Reševanje sistemov linearnih enačb po Gaussovi metodi. Gaussova metoda za lutke: enostavno reševanje blata

doma

Nevihtna kanalizacija

Poglejmo natančne metode za reševanje sistema; tukaj je matrika dimenzij

Metoda za reševanje problema je razvrščena kot eksaktna, če ob predpostavki, da ni zaokrožitev, po končnem številu aritmetičnih in logičnih operacij poda natančno rešitev problema. Če je število neničel elementov matrike sistema reda , potem je za večino trenutno uporabljenih natančnih metod za reševanje takšnih sistemov zahtevano število operacij reda . Zato je za uporabnost natančnih metod nujno, da je tak vrstni red števila operacij sprejemljiv za dani računalnik; druge omejitve nalagata obseg in struktura računalniškega pomnilnika.

Klavzula o "trenutno uporabljenih metodah" ima naslednji pomen. Obstajajo metode za reševanje takšnih sistemov z manjšim številom operacij, ki pa se zaradi močne občutljivosti rezultata na računsko napako ne uporabljajo aktivno.

Najbolj znana od natančnih metod za reševanje sistemov linearnih enačb je metoda Gaussove eliminacije. Poglejmo si eno od možnih izvedb. Ob predpostavki, da je prva enačba sistema

delimo s koeficientom , kot rezultat dobimo enačbo

Nato se od vsake od preostalih enačb odšteje prva enačba, pomnožena z ustreznim koeficientom. Posledično se te enačbe pretvorijo v obliko

Izkazalo se je, da je prva neznanka izključena iz vseh enačb razen prve. Nadalje, pod predpostavko, da drugo enačbo delimo s koeficientom in izključimo neznano iz vseh enačb, začenši z drugo, itd. Kot rezultat zaporednega odpravljanja neznank se sistem enačb pretvori v sistem enačb s trikotno matriko

Nabor izvedenih izračunov, med katerimi je bil prvotni problem preoblikovan v obliko (2), imenujemo neposredni potek Gaussove metode.

Iz enačbe sistema (2) določimo , od , itd do . Celota takih izračunov se imenuje obratni potek Gaussove metode.

Preprosto je preveriti, ali izvedba premika naprej po Gaussovi metodi zahteva aritmetične operacije, obratna vožnja pa aritmetične operacije.

Izjema se pojavi kot posledica naslednjih operacij: 1) deljenje enačbe s , 2) odštevanje enačbe, dobljene po takšni delitvi, pomnožene s , od enačb s številkami k. Prva operacija je enakovredna množenju sistema enačb na levi z diagonalno matriko

druga operacija je enakovredna množenju na levi strani z matriko

Tako lahko sistem (2), ki ga dobimo kot rezultat teh transformacij, zapišemo kot

Produkt levih (desnih) trikotnih matrik je leva (desna) trikotna matrika, zato je C leva trikotna matrika. Iz formule za elemente inverzne matrike

sledi, da je matrika, inverzna levemu (desnemu) trikotnemu, leva (desna) trikotna. Zato je matrika leva trikotna.

Uvedemo notacijo. Po konstrukciji sta vse in matrica D pravo trikotna. Od tu dobimo predstavitev matrike A kot produkt leve in desne trikotne matrike:

Enakost skupaj s pogojem tvori sistem enačb glede na elemente trikotnih matrik B in : . Ker za in za , lahko ta sistem zapišemo kot

(3)

ali, kar je enako,

Z uporabo pogoja, da vse dobimo sistem ponavljajočih se relacij za določanje elementov in :

Izračuni se izvajajo zaporedno za sklope. Tu in spodaj, v primeru, ko je zgornja meja seštevanja manjša od spodnje, se domneva, da je celotna vsota enaka nič.

Tako lahko namesto zaporednih transformacij sistema (1) v obliko (2) neposredno izračunamo matrike B in uporabimo formule (4). Te izračune je mogoče izvesti le, če so vsi elementi različni od nič. Naj so matrike glavnih minorov reda matrik A, B, D. Glede na (3) . Ker potem. zato

Torej, za izvedbo izračunov po formulah (4), je potrebno in zadostno izpolniti pogoje

V nekaterih primerih je vnaprej znano, da je pogoj (5) izpolnjen. Številni problemi matematične fizike so na primer reducirani na reševanje sistemov s pozitivno določeno matriko A. Vendar v splošnem primeru tega ni mogoče vnaprej reči. Možen je tudi tak primer: vse, a med količinami so zelo majhne, in ko jih delimo, dobimo velika števila z velikimi absolutnimi napakami. Posledično bo rešitev močno izkrivljena.

Označimo. Ker in , Potem veljajo enakosti. Tako se po razgradnji matrike izvirnega sistema na produkt leve in desne trikotne matrike rešitev izvirnega sistema reducira na zaporedno rešitev dveh sistemov s trikotnimi matrikami; to bi zahtevalo aritmetične operacije.

Pogosto je priročno združiti zaporedje operacij za razgradnjo matrike A v produkt trikotnih matrik in za določanje vektorja d. Enačbe

sisteme lahko zapišemo kot

Zato je mogoče vrednosti izračunati hkrati s preostalimi vrednostmi po formulah (4).

Pri reševanju praktičnih problemov je pogosto potrebno rešiti sisteme enačb z matriko, ki vsebuje veliko število elementov nič.

Običajno imajo te matrike tako imenovano pasovno strukturo. Natančneje, matrika A se imenuje -diagonalna ali ima pasovno strukturo, če je pri . Številka se imenuje širina traku. Izkazalo se je, da se pri reševanju sistema enačb s tračno matriko po Gaussovi metodi lahko znatno zmanjša število aritmetičnih operacij in zahtevana količina računalniškega pomnilnika.

Naloga 1. Raziščite značilnosti Gaussove metode in metode reševanja sistema z uporabo razgradnje pasovne matrike A v produkt leve in desne trikotne matrike. Pokažite, da so za iskanje rešitve potrebne aritmetične operacije (za ). Poišči vodilnega člana števila operacij pod pogojem.

Naloga 2. Ocenite količino naloženega računalniškega pomnilnika po Gaussovi metodi za pasovne matrike.

Pri izračunu brez pomoči računalnika je verjetnost naključnih napak velika. Za odpravo takšnih napak se včasih uvede krmilni sistem, sestavljen iz kontrolnih elementov enačb sistema

Pri preoblikovanju enačb se na krmilnih elementih izvajajo enake operacije kot na prostih členih enačb. Posledično mora biti kontrolni element vsake nove enačbe enak vsoti koeficientov te enačbe. Veliko neskladje med njima kaže na napake pri izračunih oziroma na nestabilnost računskega algoritma glede na računsko napako.

Na primer, v primeru, da sistem enačb privedemo v obliko z uporabo formul (4), se kontrolni element vsake enačbe sistema izračuna po istih formulah (4). Po izračunu vseh elementov se pri fiksni kontroli izvede preverjanje enakosti

Obratni potek Gaussove metode spremlja tudi izračun krmilnih elementov sistemskih vrstic.

Da bi se izognili katastrofalnemu vplivu računske napake, se pri izbiri glavnega elementa uporablja Gaussova metoda.

Njena razlika od zgoraj opisane sheme Gaussove metode je naslednja. Naj med odpravljanjem neznank sistem enačb

Najdemo tako, da in ponovno označimo in ; potem bomo izločili neznano iz vseh enačb, začenši z . Takšna preoblikovanje vodi v spremembo vrstnega reda odpravljanja neznank in v mnogih primerih bistveno zmanjša občutljivost rešitve na napake zaokroževanja v izračunih.

Pogosto je potrebno rešiti več sistemov enačb z isto matriko A. Primerno je nadaljevati takole: z uvedbo zapisa

Izvedemo izračune po formulah (4) in izračunamo elemente pri . Kot rezultat bodo dobljeni p sistemi enačb s trikotno matriko, ki ustrezajo izvirnemu problemu

Te sisteme rešujemo vsakega posebej. Izkazalo se je, da je skupno število aritmetičnih operacij pri reševanju p sistemov enačb na ta način .

Zgoraj opisana tehnika se včasih uporablja za pridobitev presoje o napaki rešitve, ki je posledica napak pri zaokroževanju v izračunih, brez večjih dodatnih stroškov. Podane so z vektorjem z s komponentami, ki imajo po možnosti enak vrstni red in predznak kot komponente želene rešitve; pogosto zaradi pomanjkanja zadostnih informacij, ki jih jemljejo. Vektor se izračuna in skupaj z izvirnim sistemom enačb reši sistem.

Naj sta in z dejansko dobljeni rešitvi teh sistemov. Sodbo o napaki želene rešitve lahko dobimo na podlagi hipoteze: relativne napake pri reševanju po metodi izločanja sistemov z isto matriko in različnimi desnimi stranmi, ki so vrednosti in , se razlikujejo ne zelo velikokrat.

Druga metoda za pridobitev sodbe o realni vrednosti napake, ki nastane zaradi zaokroževanja pri izračunih, je sprememba lestvice, ki spremeni sliko kopičenja računske napake.

Poleg prvotnega sistema se sistem rešuje na enak način

Za in , ki nista celi potenci dvojke, primerjava vektorjev in daje predstavo o velikosti računske napake. Na primer, lahko vzamete.

Preučevanje številnih problemov vodi do potrebe po reševanju sistemov linearnih enačb s simetrično pozitivno določeno matriko. Takšni sistemi nastanejo na primer pri reševanju diferencialnih enačb z metodo končnih elementov ali z metodami končnih razlik. V teh primerih ima matrica sistema tudi pasovno strukturo.

Za reševanje takih sistemov, pa tudi sistemov enačb splošnejše oblike s hermitsko, ne nujno pozitivno določeno matriko, se uporablja metoda kvadratnega korena (metoda Choleskyja). Matrica A je predstavljena kot

kjer je S desna trikotna matrika, je njen konjugat, tj.

pri čemer je vse diagonalna matrika z elementi, ki so enaki ali -1. Matrična enakost (6) tvori sistem enačb

Podobne enačbe za se zavržejo, saj so enačbe, ki ustrezajo parom in, enakovredne. Od tu dobimo ponavljajoče se formule za določanje elementov in:

Matrica S je desno trikotna, zato se po pridobitvi predstavitve (6) tudi rešitev prvotnega sistema reducira na Sekvenčno rešitev dveh sistemov s trikotnimi matrikami. Upoštevajte, da v primeru vseh in .

Naloga 3. Ocenite število aritmetičnih operacij in obremenitev računalniškega pomnilnika (ob predpostavki, da se količina pomnilnika, potrebnega za shranjevanje matrike A, zmanjša) pri reševanju sistema z realno pozitivno določeno matriko A po metodi kvadratnega korena.

Številni programski paketi za reševanje mejnih problemov matematične fizike po metodi končnih elementov so organizirani po naslednji shemi. Ko se matrika sistema A oblikuje s permutiranjem vrstic in stolpcev (vrstice in stolpci so istočasno permutirani), se sistem pretvori v obliko z najmanjšo širino traku. Nato se uporabi metoda kvadratnega korena. V tem primeru, da bi zmanjšali količino izračunov pri reševanju sistema z drugimi desnimi stranmi, se matrika S zapomni.

V tem članku je metoda obravnavana kot način reševanja sistemov linearnih enačb (SLAE). Metoda je analitična, to pomeni, da vam omogoča, da napišete splošen algoritem rešitve in nato tam nadomestite vrednosti iz posebnih primerov. Za razliko od matrične metode ali Cramerjevih formul lahko pri reševanju sistema linearnih enačb po Gaussovi metodi delate tudi s tistimi, ki imajo neskončno veliko rešitev. Ali pa ga sploh nimajo.

Kaj pomeni beseda Gauss?

Najprej morate zapisati naš sistem enačb v To izgleda takole. Sistem se vzame:

Koeficienti so zapisani v obliki tabele, na desni strani pa v ločenem stolpcu - prosti člani. Stolpec s prostimi člani je zaradi udobja ločen.Matrika, ki vključuje ta stolpec, se imenuje razširjena.

Nadalje je treba glavno matriko s koeficienti zmanjšati na zgornjo trikotno obliko. To je glavna točka reševanja sistema po Gaussovi metodi. Preprosto povedano, po določenih manipulacijah bi morala matrica izgledati takole, tako da so v njenem spodnjem levem delu samo ničle:

Potem, če novo matriko znova zapišete kot sistem enačb, boste opazili, da zadnja vrstica že vsebuje vrednost enega od korenov, ki se nato nadomesti v zgornjo enačbo, najde se drug koren itd.

To je opis rešitve po Gaussovi metodi v najbolj splošnem smislu. In kaj se zgodi, če sistem nenadoma nima rešitve? Ali pa jih je neskončno število? Za odgovor na ta in mnoga druga vprašanja je treba ločeno obravnavati vse elemente, uporabljene v rešitvi po Gaussovi metodi.

Matrice, njihove lastnosti

V matrici ni skritega pomena. To je le priročen način za beleženje podatkov za kasnejše operacije. Tudi šolarji se jih ne bi smeli bati.

Matrica je vedno pravokotna, ker je bolj priročna. Tudi pri Gaussovi metodi, kjer se vse vrti v gradnjo trikotne matrike, se v vnosu pojavi pravokotnik, le z ničlami na mestu, kjer ni številk. Ničele je mogoče izpustiti, vendar so implicitne.

Matrica ima velikost. Njegova "širina" je število vrstic (m), njegova "dolžina" je število stolpcev (n). Potem bo velikost matrike A (za njihovo označevanje se običajno uporabljajo velike latinske črke) označena kot A m×n . Če je m=n, potem je ta matrika kvadratna, m=n pa njen vrstni red. V skladu s tem lahko kateri koli element matrike A označimo s številko njegove vrstice in stolpca: a xy ; x - številka vrstice, spremembe , y - številka stolpca, spremembe .

B ni glavna točka rešitve. Načeloma je mogoče vse operacije izvajati neposredno s samimi enačbami, vendar se bo zapis izkazal za veliko bolj okoren in se bo v njem veliko lažje zmedlo.

Odločilno

Matrica ima tudi determinanto. To je zelo pomembna lastnost. Ugotoviti njegov pomen zdaj ni vredno, lahko preprosto pokažete, kako se izračuna, in nato poveste, katere lastnosti matrike določa. Najlažji način za iskanje determinante je preko diagonal. V matrici so narisane namišljene diagonale; elementi, ki se nahajajo na vsakem od njih, se pomnožijo, nato pa se dodajo nastali produkti: diagonale z naklonom v desno - z znakom "plus", z naklonom v levo - z znakom "minus".

Zelo pomembno je omeniti, da je determinanto mogoče izračunati samo za kvadratno matriko. Za pravokotno matriko lahko naredite naslednje: izberete najmanjše število vrstic in število stolpcev (naj bo k), nato pa naključno označite k stolpcev in k vrstic v matriki. Elementi, ki se nahajajo na presečišču izbranih stolpcev in vrstic, bodo tvorili novo kvadratno matriko. Če je determinanta takšne matrike število, ki ni nič, se imenuje bazni minor prvotne pravokotne matrike.

Preden nadaljujemo z reševanjem sistema enačb po Gaussovi metodi, ne škodi izračunati determinante. Če se izkaže, da je nič, potem lahko takoj rečemo, da ima matrika bodisi neskončno število rešitev ali pa jih sploh ni. V tako žalostnem primeru morate iti dlje in se pozanimati o rangu matrike.

Sistemska klasifikacija

Obstaja taka stvar, kot je rang matrike. To je največji vrstni red njene determinante, ki ni nič (če se spomnimo osnovnega minora, lahko rečemo, da je rang matrike vrstni red osnovnega minora).

Glede na to, kako je z rangom, lahko SLAE razdelimo na:

Sklep. Pri skupnih sistemov rang glavne matrike (sestavljene samo iz koeficientov) sovpada z rangom razširjene (s stolpcem prostih členov). Takšni sistemi imajo rešitev, ki pa ni nujno rešitev, zato se sklepni sistemi dodatno delijo na:
- gotovo- imeti edinstveno rešitev. V določenih sistemih sta rang matrike in število neznank (ali število stolpcev, kar je isto) enaka;
- nedoločen - z neskončnim številom rešitev. Uvrstitev matrik za takšne sisteme je manjša od števila neznank.
Nezdružljivo. Pri takih sistemov se uvrstitve glavne in razširjene matrike ne ujemajo. Nezdružljivi sistemi nimajo rešitve.

Gaussova metoda je dobra, ker omogoča, da dobimo bodisi nedvoumen dokaz o neskladnosti sistema (brez izračunavanja determinant velikih matrik) bodisi splošno rešitev za sistem z neskončnim številom rešitev.

Elementarne transformacije

Preden nadaljujete neposredno z rešitvijo sistema, ga je mogoče narediti manj okornega in bolj priročnega za izračune. To dosežemo z elementarnimi transformacijami – tako, da njihova izvedba nikakor ne spremeni končnega odgovora. Opozoriti je treba, da nekatere od zgornjih elementarnih transformacij veljajo le za matrike, katerih vir je bil prav SLAE. Tukaj je seznam teh transformacij:

Permutacija nizov. Očitno je, da če spremenimo vrstni red enačb v sistemskem zapisu, potem to nikakor ne bo vplivalo na rešitev. Posledično je možno tudi zamenjati vrstice v matriki tega sistema, pri čemer seveda ne pozabimo na stolpec prostih članov.
Množenje vseh elementov niza z nekim faktorjem. Zelo uporabno! Z njim lahko zmanjšate velika števila v matriki ali odstranite ničle. Nabor rešitev se kot običajno ne bo spremenil in postalo bo bolj priročno izvajati nadaljnje operacije. Glavna stvar je, da koeficient ni enak nič.
Izbrišite vrstice s proporcionalnimi koeficienti. To deloma izhaja iz prejšnjega odstavka. Če imata dve ali več vrstic v matriki sorazmerne koeficiente, potem pri množenju / deljenju ene od vrstic s koeficientom sorazmernosti dobimo dve (ali spet več) popolnoma enaki vrstici, odvečne pa lahko odstranite in pustite le eno.
Odstranitev ničelne vrstice. Če med transformacijami nekje dobimo niz, v katerem so vsi elementi, vključno s prostim članom, nič, potem lahko tak niz imenujemo nič in ga vržemo iz matrike.
Elementom ene vrstice dodamo elemente druge (v ustreznih stolpcih), pomnožene z določenim koeficientom. Najbolj nejasna in najpomembnejša transformacija od vseh. O tem se je vredno podrobneje posvetiti.

Dodajanje niza, pomnoženega s faktorjem

Za lažje razumevanje je vredno razstaviti ta postopek korak za korakom. Dve vrstici sta vzeti iz matrike:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Recimo, da morate prvo dodati drugemu, pomnoženo s koeficientom "-2".

a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11

a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12

a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n

Nato se v matriki druga vrstica nadomesti z novo, prva pa ostane nespremenjena.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Upoštevati je treba, da je faktor množenja mogoče izbrati tako, da je zaradi seštevanja dveh nizov eden od elementov novega niza enak nič. Zato je v sistemu mogoče dobiti enačbo, kjer bo ena neznanka manj. In če dobite dve takšni enačbi, potem lahko operacijo izvedete znova in dobite enačbo, ki bo že vsebovala dve neznanki manj. In če vsakič obrnemo na nič en koeficient za vse vrstice, ki so nižje od prvotne, potem se lahko, kot koraki, spustimo na sam dno matrike in dobimo enačbo z eno neznano. Temu pravimo reševanje sistema z Gaussovo metodo.

Na splošno

Naj obstaja sistem. Ima m enačb in n neznanih korenin. Lahko ga zapišeš takole:

Glavna matrika je sestavljena iz koeficientov sistema. Razširjeni matriki je dodan stolpec prostih članov, ki je zaradi udobja ločen s črto.

prva vrstica matrike se pomnoži s koeficientom k = (-a 21 / a 11);
dodata se prva spremenjena vrstica in druga vrstica matrike;
namesto druge vrstice se v matriko vstavi rezultat dodatka iz prejšnjega odstavka;
zdaj je prvi koeficient v novi drugi vrstici a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Zdaj se izvede enaka serija transformacij, vključeni sta le prva in tretja vrstica. V skladu s tem se v vsakem koraku algoritma element a 21 nadomesti z 31 . Nato se vse ponovi za 41, ... a m1. Rezultat je matrika, kjer je prvi element v vrsticah enak nič. Zdaj moramo pozabiti na vrstico številka ena in izvesti isti algoritem, začenši z drugo vrstico:

koeficient k \u003d (-a 32 / a 22);
druga spremenjena vrstica se doda "trenutni" vrstici;
rezultat seštevanja se nadomesti v tretji, četrti in tako naprej vrstici, medtem ko prva in druga ostaneta nespremenjena;
v vrsticah matrike sta prva dva elementa že enaka nič.

Algoritem je treba ponavljati, dokler se ne pojavi koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To pomeni, da je bil algoritem zadnjič izveden le za nižjo enačbo. Zdaj je matrica videti kot trikotnik ali ima stopničasto obliko. Spodnja vrstica vsebuje enakost a mn × x n = b m . Koeficient in prosti člen sta znana, koren pa je izražen skozi njih: x n = b m /a mn. Nastali koren se nadomesti v zgornjo vrstico, da najdemo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . In tako naprej po analogiji: v vsaki naslednji vrstici je nov koren in ko dosežete "vrh" sistema, lahko najdete številne rešitve. To bo edini.

Ko ni rešitev

Če so v eni od vrstic matrike vsi elementi, razen prostega člena, enaki nič, potem je enačba, ki ustreza tej vrstici, videti kot 0 = b. Nima rešitve. In ker je takšna enačba vključena v sistem, je množica rešitev celotnega sistema prazna, torej degenerirana.

Ko obstaja neskončno število rešitev

Lahko se izkaže, da v reducirani trikotni matriki ni vrstic z enim elementom - koeficientom enačbe in enim - prostim členom. Obstajajo samo nizi, ki bi bili ob prepisu videti kot enačba z dvema ali več spremenljivkami. To pomeni, da ima sistem neskončno število rešitev. V tem primeru je odgovor lahko podan v obliki splošne rešitve. Kako narediti?

Vse spremenljivke v matriki so razdeljene na osnovne in proste. Osnovni - to so tisti, ki stojijo "na robu" vrstic v stopničasti matriki. Ostali so brezplačni. V splošni rešitvi so osnovne spremenljivke zapisane v terminih prostih.

Zaradi udobja se matrika najprej prepiše nazaj v sistem enačb. Nato v zadnjem od njih, kjer je ostala natanko ena osnovna spremenljivka, ostane na eni strani, vse ostalo pa se prenese na drugo. To se naredi za vsako enačbo z eno osnovno spremenljivko. Nato se v preostalih enačbah, kjer je mogoče, namesto osnovne spremenljivke nadomesti z njo pridobljenim izrazom. Če je rezultat spet izraz, ki vsebuje samo eno osnovno spremenljivko, se od tam ponovno izrazi in tako naprej, dokler se vsaka osnovna spremenljivka ne zapiše kot izraz s prostimi spremenljivkami. To je splošna rešitev SLAE.

Najdete lahko tudi osnovno rešitev sistema - dajte prostim spremenljivkam poljubne vrednosti, nato pa za ta konkretni primer izračunajte vrednosti osnovnih spremenljivk. Obstaja neskončno veliko posebnih rešitev.

Rešitev s konkretnimi primeri

Tukaj je sistem enačb.

Za udobje je bolje, da takoj ustvarite njegovo matriko

Znano je, da bo pri reševanju po Gaussovi metodi enačba, ki ustreza prvi vrstici, na koncu transformacij ostala nespremenjena. Zato bo bolj donosno, če je zgornji levi element matrike najmanjši - potem se bodo prvi elementi preostalih vrstic po operacijah spremenili v nič. To pomeni, da bo v prevedeni matriki koristno postaviti drugo namesto prve vrstice.

druga vrstica: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 = 3 + (-3) × 1 \u003d 0

a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 = -24

tretja vrstica: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 = -57

Zdaj, da se ne bi zmedli, je treba zapisati matriko z vmesnimi rezultati transformacij.

Očitno je, da je takšno matriko mogoče narediti bolj priročno za zaznavanje s pomočjo nekaterih operacij. Na primer, lahko odstranite vse "minuse" iz druge vrstice tako, da vsak element pomnožite z "-1".

Omeniti velja tudi, da so v tretji vrsti vsi elementi večkratniki treh. Nato lahko niz zmanjšate za to številko in vsak element pomnožite z "-1/3" (minus - hkrati, da odstranite negativne vrednosti).

Izgleda veliko lepše. Zdaj moramo prvo vrstico pustiti pri miru in delati z drugo in tretjo. Naloga je dodati drugo vrstico tretji vrstici, pomnoženo s takim koeficientom, da element a 32 postane enak nič.

k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 ulomkov in šele nato, ko prejmete odgovore, se odločite, ali boste zaokrožili in prevedli v drugo obliko zapisa)

a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7

b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 = -61/7

Matrica se ponovno zapiše z novimi vrednostmi.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Kot lahko vidite, ima nastala matrika že stopničasto obliko. Zato nadaljnje transformacije sistema po Gaussovi metodi niso potrebne. Tukaj je mogoče odstraniti skupni koeficient "-1/7" iz tretje vrstice.

Zdaj je vse lepo. Bistvo je majhno - matriko ponovno napišite v obliki sistema enačb in izračunajte korenine

x + 2y + 4z = 12(1)

7y + 11z = 24 (2)

Algoritem, po katerem bodo zdaj najdene korenine, se v Gaussovi metodi imenuje obratno premikanje. Enačba (3) vsebuje vrednost z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

In prva enačba vam omogoča, da najdete x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3

Imamo pravico, da tak sistem imenujemo skupen in celo določen, torej da ima edinstveno rešitev. Odgovor je napisan v naslednji obliki:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z \u003d 61/9.

Primer nedoločenega sistema

Raziskana je bila varianta reševanja določenega sistema po Gaussovi metodi, zdaj je treba upoštevati primer, če je sistem nedoločen, torej je zanj mogoče najti neskončno veliko rešitev.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Že sama oblika sistema je alarmantna, saj je število neznank n = 5, rang matrike sistema pa je že natanko manjši od tega števila, ker je število vrstic m = 4, tj. največji vrstni red kvadratne determinante je 4. To pomeni, da obstaja neskončno število rešitev, zato je treba iskati njeno splošno obliko. Gaussova metoda za linearne enačbe to omogoča.

Najprej se kot običajno sestavi razširjena matrika.

Druga vrstica: koeficient k = (-a 21 / a 11) = -3. V tretji vrstici je prvi element pred transformacijami, tako da se vam ni treba ničesar dotikati, pustite ga takšnega, kot je. Četrta vrstica: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Če elemente prve vrstice pomnožimo z vsakim od njihovih koeficientov in jih dodamo želenim vrsticam, dobimo matriko naslednje oblike:

Kot lahko vidite, so druga, tretja in četrta vrstica sestavljena iz elementov, ki so med seboj sorazmerni. Drugi in četrti sta na splošno enaki, tako da lahko enega od njiju takoj odstranite, preostanek pa pomnožite s koeficientom "-1" in dobite vrstico številka 3. In spet pustite eno od dveh enakih vrstic.

Izkazalo se je, da je taka matrica. Sistem še ni zapisan, tukaj je treba določiti osnovne spremenljivke - ki stojijo pri koeficientih a 11 \u003d 1 in a 22 \u003d 1 ter brezplačno - vse ostalo.

Druga enačba ima samo eno osnovno spremenljivko - x 2 . Zato ga lahko od tam izrazimo tako, da zapišemo skozi spremenljivke x 3 , x 4 , x 5 , ki so proste.

Dobljeni izraz nadomestimo v prvo enačbo.

Izkazala se je enačba, v kateri je edina osnovna spremenljivka x 1. Z njim naredimo enako kot z x 2.

Vse osnovne spremenljivke, od katerih sta dve, so izražene s tremi prostimi, zdaj lahko odgovor zapišete v splošni obliki.

Določite lahko tudi eno od posebnih rešitev sistema. V takih primerih so praviloma ničle izbrane kot vrednosti prostih spremenljivk. Potem bo odgovor:

16, 23, 0, 0, 0.

Primer nezdružljivega sistema

Rešitev nekonsistentnih sistemov enačb po Gaussovi metodi je najhitrejša. Konča se takoj, ko na eni od stopenj dobimo enačbo, ki nima rešitve. To pomeni, da faza z izračunom korenin, ki je precej dolga in žalostna, izgine. Upošteva se naslednji sistem:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Kot običajno se matrika sestavi:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

In zmanjša se na stopničasto obliko:

k 1 = -2k 2 \u003d -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Po prvi transformaciji je v tretji vrstici enačba v obliki

brez rešitve. Zato je sistem nedosleden in odgovor je prazen niz.

Prednosti in slabosti metode

Če izberete metodo za reševanje SLAE na papirju s peresom, potem je metoda, ki je bila obravnavana v tem članku, videti najbolj privlačna. Pri elementarnih transformacijah se je veliko težje zmotiti, kot se zgodi, če morate ročno iskati determinanto ali kakšno zapleteno inverzno matriko. Če pa uporabljate programe za delo s podatki te vrste, na primer preglednice, se izkaže, da takšni programi že vsebujejo algoritme za izračun glavnih parametrov matrik - determinanta, minor, inverzna itd. In če ste prepričani, da bo stroj sam izračunal te vrednosti in se ne bo zmotil, je bolj smotrno uporabiti matrično metodo ali Cramerjeve formule, saj se njihova uporaba začne in konča z izračunom determinant in inverznih matrik.

Aplikacija

Ker je Gaussova rešitev algoritem, matrika pa je pravzaprav dvodimenzionalni niz, se lahko uporablja pri programiranju. Ker pa se članek postavlja kot vodnik "za lutke", je treba povedati, da je metodo najlažje vstaviti v preglednice, na primer Excel. Spet bo Excel vsak SLAE, vneseno v tabelo v obliki matrike, obravnaval kot dvodimenzionalni niz. In za operacije z njimi je veliko lepih ukazov: seštevanje (dodate lahko samo matrike enake velikosti!), Množenje s številom, množenje matrik (tudi z določenimi omejitvami), iskanje inverznih in transponiranih matrik in, kar je najpomembneje , izračun determinante. Če to zamudno nalogo nadomesti en sam ukaz, je veliko hitreje določiti rang matrike in s tem ugotoviti njeno združljivost ali neskladnost.

Še naprej obravnavamo sisteme linearnih enačb. Ta lekcija je tretja na to temo. Če imate nejasno predstavo o tem, kaj je sistem linearnih enačb na splošno, se počutite kot čajnik, potem priporočam, da začnete z osnovami na naslednji strani, koristno je preučiti lekcijo.

Gaussova metoda je enostavna! zakaj? Slavni nemški matematik Johann Carl Friedrich Gauss je v času svojega življenja prejel priznanje za največjega matematika vseh časov, genija in celo vzdevek "kralj matematike". In vse genialno, kot veste, je preprosto! Mimogrede, v denar ne pridejo samo naivci, ampak tudi geniji – Gaussov portret se je bohotil na bankovcu 10 nemških mark (pred uvedbo evra), Gauss pa se Nemcem še vedno skrivnostno smehlja z navadnih poštnih znamk.

Gaussova metoda je preprosta v tem, da JE DOVOLJ ZNANJA UČENKA PETOG RAZREDNIKA, da jo obvlada. Mora biti sposoben seštevati in množiti! Ni naključje, da se o metodi zaporednega odpravljanja neznank učitelji pri izbirnih predmetih iz matematike pogosto ukvarjajo. Gre za paradoks, vendar Gaussova metoda študentom povzroča največje težave. Nič presenetljivega - vse gre za metodologijo in poskušal bom v dostopni obliki povedati o algoritmu metode.

Najprej malo sistematiziramo znanje o sistemih linearnih enačb. Sistem linearnih enačb lahko:

1) Imeti edinstveno rešitev. 2) Imeti neskončno veliko rešitev. 3) Nimati rešitev (be nezdružljivo).

Gaussova metoda je najmočnejše in najbolj vsestransko orodje za iskanje rešitve kaj sistemi linearnih enačb. Kot se spomnimo Cramerjevo pravilo in matrična metoda niso primerni v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nedosleden. Metoda zaporednega odpravljanja neznank vseeno vodi nas do odgovora! V tej lekciji bomo ponovno obravnavali Gaussovo metodo za primer št. 1 (edina rešitev sistema), članek je rezerviran za situacije točk št. 2-3. Opažam, da sam algoritem metode v vseh treh primerih deluje na enak način.

Vrnimo se k najpreprostejšemu sistemu iz lekcije Kako rešiti sistem linearnih enačb? in jo reši z Gaussovo metodo.

Prvi korak je pisanje razširjeni matrični sistem: . Po kakšnem principu so zabeleženi koeficienti, mislim, da vsi vidijo. Navpična črta znotraj matrike nima nobenega matematičnega pomena - je le prečrtana za lažjo zasnovo.

Referenca : Priporočam, da se spomnite pogojev linearna algebra. Sistemska matrika je matrika, sestavljena samo iz koeficientov za neznanke, v tem primeru je matrika sistema: . Razširjena sistemska matrika je ista matrika sistema plus stolpec prostih članov, v tem primeru: . Vsako od matrik lahko zaradi kratkosti imenujemo preprosto matrika.

Ko je razširjena matrika sistema zapisana, je treba z njo izvesti nekaj dejanj, ki se imenujejo tudi elementarne transformacije.

Obstajajo naslednje osnovne transformacije:

1) Strune matrice lahko preurediti mesta. Na primer, v obravnavani matriki lahko varno preuredite prvo in drugo vrstico:

2) Če obstajajo (ali se pojavijo) sorazmerne (kot poseben primer - enake) vrstice v matriki, potem sledi izbrisati iz matrike vse te vrstice razen ene. Upoštevajte na primer matriko . V tej matriki so zadnje tri vrstice sorazmerne, zato je dovolj, da pustite samo eno od njih: .

3) Če se je med transformacijami v matriki pojavila ničelna vrstica, potem tudi sledi izbrisati. Seveda ne bom risal, ničelna črta je črta, v kateri samo ničle.

4) Vrstica matrike je lahko pomnoži (deli) za katero koli številko nenič. Razmislite, na primer, matriko. Tukaj je priporočljivo, da prvo vrstico delite z -3, drugo vrstico pa pomnožite z 2: . To dejanje je zelo koristno, saj poenostavi nadaljnje transformacije matrike.

5) Ta preobrazba povzroča največ težav, v resnici pa tudi ni nič zapletenega. Do vrstice matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številko, drugačen od nič. Razmislite o naši matriki iz praktičnega primera: . Najprej bom zelo podrobno opisal preobrazbo. Pomnožite prvo vrstico z -2: , in drugi vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z -2: . Zdaj lahko prvo vrstico delimo "nazaj" z -2: . Kot lahko vidite, vrstica, ki je DODANA LI – se ni spremenilo. Nenehno vrstica je spremenjena, KI JE DODANO UT.

V praksi seveda ne slikajo tako podrobno, ampak pišejo krajše: Še enkrat: v drugo vrstico dodal prvo vrstico, pomnoženo z -2. Vrstica se običajno pomnoži ustno ali na osnutku, medtem ko je miselni potek izračunov nekako takole:

"Prepišem matriko in prepišem prvo vrstico: »

Najprej prvi stolpec. Spodaj moram dobiti nič. Zato zgornjo enoto pomnožim z -2: in prvo dodam v drugo vrstico: 2 + (-2) = 0. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»Zdaj drugi stolpec. Nad -1 krat -2: . V drugo vrstico dodam prvo: 1 + 2 = 3. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

»In tretji stolpec. Nad -5-krat -2: . V drugo vrstico dodam prvo vrstico: -7 + 10 = 3. Rezultat zapišem v drugo vrstico: »

Prosimo, da dobro premislite o tem primeru in razumete algoritem zaporednega izračuna, če to razumete, potem je Gaussova metoda praktično "v vašem žepu". Seveda pa še vedno delamo na tej preobrazbi.

Elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb

! POZOR: obravnavane manipulacije ne more uporabiti, če vam ponudijo nalogo, kjer so matrice podane »sami«. Na primer z "klasično" matrice v nobenem primeru ne smete preurejati nečesa znotraj matrik! Vrnimo se k našemu sistemu. Praktično je razbita na koščke.

Napišimo povečano matriko sistema in jo z uporabo elementarnih transformacij zmanjšamo na stopničasti pogled:

(1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z -2. In še enkrat: zakaj prvo vrstico pomnožimo z -2? Da bi dobili nič na dnu, kar pomeni, da se znebite ene spremenljivke v drugi vrstici.

(2) Drugo vrstico razdelite na 3.

Namen elementarnih transformacij – pretvori matriko v obliko korakov: . Pri oblikovanju naloge neposredno narišejo "lestev" s preprostim svinčnikom in obkrožijo tudi številke, ki se nahajajo na "stopnicah". Sam izraz "stopenjski pogled" ni povsem teoretičen, v znanstveni in izobraževalni literaturi se pogosto imenuje trapezni pogled oz trikotni pogled.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovredno izvirni sistem enačb:

Zdaj je treba sistem "odviti" v nasprotni smeri - od spodaj navzgor se ta postopek imenuje obratna Gaussova metoda.

V spodnji enačbi že imamo končni rezultat: .

Razmislite o prvi enačbi sistema in vanjo nadomestite že znano vrednost "y":

Poglejmo najpogostejšo situacijo, ko je za reševanje sistema treh linearnih enačb s tremi neznankami potrebna Gaussova metoda.

Primer 1

Rešite sistem enačb z Gaussovo metodo:

Napišimo razširjeno matriko sistema:

Zdaj bom takoj narisal rezultat, do katerega bomo prišli med rešitvijo: In ponavljam, naš cilj je matriko spraviti v stopničasto obliko z uporabo elementarnih transformacij. Kje začeti ukrepati?

Najprej poglejte zgornjo levo številko: Skoraj vedno bi moral biti tukaj enoto. Na splošno bo ustrezala tudi -1 (in včasih tudi druge številke), a nekako se je že tradicionalno zgodilo, da je tam običajno postavljena enota. Kako organizirati enoto? Pogledamo prvi stolpec - imamo končano enoto! Prva transformacija: zamenjajte prvo in tretjo vrstico:

Zdaj bo prva vrstica ostala nespremenjena do konca rešitve. Zdaj v redu.

Enota v zgornjem levem kotu je organizirana. Zdaj morate dobiti ničle na teh mestih:

Ničele so pridobljene samo s pomočjo "težke" transformacije. Najprej se ukvarjamo z drugo vrstico (2, -1, 3, 13). Kaj je treba storiti, da dobite nič na prvem mestu? Potreba v drugo vrstico dodajte prvo vrstico, pomnoženo z -2. V mislih ali na osnutku prvo vrstico pomnožimo z -2: (-2, -4, 2, -18). In dosledno izvajamo (spet miselno ali na osnutek) dodajanje, v drugo vrstico dodamo prvo vrstico, že pomnoženo z -2:

Rezultat je zapisan v drugi vrstici:

Podobno obravnavamo tretjo vrstico (3, 2, -5, -1). Če želite dobiti nič na prvem mestu, potrebujete tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z -3. V mislih ali na osnutek pomnožimo prvo vrstico z -3: (-3, -6, 3, -27). in tretji vrstici dodamo prvo vrstico, pomnoženo z -3:

Rezultat je zapisan v tretji vrstici:

V praksi se ta dejanja običajno izvedejo ustno in zapišejo v enem koraku:

Ni treba šteti vsega naenkrat in hkrati. Vrstni red izračunov in "vstavljanje" rezultatov dosledno in običajno takole: najprej prepišemo prvo vrstico in se tiho napihnemo - DOSLEDNO in POZORNO:
In zgoraj sem že upošteval miselni potek samih izračunov.

V tem primeru je to enostavno narediti, drugo vrstico delimo s -5 (ker so vsa števila deljiva s 5 brez ostanka). Hkrati tretjo vrstico delimo z -2, ker manjše je število, preprostejša je rešitev:

Na zadnji stopnji osnovnih transformacij je treba tukaj dobiti še eno ničlo:

Za to tretji vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z -2:
Poskusite sami razčleniti to dejanje - miselno pomnožite drugo vrstico z -2 in izvedite seštevanje.

Zadnje izvedeno dejanje je pričeska rezultata, tretjo vrstico razdelite s 3.

Kot rezultat elementarnih transformacij smo dobili enakovredni začetni sistem linearnih enačb: kul.

Zdaj pride v poštev obratni potek Gaussove metode. Enačbe se "odvijejo" od spodaj navzgor.

V tretji enačbi že imamo končni rezultat:

Poglejmo drugo enačbo: . Pomen "z" je že znan, tako:

In končno, prva enačba: . "Y" in "Z" sta znana, zadeva je majhna:

Odgovori:

Kot je bilo že večkrat omenjeno, je za vsak sistem enačb mogoče in potrebno preveriti najdeno rešitev, na srečo to ni težko in hitro.

Primer 2

To je primer za samoreševanje, vzorec dodelave in odgovor na koncu lekcije.

Treba je opozoriti, da vaš potek ukrepanja morda ne sovpada z mojim potekom delovanja, in to je značilnost Gaussove metode. Toda odgovori morajo biti enaki!

Primer 3

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

Pogledamo zgornjo levo "stopnico". Tam bi morali imeti enoto. Težava je v tem, da jih v prvem stolpcu sploh ni, tako da se s prerazporeditvijo vrstic ne da nič rešiti. V takih primerih je treba enoto organizirati z osnovno transformacijo. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredil sem to: (1) Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z -1. To pomeni, da smo drugo vrstico miselno pomnožili z -1 in izvedli seštevanje prve in druge vrstice, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.

Zdaj zgoraj levo "minus ena", kar nam popolnoma ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno gesto: prvo vrstico pomnoži z -1 (spremeni njen predznak).

(2) Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici, prva vrstica, pomnožena s 3, je bila dodana tretji vrstici.

(3) Prva vrstica je bila pomnožena z -1, načeloma je to za lepoto. Tudi predznak tretje vrstice je bil spremenjen in prestavljen na drugo mesto, tako da smo na drugem »koraku« imeli želeno enoto.

(4) Tretji vrstici je bila dodana druga vrstica, pomnožena z 2.

(5) Tretja vrstica je bila razdeljena s 3.

Slab znak, ki kaže na napako pri izračunu (manj pogosto na tipkarsko napako), je "slaba" končna točka. Se pravi, če imamo nekaj podobnega spodaj, in v skladu s tem , potem je z veliko verjetnostjo mogoče trditi, da je bila med osnovnimi transformacijami storjena napaka.

Zaračunavamo obratno potezo, pri oblikovanju primerov sam sistem pogosto ni prepisan, enačbe pa so »vzete neposredno iz dane matrike«. Obratna poteza, vas spomnim, deluje od spodaj navzgor. Ja, tukaj je darilo:

Odgovori: .

Primer 4

Rešite sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo

To je primer za samostojno rešitev, je nekoliko bolj zapletena. Nič hudega, če se kdo zmeša. Celotna rešitev in vzorec oblikovanja na koncu lekcije. Vaša rešitev se lahko razlikuje od moje.

V zadnjem delu obravnavamo nekatere značilnosti Gaussovega algoritma. Prva značilnost je, da včasih v enačbah sistema manjkajo nekatere spremenljivke, na primer: Kako pravilno napisati razširjeno matriko sistema? O tem trenutku sem že govoril v lekciji. Cramerjevo pravilo. Matrična metoda. V razširjeni matriki sistema namesto manjkajočih spremenljivk postavimo ničle: Mimogrede, to je dokaj enostaven primer, saj je v prvem stolpcu že ena ničla in je za izvedbo manj osnovnih transformacij.

Druga značilnost je ta. V vseh obravnavanih primerih smo na "stopnice" postavili -1 ali +1. Ali so lahko druge številke? V nekaterih primerih lahko. Razmislite o sistemu: .

Tukaj na zgornji levi "stopnici" imamo dvojko. Opažamo pa dejstvo, da so vsa števila v prvem stolpcu deljiva z 2 brez ostanka - in še dva in šest. In dvojka zgoraj levo nam bo ustrezala! V prvem koraku morate izvesti naslednje transformacije: v drugo vrstico dodajte prvo vrstico, pomnoženo z -1; tretji vrstici dodajte prvo vrstico, pomnoženo z -3. Tako bomo v prvem stolpcu dobili želene ničle.

Ali še en hipotetični primer: . Tu nam ustreza tudi trojka na drugem "stopenju", saj je 12 (mesto, kjer moramo dobiti nič) deljivo s 3 brez ostanka. Izvesti je treba naslednjo transformacijo: tretji vrstici dodajte drugo vrstico, pomnoženo z -4, zaradi česar bomo dobili ničlo, ki jo potrebujemo.

Gaussova metoda je univerzalna, vendar obstaja ena posebnost. Lahko se samozavestno naučite reševati sisteme z drugimi metodami (Cramerjeva metoda, matrična metoda) dobesedno od prvega - obstaja zelo tog algoritem. Toda, da bi se počutili samozavestni v Gaussovi metodi, bi morali "napolniti roko" in rešiti vsaj 5-10 deset sistemov. Zato lahko sprva pride do zmede, napak v izračunih in v tem ni nič nenavadnega ali tragičnega.

Deževno jesensko vreme zunaj okna .... Zato za vsakogar bolj zapleten primer za samostojno rešitev:

Primer 5

Rešite sistem 4 linearnih enačb s štirimi neznankami po Gaussovi metodi.

Takšna naloga v praksi ni tako redka. Mislim, da celo čajnik, ki je podrobno preučil to stran, intuitivno razume algoritem za reševanje takšnega sistema. V bistvu enako - samo več akcije.

V lekciji obravnavamo primere, ko sistem nima rešitev (nekonsistenten) ali ima neskončno veliko rešitev. Nezdružljivi sistemi in sistemi s skupno rešitvijo. Tam lahko popravite obravnavani algoritem Gaussove metode.

Želim ti srečo!

Rešitve in odgovori:

2. primer: Odločitev : Zapišemo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo v stopničasto obliko.
Izvedene osnovne transformacije: (1) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z -2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z -1. Pozor! Tukaj je morda mamljivo odšteti prvo od tretje vrstice, močno ne priporočam odštevanja - tveganje za napako se močno poveča. Samo zložimo! (2) Predznak druge vrstice je bil spremenjen (pomnožen z -1). Druga in tretja vrstica sta zamenjani. Opomba da smo na "stopnicah" zadovoljni ne samo z enim, ampak tudi z -1, kar je še bolj priročno. (3) Tretji vrstici dodajte drugo vrstico, pomnoženo s 5. (4) Predznak druge vrstice je bil spremenjen (pomnožen z -1). Tretja vrstica je bila razdeljena na 14.

Povratna poteza:

Odgovori : .

4. primer: Odločitev : Napišemo razširjeno matriko sistema in jo z uporabo elementarnih transformacij pripeljemo v stopničasto obliko:

Izvedene konverzije: (1) Druga vrstica je bila dodana prvi vrstici. Tako je želena enota organizirana na zgornjem levem "stopu". (2) Prva vrstica, pomnožena s 7, je bila dodana drugi vrstici, prva vrstica, pomnožena s 6, je bila dodana tretji vrstici.

Z drugim "korakom" je vse slabše , "kandidatki" zanj sta številki 17 in 23 in potrebujemo eno ali -1. Transformacije (3) in (4) bosta usmerjeni v pridobitev želene enote (3) Tretji vrstici je bila dodana druga vrstica, pomnožena z -1. (4) Tretja vrstica, pomnožena z -3, je bila dodana drugi vrstici. Prejeta je potrebna stvar na drugem koraku . (5) Tretji vrstici je dodana druga, pomnožena s 6. (6) Druga vrstica je bila pomnožena z -1, tretja vrstica je bila deljena z -83.

Povratna poteza:

Odgovori :

5. primer: Odločitev : Zapišemo matriko sistema in jo z osnovnimi transformacijami pripeljemo v postopno obliko:

Izvedene konverzije: (1) Prva in druga vrstica sta zamenjani. (2) Prva vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z -2. Prva vrstica je bila dodana tretji vrstici, pomnožena z -2. Prva vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z -3. (3) Tretji vrstici je bila dodana druga vrstica, pomnožena s 4. Četrti vrstici je bila dodana druga vrstica, pomnožena z -1. (4) Predznak druge vrstice je spremenjen. Četrta vrstica je bila razdeljena s 3 in postavljena namesto tretje vrstice. (5) Tretja vrstica je bila dodana četrti vrstici, pomnožena z -5.

Povratna poteza:

Odgovori :

Danes se ukvarjamo z Gaussovo metodo za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb. Kaj so ti sistemi, si lahko preberete v prejšnjem članku, posvečenem reševanju istega SLAE po Cramerjevi metodi. Gaussova metoda ne zahteva posebnega znanja, potrebna sta le pozornost in doslednost. Kljub temu, da z vidika matematike za njeno uporabo zadostuje šolska priprava, obvladovanje te metode učencem pogosto povzroča težave. V tem članku jih bomo poskušali zmanjšati na nič!

Gaussova metoda

M Gaussova metoda je najbolj univerzalna metoda za reševanje SLAE (z izjemo zelo velikih sistemov). Za razliko od prej obravnavanega, je primeren ne samo za sisteme, ki imajo edinstveno rešitev, ampak tudi za sisteme, ki imajo neskončno število rešitev. Tukaj so tri možnosti.

Sistem ima edinstveno rešitev (determinanta glavne matrike sistema ni enaka nič);
Sistem ima neskončno število rešitev;
Rešitev ni, sistem je nedosleden.

Torej imamo sistem (naj ima eno rešitev) in ga bomo rešili z Gaussovo metodo. Kako deluje?

Gaussova metoda je sestavljena iz dveh stopenj - neposredne in inverzne.

Direktna Gaussova metoda

Najprej napišemo razširjeno matriko sistema. Če želite to narediti, v glavno matriko dodamo stolpec prostih članov.

Celotno bistvo Gaussove metode je, da dano matriko s pomočjo elementarnih transformacij spravimo v stopničasto (ali, kot pravijo, trikotno) obliko. V tej obliki bi morale biti samo ničle pod (ali nad) glavno diagonalo matrike.

Kaj je mogoče storiti:

Vrstice matrike lahko prerazporedite;
Če so v matriki enake (ali sorazmerne) vrstice, lahko izbrišete vse razen ene;
Niz lahko pomnožite ali delite s poljubnim številom (razen nič);
Odstranjene so ničelne črte;
Nizu lahko dodate niz, pomnožen s številom, ki ni nič.

Reverzna Gaussova metoda

Po tem, ko transformiramo sistem na ta način, ena neznanka xn postane znana, vse preostale neznanke pa je mogoče najti v obratnem vrstnem redu, tako da v enačbe sistema zamenjamo že znane x-e, do prve.

Ko je internet vedno pri roki, lahko sistem enačb rešite z Gaussovo metodo na spletu. Vse kar morate storiti je, da vnesete kvote v spletni kalkulator. Vendar morate priznati, da je veliko bolj prijetno spoznati, da primer ni rešil računalniški program, ampak vaši lastni možgani.

Primer reševanja sistema enačb po Gaussovi metodi

In zdaj - primer, da bo vse jasno in razumljivo. Naj je podan sistem linearnih enačb, ki ga je treba rešiti po Gaussovi metodi:

Najprej napišemo razširjeno matriko:

Zdaj pa si poglejmo transformacije. Ne pozabite, da moramo doseči trikotno obliko matrike. Pomnožite 1. vrstico s (3). 2. vrstico pomnožite z (-1). Dodajmo 2. vrstico 1. in dobimo:

Nato pomnožite 3. vrstico z (-1). Dodajmo 3. vrstico 2.:

Pomnožite 1. vrstico s (6). 2. vrstico pomnožite s (13). Dodajmo 2. vrstico 1.:

Voila - sistem je priveden v ustrezno obliko. Ostaja še najti neznanke:

Sistem v tem primeru ima edinstveno rešitev. Rešitev sistemov z neskončnim naborom rešitev bomo obravnavali v ločenem članku. Morda sprva ne boste vedeli, kje začeti z matričnimi transformacijami, po ustrezni vadbi pa boste to dobili v roke in boste kot orehi klikali Gaussovo SLAE. In če nenadoma naletite na SLAU, za katerega se izkaže, da je preveč trd oreh, se obrnite na naše avtorje! lahko tako, da pustite prijavo v dopisovanju. Skupaj bomo rešili vsak problem!

1. Sistem linearnih algebraičnih enačb

1.1 Pojem sistema linearnih algebraičnih enačb

Sistem enačb je pogoj, ki sestoji iz hkratne izvedbe več enačb v več spremenljivkah. Sistem linearnih algebrskih enačb (v nadaljevanju SLAE), ki vsebuje m enačb in n neznank, je sistem oblike:

kjer se števila a ij imenujejo koeficienti sistema, so števila b i prosti člani, aij in b i(i=1,…, m; b=1,…, n) so nekatera znana števila in x 1 ,…, x n- neznano. V zapisu koeficientov aij prvi indeks i označuje število enačbe, drugi indeks j pa število neznanke, pri kateri ta koeficient stoji. Odvisno od iskanja števila x n. Tak sistem je priročno napisati v obliki kompaktne matrike: AX=B. Tukaj je A matrika koeficientov sistema, imenovana glavna matrika;

je stolpec vektorja neznanega xj.
je stolpec vektor prostih članov bi.

Zmnožek matrik A * X je definiran, saj je v matriki A toliko stolpcev, kolikor je vrstic v matriki X (n kosov).

Razširjena matrika sistema je matrika A sistema, dopolnjena s stolpcem prostih članov

1.2 Rešitev sistema linearnih algebraičnih enačb

Rešitev sistema enačb je urejen niz števil (vrednosti spremenljivk), ko jih nadomestimo namesto spremenljivk, se vsaka enačba sistema spremeni v pravo enakost.

Rešitev sistema je n vrednosti neznank x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, s katerimi se vse enačbe sistema spremenijo v prave enakosti. Vsako rešitev sistema lahko zapišemo kot matrični stolpec

Sistem enačb se imenuje konsistenten, če ima vsaj eno rešitev, in nedosleden, če nima rešitev.

Skupni sistem se imenuje določen, če ima enolično rešitev, in nedoločen, če ima več rešitev. V slednjem primeru se vsaka njena rešitev imenuje posebna rešitev sistema. Množico vseh posebnih rešitev imenujemo splošna rešitev.

Rešiti sistem pomeni ugotoviti, ali je dosleden ali nedosleden. Če je sistem združljiv, poiščite njegovo splošno rešitev.

Dva sistema se imenujeta enakovredna (ekvivalentna), če imata enako splošno rešitev. Z drugimi besedami, sistemi so enakovredni, če je vsaka rešitev enega od njih rešitev za drugega in obratno.

Preobrazba, katere uporaba spremeni sistem v nov sistem, enakovreden prvotnemu, se imenuje enakovredna ali enakovredna transformacija. Naslednje transformacije so lahko primeri enakovrednih transformacij: zamenjava dveh enačb sistema, zamenjava dveh neznank skupaj s koeficienti vseh enačb, pomnoževanje obeh delov katere koli enačbe sistema s številom, ki ni nič.

Sistem linearnih enačb se imenuje homogen, če so vsi prosti členi enaki nič:

Homogen sistem je vedno konsistenten, saj je x1=x2=x3=…=xn=0 rešitev sistema. Ta rešitev se imenuje ničelna ali trivialna.

2. Gaussova metoda eliminacije

2.1 Bistvo metode Gaussove eliminacije

Klasična metoda za reševanje sistemov linearnih algebraičnih enačb je metoda zaporednega odpravljanja neznank - Gaussova metoda(Imenuje se tudi Gaussova metoda eliminacije). To je metoda zaporednega odpravljanja spremenljivk, ko se s pomočjo elementarnih transformacij sistem enačb reducira na enakovredni sistem stopničaste (ali trikotne) oblike, iz katerega se vse druge spremenljivke najdejo zaporedno, začenši z zadnje (po številu) spremenljivke.

Postopek Gaussove rešitve je sestavljen iz dveh stopenj: premika naprej in nazaj.

1. Neposredna poteza.

Na prvi stopnji se izvede tako imenovano neposredno premikanje, ko se z elementarnimi transformacijami po vrsticah sistem spravi v stopničasto ali trikotno obliko ali ugotovi, da je sistem nedosleden. Namreč, med elementi prvega stolpca matrike se izbere neničelna ena, ki se s permutiranjem vrstic premakne na najvišji položaj, od preostalih vrstic pa se odšteje prva vrstica, ki jo dobimo po permutaciji, in jo pomnožimo. z vrednostjo, ki je enaka razmerju med prvim elementom vsake od teh vrstic in prvim elementom prve vrstice, s čimer se stolpec pod njo postavi nič.

Po opravljenih navedenih transformacijah se prva vrstica in prvi stolpec miselno prečrtata in nadaljujeta, dokler ne ostane matrica ničelne velikosti. Če pri nekaterih ponovitvah med elementi prvega stolpca ni bila najdena ničelna enota, pojdite na naslednji stolpec in izvedite podobno operacijo.

Na prvi stopnji (naprej tek) se sistem reducira na stopničasto (zlasti trikotno) obliko.

Spodnji sistem je postopen:

Koeficienti aii se imenujejo glavni (vodilni) elementi sistema.

(če je a11=0, prerazporedite vrstice matrike tako, da a 11 ni bilo enako 0. To je vedno mogoče, ker sicer matrika vsebuje ničelni stolpec, njena determinanta je enaka nič in sistem je nedosleden).

Sistem transformiramo tako, da v vseh enačbah razen v prvi izločimo neznano x1 (z uporabo elementarnih transformacij sistema). Če želite to narediti, pomnožite obe strani prve enačbe z

in z drugo enačbo sistema dodajamo člen za členom (ali od druge enačbe odštejemo člen za členom prvega, pomnoženega z ). Nato oba dela prve enačbe pomnožimo s in jo dodamo tretji enačbi sistema (ali odštejemo prvega, pomnoženega s tretjim členom za člen). Tako prvo vrstico zaporedno pomnožimo s številom in dodamo jaz-ta vrstica, za i= 2, 3, …,n.

Če nadaljujemo s tem postopkom, dobimo enakovredni sistem:

– nove vrednosti koeficientov za neznanke in proste člene v zadnjih m-1 enačbah sistema, ki so določene s formulami:

Tako se v prvem koraku uničijo vsi koeficienti pod prvim vodilnim elementom a 11

0, drugi korak uniči elemente pod drugim vodilnim elementom a 22 (1) (če je 22 (1) 0) itd. Če nadaljujemo ta proces naprej, bomo končno zmanjšali prvotni sistem na trikotni sistem v koraku (m-1).

Če se pri redukciji sistema na postopno obliko pojavijo ničelne enačbe, t.j. enakosti v obliki 0=0, se zavržejo. Če obstaja enačba v obliki

To kaže na nezdružljivost sistema.

S tem se zaključi neposredni potek Gaussove metode.

2. Povratna poteza.

Na drugi stopnji se izvede tako imenovano obratno gibanje, katerega bistvo je, da vse nastale osnovne spremenljivke izrazimo z nebazičnimi in zgradimo temeljni sistem rešitev ali, če so vse spremenljivke osnovne, nato številčno izrazimo edino rešitev sistema linearnih enačb.

Ta postopek se začne z zadnjo enačbo, iz katere se izrazi ustrezna osnovna spremenljivka (v njej je samo ena) in se nadomesti s prejšnjimi enačbami in tako naprej po "stopnicah" navzgor.

Vsaka vrstica ustreza natanko eni osnovni spremenljivki, zato se na vsakem koraku, razen zadnje (najvišje), situacija natančno ponovi primer zadnje vrstice.

Opomba: v praksi je bolj priročno delati ne s sistemom, ampak z njegovo razširjeno matriko, ki izvaja vse osnovne transformacije v njegovih vrsticah. Primerno je, da je koeficient a11 enak 1 (preuredite enačbe ali delite obe strani enačbe z a11).

2.2 Primeri reševanja SLAE po Gaussovi metodi

V tem razdelku bomo na treh različnih primerih pokazali, kako je mogoče uporabiti Gaussovo metodo za reševanje SLAE.

Primer 1. Rešite SLAE 3. reda.

Koeficiente nastavite na nič pri

v drugi in tretji vrstici. Če želite to narediti, jih pomnožite z 2/3 oziroma 1 in ju dodajte v prvo vrstico:

Razdelki