Splošna enačba letala na spletu. Enačba ravnine, ki poteka skozi tri točke

V okviru tega gradiva bomo analizirali, kako najti enačbo ravnine, če poznamo koordinate njenih treh različnih točk, ki ne ležijo na eni ravni črti. Da bi to naredili, se moramo spomniti, kaj je pravokotni koordinatni sistem v tridimenzionalnem prostoru. Najprej predstavimo osnovni princip te enačbe in pokažemo, kako ga uporabiti pri reševanju specifičnih problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Za začetek se moramo spomniti enega aksioma, ki zveni takole:

Opredelitev 1

Če tri točke med seboj ne sovpadajo in ne ležijo na eni ravni črti, potem v tridimenzionalnem prostoru poteka skozi njih samo ena ravnina.

Z drugimi besedami, če imamo tri različne točke, katerih koordinate ne sovpadajo in ki jih ni mogoče povezati z ravno črto, potem lahko določimo ravnino, ki poteka skozi to.

Recimo, da imamo pravokoten koordinatni sistem. Označimo ga O x y z . Vsebuje tri točke M s koordinatami M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3), ki jih ni mogoče povezati naravnost vrstico. Na podlagi teh pogojev lahko zapišemo enačbo ravnine, ki jo potrebujemo. Obstajata dva pristopa k reševanju tega problema.

1. Prvi pristop uporablja splošno enačbo ravnine. V dobesedni obliki je zapisano kot A (x - x 1) + B (y - y 1) + C (z - z 1) = 0. Z njim lahko v pravokotnem koordinatnem sistemu nastavite določeno ravnino alfa, ki poteka skozi prvo dano točko M 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Izkazalo se je, da bo imel vektor normalne ravnine α koordinate A, B, C.

Opredelitev N

Če poznamo koordinate vektorja normale in koordinate točke, skozi katero poteka ravnina, lahko zapišemo splošno enačbo te ravnine.

Od tega bomo nadaljevali naprej.

Tako imamo glede na pogoje problema koordinate želene točke (tudi tri), skozi katere poteka ravnina. Če želite najti enačbo, morate izračunati koordinate njenega normalnega vektorja. Označimo ga z n → .

Spomnimo se pravila: kateri koli vektor, ki ni nič, dane ravnine je pravokoten na normalni vektor iste ravnine. Potem imamo, da bo n → pravokotno na vektorje, sestavljeno iz začetnih točk M 1 M 2 → in M ​​1 M 3 → . Potem lahko n → označimo kot vektorski produkt oblike M 1 M 2 → · M 1 M 3 → .

Ker M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) in M ​​1 M 3 → = x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1 (dokazi teh enakosti so podani v članku, namenjenem izračunu koordinat vektorja iz koordinat točk), potem se izkaže, da:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z eno

Če izračunamo determinanto, bomo dobili koordinate normalnega vektorja n →, ki jih potrebujemo. Zdaj lahko napišemo enačbo, ki jo potrebujemo za ravnino, ki poteka skozi tri dane točke.

2. Drugi pristop k iskanju enačbe, ki poteka skozi M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) je temelji na takem konceptu, kot je komplanarnost vektorjev.

Če imamo nabor točk M (x, y, z), potem v pravokotnem koordinatnem sistemu definirajo ravnino za dane točke M 1 (x 1, y 1, z 1) , M 2 (x 2 , y). 2 , z 2 ) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) samo, če so vektorji M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = ( x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) in M ​​1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) bosta komplanarni.

Na diagramu bo videti takole:

To bo pomenilo, da bo mešani produkt vektorjev M 1 M → , M 1 M 2 → , M 1 M 3 → enak nič: M 1 M → · M 1 M 2 → · M 1 M 3 → = 0 , saj je to glavni pogoj za skladnost: M 1 M   → = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1) , M 1 M 2   → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 ) in M ​​1 M 3   → = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1) .

Dobljeno enačbo zapišemo v koordinatni obliki:

Ko izračunamo determinanto, lahko dobimo enačbo ravnine, ki jo potrebujemo za tri točke, ki ne ležijo na eni ravni črti M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) .

Iz nastale enačbe lahko preidete na enačbo ravnine v segmentih ali na normalno enačbo ravnine, če to zahtevajo pogoji problema.

V naslednjem odstavku bomo navedli primere, kako se pristopi, ki smo jih navedli, izvajajo v praksi.

Primeri nalog za sestavljanje enačbe ravnine, ki poteka skozi 3 točke

Prej smo identificirali dva pristopa, ki ju je mogoče uporabiti za iskanje želene enačbe. Poglejmo, kako se uporabljajo pri reševanju problemov in kdaj izbrati vsakega posebej.

Primer 1

Obstajajo tri točke, ki ne ležijo na eni ravni črti, s koordinatami M 1 (- 3 , 2 , - 1) , M 2 (- 1 , 2 , 4) , M 3 (3 , 3 , - 1) . Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi njih.

Odločitev

Uporabljamo obe metodi po vrsti.

1. Poiščite koordinate dveh vektorjev, ki jih potrebujemo M 1 M 2 → , M 1 M 3 → :

M 1 M 2 → = - 1 - - 3, 2 - 2, 4 - - 1 ⇔ M 1 M 2 → = (2, 0, 5) M 1 M 3 → = 3 - - 3, 3 - 2, - 1 - - 1 ⇔ M 1 M 3 → = 6 , 1 , 0

Zdaj izračunamo njihov vektorski produkt. V tem primeru ne bomo opisovali izračunov determinante:

n → = M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → 2 0 5 6 1 0 = - 5 i → + 30 j → + 2 k →

Imamo normalni vektor ravnine, ki poteka skozi tri zahtevane točke: n → = (- 5 , 30 , 2) . Nato moramo vzeti eno od točk, na primer M 1 (- 3 , 2 , - 1) in napisati enačbo za ravnino z vektorjem n → = (- 5 , 30 , 2) . Dobimo, da: - 5 (x - (- 3)) + 30 (y - 2) + 2 (z - (- 1)) = 0 ⇔ - 5 x + 30 y + 2 z - 73 = 0

To je enačba ravnine, ki jo potrebujemo, ki poteka skozi tri točke.

2. Uporabljamo drugačen pristop. Zapišemo enačbo za ravnino s tremi točkami M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2) , M 3 (x 3 , y 3 , z 3) v naslednji obrazec:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0

Tukaj lahko nadomestite podatke iz pogoja težave. Ker je x 1 = - 3, y 1 = 2, z 1 = - 1, x 2 = - 1, y 2 = 2, z 2 = 4, x 3 = 3, y 3 = 3, z 3 = - 1, kot rezultat bomo dobili:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = x - (- 3) y - 2 z - (- 1) - 1 - (- 3) 2 - 2 4 - (- 1) 3 - (- 3) 3 - 2 - 1 - (- 1) = = x + 3 y - 2 z + 1 2 0 5 6 1 0 = - 5 x + 30 y + 2 z - 73

Dobili smo enačbo, ki jo potrebujemo.

odgovor:- 5x + 30y + 2z - 73 .

Kaj pa, če dane točke še vedno ležijo na isti ravni črti in moramo zanje sestaviti ravninsko enačbo? Tukaj je treba takoj povedati, da ta pogoj ne bo povsem pravilen. Skozi takšne točke lahko gre neskončno veliko ravnin, zato je nemogoče izračunati en sam odgovor. Razmislimo o takem problemu, da bi dokazali nepravilnost takšne formulacije vprašanja.

Primer 2

Imamo pravokoten koordinatni sistem v 3D prostoru, ki vsebuje tri točke s koordinatami M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) . Treba je napisati enačbo za ravnino, ki poteka skozi njo.

Odločitev

Uporabimo prvo metodo in začnemo z izračunom koordinat dveh vektorjev M 1 M 2 → in M ​​1 M 3 → . Izračunajmo njihove koordinate: M 1 M 2 → = (- 4 , 6 , 2) , M 1 M 3 → = - 6 , 9 , 3 .

Vektorski produkt bo enak:

M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = i → j → k → - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 i ⇀ + 0 j → + 0 k → = 0 →

Ker je M 1 M 2 → × M 1 M 3 → = 0 → , bodo naši vektorji kolinearni (preberite članek o njih, če ste pozabili definicijo tega koncepta). Tako so začetne točke M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) na isti ravni črti in naš problem ima neskončno veliko možnosti odgovora.

Če uporabimo drugo metodo, dobimo:

x - x 1 y - y 1 z - z 1 x 2 - x 1 y 2 - y 1 z 2 - z 1 x 3 - x 1 y 3 - y 1 z 3 - z 1 = 0 ⇔ x - 5 y - (- 8) z - (- 2) 1 - 5 - 2 - (- 8) 0 - (- 2) - 1 - 5 1 - (- 8) 1 - (- 2) = 0 ⇔ ⇔ x - 5 y + 8z + 2 - 4 6 2 - 6 9 3 = 0 ⇔ 0 ≡ 0

Iz nastale enakosti tudi izhaja, da so dane točke M 1 (5 , - 8 , - 2) , M 2 (1 , - 2 , 0) , M 3 (- 1 , 1 , 1) na isti premici.

Če želite najti vsaj en odgovor na to težavo iz neskončnega števila njegovih možnosti, potem morate slediti tem korakom:

1. Napišite enačbo premice M 1 M 2, M 1 M 3 ali M 2 M 3 (če je potrebno, glejte gradivo o tem dejanju).

2. Vzemite točko M 4 (x 4 , y 4 , z 4), ki ne leži na premici M 1 M 2 .

3. Zapišite enačbo ravnine, ki poteka skozi tri različne točke M 1 , M 2 in M ​​4, ki ne ležijo na eni ravni črti.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Najti je treba enačbo ravnine, ki poteka skozi tri dane točke, ki ne ležijo na eni ravni črti. Če označimo njihove vektorje polmera z in trenutni vektor polmera z , zlahka dobimo želeno enačbo v vektorski obliki. Dejansko morajo biti vektorji koplanarni (vsi ležijo v želeni ravnini). Zato mora biti vektorsko-skalarni produkt teh vektorjev enak nič:

To je enačba ravnine, ki poteka skozi tri dane točke, v vektorski obliki.

Če se obrnemo na koordinate, dobimo enačbo v koordinatah:

Če tri dane točke ležijo na isti ravni črti, bi bili vektorji kolinearni. Zato bi bili ustrezni elementi zadnjih dveh vrstic determinante v enačbi (18) sorazmerni in determinanta bi bila identično enaka nič. Zato bi enačba (18) postala identiteta za vse vrednosti x, y in z. Geometrijsko to pomeni, da skozi vsako točko prostora poteka ravnina, v kateri ležijo tudi tri dane točke.

Opomba 1. Enak problem je mogoče rešiti brez uporabe vektorjev.

Če označimo koordinate treh danih točk, skozi napišemo enačbo katere koli ravnine, ki poteka skozi prvo točko:

Za pridobitev enačbe želene ravnine je treba zahtevati, da enačbo (17) izpolnjujejo koordinate drugih dveh točk:

Iz enačb (19) je treba določiti razmerja dveh koeficientov proti tretjemu in ugotovljene vrednosti vnesti v enačbo (17).

Primer 1. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke.

Enačba za ravnino, ki poteka skozi prvo od teh točk, bo:

Pogoji, da ravnina (17) preide skozi dve drugi točki in prvo točko, so:

Če k prvi dodamo drugo enačbo, dobimo:

Če zamenjamo v drugo enačbo, dobimo:

Če nadomestimo v enačbo (17) namesto A, B, C oziroma 1, 5, -4 (števila, ki so sorazmerna z njimi), dobimo:

Primer 2. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke (0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2).

Enačba katere koli ravnine, ki poteka skozi točko (0, 0, 0), bo]

Pogoji za prehod te ravnine skozi točke (1, 1, 1) in (2, 2, 2) so:

Če zmanjšamo drugo enačbo za 2, vidimo, da ima relacija za določitev dveh neznank eno enačbo z

Od tu dobimo. Če zdaj nadomestimo v ravninsko enačbo namesto njene vrednosti, najdemo:

To je enačba zahtevane ravnine; odvisno je od arbitrarnega

količine B, C (namreč iz razmerja, to je neskončno število ravnin, ki potekajo skozi tri dane točke (tri dane točke ležijo na eni ravni črti).

Opomba 2. Problem risanja ravnine skozi tri dane točke, ki ne ležijo na isti ravni črti, je enostavno rešiti v splošni obliki, če uporabimo determinante. Ker v enačbah (17) in (19) koeficienti A, B, C ne morejo biti hkrati enaki nič, potem, če upoštevamo te enačbe kot homogen sistem s tremi neznankami A, B, C, zapišemo potrebno in zadostno pogoj za obstoj rešitve tega sistema, ki ni nič (1. del, poglavje VI, § 6):

Če to determinanto razširimo z elementi prve vrstice, dobimo enačbo prve stopnje glede na trenutne koordinate, ki jo bodo zadovoljile zlasti koordinate treh danih točk.

To slednje lahko tudi neposredno preverimo, če koordinate katere koli od teh točk nadomestimo namesto v enačbo, zapisano z determinanto. Na levi strani dobimo determinanto, v kateri so elementi prve vrstice enaki nič ali pa sta dve enaki vrstici. Tako formulirana enačba predstavlja ravnino, ki poteka skozi tri dane točke.

V tej lekciji si bomo ogledali, kako uporabiti determinanto za sestavljanje ravninska enačba. Če ne veste, kaj je determinanta, pojdite na prvi del lekcije - " Matrice in determinante». V nasprotnem primeru tvegate, da v današnjem gradivu ne boste ničesar razumeli.

Enačba ravnine za tri točke

Zakaj sploh potrebujemo enačbo ravnine? Preprosto je: če to poznamo, lahko zlahka izračunamo kote, razdalje in drugo sranje v problemu C2. Na splošno je ta enačba nepogrešljiva. Zato formuliramo problem:

Naloga. V prostoru obstajajo tri točke, ki ne ležijo na isti ravni črti. Njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);

Zapisati je treba enačbo ravnine, ki poteka skozi te tri točke. In enačba bi morala izgledati takole:

Ax + By + Cz + D = 0

kjer so številke A, B, C in D koeficienti, ki jih pravzaprav želite najti.

No, kako priti do enačbe ravnine, če so znane le koordinate točk? Najlažji način je, da koordinate zamenjate v enačbo Ax + By + Cz + D = 0. Dobite sistem treh enačb, ki je enostavno rešljiv.

Mnogim študentom se zdi ta rešitev izjemno dolgočasna in nezanesljiva. Lanski izpit iz matematike je pokazal, da je verjetnost računske napake res velika.

Zato so najnaprednejši učitelji začeli iskati enostavnejše in elegantnejše rešitve. In so ga našli! Res je, da je dobljena tehnika bolj verjetno povezana z višjo matematiko. Osebno sem moral brskati po celotnem zveznem seznamu učbenikov, da bi se prepričal, da imamo pravico uporabljati to tehniko brez kakršnega koli utemeljitve in dokazov.

Enačba ravnine skozi determinanto

Dovolj zvijanja, pojdimo k poslu. Za začetek izrek o tem, kako sta povezana matrična determinanta in enačba ravnine.

Izrek. Naj so podane koordinate treh točk, skozi katere je treba potegniti ravnino: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Nato lahko enačbo te ravnine zapišemo v smislu determinante:

Na primer, poskusimo najti par ravnin, ki se dejansko pojavljajo pri težavah C2. Poglejte, kako hitro vse šteje:

A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);

Sestavimo determinanto in jo enačimo z ničlo:

Odpiranje determinante:

a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;

Kot lahko vidite, sem pri izračunu števila d nekoliko prilagodil enačbo, tako da so bile spremenljivke x , y in z v pravilnem zaporedju. To je vse! Enačba ravnine je pripravljena!

Naloga. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke:

A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);

Takoj nadomestite koordinate točk v determinanti:

Ponovno razširitev determinante:

a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;

Tako se spet dobi ravninska enačba! Spet sem moral na zadnjem koraku spremeniti znake v njem, da sem dobil bolj »lepo« formulo. Pri tej rešitvi tega ni treba storiti, vendar je vseeno priporočljivo - za poenostavitev nadaljnje rešitve problema.

Kot lahko vidite, je zdaj veliko lažje napisati enačbo ravnine. Točke nadomestimo v matriko, izračunamo determinanto - in to je to, enačba je pripravljena.

To bi lahko bil konec lekcije. Vendar pa veliko študentov nenehno pozablja, kaj je znotraj determinante. Na primer, katera vrstica vsebuje x 2 ali x 3 in katera vrstica samo x . Da se končno spopademo s tem, izsledimo, od kod prihaja vsaka številka.

Od kod izvira formula z determinanto?

Torej, ugotovimo, od kod prihaja tako ostra enačba z determinanto. To vam bo pomagalo, da si ga zapomnite in ga uspešno uporabite.

Vse ravnine, ki se pojavijo v problemu C2, so definirane s tremi točkami. Te točke so vedno označene na risbi ali celo označene neposredno v besedilu problema. V vsakem primeru moramo za sestavljanje enačbe zapisati njihove koordinate:

M = (x 1, y 1, z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).

Razmislite še o eni točki na naši ravnini s poljubnimi koordinatami:

T = (x, y, z)

Vzamemo katero koli točko iz prvih treh (na primer točko M) in iz nje narišemo vektorje do vsake od treh preostalih točk. Dobimo tri vektorje:

MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1, y - y 1, z - z 1).

Zdaj naredimo kvadratno matriko iz teh vektorjev in njeno determinanto enačimo z nič. Koordinate vektorjev bodo postale vrstice matrike - in dobili bomo isto determinanto, ki je navedena v izreku:

Ta formula pomeni, da je prostornina škatle, zgrajene na vektorjih MN , MK in MT, enaka nič. Zato vsi trije vektorji ležijo v isti ravnini. Zlasti poljubna točka T = (x, y, z) je točno to, kar smo iskali.

Zamenjava točk in vrstic determinante

Determinante imajo nekaj čudovitih lastnosti, ki jih še olajšajo rešitev problema C2. Na primer, ni nam vseeno, s katere točke risati vektorje. Zato naslednje determinante dajejo enako ravninsko enačbo kot zgornja:

Prav tako lahko zamenjate vrstice determinante. Enačba bo ostala nespremenjena. Marsikdo na primer radi zapiše črto s koordinatami točke T = (x; y; z) na samem vrhu. Prosim, če je za vas primerno:

Nekatere zmede, da ena od vrstic vsebuje spremenljivke x , y in z , ki ne izginejo pri zamenjavi točk. Ampak ne smejo izginiti! Z zamenjavo številk v determinanto bi morali dobiti naslednjo konstrukcijo:

Nato se determinanta razširi po shemi, podani na začetku lekcije, in dobimo standardno enačbo ravnine:

Ax + By + Cz + D = 0

Oglejte si primer. Je zadnji v današnji lekciji. Namenoma bom zamenjal vrstice, da bom zagotovil, da bo odgovor enaka enačba ravnine.

Naloga. Napišite enačbo za ravnino, ki poteka skozi točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).

Torej upoštevamo 4 točke:

B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).

Najprej naredimo standardni determinant in ga izenačimo z ničlo:

Odpiranje determinante:

a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0 .

Zdaj pa preuredimo nekaj vrstic v determinanti in poglejmo, kaj se bo zgodilo. Na primer, napišimo vrstico s spremenljivkami x, y, z ne na dnu, ampak na vrhu:

Še enkrat razširimo nastalo determinanto:

a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

Dobili smo popolnoma enako ravninsko enačbo: x + y + z − 2 = 0. Torej res ni odvisno od vrstnega reda vrstic. Ostaja še zapisati odgovor.

Torej, videli smo, da enačba ravnine ni odvisna od zaporedja vrstic. Podobne izračune je mogoče izvesti in dokazati, da enačba ravnine ni odvisna od točke, katere koordinate odštejemo od ostalih točk.

V zgoraj obravnavanem problemu smo uporabili točko B 1 = (1, 0, 1), vendar je bilo povsem mogoče vzeti C = (1, 1, 0) ali D 1 = (0, 1, 1). Na splošno katera koli točka z znanimi koordinatami, ki leži na želeni ravnini.

Da se lahko ena ravnina potegne skozi katere koli tri točke v prostoru, je potrebno, da te točke ne ležijo na eni ravni črti.

Razmislite o točkah M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) v skupnem kartezijanskem koordinatnem sistemu.

Da poljubna točka M(x, y, z) leži v isti ravnini kot točke M 1 , M 2 , M 3 , morajo biti vektorji komplanarni.

(
) = 0

tako,

Enačba ravnine, ki poteka skozi tri točke:

Enačba ravnine glede na dve točki in vektor kolinearni ravnini.

Naj bodo točke M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) in vektor
.

Sestavimo enačbo ravnine, ki poteka skozi dani točki M 1 in M ​​2 in poljubno točko M (x, y, z), vzporedno z vektorjem .

Vektorji
in vektor
mora biti komplanaren, tj.

(
) = 0

Ravninska enačba:

Enačba ravnine glede na eno točko in dva vektorja,

kolinearna ravnina.

Naj sta podana dva vektorja
in
, kolinearne ravnine. Nato za poljubno točko M(x, y, z), ki pripada ravnini, vektorji
mora biti komplanaren.

Ravninska enačba:

Ravninska enačba po točki in normalni vektor .

Izrek. Če je točka M podana v prostoru 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), nato enačba ravnine, ki poteka skozi točko M 0 pravokotno na normalni vektor (A, B, C) izgleda kot:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Dokaz. Za poljubno točko M(x, y, z), ki pripada ravnini, sestavimo vektor . Ker vektor - normalni vektor, potem je pravokoten na ravnino in zato pravokoten na vektor
. Nato skalarni produkt

= 0

Tako dobimo enačbo ravnine

Izrek je dokazan.

Enačba ravnine v segmentih.

Če v splošni enačbi Ax + Wu + Cz + D \u003d 0, delite oba dela z (-D)

,

zamenjava
, dobimo enačbo ravnine v segmentih:

Števila a, b, c so presečišča ravnine z osmi x, y, z.

Ravninska enačba v vektorski obliki.

kje

- vektor polmera trenutne točke M(x, y, z),

Enotni vektor, katerega smer navpičnice pade na ravnino iz izhodišča.

,  in  so koti, ki jih ta vektor tvori z osmi x, y, z.

p je dolžina te navpičnice.

V koordinatah ima ta enačba obliko:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Razdalja od točke do ravnine.

Razdalja od poljubne točke M 0 (x 0, y 0, z 0) do ravnine Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 je:

Primer. Poiščite enačbo ravnine, saj vemo, da je točka P (4; -3; 12) osnova navpičnice, spuščene iz izhodišča na to ravnino.

Torej A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, uporabite formulo:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Primer. Poiščite enačbo ravnine, ki poteka skozi dve točki P(2; 0; -1) in

Q(1; -1; 3) je pravokotna na ravnino 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normalni vektor na ravnino 3x + 2y - z + 5 = 0
vzporedno z želeno ravnino.

Dobimo:

Primer. Poiščite enačbo ravnine, ki poteka skozi točke A(2, -1, 4) in

В(3, 2, -1) pravokotno na ravnino X + pri + 2z – 3 = 0.

Želena ravninska enačba ima obliko: A x+ B y+ C z+ D = 0, normalni vektor na to ravnino (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) pripada ravnini. Dana nam ravnina, pravokotna na želeno, ima normalni vektor (1, 1, 2). Ker točki A in B pripadata obema ravninama, zato sta ravnini medsebojno pravokotni

Torej normalni vektor (11, -7, -2). Ker točka A pripada želeni ravnini, potem morajo njene koordinate izpolnjevati enačbo te ravnine, t.j. 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

Skupno dobimo enačbo ravnine: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Primer. Poiščite enačbo ravnine, saj vemo, da je točka P(4, -3, 12) osnova navpičnice, spuščene iz izhodišča na to ravnino.

Iskanje koordinat normalnega vektorja
= (4, -3, 12). Želena enačba ravnine ima obliko: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. Da najdemo koeficient D, nadomestimo koordinate točke Р v enačbo:

16 + 9 + 144 + D = 0

Skupaj dobimo želeno enačbo: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Primer. Glede na koordinate vrhov piramide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Poiščite dolžino roba A 1 A 2 .

Poiščite kot med robovoma A 1 A 2 in A 1 A 4.

Poiščite kot med robom A 1 A 4 in ploskvijo A 1 A 2 A 3 .

Najprej poiščite vektor normale na obraz A 1 A 2 A 3 kot navzkrižni produkt vektorjev
in
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Poiščite kot med vektorjem normale in vektorjem
.

-4 – 4 = -8.

Želeni kot  med vektorjem in ravnino bo enak  = 90 0 - .

Poiščite površino obraza A 1 A 2 A 3.

Poiščite prostornino piramide.

Poiščite enačbo ravnine А 1 А 2 А 3 .

Uporabimo formulo za enačbo ravnine, ki poteka skozi tri točke.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

Pri uporabi računalniške različice “ Tečaj višje matematike” lahko zaženete program, ki bo rešil zgornji primer za poljubne koordinate vrhov piramide.

Dvokliknite ikono za zagon programa:

V oknu programa, ki se odpre, vnesite koordinate vrhov piramide in pritisnite Enter. Tako je mogoče vse odločitvene točke pridobiti eno za drugo.

Opomba: Če želite zagnati program, morate imeti v računalniku nameščen Maple ( Waterloo Maple Inc.), katero koli različico, ki se začne z MapleV Release 4.