Če želite razumeti, kako izračunati LCM, morate najprej določiti pomen izraza "večkrat".

Množnik A je naravno število, ki je brez ostanka deljivo z A. Tako lahko 15, 20, 25 in tako naprej štejemo za večkratnike 5.

Obstaja lahko omejeno število deliteljev določenega števila, vendar obstaja neskončno število večkratnikov.

Skupni večkratnik naravnih števil je število, ki je z njimi deljivo brez ostanka.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik števil

Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil (dva, tri ali več) je najmanjše naravno število, ki je enakomerno deljivo z vsemi temi števili.

Če želite najti NOC, lahko uporabite več metod.

Za majhna števila je priročno zapisati v vrstico vse večkratnike teh števil, dokler med njimi ne najdemo skupnega. Večkratniki so v zapisu označeni z veliko črko K.

Na primer, večkratnike 4 lahko zapišemo takole:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Torej lahko vidite, da je najmanjši skupni večkratnik številk 4 in 6 število 24. Ta vnos se izvede na naslednji način:

LCM(4, 6) = 24

Če so številke velike, poiščite skupni večkratnik treh ali več številk, potem je bolje uporabiti drug način za izračun LCM.

Za dokončanje naloge je treba predlagana števila razstaviti na prafaktorje.

Najprej morate zapisati razširitev največje od številk v vrstici, pod njo pa ostale.

Pri razširitvi vsake številke je lahko različno število dejavnikov.

Na primer, razdelimo številki 50 in 20 v prafaktorje.

Pri razširjanju manjšega števila je treba podčrtati faktorje, ki manjkajo pri razširitvi prvega največjega števila, in jim jih nato prišteti. V predstavljenem primeru manjka dvojka.

Zdaj lahko izračunamo najmanjši skupni večkratnik 20 in 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Tako bo zmnožek prafaktorjev večjega števila in faktorjev drugega števila, ki niso vključeni v razgradnjo večjega števila, najmanjši skupni mnogokratnik.

Če želite najti LCM treh ali več števil, jih je treba vse razstaviti na prafaktorje, kot v prejšnjem primeru.

Kot primer lahko najdete najmanjši skupni večkratnik številk 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Tako le dve dvojki iz razgradnje šestnajst nista bili vključeni v faktorizacijo večjega števila (ena je v razgradnji štiriindvajset).

Zato jih je treba dodati k razgradnji večjega števila.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Obstajajo posebni primeri določanja najmanjšega skupnega večkratnika. Torej, če lahko eno od številk brez preostanka delimo z drugim, bo večje od teh številk najmanjši skupni večkratnik.

Na primer, NOC-ji dvanajst in štiriindvajset bi bili štiriindvajset.

Če je treba najti najmanjši skupni večkratnik sopramestnih števil, ki nimajo enakih deliteljev, bo njihov LCM enak njihovemu produktu.

Na primer, LCM(10, 11) = 110.

Toda mnoga naravna števila so enakomerno deljiva z drugimi naravnimi števili.

na primer:

Število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;

Število 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.

Številke, s katerimi je število deljivo (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delilniki števil. Delitelj naravnega števila a je naravno število, ki deli dano število a brez sledu. Imenuje se naravno število, ki ima več kot dva faktorja sestavljeni .

Upoštevajte, da imata številki 12 in 36 skupne delilnike. To so števila: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delilec teh števil je 12. Skupni delilec teh dveh števil a in b je število, s katerim sta obe dani števili deljivi brez ostanka a in b.

skupni večkratnik več številk imenujemo število, ki je deljivo z vsakim od teh številk. na primer, imajo števila 9, 18 in 45 skupni večkratnik 180. Toda 90 in 360 sta tudi njuna skupna večkratnika. Med vsemi jskupnimi večkratniki je vedno najmanjši, v tem primeru je 90. To število se imenuje vsajskupni večkratnik (LCM).

LCM je vedno naravno število, ki mora biti večje od največjega od števil, za katera je definirano.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM). Lastnosti.

komutativnost:

Asociativnost:

Zlasti, če in sta sopraprosta števila , potem:

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil m in n je delilec vseh drugih skupnih večkratnikov m in n. Poleg tega nabor skupnih večkratnikov m,n sovpada z naborom večkratnikov za LCM( m,n).

Asimptotiko za je mogoče izraziti v obliki nekaterih teoretičnih funkcij.

torej Čebiševa funkcija. Tako dobro, kot:

To izhaja iz definicije in lastnosti Landaujeve funkcije g(n).

Kaj sledi iz zakona porazdelitve praštevil.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

NOC( a, b) se lahko izračuna na več načinov:

1. Če je znan največji skupni delilec, lahko uporabite njegovo razmerje z LCM:

2. Naj je znana kanonična razgradnja obeh števil na prafaktorje:

kje p 1 ,...,p k so različna praštevila in d 1 ,...,dk in e 1 ,...,ek so nenegativna cela števila (lahko so nič, če ustreznega praštevila ni v razširitvi).

Nato LCM ( a,b) se izračuna po formuli:

Z drugimi besedami, razširitev LCM vsebuje vse glavne faktorje, ki so vključeni v vsaj eno od razširitev številk a, b, in vzame se največji od dveh eksponentov tega faktorja.

Primer:

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika več številk je mogoče zmanjšati na več zaporednih izračunov LCM dveh števil:

Pravilo.Če želite najti LCM serije številk, potrebujete:

- razgraditi števila na prafaktorje;

- prenesite največji razteg na faktorje želenega produkta (promnožek faktorjev največjega števila danih), nato pa dodajte faktorje iz raztezanja drugih številk, ki se ne pojavljajo v prvem številu ali so v njem manjše število krat;

- dobljeni produkt prafaktorjev bo LCM danih števil.

Vsaka dva ali več naravnih števil ima svojo LCM. Če števila med seboj niso večkratniki ali nimajo enakih faktorjev v razširitvi, je njihov LCM enak zmnožku teh števil.

Primarni faktorji števila 28 (2, 2, 7) so bili dopolnjeni s faktorjem 3 (število 21), dobljeni produkt (84) bo najmanjše število, ki je deljivo z 21 in 28.

Prosti faktorji največjega števila 30 so bili dopolnjeni s faktorjem 5 števila 25, dobljeni produkt 150 je večji od največjega števila 30 in je deljiv z vsemi danimi števili brez ostanka. To je najmanjši možni zmnožek (150, 250, 300 ...), katerega vsa podana števila so večkratniki.

Števila 2,3,11,37 so praška, zato je njihova LCM enaka zmnožku danih števil.

pravilo. Če želite izračunati LCM praštevil, morate vsa ta števila pomnožiti skupaj.

Druga možnost:

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik (LCM) več številk, potrebujete:

1) predstavlja vsako število kot produkt njegovih prafaktorjev, na primer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite moči vseh primarnih faktorjev:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapiši vse proste delilce (množitelje) vsakega od teh števil;

4) izberite največjo stopnjo vsakega od njih, ki jo najdemo v vseh razširitvah teh številk;

5) pomnožite te moči.

Primer. Poiščite LCM števil: 168, 180 in 3024.

Odločitev. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Zapišemo največje potence vseh prostih deliteljev in jih pomnožimo:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Opredelitev. Imenuje se največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka največji skupni delilec (gcd) te številke.

Poiščimo največji skupni delilec števil 24 in 35.
Delitelji 24 bodo števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji 35 pa števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata številki 24 in 35 samo en skupni delilec – število 1. Takšna števila se imenujejo soprimeren.

Opredelitev. Naravna števila se imenujejo soprimerenče je njihov največji skupni delitelj (gcd) 1.

Največji skupni delilec (GCD) najdemo, ne da bi zapisali vse delitelje danih števil.

Če množimo številki 48 in 36, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz faktorjev, vključenih v razširitev prvega od teh številk, izbrišemo tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila (tj. dve dvojki).
Ostanejo faktorji 2 * 2 * 3. Njihov produkt je 12. To število je največji skupni delilec števil 48 in 36. Najdemo tudi največjega skupnega delitelja treh ali več števil.

Najti največji skupni delilec

2) iz faktorjev, vključenih v razširitev enega od teh številk, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.

Če so vsa podana števila deljiva z enim od njih, potem je to število največji skupni delilec dane številke.
Na primer, največji skupni delilec 15, 45, 75 in 180 je 15, saj deli vsa ostala števila: 45, 75 in 180.

Najmanj pogosti večkratnik (LCM)

Opredelitev. Najmanj pogosti večkratnik (LCM) naravni števili a in b sta najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) številk 75 in 60 je mogoče najti brez zapisovanja večkratnikov teh števil v vrsti. Če želite to narediti, razgradimo 75 in 60 na preproste faktorje: 75 \u003d 3 * 5 * 5 in 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Izpišemo faktorje, ki so vključeni v razširitev prvega od teh številk, in jim dodamo manjkajoči faktor 2 in 2 iz razširitve drugega števila (torej združimo faktorje).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Poišči tudi najmanjši skupni večkratnik treh ali več številk.

Za poišči najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razstavimo na prafaktorje;
2) napišite faktorje, ki so vključeni v razširitev ene od številk;
3) prištej jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih številk;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.

Upoštevajte, da če je eno od teh številk deljivo z vsemi drugimi števili, je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik 12, 15, 20 in 60 bi bil 60, saj je deljiv z vsemi danimi števili.

Pitagora (VI stoletje pr.n.št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. Število, ki je enako vsoti vseh njegovih deliteljev (brez števila samega), so imenovali popolno število. Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so ​​popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Peti - 33 550 336 - je bil najden v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih številk. Toda do zdaj znanstveniki ne vedo, ali obstajajo liha popolna števila, ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila je posledica dejstva, da je katero koli število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevil, to je, da so praštevila kot opeke, iz katerih so zgrajena preostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda bolj ko se premikamo po številski vrsti, redkejša so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (3. stoletje pr.n.št.) je v svoji knjigi »Začetki«, ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je neskončno veliko praštevil, torej za vsakim praštevilom je sodo večje praštevilo.
Za iskanje praštevil je tako metodo izmislil drug grški matematik istega časa, Eratosten. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa prečrtal enoto, ki ni niti pra niti sestavljeno število, nato pa skozi eno prečrtal vsa števila za 2 (števila, ki so večkratniki 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prvo preostalo število po 2 je bilo 3. Nato so po dveh prečrtali vse številke za 3 (številke, ki so večkratniki 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na koncu so ostala neprečrtana le praštevila.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik?

Treba je najti vsak faktor vsakega od dveh števil, za katerega najdemo najmanjši skupni mnogokratnik, nato pa faktorje, ki so sovpadali s prvim in drugim številom, pomnožimo med seboj. Rezultat izdelka bo želeni večkratnik.

Na primer, imamo številki 3 in 5 in moramo najti LCM (najmanjši skupni večkratnik). nas je treba pomnožiti in tri in pet za vsa števila od 1 2 3 ... in tako naprej, dokler ne vidimo istega števila tako tam kot tam.

Pomnožimo tri in dobimo: 3, 6, 9, 12, 15

Pomnožite pet in dobite: 5, 10, 15

Metoda faktorizacije praštevil je najbolj klasična za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) večih števil. Ta metoda je jasno in preprosto prikazana v naslednjem videu:

Seštevanje, množenje, deljenje, zmanjševanje na skupni imenovalec in druge aritmetične operacije so zelo razburljiva dejavnost, še posebej občudujejo primeri, ki zasedajo cel list.

Torej poiščite skupni večkratnik za dve števili, ki bo najmanjše število, s katerim sta deljivi dve številki. Želim opozoriti, da se v prihodnosti ni treba zateči k formulam, da bi našli tisto, kar iščete, če lahko štejete v mislih (in to je mogoče trenirati), potem se številke same pojavijo v vaši glavi in ​​nato ulomki klikajo kot orehi.

Za začetek se naučimo, da lahko pomnožimo dve številki drug proti drugemu, nato pa to številko zmanjšamo in jo izmenično delimo s tema dvema številkama, tako da bomo našli najmanjši večkratnik.

Na primer dve številki 15 in 6. Pomnožimo in dobimo 90. To je očitno večje število. Poleg tega je 15 deljivo s 3 in 6 je deljivo s 3, kar pomeni, da tudi 90 delimo s 3. Dobimo 30. Poskušamo deliti 30 s 15 je 2. In 30 deli 6 je 5. Ker je 2 meja, izkaže se, da bo najmanjši večkratnik za številki 15 in 6 30.

Z več številkami bo malo težje. če pa veste, katera števila dajejo nič preostanka, ko jih delite ali pomnožite, potem načeloma ni velikih težav.

• Kako najti NOC

  Tukaj je video, ki vam bo pokazal dva načina za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM). Z uporabo prve od predlaganih metod lahko bolje razumete, kaj je najmanjši pogost večkratnik.

Tukaj je še en način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika. Poglejmo si ilustrativen primer.

Naenkrat je treba najti LCM treh številk: 16, 20 in 28.

• Vsako število predstavljamo kot zmnožek njegovih primarnih faktorjev:
• Zapišemo moči vseh primarnih faktorjev:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Izberemo vse proste delilnike (množitelje) z največjimi stopinjami, jih pomnožimo in poiščemo LCM:

LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

LCM(16, 20, 28) = 560.

Tako smo kot rezultat izračuna dobili število 560. Je najmanjši skupni večkratnik, torej je deljivo z vsakim od treh števil brez ostanka.

Najmanjši skupni večkratnik je število, ki ga je mogoče deliti z več danimi števili brez ostanka. Če želite izračunati takšno številko, morate vzeti vsako številko in jo razstaviti na preproste faktorje. Številke, ki se ujemajo, se odstranijo. Pusti vse enega po enega, jih pomnožite med seboj in dobite želeni - najmanjši skupni večkratnik.

NOO oz najmanjši skupni večkratnik, je najmanjše naravno število dveh ali več števil, ki je deljivo z vsakim od danih števil brez ostanka.

Tukaj je primer, kako najti najmanjši skupni večkratnik 30 in 42.

• Prvi korak je, da te številke razgradimo na prafaktorje.

Za 30 je 2 x 3 x 5.

Za 42 je to 2 x 3 x 7. Ker sta 2 in 3 v razširitvi števila 30, ju prečrtamo.

• Izpišemo faktorje, ki so vključeni v razširitev števila 30. To je 2 x 3 x 5.
• Zdaj jih morate pomnožiti z manjkajočim faktorjem, ki ga imamo pri razgradnji 42, in to je 7. Dobimo 2 x 3 x 5 x 7.
• Najdemo, koliko je enako 2 x 3 x 5 x 7 in dobimo 210.

Kot rezultat dobimo, da je LCM številk 30 in 42 210.

Najti najmanjši skupni večkratnik, morate slediti nekaj preprostim korakom zaporedoma. Razmislite o tem na primeru dveh številk: 8 in 12

1. Obe števili razstavimo na prafaktorje: 8=2*2*2 in 12=3*2*2
2. Za eno od številk zmanjšamo enake množitelje. V našem primeru, ujemanje 2 * 2, jih zmanjšamo za število 12, potem bo 12 imelo en faktor: 3.
3. Poiščite zmnožek vseh preostalih faktorjev: 2*2*2*3=24

S preverjanjem se prepričamo, da je 24 deljivo z 8 in 12, in to je najmanjše naravno število, ki je deljivo z vsakim od teh števil. Tukaj smo poišči najmanjši skupni večkratnik.

Poskušal bom razložiti na primeru števil 6 in 8. Najmanjši skupni večkratnik je število, ki ga lahko delimo s tema številkama (v našem primeru 6 in 8) in ostanka ne bo.

Torej, najprej začnemo množiti 6 z 1, 2, 3 itd. in 8 z 1, 2, 3 itd.

Kako najti LCM (najmanj pogosti večkratnik)

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil je najmanjše od vseh celih števil, ki je deljivo enakomerno in brez ostanka z obema danima številoma.

1. metoda. LCM lahko po vrsti najdete za vsako od danih številk, tako da v naraščajočem vrstnem redu zapišete vsa števila, ki jih dobite tako, da jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 itd.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 zaporedoma pomnožimo z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 zaporedno pomnožimo z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot lahko vidite, bo LCM za številki 6 in 9 18.

Ta metoda je priročna, če sta obe številki majhni in ju je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. Vendar pa obstajajo primeri, ko morate najti LCM za dvomestna ali trimestna števila in tudi, ko so začetnih številk tri ali celo več.

2. metoda. LCM lahko najdete tako, da prvotna števila razgradite na prafaktorje.
Po razgradnji je treba enaka števila prečrtati iz nastale serije pra faktorjev. Preostale številke prvega števila bodo faktor za drugo, preostale številke drugega števila pa bodo faktor za prvo.

Primer za številki 75 in 60.
Najmanjši skupni večkratnik številk 75 in 60 je mogoče najti brez zapisovanja večkratnikov teh številk v vrsti. Da bi to naredili, razstavimo 75 in 60 na osnovne faktorje:
75 = 3 * 5 * 5 in
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot lahko vidite, se faktorja 3 in 5 pojavljata v obeh vrsticah. Mentalno jih »prečrtamo«.
Zapišimo preostale faktorje, ki so vključeni v razširitev vsakega od teh številk. Pri razgradnji števila 75 smo zapustili številko 5, pri razgradnji števila 60 pa 2 * 2
Torej, da določimo LCM za številki 75 in 60, moramo preostale številke iz razširitve 75 (to je 5) pomnožiti s 60 in številke, ki ostanejo od razširitve števila 60 (to je 2 * 2 ) pomnožimo s 75. To pomeni, da zaradi lažjega razumevanja rečemo, da množimo "navzkrižno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za številki 60 in 75. To je število 300.

Primer. Določi LCM za števila 12, 16, 24
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Toda najprej, kot vedno, razstavimo vsa števila na prafaktorje
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše od vseh številk (to je število 12) in zaporedoma gremo skozi njegove faktorje ter jih prečrtamo, če ima vsaj ena od drugih vrstic števil enak množitelj, ki še ni bil prečrtan. ven.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh serijah števil. Prečrtamo jih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

2. korak. V prafaktorjih števila 12 ostane samo število 3. Prisotno pa je v pramnožnikih števila 24. Število 3 prečrtamo iz obeh vrstic, medtem ko za število 16 ne pričakujemo nobenega dejanja. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot vidite, smo pri razstavljanju števila 12 "prečrtali" vsa števila. Tako je ugotovitev NOO končana. Ostaja samo izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzamemo preostale faktorje iz števila 16 (najbližje v naraščajočem vrstnem redu)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, vam ta metoda omogoča hitrejše. Vendar sta oba načina iskanja LCM pravilna.