Teorija aritmetične in geometrijske progresije. Formula n-tega člena geometrijske progresije
Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite abrakadabro, počistite predpomnilnik. Kako to storiti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite pozorni na naš navigator za najbolj uporaben vir za
Številčno zaporedje
Torej, usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:
Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih). Ne glede na to, koliko števil pišemo, vedno lahko povemo, katera je prva, katera druga in tako naprej do zadnje, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:
Številčno zaporedje je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.
Na primer za naše zaporedje:
Dodeljena številka je specifična samo za eno zaporedno številko. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Drugo število (kot -to število) je vedno enako.
Število s številko imenujemo -ti člen zaporedja.
Celotno zaporedje običajno imenujemo neka črka (na primer,), in vsak član tega zaporedja - ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člana: .
V našem primeru:
Najpogostejši vrsti progresije sta aritmetična in geometrijska. V tej temi bomo govorili o drugi vrsti - geometrijsko napredovanje.
Zakaj potrebujemo geometrijsko napredovanje in njegovo zgodovino.
Že v starih časih se je s praktičnimi potrebami trgovine ukvarjal italijanski matematik, menih Leonardo iz Pise (bolj znan kot Fibonacci). Menih se je soočil z nalogo, da ugotovi, s katerim najmanjšim številom uteži lahko stehtamo blago? Fibonacci v svojih spisih dokazuje, da je tak sistem uteži optimalen: To je ena prvih situacij, v kateri so se ljudje morali soočiti z geometrijsko progresijo, za katero ste verjetno že slišali in imate o njej vsaj splošno predstavo. Ko popolnoma razumete temo, pomislite, zakaj je tak sistem optimalen?
Trenutno se v življenjski praksi pri vlaganju sredstev v banko kaže geometrijsko napredovanje, ko se znesek obresti zaračuna na znesek, zbran na računu za preteklo obdobje. Z drugimi besedami, če položite denar na vezani depozit v hranilnici, potem se bo vloga v enem letu povečala za od prvotnega zneska, tj. nov znesek bo enak prispevku, pomnoženemu s. V drugem letu se bo ta znesek povečal za, tj. takrat dobljeni znesek se ponovno pomnoži z in tako naprej. Podobna situacija je opisana pri problemih računanja t.i obrestno obrestovanje- odstotek se vsakič vzame od zneska, ki je na računu, ob upoštevanju predhodnih obresti. O teh nalogah bomo govorili malo kasneje.
Obstaja veliko več preprostih primerov, kjer se uporablja geometrijska progresija. Na primer, širjenje gripe: ena oseba je okužila osebo, ta je okužila drugo osebo in s tem drugi val okužbe - osebo, ta pa je okužila drugo ... in tako naprej. .
Mimogrede, finančna piramida, ista MMM, je preprost in suh izračun glede na lastnosti geometrijskega napredovanja. zanimivo? Ugotovimo.
Geometrijsko napredovanje.
Recimo, da imamo številsko zaporedje:
Takoj boste odgovorili, da je enostavno in ime takšnega zaporedja je z razliko njegovih članov. Kaj pa kaj takega:
Če prejšnje število odštejete od naslednjega števila, potem boste videli, da vsakič dobite novo razliko (itd.), a zaporedje vsekakor obstaja in ga je enostavno opaziti - vsako naslednje število je krat večje od prejšnjega!
Ta vrsta zaporedja se imenuje geometrijsko napredovanje in je označena.
Geometrična progresija ( ) je številsko zaporedje, katerega prvi člen je različen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije.
Omejitve, da prvi člen ( ) ni enak in niso naključne. Recimo, da jih ni in je prvi člen še vedno enak, q pa je, hmm .. naj, potem se izkaže:
Strinjajte se, da to ni napredek.
Kot razumete, bomo dobili enake rezultate, če je katero koli število, ki ni nič, vendar. V teh primerih preprosto ne bo napredovanja, saj bo celoten številski niz bodisi vse ničle bodisi eno število in vse ostale ničle.
Zdaj pa se podrobneje pogovorimo o imenovalcu geometrijskega napredovanja, to je o.
Ponovimo: - to je številka, kolikokrat se spremeni vsak naslednji izraz geometrijsko napredovanje.
Kaj mislite, da bi lahko bilo? Tako je, pozitivno in negativno, vendar ne nič (o tem smo govorili malo višje).
Recimo, da imamo pozitivno. Naj v našem primeru a. Kaj je drugi izraz in? Na to lahko enostavno odgovorite:
V redu. V skladu s tem, če, potem imajo vsi naslednji člani napredovanja enak znak - oni pozitivno.
Kaj če je negativno? Na primer, a. Kaj je drugi izraz in?
To je povsem druga zgodba
Poskusite prešteti obdobje tega napredovanja. Koliko si dobil? Imam. Torej, če, potem se znaki členov geometrijske progresije izmenjujejo. To pomeni, da če vidite progresijo z izmeničnimi predznaki v njenih članih, potem je njen imenovalec negativen. To znanje vam lahko pomaga, da se preizkusite pri reševanju nalog na to temo.
Zdaj pa malo vadimo: poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so geometrijsko napredovanje in katera aritmetična:
Razumem? Primerjaj naše odgovore:
- Geometrijsko napredovanje - 3, 6.
- Aritmetična progresija - 2, 4.
- To ni niti aritmetična niti geometrijska progresija - 1, 5, 7.
Vrnimo se k naši zadnji progresiji in poskusimo najti njen člen na enak način kot pri aritmetiki. Kot ste morda uganili, ga lahko najdete na dva načina.
Vsak člen zaporedoma pomnožimo z.
Torej je -ti člen opisane geometrijske progresije enak.
Kot že ugibate, boste zdaj sami izpeljali formulo, ki vam bo pomagala najti katerega koli člana geometrijskega napredovanja. Ali pa ste ga že predstavili sami in opisali, kako poiskati člana po stopnjah? Če je tako, potem preverite pravilnost svojega razmišljanja.
Naj to ponazorimo s primerom iskanja -tega člana te progresije:
Z drugimi besedami:
Poiščite vrednost člana dane geometrijske progresije.
Se je zgodilo? Primerjaj naše odgovore:
Bodite pozorni, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo zaporedno pomnožili z vsakim prejšnjim članom geometrijskega napredovanja.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo - pripeljemo jo v splošno obliko in dobimo:
Izpeljana formula velja za vse vrednosti - tako pozitivne kot negativne. Preverite sami z izračunom členov geometrijske progresije z naslednjimi pogoji: , a.
Ste šteli? Primerjajmo rezultate:
Strinjam se, da bi bilo možno najti člana progresije na enak način kot člana, vendar obstaja možnost napačnega izračuna. In če smo že našli th člen geometrijske progresije, a, potem je kaj lažjega kot uporabiti "okrnjen" del formule.
Neskončno padajoča geometrijska progresija.
Pred kratkim smo govorili o tem, kaj je lahko večje ali manjše od nič, vendar obstajajo posebne vrednosti, za katere se imenuje geometrijsko napredovanje neskončno padajoče.
Zakaj mislite, da ima tako ime?
Za začetek zapišimo geometrijsko progresijo, sestavljeno iz členov.
Recimo torej:
Vidimo, da je vsak naslednji mandat krat manjši od prejšnjega, a ali bo kaj? Takoj odgovorite - "ne". Zato se neskončno padajoče - zmanjšuje, zmanjšuje, a nikoli ne postane nič.
Da bi jasno razumeli, kako to vizualno izgleda, poskusimo narisati graf našega napredovanja. Torej ima formula za naš primer naslednjo obliko:
Na lestvicah smo navajeni graditi odvisnost od, torej:
Bistvo izraza se ni spremenilo: v prvem vnosu smo prikazali odvisnost vrednosti člena geometrijske progresije od njegovega rednega števila, v drugem vnosu pa smo preprosto vzeli vrednost člena geometrijske progresije za in vrstna številka ni bila označena kot, ampak kot. Vse kar morate storiti je, da narišete graf.
Poglejmo, kaj imaš. Tukaj je grafikon, ki sem ga dobil:
vidiš? Funkcija pada, teži k ničli, vendar je nikoli ne prečka, zato je neskončno padajoča. Označimo naše točke na grafu, hkrati pa kaj pomeni koordinata in:
Poskusite shematično prikazati graf geometrijskega napredovanja, če je tudi njegov prvi člen enak. Analizirajte, kakšna je razlika z našim prejšnjim grafikonom?
Vam je uspelo? Tukaj je grafikon, ki sem ga dobil:
Zdaj, ko ste v celoti razumeli osnove teme o geometrijski progresiji: veste, kaj je, veste, kako najti njen člen, in veste tudi, kaj je neskončno padajoča geometrijska progresija, pojdimo k njeni glavni lastnosti.
lastnost geometrijske progresije.
Se spomnite lastnosti členov aritmetičnega napredovanja? Da, da, kako najti vrednost določenega števila progresije, ko obstajajo prejšnje in naslednje vrednosti članov te progresije. Se spomnil? to:
Zdaj se soočamo s popolnoma enakim vprašanjem za člene geometrijske progresije. Da izpeljemo takšno formulo, začnimo risati in sklepati. Videli boste, zelo enostavno je, in če pozabite, ga lahko izvlečete sami.
Vzemimo še eno preprosto geometrijsko progresijo, v kateri poznamo in. Kako najti? Z aritmetično progresijo je to lahko in preprosto, kako pa je tukaj? Pravzaprav tudi v geometriji ni nič zapletenega - vsako vrednost, ki nam je dana, morate samo naslikati po formuli.
Sprašujete, in kaj bomo zdaj s tem? Da, zelo preprosto. Za začetek ponazorimo te formule na sliki in poskusimo z njimi narediti različne manipulacije, da pridemo do vrednosti.
Abstrahiramo se od števil, ki so nam dana, osredotočili se bomo le na njihov izraz s formulo. Poiskati moramo vrednost, označeno z oranžno, pri čemer poznamo izraze, ki so poleg nje. Poskusimo z njimi izvesti različna dejanja, zaradi katerih lahko dobimo.
Dodatek.
Poskusimo sešteti dva izraza in dobimo:
Iz tega izraza, kot lahko vidite, nikakor ne bomo mogli izraziti, zato bomo poskusili drugo možnost - odštevanje.
Odštevanje.
Kot vidite, tudi iz tega ne moremo izraziti, zato bomo poskušali te izraze pomnožiti drug z drugim.
Množenje.
Zdaj pazljivo poglejte, kaj imamo, in pomnožite pogoje geometrijske progresije, ki nam je bila dana v primerjavi s tem, kar je treba najti:
Uganete o čem govorim? Pravilno, da ga najdemo, moramo vzeti kvadratni koren števil geometrijske progresije, ki mejijo na želeno število, pomnoženo eno z drugim:
Izvoli. Sami ste izpeljali lastnost geometrijske progresije. Poskusite zapisati to formulo v splošni obliki. Se je zgodilo?
Pozabljen pogoj kdaj? Razmislite, zakaj je pomembno, poskusite na primer izračunati sami, pri. Kaj se zgodi v tem primeru? Tako je, popolna neumnost, saj je formula videti takole:
Zato ne pozabite na to omejitev.
Zdaj pa izračunajmo, kaj je
Pravilen odgovor - ! Če pri izračunu niste pozabili druge možne vrednosti, potem ste super kolega in lahko takoj nadaljujete s treningom, če pa ste pozabili, preberite, kaj je analizirano spodaj, in bodite pozorni, zakaj morata biti v odgovoru zapisana oba korena .
Narišimo obe naši geometrijski progresiji - eno z vrednostjo, drugo z vrednostjo in preverimo, ali imata obe pravico do obstoja:
Da bi preverili, ali takšna geometrijska progresija obstaja ali ne, je treba videti, ali je enaka med vsemi njenimi danimi členi? Izračunajte q za prvi in drugi primer.
Vidite, zakaj moramo napisati dva odgovora? Ker je predznak iskanega člena odvisen od tega, ali je pozitiven ali negativen! In ker ne vemo, kaj je, moramo oba odgovora napisati s plusom in minusom.
Zdaj, ko ste obvladali glavne točke in izpeljali formulo za lastnost geometrijske progresije, poiščite, poznajte in
Primerjaj svoje odgovore s pravilnimi:
Kaj menite, kaj, če ne bi dobili vrednosti članov geometrijske progresije, ki mejijo na želeno število, ampak enako oddaljeni od njega. Na primer, najti moramo in glede na in. Ali lahko v tem primeru uporabimo formulo, ki smo jo izpeljali? Poskusite potrditi ali ovreči to možnost na enak način, tako da opišete, iz česa je sestavljena posamezna vrednost, kot ste to storili pri izpeljavi formule na začetku.
Kaj si dobil?
Zdaj pa še enkrat pozorno poglejte.
in temu primerno:
Iz tega lahko sklepamo, da formula deluje ne samo s sosednjimi z želenimi členi geometrijskega napredovanja, ampak tudi z enako oddaljena od tega, kar člani iščejo.
Tako postane naša izvirna formula:
Se pravi, če smo v prvem primeru to rekli, zdaj pravimo, da je lahko enako kateremu koli naravnemu številu, ki je manjše. Glavna stvar je, da sta enaka za obe podani številki.
Vadite na konkretnih primerih, le zelo previdno!
- , . Najti.
- , . Najti.
- , . Najti.
Odločil sem se? Upam, da ste bili izredno pozorni in ste opazili droben ulov.
Primerjamo rezultate.
V prvih dveh primerih mirno uporabimo zgornjo formulo in dobimo naslednje vrednosti:
V tretjem primeru ob skrbnem preučitvi serijskih številk številk, ki so nam bile dane, ugotovimo, da niso enako oddaljene od številke, ki jo iščemo: to je prejšnja številka, vendar odstranjena na mestu, zato ni mogoče za uporabo formule.
Kako to rešiti? Pravzaprav ni tako težko, kot se zdi! Skupaj s teboj zapišimo, kaj vsebuje posamezna številka, ki nam je dana in želena številka.
Torej imamo in. Poglejmo, kaj lahko storimo z njimi. Predlagam, da se ločita. Dobimo:
Naše podatke nadomestimo s formulo:
Naslednji korak, ki ga lahko najdemo - za to moramo vzeti kubični koren dobljenega števila.
Zdaj pa poglejmo še enkrat, kaj imamo. Imamo, vendar moramo najti, to pa je enako:
Našli smo vse potrebne podatke za izračun. Nadomestite v formuli:
Naš odgovor: .
Poskusite sami rešiti drugo isto težavo:
Podano: ,
Najti:
Koliko si dobil? Imam - .
Kot lahko vidite, pravzaprav potrebujete spomnite se samo ene formule- . Vse ostalo lahko brez težav dvignete sami kadarkoli. Če želite to narediti, preprosto napišite najpreprostejše geometrijsko napredovanje na kos papirja in zapišite, čemu je po zgornji formuli enako vsako njegovo število.
Vsota členov geometrijske progresije.
Zdaj razmislite o formulah, ki nam omogočajo hiter izračun vsote členov geometrijske progresije v danem intervalu:
Za izpeljavo formule za vsoto členov končne geometrijske progresije pomnožimo vse dele zgornje enačbe z. Dobimo:
Poglejte natančno: kaj imata skupnega zadnji dve formuli? Tako je, običajni člani, na primer in tako naprej, razen prvega in zadnjega člana. Poskusimo odšteti 1. enačbo od 2. enačbe. Kaj si dobil?
Zdaj izrazite s formulo člana geometrijske progresije in nadomestite dobljeni izraz v naši zadnji formuli:
Združi izraz. Moral bi dobiti:
Vse kar morate storiti je, da izrazite:
Skladno s tem v tem primeru.
Kaj če? Katera formula potem deluje? Predstavljajte si geometrijsko napredovanje pri. Kakšna je? Pravilno niz enakih številk bo formula izgledala takole:
Tako kot pri aritmetičnem in geometrijskem napredovanju obstaja veliko legend. Ena izmed njih je legenda o Sethu, ustvarjalcu šaha.
Mnogi vedo, da je bila igra šaha izumljena v Indiji. Ko jo je hindujski kralj srečal, je bil navdušen nad njeno duhovitostjo in raznolikostjo možnih položajev v njej. Ko je izvedel, da ga je izumil eden od njegovih podanikov, se je kralj odločil, da ga bo osebno nagradil. Poklical je izumitelja k sebi in mu ukazal, naj ga prosi za vse, kar hoče, in obljubil, da bo izpolnil še tako spretno željo.
Seta je prosil za čas za razmislek, in ko se je naslednji dan Seta pojavil pred kraljem, je kralja presenetil z neprimerljivo skromnostjo svoje prošnje. Prosil je za pšenično zrno za prvo polje na šahovnici, pšenico za drugo, za tretje, za četrto in tako naprej.
Kralj je bil jezen in je odgnal Setha, rekoč, da je služabnikova zahteva nevredna kraljeve radodarnosti, vendar je obljubil, da bo služabnik prejel svoje zrnje za vse celice odbora.
In zdaj je vprašanje: z uporabo formule za vsoto členov geometrijske progresije izračunajte, koliko zrn naj prejme Seth?
Začnimo razpravljati. Ker je po pogoju Set zahteval pšenično zrno za prvo celico šahovnice, za drugo, za tretjo, za četrto itd., vidimo, da gre pri problemu za geometrijsko progresijo. Kaj je v tem primeru enako?
Pravilno.
Skupno število celic šahovnice. Oziroma,. Imamo vse podatke, ostane nam le, da vstavimo v formulo in izračunamo.
Da vsaj približno predstavimo "lestvice" danega števila, transformiramo z uporabo lastnosti stopnje:
Seveda, če želite, lahko vzamete kalkulator in izračunate, kakšno število dobite, če ne, mi boste morali verjeti na besedo: končna vrednost izraza bo.
To je:
kvintilion kvadrilijon bilijon milijard milijonov tisoč.
Fuh) Če si želite predstavljati ogromno te številke, potem ocenite, kolikšen skedenj bi bil potreben za vso količino žita.
Pri višini hleva m in širini m bi morala njegova dolžina segati na km, tj. dvakrat več kot od Zemlje do Sonca.
Če bi bil kralj močan v matematiki, bi lahko sam ponudil znanstveniku, da prešteje zrna, saj bi za preštevanje milijona zrn potreboval vsaj en dan neutrudnega štetja, in glede na to, da je treba prešteti kvintiljone, zrnje bi bilo treba šteti vse življenje.
In zdaj bomo rešili preprost problem o vsoti členov geometrijske progresije.
Vasya, učenec 5. razreda, je zbolel za gripo, vendar še naprej hodi v šolo. Vsak dan Vasya okuži dve osebi, ki nato okužita še dve osebi in tako naprej. Samo ena oseba v razredu. Čez koliko dni bo cel razred zbolel za gripo?
Torej, prvi član geometrijske progresije je Vasya, to je oseba. člen geometrijske progresije, to sta dve osebi, ki ju je okužil prvi dan svojega prihoda. Skupni seštevek članov napredovanja je enak številu učencev 5A. V skladu s tem govorimo o napredovanju, v katerem:
Nadomestimo naše podatke v formulo za vsoto členov geometrijske progresije:
Ves razred bo zbolel v nekaj dneh. Ne verjamete v formule in številke? Poskusite sami prikazati "okuženost" študentov. Se je zgodilo? Poglejte, kako izgleda zame:
Sami izračunajte, koliko dni bi učenci zbolevali za gripo, če bi vsi okužili človeka, v razredu pa je bil človek.
Kakšno vrednost ste dobili? Izkazalo se je, da so vsi začeli zbolevati po enem dnevu.
Kot lahko vidite, takšna naloga in risba zanjo spominjata na piramido, v kateri vsak naslednji "prinese" nove ljudi. Vendar prej ali slej pride trenutek, ko slednji ne more nikogar pritegniti. V našem primeru, če si predstavljamo, da je razred izoliran, oseba iz zapre verigo (). Torej, če bi bila oseba vpletena v finančno piramido, v kateri se denar daje, če pripeljete še dva udeleženca, potem oseba (ali v splošnem primeru) ne bi pripeljala nikogar oziroma bi izgubila vse, kar je vložila v to finančno prevaro .
Vse, kar je bilo povedano zgoraj, se nanaša na padajočo ali naraščajočo geometrijsko progresijo, vendar, kot se spomnite, imamo posebno vrsto - neskončno padajočo geometrijsko progresijo. Kako izračunati vsoto njegovih članov? In zakaj ima ta vrsta napredovanja določene značilnosti? Ugotovimo skupaj.
Torej, za začetek si ponovno oglejmo to sliko neskončno padajoče geometrijske progresije iz našega primera:
In zdaj si poglejmo formulo za vsoto geometrijske progresije, izpeljano malo prej:
oz
Za kaj si prizadevamo? Tako je, graf kaže, da teži k ničli. To je, ko bo skoraj enako, oziroma pri izračunu izraza bomo dobili skoraj. V zvezi s tem menimo, da lahko pri izračunu vsote neskončno padajoče geometrijske progresije ta oklepaj zanemarimo, saj bo enak.
- formula je vsota členov neskončno padajoče geometrijske progresije.
POMEMBNO! Formulo za vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije uporabimo le, če pogoj izrecno navaja, da moramo najti vsoto neskončnoštevilo članov.
Če je navedeno določeno število n, potem uporabimo formulo za vsoto n členov, tudi če oz.
In zdaj vadimo.
- Poiščite vsoto prvih členov geometrijske progresije z in.
- Poiščite vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije z in.
Upam, da ste bili zelo previdni. Primerjaj naše odgovore:
Zdaj veste vse o geometrijskem napredovanju in čas je, da od teorije preidemo k praksi. Najpogostejše eksponentne težave na izpitu so težave s sestavljenimi obrestmi. O njih bomo govorili.
Problemi za izračun obrestnih obresti.
Gotovo ste že slišali za tako imenovano formulo obrestne obresti. Ali razumeš, kaj misli? Če ne, poglejmo, kajti ko boste spoznali sam proces, boste takoj razumeli, kaj ima z njim opraviti geometrijsko napredovanje.
Vsi gremo v banko in vemo, da obstajajo različni pogoji za depozite: to je rok, dodatno vzdrževanje in obresti z dvema različnima načinoma izračuna - preprostim in zapletenim.
OD preproste obresti vse je bolj ali manj jasno: obresti se obračunajo enkrat ob koncu roka depozita. To pomeni, da če govorimo o dajanju 100 rubljev na leto pod, potem bodo pripisani šele ob koncu leta. V skladu s tem bomo do konca depozita prejeli rublje.
Obrestno obrestovanje je možnost, pri kateri kapitalizacija obresti, tj. njihov dodatek k znesku depozita in poznejši izračun dohodka ne iz začetnega, temveč iz nabranega zneska depozita. Kapitalizacija se ne pojavlja nenehno, ampak z določeno periodičnostjo. Ta obdobja so praviloma enaka in banke najpogosteje uporabljajo mesec, četrtletje ali leto.
Recimo, da položimo vse iste rublje na leto, vendar z mesečno kapitalizacijo depozita. Kaj dobimo?
Razumeš vse tukaj? Če ne, pojdimo korak za korakom.
V banko smo prinesli rublje. Do konca meseca bi morali imeti na računu znesek, sestavljen iz naših rubljev in obresti nanje, to je:
Strinjam se?
Lahko ga vzamemo iz oklepaja in potem dobimo:
Strinjam se, ta formula je že bolj podobna tisti, ki smo jo napisali na začetku. Ostaja še ukvarjanje z odstotki
V pogoju problema nam je povedano o letnem. Kot veste, ne množimo z - odstotke pretvorimo v decimalke, to je:
Prav? Zdaj se sprašujete, od kod številka? Zelo preprosto!
Ponavljam: pogoj problema govori o LETNA natečene obresti MESEČNO. Kot veste, nam bo banka v enem letu mesecev zaračunala del letnih obresti na mesec:
Uresničeno? Zdaj poskusite napisati, kako bi izgledal ta del formule, če bi rekel, da se obresti obračunavajo dnevno.
Vam je uspelo? Primerjajmo rezultate:
Dobro opravljeno! Vrnimo se k naši nalogi: zapišite, koliko bo pripisano na naš račun za drugi mesec, pri čemer upoštevamo, da se obresti obračunajo na zbrani znesek depozita.
Evo, kaj se mi je zgodilo:
Ali z drugimi besedami:
Mislim, da ste v vsem tem že opazili vzorec in videli geometrijsko napredovanje. Napiši, koliko bo njegov član oziroma, z drugimi besedami, koliko denarja bomo prejeli na koncu meseca.
Ali? Preverjanje!
Kot lahko vidite, če denar položite v banko za eno leto z navadnimi obrestmi, potem boste prejeli rublje, in če ga položite po obrestni meri, boste prejeli rublje. Korist je majhna, vendar se to zgodi le med letom, vendar je za daljše obdobje kapitalizacija veliko bolj donosna:
Razmislite o drugi vrsti težav s sestavljenimi obrestmi. Po tem, kar ste ugotovili, bo za vas osnovno. Naloga je torej:
Zvezda je začela vlagati v panogo leta 2000 z dolarskim kapitalom. Od leta 2001 vsako leto ustvari dobiček v višini kapitala predhodnega leta. Koliko dobička bo imela družba Zvezda konec leta 2003, če dobička ne bi umaknili iz obtoka?
Kapital družbe Zvezda 2000.
- kapital družbe Zvezda 2001.
- kapital družbe Zvezda v letu 2002.
- kapital družbe Zvezda v letu 2003.
Lahko pa na kratko zapišemo:
Za naš primer:
2000, 2001, 2002 in 2003.
Oziroma:
rubljev
Upoštevajte, da v tej nalogi nimamo delitve z ali z, saj je odstotek podan LETNO in se izračuna LETNO. To pomeni, da pri branju problema za obrestne mere bodite pozorni na to, kakšen odstotek je podan in v katerem obdobju se zaračuna, in šele nato nadaljujte z izračuni.
Zdaj veste vse o geometrijskem napredovanju.
Telovaditi.
- Poiščite člen geometrijskega napredovanja, če je znano, da in
- Poiščite vsoto prvih členov geometrijskega napredovanja, če je znano, da in
- MDM Capital je začel vlagati v industrijo leta 2003 z dolarskim kapitalom. Od leta 2004 naprej vsako leto ustvari dobiček, ki je enak lanskemu kapitalu. Podjetje "MSK Cash Flows" je začelo vlagati v industrijo leta 2005 v višini 10.000 $, leta 2006 pa je začelo ustvarjati dobiček v višini. Za koliko dolarjev presega kapital enega podjetja od kapitala drugega konec leta 2007, če dobička ne bi umaknili iz obtoka?
odgovori:
- Ker pogoj problema ne pravi, da je napredovanje neskončno in je potrebno najti vsoto določenega števila njegovih članov, se izračun izvede po formuli:
Podjetje "MDM Capital":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- se poveča za 100%, to je 2-krat.
Oziroma:
rubljev
Denarni tokovi MSK:2005, 2006, 2007.
- poveča za, to je krat.
Oziroma:
rubljev
rubljev
Naj povzamemo.
1) Geometrična progresija ( ) je številsko zaporedje, katerega prvi člen je različen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije.
2) Enačba članov geometrijske progresije -.
3) lahko sprejme katero koli vrednost, razen in.
- če, potem imajo vsi nadaljnji člani progresije enak znak - oni pozitivno;
- če, potem vsi nadaljnji člani napredovanja nadomestni znaki;
- ko - se progresija imenuje neskončno padajoča.
4) , at - lastnost geometrijske progresije (sosednji členi)
oz
, pri (enako oddaljeni izrazi)
Ko ga najdete, tega ne pozabite morala bi biti dva odgovora..
na primer
5) Vsota členov geometrijske progresije se izračuna po formuli:
oz
oz
POMEMBNO! Formulo za vsoto členov neskončno padajoče geometrijske progresije uporabimo le, če pogoj izrecno določa, da moramo najti vsoto neskončnega števila členov.
6) Naloge za obrestne mere se izračunajo tudi po formuli th člana geometrijske progresije, pod pogojem, da sredstva niso bila umaknjena iz obtoka:
GEOMETRIJSKA PROGRESIJA. NA KRATKO O GLAVNEM
Geometrijsko napredovanje( ) je številsko zaporedje, katerega prvi člen je različen od nič, vsak člen, začenši z drugim, pa je enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom. Ta številka se imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.
Imenovalec geometrijske progresije lahko sprejme katero koli vrednost razen in.
- Če, potem imajo vsi nadaljnji členi napredovanja enak predznak - so pozitivni;
- če, potem vsi nadaljnji člani napredovanja izmenjujejo znake;
- ko - se progresija imenuje neskončno padajoča.
Enačba členov geometrijske progresije - .
Vsota členov geometrijske progresije izračunano po formuli:
oz
Če napredovanje neskončno pada, potem:
Pa je tema končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.
Ker le 5% ljudi zmore nekaj obvladati samih. In če ste prebrali do konca, potem ste v 5%!
Zdaj pa najpomembnejše.
Ugotovili ste teorijo o tej temi. In ponavljam, to je ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.
Težava je v tem, da to morda ni dovolj ...
Za kaj?
Za uspešno opravljen izpit, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je NAJBOLJ POMEMBNO, za življenje.
Ne bom vas prepričeval v nič, rekel bom samo eno stvar ...
Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.
Ampak to ni glavna stvar.
Glavno, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem ...
Ampak pomislite sami ...
Kaj je potrebno, da ste na izpitu boljši od drugih in na koncu ... srečnejši?
NAPOLNITE SI ROKO, REŠUJTE PROBLEME NA TO TEMO.
Na izpitu ne boste vprašali teorije.
Boste potrebovali težave reševati pravočasno.
In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali je preprosto ne boste storili pravočasno.
To je kot v športu – večkrat moraš ponoviti, da zagotovo zmagaš.
Poiščite zbirko kjerkoli želite nujno z rešitvami, podrobno analizo in odločaj se, odločaj se!
Naše naloge lahko uporabite (ni nujno) in jih vsekakor priporočamo.
Če želite pomagati pri naših nalogah, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.
kako Obstajata dve možnosti:
- Odklenite dostop do vseh skritih nalog v tem članku -
- Odkleni dostop do vseh skritih opravil v vseh 99 člankih vadnice - Kupite učbenik - 499 rubljev
Da, v učbeniku imamo 99 takih členov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih se lahko odpre takoj.
Dostop do vseh skritih nalog je zagotovljen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.
V zaključku...
Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne prenehajte s teorijo.
"Razumem" in "znam rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebujete oboje.
Poiščite težave in jih rešite!
Geometrična progresija je skupaj z aritmetiko pomemben niz števil, ki se preučuje v šolskem tečaju algebre v 9. razredu. V tem članku bomo obravnavali imenovalec geometrijskega napredovanja in kako njegova vrednost vpliva na njegove lastnosti.
Opredelitev geometrijske progresije
Za začetek podajamo definicijo te številske serije. Geometrična progresija je niz racionalnih števil, ki nastane z zaporednim množenjem prvega elementa s konstantnim številom, imenovanim imenovalec.
Na primer, števila v nizu 3, 6, 12, 24, ... so geometrijsko napredovanje, saj če 3 (prvi element) pomnožimo z 2, dobimo 6. Če pomnožimo 6 z 2, dobimo 12 in tako naprej.
Člani obravnavanega zaporedja so običajno označeni s simbolom ai, kjer je i celo število, ki označuje številko elementa v nizu.
Zgornjo definicijo progresije lahko v jeziku matematike zapišemo takole: an = bn-1 * a1, kjer je b imenovalec. To formulo je enostavno preveriti: če je n = 1, potem je b1-1 = 1 in dobimo a1 = a1. Če je n = 2, potem je an = b * a1 in spet pridemo do definicije obravnavane serije števil. Podobno razmišljanje je mogoče nadaljevati za velike vrednosti n.
Imenovalec geometrijske progresije
Število b popolnoma določa, kakšen znak bo imela celotna številska serija. Imenovalec b je lahko pozitiven, negativen ali večji ali manjši od ena. Vse zgornje možnosti vodijo do različnih zaporedij:
- b > 1. Obstaja naraščajoča vrsta racionalnih števil. Na primer 1, 2, 4, 8, ... Če je element a1 negativen, potem se bo celotno zaporedje povečevalo samo po modulu, zmanjšalo pa se bo ob upoštevanju predznaka števil.
- b = 1. Pogosto se tak primer ne imenuje progresija, saj obstaja navaden niz enakih racionalnih števil. Na primer -4, -4, -4.
Formula za vsoto
Preden nadaljujemo z obravnavo specifičnih problemov z uporabo imenovalca obravnavane vrste napredovanja, je treba podati pomembno formulo za vsoto njenih prvih n elementov. Formula je: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).
Ta izraz lahko dobite sami, če upoštevate rekurzivno zaporedje članov napredovanja. Upoštevajte tudi, da je v zgornji formuli dovolj poznati samo prvi element in imenovalec, da bi našli vsoto poljubnega števila izrazov.
Neskončno padajoče zaporedje
Zgoraj je bila razlaga, kaj je to. Zdaj, ko poznamo formulo za Sn, jo uporabimo za to številsko vrsto. Ker se vsako število, katerega modul ne presega 1, nagiba k ničli, ko je povišano na velike potence, to je b∞ => 0, če je -1
Ker bo razlika (1 - b) vedno pozitivna, ne glede na vrednost imenovalca, je predznak vsote neskončno padajoče geometrijske progresije S∞ enolično določen s predznakom njenega prvega elementa a1.
Zdaj bomo obravnavali več problemov, kjer bomo pokazali, kako pridobljeno znanje uporabiti pri določenih številkah.
Naloga številka 1. Izračun neznanih elementov progresije in vsote
Glede na geometrijsko progresijo je imenovalec progresije 2, njen prvi element pa 3. Kakšna bosta njen 7. in 10. člen in kakšna je vsota njenih sedmih začetnih elementov?
Pogoj problema je precej preprost in vključuje neposredno uporabo zgornjih formul. Za izračun elementa s številko n torej uporabimo izraz an = bn-1 * a1. Za 7. element imamo: a7 = b6 * a1, če nadomestimo znane podatke, dobimo: a7 = 26 * 3 = 192. Enako naredimo za 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.
Uporabimo dobro znano formulo za vsoto in določimo to vrednost za prvih 7 elementov serije. Imamo: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.
Naloga številka 2. Določanje vsote poljubnih elementov napredovanja
Naj bo -2 imenovalec eksponentne progresije bn-1 * 4, kjer je n celo število. Določiti je treba vsoto od vključno 5. do 10. elementa te serije.
Zastavljenega problema ni mogoče rešiti neposredno z znanimi formulami. Lahko se reši na 2 različna načina. Zaradi popolnosti predstavljamo oboje.
Metoda 1. Njena zamisel je preprosta: izračunati morate dve ustrezni vsoti prvih členov in nato od enega odšteti drugega. Izračunajte manjšo vsoto: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Zdaj izračunamo veliko vsoto: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Upoštevajte, da so bili v zadnjem izrazu sešteti samo 4 členi, saj je 5. že vključen v vsoto, ki jo je treba izračunati glede na pogoj problema. Na koncu vzamemo razliko: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.
2. način. Pred zamenjavo števil in štetjem lahko dobite formulo za vsoto med členoma m in n zadevne serije. Delamo popolnoma enako kot pri metodi 1, le da najprej delamo s simbolno predstavitvijo vsote. Imamo: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . V nastali izraz lahko nadomestite znana števila in izračunate končni rezultat: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.
Naloga številka 3. Kaj je imenovalec?
Naj bo a1 = 2, poiščite imenovalec geometrijske progresije, pod pogojem, da je njegova neskončna vsota 3, in vemo, da je to padajoča vrsta števil.
Glede na pogoj problema ni težko uganiti, katero formulo naj uporabimo za rešitev. Seveda za vsoto neskončno padajoče progresije. Imamo: S∞ = a1 / (1 - b). Od koder izrazimo imenovalec: b = 1 - a1 / S∞. Ostaja, da nadomestimo znane vrednosti in dobimo zahtevano število: b \u003d 1 - 2 / 3 \u003d -1 / 3 ali -0,333 (3). Ta rezultat lahko kvalitativno preverimo, če se spomnimo, da pri tej vrsti zaporedja modul b ne sme presegati 1. Kot lahko vidite, |-1 / 3|
Naloga številka 4. Obnovitev niza številk
Naj sta podana 2 elementa številskega niza, na primer 5. je enak 30, 10. pa 60. Iz teh podatkov je potrebno obnoviti celotno vrsto, saj vemo, da izpolnjuje lastnosti geometrijske progresije.
Za rešitev problema morate najprej zapisati ustrezen izraz za vsak znani člen. Imamo: a5 = b4 * a1 in a10 = b9 * a1. Zdaj delimo drugi izraz s prvim, dobimo: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Od tu določimo imenovalec tako, da vzamemo koren pete stopnje iz razmerja članov, znanega iz pogoja problema, b = 1,148698. Dobljeno število nadomestimo z enim od izrazov za znani element, dobimo: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.
Tako smo ugotovili, kolikšen je imenovalec progresije bn in geometrijske progresije bn-1 * 17,2304966 = an, kjer je b = 1,148698.
Kje se uporabljajo geometrijske progresije?
Če te numerične serije ne bi uporabljali v praksi, bi bila njena študija skrčena na čisto teoretični interes. Vendar obstaja taka aplikacija.
Spodaj so navedeni 3 najbolj znani primeri:
- Zenonov paradoks, v katerem okretni Ahil ne more dohiteti počasne želve, je rešen s konceptom neskončno padajočega zaporedja števil.
- Če so pšenična zrna postavljena na vsako celico šahovnice tako, da je 1 zrno postavljeno v 1. celico, 2 - v 2. celico, 3 - v 3. celico in tako naprej, potem bo potrebnih 18446744073709551615 zrn za zapolnitev vseh celic v tabla!
- V igri "Hanojski stolp" je za preureditev diskov iz ene palice v drugo potrebno izvesti 2n - 1 operacij, to pomeni, da njihovo število eksponentno raste od števila uporabljenih diskov n.
Navodilo
10, 30, 90, 270...
Potrebno je najti imenovalec geometrijskega napredovanja.
rešitev:
1 možnost. Vzemimo poljuben člen progresije (na primer 90) in ga delimo s prejšnjim (30): 90/30=3.
Če je znana vsota več članov geometrijske progresije ali vsota vseh članov padajoče geometrijske progresije, potem za iskanje imenovalca progresije uporabite ustrezne formule:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), kjer je Sn vsota prvih n členov geometrijske progresije in
S = b1/(1-q), kjer je S vsota neskončno padajoče geometrijske progresije (vsota vseh členov progresije z imenovalcem manjšim od ena).
Primer.
Prvi člen padajoče geometrijske progresije je enak ena, vsota vseh njegovih členov pa je enaka dve.
Treba je določiti imenovalec tega napredovanja.
rešitev:
Podatke iz naloge nadomestite v formulo. Pridobite:
2=1/(1-q), od koder je – q=1/2.
Progresija je zaporedje številk. V geometrijskem napredovanju dobimo vsak naslednji člen tako, da prejšnjega pomnožimo z določenim številom q, ki ga imenujemo imenovalec napredovanja.
Navodilo
Če sta znana dva sosednja člena geometrije b(n+1) in b(n), je treba, da bi dobili imenovalec, število z velikim številom deliti s tistim pred njim: q=b(n +1)/b(n). To izhaja iz definicije progresije in njenega imenovalca. Pomemben pogoj je, da prvi člen in imenovalec progresije nista enaka nič, sicer se šteje za nedoločeno.
Tako so med členi progresije vzpostavljene naslednje relacije: b2=b1 q, b3=b2 q, … , b(n)=b(n-1) q. S formulo b(n)=b1 q^(n-1) lahko izračunamo poljuben člen geometrijske progresije, v katerem sta znana imenovalec q in člen b1. Poleg tega je vsak modul progresije enak povprečju svojih sosednjih členov: |b(n)|=√, zato je progresija dobila svoj .
Analog geometrijske progresije je najenostavnejša eksponentna funkcija y=a^x, kjer je x v eksponentu, a je neko število. V tem primeru imenovalec progresije sovpada s prvim členom in je enak številu a. Vrednost funkcije y lahko razumemo kot n-ti člen progresije, če argument x vzamemo kot naravno število n (števec).
Druga pomembna lastnost geometrijske progresije, ki je dala geometrijsko progresijo
To število imenujemo imenovalec geometrijske progresije, to pomeni, da se vsak člen razlikuje od prejšnjega za q-krat. (Predpostavili bomo, da je q ≠ 1, drugače je vse preveč trivialno). Lahko vidimo, da je splošna formula n-tega člena geometrijske progresije b n = b 1 q n – 1 ; členi s številoma b n in b m se razlikujejo za q n – m-krat.Že v starem Egiptu niso poznali le aritmetike, temveč tudi geometrijsko progresijo. Tukaj je na primer naloga iz Rhindovega papirusa: »Sedem obrazov ima sedem mačk; vsaka mačka poje sedem miši, vsaka miš poje sedem klasov, iz vsakega klasja lahko zraste sedem mernikov ječmena. Kako velika so števila v tem nizu in njihova vsota?
 |
|
riž. 1. Staroegipčanski problem geometrijske progresije |
Ta naloga se je večkrat ponovila z različnimi različicami med drugimi ljudstvi ob drugih časih. Na primer, v napisanem v XIII. "Knjiga abakusa" Leonarda iz Pise (Fibonacci) ima problem, v katerem se na poti v Rim pojavi 7 stark (očitno romarjev), od katerih ima vsaka 7 mul, od katerih ima vsaka 7 torb, od katerih vsaka ima 7 hlebcev, od katerih ima vsak 7 nožev, od katerih je vsak v 7 nožnicah. Problem je vprašanje, koliko predmetov je.
Vsota prvih n členov geometrijske progresije S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . To formulo je mogoče dokazati na primer takole: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
Prištejmo število b 1 q n k S n in dobimo:
|
Zato S n (q - 1) = b 1 (q n - 1) in dobimo potrebno formulo.
Že na eni od glinenih plošč starega Babilona, ki sega v VI. pr. n. št e., vsebuje vsoto 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Res je, kot v številnih drugih primerih, ne vemo, kje so to dejstvo vedeli Babilonci .
Hitra rast geometrijske progresije v številnih kulturah, zlasti v Indiji, se vedno znova uporablja kot jasen simbol neizmernosti vesolja. V znani legendi o pojavu šaha daje vladar njihovemu izumitelju možnost, da si sam izbere nagrado, in zahteva toliko pšeničnih zrn, kot jih bo dobil, če eno postavi na prvo celico šaha. šahovnici, dve na drugi, štiri na tretji, osem na četrti itd., vsakič ko se število podvoji. Vladyka je mislil, da gre kvečjemu za nekaj vreč, a se je zmotil. Zlahka je videti, da bi moral izumitelj za vseh 64 polj šahovnice prejeti (2 64 - 1) grain, ki je izražen kot 20-mestno število; tudi če bi bila posejana vsa površina Zemlje, bi trajalo najmanj 8 let, da bi zbrali potrebno število zrn. Ta legenda se včasih razlaga kot sklicevanje na skoraj neomejene možnosti, ki se skrivajo v igri šaha.
Dejstvo, da je ta številka v resnici 20-mestna, je enostavno videti:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1,6 10 19 (natančnejši izračun daje 1,84 10 19). Vendar me zanima, če lahko ugotovite, s katero števko se konča ta številka?
Geometrična progresija je naraščajoča, če je imenovalec absolutno večji od 1, ali padajoča, če je manjša od ena. V slednjem primeru lahko postane število q n poljubno majhno pri dovolj velikem n. Medtem ko naraščajoča eksponenta narašča nepričakovano hitro, se padajoča eksponenta prav tako hitro zmanjšuje.
Večji kot je n, šibkejše je število q n, ki se razlikuje od nič, in čim bližje je vsota n članov geometrijske progresije S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) številu S \u003d b 1 / (1 - q) . (Tako je razmišljal, na primer, F. Viet). Število S imenujemo vsota neskončno padajoče geometrijske progresije. Vendar pa vprašanje, kaj pomeni seštevek VSEGA geometrijskega napredovanja z neskončnim številom členov, matematikom dolga stoletja ni bilo dovolj jasno.
Padajočo geometrijsko progresijo lahko opazimo na primer v Zenonovih aporijah "Grizenje" in "Ahil in želva". V prvem primeru je jasno prikazano, da je celotna cesta (predpostavimo dolžino 1) vsota neskončnega števila segmentov 1/2, 1/4, 1/8 itd. To seveda velja za gledišče idej o končni vsoti neskončne geometrijske progresije. In vendar - kako je to mogoče?
|
riž. 2. Napredovanje s faktorjem 1/2 |
V aporiji o Ahilu je situacija nekoliko bolj zapletena, saj tukaj imenovalec progresije ni enak 1/2, ampak nekemu drugemu številu. Naj na primer Ahil teče s hitrostjo v, želva se giblje s hitrostjo u, začetna razdalja med njima pa je l. Ahil bo to razdaljo pretekel v času l/v, želva pa se bo v tem času premaknila za razdaljo lu/v. Ko Ahil teče skozi ta segment, bo razdalja med njim in želvo enaka l (u / v) 2 itd. Izkazalo se je, da dohiteti želvo pomeni najti vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije s prvim člen l in imenovalec u / v. Ta vsota - segment, ki ga bo Ahil na koncu pretekel do točke srečanja z želvo - je enaka l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . A spet, kako si ta rezultat razlagati in zakaj je sploh smiseln, dolgo časa ni bilo najbolj jasno.
|
riž. 3. Geometrijska progresija s koeficientom 2/3 |
Arhimed je uporabil vsoto geometrijske progresije pri določanju površine segmenta parabole. Naj bo dani odsek parabole omejen s tetivo AB in naj bo tangenta v točki D parabole vzporedna z AB. Naj bo C razpolovišče AB, E razpolovišče AC, F razpolovišče CB. Nariši premice, vzporedne z DC skozi točke A, E, F, B; pustimo tangento, narisano v točki D, te premice se sekajo v točkah K, L, M, N. Narišimo še segmenta AD in DB. Naj premica EL seka premico AD v točki G, parabolo pa v točki H; premica FM seka premico DB v točki Q, parabolo pa v točki R. V skladu s splošno teorijo koničnih prerezov je DC premer parabole (to je segmenta, vzporednega z njeno osjo); in tangenta v točki D lahko služita kot koordinatni osi x in y, v kateri je enačba parabole zapisana kot y 2 \u003d 2px (x je razdalja od D do katere koli točke danega premera, y je dolžina a segment, vzporeden z dano tangento od te točke premera do neke točke na sami paraboli).
Na podlagi enačbe parabole je DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , in ker je DK = 2DL , potem je KA = 4LH . Ker je KA = 2LG, je LH = HG. Površina segmenta ADB parabole je enaka površini trikotnika ΔADB in površinama segmentov AHD in DRB skupaj. Po drugi strani je površina segmenta AHD podobno enaka površini trikotnika AHD in preostalih segmentov AH in HD, z vsakim od katerih je mogoče izvesti isto operacijo - razdeliti na trikotnik (Δ) in dva preostala segmenta () itd.:
Ploščina trikotnika ΔAHD je enaka polovici ploščine trikotnika ΔALD (imata skupno osnovo AD, višine pa se razlikujejo za 2-krat), kar pa je enako polovici ploščine trikotnika ΔAKD in torej polovico ploščine trikotnika ΔACD. Tako je površina trikotnika ΔAHD enaka četrtini površine trikotnika ΔACD. Prav tako je ploščina trikotnika ΔDRB enaka četrtini ploščine trikotnika ΔDFB. Torej sta površini trikotnikov ∆AHD in ∆DRB skupaj enaki četrtini površine trikotnika ∆ADB. Ponavljanje te operacije, ki se uporablja za segmente AH, HD, DR in RB, bo iz njih izbralo tudi trikotnike, katerih površina bo skupaj 4-krat manjša od površine trikotnikov ΔAHD in ΔDRB, vzetih skupaj in torej 16-krat manjša od ploščine trikotnika ΔADB. In tako naprej:
Tako je Arhimed dokazal, da je "vsak segment med ravno črto in parabolo štiri tretjine trikotnika, ki ima enako osnovo in enako višino z njo."
ŠTEVILSKA ZAPODJA VI
§ l48. Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije
Doslej smo pri vsotah vedno predpostavljali, da je število členov v teh vsotah končno (na primer 2, 15, 1000 itd.). Toda pri reševanju nekaterih problemov (predvsem višje matematike) je treba imeti opravka z vsotami neskončnega števila členov.
S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)
Kakšni so ti zneski? Po definiciji vsota neskončnega števila členov a 1 , a 2 , ..., a n , ... se imenuje limita vsote S n prvi p številke, ko p -> ∞ :
S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)
Meja (2) seveda lahko obstaja ali pa tudi ne. V skladu s tem pravimo, da vsota (1) obstaja ali ne obstaja.
Kako ugotoviti, ali vsota (1) obstaja v vsakem posameznem primeru? Splošna rešitev tega vprašanja daleč presega obseg našega programa. Vendar pa obstaja en pomemben poseben primer, ki ga moramo zdaj upoštevati. Govorili bomo o seštevku členov neskončno padajoče geometrijske progresije.
Pustiti a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... je neskončno padajoča geometrijska progresija. To pomeni, da | q |< 1. Сумма первых p članov tega napredovanja je enako
Iz osnovnih izrekov o mejah spremenljivk (glej § 136) dobimo:
Toda 1 = 1, a q n = 0. Zato
Torej je vsota neskončno padajoče geometrijske progresije enaka prvemu členu te progresije, deljeno z ena minus imenovalec te progresije.
1) Vsota geometrijske progresije 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... je
in vsota geometrijske progresije je 12; -6; 3; - 3/2 , ... enako
2) Preprosti periodični ulomek 0,454545 ... se spremeni v navadnega.
Za rešitev tega problema predstavimo ta ulomek kot neskončno vsoto:
Desna stran te enakosti je vsota neskončno padajoče geometrijske progresije, katere prvi člen je 45/100, imenovalec pa 1/100. Zato
Na opisani način lahko dobimo tudi splošno pravilo za pretvorbo enostavnih periodičnih ulomkov v navadne ulomke (glej II. poglavje, 38. odstavek):
Če želite preprosti periodični ulomek pretvoriti v navadnega, morate ravnati na naslednji način: v števec postavite obdobje decimalnega ulomka, v imenovalec pa število, sestavljeno iz devetk, vzetih tolikokrat, kolikor je števk v obdobju. decimalnega ulomka.
3) Mešani periodični ulomek 0,58333 .... spremeni v navaden ulomek.
Predstavimo ta ulomek kot neskončno vsoto:
Na desni strani te enakosti vsi členi, začenši s 3/1000, tvorijo neskončno padajočo geometrijsko progresijo, katere prvi člen je 3/1000, imenovalec pa 1/10. Zato
Na opisani način lahko dobimo tudi splošno pravilo za pretvorbo mešanih periodičnih ulomkov v navadne ulomke (glej II. poglavje, § 38). Sem ga namenoma ne vključimo. Tega okornega pravila si ni treba zapomniti. Veliko bolj koristno je vedeti, da lahko vsak mešani periodični ulomek predstavimo kot vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije in nekega števila. In formula
za vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije si je treba seveda zapomniti.
Kot vajo vas vabimo, da poleg spodnjih nalog št. 995-1000 še enkrat preberete nalogo št. 301 § 38.
vaje
995. Kaj imenujemo vsota neskončno padajoče geometrijske progresije?
996. Poiščite vsote neskončno padajočih geometrijskih progresij:
997. Za kakšne vrednosti X napredovanje
se neskončno zmanjšuje? Poiščite vsoto takšne progresije.
998. V enakostraničnem trikotniku s stranico a nov trikotnik je včrtan s povezovanjem razpolovišč njegovih stranic; v ta trikotnik je na enak način vpisan nov trikotnik in tako naprej ad infinitum.
a) vsoto obsegov vseh teh trikotnikov;
b) vsoto njihovih ploščin.
999. V kvadratu s stranico a nov kvadrat je včrtan s povezovanjem razpolovišč njegovih stranic; v ta kvadrat je na enak način vpisan kvadrat in tako naprej ad infinitum. Poiščite vsoto obsegov vseh teh kvadratov in vsoto njihovih ploščin.
1000. Naredite neskončno padajočo geometrijsko progresijo, tako da je njena vsota enaka 25/4, vsota kvadratov njenih členov pa 625/24.