Kinetična energija vrtečega se togega telesa. Kinetična energija vrtečega se telesa

Začnimo z upoštevanjem vrtenja telesa okoli fiksne osi, ki jo bomo imenovali os z (slika 41.1). Linearna hitrost osnovne mase je kjer je razdalja mase od osi. Zato dobimo izraz za kinetično energijo elementarne mase

Kinetična energija telesa je sestavljena iz kinetičnih energij njegovih delov:

Vsota na desni strani tega razmerja je vztrajnostni moment telesa 1 okoli osi vrtenja. Tako je kinetična energija telesa, ki se vrti okoli fiksne osi

Naj na maso delujeta notranja in zunanja sila (glej sliko 41.1). Po (20.5) bodo te sile v tem času opravljale delo

Če izvedemo ciklično permutacijo faktorjev v mešanih produktih vektorjev (glej (2.34)), dobimo:

kjer je N moment notranje sile glede na točko O, N je analogni moment zunanje sile.

Če seštejemo izraz (41.2) po vseh elementarnih masah, dobimo osnovno delo, opravljeno na telesu v času dt:

Vsota momentov notranjih sil je enaka nič (glej (29.12)). Zato z označevanjem skupnega momenta zunanjih sil skozi N pridemo do izraza

(uporabili smo formulo (2.21)).

Končno, če upoštevamo, da obstaja kot, skozi katerega se telo vrti v času, dobimo:

Predznak dela je odvisen od predznaka, torej od predznaka projekcije vektorja N na smer vektorja

Torej, ko se telo vrti, notranje sile ne opravljajo dela, medtem ko je delo zunanjih sil določeno s formulo (41.4).

Do formule (41.4) lahko pridemo z uporabo dejstva, da delo, ki ga opravijo vse sile, ki delujejo na telo, poveča njegovo kinetično energijo (glej (19.11)). Če vzamemo diferencial obeh strani enakosti (41.1), pridemo do relacije

Po enačbi (38.8) bomo torej z zamenjavo skozi prišli do formule (41.4).

Tabela 41.1

V tabeli. 41.1 se formule mehanike rotacijskih gibov primerjajo s podobnimi formulami mehanike translacijskega gibanja (mehanika točke). Iz te primerjave je enostavno sklepati, da v vseh primerih vlogo mase igra vztrajnostni moment, vlogo sile je moment sile, vlogo gibalne količine ima moment gibalne količine itd.

Formula. (41.1) smo dobili za primer, ko se telo vrti okoli fiksne osi, pritrjene v telesu. Zdaj pa predpostavimo, da se telo poljubno vrti okoli fiksne točke, ki sovpada z njegovim središčem mase.

Kartezijev koordinatni sistem togo povežemo s telesom, katerega izvor bo postavljen v središče mase telesa. Hitrost i-te osnovne mase je Zato lahko za kinetično energijo telesa zapišemo izraz

kje je kot med vektorjema. Zamenjava skozi in upoštevajoč, kaj dobimo:

Skalarne produkte zapišemo v smislu projekcij vektorjev na osi koordinatnega sistema, povezanega s telesom:

Končno, če združimo izraze z enakimi produkti komponent kotne hitrosti in te produkte vzamemo iz predznakov vsot, dobimo: tako da formula (41.7) dobi obliko (primerjaj z (41.1)). Ko se poljubno telo vrti okoli ene od glavnih vztrajnostnih osi, recimo, da osi in formula (41.7) gre v (41.10.

Tako. kinetična energija vrtečega se telesa je enaka polovici zmnožka vztrajnostnega momenta in kvadrata kotne hitrosti v treh primerih: 1) za telo, ki se vrti okoli fiksne osi; 2) za telo, ki se vrti okoli ene od glavnih osi vztrajnosti; 3) za vrh kroglice. V drugih primerih je kinetična energija določena s kompleksnejšimi formulami (41.5) ali (41.7).

Mehanika.

Vprašanje 1

Referenčni sistem. Inercialni referenčni sistemi. Galileo-Einsteinovo načelo relativnosti.

referenčni sistem- to je niz teles, v zvezi s katerimi je opisano gibanje danega telesa in z njim povezan koordinatni sistem.

Inercialni referenčni sistem (ISO)- sistem, v katerem prosto gibajoče se telo miruje ali enakomerno premočrtno giblje.

Galileo-Einsteinovo načelo relativnosti- Vsi naravni pojavi v katerem koli inercialnem referenčnem okviru se pojavljajo na enak način in imajo enako matematično obliko. Z drugimi besedami, vsi ISO so enaki.

Vprašanje št. 2

Enačba gibanja. Vrste gibanja togega telesa. Glavna naloga kinematike.

Enačbe gibanja materialne točke:

- kinematična enačba gibanja

Vrste gibanja togega telesa:

1) Translacijsko gibanje - vsaka ravna črta, narisana v telesu, se premika vzporedno s sabo.

2) Rotacijsko gibanje - katera koli točka telesa se premika v krogu.

φ = φ(t)

Glavna naloga kinematike- to je pridobivanje časovnih odvisnosti hitrosti V= V(t) in koordinat (ali vektorja polmera) r = r(t) materialne točke iz znane časovne odvisnosti njenega pospeška a = a(t) in znani začetni pogoji V 0 in r 0 .

Vprašanje št. 7

Pulz (Število gibanja) je vektorska fizična količina, ki označuje mero mehanskega gibanja telesa. V klasični mehaniki je gibalna količina telesa enaka produktu mase m to kaže na njegovo hitrost v, smer zagona sovpada s smerjo vektorja hitrosti:

V teoretični mehaniki splošen zagon je delni odvod Lagrangiana sistema glede na posplošeno hitrost

Če Lagrangian sistema ni odvisen od nekaterih generalizirana koordinata, potem zaradi Lagrangeove enačbe .

Za prosti delec ima Lagrangeova funkcija obliko: , torej:

Neodvisnost Lagrangiana zaprtega sistema od njegovega položaja v prostoru izhaja iz lastnosti homogenost prostora: za dobro izoliran sistem njegovo obnašanje ni odvisno od tega, kam v prostoru ga postavimo. Avtor Noetherjev izrek ta homogenost pomeni ohranitev neke fizikalne količine. Ta količina se imenuje impulz (navaden, ne posplošen).

V klasični mehaniki popolno zagon Sistem materialnih točk imenujemo vektorska količina, ki je enaka vsoti produktov mas materialnih točk pri njihovi hitrosti:

v skladu s tem se količina imenuje zagon ene materialne točke. Je vektorska količina, usmerjena v isto smer kot hitrost delca. Enota za zagon v mednarodnem sistemu enot (SI) je kilogram meter na sekundo(kg m/s)

Če imamo opravka s telesom končne velikosti, je za določitev njegove gibalne sile potrebno telo razbiti na majhne dele, ki jih lahko štejemo za materialne točke in jih seštejemo, kot rezultat dobimo:

Zagon sistema, na katerega ne vplivajo nobene zunanje sile (ali so kompenzirane), ohranjeno pravočasno:

Ohranjanje zagona v tem primeru izhaja iz Newtonovega drugega in tretjega zakona: za vsako materialno točko, ki sestavljajo sistem, napišemo Newtonov drugi zakon in ga seštejemo po vseh materialnih točkah, ki sestavljajo sistem, na podlagi Newtonove tretje zakona dobimo enakost (*).

V relativistični mehaniki je tridimenzionalni zagon sistema neinteraktivnih materialnih točk količina

,

kje m i- utež jaz-ta materialna točka.

Za zaprt sistem materialnih točk, ki niso v interakciji, je ta vrednost ohranjena. Vendar pa tridimenzionalni zagon ni relativistično invariantna količina, saj je odvisen od referenčnega okvira. Bolj smiselna vrednost bo štiridimenzionalni zagon, ki je za eno materialno točko opredeljen kot

V praksi se pogosto uporabljajo naslednja razmerja med maso, zagonom in energijo delca:

Načeloma se za sistem materialnih točk, ki niso v interakciji, seštejejo njihovi 4-momenti. Vendar pa je treba pri delujočih delcih v relativistični mehaniki upoštevati momente ne le delcev, ki sestavljajo sistem, temveč tudi zagon polja interakcije med njimi. Zato je veliko bolj smiselna količina v relativistični mehaniki tenzor energija-gibalni gib, ki v celoti izpolnjuje zakone o ohranjanju.

Vprašanje št. 8

Vztrajnostni trenutek- skalarna fizična količina, mera vztrajnosti telesa pri rotacijskem gibanju okoli osi, tako kot je masa telesa merilo njegove vztrajnosti pri translacijskem gibanju. Zanj je značilna porazdelitev mas v telesu: vztrajnostni moment je enak vsoti produktov osnovnih mas in kvadrata njihovih razdalj do osnovnega niza.

Aksialni vztrajnostni moment

Aksialni vztrajnostni momenti nekaterih teles.

Vztrajnostni moment mehanskega sistema glede na fiksno os ("aksialni vztrajnostni moment") se imenuje vrednost J a enak vsoti produktov mas vseh n materialne točke sistema na kvadrate njihovih razdalj do osi:

,

• m i- utež jaz-ta točka,
• r i- oddaljenost od jaz-to točko na os.

Aksialni vztrajnostni moment telo J a je mera vztrajnosti telesa pri rotacijskem gibanju okoli osi, tako kot je masa telesa merilo njegove vztrajnosti pri translacijskem gibanju.

,

• dm = ρ dV- masa majhnega volumskega elementa telesa dV,
• ρ - gostota,
• r- oddaljenost od elementa dV na os a.

Če je telo homogeno, torej njegova gostota je povsod enaka

Izpeljava formule

dm in vztrajnostni trenutki DJ i. Potem

Tankostenski cilinder (obroč, obroč)

Izpeljava formule

Vztrajnostni moment telesa je enak vsoti vztrajnostnih momentov njegovih sestavnih delov. Razdelitev tankostenskega valja na elemente z maso dm in vztrajnostni trenutki DJ i. Potem

Ker so vsi elementi tankostenskega valja na enaki razdalji od osi vrtenja, se formula (1) pretvori v obliko

Steinerjev izrek

Vztrajnostni trenutek togega telesa glede na katero koli os ni odvisna samo od mase, oblike in dimenzij telesa, temveč tudi od položaja telesa glede na to os. Po Steinerjevem izreku (Huygens-Steinerjev izrek) vztrajnostni moment telo J glede na poljubno os je enak vsoti vztrajnostni moment to telo Jc glede na os, ki poteka skozi središče mase telesa vzporedno z obravnavano osjo, in produkt telesne mase m na kvadratno razdaljo d med osmi:

Če je vztrajnostni moment telesa okoli osi, ki poteka skozi masno središče telesa, potem je vztrajnostni moment okoli vzporedne osi, ki je oddaljena od nje, enak

,

kjer je skupna masa telesa.

Na primer, vztrajnostni moment palice okoli osi, ki poteka skozi njen konec, je:

Rotacijska energija

Kinetična energija rotacijskega gibanja- energija telesa, povezana z njegovim vrtenjem.

Glavni kinematski značilnosti rotacijskega gibanja telesa sta njegova kotna hitrost (ω) in kotni pospešek. Glavne dinamične značilnosti rotacijskega gibanja so kotni moment okoli rotacijske osi z:

Kz = Izω

in kinetično energijo

kjer je I z vztrajnostni moment telesa okoli osi vrtenja.

Podoben primer je mogoče najti, če razmišljamo o vrteči se molekuli z glavno vztrajnostno osjo jaz 1, jaz 2 in jaz 3. Energija vrtenja takšne molekule je podana z izrazom

kje ω 1, ω 2, in ω 3 so glavne komponente kotne hitrosti.

V splošnem primeru se energija med vrtenjem s kotno hitrostjo najde po formuli:

, kje jaz je vztrajnostni tenzor.

Vprašanje št. 9

moment impulza (kotni moment, kotni moment, orbitalni moment, kotni moment) označuje količino rotacijskega gibanja. Količina, ki je odvisna od tega, koliko mase se vrti, kako je razporejena okoli osi vrtenja in kako hitro se vrtenje odvija.

Treba je opozoriti, da se vrtenje tukaj razume v širšem smislu, ne le kot običajno vrtenje okoli osi. Na primer, tudi pri premočrtnem gibanju telesa mimo poljubne namišljene točke, ki ne leži na premici gibanja, ima tudi kotni moment. Morda največjo vlogo igra kotni moment pri opisu dejanskega rotacijskega gibanja. Je pa izjemno pomemben za veliko širši razred problemov (še posebej, če ima problem centralno ali osno simetrijo, a ne le v teh primerih).

Zakon o ohranitvi gibalne količine(zakon ohranitve kotne količine) - vektorska vsota vseh kotnih momentov okoli katere koli osi za zaprt sistem ostane konstantna v primeru ravnotežja sistema. V skladu s tem je kotna količina zaprtega sistema glede na katero koli nečasovno izpeljanko kotne količine moment sile:

Tako lahko zahtevo po zaprtju sistema oslabimo na zahtevo, da je glavni (skupni) moment zunanjih sil enak nič:

kjer je moment ene od sil, ki delujejo na sistem delcev. (Seveda pa, če zunanjih sil sploh ni, je tudi ta zahteva izpolnjena).

Matematično zakon ohranjanja kotne količine sledi iz izotropije prostora, torej iz invariantnosti prostora glede na vrtenje skozi poljuben kot. Pri vrtenju skozi poljuben neskončno majhen kot se bo vektor polmera delca s številom spremenil za , hitrosti pa - . Lagrangeova funkcija sistema se med takšno rotacijo ne bo spremenila zaradi izotropnosti prostora. Torej

Naloge

1. Določi, kolikokrat je efektivna masa večja od gravitacijske mase vlaka z maso 4000 ton, če je masa koles 15 % mase vlaka. Kolesa obravnavajte kot diske s premerom 1,02 m. Kako se bo odgovor spremenil, če je premer koles polovico manjši?

2. Določite pospešek, s katerim se kolesni par z maso 1200 kg skotali navzdol po hribu z naklonom 0,08. Kolesa obravnavajte kot diske. Koeficient kotalnega upora 0,004. Določite silo oprijema koles na tirnice.

3. Določi pospešek, s katerim se kolesni par z maso 1400 kg skotali v hrib z naklonom 0,05. Koeficient upora 0,002. Kakšen naj bo koeficient oprijema, da kolesa ne zdrsnejo. Kolesa obravnavajte kot diske.

4. Določi pospešek, s katerim se 40 ton težki vagon kotali po hribu z naklonom 0,020, če ima osem koles, težkih 1200 kg in premera 1,02 m. Določi silo oprijema koles na tirnice. Koeficient upora 0,003.

5. Določi silo pritiska zavornih čeljusti na povoje, če se 4000 ton težki vlak upočasni s pospeškom 0,3 m/s 2 . Vztrajnostni moment ene kolesne dvojice je 600 kg m 2, število osi je 400, koeficient drsnega trenja bloka je 0,18, koeficient kotalnega upora je 0,004.

6. Določite zavorno silo, ki deluje na štiriosni vagon z maso 60 ton na zavorno ploščico ranžirne postaje, če se je hitrost na 30 m progi zmanjšala z 2 m/s na 1,5 m/s. Vztrajnostni moment ene kolesne dvojice je 500 kg m 2 .

7. Merilnik hitrosti lokomotive je pokazal povečanje hitrosti vlaka v eni minuti z 10 m/s na 60 m/s. Verjetno je prišlo do zdrsa vodilne kolesne dvojice. Določite moment sil, ki delujejo na armaturo elektromotorja. Vztrajnostni moment kolesne dvojice 600 kg m 2 , sidra 120 kg m 2 . Prestavno razmerje 4.2. Sila pritiska na tirnice je 200 kN, koeficient drsnega trenja koles ob tirnici je 0,10.

11. KINETIČNA ENERGIJA ROTATORJA

GIBANJA

Izpeljemo formulo za kinetično energijo rotacijskega gibanja. Naj se telo vrti s kotno hitrostjo ω okoli fiksne osi. Vsak majhen delec telesa izvaja translacijsko gibanje v krogu s hitrostjo , kjer r i - razdalja do osi vrtenja, polmer orbite. Kinetična energija delca maše m i je enako . Celotna kinetična energija sistema delcev je enaka vsoti njihovih kinetičnih energij. Seštejmo formule za kinetično energijo delcev telesa in vzamemo predznak vsote polovice kvadrata kotne hitrosti, ki je enak za vse delce, . Vsota produktov mas delcev in kvadratov njihovih razdalj do osi vrtenja je vztrajnostni moment telesa okoli osi vrtenja. . torej kinetična energija telesa, ki se vrti okoli fiksne osi, je enaka polovici produkta vztrajnostnega momenta telesa okoli osi in kvadrata kotne hitrosti vrtenja:

Rotirajoča se telesa lahko shranjujejo mehansko energijo. Takšna telesa se imenujejo vztrajniki. Običajno so to telesa revolucije. Uporaba vztrajnikov v lončarskem vretenu je znana že od antike. Pri motorjih z notranjim zgorevanjem med taktom bat daje mehansko energijo vztrajniku, ki nato v naslednjih treh ciklih opravlja delo pri vrtenju gredi motorja. V štampiljkah in stiskalnicah vztrajnik poganja elektromotor sorazmerno majhne moči, akumulira mehansko energijo za skoraj celoten obrat in jo v kratkem trenutku udarca prepusti delu žigosanja.

Obstajajo številni poskusi uporabe vrtljivih vztrajnikov za pogon vozil: avtomobilov, avtobusov. Imenujejo se mahomobili, žiroskopski nosilci. Ustvarjenih je bilo veliko takšnih eksperimentalnih strojev. Obetavna bi bila uporaba vztrajnikov za shranjevanje energije pri zaviranju električnih vlakov, da bi akumulirano energijo uporabili pri poznejšem pospeševanju. Znano je, da se shranjevanje energije na vztrajniku uporablja na vlakih podzemne železnice v New Yorku.