Narišite spletni kalkulator funkcije. Izdelava grafa funkcij na spletu
Na tej strani smo za vas poskušali zbrati najbolj popolne informacije o študiju funkcije. Nič več googlanja! Samo preberite, preučite, prenesite, sledite izbranim povezavam.
Splošna shema študije
kaj potrebuješ ta študija, sprašujete, ali obstaja veliko storitev, ki bodo zgrajene za najbolj zapletene funkcije? Da bi ugotovili lastnosti in značilnosti te funkcije: kako se obnaša v neskončnosti, kako hitro spreminja predznak, kako gladko ali močno se povečuje ali zmanjšuje, kam so usmerjene "grbe" konveksnosti, kje so vrednosti ni opredeljeno itd.
In že na podlagi teh "značilnosti" je zgrajena postavitev grafa - slika, ki je pravzaprav sekundarna (čeprav je pomembna za izobraževalne namene in potrjuje pravilnost vaše odločitve).
Začnimo seveda s načrt. Raziskave funkcij - obsežna naloga(morda najbolj obsežen od tradicionalnega predmeta višje matematike, običajno od 2 do 4 strani vključno z risbo), zato, da ne bi pozabili, kaj storiti v kakšnem vrstnem redu, sledite spodnjim točkam.
algoritem
- Poiščite domeno definicije. Izberite posebne točke (prelomne točke).
- Preverite prisotnost vertikalnih asimptot na točkah diskontinuitete in na mejah domene definicije.
- Poiščite presečišča s koordinatnimi osemi.
- Ugotovite, ali je funkcija soda ali liha.
- Ugotovite, ali je funkcija periodična ali ne (samo za trigonometrične funkcije).
- Poiščite ekstremne točke in intervale monotonosti.
- Poiščite pregibne točke in intervale konveksnost-konkavnost.
- Poiščite poševne asimptote. Raziščite vedenje v neskončnosti.
- Izberite dodatne točke in izračunajte njihove koordinate.
- Narišite graf in asimptote.
V različnih virih (učbeniki, priročniki, predavanja vašega učitelja) ima lahko seznam drugačno obliko: nekateri elementi so zamenjani, kombinirani z drugimi, zmanjšani ali odstranjeni. Pri načrtovanju rešitve upoštevajte zahteve/preference svojega učitelja.
Študijska shema v pdf formatu: prenos.
Primer popolne rešitve na spletu
Izvedite popolno študijo in narišite funkcijo $$ y(x)=\frac(x^2+8)(1-x). $$
1) Obseg funkcije. Ker je funkcija ulomek, morate najti ničle imenovalca. $$1-x=0, \quad \Rightarrow \quad x=1.$$ Izključimo edino točko $x=1$ iz domene funkcije in dobimo: $$ D(y)=(-\infty; 1 ) \ skodelica (1;+\infty). $$
2) Preučujemo obnašanje funkcije v bližini točke diskontinuitete. Poiščite enostranske omejitve:
Ker so meje enake neskončnosti, je točka $x=1$ diskontinuiteta druge vrste, premica $x=1$ je navpična asimptota.
3) Določi presečišča grafa funkcije s koordinatnimi osmi.
Poiščimo presečišča z y-osjo $Oy$, za katere enačimo $x=0$:
Tako ima točka presečišča z osjo $Oy$ koordinate $(0;8)$.
Poiščimo presečišča z abscisno osjo $Ox$, za katere smo postavili $y=0$:
Enačba nima korenin, zato ni presečišč z osjo $Ox$.
Upoštevajte, da je $x^2+8>0$ za kateri koli $x$. Zato za $x \in (-\infty; 1)$ funkcija $y>0$ (prevzame pozitivne vrednosti, graf je nad osjo x), za $x \in (1; +\infty)$ funkcija $y\lt $0 (prevzame negativne vrednosti, graf je pod osjo x).
4) Funkcija ni niti soda niti liha, ker:
5) Funkcijo raziskujemo za periodičnost. Funkcija ni periodična, saj je delna racionalna funkcija.
6) Raziskujemo funkcijo za ekstreme in monotonost. Za to poiščemo prvo izpeljanko funkcije:
Izenačite prvo izpeljanko z nič in poiščite stacionarne točke (v katerih je $y"=0$):
Dobili smo tri kritične točke: $x=-2, x=1, x=4$. Celotno domeno funkcije razdelimo na intervale po teh točkah in v vsakem intervalu določimo predznake odvoda:
Za $x \in (-\infty; -2), (4;+\infty)$ je izpeljanka $y" \lt 0$, zato funkcija pada na teh intervalih.
Za $x \in (-2; 1), (1;4)$ izpeljanko $y" >0$ se funkcija na teh intervalih poveča.
V tem primeru je $x=-2$ lokalna minimalna točka (funkcija se zmanjša in nato poveča), $x=4$ je lokalna maksimalna točka (funkcija se poveča in nato zmanjša).
Poiščimo vrednosti funkcije na teh točkah: 
Tako je najmanjša točka $(-2;4)$, največja točka pa $(4;-8)$.
7) Funkcijo preučimo za prepone in konveksnost. Poiščimo drugo izpeljanko funkcije:
Drugi izvod izenačimo z nič:
Nastala enačba nima korenin, zato ni pregibnih točk. Poleg tega, ko se izvede $x \in (-\infty; 1)$ $y"" \gt 0$, to pomeni, da je funkcija konkavna, ko je $x \in (1;+\infty)$ $y" " \ lt 0$, to pomeni, da je funkcija konveksna.
8) Raziskujemo obnašanje funkcije na neskončnosti, to je pri .
Ker so meje neskončne, horizontalnih asimptot ni.
Poskusimo določiti poševne asimptote oblike $y=kx+b$. Vrednosti $k, b$ izračunamo po znanih formulah:
Dobili smo, da ima funkcija eno poševno asimptoto $y=-x-1$.
9) Dodatne točke. Izračunajmo vrednost funkcije na nekaterih drugih točkah, da bi natančneje zgradili graf.
$$y(-5)=5,5; \quad y(2)=-12; \quad y(7)=-9,5. $$
10) Na podlagi pridobljenih podatkov bomo zgradili graf, ga dopolnili z asimptotami $x=1$ (modra), $y=-x-1$ (zelena) in označili karakteristične točke (presečišče z y- os je vijolična, ekstremi so oranžni, dodatne točke so črne):
Primeri rešitev za raziskovanje funkcije
Različne funkcije (polinomi, logaritmi, ulomki). njihove značilnosti v študiji(diskontinuitete, asimptote, število ekstremov, omejeno področje definicije), zato smo tukaj poskušali zbrati primere iz kontrolnih za preučevanje funkcij najpogostejših tipov. Vso srečo pri študiju!
1. naloga. Raziščite funkcijo z metodami diferencialnega računa in zgradite graf.
$$y=\frac(e^x)(x).$$
2. naloga. Raziščite funkcijo in narišite njen graf.
$$y=-\frac(1)(4)(x^3-3x^2+4).$$
3. naloga. Raziščite funkcijo z uporabo izpeljanke in zgradite graf.
$$y=\ln \frac(x+1)(x+2).$$
4. naloga. Izvedite popolno študijo funkcije in sestavite graf.
$$y=\frac(x)(\sqrt(x^2+x)).$$
5. naloga. Raziščite funkcijo z metodo diferencialnega računa in zgradite graf.
$$y=\frac(x^3-1)(4x^2).$$
6. naloga. Preglejte funkcijo za ekstreme, monotonost, konveksnost in zgradite graf.
$$y=\frac(x^3)(x^2-1).$$
7. naloga. Izvedite raziskavo funkcij z risanjem.
$$y=\frac(x^3)(2(x+5)^2).$$
Kako zgraditi graf na spletu?
Tudi če vas učitelj prosi, da oddate nalogo, ročno napisan, z risbo na listu v škatli, vam bo pri odločitvi za sestavljanje grafa v posebnem programu (ali storitvi) izjemno koristno preveriti napredek rešitve, primerjati njegov videz z ročno pridobljenim, možno je najti napake v vaših izračunih (če se grafi očitno obnašajo drugače).
Spodaj boste našli več povezav do spletnih mest, ki vam omogočajo, da zgradite priročno, hitro, lepo in seveda brezplačno grafiko za skoraj vse funkcije. Pravzaprav je takšnih storitev veliko več, a se splača iskati, če so izbrane najboljše?
Desmosov grafični kalkulator
Druga povezava je praktična, za tiste, ki se želite naučiti graditi lepe grafe na Desmos.com (glej opis zgoraj): Popolna navodila za delo z Desmosom. Ta priročnik je precej star, od takrat se je vmesnik spletnega mesta spremenil na bolje, vendar so osnove ostale nespremenjene in vam bodo pomagale hitro razumeti pomembne funkcije storitve.
Uradna navodila, primere in video navodila v angleščini najdete tukaj: Learn Desmos.
Reshebnik
Nujno potrebujete dokončano nalogo? Več kot sto različnih funkcij s popolnim raziskovanjem vas že čaka. Natančna rešitev, hitro plačilo s SMS-om in nizka cena - cca. 50 rubljev. Mogoče je vaša naloga že pripravljena? Preverite!
Uporabni videoposnetki
Webinar o sodelovanju z Desmos.com. To je že popoln pregled funkcij spletnega mesta, za celih 36 minut. Žal je v angleščini, a za večino razumevanja zadostujeta osnovno znanje jezika in pozornost.
Kul stari poljudnoznanstveni film "Matematika. Funkcije in grafi". Razlage na prstih v pravem pomenu besede same osnove.
"Naravni logaritem" - 0,1. naravni logaritmi. 4. "Logaritmične puščice". 0,04 7.121.
"Razred funkcije moči 9" - U. kubična parabola. Y = x3. Učiteljica 9. razreda Ladoshkina I.A. Y = x2. hiperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n, kjer je n dano naravno število. X. Eksponent je sodo naravno število (2n).
"Kvadratna funkcija" - 1 Definicija kvadratne funkcije 2 Lastnosti funkcije 3 Funkcijski grafikoni 4 Kvadratne neenakosti 5 Zaključek. Lastnosti: Neenakosti: Pripravil Andrey Gerlitz, učenec 8A razreda. Načrt: Graf: -Intervali monotonosti pri a > 0 pri a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
"Kvadratna funkcija in njen graf" - Odločitev. y = 4x A (0,5: 1) 1 = 1 A-pripada. Ko je a=1, dobi formula y=ax obliko.
"Kvadratna funkcija 8. razreda" - 1) Konstruiraj vrh parabole. Izris kvadratne funkcije. x -7. Narišite funkcijo. Algebra 8. razred Učitelj 496 šola Bovina TV -1. Načrt gradnje. 2) Konstruiraj simetrično os x=-1. y.
Izberemo pravokotni koordinatni sistem na ravnini in narišemo vrednosti argumenta na osi abscise X, in na osi y - vrednosti funkcije y = f(x).
Funkcijski graf y = f(x) kliče se množica vseh točk, za katere abscise pripadajo domeni funkcije, ordinate pa so enake ustreznim vrednostim funkcije.
Z drugimi besedami, graf funkcije y \u003d f (x) je množica vseh točk v ravnini, koordinate X, pri ki zadovoljujejo razmerje y = f(x).
Na sl. 45 in 46 sta grafa funkcij y = 2x + 1 in y \u003d x 2 - 2x.
Strogo gledano, je treba razlikovati med grafom funkcije (čigar natančna matematična definicija je bila podana zgoraj) in narisano krivuljo, ki vedno daje le bolj ali manj natančno skico grafa (in tudi takrat praviloma ne celotnega grafa, temveč le njegovega dela, ki se nahaja v končnih delih ravnine). V nadaljevanju pa se bomo običajno sklicevali na "graf" in ne na "skico grafikona".
Z uporabo grafa lahko najdete vrednost funkcije v točki. Namreč, če točka x = a spada v obseg funkcije y = f(x), nato pa najti številko f(a)(tj. vrednosti funkcije na točki x = a) bi moral to storiti. Potrebujemo skozi piko z absciso x = a narišite ravno črto, vzporedno z osjo y; ta vrstica bo sekala graf funkcije y = f(x) na eni točki; ordinata te točke bo na podlagi definicije grafa enaka f(a)(slika 47).
Na primer za funkcijo f(x) = x 2 - 2x s pomočjo grafa (slika 46) najdemo f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 itd.
Funkcijski graf vizualno ponazarja obnašanje in lastnosti funkcije. Na primer, iz obravnave sl. 46 je jasno, da funkcija y \u003d x 2 - 2x prevzame pozitivne vrednosti, ko X< 0 in pri x > 2, negativno - pri 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x sprejema pri x = 1.
Za risanje funkcije f(x) najti morate vse točke ravnine, koordinate X,pri ki izpolnjujejo enačbo y = f(x). V večini primerov je to nemogoče, saj je takšnih točk neskončno veliko. Zato je graf funkcije prikazan približno - z večjo ali manjšo natančnostjo. Najpreprostejša je metoda risbe z več točkami. Sestoji iz dejstva, da je argument X dajte končno število vrednosti - recimo x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k in naredite tabelo, ki vključuje izbrane vrednosti funkcije.
Tabela izgleda takole:
Ko sestavimo takšno tabelo, lahko začrtamo več točk na grafu funkcije y = f(x). Potem, ko te točke povežemo z gladko črto, dobimo približen pogled na graf funkcije y = f(x).
Vendar je treba opozoriti, da je metoda izrisa z več točkami zelo nezanesljiva. Dejansko ostaja vedenje grafa med označenimi točkami in njegovo obnašanje zunaj segmenta med skrajnimi točkami neznano.
Primer 1. Za risanje funkcije y = f(x) nekdo je sestavil tabelo vrednosti argumentov in funkcij:
Ustreznih pet točk je prikazanih na sl. 48.
Glede na lokacijo teh točk je zaključil, da je graf funkcije ravna črta (na sliki 48 prikazana s pikčasto črto). Ali se ta sklep lahko šteje za zanesljivega? Razen če obstajajo dodatni premisleki, ki bi podprli ta sklep, ga težko štejemo za zanesljivega. zanesljiv.
Za utemeljitev naše trditve razmislite o funkciji
.
Izračuni kažejo, da so vrednosti te funkcije v točkah -2, -1, 0, 1, 2 opisane v zgornji tabeli. Vendar pa graf te funkcije sploh ni ravna črta (prikazano je na sliki 49). Drug primer je funkcija y = x + l + sinx; njeni pomeni so opisani tudi v zgornji tabeli.
Ti primeri kažejo, da je v svoji "čisti" obliki metoda risbe z več točkami nezanesljiva. Zato za izris dane funkcije praviloma postopajte na naslednji način. Najprej se preučijo lastnosti te funkcije, s pomočjo katerih je mogoče sestaviti skico grafa. Nato se z izračunom vrednosti funkcije na več točkah (katerih izbira je odvisna od nastavljenih lastnosti funkcije) najdejo ustrezne točke grafa. In končno se skozi konstruirane točke nariše krivulja z uporabo lastnosti te funkcije.
Nekatere (najpreprostejše in pogosto uporabljene) lastnosti funkcij, ki se uporabljajo za iskanje skice grafa, bomo obravnavali kasneje, zdaj pa bomo analizirali nekatere pogosto uporabljene metode za risanje grafov.
Graf funkcije y = |f(x)|.
Pogosto je treba narisati funkcijo y = |f(x)|, kje f(x) - dano funkcijo. Spomnite se, kako se to naredi. Po definiciji absolutne vrednosti števila lahko zapišemo
To pomeni, da je graf funkcije y=|f(x)| lahko dobimo iz grafa, funkcije y = f(x) takole: vse točke grafa funkcije y = f(x), katerega ordinate niso negativne, je treba pustiti nespremenjeno; dalje namesto točk grafa funkcije y = f(x), ki ima negativne koordinate, je treba zgraditi ustrezne točke grafa funkcije y = -f(x)(tj. del grafa funkcij
y = f(x), ki leži pod osjo X, se mora odražati simetrično glede na os X).
Primer 2 Narišite funkcijo y = |x|.
Vzamemo graf funkcije y = x(slika 50, a) in del tega grafa z X< 0 (leži pod osjo X) se simetrično odraža glede na os X. Kot rezultat dobimo graf funkcije y = |x|(slika 50, b).
Primer 3. Narišite funkcijo y = |x 2 - 2x|.
Najprej narišemo funkcijo y = x 2 - 2x. Graf te funkcije je parabola, katere veje so usmerjene navzgor, vrh parabole ima koordinate (1; -1), njen graf seka abscisno os v točkah 0 in 2. Na intervalu (0; 2 ) funkcija ima negativne vrednosti, zato se ta del grafa odraža simetrično glede na os x. Slika 51 prikazuje graf funkcije y \u003d |x 2 -2x |, ki temelji na grafu funkcije y = x 2 - 2x
Graf funkcije y = f(x) + g(x)
Razmislite o problemu izrisa funkcije y = f(x) + g(x).če so podani grafi funkcij y = f(x) in y = g(x).
Upoštevajte, da je domena funkcije y = |f(x) + g(x)| je množica vseh tistih vrednosti x, za katere sta definirani obe funkciji y = f(x) in y = g(x), t.j. ta domena definicije je presečišče definicijskih domen, funkcij f(x) ) in g(x).
Pustite točke (x 0, y 1) in (x 0, y 2) pripadajo funkcijskim grafom y = f(x) in y = g(x), torej y 1 = f (x 0), y 2 = g (x 0). Potem točka (x0;. y1 + y2) pripada grafu funkcije y = f(x) + g(x)(za f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. in katera koli točka grafa funkcije y = f(x) + g(x) je mogoče dobiti na ta način. Zato graf funkcije y = f(x) + g(x) je mogoče dobiti iz funkcijskih grafov y = f(x). in y = g(x) z zamenjavo vsake točke ( x n, y 1) funkcijska grafika y = f(x) pika (x n, y 1 + y 2), kje y 2 = g(x n), torej s premikanjem vsake točke ( x n, y 1) graf funkcije y = f(x) vzdolž osi pri po znesku y 1 \u003d g (x n). V tem primeru se upoštevajo samo takšne točke. X n, za katerega sta definirani obe funkciji y = f(x) in y = g(x).
Ta metoda izrisa funkcijskega grafa y = f(x) + g(x) se imenuje seštevanje grafov funkcij y = f(x) in y = g(x)
Primer 4. Na sliki je z metodo dodajanja grafov sestavljen graf funkcije
y = x + sinx.
Pri risanju funkcije y = x + sinx to smo domnevali f(x) = x, a g(x) = sinx. Za izgradnjo funkcijskega grafa izberemo točke z abscisami -1,5π, -, -0,5, 0, 0,5,, 1,5, 2. Vrednosti f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx izračunali bomo na izbranih točkah in rezultate uvrstili v tabelo.
Lekcija na temo: "Graf in lastnosti funkcije $y=x^3$. Primeri risbe"
Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, povratnih informacij, predlogov. Vse materiale preveri protivirusni program.
Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini "Integral" za 7. razred
Elektronski učbenik za 7. razred "Algebra v 10 minutah"
Izobraževalni kompleks 1C "Algebra, 7-9 razredi"
Lastnosti funkcije $y=x^3$
Opišimo lastnosti te funkcije:
1. x je neodvisna spremenljivka, y je odvisna spremenljivka.
2. Področje definicije: očitno je, da je za vsako vrednost argumenta (x) mogoče izračunati vrednost funkcije (y). V skladu s tem je področje definicije te funkcije celotna številska premica.
3. Obseg vrednosti: y je lahko kar koli. V skladu s tem je obseg tudi celotna številska premica.
4. Če je x= 0, potem je y= 0.
Graf funkcije $y=x^3$
1. Naredimo tabelo vrednosti:
2. Za pozitivne vrednosti x je graf funkcije $y=x^3$ zelo podoben paraboli, katere veje so bolj "pritisnjene" na os OY.
3. Ker ima funkcija $y=x^3$ nasprotne vrednosti za negativne vrednosti x, je graf funkcije simetričen glede na izvor.
Sedaj označimo točke na koordinatni ravnini in zgradimo graf (glej sliko 1).
Ta krivulja se imenuje kubična parabola.
Primeri
I. Majhni ladji je zmanjkalo sladke vode. Iz mesta je treba prinesti dovolj vode. Voda se naroči vnaprej in plača za polno kocko, tudi če jo napolniš malo manj. Koliko kock je treba naročiti, da ne bi preplačali za dodatno kocko in popolnoma napolnili rezervoar? Znano je, da ima rezervoar enako dolžino, širino in višino, ki so enake 1,5 m. Rešimo to težavo brez izvajanja izračunov.
Odločitev:
1. Narišemo funkcijo $y=x^3$.
2. Poiščite točko A, koordinata x, ki je enaka 1,5. Vidimo, da je koordinata funkcije med vrednostma 3 in 4 (glej sliko 2). Torej morate naročiti 4 kocke.
Vaša zasebnost nam je pomembna. Zaradi tega smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.
Od vas se lahko zahteva, da navedete svoje osebne podatke kadar koli, ko nas kontaktirate.
V nadaljevanju je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko oddate prijavo na spletnem mestu, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da stopimo v stik z vami in vas obvestimo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
- Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različnih raziskav, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.
Razkritje tretjim osebam
Podatkov, ki jih prejmete od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- V primeru, da je treba - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno zaradi varnosti, kazenskega pregona ali drugih razlogov javnega interesa.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega naslednika tretje osebe.
Zaščita osebnih podatkov
Sprejmemo previdnostne ukrepe – vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo, pa tudi pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, svojim zaposlenim sporočamo prakse zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse zasebnosti.