Renejev pravokotni koordinatni sistem v prostoru. Uvedba koordinatnega sistema

Pravokotni koordinatni sistem v prostoru je trojka medsebojno pravokotnih osi, ki se sekajo v eni točki O, ki se imenuje izhodišče.

Koordinatne osi so običajno označene s črkami in se imenujejo abscisna os, os y, aplikativna os ali os Oy, os (slika 33).

Orte koordinatnih osi Ox, Oy, Oz so označene oz. Uporabili bomo predvsem slednji zapis.

Razlikovati med desnim in levim koordinatnim sistemom.

Koordinatni sistem imenujemo desni, če je bilo od konca tretjega ora do obrata od prvega ora do drugega ora vidno, da se dogaja proti uri (slika 34, a).

Koordinatni sistem imenujemo levi, če se od konca tretje enote vektorja vidi, da se vrtenje od prve enote enote do druge enote izvede v smeri urinega kazalca (slika 34, b).

Če torej vijak privijete v smeri vektorja k in ga zasukate od takrat v primeru desnega sistema, mora biti navoj desni, pri levem sistemu pa levi (slika 35).

Številne določbe vektorske algebre niso odvisne od tega, ali uporabljamo desni ali levi koordinatni sistem. Vendar pa je včasih ta okoliščina pomembna. V prihodnje bomo vedno uporabljali pravi koordinatni sistem, kot je v fiziki navada.

Za določitev položaja točke v prostoru bomo uporabili kartezijanske pravokotne koordinate (slika 2).

Kartezijev pravokotni koordinatni sistem v prostoru tvorijo tri medsebojno pravokotne koordinatne osi OX, OY, OZ. Koordinatni osi se sekata v točki O, ki ji pravimo izhodišče, na vsaki osi je izbrana pozitivna smer, ki jo označujejo puščice, in merska enota segmentov na oseh. Enote so običajno (ni nujno) enake za vse osi. Os OX se imenuje abscisna os (ali preprosto abscisa), os OY se imenuje ordinatna os (ordinata), os OZ se imenuje aplikatna os (applicate).

Položaj točke A v prostoru določajo tri koordinate x, y in z. Koordinata x je enaka dolžini odseka OB, koordinata y je enaka dolžini segmenta OC, koordinata z je dolžina odseka OD v izbranih enotah. Odseki OB, OC in OD so opredeljeni z ravninami, vlečenimi iz točke, vzporedne z ravninami YOZ, XOZ in XOY.

Koordinata x se imenuje abscisa točke A, koordinata y se imenuje ordinata točke A, koordinata z pa se imenuje aplikat točke A.

Simbolično je zapisano takole:

ali povežite zapis koordinat z določeno točko z uporabo indeksa:

x A , y A , z A ,

Vsaka os se obravnava kot številska premica, to pomeni, da ima pozitivno smer, negativne koordinate pa so dodeljene točkam, ki ležijo na negativnem žarku (razdalja se vzame z znakom minus). Se pravi, če na primer točka B ni ležala, kot na sliki, na žarku OX, ampak na njenem nadaljevanju v nasprotni smeri od točke O (na negativnem delu osi OX), potem abscisa x točke A bi bil negativen (minus razdalja OB). Podobno za drugi dve osi.

Koordinatne osi OX, OY, OZ prikazane na sl. 2 tvorijo pravi koordinatni sistem. To pomeni, da če pogledate ravnino YOZ vzdolž pozitivne smeri osi OX, bo gibanje osi OY proti osi OZ v smeri urinega kazalca. To situacijo lahko opišemo s pravilom gimlet-a: če se vrtilec (desni vijak) zavrti v smeri od osi OY proti osi OZ, se bo premikal vzdolž pozitivne smeri osi OX.

Vektorje enotne dolžine, usmerjene vzdolž koordinatnih osi, imenujemo koordinatni vektorji. Običajno jih imenujemo kot (slika 3). Obstaja tudi oznaka Orti so osnova koordinatnega sistema.

V primeru desnega koordinatnega sistema veljajo naslednje formule z vektorskimi produkti orts:

Urejen sistem dveh ali treh sekajočih se osi, pravokotnih druga na drugo s skupnim izvorom (izvorom) in skupno dolžinsko enoto, se imenuje pravokotni kartezijski koordinatni sistem .

Splošni kartezijanski koordinatni sistem (afini koordinatni sistem) lahko vključuje tudi ne nujno pravokotne osi. V čast francoskemu matematiku Reneju Descartesu (1596-1662) je poimenovan tak koordinatni sistem, v katerem se na vseh oseh šteje skupna dolžinska enota in so osi ravne.

Pravokotni kartezijanski koordinatni sistem na ravnini ima dve ose pravokotni kartezijev koordinatni sistem v prostoru - tri osi. Vsaka točka na ravnini ali v prostoru je določena z urejenim nizom koordinat – številk v skladu z dolžino enote koordinatnega sistema.

Upoštevajte, da, kot sledi iz definicije, obstaja kartezijanski koordinatni sistem na ravni črti, torej v eni dimenziji. Uvedba kartezijanskih koordinat na ravni črti je eden od načinov, kako se kateri koli točki na ravni črti dodeli natančno določeno realno število, to je koordinata.

Metoda koordinat, ki je nastala v delih Renéja Descartesa, je zaznamovala revolucionarno prestrukturiranje vse matematike. Algebraične enačbe (ali neenakosti) je postalo mogoče interpretirati v obliki geometrijskih slik (grafov) in, nasprotno, iskati rešitev geometrijskih problemov z uporabo analitičnih formul, sistemov enačb. Ja, neenakost z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy in se nahaja nad to ravnino za 3 enote.

S pomočjo kartezijanskega koordinatnega sistema pripadnost točke dani krivulji ustreza dejstvu, da so številke x in y zadovoljiti neko enačbo. Torej, koordinate točke kroga s središčem na dani točki ( a; b) izpolnjujejo enačbo (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Pravokotni kartezijanski koordinatni sistem na ravnini

Dve pravokotni osi na ravnini s skupnim izhodiščem in enako merilno enoto tvorita Kartezijev koordinatni sistem na ravnini . Ena od teh osi se imenuje os Ox, oz os x , drugi - os oj, oz y-os . Te osi imenujemo tudi koordinatne osi. Označi z Mx in My oziroma projekcija poljubne točke M na osi Ox in oj. Kako do projekcij? Pojdite skozi piko M Ox. Ta črta seka os Ox na točki Mx. Pojdite skozi piko M ravna črta, pravokotna na os oj. Ta črta seka os oj na točki My. To je prikazano na spodnji sliki.

x in y točke M bomo imenovali velikosti usmerjenih odsekov OMx in OMy. Vrednosti teh smernih segmentov se izračunajo kot x = x0 - 0 in y = y0 - 0 . Kartezijanske koordinate x in y točke M abscisa in ordinate . Dejstvo, da je pika M ima koordinate x in y, je označen na naslednji način: M(x, y) .

Koordinatne osi delijo ravnino na štiri kvadrant , katerega oštevilčenje je prikazano na spodnji sliki. Označuje tudi razporeditev znakov za koordinate točk, odvisno od njihove lokacije v enem ali drugem kvadrantu.

Poleg kartezičnih pravokotnih koordinat v ravnini se pogosto upošteva tudi polarni koordinatni sistem. O načinu prehoda iz enega koordinatnega sistema v drugega - v lekciji polarni koordinatni sistem .

Pravokotni kartezijev koordinatni sistem v prostoru

Kartezijeve koordinate v prostoru so uvedene v popolni analogiji z kartezičnimi koordinatami na ravnini.

Tri medsebojno pravokotne osi v prostoru (koordinatne osi) s skupnim izvorom O in enaka oblika enote lestvice Kartezijev pravokotni koordinatni sistem v prostoru .

Ena od teh osi se imenuje os Ox, oz os x , drugi - os oj, oz y-os , tretja - os Oz, oz aplicirana os . Naj bo Mx, My Mz- projekcije poljubne točke M presledki na osi Ox , oj in Oz oz.

Pojdite skozi piko M OxOx na točki Mx. Pojdite skozi piko M ravnina, pravokotna na os oj. Ta ravnina seka os oj na točki My. Pojdite skozi piko M ravnina, pravokotna na os Oz. Ta ravnina seka os Oz na točki Mz.

Kartezijanske pravokotne koordinate x , y in z točke M bomo imenovali velikosti usmerjenih odsekov OMx, OMy in OMz. Vrednosti teh smernih segmentov se izračunajo kot x = x0 - 0 , y = y0 - 0 in z = z0 - 0 .

Kartezijanske koordinate x , y in z točke M so ustrezno poimenovani abscisa , ordinate in aplikacija .

Koordinatne osi, vzete v parih, se nahajajo v koordinatnih ravninah xOy , yOz in zOx .

Težave s točkami v kartezijskem koordinatnem sistemu

Primer 1

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Poiščite koordinate projekcij teh točk na os x.

Odločitev. Kot izhaja iz teoretičnega dela te lekcije, se projekcija točke na os x nahaja na sami osi x, to je os Ox, zato ima absciso, ki je enaka abscisi same točke, in ordinato (koordinato na osi oj, ki jo os x seka v točki 0), enako nič. Tako dobimo naslednje koordinate teh točk na osi x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx(-5;0).

Primer 2 Točke so podane v kartezičnem koordinatnem sistemu na ravnini

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Poiščite koordinate projekcij teh točk na os y.

Odločitev. Kot izhaja iz teoretičnega dela te lekcije, se projekcija točke na os y nahaja na sami osi y, to je os oj, zato ima ordinato, ki je enaka ordinati same točke, in absciso (koordinato na osi Ox, ki jo os y seka v točki 0), enako nič. Tako dobimo naslednje koordinate teh točk na osi y:

Ay(0; 2);

By (0; 1);

Cy(0;-2).

Primer 3 Točke so podane v kartezičnem koordinatnem sistemu na ravnini

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Ox .

Ox Ox Ox, bo imela enako absciso kot podana točka, ordinato pa bo po absolutni vrednosti enaka ordinati dane točke in ji nasprotna predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične tem točkam okoli osi Ox :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Sami rešite probleme na kartezijanskem koordinatnem sistemu, nato pa si oglejte rešitve

Primer 4 Ugotovite, v katerih kvadrantih (četrtine, slika s kvadranti - na koncu odstavka "Pravokotni kartezijev koordinatni sistem na ravnini") se lahko nahaja točka M(x; y) , če

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Primer 5 Točke so podane v kartezičnem koordinatnem sistemu na ravnini

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Poiščite koordinate točk, ki so simetrične tem točkam okoli osi oj .

Še naprej skupaj rešujemo probleme

Primer 6 Točke so podane v kartezičnem koordinatnem sistemu na ravnini

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Poiščite koordinate točk, ki so simetrične tem točkam okoli osi oj .

Odločitev. Zavrtite za 180 stopinj okoli osi oj usmerjen odsek črte od osi oj do te točke. Na sliki, kjer so označeni kvadranti ravnine, vidimo, da je točka simetrična na dano glede na os oj, bo imela enako ordinato kot podana točka in absciso, ki je po abscisi enaka abscisi dane točke in ji nasprotna predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične tem točkam okoli osi oj :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Primer 7 Točke so podane v kartezičnem koordinatnem sistemu na ravnini

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Poiščite koordinate točk, ki so simetrične tem točkam glede na izhodišče.

Odločitev. Zasukamo za 180 stopinj okoli izhodišča usmerjenega segmenta, ki gre od izhodišča do dane točke. Na sliki, kjer so označeni kvadranti ravnine, vidimo, da bo imela točka, simetrična dani glede na izhodišče koordinat, absciso in ordinato, ki je po absolutni vrednosti enaka abscisi in ordinati dane točke. , vendar v nasprotnem znaku od njih. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične tem točkam glede na izvor:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Primer 8

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Poiščite koordinate projekcij teh točk:

1) na letalu Oxy ;

2) na letalo Oxz ;

3) na letalo Oyz ;

4) na osi abscise;

5) na osi y;

6) na osi aplikacije.

1) Projekcija točke na ravnino Oxy ki se nahaja na sami ravnini, zato ima absciso in ordinato enako abscisi in ordinati dane točke ter aplikacijo enako nič. Tako dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na Oxy :

Axy(4;3;0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projekcija točke na ravnino Oxz ki se nahaja na sami ravnini, zato ima absciso in aplikacijo enako abscisi in aplikaciji dane točke ter ordinato enako nič. Tako dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz(2;0;0).

3) Projekcija točke na ravnino Oyz se nahaja na sami ravnini, zato ima ordinato in aplikat enako ordinati in aplikaciji dane točke ter absciso enako nič. Tako dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz(0;-3;0).

4) Kot izhaja iz teoretičnega dela te lekcije, se projekcija točke na os x nahaja na sami osi x, to je osi Ox, in ima torej absciso, ki je enaka abscisi same točke, ordinata in aplikacija projekcije pa sta enaki nič (ker ordinatna in apliktna os sekata absciso v točki 0). Dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na os x:

Ax(4;0;0);

Bx(-3;0;0);

Cx(2;0;0).

5) Projekcija točke na os y se nahaja na sami osi y, to je os oj, zato ima ordinato enako ordinati same točke, abscisa in aplikacija projekcije pa sta enaki nič (ker abscisa in apliktna os sekata ordinatno os v točki 0). Dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na os y:

Ay(0;3;0);

By(0;2;0);

Cy(0;-3;0).

6) Projekcija točke na aplikativni osi se nahaja na sami aplikativni osi, to je os Oz, in ima torej aplikacijo, ki je enaka aplikaciji same točke, abscisa in ordinata projekcije pa sta enaki nič (ker abscisa in ordinatna os sekata aplikativno os v točki 0). Dobimo naslednje koordinate projekcij teh točk na aplikativno os:

Az(0; 0; 5);

Bz(0;0;1);

Cz(0; 0; 0).

Primer 9 Točke so podane v kartezijskem koordinatnem sistemu v prostoru

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Poiščite koordinate točk, ki so simetrične tem točkam glede na:

1) letalo Oxy ;

2) letalo Oxz ;

3) letalo Oyz ;

4) os abscise;

5) os y;

6) os aplikacije;

7) izvor koordinat.

1) "Premaknite" točko na drugi strani osi Oxy Oxy, bo imela absciso in ordinato, ki je enaka abscisi in ordinati dane točke, in aplikat, ki je po velikosti enak aplikatu dane točke, vendar v nasprotnem predznaku. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične s podatki glede na ravnino Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Premaknite" točko na drugi strani osi Oxz za isto razdaljo. Glede na sliko, ki prikazuje koordinatni prostor, vidimo, da je točka simetrična dani glede na os Oxz, bo imel absciso in aplikacijo, ki je enaka abscisi in aplikaciji dane točke, in ordinato, ki je po velikosti enaka ordinati dane točke, vendar ji nasprotna predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične s podatki glede na ravnino Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Premaknite" točko na drugi strani osi Oyz za isto razdaljo. Glede na sliko, ki prikazuje koordinatni prostor, vidimo, da je točka simetrična dani glede na os Oyz, bo imel ordinato in aplikat, ki je enak ordinati in aplikatu dane točke, in absciso, ki je po velikosti enaka abscisi dane točke, vendar ji nasprotna predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične s podatki glede na ravnino Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Po analogiji s simetričnimi točkami na ravnini in točkami v prostoru, simetričnimi na podatke glede na ravnine, ugotavljamo, da je v primeru simetrije okoli neke osi kartezijanskega koordinatnega sistema v prostoru koordinata na osi, okoli katere je simetrija nastavljena. bo ohranila svoj predznak, koordinate na drugih dveh oseh pa bodo po absolutni vrednosti enake kot koordinate dane točke, vendar nasprotne po predznaku.

4) Abscisa bo ohranila svoj predznak, medtem ko bosta ordinata in aplikacija spremenila predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične glede na podatke o osi x:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Ordinata bo ohranila svoj predznak, abscisa in aplikacija pa bosta spremenili predznake. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične glede na podatke o osi y:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Aplikacija bo obdržala svoj predznak, abscisa in ordinata pa bosta spremenili predznaka. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične glede na podatke o aplikativni osi:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Po analogiji s simetrijo v primeru točk na ravnini bodo v primeru simetrije glede izhodišča koordinat vse koordinate točke, ki je simetrična na dano, po absolutni vrednosti enake koordinatam dane točke, ampak v nasprotju z njimi v znamenju. Tako dobimo naslednje koordinate točk, ki so simetrične s podatki glede na izvor.

Če skozi točko O v prostoru narišemo tri per-pen-di-ku-lar-premice, jih imenujemo, vzamemo desno-lenie, kar označuje posamezne reze, potem bomo dobili pravokotni si-ste-mu ko-or-di-nat v prostoru. Osi ko-or-di-nat so na-zy-va-yut-sya takole: Oh - os abs-ciss, Oy - os or-di-nat in Oz - os up-pli-cat. Celotna si-ste-ma ko-or-di-nat pomeni-me-cha-et-sya - Oxyz. Na ta način so trije co-or-di-nat-nye letala: Oxy, Oxz, Oyz.

Navajamo primer gradnje točke B (4; 3; 5) v pravokotnem sistemu co-or-di-nat (glej sliko 1).

riž. 1. Konstrukcija točke B v prostoru

Prva točka co-or-di-na-ta B - 4, torej od-cla-dy-va-em do Ox 4, zatemnimo neposredno para-ral-lel-toda os Oy za ponovno ponovno -che-tion z ravno črto, ki poteka skozi y \u003d 3. Na ta način dobimo točko K. Ta točka leži v ravnini Oxy in ima co-or-di-na-you K (4; 3; 0). Zdaj morate pro-ve-sti neposredne par-ral-lel-ampak os Oz. In naravnost, nekdo-raj gre skozi točko z app-pli-ka-that 5 in para-ral-lel-on dia-go-on-ali pa-ral-le-lo-gram -ma v ravnini Oxy. Na njihovem re-se-che-nii bomo dobili želeno točko B.

Razmislite o porazdelitvi točk, za nekatere sta ena ali dve co-ali-di-na-you enaki 0 ​​(glej sliko 2).

Na primer, točka A(3;-1;0). Os Oy je treba nadaljevati v levo do vrednosti -1, poiskati točko 3 na osi Ox in na ponovnem se-ce-ce-ce črt, ki potekajo skozi te vrednosti -tion, dobimo točko A. To točka ima app-pli-ka-tu 0, kar pomeni, da leži v ravnini Oxy.

Točka C (0; 2; 0) ima abs-cis-su in app-pli-ka-tu 0 - ne iz-me-cha-e. Or-di-na-ta je enako 2, kar pomeni, da točka C leži samo na osi Oy, nekaj-raj je-la-is-a-re-se-che-no-to je ravno stey Oxy in Oyz.

Za premikanje točke D (-4; 0; 3) nadaljujemo os Ox nazaj za na-cha-lo ko-or-di-nat do točke -4. Zdaj obnovite-sto-nav-li-va-em od te točke per-pen-di-ku-lyar - naravnost, vzporedno z osjo Oz do ponovne re-se-che-niya z ravno črto, vzporedno z osjo Ox in poteka skozi vrednost 3 na osi Oz. Glede na trenutni D (-4; 0; 3). Ker je or-di-na-ti točki enak 0, potem točka D leži v ravnini Oxz.

Naslednja točka je E(0;5;-3). Or-di-na-ta točke 5, app-pli-ka-ta -3, gremo ravne črte, ki potekajo skozi te vrednosti ​​na-odgovor-th-osi, in na njihovi ponovni-se-che-nii , dobimo točko E (0; 5; -3). Ta točka ima prvo co-or-di-to-tu 0, kar pomeni, da leži v ravnini Oyz.

2. Vektorske koordinate

Prekleto pravokotni si-ste-mu ko-or-di-nat v vesolju Oxyz. Za-da-dim v prostoru pravokotnega si-ste-mu ko-or-di-nat Oxyz. Na vsaki od lo-zhi-tel-nyh in-lu-osi od-lo-jok od na-cha-la ko-or-di-nat en sam vektor, to je vektor-torus, dolžina nečesa-ro- go je enako ena. Označimo en vektor osi abs-ciss, en vektor osi or-di-nat in en vektor osi up-pli-kat (glej sliko 1). Te veke so so-on-desno-le-na z desno-le-ni-i-mi osmi, imajo eno dolžino in ali-to-go-nal-na - v parih -vendar per-pen-di -ku-lyar-ny. Tako stoletje-ra-na-zy-va-yut ko-or-di-nat-ny-mi starost-to-ra-mi oz ba-zi-som.

riž. 1. Raz-lo-same-age-that-ra v treh co-or-di-nat-ny century-that-frames

Vzemite mem-tor, ga v-me-stim v na-cha-lo ko-or-di-nat in razprostrite ta vektor-tor v treh določenih-plan-nar-nym - le-zha -shim v različnih ravninah - od stoletja do okvirja. Če želite to narediti, spustimo projekcijo točke M na ravnino Oxy in poiščemo vektorski jarek co-or-di-on-you in. On-lu-cha-eat:. Ras-poglej-rim na od-del-no-sti vsakega od teh stoletij-ti-jarka. Vektorski torus leži na osi Ox, kar pomeni, da ga lahko glede na lastnost množenja vektorja s številom predstavimo kot nekakšno število x žensko na co-or-di-nat-ny vektorju. , dolžina veke pa je natanko x-krat večja od dolžine . Na enak način stopimo naprej s stoletjem-that-ra-mi in, in v lu-cha-eat times-lo-same-age century-that-ra in three ko-or-di-nat-ny stoletja do ovna:

Co-ef-fi-qi-en-you tega časa x, y in z on-zy-va-yut-sya ko-or-di-na-ta-mi starost-to-ra v vesolju.

Ras-look-rim desno-vi-la, some-rye poses-in-la-yut v skladu s ko-or-di-on-tam dane stoletja, da bi našli ko-or-di-na- si njihova vsota in razlika, pa tudi so-ali-di-na-ti pro-od-ve-de-nija danega stoletja-that-ra na dano število.

1) Kompleksnost:

2) You-chi-ta-nie:

3) Množenje s številom: ,

Vek-tor, na-cha-lo-ko-ro-go sova-pa-yes-et z na-cha-scrap ko-or-di-nat, na-zy-va-et-sya polmer-stoletje-rum.(slika 2). Vektor-tor - ra-di-us-vektor, kjer so x, y in z so-ef-fi-qi-en-you raz-lo-same-tion tega stoletja do-ra glede na co-or - di-nat-ny stoletje do-ram,,. V tem primeru je x prvi co-or-di-on-ta točke A na osi Ox, y je co-or-di-on-ta točke B na osi Oy, z je co-or - di-na-ta točka C na osi Oz. Glede na ri-sun-ku je jasno, da ko-or-di-na-you ra-di-us-vek-to-ra en-but-time-men- but is-la-yut-sya ko- or-di -on-ta-mi točke M.

Vzemimo točko A(x1;y1;z1) in točko B(x2;y2;z2) (glej sliko 3). Stoletje-tor si predstavljamo kot razliko stoletja-in-jarka in po svoji lastnosti stoletja-jarka. Poleg tega in - ra-di-us-vek-to-ry, in njihov co-or-di-na-you co-pa-da-yut s co-or-di-na-ta-mi con- tsov teh stoletja-jarek. Potem si lahko predstavljamo ko-ali-di-na-ti stoletje-to-ra kot razliko z-od-rep-tu-u-ing-co-or-di-nat stoletje-to-jarko in : . Na ta način, ko-or-di-na-ti stoletja do-ra, lahko vy-ra-zit skozi ko-or-di-na-you od konca in na-cha-la stoletja do-ra .

Ras-poglejte primere, il-lu-stri-ru-yu-sche lastnosti stoletnega jarka in njihovo vi-ra-same-tion skozi co-or-di-on-you. Take-meme stoletje-that-ry , , . Vprašali smo se-shi-va-yut vektor. V tem primeru ga najti pomeni najti so-ali-di-na-ti stoletje-to-ra, nekoga, ki ga to popolnoma določa. Sub-stand-la-em in you-ra-same-nie namesto sto stoletij-a-jarka z-od-rep-stven-ampak njihov co-or-di-on-you. By-lu-cha-eat:

Zdaj pomnožimo številko 3 za vsako co-or-di-na-tu v oklepajih in isto de-la-em z 2:

Imamo vsoto treh stoletnih jarkov, hranimo jih glede na zgoraj proučeno lastnost:

odgovor:

Primer št. 2.

Podano: Trikotni pi-ra-mi-da AOBC (glej sliko 4). Letala AOB, AOC in OCB - v parih, vendar per-pen-di-ku-lyar-ny. OA=3, OB=7, OC=4; M - ser.AC; N - ser.OC; P - ser. CB.

Najti: ,,,,,,,.

Rešitev: Uvedemo pravokotno si-ste-mu co-or-di-nat Oxyz z začetkom štetja v točki O. Po pogoju poznamo točke A, B in C na oseh in se-re -di-ny robov pi-ra-mi-dy - M, P in N. Glede na ri-sun-ku on-ho-dim ko-or -di-on-you vrhovi pi-ra-mi -dy: A (3; 0; 0), B (0; 7; 0), C (0; 0; 4).

Pravokotni (druga imena - ploščati, dvodimenzionalni) koordinatni sistem, poimenovan po francoskem znanstveniku Descartesu (1596-1650) "Kartezijanski koordinatni sistem na ravnini", nastane s presečiščem dveh številčnih osi na ravnini pod pravim kotom ( pravokotno), tako da pozitivna polos ene kaže v desno (os x ali abscisa), druga pa navzgor (os y ali os y).

Točka presečišča osi sovpada s točko 0 vsake od njih in se imenuje izhodišče.

Za vsako od osi je izbrano poljubno merilo (odsek dolžine enote). Vsaka točka ravnine ustreza enemu paru številk, ki se imenujejo koordinate te točke na ravnini. Nasprotno pa kateri koli urejen par številk ustreza eni točki ravnine, za katero so te številke koordinate.

Prva koordinata točke se imenuje abscisa te točke, druga koordinata pa ordinata.

Celotna koordinatna ravnina je razdeljena na 4 kvadrante (četrtine). Kvadranti se nahajajo od prvega do četrtega v nasprotni smeri urinega kazalca (glej sliko).

Če želite določiti koordinate točke, morate najti njeno razdaljo do abscisne osi in ordinatne osi. Ker je razdalja (najkrajša) določena s pravokotnico, sta dve pravokotnici (pomožni premici na koordinatni ravnini) spuščeni s točke na osi, tako da je točka njunega presečišča mesto dane točke v koordinatni ravnini. Točke presečišča navpičnic z osemi imenujemo projekcije točke na koordinatne osi.

Prvi kvadrant je omejen s pozitivnimi polosmi abscise in ordinate. Zato bodo koordinate točk v tej četrtini ravnine pozitivne
(znaki "+" in

Na primer, točka M (2; 4) na zgornji sliki.

Drugi kvadrant je omejen z negativno abscisno polos in pozitivno osjo y. Zato bodo koordinate točk vzdolž osi abscise negativne (znak "-"), vzdolž ordinatne osi pa pozitivne (znak "+").

Na primer, točka C (-4; 1) na zgornji sliki.

Tretji kvadrant je omejen z negativno abscisno polos in negativno osjo y. Zato bodo koordinate točk vzdolž abscise in ordinat negativne (znaka "-" in "-").

Na primer, točka D (-6; -2) na zgornji sliki.

Četrti kvadrant je omejen s pozitivno abscisno polosjo in negativno osjo y. Zato bodo koordinate točk vzdolž osi x pozitivne (znak "+"). in vzdolž ordinatne osi - negativno (znak "-").

Na primer, točka R (3; -3) na zgornji sliki.

Gradimo točko po njenih danih koordinatah

poiščemo prvo koordinato točke na osi x in skozi njo potegnemo pomožno premico - pravokotnico;

poiščemo drugo koordinato točke na osi y in skozi njo potegnemo pomožno črto - pravokotnico;

presečišče dveh navpičnic (pomožne črte) in bo ustrezala točki z danimi koordinatami.