Pri nekaterih problemih fizike ni mogoče vzpostaviti neposredne povezave med količinami, ki opisujejo proces. Obstaja pa možnost, da dobimo enakost, ki vsebuje derivate proučevanih funkcij. Tako nastanejo diferencialne enačbe in potreba po njihovem reševanju, da bi našli neznano funkcijo.

Članek je namenjen tistim, ki se soočajo s problemom reševanja diferencialne enačbe, v kateri je neznana funkcija funkcija ene spremenljivke. Teorija je zgrajena tako, da z ničelnim razumevanjem diferencialnih enačb lahko opravljate svoje delo.

Vsakemu tipu diferencialnih enačb je pridružena metoda reševanja s podrobnimi razlagami in rešitvami tipičnih primerov in problemov. Samo določiti morate vrsto diferencialne enačbe vašega problema, poiskati podoben analiziran primer in izvesti podobna dejanja.

Za uspešno reševanje diferencialnih enačb boste potrebovali tudi sposobnost iskanja nizov protiodvodov (nedoločenih integralov) različnih funkcij. Če je potrebno, priporočamo, da se obrnete na razdelek.

Najprej razmislimo o vrstah navadnih diferencialnih enačb prvega reda, ki jih je mogoče rešiti glede na odvod, nato preidemo na ODE drugega reda, nato se bomo posvetili enačbam višjega reda in zaključimo s sistemi diferencialnih enačb.

Spomnimo se, da če je y funkcija argumenta x.

Diferencialne enačbe prvega reda.

Najenostavnejše diferencialne enačbe prvega reda oblike .

Zapišimo nekaj primerov takih DE .

Diferencialne enačbe lahko razrešimo glede na odvod tako, da obe strani enakosti delimo s f(x). V tem primeru pridemo do enačbe , ki bo enakovredna prvotni za f(x) ≠ 0 . Primeri takih ODE so.

Če obstajajo vrednosti argumenta x, za katere funkciji f(x) in g(x) hkrati izničita, se pojavijo dodatne rešitve. Dodatne rešitve enačbe dani x so vse funkcije, definirane za te vrednosti argumentov. Primeri takih diferencialnih enačb so.

Diferencialne enačbe drugega reda.

Linearne homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti.

LODE s konstantnimi koeficienti je zelo pogost tip diferencialnih enačb. Njihova rešitev ni posebej težka. Najprej se najdejo korenine karakteristične enačbe . Za različna p in q so možni trije primeri: koreni karakteristične enačbe so lahko realni in različni, realni in sovpadajoči ali kompleksen konjugat. Glede na vrednosti korenin karakteristične enačbe je splošna rešitev diferencialne enačbe zapisana kot , oz , oz.

Na primer, razmislite o linearni homogeni diferencialni enačbi drugega reda s konstantnimi koeficienti. Koreni njegove karakteristične enačbe so k 1 = -3 in k 2 = 0. Korenine so realne in različne, zato je splošna rešitev LDE s konstantnimi koeficienti


Linearne nehomogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti.

Splošno rešitev LIDE drugega reda s konstantnimi koeficienti y iščemo kot vsoto splošne rešitve ustrezne LODE in posebno rešitev prvotne nehomogene enačbe, to je . Prejšnji odstavek je namenjen iskanju splošne rešitve homogene diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti. In določena rešitev je določena bodisi z metodo nedoločenih koeficientov za določeno obliko funkcije f (x), ki stoji na desni strani prvotne enačbe, bodisi z metodo variacije poljubnih konstant.

Kot primere LIDE drugega reda s konstantnimi koeficienti predstavljamo


Za razumevanje teorije in seznanitev s podrobnimi rešitvami primerov vam na strani ponujamo linearne nehomogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti.

Linearne homogene diferencialne enačbe (LODE) in linearne nehomogene diferencialne enačbe drugega reda (LNDE).

Poseben primer diferencialnih enačb tega tipa sta LODE in LODE s konstantnimi koeficienti.

Splošna rešitev LODE na določenem intervalu je predstavljena z linearno kombinacijo dveh linearno neodvisnih partikularnih rešitev y 1 in y 2 te enačbe, to je .

Glavna težava je ravno v iskanju linearno neodvisnih parcialnih rešitev te vrste diferencialnih enačb. Običajno so določene rešitve izbrane iz naslednjih sistemov linearno neodvisnih funkcij:


Vendar posamezne rešitve niso vedno predstavljene v tej obliki.

Primer LODU je .

Splošno rešitev LIDE iščemo v obliki , kjer je splošna rešitev ustrezne LODE, in je partikularna rešitev izvirne diferencialne enačbe. Pravkar smo govorili o iskanju, vendar ga je mogoče določiti z metodo variacije poljubnih konstant.

Primer LNDE je .

Diferencialne enačbe višjega reda.

Diferencialne enačbe, ki dopuščajo redukcijo reda.

Vrstni red diferencialne enačbe , ki ne vsebuje želene funkcije in njenih odvodov do reda k-1, lahko reduciramo na n-k z zamenjavo .

V tem primeru se izvirna diferencialna enačba zmanjša na . Ko najdemo njeno rešitev p(x), se moramo vrniti k zamenjavi in ​​določiti neznano funkcijo y.

Na primer diferencialna enačba po zamenjavi postane ločljiva enačba, njen vrstni red pa se zmanjša s tretje na prvo.

Diferencialne enačbe prvega reda. Primeri rešitev.
Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami

Diferencialne enačbe (DE). Ti dve besedi običajno prestrašita povprečnega laika. Diferencialne enačbe se mnogim učencem zdijo nekaj nezaslišanega in težko obvladljivega. Uuuuuu… diferencialne enačbe, kako bi jaz vse to preživel?!

Tako mnenje in takšen odnos je v osnovi napačno, saj dejansko DIFERENCIALNE ENAČBE SO PREPROSTE IN CELO ZABAVNE. Kaj morate vedeti in se naučiti reševati diferencialne enačbe? Če želite uspešno preučevati razlike, morate biti dobri v integraciji in razlikovanju. Bolje kot so teme preučene Odvod funkcije ene spremenljivke in Nedoločen integral, lažje boste razumeli diferencialne enačbe. Povedal bom več, če imate bolj ali manj dostojne veščine integracije, potem je tema praktično obvladana! Več integralov različnih vrst lahko rešite, bolje je. Zakaj? Veliko se moraš integrirati. In razlikovati. tudi zelo priporočam nauči se najti.

V 95 % primerov so v testnih nalogah tri vrste diferencialnih enačb prvega reda: ločljive enačbe, ki jih bomo obravnavali v tej lekciji; homogene enačbe in linearne nehomogene enačbe. Za začetnike pri preučevanju difuzorjev vam svetujem, da preberete lekcije v tem zaporedju, po preučevanju prvih dveh člankov pa ne bo škodilo utrjevanju vaših veščin na dodatni delavnici - enačbe, ki se reducirajo na homogene.

Obstajajo še redkejše vrste diferencialnih enačb: enačbe v totalnih diferencialih, Bernoullijeve enačbe in nekatere druge. Od zadnjih dveh vrst so najpomembnejše enačbe v totalnih diferencialih, ker poleg tega DE razmišljam o novem gradivu - delna integracija.

Če imate le dan ali dva časa, potem za ultra hitro pripravo tukaj je blitz tečaj v formatu pdf.

Torej, mejniki so postavljeni - gremo:

Najprej se spomnimo običajnih algebrskih enačb. Vsebujejo spremenljivke in števila. Najenostavnejši primer:. Kaj pomeni rešiti navadno enačbo? To pomeni najti niz številk ki zadovoljujejo to enačbo. Preprosto je videti, da ima otroška enačba eno korenino: . Za zabavo naredimo preverjanje, nadomestimo najdeni koren v našo enačbo:

- dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da je rešitev najdena pravilno.

Difuzi so urejeni na približno enak način!

Diferencialna enačba prvo naročilo na splošno vsebuje:
1) neodvisna spremenljivka;
2) odvisna spremenljivka (funkcija);
3) prvi odvod funkcije: .

V nekaterih enačbah 1. reda morda ni "x" ali (in) "y", vendar to ni bistveno - pomembno tako da v DU je bil prva izpeljanka in niso imeli derivati ​​višjih redov - itd.

Kaj pomeni ? Rešiti diferencialno enačbo pomeni najti nabor vseh funkcij ki zadovoljujejo to enačbo. Tak nabor funkcij ima pogosto obliko ( je poljubna konstanta), ki se imenuje splošna rešitev diferencialne enačbe.

Primer 1

Reši diferencialno enačbo

Polno streliva. Kje začeti rešitev?

Najprej morate izpeljanko prepisati v nekoliko drugačni obliki. Spomnimo se na okoren zapis, ki se je verjetno mnogim zdel smešen in nepotreben. Prav to vlada pri difuzorjih!

V drugem koraku poglejmo, ali je to mogoče razdeliti spremenljivke? Kaj pomeni ločiti spremenljivke? Grobo rečeno, na levi strani moramo oditi samo "igre", a na desni strani organizirati samo x-ji. Ločevanje spremenljivk se izvaja s pomočjo "šolskih" manipulacij: oklepaji, prenos izrazov iz dela v del s spremembo predznaka, prenos faktorjev iz dela v del po pravilu sorazmerja itd.

Diferenciali in so polni množitelji in aktivni udeleženci v sovražnostih. V tem primeru so spremenljivke enostavno ločene s faktorji obračanja v skladu s pravilom sorazmerja:

Spremenljivke so ločene. Na levi strani - samo "Igra", na desni strani - samo "X".

Naslednja stopnja - integracija diferencialne enačbe. Preprosto je, na oba dela obesimo integrale:

Seveda je treba vzeti integrale. V tem primeru so tabelarni:

Kot se spomnimo, je konstanta dodeljena kateremu koli antiizpeljavi. Tukaj sta dva integrala, vendar je dovolj, da konstanto zapišemo enkrat (ker je konstanta + konstanta še vedno enaka drugi konstanti). V večini primerov je nameščen na desni strani.

Strogo gledano, potem ko so vzeti integrali, se šteje, da je diferencialna enačba rešena. Edina stvar je, da naš "y" ni izražen skozi "x", to pomeni, da je rešitev predstavljena v implicitnem oblika. Implicitna rešitev diferencialne enačbe se imenuje splošni integral diferencialne enačbe. To je splošni integral.

Odgovor v tej obliki je povsem sprejemljiv, a obstaja boljša možnost? Poskusimo dobiti skupna odločitev.

Prosim, spomnite se prve tehnike, je zelo pogost in se pogosto uporablja v praktičnih nalogah: če se po integraciji na desni strani pojavi logaritem, je v mnogih primerih (nikakor pa ne vedno!) priporočljivo pod logaritem zapisati tudi konstanto.

to je NAMESTO zapisi so navadno pisni .

Zakaj je to potrebno? In da bi lažje izrazili "y". Uporabljamo lastnost logaritmov . V tem primeru:

Zdaj je mogoče odstraniti logaritme in module:

Funkcija je eksplicitno predstavljena. To je splošna rešitev.

Odgovori: skupna odločitev: .

Odgovore na številne diferencialne enačbe je dokaj enostavno preveriti. V našem primeru se to naredi precej preprosto, vzamemo najdeno rešitev in jo ločimo:

Nato zamenjamo izpeljanko v izvirno enačbo:

- dobimo pravilno enakost, kar pomeni, da splošna rešitev zadošča enačbi , ki jo je bilo potrebno preveriti.

Če podate konstanti različne vrednosti, lahko dobite neskončno število zasebne odločitve diferencialna enačba. Jasno je, da katera koli od funkcij , itd. izpolnjuje diferencialno enačbo.

Včasih se imenuje splošna rešitev družina funkcij. V tem primeru je splošna rešitev je družina linearnih funkcij ali bolje rečeno družina neposrednih sorazmernosti.

Po podrobni razpravi o prvem primeru je primerno odgovoriti na nekaj naivnih vprašanj o diferencialnih enačbah:

1)V tem primeru nam je uspelo ločiti spremenljivke. Je to vedno mogoče storiti? Ne ne vedno. In še pogosteje spremenljivk ni mogoče ločiti. Na primer, v homogene enačbe prvega reda je treba najprej zamenjati. V drugih vrstah enačb, na primer v linearni nehomogeni enačbi prvega reda, morate uporabiti različne trike in metode, da najdete splošno rešitev. Enačbe z ločljivo spremenljivko, ki jih obravnavamo v prvi lekciji, so najpreprostejša vrsta diferencialnih enačb.

2) Ali je vedno mogoče integrirati diferencialno enačbo? Ne ne vedno. Zelo enostavno je priti do "fancy" enačbe, ki je ni mogoče integrirati, poleg tega obstajajo integrali, ki jih ni mogoče vzeti. Toda takšne DE je mogoče približno rešiti s posebnimi metodami. D'Alembert in Cauchy zagotavljata... ...uf, lurkmore.to Pravkar sem veliko bral, skoraj sem dodal "z onega sveta."

3) V tem primeru smo dobili rešitev v obliki splošnega integrala . Ali je vedno mogoče najti splošno rešitev iz splošnega integrala, torej izraziti "y" v eksplicitni obliki? Ne ne vedno. Na primer: . No, kako naj tukaj izrazim "y"?! V takih primerih je treba odgovor zapisati kot splošni integral. Poleg tega je včasih mogoče najti splošno rešitev, vendar je napisana tako okorno in okorno, da je bolje pustiti odgovor v obliki splošnega integrala

4) ... zaenkrat morda dovolj. V prvem primeru sva se srečala še ena pomembna točka, a da ne bi »lutke« zasul s plazom novih informacij, bom to pustil do naslednje lekcije.

Naj se ne mudi. Še en preprost daljinski upravljalnik in še ena tipična rešitev:

Primer 2

Poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj

rešitev: glede na stanje, ki ga je treba najti zasebna rešitev DE, ki izpolnjuje dani začetni pogoj. Tovrstno spraševanje imenujemo tudi Cauchyjeva težava.

Najprej najdemo splošno rešitev. V enačbi ni spremenljivke "x", vendar to ne bi smelo biti nerodno, glavno je, da ima prvi odvod.

Izpeljanko prepišemo v zahtevani obliki:

Očitno lahko spremenljivke razdelimo, fantje na levo, dekleta na desno:

Integriramo enačbo:

Dobimo splošni integral. Tukaj sem narisal konstanto z naglasno zvezdo, dejstvo je, da se bo zelo kmalu spremenila v drugo konstanto.

Zdaj poskušamo pretvoriti splošni integral v splošno rešitev (izrazite "y" eksplicitno). Spomnimo se stare, dobre šole: . V tem primeru:

Konstanta v indikatorju izgleda nekako ne košer, zato se običajno spusti z neba na zemljo. V podrobnostih se zgodi takole. Z uporabo lastnosti stopinj prepišemo funkcijo na naslednji način:

Če je konstanta, potem je tudi neka konstanta, jo na novo označimo s črko:

Ne pozabite, da je "rušenje" konstanta druga tehnika, ki se pogosto uporablja pri reševanju diferencialnih enačb.

Splošna rešitev je torej: Tako lepa družina eksponentnih funkcij.

Na zadnji stopnji morate najti določeno rešitev, ki izpolnjuje dani začetni pogoj. Tudi to je preprosto.

Kakšna je naloga? Moram pobrati takega vrednost konstante za izpolnitev pogoja.

Lahko ga uredite na različne načine, toda najbolj razumljiv bo morda ta. V splošni rešitvi namesto "x" nadomestimo nič, namesto "y" pa dve:



to je

Standardna različica zasnove:

Sedaj nadomestimo najdeno vrednost konstante v splošno rešitev:
– to je posebna rešitev, ki jo potrebujemo.

Odgovori: zasebna rešitev:

Naredimo pregled. Preverjanje določene rešitve vključuje dve stopnji:

Najprej je treba preveriti, ali najdena partikularna rešitev res izpolnjuje začetni pogoj? Namesto "x" zamenjamo ničlo in vidimo, kaj se zgodi:
- ja, res, dvojka je bila pridobljena, kar pomeni, da je začetni pogoj izpolnjen.

Druga stopnja je že poznana. Vzamemo dobljeno partikularno rešitev in poiščemo izpeljanko:

Nadomestite v prvotni enačbi:

- dosežena je pravilna enakost.

Zaključek: posamezna rešitev je najdena pravilno.

Pojdimo k bolj smiselnim primerom.

Primer 3

Reši diferencialno enačbo

rešitev: Izpeljanko prepišemo v obliki, ki jo potrebujemo:

Ocena, ali je spremenljivke mogoče ločiti? Lahko. Drugi člen prenesemo na desno stran s spremembo predznaka:

Faktorje obrnemo po pravilu sorazmerja:

Spremenljivki sta ločeni, integrirajmo oba dela:

Moram vas opozoriti, prihaja sodni dan. Če se niste dobro naučili nedoločeni integrali, rešil nekaj primerov, potem ni kam iti - zdaj jih moraš obvladati.

Integral leve strani je enostavno najti, s integralom kotangensa se ukvarjamo s standardno tehniko, ki smo jo obravnavali v lekciji Integracija trigonometričnih funkcij V preteklem letu:

Na desni strani imamo logaritem in po mojem prvem tehničnem priporočilu naj bo pod logaritem zapisana tudi konstanta.

Zdaj poskušamo poenostaviti splošni integral. Ker imamo samo logaritme, se jih je povsem mogoče (in potrebno) znebiti. Z uporabo znane lastnosti maksimalno "spakiraj" logaritme. Napisal bom zelo podrobno:

Embalaža je popolna za barbarsko raztrgano:

Ali je mogoče izraziti "y"? Lahko. Oba dela morata biti kvadratna.

Ampak ni ti treba.

Tretji tehnični nasvet:če se morate za pridobitev splošne rešitve povzdigniti na moč ali se ukoreniniti, potem V večini primerov vzdržati se teh dejanj in pustiti odgovor v obliki splošnega integrala. Dejstvo je, da bo splošna rešitev videti grozno - z velikimi koreninami, znaki in drugimi smeti.

Zato odgovor zapišemo kot splošni integral. Dobro se šteje, da ga predstavite v obliki, to je na desni strani, če je mogoče, pustite samo konstanto. To sicer ni nujno, je pa vedno koristno ugoditi profesorju ;-)

odgovor: splošni integral:

! Opomba: splošni integral katere koli enačbe je mogoče zapisati na več kot en način. Torej, če vaš rezultat ni sovpadal s prej znanim odgovorom, to ne pomeni, da ste enačbo rešili napačno.

Splošni integral je tudi precej enostavno preverjen, glavna stvar je, da ga lahko najdemo izpeljanka implicitno definirane funkcije. Razlikujmo odgovor:

Oba izraza pomnožimo z:

In delimo z:

Prvotna diferencialna enačba je bila dobljena natančno, kar pomeni, da je bil splošni integral najden pravilno.

Primer 4

Poiščite določeno rešitev diferencialne enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj. Izvedite pregled.

To je primer "naredi sam".

Naj vas spomnim, da je algoritem sestavljen iz dveh stopenj:
1) iskanje splošne rešitve;
2) iskanje zahtevane posebne rešitve.

Preverjanje poteka tudi v dveh korakih (glej vzorec v primeru št. 2), potrebujete:
1) zagotoviti, da določena najdena rešitev izpolnjuje začetni pogoj;
2) preverite, ali določena rešitev na splošno izpolnjuje diferencialno enačbo.

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Primer 5

Poiščite posebno rešitev diferencialne enačbe , ki izpolnjuje začetni pogoj. Izvedite pregled.

rešitev: Najprej poiščimo splošno rešitev.Ta enačba vsebuje že pripravljene diferenciale in , kar pomeni, da je rešitev poenostavljena. Ločevanje spremenljivk:

Integriramo enačbo:

Integral na levi je tabelaren, integral na desni je vzet metoda seštevanja funkcije pod znakom diferenciala:

Splošni integral je bil dobljen, ali je mogoče uspešno izraziti splošno rešitev? Lahko. Na obeh straneh obesimo logaritme. Ker so pozitivni, so modulo znaki odveč:

(Upam, da vsi razumejo transformacijo, take stvari bi že morale biti znane)

Splošna rešitev je torej:

Poiščimo določeno rešitev, ki ustreza danemu začetnemu pogoju.
V splošni rešitvi namesto "x" nadomestimo nič, namesto "y" pa logaritem dveh:

Bolj znan dizajn:

Najdeno vrednost konstante nadomestimo v splošno rešitev.

odgovor: zasebna rešitev:

Preverite: Najprej preverite, ali je začetni pogoj izpolnjen:
- vse je dobro.

Zdaj pa preverimo, ali najdena partikularna rešitev sploh zadošča diferencialni enačbi. Najdemo izpeljanko:

Poglejmo prvotno enačbo: – predstavljena je v diferencialih. Obstajata dva načina za preverjanje. Iz najdenega derivata je mogoče izraziti diferencial:

Najdeno partikularno rešitev in dobljeni diferencial nadomestimo v prvotno enačbo :

Uporabljamo osnovno logaritemsko identiteto:

Dobljena je pravilna enakost, kar pomeni, da je določena rešitev pravilno najdena.

Drugi način preverjanja je zrcalni in bolj znan: iz enačbe izrazimo izpeljanko, za to vse dele delimo z:

In v preoblikovanem DE nadomestimo dobljeno partikularno rešitev in najdeni odvod. Zaradi poenostavitev bi morali dobiti tudi pravilno enakost.

Primer 6

Reši diferencialno enačbo. Odgovor izrazite kot splošni integral.

To je primer za samostojno reševanje, popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Kakšne težave čakajo pri reševanju diferencialnih enačb z ločljivimi spremenljivkami?

1) Ni vedno očitno (zlasti čajniku), da je spremenljivke mogoče ločiti. Razmislite o pogojnem primeru: . Tukaj morate vzeti faktorje iz oklepajev: in ločiti korene:. Kako naprej je jasno.

2) Težave pri sami integraciji. Integrali pogosto nastanejo ne najenostavnejši in če obstajajo pomanjkljivosti v spretnostih iskanja nedoločen integral, potem bo težko s številnimi difuzorji. Poleg tega so prevajalci zbirk in priročnikov priljubljeni z logiko "ker je diferencialna enačba preprosta, potem bodo vsaj integrali bolj zapleteni."

3) Transformacije s konstanto. Kot so že vsi opazili, je mogoče s konstanto v diferencialnih enačbah ravnati precej svobodno in nekatere transformacije začetniku niso vedno jasne. Poglejmo še en hipotetičen primer: . V njem je priporočljivo pomnožiti vse izraze z 2: . Dobljena konstanta je tudi neke vrste konstanta, ki jo lahko označimo z: . Da, in ker je na desni strani logaritem, je priporočljivo, da konstanto prepišete kot drugo konstanto: .

Težava je v tem, da se pogosto ne ukvarjajo z indeksi in uporabljajo isto črko. Posledično ima zapisnik o odločitvi naslednjo obliko:

Kakšna herezija? Tukaj so napake! Strogo gledano, da. Z vsebinskega vidika pa napak ni, saj kot rezultat transformacije spremenljivke konstanta še vedno dobimo spremenljivko konstanto.

Ali drug primer, predpostavimo, da med reševanjem enačbe dobimo splošni integral. Ta odgovor je grd, zato je priporočljivo spremeniti predznak vsakega izraza: . Formalno je spet napaka - na desni bi moralo pisati . Vendar se neuradno namiguje, da je "minus ce" še vedno konstanta ( ki prav tako dobro sprejema vse vrednosti!), zato vnos "minusa" ni smiseln in lahko uporabite isto črko.

Poskušal se bom izogniti malomarnemu pristopu in pri pretvorbi še vedno zapisati različne indekse za konstante.

Primer 7

Reši diferencialno enačbo. Izvedite pregled.

rešitev: Ta enačba dopušča ločevanje spremenljivk. Ločevanje spremenljivk:

Integriramo:

Konstante tukaj ni treba definirati pod logaritmom, saj iz tega ne bo nič dobrega.

odgovor: splošni integral:

Preveri: Razlikuj odgovor (implicitna funkcija):

Znebimo se ulomkov, zato oba člena pomnožimo z:

Dobljena je izvirna diferencialna enačba, kar pomeni, da je splošni integral najden pravilno.

Primer 8

Poiščite določeno rešitev DE.
,

To je primer "naredi sam". Edini namig je, da tukaj dobite splošen integral in, pravilneje, potruditi se morate, da ne najdete posebne rešitve, ampak zasebni integral. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

6.1. OSNOVNI POJMI IN DEFINICIJE

Pri reševanju različnih problemov matematike in fizike, biologije in medicine pogosto ni mogoče takoj vzpostaviti funkcionalne odvisnosti v obliki formule, ki povezuje spremenljivke, ki opisujejo preučevani proces. Običajno je treba uporabiti enačbe, ki vsebujejo poleg neodvisne spremenljivke in neznane funkcije tudi njene odvode.

Opredelitev. Imenuje se enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko, neznano funkcijo in njene odvode različnih vrst diferencial.

Neznana funkcija je običajno označena y(x) ali preprosto y, in njegove izpeljanke so y", y" itd.

Možni so tudi drugi zapisi, na primer: če l= x(t), potem x"(t), x""(t) so njegove izpeljanke in t je neodvisna spremenljivka.

Opredelitev.Če je funkcija odvisna od ene spremenljivke, se diferencialna enačba imenuje navadna. Splošni obrazec navadna diferencialna enačba:

oz

Funkcije F in f morda ne vsebuje nekaterih argumentov, toda da bi bile enačbe diferencialne, je bistvena prisotnost derivata.

Opredelitev.Vrstni red diferencialne enačbe je vrstni red najvišjega derivata, ki je vključen v to.

na primer x 2 y"- l= 0, y" + sin x= 0 so enačbe prvega reda in y"+ 2 y"+ 5 l= x je enačba drugega reda.

Pri reševanju diferencialnih enačb se uporablja operacija integracije, ki je povezana s pojavom poljubne konstante. Če je uporabljeno dejanje integracije n krat, potem bo očitno rešitev vsebovala n poljubne konstante.

6.2. DIFERENCIALNE ENAČBE PRVEGA REDA

Splošni obrazec diferencialna enačba prvega reda je definiran z izrazom

Enačba ne sme izrecno vsebovati x in y, vendar nujno vsebuje y".

Če lahko enačbo zapišemo kot

potem dobimo diferencialno enačbo prvega reda, rešeno glede na odvod.

Opredelitev. Splošna rešitev diferencialne enačbe prvega reda (6.3) (ali (6.4)) je množica rešitev , kje OD je poljubna konstanta.

Graf za reševanje diferencialne enačbe se imenuje integralna krivulja.

Podajanje poljubne konstante OD različne vrednosti, je možno dobiti posebne rešitve. Na površini xOy splošna rešitev je družina integralnih krivulj, ki ustreza vsaki posamezni rešitvi.

Če postavite točko A(x0, y0), skozi katerega mora iti integralna krivulja, potem praviloma iz množice funkcij eno lahko izpostavimo - posebno rešitev.

Opredelitev.Zasebna odločitev diferencialne enačbe je njena rešitev, ki ne vsebuje poljubnih konstant.

Če je splošna rešitev, potem iz pogoja

lahko najdete stalno OD. Pogoj se imenuje začetno stanje.

Problem iskanja določene rešitve diferencialne enačbe (6.3) ali (6.4), ki izpolnjuje začetni pogoj pri klical Cauchyjev problem. Ali ima ta problem vedno rešitev? Odgovor je v naslednjem izreku.

Cauchyjev izrek(izrek obstoja in enkratnosti rešitve). Vstavimo diferencialno enačbo y"= f(x, y) funkcijo f(x, y) in njo

delni derivat določeno in v nekaterih neprekinjeno

področja D, ki vsebuje piko Nato na območju D obstaja

edina rešitev enačbe, ki izpolnjuje začetni pogoj pri

Cauchyjev izrek pravi, da pod določenimi pogoji obstaja edinstvena integralna krivulja l= f(x), ki poteka skozi točko Točke, kjer pogoji izreka niso izpolnjeni

Mačke se imenujejo poseben. Zlomi na teh točkah f(x, y) oz.

Bodisi več integralnih krivulj poteka skozi posebno točko ali nobena.

Opredelitev.Če rešitev (6.3), (6.4) najdemo v obliki f(x, y, c)= 0 ni dovoljeno glede na y, potem se imenuje skupni integral diferencialna enačba.

Cauchyjev izrek zagotavlja le obstoj rešitve. Ker ni enotne metode za iskanje rešitve, bomo obravnavali samo nekatere vrste diferencialnih enačb prvega reda, ki so integrabilne v kvadrati.

Opredelitev. Diferencialna enačba se imenuje integrabilen v kvadraturah,če se iskanje njegove rešitve zmanjša na integracijo funkcij.

6.2.1. Diferencialne enačbe prvega reda z ločljivimi spremenljivkami

Opredelitev. Diferencialna enačba prvega reda se imenuje enačba z ločljive spremenljivke,

Desna stran enačbe (6.5) je produkt dveh funkcij, od katerih je vsaka odvisna samo od ene spremenljivke.

Na primer enačba je enačba z ločevanjem

podajanje spremenljivk
in enačba

ni mogoče predstaviti v obliki (6.5).

Glede na to , prepišemo (6.5) kot

Iz te enačbe dobimo diferencialno enačbo z ločenimi spremenljivkami, v kateri diferenciali vsebujejo funkcije, ki so odvisne le od ustrezne spremenljivke:

Z integracijo izraza za izrazom imamo

kjer je C= C 2 - C 1 je poljubna konstanta. Izraz (6.6) je splošni integral enačbe (6.5).

Če oba dela enačbe (6.5) delimo z , lahko izgubimo tiste rešitve, za katere Res, če pri

potem je očitno rešitev enačbe (6.5).

Primer 1 Poiščite zadovoljivo rešitev enačbe

stanje: l= 6 at x= 2 (l(2) = 6).

rešitev. Zamenjajmo pri" za takrat . Pomnožite obe strani s

dx, saj je pri nadaljnji integraciji nemogoče zapustiti dx v imenovalcu:

in nato oba dela razdelite na dobimo enačbo,

ki jih je mogoče integrirati. Integriramo:

Potem ; potenciramo, dobimo y = C . (x + 1) - ob-

rešitev.

Na podlagi začetnih podatkov določimo poljubno konstanto tako, da jih nadomestimo v splošno rešitev

Končno dobimo l= 2(x + 1) je posebna rešitev. Oglejmo si še nekaj primerov reševanja enačb z ločljivimi spremenljivkami.

Primer 2 Poiščite rešitev enačbe

rešitev. Glede na to , dobimo .

Če integriramo obe strani enačbe, imamo

kje

Primer 3 Poiščite rešitev enačbe rešitev. Oba dela enačbe delimo s tistimi faktorji, ki so odvisni od spremenljivke, ki ne sovpada s spremenljivko pod diferencialnim predznakom, to je z in integrirati. Potem dobimo

in končno

Primer 4 Poiščite rešitev enačbe

rešitev. Vedeti, kaj bomo dobili. Oddelek-

lim spremenljivke. Potem

Integracija, dobimo

Komentiraj. V primerih 1 in 2 želena funkcija l izražen eksplicitno (splošna rešitev). V primerih 3 in 4 - implicitno (splošni integral). V prihodnje oblika sklepa ne bo določena.

Primer 5 Poiščite rešitev enačbe rešitev.

Primer 6 Poiščite rešitev enačbe zadovoljivo

stanje y(e)= 1.

rešitev. Enačbo zapišemo v obliki

Če pomnožimo obe strani enačbe s dx in naprej, dobimo

Integracija obeh strani enačbe (integral na desni strani je vzet po delih), dobimo

Ampak glede na pogoje l= 1 at x= e. Potem

Nadomestite najdene vrednosti OD v splošno rešitev:

Dobljeni izraz se imenuje posebna rešitev diferencialne enačbe.

6.2.2. Homogene diferencialne enačbe prvega reda

Opredelitev. Diferencialna enačba prvega reda se imenuje homogenače ga je mogoče predstaviti kot

Predstavimo algoritem za reševanje homogene enačbe.

1. Namesto tega l uvesti novo funkcijo Potem in zato

2. Glede na funkcijo u enačba (6.7) dobi obliko

t.j. zamenjava reducira homogeno enačbo na enačbo z ločljivimi spremenljivkami.

3. Pri reševanju enačbe (6.8) najprej poiščemo u, nato pa l= ux.

Primer 1 reši enačbo rešitev. Enačbo zapišemo v obliki

Naredimo zamenjavo:
Potem

Zamenjajmo

Pomnoži z dx: Razdeli po x in naprej potem

Z integracijo obeh delov enačbe glede na ustrezne spremenljivke imamo

ali, če se vrnemo k starim spremenljivkam, končno dobimo

Primer 2reši enačbo rešitev.Pustiti potem

Obe strani enačbe delite z x2: Odprimo oklepaje in prerazporedimo izraze:

Če preidemo na stare spremenljivke, pridemo do končnega rezultata:

Primer 3Poiščite rešitev enačbe pod pogojem

rešitev.Izvedba standardne zamenjave dobimo

oz

oz

Torej ima posebna rešitev obliko Primer 4 Poiščite rešitev enačbe

rešitev.

Primer 5Poiščite rešitev enačbe rešitev.

Samostojno delo

Poiščite rešitev diferencialnih enačb z ločljivimi spremenljivkami (1-9).

Poiščite rešitev homogenih diferencialnih enačb (9-18).

6.2.3. Nekatere aplikacije diferencialnih enačb prvega reda

Problem radioaktivnega razpada

Hitrost razpada Ra (radija) v vsakem trenutku je sorazmerna z njegovo razpoložljivo maso. Poiščite zakon radioaktivnega razpada Ra, če je znano, da je bil Ra v začetnem trenutku in je razpolovna doba Ra 1590 let.

rešitev. Naj bo trenutno masa Ra x= x(t) g, in Potem je stopnja razpada Ra

Glede na nalogo

kje k

Z ločitvijo spremenljivk v zadnji enačbi in integracijo dobimo

kje

Za določitev C uporabimo začetni pogoj: .

Potem in zato,

Faktor sorazmernosti k določeno iz dodatnega pogoja:

Imamo

Od tod in želeno formulo

Problem hitrosti razmnoževanja bakterij

Hitrost razmnoževanja bakterij je sorazmerna z njihovim številom. V začetnem trenutku je bilo 100 bakterij. V 3 urah se je njihovo število podvojilo. Ugotovite odvisnost števila bakterij od časa. Kolikokrat se bo povečalo število bakterij v 9 urah?

rešitev. Pustiti x- število bakterij v tem trenutku t. Potem, glede na pogoje,

kje k- sorazmernostni koeficient.

Od tod Iz stanja je znano, da . pomeni,

Iz dodatnega pogoja . Potem

Zahtevana funkcija:

Torej, pri t= 9 x= 800, tj. v 9 urah se je število bakterij povečalo za 8-krat.

Naloga povečanja količine encima

V kulturi pivskega kvasa je stopnja rasti aktivnega encima sorazmerna z njegovo začetno količino. x. Začetna količina encima a podvojila v eni uri. Poiščite odvisnost

x(t).

rešitev. Po pogoju ima diferencialna enačba procesa obliko

od tod

Ampak . pomeni, C= a in potem

Znano je tudi, da

Posledično

6.3. DIFERENCIALNE ENAČBE DRUGEGA REDA

6.3.1. Osnovni pojmi

Opredelitev.Diferencialna enačba drugega reda se imenuje relacija, ki povezuje neodvisno spremenljivko, želeno funkcijo ter njen prvi in ​​drugi odvod.

V posebnih primerih lahko x v enačbi ni, pri ali y". Vendar pa mora enačba drugega reda nujno vsebovati y". V splošnem primeru je diferencialna enačba drugega reda zapisana kot:

ali, če je mogoče, v obliki, ki je dovoljena za drugo izpeljanko:

Kot v primeru enačbe prvega reda ima lahko tudi enačba drugega reda splošno in posebno rešitev. Splošna rešitev izgleda takole:

Iskanje zasebne rešitve

pod začetnimi pogoji - dano

številka) se kliče Cauchyjev problem. Geometrijsko to pomeni, da je treba najti integralno krivuljo pri= y(x), ki poteka skozi dano točko in ima tangento na tej točki, kar je približno

vilice s pozitivno smerjo osi Ox podani kot. e. (slika 6.1). Cauchyjev problem ima edinstveno rešitev, če desna stran enačbe (6.10), nepred-

je diskontinuiran in ima zvezne delne odvode glede na ti, ti" v neki bližini izhodišča

Najti konstanto vključena v posamezno rešitev, je treba sistemu omogočiti

riž. 6.1. integralna krivulja

Navadna diferencialna enačba imenovana enačba, ki povezuje neodvisno spremenljivko, neznano funkcijo te spremenljivke in njene odvode (ali diferenciale) različnih vrst.

Vrstni red diferencialne enačbe je vrstni red najvišjega derivata, ki ga vsebuje.

Poleg navadnih preučujemo tudi parcialne diferencialne enačbe. To so enačbe, ki povezujejo neodvisne spremenljivke, neznano funkcijo teh spremenljivk in njene parcialne odvode glede na iste spremenljivke. Vendar bomo samo upoštevali navadne diferencialne enačbe zato bomo zaradi kratkosti izpustili besedo "navaden".

Primeri diferencialnih enačb:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

Enačba (1) je četrtega reda, enačba (2) je tretjega reda, enačbi (3) in (4) sta drugega reda, enačba (5) je prvega reda.

Diferencialna enačba n ni nujno, da eksplicitno vsebuje funkcijo, vse njene izpeljanke od prvega do n reda in neodvisna spremenljivka. Ne sme izrecno vsebovati izpeljank nekaterih vrst, funkcije, neodvisne spremenljivke.

Na primer, v enačbi (1) očitno ni derivatov tretjega in drugega reda, pa tudi funkcij; v enačbi (2) - odvod in funkcija drugega reda; v enačbi (4) - neodvisna spremenljivka; v enačbi (5) - funkcije. Samo enačba (3) eksplicitno vsebuje vse odvode, funkcijo in neodvisno spremenljivko.

Z reševanjem diferencialne enačbe se pokliče katera koli funkcija y = f(x), ki jo zamenjamo v enačbo, se spremeni v identiteto.

Postopek iskanja rešitve diferencialne enačbe se imenuje njen integracija.

Primer 1 Poiščite rešitev diferencialne enačbe.

rešitev. To enačbo zapišemo v obliki . Rešitev je iskanje funkcije po njenem odvodu. Izvirna funkcija je, kot je znano iz integralnega računa, antiderivacija za, tj.

Tako je rešitev dane diferencialne enačbe . spreminjanje v njem C, bomo dobili različne rešitve. Ugotovili smo, da obstaja neskončno število rešitev diferencialne enačbe prvega reda.

Splošna rešitev diferencialne enačbe n vrstni red je njegova rešitev, eksplicitno izražena glede na neznano funkcijo in vsebuje n neodvisne poljubne konstante, tj.

Rešitev diferencialne enačbe v primeru 1 je splošna.

Parcialna rešitev diferencialne enačbe imenuje se njegova rešitev, v kateri so določene številčne vrednosti dodeljene poljubnim konstantam.

Primer 2 Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe in posebno rešitev za .

rešitev. Oba dela enačbe integriramo tolikokrat, da je vrstni red diferencialne enačbe enak.

,

.

Kot rezultat smo dobili splošno rešitev -

dana diferencialna enačba tretjega reda.

Zdaj najdemo določeno rešitev pod določenimi pogoji. Da bi to naredili, zamenjamo njihove vrednosti namesto poljubnih koeficientov in dobimo

.

Če je poleg diferencialne enačbe začetni pogoj podan v obliki , se tak problem imenuje Cauchyjeva težava . Vrednosti in nadomestimo v splošno rešitev enačbe in najdemo vrednost poljubne konstante C, nato pa določeno rešitev enačbe za najdeno vrednost C. To je rešitev Cauchyjevega problema.

Primer 3 Rešite Cauchyjev problem za diferencialno enačbo iz primera 1 pod pogojem .

rešitev. V splošno rešitev nadomestimo vrednosti iz začetnega pogoja l = 3, x= 1. Dobimo

Zapišimo rešitev Cauchyjevega problema za dano diferencialno enačbo prvega reda:

Reševanje diferencialnih enačb, tudi najpreprostejših, zahteva dobre veščine pri integraciji in izvajanju odvodov, vključno s kompleksnimi funkcijami. To je razvidno iz naslednjega primera.

Primer 4 Poiščite splošno rešitev diferencialne enačbe.

rešitev. Enačba je zapisana v takšni obliki, da je mogoče obe strani takoj integrirati.

.

Uporabimo metodo integracije s spreminjanjem spremenljivke (substitucija). Naj torej.

Obvezno vzeti dx in zdaj - pozor - to počnemo v skladu s pravili diferenciacije kompleksne funkcije, saj x in obstaja zapletena funkcija ("jabolko" - pridobivanje kvadratnega korena ali, kar je isto - dvig na potenco "ena sekunda" in "mleto meso" - sam izraz pod korenom):

Najdemo integral:

Vrnitev k spremenljivki x, dobimo:

.

To je splošna rešitev te diferencialne enačbe prve stopnje.

Pri reševanju diferencialnih enačb ne bodo potrebna le znanja iz prejšnjih oddelkov višje matematike, temveč tudi znanja iz osnovnošolske, torej šolske matematike. Kot že omenjeno, v diferencialni enačbi katerega koli reda morda ni neodvisne spremenljivke, tj. x. Znanje o proporcih, ki ni bilo pozabljeno (pa kdo ga ima) iz šolskih klopi, bo pomagalo rešiti to težavo. To je naslednji primer.

Diferencialna enačba (DE) je enačba,
kjer so neodvisne spremenljivke, y je funkcija in so delni odvodi.

Navadna diferencialna enačba je diferencialna enačba, ki ima samo eno neodvisno spremenljivko, .

Parcialna diferencialna enačba je diferencialna enačba, ki ima dve ali več neodvisnih spremenljivk.

Besedi »navadni« in »delni odvodi« lahko izpustite, če je jasno, katero enačbo obravnavamo. V nadaljevanju so obravnavane navadne diferencialne enačbe.

Vrstni red diferencialne enačbe je vrstni red najvišjega odvoda.

Tukaj je primer enačbe prvega reda:

Tukaj je primer enačbe četrtega reda:

Včasih je diferencialna enačba prvega reda zapisana z diferenciali:

V tem primeru sta spremenljivki x in y enaki. To pomeni, da je neodvisna spremenljivka lahko x ali y. V prvem primeru je y funkcija x. V drugem primeru je x funkcija y. Če je potrebno, lahko to enačbo spravimo v obliko, v kateri izrecno vstopi odvod y′.
Če to enačbo delimo z dx, dobimo:
.
Ker in , sledi, da
.

Rešitev diferencialnih enačb

Odvodi elementarnih funkcij so izraženi z elementarnimi funkcijami. Integrali elementarnih funkcij pogosto niso izraženi z elementarnimi funkcijami. Pri diferencialnih enačbah je situacija še slabša. Kot rezultat rešitve lahko dobite:

• eksplicitna odvisnost funkcije od spremenljivke;

  Reševanje diferencialne enačbe je funkcija y = u (x), ki je definiran, je n-krat diferencibilen in .

• implicitna odvisnost v obliki enačbe tipa Φ (x, y) = 0 ali sistemi enačb;

  Integral diferencialne enačbe je rešitev diferencialne enačbe, ki ima implicitno obliko.

• odvisnost, izražena z elementarnimi funkcijami in integrali iz njih;

  Rešitev diferencialne enačbe v kvadraturah - to je iskanje rešitve v obliki kombinacije elementarnih funkcij in njihovih integralov.

• rešitev morda ni izražena v elementarnih funkcijah.

Ker je reševanje diferencialnih enačb reducirano na izračun integralov, vsebuje rešitev nabor konstant C 1 , C 2 , C 3 , ... C n . Število konstant je enako vrstnemu redu enačbe. Parcialni integral diferencialne enačbe je splošni integral za podane vrednosti konstant C 1 , C 2 , C 3 , ... , C n .

Reference:
V.V. Stepanov, Tečaj diferencialnih enačb, LKI, 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Zbirka nalog iz višje matematike, Lan, 2003.