Boltzmannova konstanta. Univerzalna plinska konstanta je univerzalna, temeljna fizikalna konstanta R, enaka produktu Boltzmannove konstante k in Avogadrove konstante

Metulji seveda ne vedo ničesar o kačah. Toda ptice, ki lovijo metulje, vedo zanje. Ptice, ki ne prepoznajo kač, bodo bolj verjetno ...

Boltzmannova konstanta (k (\displaystyle k) oz k B (\displaystyle k_(\rm (B)))) je fizikalna konstanta, ki določa razmerje med temperaturo in energijo. Poimenovana po avstrijskem fiziku Ludwigu Boltzmannu, ki je pomembno prispeval k statistični fiziki, v kateri ima ta konstanta ključno vlogo. Njegova vrednost v mednarodnem sistemu enot SI glede na spremembo definicij osnovnih enot SI (2018) je natanko enaka

Razmerje med temperaturo in energijo

V homogenem idealnem plinu pri absolutni temperaturi T (\displaystyle T), je energija na translacijsko prostostno stopnjo, kot izhaja iz Maxwellove porazdelitve, kT / 2 (\displaystyle kT/2). Pri sobni temperaturi (300 ) je ta energija 2 , 07 × 10 − 21 (\displaystyle 2(,)07\krat 10^(-21)) J ali 0,013 eV. V monatomskem idealnem plinu ima vsak atom tri prostostne stopnje, ki ustrezajo trem prostorskim osem, kar pomeni, da ima vsak atom energijo v 3 2 k T (\displaystyle (\frac (3)(2))kT).

Če poznamo toplotno energijo, lahko izračunamo povprečno kvadratno atomsko hitrost, ki je obratno sorazmerna s kvadratnim korenom atomske mase. Koren srednje kvadratne hitrosti pri sobni temperaturi se spreminja od 1370 m/s za helij do 240 m/s za ksenon. V primeru molekularnega plina postane situacija bolj zapletena, na primer dvoatomni plin ima 5 prostostnih stopenj - 3 translacijske in 2 rotacijski (pri nizkih temperaturah, ko nihanje atomov v molekuli ni vzbujeno in dodatne stopnje svoboda ni dodana).

Opredelitev entropije

Entropija termodinamičnega sistema je definirana kot naravni logaritem števila različnih mikrostanj Z (\displaystyle Z) ki ustreza danemu makroskopskemu stanju (na primer stanju z dano skupno energijo).

Faktor sorazmernosti k (\displaystyle k) in je Boltzmannova konstanta. To je izraz, ki definira razmerje med mikroskopskimi ( Z (\displaystyle Z)) in makroskopska stanja ( S (\displaystyle S)), izraža osrednjo idejo statistične mehanike.

Rojen leta 1844 na Dunaju. Boltzmann je pionir in odkritelj v znanosti. Njegova dela in raziskave so bile v družbi pogosto nerazumljene in zavrnjene. Z nadaljnjim razvojem fizike pa so bila njegova dela priznana in nato objavljena.

Znanstveni interesi znanstvenika so zajemali tako temeljna področja, kot sta fizika in matematika. Od leta 1867 je deloval kot učitelj na številnih visokošolskih ustanovah. V svojih raziskavah je ugotovil, da je to posledica kaotičnih udarcev molekul na stene posode, v kateri se nahajajo, medtem ko je temperatura neposredno odvisna od hitrosti delcev (molekul), z drugimi besedami, od njih. Zato, hitreje ko se ti delci premikajo, višja je temperatura. Boltzmannova konstanta je dobila ime po slavnem avstrijskem znanstveniku. Prav on je dal neprecenljiv prispevek k razvoju statične fizike.

Fizični pomen te konstantne vrednosti

Boltzmannova konstanta določa razmerje med stvarmi, kot sta temperatura in energija. V statični mehaniki igra pomembno ključno vlogo. Boltzmannova konstanta je enaka k=1,3806505(24)*10 -23 J/K. Številke v oklepajih označujejo dovoljeno napako v vrednosti vrednosti glede na zadnje števke. Omeniti velja, da lahko Boltzmannovo konstanto izpeljemo tudi iz drugih fizikalnih konstant. Vendar so ti izračuni precej zapleteni in jih je težko izvesti. Zahtevajo poglobljeno znanje ne le s področja fizike, temveč tudi

Boltzmannova konstanta, ki je koeficient k = 1,38 10 - 23 J K, je del velikega števila formul v fiziki. Ime je dobil po avstrijskem fiziku, enem od utemeljiteljev molekularne kinetične teorije. Formuliramo definicijo Boltzmannove konstante:

Definicija 1

Boltzmannova konstanta imenovana fizična konstanta, ki določa razmerje med energijo in temperaturo.

Ne smemo je zamenjevati s Stefan-Boltzmannovo konstanto, povezano s sevanjem energije absolutno togega telesa.

Obstajajo različne metode za izračun tega koeficienta. V tem članku si bomo ogledali dva izmed njih.

Iskanje Boltzmannove konstante z enačbo idealnega plina

To konstanto je mogoče najti z enačbo, ki opisuje stanje idealnega plina. Eksperimentalno je mogoče ugotoviti, da segrevanje katerega koli plina s T 0 \u003d 273 K na T 1 \u003d 373 K povzroči spremembo njegovega tlaka s p 0 \u003d 1,013 10 5 Pa na p 0 \u003d 1,38 10 5 Pa. To je dokaj preprost poskus, ki ga lahko izvedemo tudi samo z zrakom. Za merjenje temperature morate uporabiti termometer, tlak pa - manometer. Pomembno je vedeti, da je število molekul v molu katerega koli plina približno enako 6 10 23, prostornina pri tlaku 1 atoma pa je V = 22,4 l. Ob upoštevanju vseh imenovanih parametrov lahko nadaljujemo z izračunom Boltzmannove konstante k:

Da bi to naredili, dvakrat napišemo enačbo in vanjo nadomestimo parametre stanja.

Če poznamo rezultat, lahko najdemo vrednost parametra k:

Iskanje Boltzmannove konstante s formulo Brownovega gibanja

Za drugo metodo izračuna moramo izvesti tudi poskus. Zanj morate vzeti majhno ogledalo in ga obesiti v zrak z elastično nitjo. Predpostavimo, da je sistem ogledalo-zrak v stabilnem stanju (statično ravnovesje). Molekule zraka zadenejo ogledalo, ki se v bistvu obnaša kot Brownov delec. Vendar pa lahko ob upoštevanju njegovega visečega stanja opazimo rotacijska nihanja okoli določene osi, ki sovpada z vzmetenjem (navpično usmerjena nit). Zdaj pa usmerimo žarek svetlobe na površino ogledala. Tudi z rahlimi premiki in obračanjem ogledala se bo žarek, ki se odraža v njem, opazno premaknil. To nam daje možnost, da izmerimo rotacijske vibracije predmeta.

Če označimo torzijski modul kot L, vztrajnostni moment zrcala glede na vrtilno os kot J in kot vrtenja zrcala kot φ, lahko zapišemo enačbo nihanja naslednje oblike:

Minus v enačbi je povezan s smerjo momenta prožnostnih sil, ki želi zrcalo vrniti v ravnotežni položaj. Zdaj pomnožimo oba dela s φ, rezultat integriramo in dobimo:

Naslednja enačba je zakon o ohranitvi energije, ki bo veljal za ta nihanja (to pomeni, da se bo potencialna energija pretvorila v kinetično in obratno). Ta nihanja lahko štejemo za harmonična, torej:

Pri izpeljavi ene izmed prejšnjih formul smo uporabili zakon enakomerne porazdelitve energije po prostostnih stopnjah. Torej lahko zapišemo takole:

Kot smo rekli, je mogoče izmeriti kot vrtenja. Torej, če je temperatura približno 290 K in torzijski modul L ≈ 10 - 15 N m; φ ≈ 4 10 - 6, potem lahko izračunamo vrednost koeficienta, ki ga potrebujemo, kot sledi:

Zato lahko ob poznavanju osnov Brownovega gibanja Boltzmannovo konstanto najdemo z merjenjem makro parametrov.

Vrednost Boltzmannove konstante

Vrednost preučevanega koeficienta je v tem, da ga je mogoče uporabiti za povezavo parametrov mikrokozmosa s tistimi parametri, ki opisujejo makrokozmos, na primer termodinamično temperaturo z energijo translacijskega gibanja molekul:

Ta koeficient je vključen v enačbe povprečne energije molekule, stanje idealnega plina, kinetično teorijo plina, Boltzmann-Maxwellovo porazdelitev in številne druge. Za določitev entropije je potrebna tudi Boltzmannova konstanta. Ima pomembno vlogo pri študiju polprevodnikov, na primer pri enačbi, ki opisuje odvisnost električne prevodnosti od temperature.

Primer 1

Pogoj: izračunati povprečno energijo molekule plina, sestavljene iz N-atomskih molekul pri temperaturi T, ob zavedanju, da so v molekulah vzbujene vse prostostne stopnje - rotacijske, translacijske, vibracijske. Vse molekule se štejejo za razsute.

rešitev

Energija je enakomerno porazdeljena po prostostnih stopnjah za vsako od njenih stopenj, kar pomeni, da bodo imele te stopinje enako kinetično energijo. Enako bo ε i = 1 2 k T . Nato lahko za izračun povprečne energije uporabimo formulo:

ε = i 2 k T , kjer je i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l vsota translacijskih rotacijskih prostostnih stopinj. Črka k pomeni Boltzmannovo konstanto.

Pojdimo k določanju števila prostostnih stopenj molekule:

m p o s t = 3, m υ r = 3, torej m k o l = 3 N-6.

i \u003d 6 + 6 N - 12 \u003d 6 N - 6; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

odgovor: pod temi pogoji bo povprečna energija molekule enaka ε = 3 N - 3 k T .

Primer 2

Pogoj: je zmes dveh idealnih plinov, katerih gostota pri normalnih pogojih je p. Določite, kakšna bo koncentracija enega plina v mešanici, če poznamo molski masi obeh plinov μ 1, μ 2.

rešitev

Najprej izračunajte skupno maso mešanice.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02 .

Parameter m 01 označuje maso molekule enega plina, m 02 je masa molekule drugega, n 2 je koncentracija molekul enega plina, n 2 je koncentracija drugega. Gostota zmesi je enaka ρ.

Zdaj iz te enačbe izrazimo koncentracijo prvega plina:

n 1 \u003d ρ - n 2 m 02 m 01; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02 .

p = n k T → n = p k T .

Nadomestite dobljeno enako vrednost:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

Ker so nam molske mase plinov znane, lahko poiščemo mase molekul prvega in drugega plina:

m 01 = μ 1 N A , m 02 = μ 2 N A .

Vemo tudi, da je mešanica plinov pri normalnih pogojih, tj. tlak je 1 atm, temperatura pa 290 K. Torej lahko štejemo, da je problem rešen.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Fizika kot eksaktna kvantitativna veda ne more brez nabora zelo pomembnih konstant, ki kot univerzalni koeficienti vstopajo v enačbe, ki vzpostavljajo povezavo med določenimi količinami. To so temeljne konstante, zaradi katerih takšna razmerja pridobijo invariantnost in lahko pojasnijo obnašanje fizičnih sistemov na različnih lestvicah.

Med takšnimi parametri, ki označujejo lastnosti, ki so del materije našega vesolja, je Boltzmannova konstanta - količina, ki je vključena v številne najpomembnejše enačbe. Preden pa preidemo na obravnavo njegovih značilnosti in pomena, ne moremo spregovoriti nekaj besed o znanstveniku, čigar ime nosi.

Ludwig Boltzmann: znanstvene zasluge

Eden največjih znanstvenikov 19. stoletja, Avstrijec Ludwig Boltzmann (1844-1906), je pomembno prispeval k razvoju molekularno-kinetične teorije in postal eden od ustvarjalcev statistične mehanike. Bil je avtor ergodične hipoteze, statistične metode pri opisu idealnega plina, osnovne enačbe fizikalne kinetike. Veliko se je ukvarjal z vprašanji termodinamike (Boltzmannov H-teorem, statistični princip za drugi zakon termodinamike), teorije sevanja (Stefan-Boltzmannov zakon). V svojih delih se je dotaknil tudi nekaterih vprašanj elektrodinamike, optike in drugih vej fizike. Njegovo ime je ovekovečeno v dveh fizikalnih konstantah, o katerih bomo govorili v nadaljevanju.

Ludwig Boltzmann je bil prepričan in dosleden zagovornik teorije o atomski in molekularni zgradbi snovi. Dolga leta se je moral boriti proti nerazumevanju in zavračanju teh idej v takratni znanstveni skupnosti, ko so številni fiziki imeli atome in molekule za pretirano abstrakcijo, v najboljšem primeru za pogojno napravo, ki služi za lažje izračune. Boleča bolezen in napadi konservativno mislečih kolegov so pri Boltzmannu povzročili hudo depresijo, ki je ni mogel prenesti, izjemni znanstvenik je storil samomor. Na nagrobnem spomeniku je nad doprsnim kipom Boltzmanna v znak priznanja njegovih zaslug vklesana enačba S = k∙logW - eden od rezultatov njegove plodne znanstvene dejavnosti. Konstanta k v tej enačbi je Boltzmannova konstanta.

Energija molekul in temperatura snovi

Koncept temperature služi za opredelitev stopnje segrevanja telesa. V fiziki se uporablja absolutna temperaturna lestvica, ki temelji na zaključku molekularno-kinetične teorije o temperaturi kot meri, ki odraža velikost energije toplotnega gibanja delcev snovi (seveda gre za povprečna kinetična energija mnogih delcev).

Tako SI joule kot CGS erg sta preveliki enoti za izražanje energije molekul in v praksi je bilo zelo težko meriti temperaturo na ta način. Priročna enota za temperaturo je stopinja, meritev pa poteka posredno, z registracijo spreminjajočih se makroskopskih lastnosti snovi - na primer prostornine.

Kako sta energija in temperatura povezani?

Za izračun stanj realne snovi pri temperaturah in tlakih, ki so blizu normalnim, se uspešno uporablja model idealnega plina, to je tistega, katerega velikost molekule je veliko manjša od prostornine, ki jo zaseda določena količina plina, in razdalja med delci znatno presega polmer njihove interakcije. Na podlagi enačb kinetične teorije je povprečna energija takšnih delcev definirana kot E cf = 3/2∙kT, kjer je E kinetična energija, T temperatura, 3/2∙k pa uveden faktor sorazmernosti. avtorja Boltzmanna. Število 3 tukaj označuje število prostostnih stopenj translacijskega gibanja molekul v treh prostorskih dimenzijah.

Vrednost k, ki so jo pozneje v čast avstrijskega fizika poimenovali Boltzmannova konstanta, kaže, koliko joula ali erga vsebuje ena stopinja. Z drugimi besedami, njegova vrednost določa, koliko se v povprečju statistično poveča energija toplotnega kaotičnega gibanja enega delca enoatomskega idealnega plina s povečanjem temperature za 1 stopinjo.

Kolikokrat je stopinja manjša od joula

Številčno vrednost te konstante lahko dobimo na različne načine, na primer z merjenjem absolutne temperature in tlaka, z uporabo enačbe idealnega plina ali z uporabo modela Brownovega gibanja. Teoretična izpeljava te količine na sedanjem nivoju znanja ni mogoča.

Boltzmannova konstanta je 1,38 × 10 -23 J/K (tukaj je K kelvin, stopinja na absolutni temperaturni lestvici). Za skupino delcev v 1 molu idealnega plina (22,4 litra) dobimo koeficient, ki povezuje energijo s temperaturo (univerzalna plinska konstanta), tako da pomnožimo Boltzmannovo konstanto z Avogadrovim številom (število molekul v molu): R = kN A in je 8,31 J / (mol∙kelvin). Za razliko od slednje pa je Boltzmannova konstanta bolj univerzalne narave, saj vstopa tudi v druga pomembna razmerja, služi pa tudi za določanje druge fizikalne konstante.

Statistična porazdelitev energije molekul

Ker so makroskopska stanja snovi rezultat obnašanja velike skupine delcev, jih opisujemo s statističnimi metodami. Slednje vključuje tudi ugotavljanje porazdelitve energijskih parametrov plinskih molekul:

• Maxwellova porazdelitev kinetičnih energij (in hitrosti). Kaže, da ima v plinu v ravnotežju večina molekul hitrosti blizu neke najverjetnejše hitrosti v = √(2kT/m 0), kjer je m 0 masa molekule.
• Boltzmannova porazdelitev potencialnih energij za pline v polju kakršnih koli sil, kot je zemeljska gravitacija. Odvisno je od razmerja dveh dejavnikov: privlačnosti do Zemlje in kaotičnega toplotnega gibanja delcev plina. Posledično manjša kot je potencialna energija molekul (bližje površini planeta), večja je njihova koncentracija.

Obe statistični metodi sta združeni v Maxwell-Boltzmannovo porazdelitev, ki vsebuje eksponentni faktor e - E/ kT, kjer je E vsota kinetične in potencialne energije, kT pa nam že znana povprečna energija toplotnega gibanja, ki jo kontroliramo z Boltzmannova konstanta.

Konstanta k in entropija

V splošnem smislu lahko entropijo označimo kot merilo ireverzibilnosti termodinamičnega procesa. Ta ireverzibilnost je povezana z razpršenostjo - disipacijo - energije. V statističnem pristopu, ki ga je predlagal Boltzmann, je entropija funkcija števila načinov, na katere je mogoče implementirati fizični sistem, ne da bi spremenili njegovo stanje: S = k∙lnW.

Tu konstanta k določa lestvico rasti entropije s povečanjem tega števila (W) možnosti implementacije sistema ali mikrostanj. Max Planck, ki je to formulo prinesel v sodobno obliko, in predlagal, da bi konstanti k dali Boltzmannovo ime.

Stefan-Boltzmannov zakon o sevanju

Fizikalni zakon, ki določa, kako je energijska svetilnost (moč sevanja na enoto površine) črnega telesa odvisna od njegove temperature, ima obliko j = σT 4, to pomeni, da telo seva sorazmerno s četrto potenco svoje temperature. Ta zakon se uporablja na primer v astrofiziki, saj je sevanje zvezd po značilnostih blizu sevanju črnega telesa.

V tem razmerju je še ena konstanta, ki prav tako nadzoruje obseg pojava. To je Stefan-Boltzmannova konstanta σ, ki je približno 5,67 × 10 -8 W / (m 2 ∙K 4). Njena dimenzija vključuje kelvine, kar pomeni, da je jasno, da gre tukaj tudi za Boltzmannovo konstanto k. Dejansko je vrednost σ definirana kot (2π 2 ∙k 4)/(15c 2 h 3), kjer je c svetlobna hitrost in h Planckova konstanta. Torej Boltzmannova konstanta, združena z drugimi svetovnimi konstantami, tvori količino, ki ponovno povezuje energijo (moč) in temperaturo - v tem primeru glede na sevanje.

Fizikalno bistvo Boltzmannove konstante

Zgoraj smo že omenili, da je Boltzmannova konstanta ena od tako imenovanih temeljnih konstant. Bistvo ni le v tem, da omogoča vzpostavitev povezave med značilnostmi mikroskopskih pojavov na molekularni ravni in parametri procesov, opazovanih v makrokozmosu. In ne samo, da je ta konstanta vključena v številne pomembne enačbe.

Trenutno ni znano, ali obstaja kakšen fizikalni princip, iz katerega bi ga lahko teoretično izpeljali. Z drugimi besedami, iz ničesar ne sledi, da bi morala biti vrednost določene konstante točno tolikšna. Za merilo ujemanja kinetične energije delcev bi lahko namesto stopinj uporabili druge količine in druge enote, takrat bi bila številčna vrednost konstante drugačna, vendar bi ostala konstantna vrednost. Skupaj z drugimi temeljnimi količinami te vrste - mejno hitrostjo c, Planckovo konstanto h, elementarnim nabojem e, gravitacijsko konstanto G - znanost jemlje Boltzmannovo konstanto kot danost našega sveta in jo uporablja za teoretični opis fizičnih procesov, ki se dogajajo v to.