Kako izračunati vektorske projekcije na koordinatne osi. Spletni kalkulator. Izračunavanje projekcije vektorja na vektor

Na risbah so slike geometrijskih teles zgrajene po metodi projekcije. Toda za to ena slika ni dovolj, potrebni sta vsaj dve projekciji. Z njihovo pomočjo se določijo točke v prostoru. Zato morate vedeti, kako najti projekcijo točke.

Točkovna projekcija

Če želite to narediti, morate upoštevati prostor diedralnega kota, znotraj katerega je točka (A). Tukaj se uporabljata vodoravna P1 in navpična projekcijska ravnina P2. Točka (A) se projicira na projekcijske ravnine pravokotno. Kar zadeva pravokotne projekcijske žarke, so združeni v projekcijsko ravnino, pravokotno na projekcijske ravnine. Tako pri kombiniranju vodoravne ravnine P1 in čelne ravnine P2 z vrtenjem vzdolž osi P2 / P1 dobimo ravno risbo.

Nato je pravokotno na os prikazana črta s projekcijskimi točkami, ki se nahajajo na njej. Posledica tega je zapletena risba. Zahvaljujoč vgrajenim segmentom na njej in navpični komunikacijski liniji je enostavno določiti položaj točke glede na projekcijske ravnine.

Da bi lažje razumeli, kako najti projekcijo, morate upoštevati pravokoten trikotnik. Njegova kratka stran je krak, dolga stran pa hipotenuza. Če izvedete projekcijo noge na hipotenuzo, bo ta razdeljena na dva segmenta. Če želite določiti njihovo vrednost, morate izračunati niz začetnih podatkov. Razmislite o tem trikotniku, metode za izračun glavnih projekcij.

Praviloma je v tem problemu navedena dolžina kraka N in dolžina hipotenuze D, katere projekcijo je treba najti. Če želite to narediti, se naučimo najti projekcijo noge.

Razmislite o metodi za iskanje dolžine noge (A). Glede na to, da je geometrijska sredina projekcije kraka in dolžine hipotenuze enaka vrednosti iskanega kraka: N = √(D*Nd).

Kako najti dolžino projekcije

Koren produkta je mogoče najti tako, da dolžino želenega kraka (N) kvadrirate in nato delite z dolžino hipotenuze: Nd = (N / √ D)² = N² / D. Ko sta samo D in N kot je navedeno v izvornih podatkih, je treba projekcije dolžine poiskati s pomočjo Pitagorovega izreka.
Poiščite dolžino hipotenuze D. Če želite to narediti, uporabite vrednosti katete √ (N² + T²), nato pa dobljeno vrednost nadomestite z naslednjo formulo za iskanje projekcije: Nd = N² / √ (N² + T²).

Če izvorni podatki vsebujejo podatke o dolžini projekcije kraka RD, pa tudi podatke o vrednosti hipotenuze D, je treba dolžino projekcije drugega kraka ND izračunati z uporabo preproste formule za odštevanje: ND = D - RD.

Projekcija hitrosti

Razmislimo, kako najti projekcijo hitrosti. Da dani vektor predstavlja opis gibanja, ga je treba postaviti v projekcijo na koordinatne osi. Obstaja ena koordinatna os (žarek), dve koordinatni osi (ravnina) in tri koordinatne osi (prostor). Pri iskanju projekcije je treba s koncev vektorja spustiti navpičnice na os.

Da bi razumeli pomen projekcije, morate vedeti, kako najti projekcijo vektorja.

Vektorska projekcija

Ko se telo premika pravokotno na os, bo projekcija predstavljena kot točka in bo imela vrednost nič. Če je gibanje vzporedno s koordinatno osjo, bo projekcija sovpadala z modulom vektorja. V primeru, ko se telo premika tako, da je vektor hitrosti usmerjen pod kotom φ glede na os (x), bo projekcija na to os segment: V(x) = V cos(φ), kjer je model vektorja hitrosti V. Ko smeri vektorja hitrosti in koordinatne osi sovpadata, je projekcija pozitivna in obratno.

Vzemimo naslednjo koordinatno enačbo: x = x(t), y = y(t), z = z(t). V tem primeru bo funkcija hitrosti projicirana na tri osi in bo videti takole: V(x) = dx / dt = x"(t), V(y) = dy / dt = y"(t), V (z) \u003d dz / dt \u003d z "(t). Iz tega sledi, da je treba za iskanje hitrosti vzeti derivate. Sam vektor hitrosti je izražen z enačbo te oblike: V \u003d V (x) i + V (y) j + V (z) k pri čemer so i, j, k vektorji enot koordinatnih osi x, y, z. Tako se modul hitrosti izračuna po naslednji formuli: V = √ (V(x) ^ 2 + V(y) ^ 2 + V(z) ^ 2).

Pustimo dva vektorja in sta dana v prostoru. Odložite od poljubne točke O vektorji in. kotiček med vektorjema in se imenuje najmanjši kot. Označeno .

Upoštevajte os l in nanj narišite vektor enote (to je vektor, katerega dolžina je enaka eni).

Kot med vektorjem in osjo l razumeti kot med vektorjema in .

Torej naj l je neka os in je vektor.

Označi z A 1 in B1 projekcije na os l točke A in B. Pretvarjajmo se A 1 ima koordinato x 1, a B1- koordinata x2 na osi l.

Potem projekcija vektor na os l se imenuje razlika x 1 – x2 med koordinatami projekcij konca in začetka vektorja na to os.

Projekcija vektorja na os l bomo označili.

Jasno je, da če je kot med vektorjem in osjo l ostra potem x2> x 1, in projekcijo x2 – x 1> 0; če je ta kot tup, potem x2< x 1 in projekcija x2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, potem x2= x 1 in x2– x 1=0.

Tako je projekcija vektorja na os l je dolžina segmenta A 1 B 1 vzeto z določenim znakom. Zato je projekcija vektorja na os število ali skalar.

Podobno definiramo projekcijo enega vektorja na drugega. V tem primeru najdemo projekcije koncev tega vektorja na premici, na kateri leži 2. vektor.

Oglejmo si nekaj glavnih projekcijske lastnosti.

LINEARNO ODVISNI IN LINEARNO NEODVISNI SISTEMI VEKTORJEV

Razmislimo o več vektorjih.

Linearna kombinacija od teh vektorjev je kateri koli vektor oblike , kjer so nekaj številk. Številke imenujemo koeficienti linearne kombinacije. Rečeno je tudi, da je v tem primeru linearno izraženo v smislu danih vektorjev, t.j. pridobljeni iz njih z linearnimi operacijami.

Na primer, če so podani trije vektorji, se vektorji lahko obravnavajo kot njihova linearna kombinacija:

Če je vektor predstavljen kot linearna kombinacija nekaterih vektorjev, potem rečemo, da je razpadla vzdolž teh vektorjev.

Vektorji se imenujejo linearno odvisna, če obstajajo takšne številke, niso vsa enaka nič, to . Jasno je, da bodo dani vektorji linearno odvisni, če je kateri od teh vektorjev linearno izražen z drugimi.

Sicer pa t.j. ko je razmerje izvaja samo takrat, ko , se ti vektorji imenujejo linearno neodvisna.

Izrek 1. Vsaka dva vektorja sta linearno odvisna, če in samo če sta kolinearna.

Dokaz:

Podobno je mogoče dokazati naslednji izrek.

2. izrek. Trije vektorji so linearno odvisni, če in samo če so koplanarni.

Dokaz.

OSNOVA

Osnova je zbirka neničel linearno neodvisnih vektorjev. Elemente osnove bomo označili z .

V prejšnjem pododdelku smo videli, da sta dva nekolinearna vektorja v ravnini linearno neodvisna. Zato sta po izreku 1 iz prejšnjega odstavka osnova na ravnini katera koli dva nekolinearna vektorja na tej ravnini.

Podobno so kateri koli trije nekoplanarni vektorji linearno neodvisni v prostoru. Zato se trije nekoplanarni vektorji imenujejo baza v prostoru.

Naslednja trditev drži.

Izrek. Naj bo osnova podana v prostoru. Potem lahko kateri koli vektor predstavimo kot linearno kombinacijo , kje x, y, z- nekaj številk. Takšna razgradnja je edinstvena.

Dokaz.

Tako vam osnova omogoča edinstveno pridruževanje vsakega vektorja s trojko številk - koeficienti razširitve tega vektorja glede na vektorje osnove: . Velja tudi obratno, vsaka trojka številk x, y, z z uporabo osnove lahko vektor povežete, če naredite linearno kombinacijo .

Če je osnova in , nato številke x, y, z poklical koordinate vektorji v dani osnovi. Vektorske koordinate označujejo .

KARTEZIJSKI KOORDINATNI SISTEM

Naj bo podana točka v prostoru O in tri nekomplanarne vektorje.

Kartezijev koordinatni sistem v prostoru (na ravnini) se imenuje množica točke in osnove, t.j. množica točke in treh nekoplanarnih vektorjev (2 nekolinearna vektorja), ki izhajajo iz te točke.

Dot O imenovano izvor; ravne črte, ki potekajo skozi izvor v smeri osnovnih vektorjev, se imenujejo koordinatne osi - abscisa, ordinatna in aplicirana os. Ravnine, ki potekajo skozi koordinatne osi, se imenujejo koordinatne ravnine.

Razmislite o poljubni točki v izbranem koordinatnem sistemu M. Uvedemo pojem koordinata točke M. Vektor, ki povezuje izvor s točko M. poklical radij vektor točke M.

Vektor v izbrani osnovi lahko povežemo s trojko številk - njegove koordinate: .

Koordinate vektorja polmera točke M. poklical koordinate točke M. v obravnavanem koordinatnem sistemu. M(x,y,z). Prva koordinata se imenuje abscisa, druga je ordinata, tretja pa aplikat.

Kartezijeve koordinate na ravnini so definirane podobno. Tukaj ima točka samo dve koordinati - absciso in ordinato.

Preprosto je videti, da ima za dani koordinatni sistem vsaka točka določene koordinate. Po drugi strani pa za vsako trojko števil obstaja ena sama točka, ki ima ta števila kot koordinate.

Če imajo vektorji, vzeti za osnovo v izbranem koordinatnem sistemu, enotno dolžino in so parno pravokotni, se koordinatni sistem imenuje Kartezijanski pravokotnik.

To je enostavno pokazati.

Smerni kosinusi vektorja v celoti določajo njegovo smer, o njegovi dolžini pa ničesar.

Algebraična vektorska projekcija na kateri koli osi je enak zmnožku dolžine vektorja in kosinusa kota med osjo in vektorjem:

Desno a b = |b|cos(a,b) oz

Kjer je a b skalarni produkt vektorjev , |a| - modul vektorja a .

Navodilo. Če želite najti projekcijo vektorja Pp a b na spletu, morate določiti koordinate vektorjev a in b. V tem primeru je vektor lahko podan v ravnini (dve koordinate) in v prostoru (tri koordinate). Nastala rešitev se shrani v Wordovo datoteko. Če so vektorji podani skozi koordinate točk, potem morate uporabiti ta kalkulator.

dano:
dve vektorski koordinati
tri koordinatni vektor
a: ; ;
b: ; ;

Klasifikacija vektorskih projekcij

Vrste projekcij po definiciji vektorske projekcije

Vrste projekcij po koordinatnem sistemu

Lastnosti vektorske projekcije

1. Geometrijska projekcija vektorja je vektor (ima smer).
2. Algebraična projekcija vektorja je število.

Vektorski projekcijski teoremi

Izrek 1. Projekcija vsote vektorjev na katero koli os je enaka projekciji členov vektorjev na isto os.

2. izrek. Algebraična projekcija vektorja na katero koli os je enaka zmnožku dolžine vektorja in kosinusa kota med osjo in vektorjem:

Desno a b = |b|cos(a,b)

Vrste vektorskih projekcij

1. projekcija na os OX.
2. projekcija na os OY.
3. projekcija na vektor.

Projekcija na os OX	Projekcija na os OY	Projekcija v vektor
Če smer vektorja A'B' sovpada s smerjo osi OX, ima projekcija vektorja A'B' pozitiven predznak.	Če smer vektorja A'B' sovpada s smerjo osi OY, ima projekcija vektorja A'B' pozitiven predznak.	Če smer vektorja A'B' sovpada s smerjo vektorja NM, ima projekcija vektorja A'B' pozitiven predznak.
Če je smer vektorja nasprotna smeri osi OX, ima projekcija vektorja A'B' negativen predznak.	Če je smer vektorja A'B' nasprotna smeri osi OY, ima projekcija vektorja A'B' negativen predznak.	Če je smer vektorja A'B' nasprotna smeri vektorja NM, ima projekcija vektorja A'B' negativen predznak.
Če je vektor AB vzporeden z osjo OX, je projekcija vektorja A'B' enaka modulu vektorja AB.	Če je vektor AB vzporeden z osjo OY, je projekcija vektorja A'B' enaka modulu vektorja AB.	Če je vektor AB vzporeden z vektorjem NM, je projekcija vektorja A'B' enaka modulu vektorja AB.
Če je vektor AB pravokoten na os OX, je projekcija A'B' enaka nič (nič-vektor).	Če je vektor AB pravokoten na os OY, je projekcija A'B' enaka nič (ničelni vektor).	Če je vektor AB pravokoten na vektor NM, je projekcija A'B' enaka nič (ničelni vektor).

1. Vprašanje: Ali ima projekcija vektorja negativen predznak. Odgovor: Da, vektorske projekcije so lahko negativne. V tem primeru ima vektor nasprotno smer (glejte, kako sta usmerjeni os OX in vektor AB)
2. Vprašanje: Ali je lahko projekcija vektorja enaka modulu vektorja. Odgovor: Da, lahko. V tem primeru sta vektorja vzporedna (ali ležita na isti premici).
3. Vprašanje: Ali je lahko projekcija vektorja enaka nič (nič-vektor). Odgovor: Da, lahko. V tem primeru je vektor pravokoten na ustrezno os (vektor).

Primer 1. Vektor (slika 1) tvori z osjo OX kot 60° (podan je z vektorjem a). Če je OE enota lestvice, potem |b|=4, torej .

Dejansko je dolžina vektorja (geometrijska projekcija b) enaka 2, smer pa sovpada s smerjo osi OX.

Primer 2. Vektor (slika 2) tvori kot z osjo OX (z vektorjem a) (a,b) = 120 o . Dolžina |b| vektor b je enak 4, torej pr a b=4 cos120 o = -2.

Dejansko je dolžina vektorja enaka 2, smer pa je nasprotna smeri osi.

Projiciranje različnih linij in površin na ravnino vam omogoča, da zgradite vizualno predstavo predmetov v obliki risbe. Upoštevali bomo pravokotno projekcijo, pri kateri so projekcijski žarki pravokotni na projekcijsko ravnino. PROJEKCIJA VEKTORJA NA RAVNINO razmislite o vektorju \u003d (slika 3.22), zaprt med navpičnicama, spuščenimi z njegovega začetka in konca.

riž. 3.22. Vektorska projekcija vektorja na ravnino.

riž. 3.23. Vektorska projekcija vektorja na os.

V vektorski algebri je pogosto potrebno projicirati vektor na OS, torej na ravno črto, ki ima določeno orientacijo. Takšna zasnova je enostavna, če vektor in os L ležita v isti ravnini (slika 3.23). Vendar pa postane naloga težja, če ta pogoj ni izpolnjen. Konstruirajmo projekcijo vektorja na os, ko vektor in os ne ležita v isti ravnini (slika 3.24).

riž. 3.24. Projiciranje vektorja na os
na splošno.

Skozi konce vektorja narišemo ravnine, pravokotne na premico L. Na presečišču s to premico ti ravnini definirata dve točki A1 in B1 - vektor, ki ga bomo imenovali vektorska projekcija tega vektorja. Problem iskanja vektorske projekcije je mogoče enostavneje rešiti, če vektor pripeljemo v isto ravnino z osjo, kar je možno, saj v vektorski algebri upoštevamo proste vektorje.

Poleg vektorske projekcije obstaja tudi SKALARNA PROJEKCIJA, ki je enaka modulu vektorske projekcije, če vektorska projekcija sovpada z orientacijo osi L, in enaka nasprotni vrednosti, če vektorska projekcija in os L ima nasprotno usmerjenost. Skalarna projekcija bo označena z:

Vektorske in skalarne projekcije v praksi niso vedno terminološko ločene. Običajno se uporablja izraz "vektorska projekcija", kar pomeni skalarno projekcijo vektorja. Pri odločanju je treba med temi koncepti jasno razlikovati. Po ustaljeni tradiciji bomo uporabljali izraza "vektorska projekcija", ki pomeni skalarno projekcijo, in "vektorska projekcija" - v skladu z ustaljenim pomenom.

Dokažimo izrek, ki nam omogoča izračun skalarne projekcije danega vektorja.

TEOREM 5. Projekcija vektorja na os L je enaka produktu njegovega modula in kosinusa kota med vektorjem in osjo, tj.

(3.5)

riž. 3.25. Iskanje vektorja in skalarja
Vektorske projekcije na os L
(in os L sta enako usmerjeni).

DOKAZ. Izvedemo preliminarne konstrukcije, ki nam omogočajo, da najdemo kot G Med vektorjem in osjo L. Da bi to naredili, zgradimo ravno črto MN, vzporedno z osjo L in poteka skozi točko O - začetek vektorja (slika 3.25). Kot bo želeni kot. Skozi točki A in O narišemo dve ravnini, pravokotni na os L. Dobimo:

Ker sta os L in premica MN vzporedni.

Izpostavimo dva primera medsebojne razporeditve vektorja in osi L.

1. Vektorska projekcija in os L naj bosta enako usmerjeni (slika 3.25). Nato ustrezna skalarna projekcija .

2. Naj sta in L orientirana v različnih smereh (slika 3.26).

riž. 3.26. Iskanje vektorske in skalarne projekcije vektorja na os L (in os L sta usmerjeni v nasprotni smeri).

Tako trditev izreka velja v obeh primerih.

TEOREM 6. Če je začetek vektorja reduciran na določeno točko osi L in se ta os nahaja v ravnini s, tvori vektor kot z vektorsko projekcijo na ravnino s in kot z vektorjem projekcija na os L, poleg tega vektorske projekcije same tvorijo kot med seboj , potem

Uvod……………………………………………………………………………………………………3

1. Vrednost vektorja in skalarja………………………………………………………….4

2. Definicija projekcije, osi in koordinata točke…………………5

3. Vektorska projekcija na os…………………………………………………………...6

4. Osnovna formula vektorske algebre………………………………………..8

5. Izračun modula vektorja iz njegovih projekcij…………………...9

Zaključek……………………………………………………………………………………11

Literatura…………………………………………………………………………………...12

Uvod:

Fizika je neločljivo povezana z matematiko. Matematika daje fiziki sredstva in tehnike splošnega in natančnega izražanja razmerja med fizikalnimi količinami, ki se odkrijejo kot rezultat eksperimenta ali teoretičnega raziskovanja, saj je glavna metoda raziskovanja v fiziki eksperimentalna. To pomeni, da znanstvenik razkrije izračune s pomočjo meritev. Označuje razmerje med različnimi fizikalnimi količinami. Nato se vse prevede v jezik matematike. Oblikuje se matematični model. Fizika je znanost, ki preučuje najpreprostejše in hkrati najsplošnejše zakonitosti. Naloga fizike je ustvariti v naših glavah takšno sliko fizičnega sveta, ki najbolj v celoti odraža njegove lastnosti in zagotavlja takšne odnose med elementi modela, ki obstajajo med elementi.

Torej, fizika ustvarja model sveta okoli nas in preučuje njegove lastnosti. Toda vsak model je omejen. Pri izdelavi modelov določenega pojava se upoštevajo le lastnosti in povezave, ki so bistvene za dano paleto pojavov. To je umetnost znanstvenika - iz vse raznolikosti izbrati glavno stvar.

Fizični modeli so matematični, vendar matematika ni njihova osnova. Kvantitativna razmerja med fizikalnimi količinami se razjasnijo kot rezultat meritev, opazovanj in eksperimentalnih študij in so izražena le v jeziku matematike. Vendar ni drugega jezika za gradnjo fizikalnih teorij.

1. Vrednost vektorja in skalarja.

V fiziki in matematiki je vektor količina, za katero je značilna številčna vrednost in smer. V fiziki obstaja veliko pomembnih veličin, ki so vektorji, kot so sila, položaj, hitrost, pospešek, navor, zagon, električna in magnetna polja. Lahko jih primerjamo z drugimi količinami, kot so masa, prostornina, tlak, temperatura in gostota, ki jih lahko opišemo z navadnim številom in se imenujejo " skalarji" .

Napisane so bodisi s črkami navadne pisave bodisi s številkami (a, b, t, G, 5, -7 ....). Skalarji so lahko pozitivni ali negativni. Hkrati imajo lahko nekateri predmeti študija takšne lastnosti, za popoln opis katerih je poznavanje le številčne mere nezadostno, te lastnosti je treba tudi okarakterizirati s smerjo v prostoru. Za takšne lastnosti so značilne vektorske količine (vektorji). Vektorji so za razliko od skalarjev označeni s krepkimi črkami: a, b, g, F, C ....
Pogosto je vektor označen z navadno (nekrepko) črko, vendar s puščico nad njo:

Poleg tega je vektor pogosto označen s parom črk (običajno z velikimi črkami), pri čemer prva črka označuje začetek vektorja, druga črka pa njegov konec.

Modul vektorja, to je dolžina usmerjenega ravnega odseka, je označen z enakimi črkami kot sam vektor, vendar z običajnim (nekrepkim) zapisom in brez puščice nad njimi ali tako kot vektor (to je krepko ali navadno, vendar s puščico), potem pa je oznaka vektorja zaprta v navpične pomišljaje.
Vektor je kompleksen objekt, za katerega sta značilni tako velikost kot smer hkrati.

Prav tako ni pozitivnih in negativnih vektorjev. Toda vektorji so lahko enaki drug drugemu. To je takrat, ko imata na primer a in b enaka modula in sta usmerjena v isto smer. V tem primeru zapis a= b. Upoštevati je treba tudi, da je pred vektorskim simbolom lahko znak minus, na primer -c, vendar ta znak simbolično označuje, da ima vektor -c enak modul kot vektor c, vendar je usmerjen v nasprotna smer.

Vektor -c imenujemo nasprotje (ali inverzno) vektorja c.
V fiziki pa je vsak vektor napolnjen s specifično vsebino in pri primerjavi istovrstnih vektorjev (na primer sil) so lahko pomembne tudi točke njihove uporabe.

2.Določanje projekcije, osi in koordinate točke.

os je ravna črta, ki ji je dana smer.
Os je označena s poljubno črko: X, Y, Z, s, t ... Običajno je na osi (poljubno) izbrana točka, ki se imenuje izhodišče in je praviloma označena s črko O. Od te točke merimo razdalje do drugih točk, ki nas zanimajo.

točkovna projekcija na osi se imenuje osnova navpičnice, spuščena iz te točke na dano os. To pomeni, da je projekcija točke na os točka.

koordinata točke na dani osi se imenuje število, katerega absolutna vrednost je enaka dolžini odseka osi (v izbranem merilu), zaprtega med začetkom osi in projekcijo točke na to os. To število se vzame s predznakom plus, če se projekcija točke nahaja v smeri osi od njenega začetka in z znakom minus, če je v nasprotni smeri.

3.Projekcija vektorja na os.

Projekcija vektorja na os je vektor, ki ga dobimo z množenjem skalarne projekcije vektorja na to os in vektorja enote te osi. Na primer, če je a x skalarna projekcija vektorja a na os X, potem je a x i njegova vektorska projekcija na to os.

Vektorsko projekcijo označimo na enak način kot sam vektor, vendar z indeksom osi, na katero je vektor projiciran. Torej bo vektorska projekcija vektorja a na os X označena z a x (krepka črka, ki označuje vektor in indeks imena osi) oz.

(nekrepka črka, ki označuje vektor, vendar s puščico na vrhu (!) in podpisom imena osi).

Skalarna projekcija vektor na os se imenuje številko, katerega absolutna vrednost je enaka dolžini odseka osi (v izbranem merilu), zaprtega med projekcijama začetne in končne točke vektorja. Ponavadi namesto izraza skalarna projekcija preprosto reci - projekcija. Projekcija je označena z isto črko kot projicirani vektor (v običajnem, nekrepkem pisanju), s podpisom (običajno) imena osi, na katero je ta vektor projiciran. Na primer, če je vektor projiciran na os x a, potem je njena projekcija označena z x . Pri projiciranju istega vektorja na drugo os, če je os Y, bo njegova projekcija označena kot y.

Za izračun projekcije vektor na osi (na primer osi X) je treba od koordinate njene končne točke odšteti koordinato začetne točke, tj.

in x \u003d x k - x n.

Projekcija vektorja na os je število. Poleg tega je projekcija lahko pozitivna, če je vrednost x k večja od vrednosti x n,

negativna, če je vrednost x k manjša od vrednosti x n

in enako nič, če je x k enako x n.

Projekcijo vektorja na os lahko najdemo tudi tako, da poznamo modul vektorja in kot, ki ga naredi s to osjo.

Iz slike je razvidno, da je a x = a Cos α

To pomeni, da je projekcija vektorja na os enaka produktu modula vektorja in kosinusa kota med smerjo osi in vektorska smer. Če je kot oster, potem
Cos α > 0 in a x > 0, in če je topo, potem je kosinus tupega kota negativen, negativna pa bo tudi projekcija vektorja na os.

Koti, ki se štejejo od osi v nasprotni smeri urinega kazalca, se štejejo za pozitivne, v smeri pa za negativne. Ker pa je kosinus soda funkcija, to je Cos α = Cos (− α), pri izračunu projekcij lahko kote štejemo tako v smeri urinega kazalca kot v nasprotni smeri urinega kazalca.

Da bi našli projekcijo vektorja na os, je treba modul tega vektorja pomnožiti s kosinusom kota med smerjo osi in smerjo vektorja.

4. Osnovna formula vektorske algebre.

Vektor a projiciramo na osi X in Y pravokotnega koordinatnega sistema. Poiščite vektorske projekcije vektorja a na teh osi:

in x = a x i in y = a y j.

Toda v skladu z vektorskim pravilom seštevanja

a \u003d a x + a y.

a = a x i + a y j.

Tako smo vektor izrazili v smislu njegovih projekcij in ort pravokotnega koordinatnega sistema (ali v smislu njegovih vektorskih projekcij).

Vektorski projekciji a x in a y imenujemo komponente ali komponente vektorja a. Operacijo, ki smo jo izvedli, imenujemo dekompozicija vektorja vzdolž osi pravokotnega koordinatnega sistema.

Če je vektor podan v prostoru, potem

a = a x i + a y j + a z k.

Ta formula se imenuje osnovna formula vektorske algebre. Seveda se lahko zapiše tudi tako.