Aritmetična sredina, obseg in način, mediana.

Po upoštevanju delov, ki so jih med izmeno izdelali delavci ene ekipe, smo prejeli naslednjo serijo podatkov:

23; 20; 25; 20; 23; 25; 35; 37; 34; 23; 30; 29

Naloge za samostojno reševanje

Zapisana je višina (v centimetrih) petih učencev: 158, 166, 134, 130, 132. Koliko se aritmetična sredina tega niza številk razlikuje od njegove mediane?

V četrtletju je Ira iz matematike prejela naslednje ocene: tri "dvojke", dve "trojke", deset "štirik" in pet "petic". Poiščite vsoto aritmetične sredine in mediane njenih rezultatov.

Zabeležena je višina (v centimetrih) petih učencev: 149, 136, 163, 152, 145. Poišči razliko med aritmetično sredino tega niza števil in njegovo mediano?

Evidentirana starost (v letih) sedmih zaposlenih: 25, 37, 42, 24, 33, 50, 27 let.

ali se aritmetična sredina tega niza števil razlikuje od njegove mediane?

Tečaj dolarja med tednom: 30,48; 30,33; 30,45; 30,28; 30,37; 30,29; 30.34. Poiščite mediano te serije.

Hidrolog vsake pol ure izmeri temperaturo vode v rezervoarju in jo prejme

naslednji niz vrednosti: 12,8; 13.1; 12,7; 13,2; 12,7; 13,3; 12,6; 12,9; 12,7; trinajst; 12.7. Poiščite mediano te serije.

Stroški mesnih jedi v kavarni so: 198; 214; 222; 224; 229; 173; 189. Poiščite razliko med aritmetično sredino in mediano tega niza.

Učenci razreda za kontrolno delo iz algebre so prejeli ocene:

3; 4; 4; 4; 2; 5; 5; 5; 3; 3; 4; 3; 3; 5; 4. Poiščite razliko med aritmetično sredino in mediano te serije.

Temperatura zraka v Moskvi je bila med tednom 23, 25, 27, 24, 21, 28, 27 stopinj pod ničlo. Poiščite vsoto mediane in obsega te serije številk.

Na strelskih tekmovanjih so učenci 9. razreda pokazali rezultate,

predstavlja serijo 82, 49, 61, 77, 58, 42 točk. Poiščite aritmetično sredino tega niza številk.

Prodaja sadja v trgovini za teden predstavlja serijo 345, 229, 456, 358, 538, 649, 708 kg na dan. Poiščite razliko med mediano in aritmetično sredino tega niza števil.

Povišanje cen nekaterih izdelkov je niz 3,4; 6,5; 2,8; 3,7; 5.1; 4.1; 5,9 odstotka. Poiščite razliko med mediano in obsegom te serije številk.

Prometna agencija je zabeležila število naročil za dostavo tovora v 6 dneh. Dobili smo naslednjo serijo podatkov: 40, 41, 39, 36, 41, 31. Kako drugačen je način tega niza številk od njegove aritmetične sredine?

Kegljač je izvedel 5 metov in zadel 8, 9, 7, 10, 6 kegljev. Poiščite povprečje

aritmetika te serije številk.

Povprečna temperatura januarja je -18 stopinj, februarja -15 stopinj, marca -7 stopinj, aprila +12 stopinj. Poiščite aritmetično sredino tega niza številk.

Odgovori

7,85

30,34

12,8

0,2

61,5

0,4

Datum __________

Tema lekcije: Aritmetična sredina, obseg in način.

Cilji lekcije: ponovite koncepte takih statističnih značilnosti, kot so aritmetična sredina, obseg in način, da oblikujete sposobnost iskanja povprečnih statističnih značilnosti različnih serij; razvijati logično razmišljanje, spomin in pozornost; vzgajati pri otrocih delavnost, disciplino, vztrajnost, natančnost; razvijati pri otrocih zanimanje za matematiko.

Med poukom

Razredna organizacija

Ponavljanje ( Enačba in njene korenine)

Določite enačbo z eno spremenljivko.

Kaj je koren enačbe?

Kaj pomeni rešiti enačbo?

Reši enačbo:

6x + 5 = 23 -3x 2 (x - 5) + 3x = 11 -2x 3x - (x - 5) \u003d 14 -2x

Posodobitev znanja ponovite koncepte takih statističnih značilnosti, kot so aritmetična sredina, razpon, način in mediana.

Statistika je znanost, ki zbira, obdeluje, analizira kvantitativne podatke o najrazličnejših množičnih pojavih, ki se pojavljajo v naravi in ​​družbi.

povprečno je vsota vseh števil, deljena z njihovim številom. (Aritmetična sredina se imenuje povprečna vrednost številske serije.)

Razpon številk je razlika med največjim in najmanjšim od teh številk.

Moda serije številk - To je število, ki se v tej seriji pojavlja pogosteje kot druge.

Mediana urejen niz števil z lihim številom članov imenujemo število, ki je zapisano na sredini, s sodim številom članov pa aritmetična sredina dveh števil, zapisanih na sredini.

Beseda statistika je prevedena iz latinščine status - stanje, stanje.

Statistične značilnosti: aritmetična sredina, razpon, način, mediana.

Asimilacija novega materiala

Naloga številka 1: 12 sedmošolcev je bilo pozvanih, da označijo čas (v minutah), porabljen za domačo nalogo iz algebre. Dobili smo naslednje podatke: 23,18,25,20,25,25,32,37,34,26,34,25. Koliko minut so učenci povprečno porabili za domače naloge?

Odločitev: 1) poiščite aritmetično sredino:

2) poiščite obseg serije: 37-18=19 (min)

3) moda 25.

Naloga številka 2: V mestu Schastlivy so ga izmerili vsak dan ob 18 00 temperatura zraka (v stopinjah Celzija 10 dni), zaradi česar je bila tabela napolnjena:

T sre = 0 Z,

Razpon = 25-13=12 0 Z,

Naloga številka 3: Poiščite obseg številk 2, 5, 8, 12, 33.

Odločitev: Največje število tukaj je 33, najmanjše je 2. Torej, obseg je: 33 - 2 = 31.

Naloga številka 4: Poiščite način distribucijske serije:

a) 23 25 27 23 26 29 23 28 33 23 (način 23);

b) 14 18 22 26 30 28 26 24 22 20 (načina: 22 in 26);

c) 14 18 22 26 30 32 34 36 38 40 (brez mode).

Naloga številka 5 : Poiščite aritmetično sredino, obseg in način niza številk 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Odločitev: 1) Najpogosteje se v tej seriji številk pojavi številka 7 (3-krat). To je način dane serije številk.

Rešitev za vaje

AMPAK) Poiščite aritmetično sredino, mediano, obseg in način niza števil:

1) 32, 26, 18, 26, 15, 21, 26;

2) 21, 18, 5, 25, 3, 18, 5, 17, 9;

3) 67,1 68,2 67,1 70,4 68,2;

4) 0,6 0,8 0,5 0,9 1,1.

B) Aritmetična sredina niza desetih števil je 15. Temu nizu je bilo dodeljeno število 37. Kakšna je aritmetična sredina nove serije številk.

AT) V seriji številk 2, 7, 10, __, 18, 19, 27 se je izkazalo, da je ena številka izbrisana. Obnovite ga, če veste, da je aritmetična sredina te serije številk 14.

G) Vsak od 24 udeležencev strelskega tekmovanja je sprožil deset strelov. Vsakič, ko smo zabeležili število zadetkov v tarčo, smo prejeli naslednjo serijo podatkov: 6, 5, 5, 6, 8, 3, 7, 6, 8, 5, 4, 9, 7, 7, 9, 8 , 6, 6, 5 , 6, 4, 3, 6, 5. Poiščite obseg in modo za to serijo. Kaj je značilno za vsakega od teh kazalnikov.

Povzetek

Kaj je aritmetična sredina? Moda? Mediana? Povlecite?

Domača naloga:

№164 (ponovitvena naloga), str. 36-39 prebrano

№167 (a, b), # 177, 179

Pri proučevanju učne obremenitve učencev je bila izpostavljena skupina 12 sedmošolcev. Prosili so jih, naj označijo čas (v minutah), porabljen na določen dan za opravljanje domače naloge iz algebre. Dobili smo naslednje podatke: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Pri proučevanju obremenitve učencev je bila identificirana skupina 12 sedmošolcev. Prosili so jih, naj označijo čas (v minutah), porabljen na določen dan za opravljanje domače naloge iz algebre. Dobili smo naslednje podatke: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Aritmetična sredina serije. Aritmetična sredina niza števil je količnik deljenja vsote teh števil s številom členov. Aritmetična sredina niza številk je količnik deljenja vsote teh števil s številom izrazov.(): 12=27

Razpon vrstic. Razpon niza je razlika med največjim in najmanjšim od teh številk. Razpon niza je razlika med največjim in najmanjšim od teh številk. Največja poraba časa je 37 minut, najmanjša pa 18 minut. Poiščite razpon serije: 37 - 18 = 19 (min)

Vrstna moda. Način niza številk je število, ki se v tej seriji pojavlja pogosteje kot v drugih. Način niza številk je število, ki se v tej seriji pojavlja pogosteje kot v drugih. Način naše serije je številka - 25. Način naše serije je številka - 25. Niz številk ima lahko več kot en način ali pa ne. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 - dva načina 47 in 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73,72 - brez mode.

Aritmetična sredina, obseg in moda se uporabljajo v statistiki – znanosti, ki se ukvarja s pridobivanjem, obdelavo in analizo kvantitativnih podatkov o različnih množičnih pojavih, ki se pojavljajo v naravi in ​​družbi. Aritmetična sredina, obseg in moda se uporabljajo v statistiki – znanosti, ki se ukvarja s pridobivanjem, obdelavo in analizo kvantitativnih podatkov o različnih množičnih pojavih, ki se pojavljajo v naravi in ​​družbi. Statistika proučuje število posameznih skupin prebivalstva države in njenih regij, proizvodnjo in porabo različnih vrst izdelkov, prevoz blaga in potnikov z različnimi načini prevoza, naravne vire itd. skupine prebivalstva države in njenih regij, proizvodnja in poraba različnih vrst izdelkov, prevoz blaga in potnikov z različnimi načini prevoza, naravni viri itd.

1. Poišči aritmetično sredino in obseg niza števil: a) 24,22,27,20,16,37; b) 30,5,23,5,28, Poiščite aritmetično sredino, obseg in način niza števil: a) 32,26,18,26,15,21,26; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; c) 61,64,64,83,61,71,70; c) 61,64,64,83,61,71,70; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, ena številka manjka v nizu številk 3, 8, 15, 30, __, 24. Poiščite ga, če: a) aritmetična sredina serija je 18; a) aritmetična sredina niza je 18; b) obseg serije je 40; b) obseg serije je 40; c) način serije je 24. c) način serije je 24.

4. V spričevalu o srednji izobrazbi so imeli štirje prijatelji - maturanti - naslednje ocene: Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4, 4; Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Semjonov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Semjonov: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Popov: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanov: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Kolikšen je povprečni GPA, s katerim je vsak od teh diplomantov končal srednjo šolo? Za vsakega od njih v spričevalu navedite najbolj značilno oceno. Katere statistične podatke ste uporabili pri odgovoru? Kolikšen je povprečni GPA, s katerim je vsak od teh diplomantov končal srednjo šolo? Za vsakega od njih v spričevalu navedite najbolj značilno oceno. Katere statistične podatke ste uporabili pri odgovoru?

Samostojno delo Možnost 1. Možnost Podan je niz številk: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Poišči aritmetično sredino, obseg in način rada. 2. V nizu številk 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25 manjka ena številka. manjka ena številka. Najdi, če: Najdi, če je: a) aritmetična sredina; a) aritmetična sredina je 19; kar je 19; b) obseg serije - 41. b) obseg serije - 41. Možnost Podan je niz številk: 38, 42, 36, 45, 48, 45,45, 42. Poiščite aritmetično sredino, obseg in način rad. 2. V nizu številk 5, 10, 17, 32, _, 26 manjka ena številka. Poiščite ga, če: a) je aritmetična sredina 19; b) obseg serije je 41.

Mediana urejenega niza števil z lihim številom števil je število, zapisano na sredini, mediana urejenega niza števil s sodim številom pa je aritmetična sredina dveh števil, zapisanih na sredini. Mediana urejenega niza števil z lihim številom števil je število, zapisano na sredini, mediana urejenega niza števil s sodim številom pa je aritmetična sredina dveh števil, zapisanih na sredini. V tabeli je prikazana poraba električne energije v januarju po stanovalcih devetih stanovanj: Tabela prikazuje porabo električne energije v januarju po stanovalcih devetih stanovanj: Številka stanovanja Poraba električne energije

Naredimo urejeno serijo: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91 - mediana te serije. 78 je mediana te serije. Podan je urejen niz: Podan je urejen niz: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. (): 2 = 80 - mediana. ():2 = 80 – mediana.

1. Poišči mediano niza števil: a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. d) 1.2, 1.4, 2.2, 2.6, 3.2, 3.8, 4.4, 5.6. 2. Poišči aritmetično sredino in mediano niza števil: a) 27, 29, 23, 31,21,34; a) 27, 29, 23, 31, 21, 34; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. Tabela prikazuje število obiskovalcev razstave ob različnih dnevih v tednu: Poiščite mediano navedenega niza podatkov. Katere dni v tednu je bilo število obiskovalcev razstave večje od mediane? Dnevi v tednu pon pon tor sre sre čet čet pet pet sobo ned ned Število obiskovalcev

4. Spodaj je povprečna dnevna predelava sladkorja (v tisoč centerjev) v obratih sladkorne industrije v določeni regiji: (v tisoč centih) v obratih sladkorne industrije v določeni regiji: 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6 , 12,2, 18,5, 12,4, 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4, 14, 2, 17, osem. 14, 2, 17.8. Za dano serijo poiščite aritmetično sredino, način, razpon in mediano. Za dano serijo poiščite aritmetično sredino, način, razpon in mediano. 5. Organizacija je vodila dnevno evidenco prejetih pisem v mesecu. Kot rezultat smo prejeli naslednjo serijo podatkov: 39, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0, 52, 40, 42, 40 , 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25, 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Za predstavljeno vrsto poiščite aritmetično sredino, način, razpon in mediano. Za dano serijo poiščite aritmetično sredino, način, razpon in mediano.

Domača naloga. Na tekmovanjih v umetnostnem drsanju je bila uspešnost športnika ocenjena z naslednjimi točkami: Na tekmovanjih v umetnostnem drsanju je bila uspešnost športnika ocenjena z naslednjimi točkami: 5,2; 5.4; 5,5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5,5; 5.3. 5.2; 5.4; 5,5; 5.4; 5.1; 5.1; 5.4; 5,5; 5.3. Za nastalo serijo številk poiščite aritmetično sredino, obseg in način. Za nastalo serijo številk poiščite aritmetično sredino, obseg in način.

Reševanje nalog na temo: »Statistične značilnosti. Aritmetična sredina, obseg, način in mediana

algebra-

7. razred

Zgodovinski podatki

• Aritmetična sredina, obseg in način se uporabljajo v statistiki – znanosti, ki se ukvarja s pridobivanjem, obdelavo in analizo kvantitativnih podatkov o različnih množičnih pojavih, ki se pojavljajo v naravi in ​​družbi.
• Beseda "statistika" izvira iz latinske besede status, kar pomeni "stanje, stanje stvari". Statistika preučuje število posameznih skupin prebivalstva države in njenih regij, proizvodnjo in porabo
• različne vrste izdelkov, prevoz blaga in potnikov z različnimi načini prevoza, naravni viri itd.
• Rezultati statističnih študij se pogosto uporabljajo za praktične in znanstvene zaključke.

povprečno- količnik od deljenja vsote vseh števil s številom členov

• Obseg- razlika med največjim in najmanjšim številom te serije
• Moda je število, ki se najpogosteje pojavlja v nizu številk
• Mediana- urejena vrsta števil z lihim številom članov je število, zapisano na sredini, mediana urejenega niza števil s sodim številom članov pa je aritmetična sredina dveh števil, zapisanih na sredini. Mediana poljubnega niza števil je mediana ustreznega urejenega niza.

• povprečno ,

• obseg in moda
• najti uporabo v statistiki - znanosti,
• ki se ukvarja s pridobivanjem

obdelava in analiza

kvantitativni podatki o različnih

• množične prireditve

v naravi in

• družba.

Naloga št. 1

• Vrstica številk:
• 18 ; 13; 20; 40; 35.
• Poiščite aritmetično sredino te serije:

• Odločitev:
• (18+13+20+40+35):5=25,5
• Odgovor: 25,5 - aritmetična sredina

Naloga št. 2

• Vrstica številk:
• 35;16;28;5;79;54.

• Poiščite obseg serije:

• Odločitev:

• Največje število je 79,
• Najmanjše število je 5.
• Razpon vrstic: 79 - 5 = 74.
• Odgovor: 74

Naloga št. 3

• Vrstica številk:
• 23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

• Poiščite obseg serije:

• Odločitev:
• Največja poraba časa - 37 minut,
• in najmanjši - 18 min.
• Poiščite obseg serije:
• 37 - 18 = 19 (min)

Naloga št. 4

• Vrstica številk:
• 65; 12; 48; 36; 7; 12
• Poiščite modo serije:

• Odločitev:

• Način te serije: 12.
• Odgovor: 12

Naloga številka 5

• Niz številk ima lahko več kot en način,
• ali pa morda nimajo.

• Vrstica: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
• dva načina - 47 in 52.

• Vrstica: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 - brez mode.

Naloga številka 5

• Vrstica številk:
• 28; 17; 51; 13; 39
• Poiščite mediano te serije:

• Odločitev:

• Najprej postavite številke v naraščajočem vrstnem redu:
• 13; 17; 28; 39; 51.
• Mediana - 28.
• Odgovor: 28

Naloga številka 6

Organizacija je vodila dnevno evidenco prejetih pisem v mesecu.

Kot rezultat smo prejeli naslednjo serijo podatkov:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Za dano serijo podatkov poiščite aritmetično sredino,

Kakšen je praktični pomen teh indikacij?

Naloga številka 7

Stroški (v rubljih) paketa masla Nezhenka v trgovinah mikrookrožja so zabeleženi: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

Koliko se povprečje tega niza številk razlikuje od njegove mediane?

Odločitev.

Razvrsti ta niz številk v naraščajočem vrstnem redu:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Ker je število elementov v seriji liho, je mediana

vrednost, ki zaseda sredino številskega niza, to je M = 31.

Izračunajmo aritmetično sredino tega niza številk – m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

M - m \u003d 31 - 30 \u003d 1

Kreativno

Aritmetična sredina niza številk - je vsota teh številk, deljena s številom izrazov.

Aritmetična sredina se imenuje srednja vrednost številskega niza.

Primer: Poiščite aritmetično sredino številk 2, 6, 9, 15.

Odločitev. Imamo štiri številke. Torej, morate njihovo vsoto deliti s 4. To bo aritmetična sredina teh števil:
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Geometrijska sredina niza številk je n-ti koren produkta teh števil.

Primer: Poiščite geometrično sredino številk 2, 4, 8.

Odločitev. Imamo tri številke. Torej, iz njihovega produkta moramo najti koren tretje stopnje. To bo geometrijska sredina teh številk:

3 √ 2 4 8 = 3 √ 64 = 4

Obseg niz števil je razlika med največjim in najmanjšim od teh števil.

Primer: Poiščite obseg številk 2, 5, 8, 12, 33.

Odločitev: Največje število tukaj je 33, najmanjše je 2. Razpon je torej 31:

Moda niza številk je število, ki se v tej seriji pojavlja pogosteje kot v drugih.

Primer: Poiščite način niza številk 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Rešitev: Najpogostejše število v tej seriji števil je število 7 (3-krat). To je način dane serije številk.

Mediana.

V urejenem nizu številk:

Mediana lihega števila številk je številka na sredini.

Primer: V nizu številk 2, 5, 9, 15, 21 je mediana številka 9, ki je na sredini.

Mediana sodega števila števil je aritmetična sredina dveh števil na sredini.

Primer: Poiščite mediano številk 4, 5, 7, 11, 13, 19.

Rešitev: Število je sodo (6). Zato ne iščemo ene, temveč dve številki, zapisani na sredini. To sta številki 7 in 11. Najdemo aritmetično sredino teh števil:

(7 + 11) : 2 = 9.

Število 9 je mediana te serije številk.

V neurejenem nizu številk:

Mediana poljubnega niza števil se imenuje mediana ustrezne urejene serije.

Primer 1: Poiščite mediano poljubnega niza številk 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.

Rešitev: Številke razporedimo v naraščajočem vrstnem redu:

1, 3, 5, 17 , 19, 21, 25.

V sredini je številka 17. To je mediana te serije številk.

Primer 2: Dodajmo še eno število naši poljubni seriji števil, da bo niz sodi, in poiščimo mediano:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Odločitev: Znova zgradimo urejeno serijo:

1, 3, 5, 17 , 19 , 19, 21, 25.

Na sredini sta bili številki 17 in 19. Najdemo njuno povprečno vrednost:

(17 + 19) : 2 = 18.

Število 18 je mediana te serije številk.