Integracija racionalnih funkcij Ulomek - racionalna funkcija Najenostavnejši racionalni ulomki Razstavljanje racionalnega ulomka na najpreprostejše ulomke Integracija najpreprostejših ulomkov Splošno pravilo za integracijo racionalnih ulomkov

polinom stopnje n. Ulomek - racionalna funkcija Ulomek - racionalna funkcija je funkcija, ki je enaka razmerju dveh polinomov: Racionalni ulomek se imenuje pravi, če je stopnja števca manjša od stopnje imenovalca, to je m< n , в противном случае дробь называется неправильной. многочлен степени m Всякую неправильную рациональную дробь можно, путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена L(x) и правильной рациональной дроби:)()()(x. Q x. P xf n m)()()(x. Q x. R x. L x. Q x. P

Ulomek – racionalna funkcija Pretvori nepravilni ulomek v pravilno obliko: 2 95 4 x xx 95 4 xx 2 x 3 x 34 2 xx 952 3 xx 2 2 x 23 42 xx 954 2 xx x 4 xx 84 2 93 x 3 63 x 15 2 95 4 x xx 342 23 xxx 2 15 x

Najenostavnejši racionalni ulomki Pravilni racionalni ulomki oblike: Imenujejo se najenostavnejši racionalni ulomki vrst. axA); 2(Nkk ax A k)04(2 2 qp qpxx NMx); 2; 04(2 2 Nkkqp qpxx NMx k V V,

Razgradnja racionalnega ulomka na enostavne ulomke Izrek: Vsak pravilni racionalni ulomek, katerega imenovalec je faktoriziran: je poleg tega mogoče na edinstven način predstaviti kot vsoto enostavnih ulomkov: s k qxpxxxxxx. Q)()()(22 2 11 2 21)()(x. Q x. P 1 xx A k k xx B)()(2 2 2 1 11 2 qxpx DCx 2 22 22 2 11)(qxpx Nx. M s ss qxpx Nx. M)(

Razčlenitev racionalnega ulomka na enostavne ulomke Pojasnimo formulacijo izreka na naslednjih primerih: Za iskanje nedoločenih koeficientov A, B, C, D ... uporabljamo dve metodi: metodo primerjave koeficientov in metodo delnih koeficientov. vrednosti spremenljivke. Oglejmo si prvo metodo s primerom. 3 2)3)(2(4 xx x 2 x A 3 3 2 21)3()3(3 x B x B 1 2 x DCx 22 22 2 11)1(1 xx Nx. M)1(3 22 3 xx x 2 21 x A 22 2)1)(4(987 xxx xx 4 x)

Razstavljanje racionalnega ulomka na enostavne ulomke Predstavi ulomek kot vsoto enostavnih ulomkov: Najpreprostejše ulomke skrči na skupni imenovalec Izenači števce dobljenega in prvotnega ulomka Izenači koeficiente pri enakih potencah x)52)(1( 332 2 2 xxx xx 1 x A 52 2 xx CBx )52)(1()1)(()52(2 2 xxx x. CBxxx. A 33252 222 xx. CBx. Cx. Bx. AAx. Ax 35 32 2 0 1 2 CAx BAx 2 3 1 C B A 52 23 1 1 2 xx x x

Integracija najpreprostejših ulomkov Poiščimo integrale najpreprostejših racionalnih ulomkov: Oglejmo si integracijo ulomkov 3. vrste na primeru. dx ax A k dx qpxx NMx 2 ax axd A)(Cax. Aln)(axdax. A k C k ax. A k

Integracija enostavnih ulomkovdx xx x 102 13 2 dx xx x 9)12(13 2 dx x x 9)1(13 2 dtdx tx tx 1 1 dt t t 9 1)1(3 2 dt t t 9 23 2 9 322 t dtt 9 9 2 3 2 2 t td 33 2 t arctg.C t arctgt 33 2 9 ln 2 32 C x arctgxx 3 1 3 2 102 ln

Integracija enostavnih ulomkov Integral te vrste s substitucijo: reduciramo na vsoto dveh integralov: Prvi integral izračunamo tako, da vnesemo t pod znak diferenciala. Drugi integral se izračuna z uporabo rekurzivne formule: dx qpxx NMx k 2 V t p x 2 kk pri dt N pri dtt M 22122 1221222))(1(222 321 kkkk atk t k k aat dt

Integracija enostavnih ulomkov a = 1; k = 3 323)1(t dt tarctg t dt 1 21)1)(12(2222 322 1 21222 t t t dt)1(22 1 2 t t tarctg 2223)1)(13(2232 332 t t C t t tarctg 222)1 (4)1(

Splošno pravilo za integracijo racionalnih ulomkov Če je ulomek nepravilen, ga predstavite kot vsoto polinoma in pravega ulomka. Ko razstavite imenovalec pravilnega racionalnega ulomka na faktorje, ga predstavite kot vsoto preprostih ulomkov z nedoločenimi koeficienti.Nedoločene koeficiente poiščite s primerjavo koeficientov ali z metodo delnih vrednosti spremenljivke. Integrirajte polinom in dobljeno vsoto enostavnih ulomkov.

Primer Pripravimo ulomek v pravilno obliko. dx xxx 23 35 2 442 35 xxxxxx 23 2 2 x 345 2 xxx 442 34 xxx x 2 234 242 xxx 4425 23 xxx xxx 23 35 2 442 xxx xx xx 23 2 2 2 48 52 5 xxx 5105 23 48 2 xx

Primer Faktoriziranje imenovalca pravilnega ulomka Predstavljanje ulomka kot vsote preprostih ulomkov Iskanje negotovih koeficientov z uporabo metode delnih vrednosti spremenljivke xxx xx 23 2 2 48 2 2)1(48 xx xx 2)1(1 x C x B x A 2 2)1 ()1(xx Cxx. Bxx. A 48)1()1(22 xx. Cxx. Bxx. A 5241 31 40 CBAx Cx Ax 3 12 4 C B A xxx xx 23 2 2 48 2)1(3 1 124 xxx

Primer dx xx 2 2)1(3 1 124 52 2 2)1(3 1 12452 x dx dxxdxdxx C x xxxx x 1 3 1 ln 12 ln

»Matematik tako kot umetnik ali pesnik ustvarja vzorce. In če so njegovi vzorci stabilnejši, je to samo zato, ker so sestavljeni iz idej ... Vzorci matematika, tako kot umetnika ali pesnika, morajo biti lepi; ideje, tako kot barve ali besede, se morajo ujemati. Lepota je prvi pogoj: na svetu ni mesta za grdo matematiko».

G.H. Hardy

V prvem poglavju je bilo ugotovljeno, da obstajajo protiodvodi dokaj preprostih funkcij, ki jih ni več mogoče izraziti z elementarnimi funkcijami. V zvezi s tem pridobijo velik praktični pomen tisti razredi funkcij, za katere lahko z gotovostjo trdimo, da so njihovi antiderivati ​​elementarne funkcije. Ta razred funkcij vključuje racionalne funkcije, ki je razmerje dveh algebraičnih polinomov. Številne težave vodijo do integracije racionalnih ulomkov. Zato je zelo pomembno, da lahko takšne funkcije integriramo.

2.1.1. Ulomke racionalne funkcije

Racionalni ulomek(oz frakcijska racionalna funkcija) je razmerje dveh algebraičnih polinomov:

kjer in sta polinoma.

Spomni se tega polinom (polinom, celotno racionalno funkcijo) nth stopnjo se imenuje funkcija oblike

kje so realna števila. na primer

je polinom prve stopnje;

je polinom četrte stopnje itd.

Racionalni ulomek (2.1.1) imenujemo pravilno, če je stopnja nižja od stopnje , tj. n<m, sicer se ulomek imenuje narobe.

Vsak nepravilni ulomek lahko predstavimo kot vsoto polinoma (celo število) in pravega ulomka (ulomek). Izbira celega in ulomka nepravilnega ulomka lahko poteka po pravilu deljenja polinomov z "votilom".

Primer 2.1.1. Izberite cele in ulomke naslednjih nepravilnih racionalnih ulomkov:

a) , b) .

rešitev . a) Z algoritmom deljenja "vogal" dobimo

Tako dobimo

.

b) Tudi tukaj uporabimo algoritem deljenja »kota«:

Kot rezultat dobimo

.

Naj povzamemo. Nedoločen integral racionalnega ulomka lahko na splošno predstavimo kot vsoto integralov polinoma in pravega racionalnega ulomka. Iskanje protiodvodov polinomov ni težko. Zato bomo v prihodnje obravnavali predvsem navadne racionalne ulomke.

2.1.2. Najenostavnejši racionalni ulomki in njihova integracija

Obstajajo štiri vrste pravih racionalnih ulomkov, ki so razvrščeni kot najpreprostejši (elementarni) racionalni ulomki:

kje je celo število, , tj. kvadratni trinom nima pravih korenin.

Integracija najpreprostejših ulomkov 1. in 2. vrste ne predstavlja velikih težav:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Oglejmo si zdaj integracijo najpreprostejših ulomkov 3. vrste, ulomkov 4. vrste pa ne bomo obravnavali.

Začnemo z integrali oblike

.

Ta integral se običajno izračuna tako, da se v imenovalcu vzame polni kvadrat. Rezultat je integral tabele naslednje oblike

oz .

Primer 2.1.2. Poišči integrale:

a) , b) .

rešitev . a) Iz kvadratnega trinoma izberemo polni kvadrat:

Od tu najdemo

b) Če iz kvadratnega trinoma izberemo polni kvadrat, dobimo:

V to smer,

.

Najti integral

lahko izluščimo odvod imenovalca v števcu in razširimo integral v vsoto dveh integralov: prvega z zamenjavo se spusti na obliko

,

in drugi - na zgoraj.

Primer 2.1.3. Poišči integrale:

.

rešitev . obvestilo, to . V števcu izberemo odvod imenovalca:

Prvi integral se izračuna s substitucijo :

Pri drugem integralu izberemo polni kvadrat v imenovalcu

Končno dobimo

2.1.3. Razširitev pravilnega racionalnega ulomka
vsota enostavnih ulomkov

Vsak pravi racionalni ulomek lahko enolično predstavimo kot vsoto preprostih ulomkov. Da bi to naredili, je treba imenovalec razstaviti na faktorje. Iz višje algebre je znano, da vsak polinom z realnimi koeficienti

Racionalna funkcija je ulomek oblike , katerega števec in imenovalec sta polinoma ali produkta polinoma.

Primer 1 2. korak

.

Nedoločene koeficiente pomnožimo s polinomi, ki niso v tem posameznem ulomku, so pa v drugih dobljenih ulomkih:

Odpremo oklepaje in izenačimo števec prvotnega prejetega integranda z dobljenim izrazom:

V obeh delih enačbe iščemo člene z enakimi potencami x in iz njih sestavimo sistem enačb:

.

Prekličemo vse x-e in dobimo enakovredni sistem enačb:

.

Tako je končna razširitev integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 2 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razširitev prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Zdaj začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, ki ga dobimo po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Zdaj morate sestaviti in rešiti sistem enačb. Da bi to naredili, izenačimo koeficiente spremenljivke na ustrezno stopnjo v števcu prvotnega izraza funkcije in podobne koeficiente v izrazu, pridobljenem v prejšnjem koraku:

Rešimo nastali sistem:

Torej, od tukaj

.

Primer 3 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razširitev prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

Začnemo iskati negotove koeficiente. Da bi to naredili, izenačimo števec prvotnega ulomka v funkcijskem izrazu s števcem izraza, ki ga dobimo po zmanjševanju vsote ulomkov na skupni imenovalec:

Kot v prejšnjih primerih sestavimo sistem enačb:

Zmanjšamo x in dobimo enakovredni sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razširitev integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 4 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razširitev prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Kako izenačiti števec prvotnega ulomka z izrazom v števcu, ki ga dobimo, ko ulomek razstavimo na vsoto enostavnih ulomkov in to vsoto zreduciramo na skupni imenovalec, vemo že iz prejšnjih primerov. Zato samo za nadzor predstavljamo dobljeni sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razširitev integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

Primer 5 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razširitev prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

To vsoto neodvisno spravimo na skupni imenovalec, izenačimo števec tega izraza s števcem prvotnega ulomka. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razširitev integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 6 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razširitev prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

S to količino izvajamo enaka dejanja kot v prejšnjih primerih. Rezultat bi moral biti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

.

Dobimo končno razširitev integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 7 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razširitev prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Po znanih dejanjih z dobljeno vsoto je treba dobiti naslednji sistem enačb:

Z reševanjem sistema dobimo naslednje vrednosti negotovih koeficientov:

Dobimo končno razširitev integranda v vsoto enostavnih ulomkov:

.

Primer 8 2. korak V 1. koraku smo dobili naslednjo razširitev prvotnega ulomka v vsoto enostavnih ulomkov z nedoločenimi koeficienti v števcih:

.

Naredimo nekaj sprememb v dejanjih, ki so že bila avtomatizirana, da dobimo sistem enačb. Obstaja umetna zvijača, ki v nekaterih primerih pomaga preprečiti nepotrebne izračune. Če vsoto ulomkov spravimo na skupni imenovalec, dobimo in izenačimo števec tega izraza s števcem prvotnega ulomka, dobimo.

Kontrolno delo o integraciji funkcij, vključno z racionalnimi ulomki, je namenjeno študentom 1. in 2. tečaja. Primeri integralov bodo zanimivi predvsem za matematike, ekonomiste in statistike. Ti primeri so bili postavljeni pri kontrolnem delu na LNU. I. Frank. Pogoji naslednjih primerov so "Poišči integral" ali "Izračunaj integral", zato zaradi prihranka prostora in vašega časa niso bili izpisani.

Primer 15. Prišli smo do integracije ulomkov racionalnih funkcij. Med integrali zavzemajo posebno mesto, saj zahtevajo veliko časa za računanje in pomagajo učiteljem pri preverjanju znanja ne le pri integraciji. Za poenostavitev funkcije pod integralom dodamo in odštejemo izraz v števcu, ki nam bo omogočil razdelitev funkcije pod integralom na dva preprosta

Posledično en integral najdemo precej hitro, v drugem moramo ulomek razširiti v vsoto elementarnih ulomkov

Če jih zvedemo na skupni imenovalec, dobimo takšne številke

Nato odprite oklepaje in združite

Izenačimo vrednost pri enakih stopinjah "x" na desni in levi. Posledično pridemo do sistema treh linearnih enačb (SLAE) s tremi neznankami.

Kako rešiti sisteme enačb je opisano v drugih člankih na spletnem mestu. V končni različici boste prejeli naslednje rešitve SLAE
A=4; B=-9/2; C=-7/2.
Konstante pri razširjanju ulomkov nadomestimo z najenostavnejšimi in izvedemo integracijo


Ta primer je rešen.

Primer 16. Spet morate najti integral ulomljene racionalne funkcije. Za začetek kubično enačbo, ki je vsebovana v imenovalcu ulomka, razgradimo na enostavne faktorje

Nato izvedemo razgradnjo ulomka na najpreprostejšega

Desno stran skrčimo na skupni imenovalec in v števcu odpremo oklepaj.


Koeficiente enačimo pri enakih potencah spremenljivke. Spet pridemo do SLAE s tremi neznankami

V razširitev nadomestimo vrednosti A, B, C in izračunamo integral

Prva dva člena podajata logaritem, zadnjega je tudi enostavno najti.

Primer 17. V imenovalcu ulomke racionalne funkcije imamo razliko kubov. Po formulah skrajšanega množenja ga razgradimo na dva prafaktorja

Nato pobarvamo dobljeno ulomkovo funkcijo za vsoto enostavnih ulomkov in jih reduciramo na skupni imenovalec

V števcu dobimo naslednji izraz.

Iz njega sestavimo sistem linearnih enačb za izračun 3 neznank

A=1/3; B=-1/3; C=1/3.
V formulo nadomestimo A, B, C in izvedemo integracijo. Posledično pridemo do naslednjega odgovora


Pri tem smo števec drugega integrala spremenili v logaritem, medtem ko ostanek pod integralom daje arktangens.
Podobnih primerov integracije racionalnih ulomkov je na internetu veliko. Podobne primere lahko najdete v spodnjih materialih.

Integracija ulomno-racionalne funkcije.
Metoda nedoločenih koeficientov

Nadaljujemo z delom na integraciji ulomkov. V lekciji smo že obravnavali integrale nekaterih vrst ulomkov in to lekcijo lahko v nekem smislu štejemo za nadaljevanje. Za uspešno razumevanje snovi so potrebne osnovne veščine integracije, tako da, če ste šele začeli študirati integrale, torej ste čajnik, potem morate začeti s člankom Nedoločen integral. Primeri rešitev.

Nenavadno je, da se zdaj ne bomo ukvarjali toliko z iskanjem integralov kot z ... reševanjem sistemov linearnih enačb. V tej povezavi močno Priporočam ogled lekcije. Namreč dobro morate poznati metode nadomeščanja (»šolsko« metodo in metodo počlanskega seštevanja (odštevanja) sistemskih enačb).

Kaj je delna racionalna funkcija? Preprosto povedano, ulomno-racionalna funkcija je ulomek, katerega števec in imenovalec sta polinoma ali produkta polinoma. Hkrati so ulomki bolj izpopolnjeni od tistih, ki so obravnavani v članku. Integracija nekaterih ulomkov.

Integracija pravilne ulomljeno-racionalne funkcije

Takoj primer in tipičen algoritem za reševanje integrala ulomljene racionalne funkcije.

Primer 1

Korak 1. Prva stvar, ki jo VEDNO naredimo, ko rešujemo integral racionalno-frakcijske funkcije, je, da postavimo naslednje vprašanje: je ulomek pravilen? Ta korak se izvede ustno, zdaj pa bom razložil, kako:

Najprej poglej števec in ugotovi višja stopnja polinom:

Največja potenca števnika je dvojka.

Zdaj pa poglejte imenovalec in ugotovite višja stopnja imenovalec. Očiten način je, da odprete oklepaje in prinesete podobne izraze, vendar lahko to storite lažje, v vsak oklepaj poišči najvišjo stopnjo

in v mislih pomnožite: - torej je najvišja stopnja imenovalca enaka tri. Povsem očitno je, da če res odpremo oklepaje, potem ne bomo dobili diplome, večje od tri.

Zaključek: Največja moč števca STROGO manjša od največje potence imenovalca, potem je ulomek pravilen.

Če bi v tem primeru števec vseboval polinom 3, 4, 5 itd. stopnje, potem bi bil ulomek narobe.

Sedaj bomo obravnavali le pravilne frakcijsko-racionalne funkcije. Primer, ko je stopnja števca večja ali enaka stopnji imenovalca, bomo analizirali na koncu lekcije.

2. korak Razložimo imenovalec na faktorje. Poglejmo naš imenovalec:

Na splošno je tukaj že produkt dejavnikov, vendar se vseeno vprašamo: ali je mogoče razširiti še kaj drugega? Predmet mučenja bo seveda kvadratni trinom. Rešimo kvadratno enačbo:

Diskriminant je večji od nič, kar pomeni, da je trinom dejansko faktoriziran:

Splošno pravilo: VSE, kar je v imenovalcu, LAHKO faktoriziramo - faktoriziramo

Začnimo z odločitvijo:

3. korak Z metodo nedoločenih koeficientov integrand razširimo v vsoto enostavnih (elementarnih) ulomkov. Zdaj bo bolj jasno.

Poglejmo našo funkcijo integranda:

In, veste, nekako se izmuzne intuitivna misel, da bi bilo dobro naš veliki del spremeniti v več majhnih. Na primer takole:

Postavlja se vprašanje, ali je to sploh mogoče? Oddahnimo si, ustrezen izrek matematične analize pravi - MOŽNO JE. Takšna razgradnja obstaja in je edinstvena.

Samo en ulov je, koeficienti mi adijo ne poznamo, od tod tudi ime – metoda nedoločenih koeficientov.

Uganili ste, poznejše kretnje torej, ne smehtati! bo usmerjeno v to, da se jih le NAUČIMO – da ugotovimo, čemu so enakovredni.

Bodite previdni, enkrat podrobno razložim!

Torej, začnimo plesati od:

Na levi strani spravimo izraz na skupni imenovalec:

Zdaj se varno znebimo imenovalcev (ker so enaki):

Na levi strani odpremo oklepaje, medtem ko se neznanih koeficientov še ne dotikamo:

Ob tem ponovimo šolsko pravilo množenja polinomov. Ko sem bil učitelj, sem se naučil povedati to pravilo z odkritim obrazom: Če želite pomnožiti polinom s polinomom, morate vsak člen enega polinoma pomnožiti z vsakim členom drugega polinoma..

Z vidika jasne razlage je bolje dati koeficiente v oklepaje (čeprav jaz osebno tega nikoli ne počnem, da bi prihranil čas):

Sestavimo sistem linearnih enačb.
Najprej iščemo višje stopnje:

In zapišemo ustrezne koeficiente v prvo enačbo sistema:

Dobro si zapomnite naslednji odtenek. Kaj bi se zgodilo, če desne strani sploh ne bi bilo? Recite, ali bi se samo pokazal brez kvadrata? V tem primeru bi bilo treba v enačbi sistema na desno postaviti ničlo: . Zakaj nič? In ker lahko na desni strani vedno pripišete ravno temu kvadratu ničlo: Če na desni strani ni spremenljivk ali (in) prostega člena, potem na desne strani ustreznih enačb sistema postavimo ničle.

V drugo enačbo sistema zapišemo ustrezne koeficiente:

In končno, mineralna voda, izbiramo brezplačne člane.

Eh, ... hecal sem se. Šalo na stran – matematika je resna znanost. V naši inštitutski skupini se nihče ni smejal, ko je docentka rekla, da bo člane razpršila po številski premici in izbrala največjega. Bodimo resni. Čeprav ... kdor bo dočakal konec te lekcije, se bo še tiho nasmehnil.

Sistem pripravljen:

Rešujemo sistem:

(1) Iz prve enačbe izrazimo in jo nadomestimo v 2. in 3. enačbo sistema. Pravzaprav je bilo mogoče izraziti (ali drugo črko) iz druge enačbe, vendar je v tem primeru koristno, da jo izrazimo iz 1. enačbe, saj tam najmanjše kvote.

(2) Podobne člene podajamo v 2. in 3. enačbi.

(3) 2. in 3. enačbo seštevamo člen za členom, pri čemer dobimo enakost , iz katere sledi, da

(4) Nadomestimo v drugo (ali tretjo) enačbo, iz katere ugotovimo, da

(5) V prvo enačbo nadomestimo in dobimo .

Če imate težave z načini reševanja sistema, jih rešite v razredu. Kako rešiti sistem linearnih enačb?

Po rešitvi sistema je vedno koristno opraviti preverjanje - nadomestiti najdene vrednosti v vsakem enačba sistema, posledično bi se moralo vse "konvergirati".

Skoraj prispel. Koeficiente najdemo, medtem ko:

Čisto delo bi moralo izgledati nekako takole:

Kot lahko vidite, je bila glavna težava naloge sestaviti (pravilno!) in rešiti (pravilno!) sistem linearnih enačb. In na zadnji stopnji vse ni tako težko: uporabimo lastnosti linearnosti nedoločenega integrala in integriramo. Opozarjam vas na dejstvo, da imamo pod vsakim od treh integralov "prosto" kompleksno funkcijo, o značilnostih njene integracije sem govoril v lekciji Metoda spreminjanja spremenljivke v nedoločenem integralu.

Preveri: Razlikuj odgovor:

Dobili smo originalni integrand, kar pomeni, da je bil integral najden pravilno.
Med preverjanjem je bilo treba izraz spraviti na skupni imenovalec in to ni naključje. Metoda nedoločenih koeficientov in spravljanje izraza na skupni imenovalec sta medsebojno obratna dejanja.

Primer 2

Poiščite nedoločen integral.

Vrnimo se k ulomku iz prvega primera: . Lahko vidimo, da so v imenovalcu vsi faktorji RAZLIČNI. Postavlja se vprašanje, kaj storiti, če je na primer podan tak ulomek: ? Tukaj imamo stopinje v imenovalcu ali, v matematičnem smislu, več dejavnikov. Poleg tega obstaja nerazgradljiv kvadratni trinom (preprosto je preveriti, da diskriminant enačbe je negativen, zato trinoma ni mogoče faktorizirati na noben način). Kaj storiti? Razširitev v vsoto elementarnih ulomkov bo videti takole z neznanimi koeficienti na vrhu ali kako drugače?

Primer 3

Oddajte funkcijo

Korak 1. Preverjanje, ali imamo pravilen ulomek
Največja moč števca: 2
Najvišji imenovalec: 8
, torej je ulomek pravilen.

2. korak Ali je mogoče kaj všteti v imenovalec? Očitno ne, vse je že pripravljeno. Kvadratni trinom se zaradi zgornjih razlogov ne razširi v produkt. Dobro. Manj dela.

3. korak Predstavimo ulomko-racionalno funkcijo kot vsoto elementarnih ulomkov.
V tem primeru ima razpad naslednjo obliko:

Poglejmo naš imenovalec:
Pri razgradnji ulomno-racionalne funkcije na vsoto elementarnih ulomkov lahko ločimo tri temeljne točke:

1) Če je v imenovalcu »osamljen« faktor na prvi stopnji (v našem primeru ), potem na vrh postavimo nedoločen koeficient (v našem primeru ). Primera št. 1, 2 sta bila sestavljena samo iz takih "osamljenih" dejavnikov.

2) Če imenovalec vsebuje večkraten množitelj, potem morate razstaviti na naslednji način:
- to je zaporedno razvrščanje skozi vse stopnje "x" od prve do n-te stopnje. V našem primeru obstajata dva več dejavnikov: in , še enkrat si oglejte razčlenitev, ki sem jo dal, in se prepričajte, da sta razčlenjena natančno v skladu s tem pravilom.

3) Če imenovalec vsebuje nerazgradljiv polinom druge stopnje (v našem primeru ), potem morate pri razširitvi v števcu zapisati linearno funkcijo z nedoločenimi koeficienti (v našem primeru z nedoločenimi koeficienti in ).

Pravzaprav obstaja tudi 4. primer, vendar ga bom zamolčal, saj je v praksi izjemno redek.

Primer 4

Oddajte funkcijo kot vsota elementarnih ulomkov z neznanimi koeficienti.

To je primer "naredi sam". Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.
Strogo upoštevajte algoritem!

Če ste ugotovili načela, po katerih morate razstaviti ulomno-racionalno funkcijo na vsoto, potem lahko razbijete skoraj vsak integral obravnavane vrste.

Primer 5

Poiščite nedoločen integral.

Korak 1. Očitno je ulomek pravilen:

2. korak Ali je mogoče kaj všteti v imenovalec? Lahko. Tukaj je vsota kock . Faktoriziranje imenovalca s skrajšano formulo množenja

3. korak Z metodo nedoločenih koeficientov integrand razširimo v vsoto elementarnih ulomkov:

Upoštevajte, da je polinom nerazgradljiv (preverite, ali je diskriminanta negativna), zato na vrh postavimo linearno funkcijo z neznanimi koeficienti in ne samo eno črko.

Ulomek spravimo na skupni imenovalec:

Ustvarimo in rešimo sistem:

(1) Iz prve enačbe izrazimo in nadomestimo v drugo enačbo sistema (to je najbolj racionalno).

(2) Podobne člene predstavimo v drugi enačbi.

(3) Drugo in tretjo enačbo sistema seštevamo člen za členom.

Vsi nadaljnji izračuni so načeloma ustni, saj je sistem preprost.

(1) Zapišemo vsoto ulomkov v skladu z najdenimi koeficienti .

(2) Uporabljamo lastnosti linearnosti nedoločenega integrala. Kaj se je zgodilo v drugem integralu? To metodo najdete v zadnjem odstavku lekcije. Integracija nekaterih ulomkov.

(3) Ponovno uporabimo lastnosti linearnosti. V tretjem integralu začnemo izbirati polni kvadrat (predzadnji odstavek lekcije Integracija nekaterih ulomkov).

(4) Vzamemo drugi integral, v tretjem izberemo polni kvadrat.

(5) Vzamemo tretji integral. pripravljena