Glede na 4 točke poiščite mešani produkt vektorjev. Navzkrižni produkt vektorjev
Oznaka: abc.
Imenovanje. Spletni kalkulator je zasnovan za izračun mešanega produkta vektorjev. Nastala rešitev se shrani v Wordovo datoteko. Poleg tega je v Excelu ustvarjena predloga rešitve.
Znaki vektorske komplanarnosti
Za tri vektorje (ali več) rečemo, da so komplanarni, če, ko so zmanjšani na skupni izvor, ležijo v isti ravnini.Če je vsaj eden od treh vektorjev enak nič, potem veljajo tudi trije vektorji koplanarni.
Znak komplanarnosti. Če je sistem a, b, c pravi, potem abc>0; če je levo, potem abc Geometrijski pomen mešanega izdelka. Mešani produkt abc treh nekoplanarnih vektorjev a, b, c je enak prostornini paralelepipeda, zgrajenega na vektorjih a, b, c, vzetih z znakom plus, če je sistem a, b, c pravi in z znakom minus, če ta sistem ostane.
Mešane lastnosti izdelka
- S krožno permutacijo faktorjev se mešani produkt ne spremeni, s permutacijo dveh faktorjev obrne svoj predznak: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
To izhaja iz geometrijskega pomena. - (a+b)cd=acd+bcd (distributivna lastnost). Razširi se na poljubno število izrazov.
To izhaja iz definicije mešanega izdelka. - (ma)bc=m(abc) (asociativna lastnost glede na skalarni faktor).
To izhaja iz definicije mešanega izdelka. Te lastnosti omogočajo uporabo transformacij za mešane produkte, ki se razlikujejo od običajnih algebraičnih le po tem, da je vrstni red faktorjev mogoče spremeniti le ob upoštevanju predznaka produkta. - Mešani produkt, ki ima vsaj dva enaka faktorja, je enak nič: aab=0 .
Primer #1. Poiščite mešani izdelek. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .
Primer #2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +bcc+bca . Vsi členi, razen dveh skrajnih, so enaki nič. Tudi bca=abc . Zato (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Primer #3. Izračunajte mešani produkt treh vektorjev a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Odločitev. Za izračun mešanega produkta vektorjev je treba najti determinanto sistema, sestavljenega iz koordinat vektorjev. Sistem zapišemo v obrazec
V tej lekciji si bomo ogledali še dve operaciji z vektorji: navzkrižni produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev (takojšnja povezava za tiste, ki jo potrebujejo). Nič hudega, včasih se zgodi, da za popolno srečo poleg pik produkt vektorjev, potrebno je vedno več. Takšna je vektorska odvisnost. Človek lahko dobi vtis, da gremo v džunglo analitične geometrije. To ni res. V tem oddelku višje matematike je na splošno malo drv, razen morda dovolj za Ostržka. Pravzaprav je material zelo pogost in preprost - komaj težji od enakega skalarni produkt, tudi tipičnih opravil bo manj. Glavna stvar v analitični geometriji, kot jo bodo mnogi videli ali so že videli, je, da se NE ZMOTI IZRAČUN. Ponovite kot urok in srečni boste =)
Če se vektorji iskrijo nekje daleč, kot strela na obzorju, je vseeno, začnite z lekcijo Vektorji za lutke obnoviti ali ponovno pridobiti osnovno znanje o vektorjih. Bolj pripravljeni bralci se lahko selektivno seznanijo z informacijami, poskušal sem zbrati najbolj popolno zbirko primerov, ki jih pogosto najdemo v praktičnem delu
Kaj vas bo osrečilo? Ko sem bil majhen, sem lahko žongliral z dvema in celo tremi žogicami. Dobro se je izšlo. Zdaj sploh ni treba žonglirati, saj bomo razmislili samo vektorji vesolja, ploščati vektorji z dvema koordinatama pa bodo izpuščeni. zakaj? Tako so se rodila ta dejanja - vektor in mešani produkt vektorjev sta definirana in delujeta v tridimenzionalnem prostoru. Že lažje!
Pri tej operaciji, na enak način kot pri skalarnem produktu, dva vektorja. Naj bodo to neminljive črke.
Sama akcija označeno na naslednji način:. Obstajajo še druge možnosti, vendar sem navajen označevati navzkrižni produkt vektorjev na ta način, v oglatih oklepajih s križcem.
In takoj vprašanje: če je v pik produkt vektorjev vpletena sta dva vektorja in tu sta dva vektorja tudi pomnožena kakšna je razlika? Jasna razlika, najprej v REZULTATU:
Rezultat skalarnega produkta vektorjev je ŠTEVILKA:
Rezultat navzkrižnega produkta vektorjev je VEKTOR: , torej pomnožimo vektorje in spet dobimo vektor. Zaprt klub. Pravzaprav od tod tudi ime operacije. V različni izobraževalni literaturi se lahko oznake tudi razlikujejo, uporabil bom črko .
Opredelitev navzkrižnega produkta
Najprej bo definicija s sliko, nato pa komentarji.
Opredelitev: navzkrižni izdelek nekolinearno vektorji, vzeti v tem vrstnem redu, se imenuje VEKTOR, dolžina ki je številčno enako površini paralelograma, zgrajena na teh vektorjih; vektor ortogonalno na vektorje, in je usmerjen tako, da ima osnova pravilno usmerjenost: 
Definicijo analiziramo po kosteh, veliko je zanimivih stvari!
Torej lahko izpostavimo naslednje pomembne točke:
1) Izvorni vektorji, po definiciji označeni z rdečimi puščicami ne kolinearno. Primer kolinearnih vektorjev bo obravnavati nekoliko kasneje.
2) Zajeti vektorji v strogem vrstnem redu: – "a" se pomnoži z "be", ne "biti" do "a". Rezultat vektorskega množenja je VECTOR , ki je označen z modro. Če vektorje pomnožimo v obratnem vrstnem redu, dobimo vektor enake dolžine in v nasprotni smeri (rdeča barva). Se pravi enakost 
.
3) Zdaj pa se seznanimo z geometrijskim pomenom vektorskega produkta. To je zelo pomembna točka! DOLŽINA modrega vektorja (in s tem škrlatne vektorje) je številčno enaka POVRŠINI paralelograma, zgrajenega na vektorjih. Na sliki je ta paralelogram osenčen s črno.
Opomba : risba je shematična in seveda nazivna dolžina križnega produkta ni enaka površini paralelograma.
Spomnimo se ene od geometrijskih formul: površina paralelograma je enaka zmnožku sosednjih stranic in sinusa kota med njima. Zato je na podlagi zgoraj navedenega veljavna formula za izračun DOLŽINE vektorskega produkta:
Poudarjam, da v formuli govorimo o DOLŽINI vektorja in ne o samem vektorju. Kaj je praktični pomen? In pomen je takšen, da v problemih analitične geometrije območje paralelograma pogosto najdemo skozi koncept vektorskega produkta:
Dobimo drugo pomembno formulo. Diagonala paralelograma (rdeča pikčasta črta) ga razdeli na dva enaka trikotnika. Zato lahko površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih (rdeče senčenje), najdemo po formuli:
4) Enako pomembno dejstvo je, da je vektor ortogonalen na vektorje , tj 
. Seveda je tudi nasprotno usmerjen vektor (crvena puščica) pravokoten na izvirne vektorje.
5) Vektor je usmerjen tako, da osnova Ima prav orientacijo. V lekciji o prehod na novo osnovo Podrobno sem govoril o ravninska orientacija, zdaj pa bomo ugotovili, kakšna je orientacija prostora. Na prste vam bom razložil desno roko. Mentalno združiti kazalec z vektorjem in sredinec z vektorjem. Prstanec in mezinec pritisnite v dlan. Kot rezultat palec- vektorski produkt bo poiskal navzgor. To je desno usmerjena osnova (na sliki je). Zdaj zamenjajte vektorje ( kazalec in srednji prst) ponekod se bo zaradi tega palec obrnil in vektorski produkt bo že gledal navzdol. To je tudi desno usmerjena osnova. Morda imate vprašanje: na kakšni podlagi je leva usmerjenost? "Dodeli" iste prste leva roka vektorjev in pridobite levo osnovo in levo orientacijo prostora (v tem primeru bo palec nameščen v smeri spodnjega vektorja). Slikovito rečeno, te podlage "zvijajo" ali usmerjajo prostor v različne smeri. In tega koncepta ne bi smeli šteti za nekaj namišljenega ali abstraktnega - na primer, najbolj navadno ogledalo spremeni orientacijo prostora in če "odsevani predmet potegnete iz ogledala", potem na splošno ne bo mogoče kombinirajte z "originalom". Mimogrede, prinesite tri prste k ogledalu in analizirajte odsev ;-)
... kako dobro je, da zdaj veš desno in levo usmerjeno osnove, ker so izjave nekaterih predavateljev o spremembi orientacije grozne =)
Vektorski produkt kolinearnih vektorjev
Definicija je bila podrobno izdelana, še vedno je treba ugotoviti, kaj se zgodi, ko so vektorji kolinearni. Če so vektorji kolinearni, jih lahko postavimo na eno ravno črto in tudi naš paralelogram se "zloži" v eno ravno črto. Področje takega, kot pravijo matematiki, degenerirati paralelogram je nič. Enako sledi iz formule - sinus nič ali 180 stopinj je enak nič, kar pomeni, da je površina nič
Torej, če, potem 
. Strogo gledano je sam navzkrižni produkt enak ničelnemu vektorju, v praksi pa se to pogosto zanemarja in zapiše, da je preprosto enak nič.
Poseben primer je vektorski produkt vektorja in samega sebe:
Z navzkrižnim produktom lahko preverite kolinearnost tridimenzionalnih vektorjev, med drugim pa bomo analizirali tudi ta problem.
Za reševanje praktičnih primerov bo morda potrebno trigonometrična miza iz nje najti vrednosti sinusov.
No, zanetimo ogenj:
Primer 1
a) Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev, če 
b) Poišči površino paralelograma, zgrajenega na vektorjih, če 
Odločitev: Ne, to ni tipkarska napaka, namenoma sem izenačil začetne podatke v postavkah pogoja. Ker bo zasnova rešitev drugačna!
a) Glede na pogoj je treba najti dolžina vektor (vektorski produkt). Po ustrezni formuli:
Odgovori:
Ker je bilo vprašanje o dolžini, potem v odgovoru navedemo dimenzijo - enote.
b) Glede na pogoj je treba najti kvadratni paralelogram, zgrajen na vektorjih. Površina tega paralelograma je številčno enaka dolžini križnega produkta:
Odgovori:
Upoštevajte, da v odgovoru o vektorskem produktu sploh ni govora, o čemer smo bili vprašani območje figure, oziroma je dimenzija kvadratne enote.
Vedno pogledamo, KAJ se zahteva, da bi našli pogoj, in na podlagi tega formuliramo jasno odgovori. Morda se zdi literalizem, vendar je med učitelji dovolj literalistov in naloga z dobrimi možnostmi bo vrnjena v popravek. Čeprav to ni posebej obremenjena izbirka - če je odgovor napačen, dobimo vtis, da oseba ne razume preprostih stvari in/ali ni razumela bistva naloge. Ta trenutek je treba vedno držati pod nadzorom, reševati kakršen koli problem pri višji matematiki, pa tudi pri drugih predmetih.
Kam je izginila velika črka "en"? Načeloma bi se lahko še dodatno zataknilo pri rešitvi, a zaradi skrajšanja zapisa nisem. Upam, da vsi to razumejo in je oznaka iste stvari.
Priljubljen primer rešitve naredi sam:
Primer 2
Poiščite površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če 
Formula za iskanje površine trikotnika skozi vektorski produkt je podana v komentarjih k definiciji. Rešitev in odgovor na koncu lekcije.
V praksi je naloga res zelo pogosta, trikotnike je na splošno mogoče mučiti.
Za reševanje drugih težav potrebujemo:
Lastnosti navzkrižnega produkta vektorjev
Nekatere lastnosti vektorskega produkta smo že obravnavali, vendar jih bom vključil na ta seznam.
Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:
1) V drugih virih informacij se ta postavka običajno ne razlikuje v lastnostih, je pa v praksi zelo pomembna. Naj bo torej.
2) 
- nepremičnina je obravnavana tudi zgoraj, včasih se imenuje antikomutativnost. Z drugimi besedami, vrstni red vektorjev je pomemben.
3) - kombinacija oz asociativno zakoni o vektorskih produktih. Konstante se zlahka vzamejo iz meja vektorskega produkta. Res, kaj delajo tam?
4) - distribucija oz distribucijo zakoni o vektorskih produktih. Tudi z odpiranjem oklepajev ni težav.
Kot predstavitev si oglejte kratek primer:
Primer 3
Poiščite če 
Odločitev: Po pogoju je spet potrebno najti dolžino vektorskega produkta. Naslikajmo našo miniaturo: 
(1) V skladu z asociativnimi zakoni vzamemo konstante izven meja vektorskega produkta.
(2) Konstanto vzamemo iz modula, medtem ko modul »poje« predznak minus. Dolžina ne more biti negativna.
(3) Kar sledi, je jasno.
Odgovori: 
Čas je, da vržemo drva na ogenj:
Primer 4
Izračunajte površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če 
Odločitev: S formulo poiščite površino trikotnika 
. Problem je v tem, da sta vektorja "ce" in "te" sama predstavljena kot vsote vektorjev. Algoritem tukaj je standarden in nekoliko spominja na primera št. 3 in 4 lekcije. Pik produkt vektorjev. Za jasnost ga razdelimo na tri korake:
1) V prvem koraku izrazimo vektorski produkt skozi vektorski produkt, pravzaprav izrazite vektor v smislu vektorja. O dolžini še ni besed!
(1) Zamenjamo izraze vektorjev .
(2) Z uporabo distribucijskih zakonov odpremo oklepaje po pravilu množenja polinomov.
(3) S pomočjo asociativnih zakonov izločimo vse konstante onkraj vektorskih produktov. Z malo izkušenj je mogoče dejanja 2 in 3 izvajati hkrati.
(4) Prvi in zadnji člen sta zaradi prijetne lastnosti enaka nič (ničelni vektor). V drugem izrazu uporabimo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta:
(5) Predstavljamo podobne izraze.
Posledično se je izkazalo, da je vektor izražen skozi vektor, kar je bilo potrebno doseči: 
2) V drugem koraku poiščemo dolžino vektorskega produkta, ki ga potrebujemo. To dejanje je podobno primeru 3: 
3) Poiščite površino zahtevanega trikotnika: 
Korake 2-3 rešitve bi lahko razporedili v eno vrstico.
Odgovori:
Obravnavana težava je pri testih precej pogosta, tukaj je primer za neodvisno rešitev:
Primer 5
Poiščite če
Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije. Poglejmo, kako ste bili pozorni pri preučevanju prejšnjih primerov ;-)
Navzkrižni produkt vektorjev v koordinatah
, podano v ortonormalni osnovi , je izražena s formulo:
Formula je res preprosta: koordinatne vektorje zapišemo v zgornjo vrstico determinante, koordinate vektorjev »zapakiramo« v drugo in tretjo vrstico in vnesemo v strogem redu- najprej koordinate vektorja "ve", nato koordinate vektorja "double-ve". Če je treba vektorje pomnožiti v drugačnem vrstnem redu, je treba tudi vrstice zamenjati: 
Primer 10
Preverite, ali so naslednji vektorji prostora kolinearni:
a)
b) 
Odločitev: Test temelji na eni od trditev v tej lekciji: če so vektorji kolinearni, je njihov navzkrižni produkt nič (ničelni vektor): 
.
a) Poiščite vektorski produkt: 
Torej vektorji niso kolinearni.
b) Poiščite vektorski produkt: 
Odgovori: a) ni kolinearno, b)
Tukaj so morda vse osnovne informacije o vektorskem produktu vektorjev.
Ta razdelek ne bo zelo velik, saj je malo težav pri uporabi mešanega produkta vektorjev. Pravzaprav bo vse ostalo na definiciji, geometrijskem pomenu in nekaj delujočih formulah.
Mešani produkt vektorjev je produkt treh vektorjev:
Tako so se postavili v vrsto kot vlak in čakajo, komaj čakajo, da se izračunajo.
Najprej spet definicija in slika:
Opredelitev: Mešani izdelek nekoplanarno vektorji, vzeti v tem vrstnem redu, se imenuje prostornina paralelepipeda, zgrajen na teh vektorjih, opremljen z znakom "+", če je osnova desna, in znakom "-", če je osnova leva.
Naredimo risbo. Črte, ki so nam nevidne, so narisane s pikčasto črto: 
Poglobimo se v definicijo:
2) Zajeti vektorji v določenem vrstnem redu, torej permutacija vektorjev v produktu, kot morda ugibate, ne gre brez posledic.
3) Preden komentiram geometrijski pomen, bom opozoril na očitno dejstvo: mešani produkt vektorjev je ŠTEVILO: . V izobraževalni literaturi je zasnova lahko nekoliko drugačna, mešani izdelek sem označeval skozi, rezultat izračunov pa s črko "pe".
A-priorat mešani produkt je prostornina paralelepipeda, zgrajena na vektorjih (slika je narisana z rdečimi vektorji in črnimi črtami). To pomeni, da je število enako volumnu danega paralelepipeda.
Opomba : Risba je shematična.
4) Ne obremenjujmo se znova s konceptom orientacije osnove in prostora. Pomen zadnjega dela je, da se glasnosti lahko doda znak minus. Preprosto povedano, mešani produkt je lahko negativen: .
Formula za izračun prostornine paralelepipeda, zgrajenega na vektorjih, izhaja neposredno iz definicije.
Če želite podrobneje preučiti to temo, morate zajeti še nekaj razdelkov. Tema je neposredno povezana z izrazi, kot sta pika in navzkrižni produkt. V tem članku smo poskušali dati natančno definicijo, navesti formulo, ki bo pomagala določiti izdelek z uporabo koordinat vektorjev. Poleg tega članek vključuje razdelke, ki navajajo lastnosti dela in predstavljajo podrobno analizo tipičnih enakosti in problemov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Termin
Če želite ugotoviti, kaj je ta izraz, morate vzeti tri vektorje.
Opredelitev 1
mešani izdelek a → , b → in d → je vrednost, ki je enaka pik zmnožku a → × b → in d → , kjer je a → × b → množenje a → in b → . Operacijo množenja a → , b → in d → pogosto označujemo z a → · b → · d → . Formulo lahko pretvorite takole: a → b → d → = (a → × b → , d →) .
Množenje v koordinatnem sistemu
Vektorje lahko pomnožimo, če so navedeni na koordinatni ravnini.
Vzemite i → , j → , k →
Produkt vektorjev v tem konkretnem primeru bo imel naslednjo obliko: a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →
Opredelitev 2
Za izvedbo pik produkta v koordinatni sistem morate sešteti rezultate, pridobljene med množenjem koordinat.
torej:
a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →
Določimo lahko tudi mešani produkt vektorjev, če so v danem koordinatnem sistemu podane koordinate vektorjev, ki jih množimo.
a → × b → = (a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k → , d x i → + d y j → + d z k →) = = a y a z b y b z d x - a x a z b x b z d y + a x a y d x b x a z x a y d x b
Tako je mogoče sklepati, da:
a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z
Opredelitev 3
Mešani izdelek je mogoče enačiti na determinanto matrike, katere vrstice so vektorske koordinate. Vizualno je videti takole: a → b → d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
Lastnosti operacij z vektorji Iz značilnosti, ki izstopajo v skalarnem ali vektorskem produktu, lahko izpeljete značilnosti, ki so značilne za mešani produkt. Spodaj predstavljamo glavne lastnosti.
- (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R;
- a → b → d → = d → a → b → = b → d → a → ; a → d → b → = b → a → d → = d → b → a → ;
- (a (1) → + a (2) →) b → d → = a (1) → b → d → + a (2) → b → d → a → (b(1 ) → + b (2) →) d → = a → b (1) → d → + a → b (2) → d → a → b → (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →
Poleg zgornjih lastnosti je treba pojasniti, da če je faktor nič, bo rezultat množenja tudi nič.
Rezultat množenja bo tudi nič, če sta dva ali več faktorjev enaka.
Če je a → = b → , potem je po definiciji vektorskega produkta [ a → × b → ] = a → b → sin 0 = 0 mešani produkt enak nič, saj ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .
Če je a → = b → ali b → = d → , potem je kot med vektorjema [ a → × b → ] in d → enak π 2 . Po definiciji skalarnega produkta vektorjev ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .
Lastnosti operacije množenja se najpogosteje zahtevajo med reševanjem problemov.
Da bi podrobneje analizirali to temo, vzemimo nekaj primerov in jih podrobno opišemo.
Primer 1
Dokažite enakost ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , kjer je λ neko realno število.
Da bi našli rešitev te enakosti, je potrebno preoblikovati njeno levo stran. Če želite to narediti, morate uporabiti tretjo lastnost mešanega izdelka, ki se glasi:
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
Analizirali smo, da je (([ a → × b → ] , b →) = 0. Iz tega sledi, da
([ a → × b → ] , d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →) = = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)
Glede na prvo lastnost ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) , in ([ a ⇀ × b ⇀ ] , a →) = 0 . Torej ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ · a →) . torej
([ a ⇀ × b ⇀ ] , d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ] , λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ] , d →)
Enakost je dokazana.
Primer 2
Treba je dokazati, da modul mešanega produkta treh vektorjev ni večji od produkta njihovih dolžin.
Odločitev
Na podlagi pogoja lahko primer predstavimo kot neenakost a → × b → , d → ≤ a → b → d → .
Po definiciji pretvorimo neenakost a → × b → , d → = a → × b → d → cos (a → × b → ^ , d →) = = a → b → sin (a → , b → ^) d → cos ([ a → × b → ^ ] , d)
Z uporabo elementarnih funkcij lahko sklepamo, da je 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1 , 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ] , d →) ≤ 1 .
Iz tega je mogoče sklepati, da
(a → × b → , d →) = a → b → sin (a → , b →) ^ d → cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → b → 1 d → 1 = a → b → d →
Neenakost je dokazana.
Analiza tipičnih nalog
Da bi ugotovili, kakšen je produkt vektorjev, je treba poznati koordinate pomnoženih vektorjev. Za operacijo lahko uporabite naslednjo formulo a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .
Primer 3
V pravokotnem koordinatnem sistemu obstajajo 3 vektorji z naslednjimi koordinatami: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5) ) . Določiti je treba, čemu je enak produkt navedenih vektorjev a → · b → · d →.
Na podlagi zgoraj predstavljene teorije lahko uporabimo pravilo, ki pravi, da je mešani produkt mogoče izračunati v smislu matrične determinante. Videti bo takole: a → b → d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7
Primer 4
Najti je treba zmnožek vektorjev i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 k → , kjer so i → , j → , k → enotni vektorji pravokotnika Kartezijev koordinatni sistem.
Na podlagi pogoja, da se vektorji nahajajo v danem koordinatnem sistemu, lahko izpeljemo njihove koordinate: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → - k → = (1 , 1 , - 1 ) i → + j → + 2 k → = (1 , 1 , 2)
Uporabite zgornjo formulo
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0
Mešani produkt je mogoče definirati tudi z dolžino vektorja, ki je že znana, in kotom med njima. Analizirajmo to tezo na primeru.
Primer 5
V pravokotnem koordinatnem sistemu obstajajo trije vektorji a → , b → in d →, ki so pravokotni drug na drugega. So prava trojka in njihove dolžine so 4, 2 in 3. Vektorje moramo pomnožiti.
Označimo c → = a → × b → .
Po pravilu je rezultat množenja skalarnih vektorjev število, ki je enako rezultatu množenja dolžin vektorjev, ki jih uporablja kosinus kota med njimi. Sklepamo, da je a → b → d → = ([ a → × b → ] , d →) = c → , d → = c → d → cos (c → , d → ^) .
Uporabimo dolžino vektorja d →, določeno v primeru pogoja: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . Treba je definirati c → in c → , d → ^ . Po pogoju a → , b → ^ = π 2 , a → = 4 , b → = 2 . Vektor c → najdemo po formuli: c → = [ a → × b → ] = a → b → sin a → , b → ^ = 4 2 sin π 2 = 8
Sklepamo lahko, da je c → pravokoten na a → in b → . Vektorji a → , b → , c → bodo desna trojka, zato se uporablja kartezijev koordinatni sistem. Vektorja c → in d → bosta enosmerna, to je c → , d → ^ = 0 . S pomočjo izpeljanih rezultatov rešimo primer a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 .
a → · b → · d → = 24 .
Uporabimo faktorje a → , b → in d → .
Vektorji a → , b → in d → prihajajo iz iste točke. Uporabljamo jih kot stranice za izgradnjo figure.
Označimo, da je c → = [ a → × b → ] . V tem primeru lahko definiramo produkt vektorjev kot a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = c → n p c → d → , kjer je n p c → d → numerična projekcija vektor d → v smer vektorja c → = [ a → × b → ] .
Absolutna vrednost n p c → d → je enaka številu, ki je enako tudi višini figure, pri čemer so vektorji a → , b → in d → uporabljeni kot stranice. Na podlagi tega je treba pojasniti, da je c → = [ a → × b → ] pravokoten na a → in vektor in vektor po definiciji vektorskega množenja. Vrednost c → = a → x b → je enaka površini paralelepipeda, zgrajenega na vektorjih a → in b → .
Sklepamo, da je modul produkta a → b → d → = c → n p c → d → enak rezultatu množenja osnovne površine z višino figure, ki je zgrajena na vektorjih a → , b → in d → .
Opredelitev 4
Absolutna vrednost navzkrižnega produkta je prostornina paralelepipeda: V parallelelelepi pida = a → · b → · d → .
Ta formula je geometrijski pomen.
Definicija 5
Prostornina tetraedra, ki je zgrajena na a → , b → in d → , je enaka 1/6 prostornine paralelepipeda = 1 6 · a → · b → · d → .
Za utrjevanje znanja bomo analizirali nekaj tipičnih primerov.
Primer 6
Treba je najti prostornino paralelepipeda, katerega stranice so A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2), podano v pravokotnem koordinatnem sistemu. Prostornino paralelepipeda lahko najdemo s formulo absolutne vrednosti. Iz tega sledi: A B → A C → A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 3 2 + 6 (- 2) 2 + 3 1 2 - 3 3 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18
Potem je V paralelelele pipeda = - 18 = 18 .
V parallelelelepipida = 18
Primer 7
Koordinatni sistem vsebuje točke A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1). Treba je določiti prostornino tetraedra, ki se nahaja na teh točkah.
Uporabimo formulo V t e t r hedra = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Koordinate vektorjev lahko določimo iz koordinat točk: A B → = (3 - 0 , - 1 - 1 , 5 - 0) = (3 , - 2 , 5) A C → = (1 - 0 , 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) A D → = (- 2 - 0 , 3 - 1 , 1 - 0) = (- 2 , 2 , 1)
Nato definiramo mešani produkt A B → A C → A D → s koordinatami vektorjev: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) 3 (- 2) + 5 1 2 - 5 (- 1) (- 2) - (- 2) 1 1 - 3 3 2 = - 7 Volumen V t e r a hedra = 1 6 - 7 = 7 6 .
V t e t ra hedra = 7 6 .
Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter