doma
Oskrba z vodo
Gradnja štirih izjemnih točk. Raziskovalni projekt čudovite trikotne točke

Gradnja štirih izjemnih točk. Raziskovalni projekt čudovite trikotne točke

V trikotniku so tako imenovane štiri izjemne točke: točka presečišča median. Točka presečišča simetral, presečišča višin in presečišča pravokotnih simetral. Razmislimo o vsakem od njih.

Točka presečišča median trikotnika

Izrek 1

Na presečišču median trikotnika: Mediane trikotnika se sekajo v eni točki in delijo presečišče v razmerju $2:1$, začenši z vrha.

Dokaz.

Razmislite o trikotniku $ABC$, kjer je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova mediana. Ker mediane delijo stranice na polovico. Razmislite o srednji črti $A_1B_1$ (slika 1).

Slika 1. Mediane trikotnika

Po izreku 1, $AB||A_1B_1$ in $AB=2A_1B_1$, torej $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Zato sta si trikotnika $ABM$ in $A_1B_1M$ podobna glede na prvi kriterij podobnosti trikotnika. Potem

Podobno je dokazano, da

Izrek je dokazan.

Presečišče simetral trikotnika

2. izrek

Na presečišču simetral trikotnika: Simetrale trikotnika se sekata v eni točki.

Dokaz.

Razmislite o trikotniku $ABC$, kjer so $AM,\ BP,\ CK$ njegove simetrale. Naj bo točka $O$ presečišče simetral $AM\ in\ BP$. Od te točke nariši pravokotno na stranice trikotnika (slika 2).

Slika 2. Simetrale trikotnika

3. izrek

Vsaka točka simetrale nerazširjenega kota je enako oddaljena od njenih stranic.

Po izreku 3 imamo: $OX=OZ,\ OX=OY$. Zato $OY=OZ$. Točka $O$ je torej enako oddaljena od stranic kota $ACB$ in zato leži na njeni simetrali $CK$.

Izrek je dokazan.

Presečišče pravokotnih simetral trikotnika

4. izrek

Pravokotne simetrale stranic trikotnika se sekata v eni točki.

Dokaz.

Naj bo dan trikotnik $ABC$, $n,\ m,\ p$ njegove pravokotne simetrale. Naj bo točka $O$ presečišče pravokotnih simetral $n\ in\ m$ (slika 3).

Slika 3. Pravokotne simetrale trikotnika

Za dokaz potrebujemo naslednji izrek.

5. izrek

Vsaka točka pravokotne simetrale na segment je enako oddaljena od koncev danega segmenta.

Po izreku 3 imamo: $OB=OC,\ OB=OA$. Zato $OA=OC$. To pomeni, da je točka $O$ enako oddaljena od koncev odseka $AC$ in zato leži na njegovi pravokotni simetrali $p$.

Izrek je dokazan.

Točka presečišča višin trikotnika

6. izrek

Višine trikotnika ali njihovih podaljškov se v eni točki sekata.

Dokaz.

Razmislite o trikotniku $ABC$, kjer je $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ njegova višina. Skozi vsako oglišče trikotnika narišite črto, vzporedno s stranjo, ki je nasprotna točki. Dobimo nov trikotnik $A_2B_2C_2$ (slika 4).

Slika 4. Višine trikotnika

Ker sta $AC_2BC$ in $B_2ABC$ paralelograma s skupno stranjo, potem je $AC_2=AB_2$, torej točka $A$ središče strani $C_2B_2$. Podobno dobimo, da je točka $B$ središče stranice $C_2A_2$, točka $C$ pa središče stranice $A_2B_2$. Iz konstrukcije imamo, da je $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Zato sta $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ pravokotne simetrale trikotnika $A_2B_2C_2$. Potem po izreku 4 imamo, da se višine $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ sekata v eni točki.

Najprej dokažimo izrek o simetrali kota.

Izrek

Dokaz

1) Vzemimo poljubno točko M na simetrali kota BAC, narišimo pravokotnici MK in ML na ravnici AB in AC in dokažemo, da je MK = ML (slika 224). Razmislite o pravokotnih trikotnikih AM K in AML. Po hipotenuzi in akutnem kotu sta enaka (AM - skupna hipotenuza, ∠1 = ∠2 po pogoju). Zato je MK = ML.

2) Točka M naj leži znotraj kota BAC in je enako oddaljena od njegovih stranic AB in AC. Dokažimo, da je žarek AM simetrala kota BAC (glej sliko 224). Nariši pravokotnici MK in ML na ravni črti AB in AC. Pravokotna trikotnika AMK in AML sta enaka po hipotenuzi in kraku (AM - skupna hipotenuza, MK = ML po pogoju). Zato je ∠1 = ∠2. Toda to pomeni, da je žarek AM simetrala kota BAC. Izrek je dokazan.


riž. 224

Posledica 1

Posledica 2

Dejansko označimo s črko O točko presečišča simetral AA 1 in BB 1 trikotnika ABC in iz te točke narišemo pravokotnice OK, OL in OM na premice AB, BC in CA (sl. 225). Po dokazanem izreku OK = OM in OK = OL. Zato je OM \u003d OL, to je točka O, enako oddaljena od stranic kota ACB in zato leži na simetrali CC 1 tega kota. Posledično se vse tri simetrale trikotnika ABC sekajo v točki O, kar je bilo treba dokazati.


riž. 225

Lastnosti pravokotne simetrale na odsek

Navpična simetrala segmenta je ravna črta, ki poteka skozi središče danega segmenta in je pravokotna nanjo.


riž. 226

Dokažimo izrek o pravokotni simetrali na segment.

Izrek

Dokaz

Naj bo premica m pravokotna simetrala na odsek AB, točka O je središče tega odseka (slika 227, a).


riž. 227

1) Razmislite o poljubni točki M premice m in dokažite, da je AM = VM. Če točka M sovpada s točko O, potem je ta enakost resnična, saj je O središče odseka AB. Naj sta M in O različni točki. Pravokotna trikotnika OAM in OBM sta enaka v dveh krakih (OA = OB, OM - skupni krak), torej AM = VM.

2) Razmislite o poljubni točki N, ki je enako oddaljena od koncev odseka AB, in dokažite, da točka N leži na premici m. Če je N točka premice AB, potem sovpada s središčem O odseka AB in zato leži na premici m. Če točka N ne leži na premici AB, je trikotnik ANB enakokraki, saj je AN \u003d BN (slika 227, b). Odsek NO je mediana tega trikotnika in s tem višina. Torej, NO ⊥ AB; zato premici ON in m sovpadata, t.j. N je točka premice m. Izrek je dokazan.

Posledica 1

Posledica 2

Za dokaz te trditve upoštevajmo pravokotni simetrali m in n na stranici AB in BC trikotnika ABC (slika 228). Te premice se sekata v neki točki O. Če predpostavimo nasprotno, to je, da je m || n, potem bi bila premica BA, ki je pravokotna na premico m, tudi pravokotna na premico n, ki je vzporedna z njo, in potem bi dve premici BA in BC šli skozi točko B, pravokotno na premico n, kar je nemogoče.


riž. 228

Po dokazanem izreku je OB = OA in OB = OS. Zato je OA \u003d OC, to je točka O, enako oddaljena od koncev segmenta AC in zato leži na pravokotni simetrali p na ta segment. Zato se vse tri pravokotne simetrale m, n in p na stranice trikotnika ABC sekajo v točki O.

Izrek o trikotniku presečišča

Dokazali smo, da se simetrale trikotnika sekata v eni točki, pravokotne simetrale na stranice trikotnika sekajo v eni točki. Prej je bilo dokazano, da se mediane trikotnika sekajo v eni točki (odsek 64). Izkazalo se je, da imajo višine trikotnika podobno lastnost.

Izrek

Dokaz

Razmislite o poljubnem trikotniku ABC in dokažite, da se premici AA 1 BB 1 in CC 1, ki vsebujeta njeni višini, sekata v eni točki (slika 229).


riž. 229

Skozi vsako oglišče trikotnika ABC narišite črto, vzporedno z nasprotno stranjo. Dobimo trikotnik A 2 B 2 C 2. Točke A, B in C so središča stranic tega trikotnika. Dejansko sta AB \u003d A 2 C in AB \u003d CB 2 nasprotni strani paralelogramov ABA 2 C in ABCB 2, torej A 2 C \u003d CB 2. Podobno C 2 A \u003d AB 2 in C 2 B \u003d BA 2. Poleg tega, kot izhaja iz konstrukcije, CC 1 ⊥ A 2 B 2 , AA 1 ⊥ B 2 C 2 in BB 1 ⊥ A 2 C 2 . Tako so premice AA 1, BB 1 in CC 1 pravokotne simetrale na stranice trikotnika A 2 B 2 C 2. Zato se v eni točki sekajo. Izrek je dokazan.

Vsakemu trikotniku so torej povezane štiri točke: presečišča median, presečišča simetral, presečišča pravokotnih simetral na stranice in presečišča višin (ali njihovih podaljškov). ). Te štiri točke se imenujejo čudovite točke trikotnika.

Naloge

674. Iz točke M simetrale nerazširjenega kota O sta na strani tega kota potegnjeni pravokotnici MA in MB. Dokaži, da je AB ⊥ OM.

675. Stranice kota O se dotikajo vsakega od dveh krogov, ki imata skupno tangento v točki A. Dokaži, da središča teh krogov ležita na premici O A.

676. Stranice kota A se dotikajo kroga s središčem O polmera r. Poiščite: a) OA, če je r = 5 cm, ∠A = 60°; b) d, če je ОА = 14 dm, ∠A = 90°.

677. Simetrale zunanjih kotov na ogliščih B in C trikotnika ABC se sekata v točki O. Dokaži, da je točka O središče kroga, ki se dotika premic AB, BC, AC.

678. Simetrali AA 1 in BB 1 trikotnika ABC se sekata v točki M. Poiščite kota ACM in BCM, če je: a) ∠AMB = 136°; b) ∠AMB = 111°.

679. Pravokotna simetrala na stran BC trikotnika ABC seka stran AC v točki D. Poiščite: a) AD in CD, če sta BD = 5 cm, Ac = 8,5 cm; b) AC, če je BD = 11,4 cm, AD = 3,2 cm.

680. Pravokotni simetrali na stranici AB in AC trikotnika ABC se sekata v točki D stranice BC. Dokaži, da je: a) točka D središče stranice BC; b) ∠A - ∠B + ∠C.

681. Pravokotna simetrala na stranico AB enakokrakega trikotnika ABC seka stran BC v točki E. Poiščite osnovo AC, če je obseg trikotnika AEC 27 cm in AB = 18 cm.

682. Enakokraka trikotnika ABC in ABD imata skupno bazo AB. Dokaži, da premica CD poteka skozi središče segmenta AB.

683. Dokaži, da če strani AB in AC v trikotniku ABC nista enaki, potem mediana AM trikotnika ni višina.

684. Simetrali kota na osnovici AB enakokrakega trikotnika ABC se sekata v točki M. Dokaži, da je premica CM pravokotna na premico AB.

685. Višini AA 1 in BB 1 enakokrakega trikotnika ABC, potegnjenega na stranice, se sekata v točki M. Dokaži, da je premica MC pravokotna simetrala na segment AB.

686. Konstruiraj pravokotno simetralo na dani odsek.

Odločitev

Naj bo AB dani segment. Zgradimo dva kroga s središčema v točkah A in B polmera AB (slika 230). Ti krogi se sekata v dveh točkah M 1 in M ​​2 . Segmenti AM 1 , AM 2 , VM 1 , VM 2 so med seboj enaki kot polmeri teh krogov.


riž. 230

Narišimo ravno črto M 1 M 2. To je zahtevana pravokotna simetrala na segment AB. Pravzaprav sta točki M 1 in M ​​2 enako oddaljeni od koncev odseka AB, zato ležita na pravokotni simetrali na ta odsek. Zato je premica M 1 M 2 pravokotna simetrala na odsek AB.

687. Podane so premica a in dve točki A in B, ki ležita na isti strani te premice. Na premici a zgradimo točko M, enako oddaljeno od točk A do B.

688. Podana sta kot in odsek. Konstruiraj točko znotraj danega kota, enako oddaljeno od njegovih stranic in enako oddaljeno od koncev danega odseka.

Odgovori na naloge

    674. Navodilo. Najprej dokaži, da je trikotnik AOB enakokrak.

    676. a) 10 cm; b) 7√2 dm.

    678. a) 46° in 46°; b) 21° in 21°.

    679. a) AB = 3,5 cm, CD = 5 cm; b) AC = 14,6 cm.

    683. Navodilo. Uporabite dokazno metodo z protislovjem.

    687. Navodilo. Uporabite izrek 75. točke.

    688. Navodilo. Upoštevajte, da želena točka leži na simetrali danega kota.

1 To pomeni, da je enako oddaljena od črt, ki vsebujejo stranice kota.

Silchenkov Ilya

gradivo za lekcijo, predstavitev z animacijo

Prenesi:

Predogled:

Če želite uporabiti predogled predstavitev, ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com


Napisi diapozitivov:

Srednja črta trikotnika je odsek, ki povezuje središči dveh njegovih stranic in je enak polovici te strani. Tudi po izreku je srednja črta trikotnika vzporedna z eno od njegovih stranic in enaka polovici te strani.

Če je črta pravokotna na eno od dveh vzporednih premic, potem je pravokotna tudi na drugo.

Izjemne trikotne točke

Izjemne točke trikotnika Presečišče median (težišče trikotnika) ; Točka presečišča simetral, središče vpisanega kroga; Točka presečišča pravokotnih simetral; Točka presečišča višin (ortocenter); Eulerjeva črta in krog devetih točk; Točki Gergonne in Nagel; Točka Fermat-Torricelli;

Točka presečišča median

Mediana trikotnika je odsek, ki povezuje vrh katerega koli kota trikotnika s središčem nasprotne strani.

I. Mediane trikotnika se sekata v eni točki, ki deli vsako mediano v razmerju 2:1, šteto od vrha.

Dokaz:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 2. Odsek A 1 B 1 je vzporeden s stranico AB in 1/2 AB \u003d A 1 B 1 t.j. AB \u003d 2A1B1 (po izreku o srednji črti trikotnika), torej 1 = 4 in 3 \u003d 2 ( ker imajo notranji križno ležeči koti z vzporednima premicama AB in A 1 B 1 ter sekantom BB 1 za 1, 4 in AA 1 za 3, 2 3. Zato sta si trikotnika AOB in A 1 OB 1 podobna v dveh kotih in, zato so njune stranice sorazmerne , to je razmerja stranic AO in A 1 O, BO in B 1 O, AB in A 1 B 1. Toda AB = 2A 1 B 1, torej AO \u003d 2A 1 O in BO \u003d 2B 1 O. Tako presečišče O median BB 1 in AA 1 deli vsako od njih v razmerju 2: 1, štetje od vrha. Izrek je dokazan. Podobno lahko dokažemo o drugi dve mediani

Središče mase se včasih imenuje središče. Zato pravijo, da je presečišče mediane težišče trikotnika. Masno središče homogene trikotne plošče se nahaja na isti točki. Če podobno ploščo položimo na zatič tako, da konica zatiča zadene natančno središče trikotnika, bo plošča v ravnotežju. Točka presečišča median je tudi središče vpisanega kroga njegovega srednjega trikotnika. Zanimiva lastnost presečišča median je povezana s fizikalnim konceptom središča mase. Izkazalo se je, da če so enake mase nameščene na ogliščih trikotnika, bo njihovo središče padlo točno na to točko.

Presečišče simetral

Simetrala trikotnika - odsek simetrale kota, ki povezuje vrh enega od kotov trikotnika s točko, ki leži na nasprotni strani.

Simetrale trikotnika sekajo v eni točki, ki je enako oddaljena od njegovih stranic.

Dokaz:

C A B A 1 B 1 C 1 0 1. S črko O označimo presečišče simetral AA 1 in BB 1 trikotnika ABC. 3. Uporabimo dejstvo, da je vsaka točka simetrale razgrnjenega kota enako oddaljena od njegovih stranic in obratno: vsaka točka, ki leži znotraj kota in enako oddaljena od stranic kota, leži na njegovi simetrali. Nato OK=OL in OK=OM. To pomeni OM \u003d OL, torej točka O je enako oddaljena od stranic trikotnika ABC in zato leži na simetrali CC1 kota C. 4. Posledično se vse tri simetrale trikotnika ABC sekajo v točki O. K L M Izrek je dokazan. 2. iz te točke narišite pravokotnice OK, OL in OM na premice AB, BC in CA.

Presečišče pravokotnih simetral

Srednja navpičnica je ravna črta, ki poteka skozi središče določenega segmenta in pravokotna nanj.

Pravokotne simetrale na stranice trikotnika sekajo v eni točki, ki je enako oddaljena od oglišč trikotnika.

Dokaz:

B C A m n 1. S črko O označimo točko presečišča pravokotnih simetral m in n na strani AB in BC trikotnika ABC. O 2. Z uporabo izreka, da je vsaka točka pravokotne simetrale na odsek enako oddaljena od koncev tega segmenta in obratno: vsaka točka, enako oddaljena od koncev segmenta, leži na pravokotni simetrali nanjo, dobimo, da je OB= OA in OB=OC. 3. Zato je OA \u003d OC, to je točka O, enako oddaljena od koncev segmenta AC in zato leži na pravokotni simetrali na ta segment. 4. Zato se vse tri pravokotne simetrale m, n in p na stranice trikotnika ABC sekajo v točki O. Izrek je dokazan. R

Točka presečišča višin (ali njihovih podaljškov)

Višina trikotnika je pravokotnica, potegnjena iz vrha katerega koli kota trikotnika na premico, ki vsebuje nasprotno stran.

Višine trikotnika ali njihovih podaljškov se sekata v eni točki, ki lahko leži v trikotniku ali pa je zunaj njega.

Dokaz:

Dokažimo, da se premice AA 1 , BB 1 in CC 1 sekata v eni točki. B A C C2 C1 A1 A2 B 1 B 2 1. Skozi vsako oglišče trikotnika ABC narišite črto, vzporedno z nasprotno stranjo. Dobimo trikotnik A 2 B 2 C 2. 2. Točke A, B in C so središča stranic tega trikotnika. Dejansko sta AB \u003d A 2 C in AB \u003d CB 2 nasprotni strani paralelogramov ABA 2 C in ABCB 2, torej A 2 C \u003d CB 2. Podobno C 2 A \u003d AB 2 in C 2 B \u003d BA 2. Poleg tega, kot sledi iz konstrukcije, je CC 1 pravokoten na A 2 B 2, AA 1 je pravokoten na B 2 C 2 in BB 1 je pravokoten na A 2 C 2 (iz posledice vzporednic in sekansnega izreka) . Tako so premice AA 1, BB 1 in CC 1 pravokotne simetrale na stranice trikotnika A 2 B 2 C 2. Zato se v eni točki sekajo. Izrek je dokazan.

V tej lekciji si bomo ogledali štiri čudovite točke trikotnika. Na dveh od njih se bomo podrobneje zadržali, se spomnili dokazov pomembnih izrekov in rešili problem. Preostala dva se spomnimo in okarakteriziramo.

Zadeva:Ponovitev predmeta geometrija 8. razreda

Lekcija: Štiri izjemne točke trikotnika

Trikotnik je najprej trije segmenti in trije koti, zato so lastnosti segmentov in kotov temeljne.

Podan je odsek AB. Vsak segment ima sredino in skozi njo lahko potegnemo pravokotnico - označujemo jo s p. Tako je p pravokotna simetrala.

Izrek (osnovna lastnost pravokotne simetrale)

Vsaka točka, ki leži na pravokotni simetrali, je enako oddaljena od koncev segmenta.

Dokaži to

Dokaz:

Razmislite o trikotniku in (glej sliko 1). So pravokotne in enake, ker. imajo skupni krak OM, kraki AO in OB pa sta enaki po pogoju, tako da imamo dva pravokotna trikotnika enaka v dveh krakih. Iz tega sledi, da so tudi hipotenuze trikotnikov enake, kar je bilo treba dokazati.

riž. eno

Obratni izrek je resničen.

Izrek

Vsaka točka, ki je enako oddaljena od koncev segmenta, leži na pravokotni simetrali na ta segment.

Podan je odsek AB, sredina, pravokotna nanj, p, točka M, enako oddaljena od koncev segmenta (glej sliko 2).

Dokaži, da točka M leži na pravokotni simetrali na odsek.

riž. 2

Dokaz:

Poglejmo si trikotnik. Je enakokraka, kot po pogoju. Razmislite o mediani trikotnika: točka O je središče osnove AB, OM je mediana. Glede na lastnost enakokrakega trikotnika je mediana, narisana na njegovo osnovo, hkrati višina in simetrala. Iz tega sledi, da. Toda premica p je tudi pravokotna na AB. Vemo, da lahko na točko O potegnemo eno pravokotnico na odsek AB, kar pomeni, da premici OM in p sovpadata, iz tega sledi, da točka M pripada premici p, kar je bilo potrebno dokazati.

Če je treba opisati krog okoli enega segmenta, je to mogoče storiti in takšnih krogov je neskončno veliko, vendar bo središče vsakega od njih ležalo na pravokotni simetrali na segment.

Za pravokotnico pravimo, da je lokus točk, ki so enako oddaljene od koncev segmenta.

Trikotnik je sestavljen iz treh segmentov. Narišimo srednji navpičnici na dve od njih in dobimo točko O njunega presečišča (glej sliko 3).

Točka O pripada pravokotni simetrali na stranico BC trikotnika, kar pomeni, da je enako oddaljena od njegovih oglišč B in C, označimo to razdaljo z R:.

Poleg tega se točka O nahaja na pravokotni simetrali na odsek AB, t.j. pa od tod .

Tako je točka O presečišča dveh središč

riž. 3

pravokotnice trikotnika je enako oddaljena od njegovih oglišč, kar pomeni, da leži tudi na tretji pravokotni simetrali.

Ponovili smo dokaz pomembnega izreka.

Tri pravokotne simetrale trikotnika se sekajo v eni točki - središču opisanega kroga.

Torej, obravnavali smo prvo izjemno točko trikotnika - točko presečišča njegovih pravokotnih simetral.

Pojdimo na lastnost poljubnega kota (glej sliko 4).

Glede na kot , njegova simetrala AL, točka M leži na simetrali.

riž. 4

Če točka M leži na simetrali kota, je enako oddaljena od stranic kota, to pomeni, da sta razdalji od točke M do AC in do BC stranic kota enake.

Dokaz:

Razmislite o trikotnikih in . To so pravokotni trikotniki in so enaki, ker. imajo skupno hipotenuzo AM, koti in pa so enaki, saj je AL simetrala kota . Tako so pravokotni trikotniki enaki v hipotenuzi in akutnem kotu, zato sledi, da je bilo treba dokazati. Tako je točka na simetrali kota enako oddaljena od stranic tega kota.

Obratni izrek je resničen.

Izrek

Če je točka enako oddaljena od stranic nerazširjenega kota, potem leži na svoji simetrali (glej sliko 5).

Podan je nerazvit kot, točka M, tako da je razdalja od nje do stranic kota enaka.

Dokaži, da točka M leži na simetrali kota.

riž. 5

Dokaz:

Razdalja od točke do premice je dolžina navpičnice. Iz točke M nariši pravokotnici MK na stran AB in MP na stran AC.

Razmislite o trikotnikih in . To so pravokotni trikotniki in so enaki, ker. imata skupno hipotenuzo AM, kraka MK in MR sta po pogoju enaka. Tako so pravokotni trikotniki enaki po hipotenuzi in kraku. Iz enakosti trikotnikov sledi enakost ustreznih elementov, enaka kota ležita proti enakim krakom, torej , torej točka M leži na simetrali danega kota.

Če je treba krog vpisati v kot, je to mogoče storiti in takšnih krogov je neskončno veliko, vendar njihova središča ležijo na simetrali danega kota.

Za simetralo pravimo, da je lokus točk, ki so enako oddaljene od stranic kota.

Trikotnik je sestavljen iz treh vogalov. Konstruiramo simetrale dveh od njih, dobimo točko O njunega presečišča (glej sliko 6).

Točka O leži na simetrali kota, kar pomeni, da je enako oddaljena od njegovih stranic AB in BC, označimo razdaljo z r:. Tudi točka O leži na simetrali kota , kar pomeni, da je enako oddaljena od svojih stranic AC in BC: , , Zato .

Preprosto je videti, da je točka presečišča simetral enako oddaljena od stranic tretjega kota, kar pomeni, da leži na

riž. 6

simetrala kota. Tako se vse tri simetrale trikotnika sekajo v eni točki.

Tako smo se spomnili dokaza še enega pomembnega izreka.

Simetrale kotov trikotnika se sekata v eni točki - središču vpisane kroge.

Torej, upoštevali smo drugo čudovito točko trikotnika - presečišče simetral.

Preučili smo simetralo kota in opazili njene pomembne lastnosti: točke simetrale so enako oddaljene od stranic kota, poleg tega so odseki tangent, narisanih na krog iz ene točke, enaki.

Uvedemo nekaj zapisov (glej sliko 7).

Enake odseke tangent označimo z x, y in z. Stran BC, ki leži nasproti oglišča A, je označena kot a, podobno AC kot b, AB kot c.

riž. 7

Problem 1: V trikotniku sta znani polobod in dolžina stranice a. Poiščite dolžino tangente, potegnjene iz oglišča A - AK, označeno z x.

Očitno trikotnik ni povsem definiran in takih trikotnikov je veliko, a se je izkazalo, da imajo nekaj skupnih elementov.

Za probleme, pri katerih govorimo o vpisanem krogu, lahko predlagamo naslednjo tehniko reševanja:

1. Nariši simetrale in dobi središče vpisanega kroga.

2. Iz središča O narišite pravokotnice na stranice in dobite stične točke.

3. Označi enake tangente.

4. Zapiši povezavo med stranicami trikotnika in tangentami.



Razdelki