Območje baze prizme. Površina prizme
To so najpogostejše volumetrične figure med drugimi podobnimi, ki jih najdemo v vsakdanjem življenju in naravi. Preučevanje njihovih lastnosti se ukvarja s stereometrijo ali prostorsko geometrijo. V tem članku bomo razkrili vprašanje, kako lahko najdete stransko površino pravilne trikotne prizme, pa tudi štirikotne in šesterokotne.
Kaj je prizma?
Preden izračunate stransko površino pravilne trikotne prizme in druge vrste te figure, morate razumeti, kaj so. Nato se bomo naučili določiti količine, ki nas zanimajo.
Prizma je z vidika geometrije tridimenzionalno telo, ki je omejeno z dvema poljubnima enakima mnogokotnikoma in n paralelogramov, kjer je n število stranic enega mnogokotnika. Takšno figuro je enostavno narisati, za to bi morali narisati nekakšen poligon. Nato iz vsake njegove oglišča narišite segment, ki bo enak po dolžini in vzporeden z vsemi ostalimi. Nato morate konce teh črt povezati med seboj, tako da dobite še en mnogokotnik, enak prvotnemu.
Zgoraj je razvidno, da je lik omejen z dvema peterokotnikoma (imenujemo ju spodnja in zgornja osnova lika) in petimi paralelogrami, ki ustrezajo pravokotnikom na sliki.
Vse prizme se med seboj razlikujejo po dveh glavnih parametrih:
- vrsto mnogokotnika, ki leži na dnu figure;
- koti med paralelogrami in bazami.
Število stranic pravokotnika daje prizmi ime. Od tu dobimo zgoraj omenjene trikotne, šesterokotne in štirikotne figure.
Razlikujejo se tudi po naklonu. Kar zadeva označene kote, če so enaki 90 o, se taka prizma imenuje ravna ali pravokotna (kot naklona je nič). Če nekateri od kotov niso pravi, se slika imenuje poševna. Razlika med njima je vidna že na prvi pogled. Spodnja slika prikazuje te sorte.
Kot je razvidno, višina h sovpada z dolžino njegovega stranskega roba. V primeru poševnega je ta parameter vedno manjši.
Kaj je pravilna prizma?
Ker moramo odgovoriti na vprašanje, kako najti stransko površino pravilne prizme (trikotne, štirikotne in tako naprej), moramo definirati to vrsto tridimenzionalne figure. Analizirajmo gradivo podrobneje.
Pravilna prizma je pravokotna figura, v kateri pravilni mnogokotnik tvori enake osnove. Ta številka je lahko enakostranični trikotnik, kvadrat in drugi. Vsak n-kotnik, katerega vse dolžine stranic in koti so enaki, bo pravilen.
Številne takšne prizme so shematično prikazane na spodnji sliki.
Bočna površina prizme
Kot je omenjeno na tej sliki, je ta lik sestavljen iz n + 2 ravnin, ki, sekajoč, tvorijo n + 2 ploskvi. Dve od njih pripadata bazam, ostale tvorijo paralelogrami. Površina celotne površine je sestavljena iz vsote površin navedenih ploskev. Če ne vključuje vrednosti dveh baz, potem dobimo odgovor na vprašanje, kako najti stransko površino prizme. Torej je mogoče določiti njegov pomen in razloge ločeno drug od drugega.
Sledi podana stranska ploskev, ki jo tvorijo trije štirikotniki.
Razmislimo o postopku izračunov naprej. Očitno je površina stranske površine prizme enaka vsoti n površin ustreznih paralelogramov. Tu je n število strani mnogokotnika, ki tvori osnovo figure. Območje vsakega paralelograma lahko najdete tako, da pomnožite dolžino njegove strani z višino, spuščeno nanjo. To velja za splošni primer.
Če je prizma, ki jo preučujemo, ravna, potem je postopek za določanje površine njene stranske površine S b močno olajšan, saj je taka površina sestavljena iz pravokotnikov. V tem primeru lahko uporabite naslednjo formulo:
Kjer je h višina figure, P o obseg njene osnove
Pravilna prizma in njena stranska površina
Formula, podana v zgornjem odstavku, ima v primeru takšne figure zelo specifično obliko. Ker je obseg n-kotnika enak zmnožku števila njegovih stranic in dolžine ene, dobimo naslednjo formulo:
Kjer je a stranska dolžina ustreznega n-kotnika.
Bočna površina je štirikotna in šesterokotna
Uporabimo zgornjo formulo za določitev zahtevanih vrednosti za označene tri vrste oblik. Izračuni bodo videti takole.
Za trikotno formulo bo imela obliko:
Na primer, stranica trikotnika je 10 cm, višina figure pa 7 cm, potem:
S 3 b \u003d 3 * 10 * 7 \u003d 210 cm 2
V primeru štirikotne prizme ima želeni izraz obliko:
Če vzamemo enake vrednosti dolžine kot v prejšnjem primeru, dobimo:
S 4 b \u003d 4 * 10 * 7 \u003d 280 cm 2
Bočna površina šesterokotne prizme se izračuna po formuli:
Če zamenjamo iste številke kot v prejšnjih primerih, imamo:
S 6 b \u003d 6 * 10 * 7 \u003d 420 cm 2
Upoštevajte, da je v primeru pravilne prizme katere koli vrste njena stranska površina sestavljena iz enakih pravokotnikov. V zgornjih primerih je bila površina vsakega od njih a*h = 70 cm 2.
Izračun za poševno prizmo
Določanje vrednosti bočne površine za določeno figuro je nekoliko težje kot za pravokotno. Kljub temu ostaja zgornja formula enaka, le namesto oboda podnožja je treba vzeti obseg pravokotnega reza, namesto višine pa dolžino stranskega roba.
Zgornja slika prikazuje štirikotno poševno prizmo. Osenčen paralelogram je pravokotni rez, katerega obseg P sr je treba izračunati. Dolžina stranskega roba na sliki je označena s črko C. Nato dobimo formulo:
Obseg reza je mogoče najti, če so znani koti paralelogramov, ki tvorijo stransko površino.
Video tečaj "Get an A" vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljanje izpita iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profila USE v matematiki. Primeren tudi za opravljanje osnovne USE iz matematike. Če želite opraviti izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!
Pripravljalni tečaj za izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela izpita iz matematike (prvih 12 nalog) in naloge 13 (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na enotnem državnem izpitu in brez njih ne more niti študent s sto točkami niti humanist.
Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti izpita. Analizirane so vse relevantne naloge 1. dela iz nalog Banke FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam USE-2018.
Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.
Na stotine izpitnih nalog. Besedilni problemi in teorija verjetnosti. Preprosti algoritmi za reševanje problemov, ki si jih je lahko zapomniti. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog USE. Stereometrija. Zvit triki za reševanje, koristne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija iz nič - do naloge 13. Razumevanje namesto nabijanja. Vizualna razlaga kompleksnih pojmov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih nalog 2. dela izpita.
Opredelitev. Prizma- to je polieder, katerega vsa oglišča se nahajajo v dveh vzporednih ravninah, v istih dveh ravninah pa sta dve ploskvi prizme, ki sta enaka poligona z vsakokrat vzporednimi stranicami, in vsi robovi, ki ne ležijo v teh ravnini sta vzporedni.
Dva enaka obraza se imenujeta baze prizme(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).
Vse druge ploskve prizme imenujemo stranski obrazi(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).
Oblikujejo se vse stranske ploskve stransko površino prizme .
Vse stranske ploskve prizme so paralelogrami .
Robovi, ki ne ležijo na osnovi, se imenujejo stranski robovi prizme ( AA 1, B.B. 1, CC 1, DD 1, EE 1).
Diagonala prizme se imenuje segment, katerega konca sta dve točki prizme, ki ne ležita na eni od njenih ploskev (AD 1).
Dolžina odseka, ki povezuje osnovici prizme in je pravokotna na obe osnovi hkrati, se imenuje višina prizme .
Oznaka:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Najprej so v vrstnem redu obhoda označena oglišča ene baze, nato pa v istem vrstnem redu oglišča druge; konci vsakega stranskega roba so označeni z enakimi črkami, le oglišča, ki ležijo v ena osnova je označena s črkami brez indeksa, v drugi pa z indeksom)
Ime prizme je povezano s številom kotov v sliki, ki leži na njenem dnu, na primer na sliki 1 je osnova peterokotnik, zato se prizma imenuje peterokotna prizma. Toda odkar ima taka prizma 7 ploskev, potem jo heptaeder(2 ploskvi sta osnovici prizme, 5 ploskev je paralelogramov, so njene stranske ploskve)
Med ravnimi prizmami izstopa posebna vrsta: navadne prizme.
Ravna prizma se imenuje pravilno,če so njegove osnove pravilni mnogokotniki.
Paralelepiped
Paralelepiped- To je štirikotna prizma, na dnu katere leži paralelogram (poševni paralelopiped). Pravi paralelopiped- paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na ravnine osnove.kvader- pravi paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik.
Lastnosti in izreki:
Nekatere lastnosti paralelopipeda so podobne dobro znanim lastnostim paralelograma.Pravokotni paralelepiped, ki ima enake mere, se imenuje kocka
.Kocka ima vse ploskve enake kvadrate.Kvadrat diagonale je enak vsoti kvadratov njenih treh dimenzij. 
,
kjer je d diagonala kvadrata;
a - stranica kvadrata.
Zamisel o prizmi daje:
- različne arhitekturne strukture;
- Otroške igrače;
- pakirne škatle;
- dizajnerski predmeti itd.
Skupna in stranska površina prizme
Skupna površina prizme je vsota ploščin vseh njegovih ploskev Bočna površina se imenuje vsota površin njegovih stranskih ploskev. osnovici prizme sta enaka mnogokotnika, potem sta njuni ploščini enaki. ZatoS polno \u003d S stran + 2S glavno,
kje S poln- skupna površina, S stran- stranska površina, S glavno- osnovna površina
Ploščina stranske ploskve ravne prizme je enaka zmnožku obsega osnove in višine prizme.
S stran\u003d P glavni * h,
kje S stran je območje stranske površine ravne prizme,
P glavni - obod osnove ravne prizme,
h je višina ravne prizme, enaka stranskemu robu.
Prostornina prizme
Prostornina prizme je enaka zmnožku ploščine osnove in višine.
V šolskem kurikulumu za tečaj trdne geometrije se preučevanje tridimenzionalnih figur običajno začne s preprostim geometrijskim telesom - poliedrom prizme. Vlogo njegovih baz opravljata 2 enaka poligona, ki ležita v vzporednih ravninah. Poseben primer je pravilna štirikotna prizma. Njegovi osnovi sta 2 enaka pravilna štirikotnika, na katere so stranice pravokotne in imajo obliko paralelogramov (ali pravokotnikov, če prizma ni nagnjena).
Kako izgleda prizma
Pravilna štirikotna prizma je šesterokotnik, na osnovi katerega sta 2 kvadrata, stranske ploskve pa so predstavljene s pravokotniki. Drugo ime za to geometrijsko figuro je ravni paralelopiped.
Slika, ki prikazuje štirikotno prizmo, je prikazana spodaj.
Vidite tudi na sliki najpomembnejši elementi, ki sestavljajo geometrijsko telo. Običajno jih imenujemo:
Včasih lahko v problemih v geometriji najdete koncept odseka. Definicija bo zvenela takole: odsek so vse točke volumetričnega telesa, ki pripadajo rezalni ravnini. Prerez je pravokoten (prečka robove figure pod kotom 90 stopinj). Pri pravokotni prizmi se upošteva tudi diagonalni odsek (največje število odsekov, ki jih je mogoče zgraditi je 2), ki poteka skozi 2 robova in diagonali baze.
Če je prerez narisan tako, da sekalna ravnina ni vzporedna ne z osnovami ne s stranskimi ploskvami, je rezultat prisekana prizma.
Za iskanje reduciranih prizmatičnih elementov se uporabljajo različna razmerja in formule. Nekateri od njih so znani iz tečaja planimetrije (na primer, če želite najti površino osnove prizme, je dovolj, da se spomnite formule za površino kvadrata).
Površina in prostornina
Če želite določiti prostornino prizme s formulo, morate poznati površino njene osnove in višine:
V = Sprim h
Ker je osnova pravilne tetraedrske prizme kvadrat s stranico a, Formulo lahko zapišete v podrobnejši obliki:
V = a² h
Če govorimo o kocki - pravilni prizmi z enako dolžino, širino in višino, se prostornina izračuna na naslednji način:
Da bi razumeli, kako najti stransko površino prizme, si morate predstavljati njen premik.
Iz risbe je razvidno, da je stranska ploskev sestavljena iz 4 enakih pravokotnikov. Njegova površina se izračuna kot zmnožek obsega osnove in višine figure:
Sstran = Pos h
Ker je obseg kvadrata P = 4a formula ima obliko:
Sstran = 4a h
Za kocko:
S stran = 4a²
Če želite izračunati skupno površino prizme, dodajte 2 osnovni površini stranski površini:
Polna = Sstran + 2Sosnova
V uporabi za štirikotno pravilno prizmo ima formula obliko:
Polno = 4a h + 2a²
Za površino kocke:
Polno = 6a²
Če poznate prostornino ali površino, lahko izračunate posamezne elemente geometrijskega telesa.
Iskanje elementov prizme
Pogosto se pojavljajo problemi, pri katerih je prostornina podana ali je znana vrednost bočne površine, kjer je treba določiti dolžino stranice podnožja ali višino. V takih primerih je mogoče izpeljati formule:
- dolžina osnovne stranice: a = S stran / 4h = √(V / h);
- višina ali dolžina stranskega rebra: h = S stran / 4a = V / a²;
- osnovna površina: Sprim = V / h;
- stransko območje obraza: Stran gr = Sstran / 4.
Če želite določiti, koliko površine ima diagonalni odsek, morate poznati dolžino diagonale in višino figure. Za kvadrat d = a√2. Zato:
Sdiag = ah√2
Za izračun diagonale prizme se uporablja formula:
dnagrada = √(2a² + h²)
Če želite razumeti, kako uporabiti zgornja razmerja, lahko vadite in rešite nekaj preprostih nalog.
Primeri problemov z rešitvami
Tukaj je nekaj nalog, ki se pojavljajo na državnem zaključnem izpitu pri matematiki.
1. vaja
Pesek nasujemo v škatlo, ki ima obliko pravilne štirikotne prizme. Višina njegove ravni je 10 cm. Kakšna bo gladina peska, če ga premaknete v posodo enake oblike, vendar z 2-krat daljšo dolžino osnove?
Trditi je treba na naslednji način. Količina peska v prvi in drugi posodi se ni spremenila, to pomeni, da je njegova prostornina v njih enaka. Dolžino baze lahko določite kot a. V tem primeru bo za prvo škatlo prostornina snovi:
V₁ = ha² = 10a²
Za drugo škatlo je dolžina osnove 2a, vendar višina gladine peska ni znana:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Zaradi V₁ = V₂, lahko izraze enačimo:
10a² = 4ha²
Po zmanjšanju obeh strani enačbe za a² dobimo:
Posledično bo nova raven peska h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Naloga 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Znano je, da je BD = AB₁ = 6√2. Poiščite skupno površino telesa.
Da bi lažje razumeli, kateri elementi so znani, lahko narišete sliko.
Ker govorimo o pravilni prizmi, lahko sklepamo, da je osnova kvadrat z diagonalo 6√2. Diagonala stranske ploskve ima enako vrednost, zato ima tudi stranska ploskev obliko kvadrata, ki je enaka osnovi. Izkazalo se je, da so vse tri dimenzije - dolžina, širina in višina - enake. Sklepamo lahko, da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.
Dolžina katerega koli roba je določena z znano diagonalo:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Celotno površino dobimo s formulo za kocko:
Polno = 6a² = 6 6² = 216
Naloga 3.
Sobo prenavljajo. Znano je, da ima njegova tla obliko kvadrata s površino 9 m². Višina sobe je 2,5 m. Kakšna je najnižja cena tapetiranja sobe, če 1 m² stane 50 rubljev?
Ker sta tla in strop kvadrata, torej pravilna štirikotnika, stene pa so pravokotne na vodoravne površine, lahko sklepamo, da gre za pravilno prizmo. Treba je določiti površino njegove stranske površine.
Dolžina sobe je a = √9 = 3 m.
Trg bo prelepljen s tapetami Sstran = 4 3 2,5 = 30 m².
Najnižji stroški ozadja za to sobo bodo 50 30 = 1500 rubljev.
Tako je za reševanje problemov za pravokotno prizmo dovolj, da znamo izračunati površino in obseg kvadrata in pravokotnika, pa tudi poznati formule za iskanje prostornine in površine.
Kako najti območje kocke
Različne prizme se med seboj razlikujejo. Hkrati imata veliko skupnega. Če želite najti površino dna prizme, morate ugotoviti, kakšna je.
Splošna teorija
Prizma je vsak polieder, katerega stranica ima obliko paralelograma. Poleg tega je lahko kateri koli polieder na njegovi osnovi - od trikotnika do n-kotnika. Poleg tega sta osnovici prizme med seboj vedno enaki. Kaj ne velja za stranske ploskve - lahko se zelo razlikujejo po velikosti.
Pri reševanju problemov se ne srečuje le z območjem baze prizme. Morda bo treba poznati stransko površino, torej vse ploskve, ki niso baze. Celotna površina bo že skupek vseh ploskev, ki sestavljajo prizmo.
Včasih se v nalogah pojavijo višine. Je pravokotna na baze. Diagonala poliedra je odsek, ki v paru povezuje poljubni dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi.
Upoštevati je treba, da površina osnove ravne ali nagnjene prizme ni odvisna od kota med njimi in stranskimi ploskvami. Če imata enake figure na zgornji in spodnji ploskvi, bosta njuni površini enaki.
trikotna prizma
Na dnu ima lik s tremi oglišči, to je trikotnik. Pozna se drugače. Če je potem dovolj, da se spomnimo, da je njegova površina določena s polovico produkta nog.
Matematični zapis izgleda takole: S = ½ av.
Da bi ugotovili površino podlage v splošni obliki, so uporabne formule: Heron in tista, pri kateri je polovica stranice vzeta na višino, ki je narisana nanjo.
Prvo formulo je treba zapisati tako: S \u003d √ (p (r-a) (r-in) (r-c)). Ta vnos vsebuje polobod (p), to je vsoto treh strani, deljeno z dva.
Drugič: S = ½ n a * a.
Če želite vedeti površino osnove trikotne prizme, ki je pravilna, potem se izkaže, da je trikotnik enakostranični. Ima svojo formulo: S = ¼ a 2 * √3.
štirikotna prizma
Njegova osnova je kateri koli od znanih štirikotnikov. Lahko je pravokotnik ali kvadrat, paralelopiped ali romb. V vsakem primeru boste za izračun površine osnove prizme potrebovali svojo formulo.
Če je osnova pravokotnik, se njegova ploščina določi na naslednji način: S = av, kjer sta a, b stranice pravokotnika.
Ko gre za štirikotno prizmo, se osnovna površina pravilne prizme izračuna po formuli za kvadrat. Ker je on tisti, ki leži na dnu. S \u003d a 2.
V primeru, da je osnova paralelepiped, bo potrebna naslednja enakost: S \u003d a * n a. Zgodi se, da sta podana stranica paralelepipeda in eden od kotov. Nato boste za izračun višine morali uporabiti dodatno formulo: na \u003d b * sin A. Poleg tega kot A meji na stran "b", višina pa je na nasproti temu kotu.
Če romb leži na dnu prizme, bo za določitev njegove ploščine potrebna enaka formula kot za paralelogram (ker je njegov poseben primer). Lahko pa uporabite tudi tega: S = ½ d 1 d 2. Tukaj sta d 1 in d 2 dve diagonali romba.
Pravilna peterokotna prizma
V tem primeru gre za razdelitev mnogokotnika na trikotnike, katerih območja je lažje ugotoviti. Čeprav se zgodi, da so lahko figure z različnim številom vrhov.
Ker je osnova prizme pravilen peterokotnik, jo lahko razdelimo na pet enakostraničnih trikotnikov. Potem je površina osnove prizme enaka površini enega takega trikotnika (formulo lahko vidite zgoraj), pomnoženo s pet.
Pravilna šesterokotna prizma
Po principu, opisanem za peterokotno prizmo, je možno osnovni šestkotnik razdeliti na 6 enakostraničnih trikotnikov. Formula za površino baze takšne prizme je podobna prejšnji. Samo v njem je treba pomnožiti s šest.
Formula bo videti takole: S = 3/2 in 2 * √3.
Naloge
1. Podana je pravilna ravna črta. Njena diagonala je 22 cm, višina poliedra je 14 cm. Izračunajte površino osnove prizme in celotno površino.
Rešitev. Osnova prizme je kvadrat, vendar njena stranica ni znana. Njegovo vrednost lahko ugotovite iz diagonale kvadrata (x), ki je povezana z diagonalo prizme (d) in njeno višino (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. Po drugi strani pa je ta segment "x" hipotenuza v trikotniku, katerega noge so enake strani kvadrata. To je x 2 \u003d a 2 + a 2. Tako se izkaže, da je a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Nadomestite številko 22 namesto d in zamenjajte "n" z njegovo vrednostjo - 14, se izkaže, da je stranica kvadrata 12 cm, zdaj pa je enostavno ugotoviti osnovno površino: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Če želite izvedeti površino celotne površine, morate dodati dvakratno vrednost osnovne površine in štirikrat povečati stran. Slednje je enostavno najti s formulo za pravokotnik: pomnožite višino poliedra in stranico osnove. To je 14 in 12, to število bo enako 168 cm 2. Ugotovljeno je, da je skupna površina prizme 960 cm 2.
Odgovori. Osnovna površina prizme je 144 cm2. Celotna površina - 960 cm 2 .
2. Dana Na dnu leži trikotnik s stranico 6 cm, v tem primeru je diagonala stranske ploskve 10 cm, izračunaj ploskvi: osnove in stranske ploskve.
Rešitev. Ker je prizma pravilna, je njena osnova enakostranični trikotnik. Zato se izkaže, da je njegova ploščina enaka 6 na kvadrat krat ¼ in kvadratni koren iz 3. Preprost izračun vodi do rezultata: 9√3 cm 2. To je površina ene baze prizme.
Vse stranske ploskve so enake in so pravokotniki s stranicami 6 in 10 cm, za izračun njihovih površin pa je dovolj, da te številke pomnožimo. Nato jih pomnožimo s tri, saj ima prizma točno toliko stranskih ploskev. Nato je površina stranske površine navita 180 cm 2.
Odgovori. Območja: osnova - 9√3 cm 2, stranska površina prizme - 180 cm 2.