Matematični predznak je poljubno število. Iz zgodovine matematičnih simbolov

Balagin Viktor

Z odkritjem matematičnih pravil in izrekov so znanstveniki prišli do novih matematičnih zapisov, znakov. Matematični znaki so simboli, namenjeni beleženju matematičnih konceptov, stavkov in izračunov. V matematiki se uporabljajo posebni simboli, ki skrajšajo zapis in natančneje izrazijo trditev. Poleg številk in črk različnih abeced (latinica, grška, hebrejska) matematični jezik uporablja številne posebne simbole, izumljene v zadnjih nekaj stoletjih.

Prenesi:

Predogled:

MATEMATIČNI SIMBOLI.

Opravil sem delo

Učenka 7. razreda

Srednja šola GBOU št. 574

Balagin Viktor

2012-2013 študijsko leto

MATEMATIČNI SIMBOLI.

1. Uvod

Beseda matematika je k nam prišla iz stare grščine, kjer je μάθημα pomenilo »učiti se«, »pridobiti znanje«. In tisti, ki pravi: »Matematike ne rabim, matematik ne bom postal« se moti. Vsak potrebuje matematiko. Razkriva neverjeten svet številk okoli nas, nas uči jasnejšega in doslednega razmišljanja, razvija misel, pozornost, vzgaja vztrajnost in voljo. M. V. Lomonosov je rekel: "Matematika spravlja um v red." Z eno besedo, matematika nas uči, kako se naučiti pridobivati ​​znanje.

Matematika je prva znanost, ki jo je človek lahko obvladal. Najstarejša dejavnost je bilo štetje. Nekatera primitivna plemena so preštela število predmetov s prsti na rokah in nogah. Skalna risba, ki se je do naših časov ohranila iz kamene dobe, prikazuje številko 35 v obliki 35 v vrsti narisanih palic. Lahko rečemo, da je 1 palica prvi matematični simbol.

Matematično "pisovanje", ki ga zdaj uporabljamo - od zapisa neznanih črk x, y, z do integralnega znaka - se je razvijalo postopoma. Razvoj simbolike je poenostavil delo z matematičnimi operacijami in prispeval k razvoju same matematike.

Iz starogrškega "simbola" (gr. simbolon - znak, znak, geslo, emblem) - znak, ki je povezan z objektivnostjo, ki jo označuje na način, da pomen znaka in njegovega predmeta predstavlja samo znak sam in se razkrije samo skozi njeno interpretacijo.

Z odkritjem matematičnih pravil in izrekov so znanstveniki prišli do novih matematičnih zapisov, znakov. Matematični znaki so simboli, namenjeni beleženju matematičnih konceptov, stavkov in izračunov. V matematiki se uporabljajo posebni simboli, ki skrajšajo zapis in natančneje izrazijo trditev. Poleg številk in črk različnih abeced (latinica, grška, hebrejska) matematični jezik uporablja številne posebne simbole, izumljene v zadnjih nekaj stoletjih.

2. Znaki seštevanja, odštevanja

Zgodovina matematičnega zapisa se začne v paleolitu. Iz tega časa segajo kamni in kosti z zarezami, ki se uporabljajo za štetje. Najbolj znan primer jeishango kost. Slavna kost iz Išanga (Kongo), ki sega približno 20 tisoč let pred našim štetjem, dokazuje, da je človek že takrat izvajal precej zapletene matematične operacije. Zareze na kosteh so bile uporabljene za seštevanje in so bile uporabljene v skupinah, kar simbolizira seštevanje številk.

Stari Egipt je že imel veliko naprednejši sistem zapisov. Na primer, vahmesov papiruskot simbol za seštevanje je v besedilu uporabljena podoba dveh nog, ki hodita naprej, za odštevanje pa dve nogi, ki hodita nazaj.Stari Grki so seštevanje označevali tako, da so pisali drug ob drugem, občasno pa so za to uporabljali poševnico »/« in za odštevanje poleliptično krivuljo.

Simboli za aritmetične operacije seštevanja (plus "+") in odštevanja (minus "-") so tako pogosti, da skoraj nikoli ne pomislimo, da niso vedno obstajali. Izvor teh simbolov ni jasen. Ena od različic je, da so jih prej uporabljali v trgovanju kot znake dobička in izgube.

Verjame se tudi, da je naše znamenjeizvira iz ene od oblik besede »et«, ki v latinščini pomeni »in«. Izraz a+b napisano v latinščini takole: a et b . Postopoma, zaradi pogoste uporabe, od znaka " et "ostane samo" t ", ki se je sčasoma spremenila v"+ ". Prva oseba, ki je morda uporabila znakkot okrajšava za et je bila sredi štirinajstega stoletja astronomka Nicole d'Orem (avtorica Knjige o nebu in svetu).

Konec petnajstega stoletja sta francoski matematik Chiquet (1484) in italijanski Pacioli (1494) uporabila »'' ali " '' (označuje "plus") za seštevanje in "'' ali " '' (označuje "minus") za odštevanje.

Zapis odštevanja je bil bolj zmeden, saj je namesto preprostega "” v nemških, švicarskih in nizozemskih knjigah včasih uporablja simbol “÷”, s katerim zdaj označujemo delitev. Več knjig iz sedemnajstega stoletja (na primer Descartesove in Mersennove) je uporabilo dve piki »∙ ∙« ali tri pike »∙ ∙ ∙« za označevanje odštevanja.

Prva uporaba sodobnega algebraičnega znaka "” se nanaša na nemški rokopis o algebri iz leta 1481, ki so ga našli v knjižnici v Dresdnu. V latinskem rokopisu iz istega časa (tudi iz Dresdenske knjižnice) sta oba znaka: "" in " - " . Sistematična uporaba znakov "” in “-” za seštevanje in odštevanje se pojavi vJohann Widmann. Nemški matematik Johann Widmann (1462-1498) je prvi uporabil oba znaka za označevanje prisotnosti in odsotnosti študentov na svojih predavanjih. Res je, obstajajo dokazi, da si je te znake "izposodil" od malo znanega profesorja na univerzi v Leipzigu. Leta 1489 je v Leipzigu izdal prvo tiskano knjigo (Merkantilna aritmetika - »Komercialna aritmetika«), v kateri sta bila prisotna oba znaka. in , v delu "Hiter in prijeten račun za vse trgovce" (ok. 1490)

Kot zgodovinsko zanimivost velja omeniti, da tudi po prevzemu znakaniso vsi uporabljali tega simbola. Widman ga je sam predstavil kot grški križ(znak, ki ga uporabljamo danes), katerega vodoravna poteza je včasih nekoliko daljša od navpične. Nekateri matematiki, kot so Record, Harriot in Descartes, so uporabljali isti znak. Drugi (npr. Hume, Huygens in Fermat) so uporabljali latinski križ "†", včasih postavljen vodoravno, s prečko na enem ali drugem koncu. Končno so nekateri (kot je Halley) uporabili bolj dekorativni videz " ».

3. Znak enakosti

Predznak enakosti v matematiki in drugih natančnih vedah je zapisan med dvema izrazoma, ki sta enaki velikosti. Diofant je bil prvi, ki je uporabil znak enakosti. Enakost je označil s črko i (iz grškega isos - enak). ATantične in srednjeveške matematikeEnakost je bila navedena ustno, na primer est egale, ali pa so uporabili okrajšavo "ae" iz latinskega aequalis - "enako". Drugi jeziki so uporabljali tudi prve črke besede "enako", vendar to ni bilo splošno sprejeto. Znak enakosti "=" je leta 1557 uvedel valižanski zdravnik in matematik.Robert Record(Zapis R., 1510-1558). Simbol II je v nekaterih primerih služil kot matematični simbol za enakost. Zapis je predstavil simbol "=" z dvema enakima vodoravnima vzporednima črtama, veliko daljšima od tistih, ki se uporabljajo danes. Angleški matematik Robert Record je bil prvi, ki je uporabil simbol "enakost" in argumentiral z besedami: "nobena dva predmeta ne moreta biti enaka več kot dva vzporedna segmenta." Toda tudi vXVII stoletjeRene Descartesuporabljal okrajšavo "ae".François Vietznak enako označuje odštevanje. Nekaj ​​časa je širjenje simbola Record oviralo dejstvo, da je bil isti simbol uporabljen za označevanje vzporednih črt; na koncu je bilo odločeno, da se simbol vzporednosti postavi navpično. Znak je bil razširjen šele po delih Leibniza na prelomu 17. v 18. stoletje, to je več kot 100 let po smrti osebe, ki ga je prva uporabila za to.Roberta Record. Na njegovem nagrobniku ni besed – le vklesan znak »enakopravnosti«.

Sorodni simboli za približno enakost "≈" in identiteto "≡" so zelo mladi - prvega je leta 1885 uvedel Günther, drugega - leta 1857Riemann

4. Znaki množenja in deljenja

Znak za množenje v obliki križa ("x") je uvedel anglikanski duhovnik matematikWilliam Otred v 1631. Pred njim je bila za znak množenja uporabljena črka M, čeprav so bile predlagane druge oznake: simbol pravokotnika (Erigon, ), zvezdica ( Johann Rahn, ).

kasneje Leibnizzamenjal križ s piko (konec17. stoletje), da ne bi zamenjali s črko x ; pred njim je bila takšna simbolika najdena vRegiomontana (15. stoletje) in angleški znanstvenikThomas Harriot (1560-1621).

Za označevanje dejanja delitvepodružnicaraje poševnico. Delitev debelega črevesa je začela označevatiLeibniz. Pred njimi se je pogosto uporabljala tudi črka D.fibonacci, je uporabljena tudi značilnost ulomka, ki je bila uporabljena tudi v arabskih spisih. Razdelitev v obrazcu obelus ("÷") je predstavil švicarski matematikJohann Rahn(ok. 1660)

5. Predznak za odstotek.

Stotinka celote, vzeta kot enota. Sama beseda "odstotek" izvira iz latinskega "pro centum", kar pomeni "sto". Leta 1685 je v Parizu izšel Mathieu de la Portejev Priročnik za komercialno aritmetiko (1685). Na enem mestu je šlo za procente, kar je takrat pomenilo »cto« (okrajšano za cento). Vendar je pisatelj napačno zamenjal "cto" z ulomkom in vtipkal "%". Tako je zaradi tipkarske napake ta znak prišel v uporabo.

6. Znak neskončnosti

Trenutni simbol neskončnosti "∞" je začel uporabljatiJohn Wallis leta 1655. John Wallisobjavil veliko razpravo "Aritmetika neskončnega" (lat.Arithmetica Infinitorum sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadraturam, aliaque Difficiliora Matheseos Problemata), kjer je predstavil simbol, ki ga je izumilneskončnost. Še vedno ni znano, zakaj je izbral prav ta znak. Ena najbolj verodostojnih hipotez povezuje izvor tega simbola z latinsko črko "M", ki so jo Rimljani uporabljali za predstavljanje števila 1000.Simbol za neskončnost je matematik Bernoulli približno štirideset let pozneje imenoval "lemniscus" (lat. trak).

Druga različica pravi, da risba "osmice" prenaša glavno lastnost koncepta "neskončnosti": gibanje brez konca . Po vrsticah številke 8 se lahko premikate neskončno, kot na kolesarski stezi. Da ne bi zamenjali uvedenega znaka s številko 8, so se matematiki odločili, da ga postavijo vodoravno. Zgodilo se je. Ta zapis je postal standard za vso matematiko, ne samo za algebro. Zakaj neskončnost ni označena z ničlo? Odgovor je očiten: ne glede na to, kako obrnete številko 0, se ne bo spremenila. Zato je izbira padla na 8.

Druga možnost je kača, ki požre svoj rep, ki je tisoč in pol let pred našim štetjem v Egiptu simboliziral različne procese, ki nimajo začetka in konca.

Mnogi verjamejo, da je Möbiusov trak prednik simbolaneskončnost, saj je bil simbol neskončnosti patentiran po izumu naprave "Möbius trak" (poimenovana po matematiku Möbiusu iz devetnajstega stoletja). Möbiusov trak - trak papirja, ki je na koncih ukrivljen in povezan ter tvori dve prostorski površini. Po dostopnih zgodovinskih informacijah pa se je simbol neskončnosti začel uporabljati za predstavljanje neskončnosti dve stoletji pred odkritjem Möbiusovega traku.

7. Znaki premog a in pravokotno sti

simboli " kotiček"in" pravokotno»izmislil 1634francoski matematikPierre Erigon. Njegov pravokoten simbol je bil obrnjen na glavo, podoben črki T. Simbol kota je spominjal na ikono, ji je dala sodobno oblikoWilliam Otred ().

8. Podpiši vzporednost in

simbol " vzporednost» znan že od antičnih časov, je bil uporabljenČaplja in Papus iz Aleksandrije. Sprva je bil simbol podoben trenutnemu znaku enakosti, vendar se je s prihodom slednjega, da bi se izognili zmedi, simbol zasukal navpično (podružnica(1677), Kersey (John Kersey ) in drugi matematiki 17. stoletja)

9. Pi

Splošno sprejeta oznaka za število, ki je enako razmerju med obodom kroga in njegovim premerom (3,1415926535...) je bila najprej oblikovanaWilliam Jones v 1706, vzamemo prvo črko grških besed περιφέρεια -krog in περίμετρος - obseg, kar je obseg kroga. Všeč mi je bila ta okrajšavaEuler, katerega dela so dokončno pritrdila oznako.

10. Sinus in kosinus

Zanimiv je videz sinusa in kosinusa.

Sinus iz latinščine - sinus, votlina. Toda to ime ima dolgo zgodovino. Indijski matematiki so v 5. stoletju daleč napredovali v trigonometriji. Sama beseda "trigonometrija" ni obstajala, uvedel jo je Georg Klugel leta 1770.) To, kar danes imenujemo sinus, približno ustreza temu, kar so Indijanci imenovali ardha-jiya, kar je prevedeno kot poltetiva (t.i. pol tetiva). Zaradi kratkosti so ga preprosto poimenovali - jiya (tetiva). Ko so Arabci prevajali dela hindujcev iz sanskrta, niso prevedli »vrvice« v arabščino, ampak so besedo preprosto prepisali z arabskimi črkami. Izkazalo se je, da gre za flok. Ker pa kratki samoglasniki v arabskem zlogovnem pisanju niso označeni, res ostaja j-b, kar je podobno drugi arabski besedi - jaib (votlina, sinus). Ko je Gerard iz Cremone v 12. stoletju prevedel Arabce v latinščino, je to besedo prevedel kot sinus, kar v latinščini pomeni tudi sinus, poglabljanje.

Kosinus se je pojavil samodejno, ker hindujci so ga imenovali koti-jiya ali na kratko ko-jiya. Koti je ukrivljen konec loka v sanskrtu.Sodobne okrajšave in predstavil William Oughtredin popravljeno v delu Euler.

Oznake tangente/kotangente so veliko poznejšega izvora (angleška beseda tangent prihaja iz latinskega tangere, dotikati se). In tudi do zdaj ni enotne oznake - v nekaterih državah se pogosteje uporablja oznaka tan, v drugih - tg

11. Okrajšava "Kaj je bilo potrebno dokazati" (g.t.d.)

Quod erat demonstrandum » (kwol erat lamonstranlum).
Grška fraza pomeni "kar je bilo treba dokazati", latinska pa "kar je bilo treba pokazati." Ta formula konča vsako matematično razmišljanje velikega grškega matematika starodavne Grčije, Evklida (III. stoletje pr.n.št.). Prevedeno iz latinščine - kar je bilo potrebno dokazati. V srednjeveških znanstvenih razpravah je bila ta formula pogosto zapisana v skrajšani obliki: QED.

12. Matematični zapis.

13. Zaključek

Matematična znanost je nujna za civilizirano družbo. Matematiko najdemo v vseh znanostih. Matematični jezik se meša z jezikom kemije in fizike. Ampak še vedno razumemo. Lahko rečemo, da se začnemo učiti jezika matematike skupaj z domačim govorom. Matematika je postala sestavni del našega življenja. Zahvaljujoč matematičnim odkritjem preteklosti znanstveniki ustvarjajo nove tehnologije. Preživela odkritja omogočajo reševanje zapletenih matematičnih problemov. In starodavni matematični jezik nam je jasen in odkritja so nam zanimiva. Zahvaljujoč matematiki so Arhimed, Platon, Newton odkrili fizikalne zakone. V šoli jih preučujemo. Tudi v fiziki obstajajo simboli, izrazi, ki so neločljivi v fiziki. Toda matematični jezik se med fizičnimi formulami ne izgubi. Nasprotno, teh formul ni mogoče napisati brez znanja matematike. Skozi zgodovino se znanje in dejstva ohranjajo za prihodnje rodove. Za nova odkritja je potreben nadaljnji študij matematike.Če želite uporabiti predogled predstavitev, ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

Matematični simboli Delo je opravil učenec 7. razreda šole št. 574 Balagin Viktor

Simbol (grško symbolon - znak, znak, geslo, emblem) je znak, ki je povezan z objektivnostjo, ki jo označuje, tako da pomen znaka in njegove vsebine predstavlja samo znak sam in se razkrijeta. samo z njeno interpretacijo. Znaki so matematične konvencije, zasnovane za beleženje matematičnih konceptov, stavkov in izračunov.

Kost Išanga Del Ahmesovega papirusa

+ − Znaki plus in minus. Seštevanje je bilo označeno s črko p (plus) ali latinsko besedo et (veznik "in"), odštevanje pa s črko m (minus). Izraz a + b je bil v latinščini zapisan takole: a et b.

zapis odštevanja. ÷ ∙ ∙ ali ∙ ∙ ∙ Rene Descartes Marin Mersenne

Stran iz knjige Johanna Widmanna. Leta 1489 je Johann Widmann v Leipzigu izdal prvo tiskano knjigo (Merkantilna aritmetika - »Komercialna aritmetika«), v kateri sta bila prisotna znaka + in -.

Dodatni zapis. Christian Huygens David Hume Pierre de Fermat Edmund (Edmond) Halley

Znak enakosti Diofant je prvi uporabil znak enakosti. Enakost je označil s črko i (iz grškega isos - enak).

Znak enakosti, ki ga je leta 1557 predlagal angleški matematik Robert Record "Nobena dva predmeta ne moreta biti enaka drug drugemu več kot dva vzporedna segmenta." V celinski Evropi je znak enakosti uvedel Leibniz.

× ∙ Znak za množenje Leta 1631 ga je uvedel William Oughtred (Anglija) v obliki poševnega križa. Leibniz je križ zamenjal s piko (konec 17. stoletja), da ga ne bi zamenjal s črko x. William Otred Gottfried Wilhelm Leibniz

Odstotek. Matthieu de la Porte (1685). Stotinka celote, vzeta kot enota. "odstotek" - "pro centum", kar pomeni - "sto". "cto" (okrajšava za cento). Skladalec je "cto" zamenjal za ulomek in vtipkal "%".

Neskončnost. John Wallis John Wallis je predstavil simbol, ki ga je izumil leta 1655. Kača, ki požre svoj rep, je simbolizirala različne procese, ki nimajo začetka in konca.

Simbol za neskončnost se je začel uporabljati za predstavljanje neskončnosti dve stoletji pred odkritjem Möbiusovega traku Möbiusov trak je trak papirja, ki je ukrivljen in na koncih povezan, da tvori dve prostorski površini. Avgust Ferdinand Möbius

Kot in pravokotnica. Simbole je leta 1634 izumil francoski matematik Pierre Erigon. Erigonov simbol kota je bil podoben ikoni. Pravokotni simbol je bil obrnjen, podoben črki T. Sodobno obliko je tem znakom dal William Oughtred (1657).

Vzporednost. Simbol sta uporabljala Heron Aleksandrijski in Papus iz Aleksandrije. Sprva je bil simbol podoben trenutnemu znaku enakosti, vendar se je s pojavom slednjega, da bi se izognili zmedi, simbol zasukal navpično. Čaplja iz Aleksandrije

Pi. π ≈ 3,1415926535... William Jones leta 1706 π εριφέρεια - obseg in π ερίμετρος - obod, torej obseg kroga. To zmanjšanje je razveselilo Eulerja, čigar dela so popolnoma popravila oznako. William Jones

sin Sinus in cosine cos Sinus (iz latinščine) - sinus, votlina. koti-jiya ali na kratko ko-jiya. Koti - ukrivljen konec loka Moderne kratke oznake je uvedel William Otred in jih pritrdil v Eulerjeva dela. "arha-jiva" - med Indijanci - "pol strune" Leonard Euler William Otred

Kaj je bilo potrebno za dokazovanje (ch.t.d.) "Quod erat demonstrandum" QED. Ta formula konča vsako matematično razmišljanje velikega matematika antične Grčije Evklida (III. stoletje pr.n.št.).

Razumemo starodavni matematični jezik. Tudi v fiziki obstajajo simboli, izrazi, ki so neločljivi v fiziki. Toda matematični jezik se med fizičnimi formulami ne izgubi. Nasprotno, teh formul ni mogoče napisati brez znanja matematike.

Abstraktna algebra v veliki meri uporablja simbole za poenostavitev in skrajšanje besedila, pa tudi standardne zapise za nekatere skupine. Sledi seznam najpogostejših algebraičnih zapisov, ustreznih ukazov v ... Wikipediji

Matematični zapisi so simboli, ki se uporabljajo za pisanje matematičnih enačb in formul na kompakten način. Poleg številk in črk različnih abeced (latinica, vključno z gotsko, grško in hebrejsko), ... ... Wikipedia

Članek vsebuje seznam pogosto uporabljenih okrajšav za matematične funkcije, operaterje in druge matematične izraze. Vsebina 1 Okrajšave 1.1 Latinica 1.2 Grška abeceda ... Wikipedia

Unicode ali Unicode (eng. Unicode) je standard za kodiranje znakov, ki omogoča predstavitev znakov skoraj vseh pisnih jezikov. Standard je leta 1991 predlagala neprofitna organizacija Unicode Consortium (eng. Unicode Consortium, ... ... Wikipedia

Seznam posebnih simbolov, ki se uporabljajo v matematiki, si lahko ogledate v članku Tabela matematičnih simbolov Matematični zapis ("jezik matematike") je kompleksen grafični sistem zapisov, ki služi za predstavitev abstraktnih ... ... Wikipedia

Ta izraz ima druge pomene, glejte Plus minus (pomeni). ± ∓ Znak plus minus (±) je matematični simbol, ki je postavljen pred nek izraz in pomeni, da je vrednost tega izraza lahko tako pozitivna kot ... Wikipedia

Treba je preveriti kakovost prevoda in članek uskladiti s slogovnimi pravili Wikipedije. Lahko pomagate ... Wikipedia

Ali pa so matematični simboli znaki, ki s svojimi argumenti simbolizirajo določene matematične operacije. Najpogostejši so: Plus: + Minus:, - Predznak množenja: ×, ∙ Znak deljenja::, ∕, ÷ Znak razstave na ... ... Wikipedia

Znaki operacij ali matematični simboli so znaki, ki s svojimi argumenti simbolizirajo določene matematične operacije. Najpogostejši so: Plus: + Minus:, - Znak množenja: ×, ∙ Znak deljenja::, ∕, ÷ Konstrukcijski znak ... ... Wikipedia

Matematični zapis("jezik matematike") - kompleksen grafični zapis, ki služi predstavitvi abstraktnih matematičnih idej in sodb v človeku berljivi obliki. Sestavlja (v svoji kompleksnosti in raznolikosti) pomemben delež negovornih znakovnih sistemov, ki jih uporablja človeštvo. Ta članek opisuje splošno sprejeto mednarodno notacijo, čeprav so imele različne kulture preteklosti svojo lastno, nekatere od njih pa so bile do danes celo omejene.

Upoštevajte, da se matematični zapis praviloma uporablja v povezavi s pisno obliko nekaterih naravnih jezikov.

Poleg temeljne in uporabne matematike se matematični zapis pogosto uporablja v fiziki, pa tudi (v svojem nepopolnem obsegu) v inženirstvu, računalništvo, ekonomijo in pravzaprav na vseh področjih človeške dejavnosti, kjer se uporabljajo matematični modeli. Razlike med ustreznim matematičnim in uporabnim slogom zapisa bodo obravnavane v teku besedila.

Enciklopedični YouTube

1 / 5

✪ Prijavite se / v matematiko

✪ Matematika 3. razred. Tabela števk večmestnih števil

✪ Nabori pri matematiki

✪ Matematika 19. Matematična zabava - Šola Šiškina

Podnapisi

Zdravo! Ta video ne govori o matematiki, temveč o etimologiji in semiotiki. Ampak prepričan sem, da ti bo všeč. Pojdi! Ali se zavedate, da je iskanje rešitve kubičnih enačb v splošni obliki pri matematikih trajalo več stoletij? To je deloma zakaj? Ker ni bilo jasnih simbolov za jasne misli, pa naj je naš čas. Znakov je toliko, da se lahko zmedete. Ampak ne moreš nas preslepiti, poglejmo. To je obrnjena velika črka A. To je pravzaprav angleška črka, ki je prva navedena v besedah ​​"all" in "any". V ruščini lahko ta simbol, odvisno od konteksta, beremo takole: za vsakogar, vsakogar, vsakogar, vsakogar itd. Takšen hieroglif se bo imenoval univerzalni kvantifikator. In tukaj je še en kvantifikator, vendar že obstoj. Angleška črka e se je v Paintu odražala od leve proti desni in s tem namiguje na čezmorski glagol "exist", po našem mnenju bomo brali: obstaja, obstaja, obstaja še en podoben način. Takemu eksistencialnemu kvantifikatorju bi klicaj dodal edinstvenost. Če je to jasno, gremo naprej. V enajstem razredu ste verjetno naleteli na nedoločene integrale, zato vas želim spomniti, da to ni le nekakšen antiderivat, temveč zbirka vseh antiderivov integranda. Zato ne pozabite na C – konstanto integracije. Mimogrede, sama integralna ikona je le podolgovata črka s, odmev latinske besede sum. To je ravno geometrijski pomen določenega integrala: iskanje površine figure pod grafom s seštevanjem neskončno majhnih vrednosti. Zame je to najbolj romantična dejavnost v matematiki. Toda šolska geometrija je najbolj uporabna, ker uči logično strogost. Na prvem tečaju bi morali jasno razumeti, kaj je posledica, kaj je enakovrednost. No, ne moreš se zamenjati med nujnostjo in zadostnostjo, razumeš? Poskusimo celo kopati malo globlje. Če se odločite za višjo matematiko, si lahko predstavljam, kako slabo je z vašim osebnim življenjem, a zato se boste zagotovo strinjali, da boste premagali majhno vajo. Tukaj so tri točke, vsaka ima levo in desno stran, ki ju morate povezati z enim od treh narisanih simbolov. Prosim, ustavite, preizkusite sami in nato poslušajte, kaj imam povedati. Če je x=-2, potem |x|=2, vendar od leve proti desni, torej je fraza že zgrajena. V drugem odstavku je na levi in ​​desni strani napisano popolnoma enako. In tretjo točko lahko komentiramo takole: vsak pravokotnik je paralelogram, ni pa vsak paralelogram pravokotnik. Ja, vem, da nisi več majhen, a vseeno moj aplavz tistim, ki so se spopadli s to vajo. No, v redu, dovolj, spomnimo se številskih nizov. Pri štetju se uporabljajo naravna števila: 1, 2, 3, 4 in tako naprej. V naravi -1 jabolko ne obstaja, a mimogrede, cela števila vam omogočajo, da govorite o takih stvareh. Črka ℤ nam kriči o pomembni vlogi ničle, množica racionalnih števil je označena s črko ℚ in to ni naključje. V angleščini beseda "količnik" pomeni "odnos". Mimogrede, če nekje v Brooklynu pristopi k vam Afroameričan in reče: »Naj bo res!« – ste lahko prepričani, da ste matematik, občudovalec realnih številk. No, preberite nekaj o kompleksnih številkah, to bo bolj uporabno. Zdaj se bomo odvrnili nazaj, vrnili se v prvi razred najbolj navadne grške šole. Skratka, spomnimo se starodavne abecede. Prva črka je alfa, nato betta, ta kavelj je gama, nato delta, sledi epsilon in tako naprej, do zadnje črke omega. Lahko ste prepričani, da imajo tudi Grki velike tiskane črke, a o žalostnih stvareh zdaj ne bomo govorili. Boljši smo glede veselega - o mejah. Toda tukaj preprosto ni ugank, takoj je jasno, iz katere besede se je pojavil matematični simbol. No, torej lahko preidemo na zadnji del videa. Poskusite razglasiti definicijo meje številskega zaporedja, ki je zdaj zapisana pred vami. Klikni, raje se ustavi in ​​pomisli, pa naj boš srečen enoletnega otroka, ki se je naučil besede "mati". Če za kateri koli epsilon, večji od nič, obstaja naravno število N, tako da za vsa števila številčnega zaporedja, večja od N, velja neenakost |xₙ-a|<Ɛ (эпсилон), то тогда предел числовой последовательности xₙ , при n, стремящемся к бесконечности, равен числу a. Такие вот дела, ребята. Не беда, если вам не удалось прочесть это определение, главное в свое время его понять. Напоследок отмечу: множество тех, кто посмотрел этот ролик, но до сих пор не подписан на канал, не является пустым. Это меня очень печалит, так что во время финальной музыки покажу, как это исправить. Ну а остальным желаю мыслить критически, заниматься математикой! Счастливо! [Музыка / аплодиминнты]

Splošne informacije

Sistem se je, tako kot naravni jeziki, razvijal zgodovinsko (glej zgodovino matematičnega zapisa) in je organiziran kot pisanje naravnih jezikov, pri čemer si je od tam izposodil tudi številne simbole (predvsem iz latinske in grške abecede). Simboli so tako kot v običajnem pisanju upodobljeni s kontrastnimi črtami na enotnem ozadju (črna na belem papirju, svetloba na temni tabli, kontrastna na monitorju itd.), njihov pomen pa določata predvsem oblika in relativna položaj. Barva se ne upošteva in se običajno ne uporablja, pri uporabi črk pa lahko njihove značilnosti, kot sta slog in celo pisava, ki ne vplivajo na pomen v običajnem pisanju, igrajo pomensko vlogo pri matematičnem zapisu.

Struktura

Običajni matematični zapisi (zlasti t.i matematične formule) so na splošno zapisane v nizu od leve proti desni, vendar ne predstavljajo nujno zaporednega niza znakov. Ločeni bloki znakov se lahko nahajajo v zgornji ali spodnji polovici vrstice, tudi če se znaki ne prekrivajo navpično. Tudi nekateri deli se nahajajo v celoti nad ali pod črto. S slovnične strani lahko skoraj vsako "formulo" štejemo za hierarhično organizirano strukturo drevesnega tipa.

Standardizacija

Matematični zapis predstavlja sistem v smislu razmerja njegovih komponent, vendar na splošno ne predstavljajo formalni sistem (v razumevanju matematike same). V vsakem zapletenem primeru jih ni mogoče niti programsko razstaviti. Kot vsak naravni jezik je tudi »jezik matematike« poln nedoslednih označb, homografov, različnih (med svojimi govorci) interpretacij tega, kar velja za pravilno, itd. Niti predvidljive abecede matematičnih simbolov ni, zlasti ker vprašanje ni vedno nedvoumno rešeno, ali je treba dve oznaki obravnavati kot različne znake ali kot različno črkovanje enega znaka.

Nekateri matematični zapisi (predvsem povezani z meritvami) so standardizirani v ISO 31 -11, vendar na splošno ni standardizacije zapisa.

Elementi matematičnega zapisa

Številke

Po potrebi uporabite številski sistem z osnovo manjšo od deset, osnova je zapisana v podpisu: 20003 8 . Številski sistemi z osnovami, večjimi od deset, se v splošno sprejetem matematičnem zapisu ne uporabljajo (čeprav jih seveda preučuje znanost), saj zanje ni dovolj številk. V povezavi z razvojem računalništva je postal aktualen šestnajstiški številski sistem, v katerem so številke od 10 do 15 označene s prvimi šestimi latinskimi črkami od A do F. Za označevanje takšnih številk v računalništva se uporablja več različnih pristopov. , vendar se ne prenesejo v matematiko.

Nadpisni in podnapisni znaki

Oklepaji, podobni simboli in ločila

Uporabljajo se oklepaji "()":

Oglati oklepaji "" se pogosto uporabljajo pri združevanju pomenov, ko morate uporabiti veliko parov oklepajev. V tem primeru so nameščeni na zunanji strani in imajo (z urejeno tipografijo) večjo višino kot oklepaji, ki so znotraj.

Kvadratni "" in okrogli "()" oklepaji se uporabljajo za označevanje zaprtih in odprtih prostorov.

Kodrasti oklepaji "()" se običajno uporabljajo za , čeprav zanje velja enako opozorilo kot za oglate oklepaje. Levi oklepaji "(" in desni ")" se lahko uporabljajo ločeno; njihov namen je opisan.

Simboli kotnih oklepajev " ⟨ ⟩ (\displaystyle \langle \;\rangle)» z urejeno tipografijo mora imeti tope kote in se tako razlikovati od podobnih, ki imajo pravi ali oster kot. V praksi si tega ne gre upati (še posebej pri ročnem pisanju formul) in jih je treba razlikovati s pomočjo intuicije.

Pari simetričnih (glede na navpično os) simbolov, vključno s tistimi, ki niso navedeni, se pogosto uporabljajo za poudarjanje dela formule. Opisan je namen seznanjenih oklepajev.

Indeksi

Glede na lokacijo ločimo nadpisne in podnapise. Nadpis lahko pomeni (vendar ne pomeni nujno) stopnjevanje na  o drugih uporabah .

spremenljivke

V znanosti obstajajo nizi količin in katera koli od njih lahko vzame bodisi niz vrednosti in se imenuje spremenljivka vrednost (varianta) ali samo eno vrednost in se imenuje konstanta. V matematiki se količine pogosto odmaknejo od fizičnega pomena, nato pa se spremenljivka spremeni v povzetek(ali številčna) spremenljivka, označena z nekim simbolom, ki ga ne zasedajo zgoraj omenjeni posebni zapisi.

Spremenljivka X se šteje za dano, če je določen niz vrednosti, ki jih sprejme (x). Konstantno vrednost je priročno obravnavati kot spremenljivko, za katero je ustrezen niz (x) sestavljen iz enega elementa.

Funkcije in operaterji

Matematično ni bistvene razlike med operaterja(enarni), kartiranje in funkcijo.

Vendar se namiguje, da če je za zapis vrednosti preslikave iz danih argumentov potrebno navesti , potem simbol te preslikave označuje funkcijo, v drugih primerih je bolj verjetno, da govorimo o operaterju. Simboli nekaterih funkcij enega argumenta se uporabljajo z in brez oklepajev. Številne osnovne funkcije, npr greh ⁡ x (\displaystyle \sin x) oz greh ⁡ (x) (\displaystyle \sin(x)), vendar se vedno kličejo osnovne funkcije funkcije.

Operatorji in relacije (unarni in binarni)

Funkcije

Funkcijo lahko omenjamo v dveh pomenih: kot izraz njene vrednosti z danimi argumenti (pisno f (x) , f (x, y) (\displaystyle f(x),\ f(x,y)) itd.) ali pravzaprav kot funkcija. V slednjem primeru se postavi samo simbol funkcije, brez oklepajev (čeprav ga pogosto pišejo naključno).

Obstaja veliko zapisov za običajne funkcije, ki se uporabljajo pri matematičnem delu brez dodatne razlage. V nasprotnem primeru je treba funkcijo nekako opisati, v temeljni matematiki pa se bistveno ne razlikuje in je popolnoma enaka, označena s poljubno črko. Za spremenljive funkcije je najbolj priljubljena črka f, pogosto se uporabljata tudi g in večina grščine.

Vnaprej določene (rezervirane) oznake

Vendar pa lahko enočrkovne oznake po želji dobijo drugačen pomen. Na primer, črka i se pogosto uporablja kot indeks v kontekstu, kjer se kompleksna števila ne uporabljajo, črka pa se lahko uporablja kot spremenljivka v nekaterih kombinatoriki. Prav tako simboli teorije nizov (kot je " ⊂ (\displaystyle \podnabor)"in" ⊃ (\displaystyle \supset)”) in propozicijski račun (kot je » ∧ (\displaystyle \wedge)"in" ∨ (\displaystyle\vee )”) se lahko uporablja v drugem pomenu, običajno kot relacija naročila oziroma kot binarna operacija.

Indeksiranje

Indeksiranje je narisano (običajno spodaj, včasih zgoraj) in je v nekem smislu način za razširitev vsebine spremenljivke. Vendar se uporablja v treh nekoliko različnih (čeprav prekrivajočih se) pomenih.

Pravzaprav številke

Lahko imate več različnih spremenljivk, tako da jih označite z isto črko, podobno kot pri uporabi . Na primer: x 1 , x 2 , x 3 … (\displaystyle x_(1),\ x_(2),\ x_(3)\ldots). Običajno jih povezuje neka skupnost, vendar na splošno to ni potrebno.

Poleg tega lahko kot "indekse" uporabite ne samo številke, ampak tudi kakršne koli znake. Ko pa je druga spremenljivka in izraz zapisan kot indeks, se ta vnos razlaga kot "spremenljivka s številko, določeno z vrednostjo indeksnega izraza."

Pri tenzorski analizi

V linearni algebri, tenzorski analizi, diferencialno geometriji z indeksi (v obliki spremenljivk) so zapisane

Neskončnost.J. Wallis (1655).

Prvič ga najdemo v razpravi angleškega matematika Johna Valisa "O koničnih odsekih".

Osnova naravnih logaritmov. L. Euler (1736).

Matematična konstanta, transcendentno število. Ta številka se včasih imenuje ne Perov v čast škotskim znanstvenik Napier, avtor dela "Opis neverjetne tabele logaritmov" (1614). Prvič je konstanta tiho prisotna v prilogi k angleškemu prevodu omenjenega Napierovega dela, ki je bil objavljen leta 1618. Enako konstanto je prvi izračunal švicarski matematik Jacob Bernoulli pri reševanju problema omejevanja vrednosti prihodkov od obresti.

2,71828182845904523...

Prva znana uporaba te konstante, kjer je bila označena s črko b, ki ga najdemo v Leibnizovih pismih Huygensu, 1690-1691. pismo e začel uporabljati Eulerja leta 1727, prva objava s tem pismom pa je bila njegova Mehanika ali znanost o gibanju, izrečena analitično, 1736. oz. e običajno imenovani Eulerjevo število. Zakaj je bila črka izbrana? e, ni točno znano. Morda je to posledica dejstva, da se beseda začne z njim eksponentno("eksponentno", "eksponentno"). Druga predpostavka je, da črke a, b, c in d se že pogosto uporablja za druge namene in e je bilo prvo "brezplačno" pismo.

Razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom. W. Jones (1706), L. Euler (1736).

Matematična konstanta, iracionalno število. Številka "pi", staro ime je Ludolfova številka. Kot vsako iracionalno število je π predstavljeno z neskončnim neperiodčnim decimalnim ulomkom:

π=3,141592653589793...

Prvič je oznako te številke z grško črko π uporabil britanski matematik William Jones v knjigi Novi uvod v matematiko, splošno sprejeta pa je postala po delu Leonharda Eulerja. Ta oznaka izvira iz začetne črke grških besed περιφερεια - krog, obrobje in περιμετρος - obod. Johann Heinrich Lambert je leta 1761 dokazal iracionalnost π, Adrien Marie Legendre pa leta 1774 iracionalnost π 2 . Legendre in Euler sta domnevala, da je π lahko transcendentalen, t.j. ne more zadovoljiti nobene algebraične enačbe s celimi koeficienti, kar je na koncu leta 1882 dokazal Ferdinand von Lindemann.

imaginarna enota. L. Euler (1777, v tisku - 1794).

Znano je, da je enačba x 2 = 1 ima dve korenini: 1 in -1 . Imaginarna enota je eden od dveh korenov enačbe x 2 \u003d -1, označeno z latinsko črko jaz, še en koren: -jaz. To označbo je predlagal Leonhard Euler, ki je za to vzel prvo črko latinske besede imaginarius(namišljeno). Vse standardne funkcije je razširil tudi na kompleksno domeno, t.j. niz številk, ki jih je mogoče predstaviti v obliki a+ib, kje a in b so resnične številke. Izraz "kompleksno število" je v široko uporabo uvedel nemški matematik Carl Gauss leta 1831, čeprav je izraz pred tem v enakem pomenu uporabljal francoski matematik Lazar Carnot leta 1803.

Vektorji enot. W. Hamilton (1853).

Vektorji enot so pogosto povezani s koordinatnimi osemi koordinatnega sistema (zlasti z osmi kartezijanskega koordinatnega sistema). Vektor enote, usmerjen vzdolž osi X, označeno jaz, enotni vektor, usmerjen vzdolž osi Y, označeno j, in vektor enote, usmerjen vzdolž osi Z, označeno k. Vektorji jaz, j, k se imenujejo orts, imajo identifikacijske module. Izraz "ort" je uvedel angleški matematik in inženir Oliver Heaviside (1892), zapis pa jaz, j, k Irski matematik William Hamilton.

Celo število, antie. K. Gauss (1808).

Celo število [x] števila x je največje celo število, ki ne presega x. Torej, =5, [-3,6]=-4. Funkcija [x] se imenuje tudi "antier of x". Simbol funkcije celega dela je leta 1808 uvedel Carl Gauss. Nekateri matematiki raje uporabljajo zapis E(x), ki ga je leta 1798 predlagal Legendre.

Kot vzporednosti. N.I. Lobačevskega (1835).

Na ravnini Lobačevskega - kot med črtobprehod skozi točkoOvzporedno z ravno črtoa, ki ne vsebuje pikeO, in pravokotno odO na a. α je dolžina te navpičnice. Ko je točka odstranjenaO od naravnost akot vzporednosti se zmanjša z 90° na 0°. Lobačevski je dal formulo za kot vzporednostiP( α )=2arctg e - α /q , kje q je neka konstanta, povezana z ukrivljenostjo prostora Lobačevskega.

Neznane ali spremenljive količine. R. Descartes (1637).

V matematiki je spremenljivka količina, za katero je značilen niz vrednosti, ki jih lahko sprejme. To lahko pomeni tako resnično fizično količino, ki jo začasno obravnavamo ločeno od njenega fizičnega konteksta, kot tudi neko abstraktno količino, ki nima analogov v resničnem svetu. Koncept spremenljivke je nastal v 17. stoletju. sprva pod vplivom zahtev naravoslovja, ki je v ospredje postavilo preučevanje gibanja, procesov in ne le stanj. Ta koncept je zahteval nove oblike za svoj izraz. Dobesedna algebra in analitična geometrija Renéja Descartesa sta bili tako novi obliki. Prvič je pravokotni koordinatni sistem in zapis x, y uvedel Rene Descartes v svojem delu "Razprava o metodi" leta 1637. Pierre Fermat je prav tako prispeval k razvoju koordinatne metode, vendar je bilo njegovo delo prvič objavljeno po njegovi smrti. Descartes in Fermat sta uporabila koordinatno metodo samo na ravnini. Koordinatno metodo za tridimenzionalni prostor je prvič uporabil Leonhard Euler že v 18. stoletju.

Vektor. O.Koshi (1853).

Od vsega začetka se vektor razume kot objekt, ki ima velikost, smer in (neobvezno) aplikacijsko točko. Začetki vektorskega računa so se pojavili skupaj z geometrijskim modelom kompleksnih števil v Gaussu (1831). Napredne operacije z vektorji je Hamilton objavil kot del svojega kvaterninskega računa (namišljene komponente kvaterniona so tvorile vektor). Hamilton je skoval izraz vektor(iz latinske besede vektor, nosilec) in opisal nekaj operacij vektorske analize. Ta formalizem je Maxwell uporabil v svojih delih o elektromagnetizmu in s tem opozoril znanstvenike na nov račun. Kmalu so sledili Gibbsovi elementi vektorske analize (1880), nato pa je Heaviside (1903) dal vektorski analizi njen sodoben videz. Sam vektorski znak je leta 1853 uvedel francoski matematik Augustin Louis Cauchy.

Seštevanje, odštevanje. J. Widman (1489).

Znaki plus in minus so bili očitno izumljeni v nemški matematični šoli "kosistov" (torej algebraistov). Uporabljajo se v učbeniku Jana (Johannesa) Widmanna Hitro in prijetno štetje za vse trgovce, ki je izšel leta 1489. Pred tem je bil dodatek označen s črko str(iz latinščine plus"več") ali latinska beseda et(veznik "in") in odštevanje - s črko m(iz latinščine minus"manj, manj"). V Widmanu znak plus nadomešča ne le seštevanje, ampak tudi zvezo "in". Izvor teh simbolov ni jasen, najverjetneje pa so jih prej uporabljali v trgovanju kot znake dobička in izgube. Oba simbola sta kmalu postala običajna v Evropi – z izjemo Italije, ki je stare označbe uporabljala približno stoletje.

Množenje. W. Outred (1631), G. Leibniz (1698).

Znak za množenje v obliki poševnega križa je leta 1631 uvedel Anglež William Outred. Pred njim najpogosteje uporabljena črka M, čeprav so bile predlagane tudi druge oznake: simbol pravokotnika (francoski matematik Erigon, 1634), zvezdica (švicarski matematik Johann Rahn, 1659). Kasneje je Gottfried Wilhelm Leibniz križ zamenjal s piko (konec 17. stoletja), da ga ne bi zamenjali s črko x; pred njim sta takšno simboliko našla nemški astronom in matematik Regiomontanus (XV. stoletje) in angleški znanstvenik Thomas Harriot (1560 -1621).

divizije. I.Ran (1659), G.Leibniz (1684).

William Outred je uporabil poševnico / kot znak delitve. Delitev debelega črevesa je začela označevati Gottfrieda Leibniza. Pred njimi se je pogosto uporabljala tudi črka D. Začenši s Fibonaccijem, se uporablja tudi vodoravna črta ulomka, ki so jo uporabljali Heron, Diofant in v arabskih spisih. V Angliji in ZDA se je razširil simbol ÷ (obelus), ki ga je leta 1659 predlagal Johann Rahn (morda s sodelovanjem Johna Pella). Poskus ameriškega nacionalnega komiteja za matematične standarde ( Nacionalni odbor za matematične zahteve) odstraniti obelus iz prakse (1923) ni bil prepričljiv.

Odstotek. M. de la Porte (1685).

Stotinka celote, vzeta kot enota. Sama beseda "odstotek" izvira iz latinskega "pro centum", kar pomeni "sto". Leta 1685 je v Parizu izšla knjiga Mathieuja de la Porteja Manual of Commercial Aritmetic. Na enem mestu je šlo za procente, kar je takrat pomenilo »cto« (okrajšano za cento). Vendar je pisatelj napačno zamenjal "cto" z ulomkom in vtipkal "%". Tako je zaradi tipkarske napake ta znak prišel v uporabo.

Stopinje. R. Descartes (1637), I. Newton (1676).

Sodobni zapis za eksponent je uvedel René Descartes v svojem " geometrije"(1637), vendar le za naravne stopnje z eksponenti večjimi od 2. Kasneje je Isaac Newton razširil to obliko zapisa na negativne in delne eksponente (1676), katerih interpretacija je bila do takrat že predlagana: flamski matematik in inženir Simon Stevin, angleški matematik John Vallis in francoski matematik Albert Girard.

aritmetični koren n potenco realnega števila a≥0, - nenegativno število n-th stopnja, ki je enaka a. Aritmetični koren 2. stopnje se imenuje kvadratni koren in ga lahko zapišemo brez navedbe stopnje: √. Aritmetični koren 3. stopnje se imenuje kubni koren. Srednjeveški matematiki (na primer Cardano) so kvadratni koren označili s simbolom R x (iz latinščine Radix, koren). Sodobno oznako je prvi uporabil nemški matematik Christoph Rudolf iz šole Cossist leta 1525. Ta simbol izvira iz stilizirane prve črke iste besede radix. Črta nad radikalnim izrazom sprva ni bila; Kasneje ga je uvedel Descartes (1637) z drugim namenom (namesto oklepajev), ta lastnost pa se je kmalu združila z znakom korena. Kockasti koren je bil v 16. stoletju označen takole: R x .u.cu (iz lat. Radix universalis cubica). Albert Girard (1629) je začel uporabljati običajen zapis za koren poljubne stopnje. Ta format je bil ustanovljen po zaslugi Isaaca Newtona in Gottfrieda Leibniza.

Logaritem, decimalni logaritem, naravni logaritem. I. Kepler (1624), B. Cavalieri (1632), A. Prinsheim (1893).

Izraz "logaritem" pripada škotskemu matematiku Johnu Napierju ( "Opis neverjetne tabele logaritmov", 1614); nastala je iz kombinacije grških besed λογος (beseda, razmerje) in αριθμος (število). Logaritem J. Napierja je pomožno število za merjenje razmerja dveh števil. Sodobno definicijo logaritma je prvi podal angleški matematik William Gardiner (1742). Po definiciji je logaritem števila b z razlogom a (a ≠ 1, a > 0) - eksponent m, na katero je treba številko dvigniti a(imenovano osnova logaritma), da bi dobili b. Označeno dnevnik a b. torej m = dnevnik a b, če a m = b.

Prve tabele decimalnih logaritmov je leta 1617 objavil profesor matematike iz Oxforda Henry Briggs. Zato se v tujini decimalni logaritmi pogosto imenujejo brigi. Izraz "naravni logaritem" sta uvedla Pietro Mengoli (1659) in Nicholas Mercator (1668), čeprav je londonski učitelj matematike John Spidell že leta 1619 sestavil tabelo naravnih logaritmov.

Do konca 19. stoletja ni bilo splošno sprejetega zapisa za logaritem, bazo a označeno levo in nad simbolom dnevnik, nato čez. Na koncu so matematiki prišli do zaključka, da je najprimernejši kraj za bazo pod črto, za simbolom dnevnik. Znak logaritma - rezultat redukcije besede "logaritem" - se pojavlja v različnih oblikah skoraj hkrati s pojavom prvih tabel logaritmov, npr. Dnevnik- I. Kepler (1624) in G. Briggs (1631), dnevnik- B. Cavalieri (1632). Poimenovanje ln saj je naravni logaritem uvedel nemški matematik Alfred Pringsheim (1893).

Sinus, kosinus, tangent, kotangens. W. Outred (sredina 17. stoletja), I. Bernoulli (18. stoletje), L. Euler (1748, 1753).

Skrajšani zapis za sinus in kosinus je uvedel William Outred sredi 17. stoletja. Okrajšave za tangento in kotangens: tg, ctg ki jih je v 18. stoletju uvedel Johann Bernoulli, so se razširile v Nemčiji in Rusiji. V drugih državah se uporabljajo imena teh funkcij. porjavelost, otroška posteljica predlagal Albert Girard še prej, na začetku 17. stoletja. Leonard Euler (1748, 1753) je teorijo trigonometričnih funkcij pripeljal v sodobno obliko, dolgujemo pa mu tudi utrjevanje realne simbolike.Izraz "trigonometrične funkcije" je leta 1770 uvedel nemški matematik in fizik Georg Simon Klugel.

Sinusna črta indijskih matematikov se je prvotno imenovala "arha jiva"("polstruna", torej polovica akorda), nato beseda "archa" je bil zavržen in sinusna črta se je začela preprosto imenovati "jiva". Arabski prevajalci besede niso prevedli "jiva" arabska beseda "vatar", ki označuje tetivo in tetivo, ter prepisan z arabskimi črkami in začel imenovati sinusno črto "jiba". Ker kratki samoglasniki niso navedeni v arabščini, dolgi "in" pa v besedi "jiba" označeno na enak način kot polglasnik "y", so Arabci začeli izgovarjati ime sinusne črte "šaljivka", kar dobesedno pomeni "votlo", "naročje". Pri prevajanju arabskih del v latinščino so evropski prevajalci to besedo prevedli "šaljivka" latinska beseda sinus, ki imajo enak pomen.Izraz "tangenta" (iz lat.tangente- dotika) je predstavil danski matematik Thomas Fincke v svoji Geometriji okroglega (1583).

Arcsinus. K.Scherfer (1772), J.Lagrange (1772).

Inverzne trigonometrične funkcije so matematične funkcije, ki so inverzne trigonometričnim funkcijam. Ime inverzne trigonometrične funkcije je sestavljeno iz imena ustrezne trigonometrične funkcije z dodajanjem predpone "lok" (iz lat. lok- lok).Inverzne trigonometrične funkcije običajno vključujejo šest funkcij: arksinus (arcsin), arkkosinus (arccos), arktangens (arctg), arkkotangens (arcctg), arcsecant (arcsec) in arccosecan (arccosec). Prvič je posebne simbole za inverzne trigonometrične funkcije uporabil Daniel Bernoulli (1729, 1736).Način zapisovanja inverznih trigonometričnih funkcij s predpono lok(iz lat. arcus, arc) se je pojavil pri avstrijskem matematiku Karlu Scherferju in se uveljavil po zaslugi francoskega matematika, astronoma in mehanika Josepha Louisa Lagrangea. To je bilo mišljeno, da na primer običajni sinus omogoča, da najdete tetivo, ki jo povleče vzdolž loka kroga, inverzna funkcija pa rešuje nasprotni problem. Do konca 19. stoletja sta angleška in nemška matematična šola ponujali še en zapis: sin -1 in 1/sin, vendar se ne uporabljajo široko.

Hiperbolični sinus, hiperbolični kosinus. W. Riccati (1757).

Zgodovinarji so prvi pojav hiperboličnih funkcij odkrili v spisih angleškega matematika Abrahama de Moivra (1707, 1722). Sodobno opredelitev in njihovo podrobno študijo je izvedel Italijan Vincenzo Riccati leta 1757 v delu "Opusculorum", predlagal pa je tudi njihove oznake: sh,pogl. Riccati je izhajal iz upoštevanja ene same hiperbole. Neodvisno odkritje in nadaljnje preučevanje lastnosti hiperboličnih funkcij je opravil nemški matematik, fizik in filozof Johann Lambert (1768), ki je vzpostavil širok vzporednik med formulami navadne in hiperbolične trigonometrije. N.I. Lobačevski je pozneje uporabil ta paralelizem in poskušal dokazati doslednost neevklidske geometrije, v kateri je navadna trigonometrija nadomeščena s hiperbolično.

Tako kot sta trigonometrični sinus in kosinus koordinate točke na koordinatnem krogu, sta hiperbolični sinus in kosinus koordinate točke na hiperboli. Hiperbolične funkcije so izražene z eksponentom in so tesno povezane s trigonometričnimi funkcijami: sh(x)=0,5(e x-e-x) , ch(x)=0,5(e x +e -x). Po analogiji s trigonometričnimi funkcijami sta hiperbolični tangent in kotangens opredeljena kot razmerja hiperboličnega sinusa in kosinusa, kosinusa in sinusa.

Diferencial. G. Leibniz (1675, v tisku 1684).

Glavni, linearni del prirastka funkcije.Če je funkcija y=f(x) ena spremenljivka x ima pri x=x0izpeljanka in prirastΔy \u003d f (x 0 +? x)-f (x 0)funkcije f(x) se lahko predstavi kotΔy \u003d f "(x 0) Δx + R (Δx) , kjer član R neskončno majhna v primerjavi zΔx. Prvi člandy=f"(x 0 )Δxv tej razširitvi se imenuje diferencial funkcije f(x) na točkix0. AT dela Gottfrieda Leibniza, Jacoba in Johanna Bernoullija word"diferencija"je bil uporabljen v pomenu "prirastek", I. Bernoulli ga je označil z Δ. G. Leibniz (1675, objavljeno leta 1684) je uporabil zapis za "neskončno majhno razliko"d- prva črka besede"diferencial", ki ga je oblikoval iz"diferencija".

Nedoločen integral. G. Leibniz (1675, v tisku 1686).

Besedo "integral" je v tisku prvič uporabil Jacob Bernoulli (1690). Morda izraz izvira iz latinščine celo število- cela. Po drugi domnevi je bila osnova latinska beseda integro- obnoviti, obnoviti. Znak ∫ se uporablja za označevanje integrala v matematiki in je stilizirana podoba prve črke latinske besede seštevek- vsota. Prvi ga je uporabil nemški matematik Gottfried Leibniz, ustanovitelj diferencialnega in integralnega računa, konec 17. stoletja. Drugi od utemeljiteljev diferencialnega in integralnega računa Isaac Newton v svojih delih ni ponudil alternativne simbolike integrala, čeprav je preizkušal različne možnosti: navpično črto nad funkcijo ali kvadratni simbol, ki stoji pred funkcijo oz. meji nanjo. Nedoločen integral za funkcijo y=f(x) je zbirka vseh antiderivov dane funkcije.

Določen integral. J. Fourier (1819-1822).

Določen integral funkcije f(x) z spodnjo mejo a in zgornjo mejo b lahko definiramo kot razliko F(b) - F(a) = a ∫ b f(x)dx , kje F(x)- neka antiderivativna funkcija f(x) . Določen integral a ∫ b f(x)dx številčno enak površini figure, omejene z osjo x, ravne črte x=a in x=b in funkcijski graf f(x). Francoski matematik in fizik Jean Baptiste Joseph Fourier je predlagal zasnovo določenega integrala v obliki, ki smo jo vajeni v začetku 19. stoletja.

Izpeljanka. G. Leibniz (1675), J. Lagrange (1770, 1779).

Izpeljanka - osnovni koncept diferencialnega računa, ki označuje hitrost spremembe funkcije f(x) ko se argument spremeni x . Opredeljen je kot meja razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom njenega argumenta, saj se prirast argumenta nagiba k nič, če taka meja obstaja. Funkcija, ki ima na neki točki končno izpeljanko, se na tej točki imenuje diferencibilna. Postopek izračuna izpeljanke se imenuje diferenciacija. Obratni proces je integracija. V klasičnem diferencialnem računu je izpeljanka najpogosteje opredeljena s koncepti teorije mej, v zgodovini pa se je teorija mej pojavila pozneje kot diferencialni račun.

Izraz "izpeljanka" je leta 1797 uvedel Joseph Louis Lagrange; dy/dx- Gottfried Leibniz leta 1675. Način označevanja izpeljanke glede na čas s piko nad črko izhaja iz Newtona (1691).Ruski izraz "izpeljanka funkcije" je prvi uporabil ruski matematikVasilij Ivanovič Viskovatov (1779-1812).

Zasebna izpeljanka. A. Legendre (1786), J. Lagrange (1797, 1801).

Za funkcije številnih spremenljivk so definirane delne izpeljanke - izpeljanke glede na enega od argumentov, izračunane ob predpostavki, da so preostali argumenti konstantni. Oznaka ∂f/ ∂ x, ∂ z/ ∂ y uvedel francoski matematik Adrien Marie Legendre leta 1786; fx",zx"- Joseph Louis Lagrange (1797, 1801); ∂ 2z/ ∂ x2, ∂ 2z/ ∂ x ∂ y- delne izpeljanke drugega reda - nemški matematik Carl Gustav Jacob Jacobi (1837).

Razlika, prirast. I. Bernoulli (konec 17. stoletja - prva polovica 18. stoletja), L. Euler (1755).

Oznako prirastka s črko Δ je prvi uporabil švicarski matematik Johann Bernoulli. Simbol "delta" je postal običajna praksa po delu Leonharda Eulerja leta 1755.

vsota. L. Euler (1755).

Vsota je rezultat seštevanja vrednosti (števila, funkcije, vektorji, matrike itd.). Za označevanje vsote n številk a 1, a 2, ..., a n se uporablja grška črka "sigma" Σ: a 1 + a 2 + ... + a n = Σ n i=1 a i = Σ n 1 a i . Znak Σ za vsoto je leta 1755 uvedel Leonhard Euler.

Delo. K. Gauss (1812).

Produkt je rezultat množenja. Za označevanje produkta n številk a 1, a 2, ..., a n se uporablja grška črka "pi" Π: a 1 a 2 ... a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Na primer, 1 3 5 ... 97 99 = ? 50 1 (2i-1). Simbol Π za izdelek je leta 1812 uvedel nemški matematik Carl Gauss. V ruski matematični literaturi je izraz "delo" prvič srečal Leonty Filippovič Magnitsky leta 1703.

Faktorski. K.Krump (1808).

Faktorial števila n (označeno z n!, izgovorjeno "en factorial") je produkt vseh naravnih števil do vključno n: n! = 1 2 3 ... n. Na primer 5! = 1 2 3 4 5 = 120. Po definiciji 0! = 1. Faktorial je definiran samo za nenegativna cela števila. Faktorial števila n je enak številu permutacij n elementov. Na primer 3! = 6, res,

♣ ♦

♣ ♦

♣ ♦

♦ ♣

♦ ♣

♦ ♣

Vseh šest in samo šest permutacij treh elementov.

Izraz "faktorski" je uvedel francoski matematik in politik Louis Francois Antoine Arbogast (1800), oznaka n! - francoski matematik Christian Kramp (1808).

Modul, absolutna vrednost. K. Weierstrass (1841).

Modul, absolutna vrednost realnega števila x - nenegativno število, opredeljeno na naslednji način: |x| = x za x ≥ 0 in |x| = -x za x ≤ 0. Na primer, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Modul kompleksnega števila z = a + ib je realno število enako √(a 2 + b 2).

Menijo, da je izraz "modul" predlagal angleški matematik in filozof, Newtonov študent, Roger Cotes. To funkcijo je uporabil tudi Gottfried Leibniz, ki jo je imenoval "modul" in jo označil z mol x. Splošno sprejeto oznako za absolutno vrednost je leta 1841 uvedel nemški matematik Karl Weierstrass. Za kompleksna števila sta ta koncept uvedla francoska matematika Augustin Cauchy in Jean Robert Argan v začetku 19. stoletja. Leta 1903 je avstrijski znanstvenik Konrad Lorenz uporabil enako simboliko za dolžino vektorja.

norma. E. Schmidt (1908).

Norma je funkcija, ki je definirana na vektorskem prostoru in posplošuje koncept dolžine vektorja ali modula števila. Znak "norma" (iz latinske besede "norma" - "pravilo", "vzorec") je leta 1908 uvedel nemški matematik Erhard Schmidt.

Omejitev. S. Luillier (1786), W. Hamilton (1853), številni matematiki (do začetka 20. st.)

Meja - eden od osnovnih konceptov matematične analize, kar pomeni, da se neka spremenljivka v procesu obravnavane spremembe približuje določeni konstantni vrednosti za nedoločen čas. Koncept meje so že v drugi polovici 17. stoletja intuitivno uporabljali Isaac Newton, pa tudi matematiki 18. stoletja, kot sta Leonhard Euler in Joseph Louis Lagrange. Prve stroge definicije meje zaporedja sta dala Bernard Bolzano leta 1816 in Augustin Cauchy leta 1821. Simbol lim (prve 3 črke iz latinske besede limes - meja) se je pojavil leta 1787 pri švicarskem matematiku Simonu Antoineu Jeanu Lhuillierju, vendar njegova uporaba še ni bila podobna sodobni. Izraz lim v za nas bolj znani obliki je prvi uporabil irski matematik William Hamilton leta 1853.Weierstrass je uvedel oznako, ki je blizu sodobnemu, vendar je namesto običajne puščice uporabil znak enakosti. Puščica se je pojavila na začetku 20. stoletja pri več matematikih hkrati - na primer pri angleškem matematiku Godfriedu Hardyju leta 1908.

Zeta funkcija, d Riemannova zeta funkcija. B. Riemanna (1857).

Analitična funkcija kompleksne spremenljivke s = σ + it, za σ > 1, določena z absolutno in enakomerno konvergentno Dirichletovo vrsto:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + ... .

Za σ > 1 velja predstavitev v obliki Eulerjevega produkta:

ζ(s) = Π str (1-p -s) -s ,

kjer je zmnožek prevzet preko vseh praštevil str. Zeta funkcija igra veliko vlogo v teoriji števil.Kot funkcijo realne spremenljivke je zeta funkcijo leta 1737 (objavljeno leta 1744) uvedel L. Euler, ki je nakazal njeno razgradnjo v produkt. Nato je to funkcijo obravnaval nemški matematik L. Dirichlet in, še posebej uspešno, ruski matematik in mehanik P.L. Čebišev pri preučevanju zakona porazdelitve praštevil. Najgloblje lastnosti zeta funkcije pa so bile odkrite pozneje, po delu nemškega matematika Georga Friedricha Bernharda Riemanna (1859), kjer je zeta funkcija obravnavana kot funkcija kompleksne spremenljivke; leta 1857 je uvedel tudi ime "zeta funkcija" in zapis ζ(s).

Gama funkcija, Eulerjeva Γ-funkcija. A. Legendre (1814).

Funkcija gama je matematična funkcija, ki razširja pojem faktoriala na polje kompleksnih števil. Običajno označeno z Γ(z). Z-funkcijo je prvi predstavil Leonhard Euler leta 1729; definirana je s formulo:

Γ(z) = limn→∞ n! n z /z(z+1)...(z+n).

Z G-funkcijo je izraženo veliko število integralov, neskončnih produktov in vsot vrst. Široko se uporablja v analitični teoriji števil. Ime "funkcija gama" in zapis Γ(z) je predlagal francoski matematik Adrien Marie Legendre leta 1814.

Beta funkcija, B funkcija, Eulerjeva funkcija B. J. Bineta (1839).

Funkcija dveh spremenljivk p in q, definirana za p>0, q>0 z enakostjo:

B(p, q) = 0 ∫ 1 x p-1 (1-x) q-1 dx.

Beta funkcijo lahko izrazimo z Γ-funkcijo: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).Tako kot je gama funkcija za cela števila posplošitev faktoriala, je beta funkcija v nekem smislu posplošitev binomskih koeficientov.

Številne lastnosti so opisane s funkcijo beta.elementarni delci sodelujejo pri močna interakcija. To lastnost je opazil italijanski teoretični fizikGabriele Veneziano leta 1968. Začelo se je teorija strun.

Ime "beta funkcija" in zapis B(p, q) je leta 1839 uvedel francoski matematik, mehanik in astronom Jacques Philippe Marie Binet.

Laplaceov operater, Laplacian. R. Murphy (1833).

Linearni diferencialni operater Δ, ki deluje φ (x 1, x 2, ..., x n) iz n spremenljivk x 1, x 2, ..., x n, poveže funkcijo:

Δφ \u003d ∂ 2 φ / ∂x 1 2 + ∂ 2 φ / ∂x 2 2 + ... + ∂ 2 φ / ∂x n 2.

Zlasti za funkcijo φ(x) ene spremenljivke Laplaceov operator sovpada z operatorjem 2. izpeljanke: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Enačbo Δφ = 0 običajno imenujemo Laplaceova enačba; od tod izvirata imena "Laplaceov operater" ali "Laplacian". Oznako Δ je leta 1833 uvedel angleški fizik in matematik Robert Murphy.

Hamiltonov operator, nabla operator, Hamiltonov. O. Heaviside (1892).

Vektorski diferencialni operator obrazca

∇ = ∂/∂x jaz+ ∂/∂y j+ ∂/∂z k,

kje jaz, j, in k- koordinatni vektorji. Preko operaterja nabla so na naraven način izražene osnovne operacije vektorske analize, pa tudi Laplaceov operator.

Leta 1853 je irski matematik William Rowan Hamilton predstavil ta operator in zanj skoval simbol ∇ v obliki obrnjene grške črke Δ (delta). Pri Hamiltonu je bila točka simbola obrnjena na levo, kasneje pa je v delih škotskega matematika in fizika Petra Guthrieja Tatea simbol dobil sodoben videz. Hamilton je ta simbol poimenoval beseda "atled" (beseda "delta" se bere nazaj). Kasneje so angleški učenjaki, vključno z Oliverjem Heavisideom, začeli ta simbol imenovati "nabla", po imenu črke ∇ v feničanski abecedi, kjer se pojavlja. Izvor črke je povezan z glasbilom, kot je harfa, ναβλα (nabla) v starogrščini pomeni "harfa". Operaterju so rekli Hamiltonov operater ali operater nabla.

Funkcija. I. Bernoulli (1718), L. Euler (1734).

Matematični koncept, ki odraža razmerje med elementi množic. Lahko rečemo, da je funkcija "zakon", "pravilo", po katerem je vsakemu elementu ene množice (imenovano domena definicije) dodeljen nek element drugega niza (imenovano domena vrednosti). Matematični koncept funkcije izraža intuitivno predstavo o tem, kako ena količina v celoti določa vrednost druge količine. Pogosto izraz "funkcija" pomeni numerično funkcijo; to je funkcija, ki nekatere številke postavi v skladu z drugimi. Dolgo časa so matematiki dajali argumente brez oklepajev, na primer takole - φх. Ta zapis je prvi uporabil švicarski matematik Johann Bernoulli leta 1718.Oklepaji so bili uporabljeni le, če je bilo veliko argumentov ali če je bil argument zapleten izraz. Odmevi tistih časov so pogosti in zdaj zapisisin x, lg xitd. Toda postopoma je uporaba oklepajev, f(x) , postala splošno pravilo. In glavna zasluga pri tem pripada Leonhardu Eulerju.

Enakost. R. Zapis (1557).

Znak enakosti je leta 1557 predlagal valižanski zdravnik in matematik Robert Record; obris lika je bil precej daljši od sedanjega, saj je posnemal podobo dveh vzporednih segmentov. Avtor je pojasnil, da na svetu ni nič bolj enakega kot dva vzporedna segmenta enake dolžine. Pred tem so v antični in srednjeveški matematiki enakost označevali verbalno (npr. est egale). Rene Descartes je v 17. stoletju začel uporabljati æ (iz lat. aequalis), in uporabil je sodobni znak enakosti, da bi označil, da je koeficient lahko negativen. François Viète je odštevanje označil z znakom enakosti. Simbol Zapisa se ni takoj razširil. Širjenje simbola Record je oviralo dejstvo, da se je že od antičnih časov isti simbol uporabljal za označevanje vzporednosti črt; na koncu je bilo odločeno, da se simbol vzporednosti postavi navpično. V celinski Evropi je znak "=" uvedel Gottfried Leibniz šele na prelomu iz 17. v 18. stoletje, torej več kot 100 let po smrti Roberta Recorda, ki ga je prvi uporabil za to.

Približno enako, približno enako. A. Günther (1882).

podpiši " ≈" je leta 1882 uvedel nemški matematik in fizik Adam Wilhelm Sigmund Günther kot simbol za razmerje "približno enako".

Več manj. T. Harriot (1631).

Ta dva znaka je leta 1631 v uporabo uvedel angleški astronom, matematik, etnograf in prevajalec Thomas Harriot, pred tem pa sta bili uporabljeni besedi "več" in "manj".

Primerljivost. K. Gauss (1801).

Primerjava - razmerje med dvema celima številkama n in m, kar pomeni, da se razlika n-m teh številk deli z danim celim številom a, ki se imenuje primerjalni modul; zapisano je: n≡m(mod a) in se glasi "števili n in m sta primerljivi po modulu a". Na primer, 3≡11(mod 4), saj je 3-11 deljivo s 4; številki 3 in 11 sta skladni po modulu 4. Primerjave imajo številne lastnosti, podobne tistim pri enakosti. Torej lahko izraz v enem delu primerjave z nasprotnim predznakom prenesemo v drug del, primerjave z istim modulom pa seštevamo, odštevamo, množimo, oba dela primerjave lahko pomnožimo z istim številom itd. na primer

3≡9+2 (mod 4) in 3-2≡9 (mod 4)

Hkrati prave primerjave. In iz para pravih primerjav 3≡11(mod 4) in 1≡5(mod 4) sledi pravilnost naslednjega:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5 (mod 4)

3 1≡11 5 (mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3 23≡11 23 (mod 4)

V teoriji števil se upoštevajo metode reševanja različnih primerjav, t.j. metode za iskanje celih števil, ki izpolnjujejo takšne ali drugačne primerjave. Modulo primerjave je prvi uporabil nemški matematik Carl Gauss v svoji knjigi Aritmetične raziskave iz leta 1801. Za primerjavo je predlagal tudi simboliko, uveljavljeno v matematiki.

Identiteta. B. Riemanna (1857).

Identiteta - enakost dveh analitičnih izrazov, ki velja za vse dopustne vrednosti črk, ki so v njej vključene. Enakost a+b = b+a velja za vse številčne vrednosti a in b in je zato identiteta. Za beleženje identitet se v nekaterih primerih od leta 1857 uporablja znak "≡" (beri "identično enak"), katerega avtor je v tej uporabi nemški matematik Georg Friedrich Bernhard Riemann. Lahko se napiše a+b ≡ b+a.

Navpičnost. P.Erigon (1634).

Pravokotnost - medsebojna razporeditev dveh ravnih črt, ravnin ali ravne črte in ravnine, v kateri te figure tvorita pravi kot. Znak ⊥ za označevanje pravokotnosti je leta 1634 uvedel francoski matematik in astronom Pierre Erigon. Koncept pravokotnosti ima številne posplošitve, vendar jih vse praviloma spremlja znak ⊥ .

Vzporednost. W. Outred (posmrtna izdaja 1677).

Paralelizem - razmerje med nekaterimi geometrijskimi oblikami; na primer ravne črte. Določeno različno, odvisno od različnih geometrij; na primer v geometriji Evklida in v geometriji Lobačevskega. Znak paralelizma je znan že od antičnih časov, uporabljala sta ga Heron in Papus iz Aleksandrije. Sprva je bil simbol podoben trenutnemu znaku enakosti (le bolj razširjen), s pojavom slednjega pa se je simbol v izogib zmedi obrnil navpično ||. V tej obliki se je prvič pojavil v posmrtni izdaji del angleškega matematika Williama Outreda leta 1677.

Križišče, zveza. J. Peano (1888).

Presečišče množic je množica, ki vsebuje tiste in samo tiste elemente, ki hkrati pripadajo vsem danim množicam. Zveza množic je množica, ki vsebuje vse elemente izvirnih množic. Presečišče in združitev se imenujeta tudi operaciji na nizih, ki določenim množicam dodelijo nove množice v skladu z zgornjimi pravili. Označena z ∩ in ∪. Na primer, če

A= (♠ ♣ ) in B= (♣ ♦ ),

To

A∩B= {♣ }

A∪B= {♠ ♣ ♦ } .

Vsebuje, vsebuje. E. Schroeder (1890).

Če sta A in B dve množici in v A ni elementov, ki ne pripadajo B, potem pravijo, da je A vsebovan v B. Pišejo A⊂B ali B⊃A (B vsebuje A). na primer

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦ }

{♠ ♣ ♦ }⊃{ ♦ }⊃{♦ }

Simboli "vsebuje" in "vsebuje" so se pojavili leta 1890 z nemškim matematikom in logikom Ernstom Schroederjem.

Pripadnost. J. Peano (1895).

Če je a element množice A, napišite a∈A in preberite "a pripada A". Če a ni element A, napišite a∉A in preberite "a ne pripada A". Sprva razmerja "vsebuje" in "pripada" ("je element") nista bila ločena, sčasoma pa sta ta koncepta zahtevala razlikovanje. Članski znak ∈ je prvi uporabil italijanski matematik Giuseppe Peano leta 1895. Simbol ∈ izhaja iz prve črke grške besede εστι - biti.

Univerzalni kvantifikator, eksistencialni kvantifikator. G. Gentzen (1935), C. Pierce (1885).

Kvantifikator je splošno ime za logične operacije, ki označujejo področje resnice predikata (matematične izjave). Filozofi že dolgo posvečajo pozornost logičnim operacijam, ki omejujejo obseg resnice predikata, vendar jih niso izpostavili kot ločen razred operacij. Čeprav se kvantifikatorsko-logične konstrukcije pogosto uporabljajo tako v znanstvenem kot v vsakdanjem govoru, se je njihova formalizacija zgodila šele leta 1879, v knjigi nemškega logika, matematika in filozofa Friedricha Ludwiga Gottloba Fregea "Račun pojmov". Fregejev zapis je bil videti kot okorne grafične konstrukcije in ni bil sprejet. Kasneje je bilo predlaganih še veliko uspešnih simbolov, vendar je bila oznaka ∃ za eksistencialni kvantifikator (beri "obstaja", "obstaja"), ki ga je leta 1885 predlagal ameriški filozof, logik in matematik Charles Pierce, in ∀ za univerzalni kvantifikator ( beri "any" , "each", "any"), ki ga je oblikoval nemški matematik in logik Gerhard Karl Erich Gentzen leta 1935 po analogiji s simbolom eksistencialnega kvantifikatorja (obrnjene prve črke angleških besed Existence (obstoj) in Any ( kaj)). Na primer vnos

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |<δ) (|f(x)-A|<ε)

se glasi takole: "za katero koli ε>0 obstaja δ>0, tako da za vse x, ki niso enaki x 0 in izpolnjujejo neenakost |x-x 0 |<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε".

Prazen komplet. N. Bourbaki (1939).

Nabor, ki ne vsebuje nobenega elementa. Prazen znak je bil predstavljen v knjigah Nicolasa Bourbakija leta 1939. Bourbaki je skupni psevdonim skupine francoskih matematikov, ustanovljene leta 1935. Eden od članov skupine Bourbaki je bil Andre Weil, avtor simbola Ø.

Q.E.D. D. Knuth (1978).

V matematiki je dokaz razumljen kot zaporedje sklepanja, ki temelji na določenih pravilih in dokazuje, da je določena trditev resnična. Od renesanse so matematiki konec dokazovanja označevali kot "Q.E.D.", iz latinskega izraza "Quod Erat Demonstrandum" - "Kar je bilo treba dokazati." Ameriški profesor računalništva Donald Edwin Knuth je pri izdelavi računalniškega sistema postavitve ΤΕΧ leta 1978 uporabil simbol: zapolnjen kvadrat, tako imenovani "Halmos simbol", poimenovan po ameriškem matematiku madžarskega porekla Paulu Richardu Halmosu. Danes je zaključek dokaza običajno označen s Halmosovim simbolom. Kot alternativo se uporabljajo drugi znaki: prazen kvadrat, pravokoten trikotnik, // (dve poševnici), pa tudi ruska okrajšava "ch.t.d.".

Vsak izmed nas iz šolske klopi (natančneje od 1. razreda osnovne šole) bi moral poznati tako preproste matematične simbole, kot je večji znak in manj znak, kot tudi znak enakosti.

Če pa je s slednjim precej težko nekaj zamenjati, potem približno kako in v kateri smeri so znaki bolj in manj napisani (manj znak in prijavi se, kot jih včasih imenujejo) mnogi takoj za isto šolsko klopjo in pozabijo, ker. v vsakdanjem življenju jih redko uporabljamo.

Toda skoraj vsak se mora prej ali slej še vedno soočiti z njimi, in "zapomniti", v katero smer je napisan znak, ki ga potrebujejo, pridobi le tako, da se po pomoč obrne na najljubši iskalnik. Zakaj torej ne bi natančno odgovorili na to vprašanje, hkrati pa obiskovalcem našega spletnega mesta povedali, kako si zapomnijo pravilno črkovanje teh znakov za prihodnost?

V tem kratkem zapisu vas želimo spomniti na to, kako se pišeta znaka večje in manjše. Tudi to ne bo odveč povedati kako vtipkati znake večje ali enako na tipkovnici in manj ali enako, Ker tudi to vprašanje pogosto povzroča težave uporabnikom, ki se s takšno nalogo srečujejo zelo redko.

Pojdimo naravnost k bistvu. Če se vsega tega ne zanimate preveč zapomniti za prihodnost in je naslednjič lažje znova »googlati«, zdaj pa potrebujete le odgovor na vprašanje »v katero smer napisati znak«, potem smo pripravili kratek odgovor namesto vas - znaki več in manj so napisani takole, kot je prikazano na spodnji sliki.

In zdaj bomo povedali malo več o tem, kako to razumeti in si zapomniti za prihodnost.

Na splošno je logika razumevanja zelo preprosta – na katero stran (večjo ali manjšo) znak v smeri pisanja gleda v levo – tak je znak. V skladu s tem je znak bolj levo videti s široko stranjo - večjo.

Primer uporabe predznaka več kot:

• 50>10 - število 50 je večje od števila 10;
• prisotnost študentov v tem semestru je bila >90 % pouka.

Kako napisati znak manj kot, morda ni vredno ponovno razlagati. Je popolnoma enak znaku večje od. Če znak gleda v levo z ozko stranjo - manjšo, potem je znak pred vami manjši.
Primer uporabe znaka manj kot:

• 100<500 - число 100 меньше числа пятьсот;
• prišel na sestanek<50% депутатов.

Kot vidite, je vse precej logično in preprosto, tako da zdaj ne bi smeli imeti vprašanj o tem, na kakšen način v prihodnosti napisati znak večje in manj.

Predznak večje ali enako/manjše ali enako

Če ste se že spomnili, kako je napisan znak, ki ga potrebujete, vam ne bo težko dodati enega pomišljaja od spodaj, tako da boste dobili znak "manj ali enako" ali podpiši "več ali enako".

Vendar pa imajo nekateri glede teh znakov še eno vprašanje - kako vtipkati takšno ikono na računalniško tipkovnico? Posledično večina preprosto postavi dva znaka zapored, na primer "večje ali enako", kar označuje kot ">=" , kar je načeloma pogosto povsem sprejemljivo, lahko pa ga naredimo lepše in pravilnejše.

Dejansko za vnos teh znakov obstajajo posebni znaki, ki jih je mogoče vnesti na katero koli tipkovnico. Strinjam se, znaki "≤" in "≥" videti veliko bolje.

Znak večje ali enako na tipkovnici

Če želite na tipkovnici z enim znakom napisati "večje ali enako", vam niti ni treba iti v tabelo posebnih znakov - samo vstavite znak za več kot, medtem ko držite tipko "alt". Tako bo bližnjica na tipkovnici (vpisana v angleški postavitvi) naslednja.

Ali pa lahko preprosto kopirate ikono iz tega članka, če jo morate enkrat uporabiti. Tukaj je, prosim.

≥

Znak manj ali enako na tipkovnici

Kot ste verjetno že uganili, lahko na tipkovnico napišete "manj kot ali enako" po analogiji z znakom za večje kot - samo postavite znak manj kot in držite tipko "alt". Bližnjica na tipkovnici, ki jo je treba vnesti v angleško postavitev, bo naslednja.

Ali pa samo kopiraj s te strani, če ti je lažje, tukaj je.

≤

Kot lahko vidite, si je pravilo za pisanje znakov za večje in manj kot enostavno zapomniti, in če želite na tipkovnici vtipkati znaka večje ali enako in manj ali enako, samo pritisnite dodatno tipko - vse je preprosto .