopanje od nje), da odgovorimo na zastavljeno vprašanje. Razmislite o glavnih numeričnih značilnostih diskretnih naključnih spremenljivk.
Opredelitev 7.1.matematično pričakovanje Diskretna naključna spremenljivka je vsota produktov njenih možnih vrednosti in njihovih ustreznih verjetnosti:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p(7.1)
Če je število možnih vrednosti naključne spremenljivke neskončno, potem če se nastala serija absolutno konvergira.
Opomba 1. Včasih se imenuje matematično pričakovanje Povprečna teža, saj je približno enaka aritmetični sredini opazovanih vrednosti naključne spremenljivke za veliko število poskusov.
Opomba 2. Iz definicije matematičnega pričakovanja izhaja, da njegova vrednost ni manjša od najmanjše možne vrednosti naključne spremenljivke in ne večja od največje.
Opomba 3. Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je nenaključni(konstantno. Kasneje bomo videli, da enako velja za neprekinjene naključne spremenljivke.
Primer 1. Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke X- število standardnih delov med tremi izbranimi iz serije 10 delov, vključno z 2 pokvarjenima. Sestavimo distribucijsko serijo za X. Iz pogoja problema izhaja, da X lahko sprejme vrednosti 1, 2, 3. Nato
Primer 2. Definirajte matematično pričakovanje naključne spremenljivke X- število metov kovanca do prvega pojava grba. Ta količina lahko sprejme neskončno število vrednosti (množica možnih vrednosti je množica naravnih števil). Njegova distribucijska serija ima obliko:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (pri izračunu je bila dvakrat uporabljena formula za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije: , od koder ).
Lastnosti matematičnega pričakovanja.
1) Matematično pričakovanje konstante je enako sami konstanti:
M(IZ) = IZ.(7.2)
Dokaz. Če upoštevamo IZ kot diskretna naključna spremenljivka, ki ima samo eno vrednost IZ z verjetnostjo R= 1, torej M(IZ) = IZ?1 = IZ.
2) Iz predznaka pričakovanja je mogoče vzeti konstantni faktor:
M(CX) = CM(X). (7.3)
Dokaz. Če je naključna spremenljivka X podana z distribucijskim nizom
Potem M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = IZ(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).
Opredelitev 7.2. Klicani sta dve naključni spremenljivki neodvisna, če zakon porazdelitve enega od njih ni odvisen od vrednosti, ki jih je prevzel drugi. Sicer pa naključne spremenljivke odvisen.
Opredelitev 7.3. pokličimo produkt neodvisnih naključnih spremenljivk X in Y naključna spremenljivka XY, katerih možne vrednosti so enake zmnožkom vseh možnih vrednosti X za vse možne vrednosti Y, verjetnosti, ki jim ustrezajo, pa so enake zmnožkom verjetnosti faktorjev.
3) Matematično pričakovanje produkta dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enako zmnožku njunih matematičnih pričakovanj:
M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)
Dokaz. Za poenostavitev izračunov se omejimo na primer, ko X in Y sprejme samo dve možni vrednosti:
posledično M(XY) = x 1 y 1 ?str 1 g 1 + x 2 y 1 ?str 2 g 1 + x 1 y 2 ?str 1 g 2 + x 2 y 2 ?str 2 g 2 = y 1 g 1 (x 1 str 1 + x 2 str 2) + + y 2 g 2 (x 1 str 1 + x 2 str 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (x 1 str 1 + x 2 str 2) = M(X)?M(Y).
Opomba 1. Podobno je mogoče dokazati to lastnost za več možnih vrednosti faktorjev.
Opomba 2. Lastnost 3 velja za produkt poljubnega števila neodvisnih naključnih spremenljivk, kar dokazujemo z metodo matematične indukcije.
Opredelitev 7.4. Definirajmo vsota naključnih spremenljivk X in Y kot naključna spremenljivka X + Y, katerih možne vrednosti so enake vsoti vsake možne vrednosti X z vsako možno vrednostjo Y; verjetnosti takšnih vsot so enake zmnožkom verjetnosti členov (za odvisne naključne spremenljivke - zmnožek verjetnosti enega člena s pogojno verjetnostjo drugega).
4) Matematično pričakovanje vsote dveh naključnih spremenljivk (odvisnih ali neodvisnih) je enako vsoti matematičnih pričakovanj izrazov:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Dokaz.
Ponovno razmislite o naključnih spremenljivkah, ki jih poda distribucijska vrsta, podana v dokazu lastnosti 3. Nato možne vrednosti X+Y so X 1 + pri 1 , X 1 + pri 2 , X 2 + pri 1 , X 2 + pri 2. Njihove verjetnosti označimo kot R 11 , R 12 , R 21 in R 22. Najdimo M(X+Y) = (x 1 + y 1)str 11 + (x 1 + y 2)str 12 + (x 2 + y 1)str 21 + (x 2 + y 2)str 22 =
= x 1 (str 11 + str 12) + x 2 (str 21 + str 22) + y 1 (str 11 + str 21) + y 2 (str 12 + str 22).
Dokažimo to R 11 + R 22 = R ena . Pravzaprav dogodek, ki X+Y bo prevzela vrednosti X 1 + pri 1 oz X 1 + pri 2 in katere verjetnost je R 11 + R 22 sovpada z dogodkom, ki X = X 1 (njegova verjetnost je R ena). Podobno je dokazano, da str 21 + str 22 = R 2 , str 11 + str 21 = g 1 , str 12 + str 22 = g 2. pomeni,
M(X+Y) = x 1 str 1 + x 2 str 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
Komentar. Lastnost 4 pomeni, da je vsota poljubnega števila naključnih spremenljivk enaka vsoti pričakovanih vrednosti izrazov.
Primer. Poiščite matematično pričakovanje vsote števila vrženih točk pri metanju petih kock.
Poiščimo matematično pričakovanje števila točk, ki so padle pri metanju ene kocke:
M(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Enako število je enako matematičnemu pričakovanju števila točk, ki so padle na katero koli kocko. Zato z lastnostjo 4 M(X)=
Disperzija.
Da bi imeli predstavo o obnašanju naključne spremenljivke, ni dovolj, da poznamo le njeno matematično pričakovanje. Upoštevajte dve naključni spremenljivki: X in Y, podano z distribucijskimi serijami obrazca
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| str | 0,5 | 0,5 |
Najdimo M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) \u003d 0? 0,5 + 100? 0,5 \u003d 50. Kot lahko vidite, so matematična pričakovanja obeh količin enaka, če pa za HM(X) dobro opiše obnašanje naključne spremenljivke, saj je njena najverjetnejša možna vrednost (poleg tega se preostale vrednosti nekoliko razlikujejo od 50), potem vrednosti Y bistveno odstopajo od M(Y). Zato je poleg matematičnega pričakovanja zaželeno vedeti, koliko vrednosti naključne spremenljivke odstopajo od njega. Za karakterizacijo tega indikatorja se uporablja disperzija.
Opredelitev 7.5.Disperzija (razprševanje) naključna spremenljivka se imenuje matematično pričakovanje kvadrata njenega odstopanja od matematičnega pričakovanja:
D(X) = M (X-M(X))². (7,6)
Poiščite varianco naključne spremenljivke X(število standardnih delov med izbranimi) v primeru 1 tega predavanja. Izračunajmo vrednosti kvadrata odstopanja vsake možne vrednosti od matematičnega pričakovanja:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. posledično
Opomba 1. V definiciji variance se ne ocenjuje samo odstopanje od srednje vrednosti, temveč njegov kvadrat. To se naredi tako, da se odstopanja različnih znakov med seboj ne kompenzirajo.
Opomba 2. Iz definicije disperzije izhaja, da ima ta količina le nenegativne vrednosti.
Opomba 3. Obstaja bolj priročna formula za izračun variance, katere veljavnost je dokazana v naslednjem izreku:
Izrek 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Dokaz.
Z uporabo česa M(X) je konstantna vrednost, lastnosti matematičnega pričakovanja pa pretvorimo formulo (7.6) v obliko:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), kar je bilo treba dokazati.
Primer. Izračunajmo variance naključnih spremenljivk X in Y obravnavana na začetku tega razdelka. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) \u003d (0 2? 0,5 + 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Torej je disperzija druge naključne spremenljivke nekaj tisočkrat večja od disperzije prve. Tako lahko tudi brez poznavanja zakonov porazdelitve teh količin glede na znane vrednosti disperzije trdimo, da X malo odstopa od svojih matematičnih pričakovanj, medtem ko za Y to odstopanje je zelo pomembno.
Disperzijske lastnosti.
1) Disperzijska konstanta IZ enako nič:
D (C) = 0. (7.8)
Dokaz. D(C) = M((C-M(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Konstantni faktor je mogoče vzeti iz znaka disperzije tako, da ga kvadriramo:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Dokaz. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Varianca vsote dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti njunih variance:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Dokaz. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Posledica 1. Varianca vsote več medsebojno neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti njihovih varianc.
Posledica 2. Varianca vsote konstante in naključne spremenljivke je enaka varianci naključne spremenljivke.
4) Varianca razlike dveh neodvisnih naključnih spremenljivk je enaka vsoti njunih variance:
D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Dokaz. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Varianca daje povprečno vrednost kvadrata odstopanja naključne spremenljivke od povprečja; za oceno samega odstopanja je vrednost, imenovana standardni odklon.
Opredelitev 7.6.Standardni odklonσ naključna spremenljivka X se imenuje kvadratni koren variance:
Primer. V prejšnjem primeru so standardna odstopanja X in Y enaka oz
Matematično pričakovanje in varianca sta najpogosteje uporabljeni numerični karakteristiki naključne spremenljivke. Zaznamujejo najpomembnejše značilnosti porazdelitve: njen položaj in stopnjo razpršenosti. V mnogih praktičnih problemih popolnega, izčrpnega opisa naključne spremenljivke - zakona porazdelitve - sploh ni mogoče dobiti ali pa sploh ni potreben. V teh primerih so omejeni na približen opis naključne spremenljivke z uporabo numeričnih značilnosti.
Matematično pričakovanje se pogosto imenuje preprosto povprečna vrednost naključne spremenljivke. Disperzija naključne spremenljivke je značilnost disperzije, disperzija naključne spremenljivke okoli njenega matematičnega pričakovanja.
Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke
Približajmo se konceptu matematičnega pričakovanja, pri čemer najprej izhajamo iz mehanske interpretacije porazdelitve diskretne naključne spremenljivke. Naj bo masa enote porazdeljena med točkami osi x x1 , x 2 , ..., x n, in vsaka materialna točka ima maso, ki ji ustreza iz str1 , str 2 , ..., str n. Izbrati je treba eno točko na osi x, ki označuje položaj celotnega sistema materialnih točk, ob upoštevanju njihove mase. Za takšno točko je naravno vzeti središče mase sistema materialnih točk. To je tehtano povprečje naključne spremenljivke X, v katerem je abscisa vsake točke xjaz vstopi z "težo", ki je enaka ustrezni verjetnosti. Srednja vrednost tako pridobljene naključne spremenljivke X se imenuje njegovo matematično pričakovanje.
Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov vseh možnih vrednosti in verjetnosti teh vrednosti:
Primer 1 Organizirali win-win loterije. Obstaja 1000 dobitkov, od tega 400 po 10 rubljev. 300-20 rubljev vsak 200-100 rubljev vsak. in 100 - 200 rubljev vsak. Kolikšen je povprečni dobitek za osebo, ki kupi eno vstopnico?
Rešitev. Povprečni dobitek bomo našli, če se skupni znesek dobitkov, ki je enak 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubljev, deli s 1000 (skupni znesek dobitkov). Potem dobimo 50000/1000 = 50 rubljev. Toda izraz za izračun povprečnega dobička je lahko predstavljen tudi v naslednji obliki:
Po drugi strani pa je pod temi pogoji znesek dobitka naključna spremenljivka, ki lahko prevzame vrednosti 10, 20, 100 in 200 rubljev. z verjetnostjo, ki je enaka 0,4; 0,3; 0,2; 0.1. Zato je pričakovano povprečno izplačilo enako vsoti produktov velikosti izplačil in verjetnosti njihovega prejema.
Primer 2 Založba se je odločila izdati novo knjigo. Knjigo bo prodal za 280 rubljev, od tega bo 200 dobil njemu, 50 knjigarni in 30 avtorju. V tabeli so podani podatki o stroških izdaje knjige in verjetnosti prodaje določenega števila izvodov knjige.
Poiščite pričakovani dobiček založnika.
Rešitev. Naključna spremenljivka "dobiček" je enaka razliki med prihodkom od prodaje in stroški stroškov. Na primer, če je prodanih 500 izvodov knjige, je prihodek od prodaje 200 * 500 = 100.000, stroški izdaje pa 225.000 rubljev. Tako se založnik sooča z izgubo v višini 125.000 rubljev. Naslednja tabela povzema pričakovane vrednosti naključne spremenljivke - dobiček:
| Številka | Dobiček xjaz | Verjetnost strjaz | xjaz str jaz |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Skupaj: | 1,00 | 25000 |
Tako dobimo matematično pričakovanje dobička založnika:
.
Primer 3 Možnost zadeti z enim strelom str= 0,2. Določite porabo lupin, ki zagotavljajo matematično pričakovanje števila zadetkov, ki je enako 5.
Rešitev. Iz iste formule za pričakovanja, ki smo jo uporabljali do sedaj, izražamo x- poraba školjk:
.
Primer 4 Določite matematično pričakovanje naključne spremenljivke xštevilo zadetkov s tremi streli, če je verjetnost zadetka z vsakim strelom str = 0,4 .
Namig: poiščite verjetnost vrednosti naključne spremenljivke Bernoullijeva formula .
Pričakovane lastnosti
Razmislite o lastnostih matematičnega pričakovanja.
Lastnost 1. Matematično pričakovanje konstantne vrednosti je enako tej konstanti:
Lastnost 2. Konstantni faktor je mogoče vzeti iz znaka pričakovanja:
Lastnost 3. Matematično pričakovanje vsote (razlike) naključnih spremenljivk je enako vsoti (razliki) njihovih matematičnih pričakovanj:
Lastnost 4. Matematično pričakovanje produkta naključnih spremenljivk je enako produktu njihovih matematičnih pričakovanj:
Lastnost 5.Če so vse vrednosti naključne spremenljivke X zmanjšati (povečati) za isto število IZ, potem se bo njegovo matematično pričakovanje zmanjšalo (povečalo) za isto število:
Ko se ne morete omejiti le na matematična pričakovanja
V večini primerov samo matematično pričakovanje ne more ustrezno opisati naključne spremenljivke.
Naj bodo naključne spremenljivke X in Y so podani z naslednjimi zakoni o distribuciji:
| Pomen X | Verjetnost |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Pomen Y | Verjetnost |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Matematična pričakovanja teh količin so enaka - enaka nič:
Vendar je njihova porazdelitev drugačna. Naključna vrednost X lahko sprejme le vrednosti, ki se malo razlikujejo od matematičnega pričakovanja, in naključne spremenljivke Y lahko sprejme vrednosti, ki bistveno odstopajo od matematičnega pričakovanja. Podoben primer: povprečna plača ne omogoča presojanja deleža visoko in nizko plačanih delavcev. Povedano drugače, po matematičnem pričakovanju ni mogoče presoditi, kakšna odstopanja od njega so vsaj v povprečju možna. Če želite to narediti, morate najti varianco naključne spremenljivke.
Disperzija diskretne naključne spremenljivke
disperzija diskretna naključna spremenljivka X se imenuje matematično pričakovanje kvadrata njegovega odstopanja od matematičnega pričakovanja:
Standardna deviacija naključne spremenljivke X je aritmetična vrednost kvadratnega korena njegove variance:
.
Primer 5 Izračunajte variance in standardne deviacije naključnih spremenljivk X in Y, katerih zakoni o distribuciji so podani v zgornjih tabelah.
Rešitev. Matematična pričakovanja naključnih spremenljivk X in Y, kot je ugotovljeno zgoraj, so enake nič. Po disperzijski formuli za E(X)=E(y)=0 dobimo:
Nato standardne deviacije naključnih spremenljivk X in Y sestavljajo
.
Torej, z enakimi matematičnimi pričakovanji, varianca naključne spremenljivke X zelo majhna in naključna Y- pomembno. To je posledica razlike v njihovi porazdelitvi.
Primer 6 Investitor ima 4 alternativne naložbene projekte. V tabeli so povzeti podatki o pričakovanem dobičku v teh projektih z ustrezno verjetnostjo.
| Projekt 1 | Projekt 2 | Projekt 3 | Projekt 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Za vsako alternativo poiščite matematično pričakovanje, varianco in standardno deviacijo.
Rešitev. Pokažimo, kako se izračunajo te količine za 3. alternativo:
Tabela povzema najdene vrednosti za vse alternative.
Vse alternative imajo enaka matematična pričakovanja. To pomeni, da imajo na dolgi rok vsi enake prihodke. Standardno odstopanje lahko razlagamo kot merilo tveganja – večje kot je, večje je tveganje naložbe. Investitor, ki ne želi veliko tveganja, bo izbral projekt 1, ker ima najmanjši standardni odklon (0). Če ima investitor raje tveganje in visoke donose v kratkem času, bo izbral projekt z največjim standardnim odklonom - projekt 4.
Disperzijske lastnosti
Naj predstavimo lastnosti disperzije.
Lastnost 1. Disperzija konstantne vrednosti je nič:
Lastnost 2. Konstantni faktor je mogoče vzeti iz znaka disperzije tako, da ga kvadrirate:
.
Lastnost 3. Varianca naključne spremenljivke je enaka matematičnemu pričakovanju kvadrata te vrednosti, od katerega se odšteje kvadrat matematičnega pričakovanja same vrednosti:
,
kje 
.
Lastnost 4. Varianca vsote (razlike) naključnih spremenljivk je enaka vsoti (razliki) njihovih varianc:
Primer 7 Znano je, da je diskretna naključna spremenljivka X ima samo dve vrednosti: −3 in 7. Poleg tega je znano matematično pričakovanje: E(X) = 4 . Poiščite varianco diskretne naključne spremenljivke.
Rešitev. Označi z str verjetnost, s katero naključna spremenljivka prevzame vrednost x1 = −3 . Nato verjetnost vrednosti x2 = 7 bo 1 − str. Izpeljimo enačbo za matematično pričakovanje:
E(X) = x 1 str + x 2 (1 − str) = −3str + 7(1 − str) = 4 ,
kje dobimo verjetnosti: str= 0,3 in 1 − str = 0,7 .
Zakon porazdelitve naključne spremenljivke:
| X | −3 | 7 |
| str | 0,3 | 0,7 |
Varianco te naključne spremenljivke izračunamo s formulo iz lastnosti 3 variance:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Sami poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke in si oglejte rešitev
Primer 8 Diskretna naključna spremenljivka X ima samo dve vrednosti. Prevzame večjo vrednost 3 z verjetnostjo 0,4. Poleg tega je znana varianca naključne spremenljivke D(X) = 6 . Poiščite matematično pričakovanje naključne spremenljivke.
Primer 9 Urna vsebuje 6 belih in 4 črne kroglice. Iz žare se vzamejo 3 kroglice. Število belih kroglic med izžrebanimi kroglicami je diskretna naključna spremenljivka X. Poiščite matematično pričakovanje in varianco te naključne spremenljivke.
Rešitev. Naključna vrednost X lahko sprejme vrednosti 0, 1, 2, 3. Ustrezne verjetnosti se lahko izračunajo iz pravilo množenja verjetnosti. Zakon porazdelitve naključne spremenljivke:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| str | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Od tod matematično pričakovanje te naključne spremenljivke:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varianca dane naključne spremenljivke je:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Matematično pričakovanje in disperzija neprekinjene naključne spremenljivke
Za neprekinjeno naključno spremenljivko bo mehanska interpretacija matematičnega pričakovanja ohranila enak pomen: središče mase za enoto mase, neprekinjeno porazdeljeno na osi x z gostoto f(x). V nasprotju z diskretno naključno spremenljivko, za katero je argument funkcije xjaz se nenadoma spremeni, za neprekinjeno naključno spremenljivko se argument nenehno spreminja. Toda matematično pričakovanje neprekinjene naključne spremenljivke je povezano tudi z njeno srednjo vrednostjo.
Če želite najti matematično pričakovanje in varianco neprekinjene naključne spremenljivke, morate najti določene integrale . Če je podana gostotna funkcija neprekinjene naključne spremenljivke, vstopi neposredno v integrand. Če je podana funkcija porazdelitve verjetnosti, morate z razlikovanjem poiskati funkcijo gostote.
Aritmetično povprečje vseh možnih vrednosti neprekinjene naključne spremenljivke se imenuje njena matematično pričakovanje, označeno z ali .
Matematično pričakovanje je definicija
Mat čaka eden najpomembnejših konceptov v matematični statistiki in teoriji verjetnosti, ki označuje porazdelitev vrednosti oz. verjetnosti naključna spremenljivka. Običajno izraženo kot tehtano povprečje vseh možnih parametrov naključne spremenljivke. Široko se uporablja v tehnični analizi, preučevanju številskih vrst, preučevanju neprekinjenih in dolgotrajnih procesov. Pomemben je pri ocenjevanju tveganj, napovedovanju kazalnikov cen pri trgovanju na finančnih trgih in se uporablja pri razvoju strategij in metod taktike igre v teorija iger na srečo.
Šah-mat čaka- to je srednja vrednost naključne spremenljivke, porazdelitev verjetnosti naključna spremenljivka se obravnava v teoriji verjetnosti.
Mat čaka merilo srednje vrednosti naključne spremenljivke v teoriji verjetnosti. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke x označeno M(x).
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Mat čaka
Mat čaka v teoriji verjetnosti, tehtano povprečje vseh možnih vrednosti, ki jih lahko sprejme ta naključna spremenljivka.
Mat čaka vsota produktov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke z verjetnostmi teh vrednosti.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Mat čaka povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je tako odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikih števil in dolge razdalje.
Mat čaka v teoriji iger na srečo znesek dobička, ki ga lahko špekulant v povprečju zasluži ali izgubi za vsako stavo. V jeziku iger na srečo špekulanti to se včasih imenuje "prednost špekulant” (če je pozitiven za špekulanta) ali “house edge” (če je negativen za špekulanta).
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Mat čaka dobiček na zmago, pomnožen s povprečjem dobiček, minus izguba, pomnožena s povprečno izgubo.
Matematično pričakovanje naključne spremenljivke v matematični teoriji
Ena od pomembnih numeričnih značilnosti naključne spremenljivke je pričakovanje. Uvedemo pojem sistema naključnih spremenljivk. Razmislite o nizu naključnih spremenljivk, ki so rezultati istega naključnega poskusa. Če je ena od možnih vrednosti sistema, potem dogodek ustreza določeni verjetnosti, ki izpolnjuje Kolmogorovove aksiome. Funkcija, definirana za vse možne vrednosti naključnih spremenljivk, se imenuje skupni zakon porazdelitve. Ta funkcija vam omogoča izračun verjetnosti vseh dogodkov. Zlasti sklepni zakon porazdelitev naključnih spremenljivk in, ki jemljejo vrednosti iz nabora in, je podana z verjetnostmi.
Izraz "mat. pričakovanje" je uvedel Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) in izvira iz koncepta "pričakovane vrednosti izplačila", ki se je prvič pojavil v 17. stoletju v teoriji iger na srečo v delih Blaisea Pascala in Christiana Huygensa. Vendar pa je prvo popolno teoretično razumevanje in oceno tega koncepta dal Pafnuty Lvovich Chebyshev (sredina 19. stoletja).
zakon porazdelitve naključnih številskih spremenljivk (distribucijske funkcije in porazdelitvene serije ali gostote verjetnosti) v celoti opisujejo obnašanje naključne spremenljivke. Toda pri številnih težavah je dovolj poznati nekatere numerične značilnosti preučevane količine (na primer njeno povprečno vrednost in morebitno odstopanje od nje), da odgovorimo na zastavljeno vprašanje. Glavne numerične značilnosti naključnih spremenljivk so pričakovanje, varianca, način in mediana.
Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke je vsota produktov njenih možnih vrednosti in njihovih ustreznih verjetnosti. Včasih mat. pričakovanje imenujemo tehtano povprečje, saj je približno enako aritmetični sredini opazovanih vrednosti naključne spremenljivke v velikem številu poskusov. Iz definicije mat pričakovanj izhaja, da njegova vrednost ni manjša od najmanjše možne vrednosti naključne spremenljivke in ne večja od največje. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je nenaključna (konstantna) spremenljivka.
Matematično pričakovanje ima preprost fizični pomen: če je enota mase postavljena na ravno črto, da se nekaj mase postavi na določene točke (za diskretno porazdelitev) ali jo "zamaže" z določeno gostoto (za absolutno neprekinjeno porazdelitev), potem točka, ki ustreza pričakovanju preproge, bo koordinata "težišče" naravnost.
Povprečna vrednost naključne spremenljivke je določeno število, ki je tako rekoč njen "predstavnik" in ga nadomešča v grobih približnih izračunih. Ko rečemo: "povprečni čas delovanja svetilke je 100 ur" ali "povprečna točka udarca se premakne glede na tarčo za 2 m v desno", s tem označimo določeno numerično karakteristiko naključne spremenljivke, ki opisuje njeno mesto na številski osi, t.j. opis položaja.
Od značilnosti situacije v teoriji verjetnosti ima najpomembnejšo vlogo pričakovanje naključne spremenljivke, ki jo včasih imenujemo preprosto povprečna vrednost naključne spremenljivke.
Razmislite o naključni spremenljivki X, ki ima možne vrednosti x1, x2, …, xn z verjetnostmi p1, p2, …, pn. Z neko številko moramo označiti položaj vrednosti naključne spremenljivke na osi x z ob upoštevanju da imajo te vrednosti različne verjetnosti. V ta namen je naravno uporabiti tako imenovano "uteženo povprečje" vrednosti xi, in vsako vrednost xi med povprečenjem je treba upoštevati z "težo", sorazmerno z verjetnostjo te vrednosti. Tako bomo izračunali povprečje naključne spremenljivke X, ki ga bomo označili M|X|:
To tehtano povprečje se imenuje mat pričakovanje naključne spremenljivke. Tako smo v obravnavo uvedli enega najpomembnejših konceptov teorije verjetnosti - pojem mat. pričakovanja. Mat. Pričakovanje naključne spremenljivke je vsota produktov vseh možnih vrednosti naključne spremenljivke in verjetnosti teh vrednosti.
Mat. pričakovanje naključne spremenljivke X zaradi posebne odvisnosti od aritmetične sredine opaženih vrednosti naključne spremenljivke z velikim številom poskusov. Ta odvisnost je iste vrste kot odvisnost med frekvenco in verjetnostjo, in sicer: pri velikem številu poskusov se aritmetična sredina opazovanih vrednosti naključne spremenljivke približa (konvergira po verjetnosti) njeni mat. čakanje. Iz prisotnosti razmerja med frekvenco in verjetnostjo lahko kot posledico razberemo, da obstaja podobno razmerje med aritmetično sredino in matematičnim pričakovanjem. Dejansko upoštevajte naključno spremenljivko X, za katerega je značilna vrsta distribucij:
Naj se proizvede N neodvisni poskusi, v vsakem od katerih je vrednost X prevzame določeno vrednost. Recimo vrednost x1 pojavil m1časi, vrednost x2 pojavil m2čas, splošni pomen xi pojavil mi krat. Izračunajmo aritmetično sredino opazovanih vrednosti X, ki je v nasprotju s pričakovanji M|X| bomo označili M*|X|:
S povečanjem števila poskusov N frekvence pi se bo približala (konvergirala v verjetnosti) ustreznim verjetnostim. Zato je aritmetična sredina opazovanih vrednosti naključne spremenljivke M|X| s povečanjem števila poskusov se bo približal (verjetnostno zbližal) svojemu pričakovanju. Zgoraj formulirano razmerje med aritmetično sredino in mat. pričakovanje je vsebina ene od oblik zakona velikih števil.
Že vemo, da vse oblike zakona velikih števil navajajo dejstvo, da so nekatera povprečja stabilna v velikem številu poskusov. Tukaj govorimo o stabilnosti aritmetične sredine iz serije opazovanj iste vrednosti. Pri majhnem številu poskusov je aritmetična sredina njihovih rezultatov naključna; z zadostnim povečanjem števila poskusov postane "skoraj ne naključno" in se pri stabilizaciji približa konstantni vrednosti - mat. čakanje.
Lastnost stabilnosti povprečja za veliko število poskusov je enostavno eksperimentalno preveriti. Na primer, tehtanje katerega koli telesa v laboratoriju na natančni tehtnici, kot rezultat tehtanja vsakič dobimo novo vrednost; za zmanjšanje napake opazovanja telo večkrat stehtamo in uporabimo aritmetično sredino dobljenih vrednosti. Preprosto je videti, da se z nadaljnjim povečevanjem števila poskusov (tehtanja) aritmetična sredina na to povečanje vedno manj odziva, pri dovolj velikem številu poskusov pa se praktično neha spreminjati.
Treba je opozoriti, da je najpomembnejša značilnost položaja naključne spremenljivke mat. pričakovanje - ne obstaja za vse naključne spremenljivke. Možno je narediti primere takšnih naključnih spremenljivk, za katere mat. ni pričakovati, saj se ustrezna vsota ali integral razhajata. Vendar za prakso takšni primeri niso pomembni. Običajno imajo naključne spremenljivke, s katerimi se ukvarjamo, omejen razpon možnih vrednosti in imajo seveda mat pričakovanje.
Poleg najpomembnejših značilnosti položaja naključne spremenljivke, preproge pričakovanj, se v praksi včasih uporabljajo tudi druge značilnosti položaja, zlasti način in mediana naključne spremenljivke.
Način naključne spremenljivke je njena najverjetnejša vrednost. Izraz "najverjetnejša vrednost", strogo gledano, velja samo za prekinjene količine; za neprekinjeno količino je način vrednost vrednost, pri kateri je gostota verjetnosti največja. Slike prikazujejo način za diskontinuirane in zvezne naključne spremenljivke.
Če ima distribucijski poligon (distribucijska krivulja) več kot en maksimum, rečemo, da je porazdelitev "polimodalna".
Včasih obstajajo distribucije, ki imajo na sredini ne maksimum, ampak minimum. Takšne distribucije se imenujejo "antimodalne".
V splošnem primeru način in pričakovanje naključne spremenljivke ne sovpadata. V posebnem primeru, ko je distribucija simetrična in modalna (tj. ima način) in obstaja mat. pričakovanja, potem sovpada z načinom in središčem simetrije porazdelitve.
Pogosto se uporablja še ena značilnost položaja - tako imenovana mediana naključne spremenljivke. Ta lastnost se običajno uporablja samo za zvezne naključne spremenljivke, čeprav jo je mogoče formalno definirati tudi za diskontinuirano spremenljivko. Geometrijsko je mediana abscisa točke, na kateri je območje, omejeno s krivuljo porazdelitve, prepolovljeno.
V primeru simetrične modalne porazdelitve mediana sovpada z mat. pričakovanja in moda.
Matematično pričakovanje je povprečna vrednost, naključna spremenljivka - numerična značilnost porazdelitve verjetnosti naključne spremenljivke. Na najbolj splošen način, mat pričakovanje naključne spremenljivke X(w) je definiran kot Lebesgueov integral glede na verjetnostno mero R v prvotnem verjetnostnem prostoru:
Mat. pričakovanje lahko izračunamo tudi kot Lebesgueov integral od X po porazdelitvi verjetnosti px količine X:
Na naraven način lahko definiramo koncept naključne spremenljivke z neskončnim pričakovanjem. Tipičen primer so časi repatriacije pri nekaterih naključnih sprehodih.
S pomočjo mat. pričakovanja so opredeljena s številnimi numeričnimi in funkcionalnimi značilnostmi porazdelitve (kot matematično pričakovanje ustreznih funkcij naključne spremenljivke), na primer generacijska funkcija, karakteristična funkcija, momenti poljubnega reda, zlasti varianca, kovarianca.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Matematično pričakovanje je značilnost lokacije vrednosti naključne spremenljivke (povprečna vrednost njene porazdelitve). V tej vlogi matematično pričakovanje služi kot nekakšen "tipični" parameter porazdelitve in je njegova vloga podobna vlogi statičnega momenta - koordinate težišča porazdelitve mase - v mehaniki. Od ostalih značilnosti lokacije, s pomočjo katerih je porazdelitev opisana na splošno - mediane, modusi, pričakovanje se razlikujejo po večji vrednosti, ki jo imata in pripadajoča značilnost sipanja - varianca - v mejnih izrekih teorije verjetnosti. Z največjo popolnostjo razkrivata pomen pričakovanih podstavkov zakon velikih števil (Čebiševa neenakost) in okrepljen zakon velikih števil.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Matematično pričakovanje diskretne naključne spremenljivke
Naj obstaja neka naključna spremenljivka, ki lahko sprejme eno od več številskih vrednosti (na primer, število točk v metu kocke je lahko 1, 2, 3, 4, 5 ali 6). Pogosto se v praksi za takšno vrednost poraja vprašanje: kakšno vrednost vzame "v povprečju" pri velikem številu testov? Kakšen bo naš povprečni donos (ali izguba) iz posamezne tvegane operacije?
Recimo, da je kakšna loterija. Želimo razumeti, ali je donosno ali ne sodelovati v njem (ali celo sodelovati večkrat, redno). Recimo, da vsaka četrta vstopnica zmaga, nagrada bo 300 rubljev, vsaka vstopnica pa 100 rubljev. Pri neskončnem številu udeležbe se to zgodi. V treh četrtinah primerov bomo izgubili, vsaka tri izgube bodo stala 300 rubljev. V vsakem četrtem primeru bomo osvojili 200 rubljev. (nagrada minus stroški), torej za štiri udeležbe v povprečju izgubimo 100 rubljev, za eno - v povprečju 25 rubljev. Skupno bo povprečna cena naše ruševine 25 rubljev na vozovnico.
Vržemo kocko. Če ne gre za goljufanje (brez premika težišča itd.), koliko točk bomo imeli v povprečju naenkrat? Ker je vsaka možnost enako verjetna, vzamemo neumno aritmetično sredino in dobimo 3,5. Ker je to POVPREČNO, ni treba biti ogorčen, da noben poseben met ne bo dal 3,5 točke - no, ta kocka nima obraza s tako številko!
Zdaj pa povzamemo naše primere:
Poglejmo si sliko zgoraj. Na levi je tabela porazdelitve naključne spremenljivke. Vrednost X lahko sprejme eno od n možnih vrednosti (podanih v zgornji vrstici). Drugih vrednot ne more biti. Pod vsako možno vrednostjo je spodaj podpisana njena verjetnost. Na desni je formula, kjer se M(X) imenuje mat. čakanje. Pomen te vrednosti je, da bo pri velikem številu poskusov (z velikim vzorcem) povprečna vrednost nagnjena k temu pričakovanju.
Vrnimo se k isti igralni kocki. Mat. pričakovano število točk pri metu je 3,5 (če ne verjamete, izračunajte sami po formuli). Recimo, da ste ga nekajkrat vrgli. Izpadla sta 4 in 6. V povprečju se je izkazalo 5, torej daleč od 3,5. Ponovno so ga vrgli, 3 so izpadle, torej v povprečju (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Nekako daleč od blazine. pričakovanja. Zdaj naredite nor eksperiment - zavrtite kocko 1000-krat! In če povprečje ni ravno 3,5, potem bo blizu temu.
Preštejmo mat. čaka na zgoraj opisano loterijo. Tabela bo videti takole:
Potem bo šah-mat pričakovanja, kot smo ugotovili zgoraj.:
Druga stvar je, da je tudi "na prstih", brez formule bi bilo težko, če bi bilo več možnosti. No, recimo, da je bilo 75 % izgubljenih listkov, 20 % zmagovalnih listkov in 5 % zmagovalnih listkov.
Zdaj nekaj lastnosti preproge za pričakovanje.
Mat. čakanje je linearno. To je enostavno dokazati:
Konstantni množitelj je dovoljeno odstraniti iz predznaka mat. pričakovanja, to je:
To je poseben primer lastnosti linearnosti preprog pričakovanj.
Druga posledica linearnosti mat. pričakovanja:
to je mat. pričakovanje vsote naključnih spremenljivk je enako vsoti matematičnih pričakovanj naključnih spremenljivk.
Naj sta X, Y neodvisni naključni spremenljivki, potem:
To je tudi enostavno dokazati) XY sama je naključna spremenljivka, medtem ko bi lahko začetne vrednosti prevzele n in m vrednosti torej XY lahko sprejme vrednosti nm. vsaka od vrednosti se izračuna na podlagi dejstva, da se verjetnosti neodvisnih dogodkov pomnožijo. Kot rezultat dobimo tole:
Matematično pričakovanje neprekinjene naključne spremenljivke
Neprekinjene naključne spremenljivke imajo tako značilnost, kot je gostota porazdelitve (gostota verjetnosti). Pravzaprav označuje situacijo, da naključna spremenljivka pogosteje vzame nekatere vrednosti iz niza realnih številk, nekatere - manj pogosto. Na primer, upoštevajte ta grafikon:
tukaj X- pravzaprav naključna spremenljivka, f(x)- gostota porazdelitve. Sodeč po tem grafu, med poskusi, vrednost X bo pogosto število blizu nič. možnosti za preseganje 3 ali biti manj -3 precej čisto teoretično.
Če je gostota porazdelitve znana, se mat pričakovanja išče na naslednji način:
Naj na primer obstaja enotna porazdelitev:
Poiščimo podlogo. pričakovanje:
To je povsem skladno z intuitivnim razumevanjem. Recimo, če dobimo veliko naključnih realnih števil z enakomerno porazdelitvijo, vsak segment |0; 1| , potem mora biti aritmetična sredina približno 0,5.
Tudi tukaj veljajo lastnosti preprog pričakovanj - linearnost itd., ki veljajo za diskretne naključne spremenljivke.
Razmerje matematičnega pričakovanja z drugimi statističnimi kazalniki
AT statistično analiza skupaj z mat pričakovanjem obstaja sistem medsebojno odvisnih kazalnikov, ki odražajo homogenost pojavov in stabilnost procesov. Pogosto kazalniki variacij nimajo neodvisnega pomena in se uporabljajo za nadaljnjo analizo podatkov. Izjema je koeficient variacije, ki označuje homogenost podatkov kar je vredno statistično značilnost.
Stopnja variabilnosti ali stabilnosti procesov v statistični znanosti je mogoče meriti z več kazalniki.
Najpomembnejši kazalnik, ki označuje variabilnost naključna spremenljivka, je Disperzija, ki je najtesneje in neposredno povezana z mat. čakanje. Ta parameter se aktivno uporablja pri drugih vrstah statističnih analiz (preverjanje hipotez, analiza vzročno-posledičnih razmerij itd.). Tako kot povprečna linearna deviacija tudi varianca odraža mero razpršenosti podatkov okoli povprečja.
Koristno je prevesti jezik znakov v jezik besed. Izkazalo se je, da je varianca povprečni kvadrat odstopanj. To pomeni, da se najprej izračuna povprečna vrednost, nato se vzame razlika med vsako izvirno in povprečno vrednostjo, kvadrira, sešteje in nato deli s številom vrednosti v tej populaciji. Razlika med eno samo vrednostjo in povprečjem odraža mero odstopanja. Kvadrat je tako, da zagotovimo, da vsa odstopanja postanejo izključno pozitivna števila in da se izognemo medsebojnemu izničevanju pozitivnih in negativnih odstopanj, ko se seštejejo. Nato glede na kvadratna odstopanja preprosto izračunamo aritmetično sredino. Povprečje - na kvadrat - odstopanja. Odstopanja so kvadratna in upošteva se povprečje. Odgovor na čarobno besedo "razpršenost" so samo tri besede.
Vendar se v svoji čisti obliki, kot je na primer aritmetična sredina ali , disperzija ne uporablja. Je bolj pomožni in vmesni kazalnik, ki se uporablja za druge vrste statističnih analiz. Nima niti normalne merske enote. Sodeč po formuli je to kvadrat prvotne podatkovne enote.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Izmerimo naključno spremenljivko N krat, na primer desetkrat izmerimo hitrost vetra in želimo najti povprečno vrednost. Kako je povprečna vrednost povezana s funkcijo porazdelitve?
Ali pa bomo kocko vrgli velikokrat. Število točk, ki bodo padle na kocko med vsakim metom, je naključna spremenljivka in ima lahko poljubne naravne vrednosti od 1 do 6. N teži k zelo specifični številki – mat. pričakovanje Mx. V tem primeru je Mx = 3,5.
Kako je nastala ta vrednost? Spustiti noter N poskusi n1 ko pade 1 točka, n2 krat - 2 točki in tako naprej. Nato število izidov, pri katerih je padla ena točka:
Podobno za izide, ko so izpadle 2, 3, 4, 5 in 6 točk.
Predpostavimo zdaj, da poznamo porazdelitve naključne spremenljivke x, torej vemo, da lahko naključna spremenljivka x prevzame vrednosti x1, x2,..., xk z verjetnostmi p1, p2,... , pk.
Mat pričakovanje Mx naključne spremenljivke x je:
Matematično pričakovanje ni vedno razumna ocena neke naključne spremenljivke. Torej je za oceno povprečne plače bolj smiselno uporabiti koncept mediane, to je takšne vrednosti, da število ljudi, ki prejemajo manj kot mediana plačo in velika, ujemajo.
Verjetnost p1, da je naključna spremenljivka x manjša od x1/2, in verjetnost p2, da je naključna spremenljivka x večja od x1/2, sta enaki in enaki 1/2. Mediana ni enolično določena za vse distribucije.
Standardna ali standardna deviacija v statistiki se imenuje stopnja odstopanja opazovalnih podatkov ali nizov od POVPREČNE vrednosti. Označena s črkami s ali s. Majhna standardna deviacija pomeni, da so podatki združeni okoli povprečja, velika standardna deviacija pa, da so začetni podatki daleč od tega. Standardni odklon je enak kvadratnemu korenu količine, ki se imenuje varianca. Je povprečje vsote kvadratov razlik začetnih podatkov, ki odstopajo od povprečja. Standardni odklon naključne spremenljivke je kvadratni koren variance:
Primer. V preskusnih pogojih pri streljanju na tarčo izračunajte varianco in standardni odklon naključne spremenljivke:
Različica- nihanje, variabilnost vrednosti atributa v enotah populacije. Ločene številčne vrednosti lastnosti, ki se pojavljajo v preučevani populaciji, se imenujejo variante vrednosti. Zaradi nezadostnosti povprečne vrednosti za popolno karakterizacijo populacije je treba povprečne vrednosti dopolniti s kazalniki, ki omogočajo oceno tipičnosti teh povprečij z merjenjem nihanja (variacije) preučevane lastnosti. Koeficient variacije se izračuna po formuli:
Razpon razpona(R) je razlika med največjo in minimalno vrednostjo lastnosti v preučevani populaciji. Ta indikator daje najbolj splošno predstavo o nihanju preučevane lastnosti, kot kaže Razlika samo med mejnimi vrednostmi variant. Odvisnost od skrajnih vrednosti atributa daje obsegu variacije nestabilen, naključen značaj.
Povprečno linearno odstopanje je aritmetična sredina absolutnih (modulo) odstopanj vseh vrednosti analizirane populacije od njihove povprečne vrednosti:
Matematično pričakovanje v teoriji iger na srečo
Mat čaka povprečni znesek denarja, ki ga špekulant z igrami na srečo lahko dobi ali izgubi na določeno stavo. To je za špekulanta zelo pomemben koncept, saj je temeljnega pomena za oceno večine igralnih situacij. Mate pričakovanje je tudi najboljše orodje za analizo osnovnih postavitev kart in situacij v igri.
Recimo, da igrate na kovanec s prijateljem in vsakič naredite enako stavo 1 $, ne glede na to, kaj se zgodi. Repi - zmagali ste, glave - izgubili. Možnosti, da pride do repa, so ena proti ena in stavite $1 proti $1. Tako je vaše šah-mat pričakovanje nič, ker matematično gledano ne moreš vedeti, ali boš vodil ali izgubil po dveh metih ali po 200.
Vaš urni dobiček je nič. Urno izplačilo je znesek denarja, ki ga pričakujete v eni uri. V eni uri lahko vržete kovanec 500-krat, vendar ne boste zmagali ali izgubili, ker vaše možnosti niso niti pozitivne niti negativne. Če pogledate, z vidika resnega špekulanta tak sistem stopenj ni slab. Ampak to je samo izguba časa.
Toda recimo, da nekdo želi v isti igri staviti 2 $ proti vašemu 1 $. Potem imate takoj pozitivno pričakovanje 50 centov od vsake stave. Zakaj 50 centov? V povprečju dobite eno stavo in izgubite drugo. Stavite prvega in izgubite 1 $, stavite drugega in osvojite 2 $. Dvakrat ste stavili 1 $ in imate prednost za 1 $. Torej vam je vsaka vaša stava za en dolar dala 50 centov.
Če kovanec pade 500-krat v eni uri, bo vaš urni dobiček že 250 $, ker. v povprečju ste izgubili enega dolar 250-krat in dva zmagala dolar 250-krat. 500 $ minus 250 $ je enako 250 $, kar je skupni dobitek. Upoštevajte, da je pričakovana vrednost, ki je znesek, ki ga v povprečju dobite na posamezno stavo, 50 centov. Dobili ste 250 $, če ste 500-krat stavili dolar, kar je enako 50 centom vaše stave.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Mat. pričakovanja nimajo nič opraviti s kratkoročnimi rezultati. Vaš nasprotnik, ki se je odločil, da proti vam stavi 2 $, bi vas lahko premagal pri prvih desetih zaporednih metih, vi pa s prednostjo pri stavah 2 proti 1, če so vse ostale enake, zaslužite 50 centov na vsako stavo 1 $ pod katero koli okoliščinah. Ni pomembno, ali zmagate ali izgubite eno stavo ali več stav, vendar le pod pogojem, da imate dovolj denarja za enostavno nadomestilo stroškov. Če boste še naprej stavili na enak način, se bo vaš dobitek v daljšem časovnem obdobju približal vsoti pričakovanih vrednosti v posameznih metih.
Vsakič, ko naredite najboljšo stavo (stava, ki je lahko dolgoročno donosna), ko so kvote v vašo korist, boste na njej zagotovo nekaj dobili, ne glede na to, ali v določeni igri izgubite ali ne. Nasprotno, če ste naredili slabšo stavo (stava, ki je dolgoročno nedonosna), ko kvote niso v vašo korist, nekaj izgubite, ne glede na to, ali dobite ali izgubite igro.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Stavite z najboljšim izidom, če je vaše pričakovanje pozitivno, in pozitivno, če so kvote v vašo korist. Če stavite z najslabšim izidom, imate negativna pričakovanja, kar se zgodi, ko so kvote proti vam. Resni špekulanti stavijo le z najboljšim izidom, z najslabšim - odpovejo. Kaj pomenijo kvote v vašo korist? Morda boste na koncu zmagali več, kot prinašajo dejanske kvote. Resnične možnosti za zadetek repov so 1 proti 1, vendar dobite 2 proti 1 zaradi razmerja stav. V tem primeru so možnosti v vašo korist. Zagotovo dobite najboljši izid s pozitivnim pričakovanjem 50 centov na stavo.
Tukaj je bolj zapleten primer. pričakovanja. Prijatelj zapiše številke od ena do pet in stavi 5 $ proti vašemu 1 $, da ne boste izbrali številke. Se strinjate s takšno stavo? Kakšna so pričakovanja tukaj?
V povprečju se boste štirikrat zmotili. Na podlagi tega bo verjetnost, da boste uganili številko, 4 proti 1. Verjetnost je, da boste v enem poskusu izgubili dolar. Vendar zmagaš s 5 proti 1, z možnostjo izgube 4 proti 1. Zato so kvote v tvojo korist, lahko vzameš stavo in upaš na najboljši izid. Če to stavo položite petkrat, boste v povprečju štirikrat izgubili 1 $ in enkrat zmagali 5 $. Na podlagi tega boste za vseh pet poskusov zaslužili 1 dolar s pozitivnim matematičnim pričakovanjem 20 centov na stavo.
Špekulant, ki bo zmagal več, kot stavi, kot v zgornjem primeru, lovi kvoto. Nasprotno pa uniči možnosti, ko pričakuje, da bo zmagal manj, kot stavi. Stavni špekulant ima lahko pozitivna ali negativna pričakovanja, odvisno od tega, ali ujame ali uniči kvote.
Če stavite 50 $ na zmago 10 $ z možnostjo zmage 4 proti 1, boste prejeli negativno pričakovanje 2 $, ker v povprečju boste štirikrat zmagali po 10 $ in enkrat izgubili 50 $, kar kaže, da bo izguba na stavo 10 $. Če pa stavite 30 $ na zmago 10 $, z enakimi možnostmi za zmago 4 proti 1, potem imate v tem primeru pozitivna pričakovanja 2 $, ker spet zmagate štirikrat 10 $ in enkrat izgubite 30 $, kar je dobiček pri 10 $. Ti primeri kažejo, da je prva stava slaba, druga pa dobra.
Mat. pričakovanje je središče vsake igralne situacije. Ko stavnica spodbuja nogometne navijače, da stavijo 11 $ za zmago 10 $, imajo pozitivno pričakovanje 50 centov za vsakih 10 $. Če igralnica izplača celo denar iz linije Craps pass, potem je pozitivno pričakovanje hiše približno 1,40 $ za vsakih 100 $; ta igra je strukturirana tako, da vsak, ki stavi na to linijo, v povprečju izgubi 50,7 % in zmaga 49,3 % časa. Nedvomno je to na videz minimalno pozitivno pričakovanje tisto, ki lastnikom igralnic po vsem svetu prinaša ogromne dobičke. Kot je dejal lastnik igralnice Vegas World Bob Stupak: »Ena tisočinka odstotkov negativna verjetnost na dovolj dolgi razdalji bo bankrotirala najbogatejšega človeka na svetu.
Matematično pričakovanje pri igranju pokra
Igra Poker je najbolj ilustrativen in nazoren primer v smislu uporabe teorije in lastnosti čakalne blazine.
Mat. pričakovanje (v angleščini Expected Value) v pokru - povprečna korist od določene odločitve, pod pogojem, da je tako odločitev mogoče obravnavati v okviru teorije velikih števil in dolge razdalje. Pri uspešnem pokru gre za vedno sprejemanje potez s pozitivnim matematičnim pričakovanjem.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Matematični pomen. pričakovanje pri igranju pokra je v tem, da se pri odločanju pogosto srečujemo z naključnimi spremenljivkami (ne vemo, katere karte ima nasprotnik v roki, katere karte bodo prišle v naslednjih krogih trgovino). Vsako od rešitev moramo obravnavati z vidika teorije velikih števil, ki pravi, da bo pri dovolj velikem vzorcu povprečna vrednost naključne spremenljivke težila k svoji srednji vrednosti.
Med posebnimi formulami za izračun preprog pričakovanj je v pokru najbolj uporabna naslednja:
Ko igrate poker mat. pričakovanje je mogoče izračunati tako za stave kot klice. V prvem primeru je treba upoštevati fold equity, v drugem pa lastne kvote pota. Pri ocenjevanju mat. pričakovanja te ali one poteze, je treba spomniti, da ima krat vedno ničelno pričakovanje. Tako bo zavrženje kart vedno bolj donosna odločitev kot katera koli negativna poteza.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Pričakovanja vam povejo, kaj lahko pričakujete (ali izgubite) za vsako tveganje, ki ga prevzamete. Igralnice zaslužijo denar ker je pričakovanje mata od vseh iger, ki se v njih izvajajo, v prid igralnici. Pri dovolj dolgi seriji iger je mogoče pričakovati, da bo stranka izgubila svojo denar ker je "verjetnost" v prid igralnici. Vendar pa poklicni igralniški špekulanti omejijo svoje igre na kratka obdobja in s tem povečajo kvote v svojo korist. Enako velja za vlaganje. Če so vaša pričakovanja pozitivna, lahko zaslužite več denarja z veliko poslov v kratkem času. obdobječas. Pričakovanje je vaš odstotek dobička na zmago, pomnožen z vašim povprečnim dobičkom minus vaša verjetnost izgube, pomnožena z vašo povprečno izgubo.
Poker lahko gledamo tudi kot mat. Lahko domnevate, da je določena poteza donosna, vendar v nekaterih primerih morda ni najboljša, ker je druga poteza bolj donosna. Recimo, da ste v pokru s petimi kartami zadeli polno hišo. Vaš nasprotnik stavi. Veš, da bo poklical, če dvigneš tečaj. Torej je dvig videti kot najboljša taktika. Če pa dvignete stavo, bosta preostala dva špekulanta zagotovo odstopila. Če pa izkličete stavo, boste popolnoma prepričani, da bosta druga dva špekulanta za vami storila enako. Ko dvignete stavo, dobite eno enoto, preprosto s klicem pa dve. Klicanje vam torej daje višjo pozitivno pričakovano vrednost in je najboljša taktika.
Mat. Čakanje lahko da tudi predstavo o tem, katere poker taktike so manj donosne in katere bolj donosne. Na primer, če igrate določeno kombinacijo in menite, da je vaša povprečna izguba 75 centov, vključno z ante, potem morate odigrati to kombinacijo, ker to je bolje kot foldanje, ko je ante 1 $.
Še en pomemben razlog za razumevanje bistva mat. pričakovanje je, da vam daje občutek miru, ne glede na to, ali ste stavo dobili ali ne: če ste dobro stavili ali pravočasno odložili, boste vedeli, da ste zaslužili ali prihranili določeno vsoto denarja, ki bi jo lahko šibkejši špekulant ne shrani. Veliko težje je odpovedati, če ste razočarani, ker ima vaš nasprotnik boljšo kombinacijo pri žrebu. Ob vsem tem se tisto, kar prihranite z neigranjem, namesto s stavami, prišteje vašemu dobitku na noč ali mesec.
Ne pozabite, da če bi zamenjali roko, bi vas nasprotnik poklical, in kot boste videli v članku Fundamental Theorem of Poker, je to le ena od vaših prednosti. Moral bi se veseliti, ko se to zgodi. Lahko se celo naučite uživati v izgubljeni igri, saj veste, da bi drugi špekulanti na vašem mestu izgubili veliko več.
Kot je bilo omenjeno v primeru igre s kovanci na začetku, je urno razmerje dobička povezano z matematičnimi pričakovanji, ta koncept pa je še posebej pomemben za profesionalne špekulante. Ko boste igrali poker, morate miselno oceniti, koliko lahko osvojite v eni uri igre. V večini primerov se boste morali zanesti na svojo intuicijo in izkušnje, lahko pa uporabite tudi nekaj matematičnih izračunov. Na primer, če igrate draw lowball in vidite, da trije igralci stavijo 10 $ in nato izvlečejo dve karti, kar je zelo slaba taktika, lahko sami izračunate, da vsakič, ko stavijo 10 $, izgubijo približno 2 $. Vsak od njih to naredi osemkrat na uro, kar pomeni, da vsi trije izgubijo približno 48 dolarjev na uro. Ste eden od preostalih štirih špekulantov, ki so približno enaki, tako da si morajo ti štirje špekulanti (in vi med njimi) deliti 48 $, vsak pa bo imel 12 $ na uro dobička. Vaša urna postavka je v tem primeru preprosto vaš delež zneska denarja, ki so ga v eni uri izgubili trije slabi špekulanti.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
V daljšem časovnem obdobju je celotni dobiček špekulanta vsota njegovih matematičnih pričakovanj v ločenih razdelitvah. Bolj ko igraš s pozitivnimi pričakovanji, več zmagaš, in obratno, več rok kot igraš z negativnimi pričakovanji, več izgubiš. Kot rezultat, bi morali dati prednost igri, ki lahko poveča vaša pozitivna pričakovanja ali izniči vaša negativna, tako da lahko povečate svoj urni dobiček.
Pozitivna matematična pričakovanja v strategiji igre
Če znaš šteti karte, imaš morda prednost pred igralnico, če te ne opazijo in te vržejo ven. Igralnice imajo radi pijane špekulante in sovražijo števce kartic. Prednost vam bo omogočila, da zmagate večkrat, kot izgubite sčasoma. Dobro upravljanje denarja z uporabo mat izračunov vam lahko pomaga, da izvlečete več iz svojega roba in zmanjšate izgube. Brez prednosti je bolje dati denar v dobrodelne namene. Pri igri na borzi prednost daje sistem igre, ki ustvari več dobička kot izgube, razlika cene in provizije. Nobena upravljanje kapitala ne bo rešil slabega igralnega sistema.
Pozitivno pričakovanje je opredeljeno z vrednostjo, večjo od nič. Večja kot je ta številka, močnejša je statistična pričakovanja. Če je vrednost manjša od nič, potem tudi pričakovanje bodo negativno. Večji kot je modul negativne vrednosti, slabše je stanje. Če je rezultat nič, potem je pričakovanje izničeno. Zmagate lahko le, če imate pozitivna matematična pričakovanja, razumen sistem igre. Igranje na intuicijo vodi v katastrofo.
Matematično pričakovanje in
Matematično pričakovanje je dokaj zahtevan in priljubljen statistični kazalnik pri izvajanju borznega trgovanja na finančnih trgih. trgi. Najprej se ta parameter uporablja za analizo uspeha trgovino. Ni težko uganiti, da večja kot je ta vrednost, več razlogov je, da se obravnavana trgovina šteje za uspešno. Seveda analiza delo trgovca ni mogoče narediti samo s pomočjo tega parametra. Vendar pa je izračunana vrednost v povezavi z drugimi metodami ocenjevanja kakovosti delo, lahko bistveno izboljša natančnost analize.
Mat pričakovanje se pogosto izračuna v storitvah spremljanja trgovalnih računov, kar vam omogoča hitro oceno opravljenega dela na depozitu. Kot izjeme lahko navedemo strategije, ki uporabljajo »preostanek« izgubljenih poslov. Trgovec sreča ga lahko spremlja nekaj časa, zato pri njegovem delu morda sploh ni izgub. V tem primeru ne bo mogoče krmariti le po pričakovanju, ker pri delu ne bodo upoštevana tveganja.
Pri trgovanju naprej trg mat pričakovanje se najpogosteje uporablja pri napovedovanju dobičkonosnosti strategije trgovanja ali pri napovedovanju dohodka trgovec na podlagi statistike njegovih prejšnjih ponudbe.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
V zvezi z upravljanjem denarja je zelo pomembno razumeti, da pri trgovanju z negativnimi pričakovanji ni sheme upravljanje denar, ki lahko zagotovo prinese visoke dobičke. Če nadaljujete z igranjem borza pod temi pogoji, ne glede na metodo upravljanje denarja, boste izgubili celoten račun, ne glede na to, kako velik je bil na začetku.
Ta aksiom ne velja le za igre z negativnimi pričakovanji ali trgovanja, velja tudi za igre s sodimi kvotami. Zato je edini primer, ko imate možnost dolgoročne koristi, če sklepate posle s pozitivnimi matematičnimi pričakovanji.
Razlika med negativnim in pozitivnim pričakovanjem je razlika med življenjem in smrtjo. Ni pomembno, kako pozitivna ali negativna je pričakovanja; pomembno je, ali je pozitiven ali negativen. Zato pred obravnavo vprašanj upravljanja kapital morate najti igro s pozitivnimi pričakovanji.
Če nimate te igre, vas nobeno upravljanje denarja na svetu ne bo rešilo. Po drugi strani pa, če imate pozitivna pričakovanja, potem ga je mogoče s pravilnim upravljanjem denarja spremeniti v funkcijo eksponentne rasti. Ni pomembno, kako majhna so pozitivna pričakovanja! Z drugimi besedami, ni pomembno, kako donosen je sistem trgovanja, ki temelji na eni pogodbi. Če imate sistem, ki pri enem poslu (po provizijah in zdrsu) pridobi 10 USD na pogodbo, lahko uporabite tehnike upravljanja kapital na način, da postane bolj dobičkonosen kot sistem, ki kaže povprečni dobiček 1000 $ na trgovino (po provizijah in zdrsu).
Ni pomembno, kako donosen je bil sistem, ampak kako gotovo je mogoče trditi, da bo sistem v prihodnosti izkazoval vsaj minimalen dobiček. Zato je najpomembnejša priprava, ki jo je mogoče narediti, zagotoviti, da bo sistem v prihodnosti izkazoval pozitivno pričakovano vrednost.
Da bi imeli v prihodnosti pričakovano pozitivno vrednost, je zelo pomembno, da ne omejujete stopenj svobode vašega sistema. To ne dosežemo le z odpravo ali zmanjšanjem števila parametrov, ki jih je treba optimizirati, ampak tudi z zmanjšanjem čim več sistemskih pravil. Vsak parameter, ki ga dodate, vsako pravilo, ki ga naredite, vsaka majhna sprememba, ki jo naredite v sistemu, zmanjša število stopenj svobode. V idealnem primeru želite zgraditi dokaj primitiven in preprost sistem, ki bo nenehno prinašal majhen dobiček na skoraj vsakem trgu. Ponovno je pomembno, da razumete, da ni pomembno, kako donosen je sistem, če je donosen. ki jih boste zaslužili pri trgovanju, boste zaslužili z učinkovitim upravljanjem denarja.
Matematično pričakovanje (povprečje prebivalstva) je
Trgovalni sistem je preprosto orodje, ki vam daje pozitivna matematična pričakovanja, da lahko uporabite upravljanje denarja. Sistemi, ki delujejo (izkazujejo vsaj minimalen dobiček) samo na enem ali nekaj trgih ali imajo različna pravila ali parametre za različne trge, najverjetneje ne bodo dolgo delovali v realnem času. Težava večine tehničnih trgovcev je, da porabijo preveč časa in truda za optimizacijo različnih pravil in parametrov trgovalnega sistema. To daje popolnoma nasprotne rezultate. Namesto da izgubljate energijo in računalniški čas za povečanje dobička trgovskega sistema, svojo energijo usmerite v povečanje stopnje zanesljivosti pridobivanja minimalnega dobička.
Vedeti to upravljanje kapitala- to je le igra s številkami, ki zahteva uporabo pozitivnih pričakovanj, trgovec lahko preneha iskati "sveti gral" trgovanja na borzi. Namesto tega lahko začne preizkušati svojo metodo trgovanja, ugotovi, kako logična je ta metoda, ali daje pozitivna pričakovanja. Ustrezne metode upravljanja denarja, ki se uporabljajo za vse, tudi zelo povprečne metode trgovanja, bodo opravile ostalo delo.
Da bi bil vsak trgovec uspešen pri svojem delu, mora rešiti tri najpomembnejše naloge: Zagotoviti, da število uspešnih transakcij presega neizogibne napake in napačne izračune; Nastavite svoj sistem trgovanja tako, da bo priložnost za zaslužek čim pogostejša; Dosežite stabilen pozitiven rezultat svojega delovanja.
In tukaj je lahko nam, delujočim trgovcem, mat v dobro pomoč. pričakovanje. Ta izraz v teoriji verjetnosti je eden ključnih. Z njim lahko podate povprečno oceno neke naključne vrednosti. Matematično pričakovanje naključne spremenljivke je podobno kot težišče, če si vse možne verjetnosti predstavljamo kot točke z različnimi masami.
V zvezi s strategijo trgovanja se za oceno njene učinkovitosti najpogosteje uporablja pričakovanje dobička (ali izgube). Ta parameter je opredeljen kot vsota zmnožkov danih stopenj dobička in izgube in verjetnosti njihovega nastanka. Na primer, razvita strategija trgovanja predvideva, da bo 37% vseh operacij prineslo dobiček, ostalo - 63% pa bo nedonosno. Hkrati pa povprečje dohodek od uspešne transakcije bo 7 dolarjev, povprečna izguba pa bo enaka 1,4 dolarja. Izračunajmo mat. pričakovanja trgovanja na takšnem sistemu:
Kaj pomeni ta številka? Piše, da bomo po pravilih tega sistema v povprečju prejeli 1.708 dolarjev od vsake zaključene transakcije. Ker je rezultat učinkovitosti večji od nič, se tak sistem lahko uporablja za resnično delo. Če se kot rezultat izračuna preproge izkaže, da je pričakovanje negativno, potem to že kaže na povprečno izgubo in to bo vodilo v propad.
Znesek dobička na posel lahko izrazimo tudi kot relativno vrednost v obliki %. Na primer:
Odstotek dohodka na 1 transakcijo - 5%;
Odstotek uspešnih trgovalnih operacij - 62%;
Odstotek izgube na 1 posel - 3%;
Odstotek neuspešnih transakcij - 38%;
V tem primeru mat. pričakovanje bo:
To pomeni, da bo povprečna transakcija prinesla 1,96%.
Možno je razviti sistem, ki bo kljub prevladi izgubljenih poslov dal pozitiven rezultat, saj je njegov MO>0.
Vendar samo čakanje ni dovolj. Težko je zaslužiti denar, če sistem daje zelo malo trgovalnih signalov. V tem primeru bodo primerljive z bančnimi obrestmi. Naj vsaka operacija v povprečju prinese le 0,5 dolarja, a kaj, če sistem prevzame 1000 transakcij na leto? To bo v relativno kratkem času zelo resen znesek. Iz tega logično sledi, da je še en znak dobrega trgovalnega sistema mogoče šteti za kratko obdobje posedovanja.
Viri in povezave
dic.academic.ru - akademski spletni slovar
mathematics.ru - izobraževalno spletno mesto o matematiki
nsu.ru - izobraževalno spletno mesto Novosibirske državne univerze
webmath.ru - izobraževalni portal za študente, prijavitelje in šolarje.
Izobraževalno matematično spletno mesto exponenta.ru
ru.tradimo.com - brezplačna šola za spletno trgovanje
crypto.hut2.ru - multidisciplinarni informacijski vir
poker-wiki.ru - brezplačna enciklopedija pokra
sernam.ru - Znanstvena knjižnica izbranih naravoslovnih publikacij
reshim.su - spletno mesto
unfx.ru - Forex na UNFX: usposabljanje, trgovalni signali, upravljanje zaupanja
- - matematično pričakovanje Ena od numeričnih značilnosti naključne spremenljivke, pogosto imenovana njeno teoretično povprečje. Za diskretno naključno spremenljivko X, matematični ... ... Priročnik tehničnega prevajalcaPRIČAKOVANA VREDNOST- (pričakovana vrednost) Povprečna vrednost porazdelitve ekonomske spremenljivke, ki jo lahko sprejme. Če je pt cena blaga v času t, je njegovo matematično pričakovanje označeno z Ept. Za navedbo časa, do katerega ... ... Ekonomski slovar
Pričakovana vrednost- povprečna vrednost naključne spremenljivke. Matematično pričakovanje je deterministična vrednost. Aritmetična sredina realizacij naključne spremenljivke je ocena matematičnega pričakovanja. povprečno … … Uradna terminologija je (povprečna vrednost) naključne spremenljivke številčna značilnost naključne spremenljivke. Če je naključna spremenljivka podana na verjetnostnem prostoru (glej Teorija verjetnosti), potem njen M. o. MX (ali EX) je definiran kot Lebesgueov integral: kjer ... Fizična enciklopedija
PRIČAKOVANA VREDNOST- naključna spremenljivka je njena numerična značilnost. Če ima naključna spremenljivka X distribucijsko funkcijo F(x), potem njen M. o. bo: . Če je porazdelitev X diskretna, potem M.о.: , kjer so x1, x2, ... možne vrednosti diskretne naključne spremenljivke X; p1 ... Geološka enciklopedija
PRIČAKOVANA VREDNOST- Angleščina. pričakovana vrednost; nemški Erwartung mathematische. Stohastična sredina ali središče disperzije naključne spremenljivke. Antinazi. Enciklopedija sociologije, 2009 ... Enciklopedija sociologije
Pričakovana vrednost- Glej tudi: Pogojno pričakovanje Matematično pričakovanje je srednja vrednost naključne spremenljivke, verjetnostna porazdelitev naključne spremenljivke, se upošteva v teoriji verjetnosti. V angleški literaturi in matematiki ... ... Wikipediji
Pričakovana vrednost- 1.14 Matematično pričakovanje E (X) kjer je xi vrednosti diskretne naključne spremenljivke; p = P (X = xi); f(x) je gostota neprekinjene naključne spremenljivke * Če ta izraz obstaja v smislu absolutne konvergence Vir ... Slovar-priročnik izrazov normativne in tehnične dokumentacije
knjige
Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Website weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. v redu