doma
Čiščenje vode
Splošna ideja celih števil. Največji skupni mnogokratnik in najmanjši skupni delitelj

Splošna ideja celih števil. Največji skupni mnogokratnik in najmanjši skupni delitelj

Kaj pomeni celo število

Torej razmislite, katera števila se imenujejo cela števila.

Tako bodo cela števila označevala takšne številke: $0$, $±1$, $±2$, $±3$, $±4$ itd.

Množica naravnih števil je podmnožica množice celih števil, t.j. vsako naravno število bo celo število, vendar nobeno celo število ni naravno število.

Cela pozitivna in celo negativna števila

Opredelitev 2

plus.

Števila $3, 78, 569, 10450 $ so pozitivna cela števila.

Opredelitev 3

so predpisana cela števila minus.

Števila $−3, −78, −569, -10450$ so negativna cela števila.

Opomba 1

Število nič se ne nanaša niti na pozitivna niti na negativna cela števila.

Celotna pozitivna števila so cela števila večja od nič.

Cela negativna števila so cela števila manjša od nič.

Množica naravnih celih števil je množica vseh pozitivnih celih števil, množica vseh nasprotij naravnih števil pa je množica vseh negativnih celih števil.

Celoštevilska nepozitivna in cela nenegativna števila

Pokličejo se vsa pozitivna cela števila in število nič cela nenegativna števila.

Celoštevilna nepozitivna števila so vsa negativna cela števila in število $0$.

Opomba 2

tako, celotno nenegativno število so cela števila, večja od nič ali enaka nič, in nepozitivno celo število so cela števila, manjša od nič ali enaka nič.

Na primer, nepozitivna cela števila: $−32, −123, 0, −5$ in nenegativna cela števila: $54, 123, 0,856 342,$

Opis spreminjanja vrednosti z uporabo celih števil

Cela števila se uporabljajo za opis sprememb v številu poljubnih elementov.

Razmislite o primerih.

Primer 1

Recimo, da trgovina prodaja določeno število artiklov. Ko trgovina prejme 520 $ artiklov, se bo število artiklov v trgovini povečalo, številka 520 $ pa kaže pozitivno spremembo števila. Ko trgovina proda predmete za 50 $, se bo število artiklov v trgovini zmanjšalo, število 50 $ pa bo izražalo negativno spremembo števila. Če trgovina blaga ne bo niti pripeljala niti prodala, bo število blaga ostalo nespremenjeno (tj. lahko govorimo o ničelni spremembi števila).

V zgornjem primeru je sprememba števila blaga opisana s celimi števili $520$, $−50$ in $0$. Pozitivna vrednost celega števila $520$ pomeni pozitivno spremembo števila. Negativna vrednost celega števila $−50$ označuje negativno spremembo števila. Celo število $0$ označuje nespremenljivost števila.

Cela števila so priročna za uporabo, ker ni potrebe po izrecni navedbi povečanja števila ali zmanjšanja - predznak celega števila označuje smer spremembe, vrednost pa kvantitativno spremembo.

S celimi števili lahko izrazite ne samo spremembo količine, temveč tudi spremembo katere koli vrednosti.

Razmislite o primeru spremembe cene izdelka.

Primer 2

Povečanje stroškov na primer za 20 $ rubljev je izraženo s pozitivnim celim številom 20 $. Zmanjšanje stroškov, na primer za 5$ rubljev, je opisano z negativnim celim številom $−5$. Če ni sprememb stroškov, se taka sprememba določi z uporabo celega števila $0$.

Ločeno upoštevajte vrednost negativnih celih števil kot velikost dolga.

Primer 3

Na primer, oseba ima 5000 rubljev. Nato lahko s pozitivnim celim številom 5000 $ pokažete število rubljev, ki jih ima. Oseba mora plačati najemnino v višini $7.000 rubljev, vendar nima takšnega denarja; v tem primeru je takšno stanje opisano z negativnim celim številom $−7,000 $. V tem primeru ima oseba $−7.000 $ rubljev, kjer "-" označuje dolg, številka 7.000 $ pa znesek dolga.


Informacije v tem članku tvorijo splošno predstavo o cela števila. Najprej je podana definicija celih števil in podani so primeri. Nato se upoštevajo cela števila na številski premici, iz katerih postane jasno, katera števila se imenujejo pozitivna in katera negativna. Nato je prikazano, kako so spremembe količin opisane s celimi števili, negativna cela števila pa se upoštevajo v smislu dolga.

Navigacija po straneh.

Cela števila - definicija in primeri

Opredelitev.

Cela števila so naravna števila, število nič, pa tudi števila, ki so nasprotna naravnim.

Definicija celih števil navaja, da je katero koli od številk 1, 2, 3, …, število 0 in tudi katero koli od številk −1, −2, −3, … celo število. Zdaj lahko enostavno prinesemo celoštevilski primeri. Na primer, število 38 je celo število, število 70 040 je tudi celo število, nič je celo število (spomnimo se, da nič NI naravno število, nič je celo število), števila −999 , −1 , −8 934 832 so tudi primeri celih števil.

Vsa cela števila je priročno predstaviti kot zaporedje celih števil, ki ima naslednjo obliko: 0, ±1, ±2, ±3, … Zaporedje celih števil lahko zapišemo tudi tako: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Iz definicije celih števil izhaja, da je množica naravnih števil podmnožica množice celih števil. Zato je vsako naravno število celo število, ni pa vsako celo število naravno število.

Cela števila na koordinatni vrstici

Opredelitev.

Celoštevilna pozitivna števila so cela števila, ki so večja od nič.

Opredelitev.

Celoštevilna negativna števila so cela števila, ki so manjša od nič.

Celoštevilna pozitivna in negativna števila lahko določimo tudi z njihovim položajem na koordinatni črti. Na vodoravni koordinatni črti ležijo točke, katerih koordinate so pozitivna cela števila, desno od izhodišča. Po drugi strani se točke z negativnimi celimi koordinatami nahajajo levo od točke O.

Jasno je, da je množica vseh pozitivnih celih množica naravnih števil. Po drugi strani je množica vseh negativnih celih števil množica vseh števil, ki so nasprotna naravnim številom.

Ločeno vas opozarjamo na dejstvo, da lahko katero koli naravno število varno imenujemo celo število, nobenega celega števila pa NE moremo imenovati naravno število. Naravno lahko imenujemo samo vsako pozitivno celo število, saj negativna cela števila in nič nista naravni.

Celoštevilska nepozitivna in cela nenegativna števila

Dajmo definicije nepozitivnih celih in nenegativnih celih števil.

Opredelitev.

Pokličejo se vsa pozitivna cela števila skupaj z ničlo cela nenegativna števila.

Opredelitev.

Celoštevilna nepozitivna števila so vsa negativna cela števila skupaj s številom 0.

Z drugimi besedami, nenegativno celo število je celo število, ki je večje ali enako nič, nepozitivno celo število pa je celo število, ki je manjše ali enako nič.

Primeri nepozitivnih celih števil so števila -511, -10 030, 0, -2, kot primeri nenegativnih celih števil pa naj navedemo števila 45, 506, 0, 900 321.

Najpogosteje se zaradi kratkosti uporabljata izraza "nepozitivna cela števila" in "nenegativna cela števila". Na primer, namesto izraza "število a je celo število in a je večje od nič ali enako nič", lahko rečete "a je nenegativno celo število".

Opis spreminjanja vrednosti z uporabo celih števil

Čas je, da se pogovorimo o tem, čemu služijo cela števila.

Glavni namen celih števil je, da je z njihovo pomočjo priročno opisati spremembo števila poljubnih elementov. Opravimo se s tem s primeri.

Recimo, da je na zalogi določena količina delov. Če se na primer v skladišče pripelje še 400 delov, se bo število delov v skladišču povečalo, število 400 pa izraža to spremembo količine v pozitivni smeri (v smeri povečanja). Če na primer iz skladišča vzamemo 100 delov, se bo število delov v skladišču zmanjšalo, število 100 pa bo izražalo spremembo količine v negativni smeri (v smeri zmanjšanja). Noben deli ne bodo pripeljani v skladišče in nobeni deli ne bodo odpeljani iz skladišča, potem lahko govorimo o nespremenljivosti števila delov (to je, da lahko govorimo o ničelni spremembi količine).

V navedenih primerih lahko spremembo števila delov opišemo s celimi števili 400 , −100 oziroma 0. Pozitivno celo število 400 označuje pozitivno spremembo količine (povečanje). Negativno celo število −100 izraža negativno spremembo količine (zmanjšanje). Celo število 0 pomeni, da se količina ni spremenila.

Priročnost uporabe celih števil v primerjavi z uporabo naravnih števil je v tem, da ni treba izrecno navesti, ali se količina povečuje ali zmanjšuje – celo število določa spremembo kvantitativno, predznak celega števila pa označuje smer spremembe.

Cela števila lahko tudi izražajo ne le spremembo količine, ampak tudi spremembo neke vrednosti. Opravimo to na primeru spremembe temperature.

Povečanje temperature za, recimo, 4 stopinje je izraženo kot pozitivno celo število 4 . Znižanje temperature, na primer za 12 stopinj, je mogoče opisati z negativnim celim številom -12. Invariantnost temperature je njena sprememba, ki jo določa celo število 0.

Ločeno je treba povedati o razlagi negativnih celih števil kot zneska dolga. Na primer, če imamo 3 jabolka, potem pozitivno celo število 3 predstavlja število jabolk, ki jih imamo. Po drugi strani pa, če moramo nekomu dati 5 jabolk in jih nimamo na voljo, lahko to situacijo opišemo z negativnim celim številom −5. V tem primeru imamo v lasti −5 jabolk, predznak minus označuje dolg, številka 5 pa kvantificira dolg.

Razumevanje negativnega celega števila kot dolga omogoča, da na primer upravičimo pravilo za dodajanje negativnih celih števil. Vzemimo primer. Če nekdo dolguje 2 jabolki eni osebi in eno jabolko drugi, potem je skupni dolg 2+1=3 jabolka, torej −2+(−1)=−3 .

Bibliografija.

  • Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: učbenik za izobraževalne ustanove.

Za cela števila vključujejo naravna števila, nič in števila, ki so nasprotna naravnim številom.

cela števila so pozitivna cela števila.

Na primer: 1, 3, 7, 19, 23 itd. Takšne številke uporabljamo za štetje (na mizi je 5 jabolk, avto ima 4 kolesa itd.)

Latinska črka \mathbb(N) - označena niz naravnih števil.

Naravna števila ne morejo vsebovati negativnih (stol ne more imeti negativnega števila nog) in ulomnih števil (Ivan ni mogel prodati 3,5 koles).

Števila nasproti naravnih števil so negativna cela števila: -8, -148, -981, ....

Aritmetične operacije s celimi števili

Kaj lahko storite s celimi števili? Med seboj jih je mogoče množiti, seštevati in odštevati. Analizirajmo vsako operacijo na konkretnem primeru.

Celoštevilsko seštevanje

Dve celi števili z enakimi predznaki se dodata na naslednji način: dodata se modula teh številk in pred dobljeno vsoto je končni predznak:

(+11) + (+9) = +20

Odštevanje celih števil

Dve celi števili z različnimi predznaki se dodata na naslednji način: modul manjšega števila se odšteje od modula večjega števila, pred odgovorom pa se postavi predznak večjega števila po modulu:

(-7) + (+8) = +1

Celoštevilno množenje

Če želite eno celo število pomnožiti z drugim, morate module teh številk pomnožiti in pred prejetim odgovorom postaviti znak "+", če so bile prvotne številke enakih predznak, in znak "-", če so bile prvotne številke z različnimi znaki:

(-5) \cdot (+3) = -15

(-3) \cdot (-4) = +12

Zapomniti si morate naslednje pravilo množenja celega števila:

+ \cdot + = +

+\cdot-=-

- \cdot += -

-\cdot-=+

Obstaja pravilo za množenje več celih števil. Spomnimo se:

Predznak produkta bo "+", če je število faktorjev z negativnim predznakom sodo in "-", če je število faktorjev z negativnim predznakom liho.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Deljenje celih števil

Delitev dveh celih števil se izvede na naslednji način: modul enega števila se deli z modulom drugega, in če so znaki števil enaki, se pred nastali količnik postavi znak "+". , in če so predznaki prvotnih številk različni, se postavi znak "−".

(-25) : (+5) = -5

Lastnosti seštevanja in množenja celih števil

Analizirajmo osnovne lastnosti seštevanja in množenja za poljubna cela števila a , b in c :

  1. a + b = b + a - komutativna lastnost seštevanja;
  2. (a + b) + c \u003d a + (b + c) - asociativna lastnost seštevanja;
  3. a \cdot b = b \cdot a - komutativna lastnost množenja;
  4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- asociativne lastnosti množenja;
  5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c je distribucijska lastnost množenja.
V petem stoletju pred našim štetjem je starogrški filozof Zeno iz Eleje oblikoval svoje slavne aporije, med katerimi je najbolj znana aporija "Ahilej in želva". Evo, kako se sliši:

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ko Ahil teče to razdaljo, želva preleze sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, bo želva preplezala še deset korakov itd. Proces se bo nadaljeval v nedogled, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To sklepanje je postalo logičen šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert ... Vsi so tako ali drugače šteli za Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo v današnjem času, znanstveni skupnosti še ni uspelo priti do enotnega mnenja o bistvu paradoksov ... v proučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizični in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Vsi razumejo, da so prevarani, vendar nihče ne razume, kaj je prevara.

Z vidika matematike je Zenon v svoji aporiji jasno pokazal prehod iz vrednosti v. Ta prehod pomeni uporabo namesto konstant. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit, ali pa ni bil uporabljen za Zenonovo aporijo. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Po vztrajnosti mišljenja uporabljamo stalne enote časa za vzajemno. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnitev časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo logiko, ki smo je vajeni, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji odsek njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. V skladu s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči "Ahilej bo neskončno hitro prehitel želvo."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih enotah časa in ne preklapljajte na vzajemne vrednosti. V Zenonovem jeziku je videti takole:

V času, ko Ahil preteče tisoč korakov, želva preleze sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o nepremostljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji »Ahilej in želva«. Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev ni treba iskati v neskončno velikem številu, temveč v merskih enotah.

Še ena zanimiva Zenonova aporija pripoveduje o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je, da pojasnimo, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah prostora, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba omeniti še eno točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Za določitev dejstva gibanja avtomobila sta potrebni dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ju ni mogoče uporabiti za določitev razdalje. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti z različnih točk v prostoru hkrati, vendar iz njih ne morete določiti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, pomagala vam bo trigonometrija) . Še posebej želim poudariti, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru dve različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Zelo dobro so razlike med naborom in multisetom opisane v Wikipediji. Gledamo.

Kot lahko vidite, "skupina ne more imeti dveh enakih elementov", če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje "multiset". Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne logike absurda. To je raven govorečih papig in izurjenih opic, pri katerih je um odsoten od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam oznanjajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so zgradili most, med preizkusi mostu v čolnu pod mostom. Če se je most zrušil, je povprečni inženir umrl pod ruševinami svojega ustvarjanja. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za frazo »pazi me, doma sem«, oziroma »matematika študira abstraktne pojme«, obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za matematike same.

Zelo dobro smo študirali matematiko in zdaj sedimo na blagajni in izplačujemo plače. Tukaj pride k nam matematik po svoj denar. Preštejemo mu celoten znesek in ga razporedimo na mizo na različne kupčke, v katere zložimo bankovce istega apoena. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični plačni set«. Pojasnimo matematiko, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tu se zabava začne.

Najprej bo delovala poslanska logika: "lahko jo uporabiš za druge, zame ne!" Nadalje se bodo začela zagotovila, da so na bankovcih istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za enake elemente. No, plačo štejemo v kovancih – na kovancih ni številk. Tukaj se bo matematik mrzlično spominjal fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov za vsak kovanec je edinstvena ...

In zdaj imam najbolj zanimivo vprašanje: kje je meja, čez katero se elementi večnamenske množice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna črta ne obstaja - o vsem odločajo šamani, znanosti tukaj ni niti blizu.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Površina polj je enaka, kar pomeni, da imamo multiset. A če upoštevamo imena istih stadionov, dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je isti nabor elementov hkrati množica in večnabor. Kako prav? In tukaj matematik-šaman-šuller vzame iz rokava adutskega asa in nam začne pripovedovati bodisi o nizu bodisi o multisetu. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani delujejo s teorijo množic in jo vežejo na realnost, je dovolj, da odgovorimo na eno vprašanje: kako se elementi enega niza razlikujejo od elementov drugega niza? Pokazal vam bom, brez kakršnega koli "predstavljivega kot enotne celote" ali "nepredstavljivega kot ene same celote".

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburino, ki nima nobene zveze z matematiko. Ja, pri pouku matematike nas učijo poiskati vsoto števk števila in jo uporabiti, vendar so za to šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebuješ dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran »Vsota številk«. Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični simboli, s katerimi pišemo števila, v jeziku matematike pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih simbolov, ki predstavljajo poljubno število«. Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to zmorejo elementarno.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števk danega števila. In tako, recimo, da imamo število 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. kaj smo naredili? Število smo pretvorili v grafični simbol števila. To ni matematična operacija.

2. Eno prejeto sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo ločene številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Pretvorite posamezne grafične znake v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštejte nastale številke. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so "tečaji krojenja in šivanja" šamanov, ki jih uporabljajo matematiki. Ampak to še ni vse.

Z vidika matematike je vseeno, v kateri številski sistem zapišemo število. Torej bo v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. V matematiki je številski sistem naveden kot indeks desno od števila. Z velikim številom 12345 si ne želim zavajati glave, upoštevajte številko 26 iz članka o. Zapišimo to število v binarnem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Vsakega koraka ne bomo obravnavali pod mikroskopom, to smo že storili. Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je tako, kot da bi iskanje površine pravokotnika v metrih in centimetrih dalo popolnoma drugačne rezultate.

Nič v vseh številskih sistemih je videti enako in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da . Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označuje tisto, kar ni število? Kaj za matematike ne obstaja nič drugega kot številke? Za šamane to lahko dovolim, za znanstvenike pa ne. Resničnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote števil. Navsezadnje številk ne moremo primerjati z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine vodijo do različnih rezultatov po njihovi primerjavi, potem to nima nič opraviti z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematičnega dejanja ni odvisen od vrednosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo izvede to dejanje.

Napis na vratih Odpre vrata in reče:

Joj! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje neomejene svetosti duš ob vnebovzetju v nebesa! Nimbus na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Halo na vrhu in puščica navzdol je moški.

Če vam takšno umetniško delo utripa pred očmi večkrat na dan,

Potem ni presenetljivo, da v svojem avtomobilu nenadoma najdete čudno ikono:

Osebno se potrudim, da v kaki osebi vidim minus štiri stopinje (ena slika) (sestava več slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In tega dekleta ne smatram za bedaka, ki ne pozna fizike. Ima samo ločni stereotip dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "ena a". To je "pooping man" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem številskem sistemu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem številčnem sistemu, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.

Pomembne opombe!
1. Če namesto formul vidite abrakadabra, počistite predpomnilnik. Kako to narediti v vašem brskalniku je napisano tukaj:
2. Preden začnete brati članek, bodite pozorni na naš navigator za najbolj uporaben vir za

Če želite VELIKO poenostaviti svoje življenje, ko morate nekaj izračunati, osvojiti dragoceni čas na OGE ali USE, narediti manj neumnih napak - preberite ta razdelek!

Evo, kaj se boste naučili:

  • kako izračunati hitreje, lažje in natančneje z uporabozdruževanje številkpri seštevanju in odštevanju,
  • kako hitro pomnožiti in deliti brez napak z uporabo pravila množenja in merila deljivosti,
  • kako bistveno pospešiti izračune z uporabo najmanjši skupni večkratnik(NOC) in največji skupni delilec(GCD).

Obvladanje tehnik tega razdelka lahko prevesi tehtnico v eno ali drugo smer ... ne glede na to, ali boste vstopili na univerzo svojih sanj ali ne, boste morali vi ali vaši starši plačati veliko denarja za izobraževanje ali pa boste vstopili v proračun .

Potopimo se v ... (Gremo!)

P.S. ZADNJI dragoceni NASVET...

Kup cela števila sestavljen iz 3 delov:

  1. cela števila(v nadaljevanju jih bomo podrobneje obravnavali);
  2. števila, nasprotna naravnim številom(vse se bo postavilo na svoje mesto, takoj ko boste vedeli, kaj so naravna števila);
  3. nič - " " (kam brez tega?)

črka Z.

cela števila

»Bog je ustvaril naravna števila, vse ostalo je delo človeških rok« (c) nemški matematik Kronecker.

Naravna števila soštevilke, ki jih uporabljamo za štetje predmetov in na tem temelji njihova zgodovina pojavljanja - potreba po štetju puščic, kože itd.

1, 2, 3, 4...n

črka N.

V skladu s tem ta definicija ne vključuje (ali ne morete prešteti, česa ni?) in še bolj ne vključuje negativnih vrednosti (ali obstaja jabolko?).

Poleg tega niso vključena vsa ulomna števila (prav tako ne moremo reči "imam prenosnik" ali "prodal sem avtomobile")

Kaj naravno število lahko zapišemo z 10 števkami:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Torej 14 ni številka. To je številka. Iz katerih številk je sestavljena? Tako je, iz številk in.

Dodatek. Združevanje pri seštevanju za hitrejše štetje in manj napak

Kaj zanimivega lahko poveš o tem postopku? Seveda boste zdaj odgovorili "vrednost vsote se zaradi preureditve izrazov ne spremeni." Zdi se, da je primitivno pravilo, znano iz prvega razreda, vendar pri reševanju velikih primerov takoj pozabljen!

Ne pozabi nanjuporabite združevanje, da bi olajšali postopek štetja in zmanjšali verjetnost napak, saj za izpit ne boste imeli kalkulatorja.

Oglejte si, kateri izraz je lažje dodati?

  • 4 + 5 + 3 + 6
  • 4 + 6 + 5 + 3

Seveda drugo! Čeprav je rezultat enak. Ampak! Glede na drugi način je manj verjetno, da boste naredili napako in vse boste naredili hitreje!

Torej v mislih razmišljate takole:

4 + 5 + 3 + 6 = 4 + 6 + 5 + 3 = 10 + 5 + 3 = 18

Odštevanje. Združevanje pri odštevanju za hitrejše štetje in manj napak

Pri odštevanju lahko odštevana števila tudi združimo, na primer:

32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - 5 - 6 = 30 - 5 - 6 = 19

Kaj pa, če je v primeru odštevanje prepleteno z seštevanjem? Lahko tudi združite, odgovorili boste in prav je tako. Samo prosim, ne pozabite na znake pred številkami, na primer: 32 - 5 - 2 - 6 = (32 - 2) - (6 + 5) = 30 - 11 = 19

Ne pozabite: nepravilno pritrjeni znaki bodo privedli do napačnega rezultata.

Množenje. Kako se pomnožiti v mislih

Očitno je, da se vrednost izdelka tudi ne bo spremenila zaradi spreminjanja mest dejavnikov:

2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 5 = (2 ⋅ 5 ) ⋅ (4 ⋅ 6 ) = 1 0 ⋅ 2 4 = 2 4 0

Ne bom vam rekel, da "to uporabite pri reševanju problemov" (sami ste dobili namig, kajne?), ampak vam bom povedal, kako hitro pomnožite nekaj številk v glavi. Torej, pozorno poglejte tabelo:

Pa še malo o množenju. Seveda se spomnite dveh posebnih priložnosti ... Uganete, kaj mislim? Tukaj je nekaj o tem:

O ja, pa poglejmo znaki deljivosti. Skupno je 7 pravil glede na znake deljivosti, od katerih prva 3 že zagotovo poznate!

Ostalega pa si sploh ni težko zapomniti.

7 znakov deljivosti števil, ki vam bodo pomagali hitro prešteti v glavi!

  • Prva tri pravila seveda poznate.
  • Četrto in peto si je enostavno zapomniti – pri deljenju s in pogledamo, ali je vsota števk, ki sestavljajo število, deljiva s tem.
  • Pri deljenju s pazimo na zadnji dve števki števila – ali je število, ki ga sestavljajo, deljivo?
  • Pri deljenju s številom mora biti deljeno z in z hkrati. To je vsa modrost.

Ali zdaj razmišljate - "zakaj vse to potrebujem"?

Prvič, izpit je brez kalkulatorja in ta pravila vam bodo pomagala krmariti po primerih.

In drugič, slišali ste naloge o GCD in NOC? Znana okrajšava? Začnimo se spominjati in razumeti.

Največji skupni delitelj (gcd) - potreben za zmanjševanje ulomkov in hitre izračune

Recimo, da imate dve številki: in. Katero je največje število, deljivo z obema številkama? Brez zadržkov boste odgovorili, saj veste, da:

12 = 4 * 3 = 2 * 2 * 3

8 = 4 * 2 = 2 * 2 * 2

Katere številke v razširitvi so pogoste? Tako je, 2 * 2 = 4. To je bil tvoj odgovor. Če upoštevate ta preprost primer, ne boste pozabili algoritma za iskanje GCD. Poskusite si ga "zgraditi" v glavi. se je zgodilo?

Za iskanje NOD potrebujete:

  1. Številke razčlenite na prafaktorje (na števila, ki jih ni mogoče razdeliti z ničemer drugim kot s samim seboj ali na primer s 3, 7, 11, 13 itd.).
  2. Pomnožite jih.

Ali razumete, zakaj smo potrebovali znake deljivosti? Tako, da pogledate številko in lahko začnete deliti brez ostanka.

Na primer, poiščimo GCD številk 290 in 485

Prva številka -.

Če ga pogledate, lahko takoj ugotovite, s čim je deljiv, napišimo:

ne morete ga razdeliti na nič drugega, lahko pa - in dobimo:

290 = 29 * 5 * 2

Vzemimo drugo številko - 485.

Glede na znake deljivosti mora biti deljivo z brez ostanka, saj se konča z. Delimo:

Analizirajmo prvotno številko.

  • Ni ga mogoče deliti z (zadnja številka je liha),
  • - ni deljivo s, zato tudi število ni deljivo s,
  • prav tako ni deljivo z in (vsota števk v številu ni deljiva z in z)
  • tudi ni deljivo, ker ni deljivo z in,
  • tudi ni deljivo z in, saj ni deljivo z in.
  • ni mogoče popolnoma razdeliti

Število je torej mogoče razstaviti samo na in.

In zdaj poiščimo GCD te številke (in). Kakšna je ta številka? Pravilno, .

Bomo vadili?

Naloga številka 1. Poiščite GCD števil 6240 in 6800

1) Takoj delim z, saj sta obe številki 100% deljivi z:

Naloga številka 2. Poiščite GCD številk 345 in 324

Tukaj ne morem hitro najti vsaj enega skupnega delitelja, zato samo razstavim na prafaktorje (čim manj):

Najmanj pogosti večkratnik (LCM) - prihrani čas, pomaga pri reševanju težav zunaj okvira

Recimo, da imate dve številki - in. Kakšno je najmanjše število, s katerim je deljivo brez sledu(tj. popolnoma)? Težko si je predstavljati? Tukaj je vizualni namig za vas:

Se spomnite, kaj črka pomeni? Tako je, samo cela števila. Kakšno je torej najmanjše število, ki ustreza x? :

V tem primeru.

Iz tega preprostega primera sledi več pravil.

Pravila za hitro iskanje NOK

Pravilo 1. Če je eno od dveh naravnih števil deljivo z drugim številom, je večje od teh dveh števil njun najmanjši skupni večkratnik.

Poiščite naslednje številke:

  • NOK (7;21)
  • NOK (6;12)
  • NOK (5;15)
  • NOK (3;33)

Seveda ste se zlahka spopadli s to nalogo in dobili ste odgovore -, in.

Upoštevajte, da v pravilu govorimo o DVEH številkah, če je številk več, pravilo ne deluje.

Na primer, LCM (7;14;21) ni enak 21, saj ga ni mogoče deliti brez preostanka z.

Pravilo 2. Če sta dve (ali več kot dve) števili soprvi, potem je najmanjši skupni mnogokratnik enak njunemu zmnožku.

najti NOC za naslednje številke:

  • NOK (1;3;7)
  • NOK (3;7;11)
  • NOK (2;3;7)
  • NOC (3;5;2)

Ste šteli? Tukaj so odgovori - , ; .

Kot razumete, ni vedno tako enostavno vzeti in dvigniti tega istega x, zato za nekoliko bolj zapletena števila obstaja naslednji algoritem:

Bomo vadili?

Poiščite najmanjši skupni večkratnik - LCM (345; 234)

Najmanj skupni večkratnik (LCM) poiščite sami

Kakšne odgovore ste dobili?

Evo, kaj se mi je zgodilo:

Koliko časa ste potrebovali, da ste našli NOC? Moj čas je 2 minuti, res vem en trik, ki ga predlagam, da odprete takoj!

Če ste zelo pozorni, ste verjetno opazili, da za dane številke, ki smo jih že iskali GCD in lahko bi vzeli faktorizacijo teh števil iz tega primera, s čimer bi poenostavili svojo nalogo, vendar to še zdaleč ni vse.

Poglejte si sliko, morda vam pride še kakšna misel:

no? Dal vam bom namig: poskusite pomnožiti NOC in GCD med seboj in zapišite vse faktorje, ki bodo pri množenju. Vam je uspelo? Na koncu bi morali dobiti verigo, kot je ta:

Oglejte si ga podrobneje: primerjajte dejavnike s tem, kako in so razgrajeni.

Kakšen sklep lahko potegnete iz tega? Pravilno! Če pomnožimo vrednosti NOC in GCD med seboj, potem dobimo produkt teh številk.

V skladu s tem imajo številke in pomen GCD(oz NOC), lahko najdemo NOC(oz GCD) na naslednji način:

1. Poiščite zmnožek števil:

2. Nastali izdelek delimo z našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je vse.

Zapišimo pravilo v splošni obliki:

Poskusi najti GCDče je znano, da:

Vam je uspelo? .

Negativne številke - "lažne številke" in njihovo prepoznavanje s strani človeštva.

Kot ste že razumeli, so to številke, nasprotne naravnim, to je:

Negativna števila je mogoče seštevati, odštevati, množiti in deliti – tako kot naravna števila. Zdi se, da so tako posebni? A dejstvo je, da so negativna števila »osvojila« svoje pravo mesto v matematiki vse do 19. stoletja (do takrat je bilo ogromno polemik, ali obstajajo ali ne).

Samo negativno število je nastalo zaradi takšne operacije z naravnimi števili, kot je "odštevanje". Dejansko odštejte od - to je negativno število. Zato se množica negativnih števil pogosto imenuje "podaljšek množice naravna števila».

Negativnih številk ljudje dolgo niso prepoznali. Torej, Stari Egipt, Babilon in Stara Grčija - luči svojega časa, niso prepoznali negativnih številk, in v primeru pridobivanja negativnih korenin v enačbi (na primer, kot imamo), so bile korenine zavrnjene kot nemogoče.

Negativne številke so prvič dobile pravico do obstoja na Kitajskem, nato pa v 7. stoletju v Indiji. Kaj menite o tej izpovedi? Tako je, negativne številke so začele označevati dolgove (sicer - pomanjkanje). Veljalo je, da so negativne številke začasna vrednost, ki se bo posledično spremenila v pozitivno (to pomeni, da bo denar še vedno vrnjen upniku). Vendar je indijski matematik Brahmagupta že takrat obravnaval negativna števila enakopravno s pozitivnimi.

V Evropi je uporabnost negativnih številk, pa tudi dejstvo, da lahko označujejo dolg, prišla veliko pozneje, torej tisočletje. Prvo omembo smo videli leta 1202 v »Knjigi o abakusu« Leonarda iz Pise (takoj pravim, da avtor knjige nima nič opraviti s poševnim stolpom v Pisi, so pa Fibonaccijeva števila njegovo delo ( vzdevek Leonarda iz Pise je Fibonacci)). Nadalje so Evropejci prišli do zaključka, da lahko negativne številke pomenijo ne le dolgove, ampak tudi pomanjkanje česar koli, vendar tega niso vsi prepoznali.

Tako je v XVII stoletju Pascal verjel v to. Kako mislite, da je to utemeljil? Tako je, "nič ne more biti manj kot NIČ". Odmev tistih časov ostaja dejstvo, da sta negativno število in operacija odštevanja označena z istim simbolom - minus "-". In res:. Ali je število " " pozitivno, ki se odšteje, ali negativno, ki se mu doda? ... Nekaj ​​iz serije "Kaj je prej: kokoš ali jajce?" Tukaj je taka vrsta te matematične filozofije.

Negativne številke so si zagotovile pravico do obstoja s prihodom analitične geometrije, z drugimi besedami, ko so matematiki uvedli tako stvar, kot je realna os.

Od tega trenutka je prišla enakost. Vendar je bilo še vedno več vprašanj kot odgovorov, npr.

razmerje

Ta delež se imenuje Arnov paradoks. Pomislite, kaj je v tem dvomljivem?

Pogovarjajva se skupaj " " več kot " " kajne? Tako bi morala biti po logiki leva stran deleža večja od desne, vendar sta enaka ... Tukaj je paradoks.

Kot rezultat, so se matematiki strinjali, da je Karl Gauss (da, ja, to je tisti, ki je upošteval vsoto (ali) števil) leta 1831 temu končal - rekel je, da imajo negativna števila enake pravice kot pozitivna, in dejstvo, da ne veljajo za vse stvari, ne pomeni nič, saj tudi ulomki ne veljajo za marsikaj (ne zgodi se, da kopač izkoplje luknjo, ne moreš kupiti vstopnice za kino itd.).

Matematiki so se umirili šele v 19. stoletju, ko sta teorijo negativnih števil ustvarila William Hamilton in Hermann Grassmann.

Kako sporne so te negativne številke.

Pojav "praznine" ali biografija ničle.

V matematiki posebna številka. Na prvi pogled to ni nič: seštejte, odštejte - nič se ne bo spremenilo, vendar ga morate samo pripisati desnici "", nastalo število pa bo večkrat večje od prvotnega. Z množenjem z ničlo spremenimo vse v nič, ne moremo pa deliti z »nič«. Z eno besedo, čarobna številka)

Zgodovina ničle je dolga in zapletena. Sled ničle najdemo v spisih Kitajcev leta 2000 AD. in še prej pri Majih. Prvo uporabo simbola ničle, kot je danes, so opazili med grškimi astronomi.

Obstaja veliko različic, zakaj je bila izbrana takšna oznaka "nič". Nekateri zgodovinarji so nagnjeni k prepričanju, da gre za omikron, t.j. Prva črka grške besede za nič je ouden. Po drugi različici je beseda "obol" (kovanec skoraj brez vrednosti) dala življenje simbolu nič.

Nič (ali nič) kot matematični simbol se prvič pojavi med Indijanci (upoštevajte, da so se tam začela »razvijati« negativna števila). Prvi zanesljivi dokazi o pisanju nič segajo v leto 876 in v njih je "" komponenta števila.

Tudi nič je prišla v Evropo z zamudo - šele leta 1600 in se je tako kot negativne številke soočila z odporom (kaj lahko, Evropejci so).

"Zero je bil od nekdaj pogosto sovražen, se je bal ali celo prepovedan," piše ameriški matematik Charles Seif. Tako je turški sultan Abdul-Hamid II konec 19. stoletja. je svojim cenzorjem ukazal, naj izbrišejo formulo vode H2O iz vseh kemijskih učbenikov, pri čemer črko "O" vzamejo za nič in ne želijo, da bi njegove začetnice klevetale bližino zaničljive ničle.

Na internetu lahko najdete stavek: »Nič je najmočnejša sila v vesolju, zmore vse! Nič ustvarja red v matematiki, vanjo pa vnaša tudi kaos. Popolnoma pravilna točka :)

Povzetek razdelka in osnovne formule

Nabor celih števil je sestavljen iz 3 delov:

  • naravna števila (v nadaljevanju jih bomo podrobneje obravnavali);
  • števila, nasprotna naravnim;
  • nič - ""

Označena je množica celih števil črka Z.

1. Naravna števila

Naravna števila so števila, ki jih uporabljamo za štetje predmetov.

Označena je množica naravnih števil črka N.

Pri operacijah s celimi števili boste potrebovali možnost iskanja GCD in LCM.

Največji skupni delilec (GCD)

Za iskanje NOD potrebujete:

  1. Razčlenite števila na prafaktorje (na števila, ki jih ni mogoče deliti z ničemer drugim kot s samim seboj ali na primer z ipd.).
  2. Zapišite faktorje, ki so del obeh številk.
  3. Pomnožite jih.

Najmanj pogosti večkratnik (LCM)

Za iskanje NOC potrebujete:

  1. Številke razčlenite v prafaktorje (to že veste zelo dobro).
  2. Zapišite faktorje, ki so vključeni v razširitev ene od številk (bolje je vzeti najdaljšo verigo).
  3. Dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih številk.
  4. Poiščite produkt nastalih faktorjev.

2. Negativne številke

To so števila, ki so nasprotna naravnim številom, to je:

Zdaj želim slišati od vas ...

Upam, da ste cenili super uporabne "trike" tega razdelka in razumeli, kako vam bodo pomagali pri izpitu.

In kar je še pomembneje, v življenju. Ne govorim o tem, ampak verjemite mi, ta je. Sposobnost hitrega in brez napak štetja rešuje v številnih življenjskih situacijah.

Zdaj si ti na vrsti!

Napišite, ali boste pri izračunih uporabljali metode združevanja, kriterije deljivosti, GCD in LCM?

Ste jih morda že uporabljali? Kje in kako?

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

V komentarje napišite, kako vam je članek všeč.

In veliko sreče pri izpitih!

No, tema je končana. Če berete te vrstice, potem ste zelo kul.

Ker le 5 % ljudi je sposobno nekaj obvladati sam. In če ste prebrali do konca, potem ste v 5%!

Zdaj najpomembnejša stvar.

Ugotovili ste teorijo na to temo. In, ponavljam, je ... to je preprosto super! Že zdaj ste boljši od velike večine svojih vrstnikov.

Težava je v tem, da to morda ne bo dovolj ...

Za kaj?

Za uspešno opravljen izpit, za sprejem na inštitut na proračun in, kar je najpomembneje, za življenje.

Ne bom vas v nič prepričeval, povedal bom samo eno stvar ...

Ljudje, ki so prejeli dobro izobrazbo, zaslužijo veliko več kot tisti, ki je niso prejeli. To je statistika.

Ampak to ni glavna stvar.

Glavna stvar je, da so BOLJ SREČNI (obstajajo takšne študije). Morda zato, ker se pred njimi odpre veliko več priložnosti in življenje postane svetlejše? ne vem...

Ampak pomislite sami ...

Kaj je potrebno, da si na izpitu zagotovo boljši od drugih in na koncu ... srečnejši?

NAPOLNI ROKO, REŠUJTE TEŽAVE NA TO TEMO.

Na izpitu te teorije ne bodo vprašali.

Boste potrebovali pravočasno reševati težave.

In če jih niste rešili (VELIKO!), boste zagotovo nekje naredili neumno napako ali pa je preprosto ne boste storili pravočasno.

To je kot v športu – za zanesljivo zmago moraš večkrat ponoviti.

Poiščite zbirko kjer koli želite nujno z rešitvami, podrobno analizo in se odloči, odloči, odloči!

Lahko uporabite naše naloge (ni nujno) in jih vsekakor priporočamo.

Če želite priskočiti na pomoč s pomočjo naših nalog, morate pomagati podaljšati življenjsko dobo učbenika YouClever, ki ga trenutno berete.

Kako? Obstajata dve možnosti:

  1. Odklenite dostop do vseh skritih opravil v tem članku -
  2. Odklenite dostop do vseh skritih nalog v vseh 99 člankih vadnice - Kupite učbenik - 499 rubljev

Da, v učbeniku imamo 99 takih člankov in dostop do vseh nalog in vseh skritih besedil v njih je mogoče takoj odpreti.

Dostop do vseh skritih opravil je omogočen za celotno življenjsko dobo spletnega mesta.

V zaključku...

Če vam naše naloge niso všeč, poiščite druge. Samo ne prenehajte s teorijo.

"Razumem" in "Vem, kako rešiti" sta popolnoma različni veščini. Potrebuješ oboje.

Poiščite težave in jih rešite!



Razdelki