1. naloga. Ugotovite, ali je sistem vektorjev linearno neodvisen. Sistem vektorjev bo definiran z matriko sistema, katere stolpce sestavljajo koordinate vektorjev.

.

Odločitev. Naj bo linearna kombinacija enaka nič. Ko to enakost zapišemo v koordinatah, dobimo naslednji sistem enačb:

.

Takšen sistem enačb se imenuje trikotni. Ona ima edino rešitev. . Zato vektorji so linearno neodvisne.

2. naloga. Ugotovite, ali je sistem vektorjev linearno neodvisen.

.

Odločitev. Vektorji so linearno neodvisne (glej problem 1). Dokažimo, da je vektor linearna kombinacija vektorjev . Vektorski ekspanzijski koeficienti se določijo iz sistema enačb

.

Ta sistem, tako kot trikotni, ima edinstveno rešitev.

Zato sistem vektorjev linearno odvisna.

Komentar. Kličemo matrike, kot so v problemu 1 trikotni , in v problemu 2 – stopničasta trikotna . Vprašanje linearne odvisnosti sistema vektorjev je enostavno rešiti, če je matrika, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, stopenjsko trikotna. Če matrica nima posebne oblike, potem uporabite elementarne transformacije nizov , ki ohranja linearne odnose med stolpci, ga je mogoče zmanjšati na stopničasto trikotno obliko.

Elementarne transformacije nizov matrike (EPS) se imenujejo naslednje operacije na matriki:

1) permutacija vrstic;

2) množenje niza s številom, ki ni nič;

3) dodajanje niza drugega niza, pomnoženega s poljubnim številom.

3. naloga. Poiščite največji linearno neodvisen podsistem in izračunajte rang sistema vektorjev

.

Odločitev. Zmanjšajmo matriko sistema s pomočjo EPS na stopničasto trikotno obliko. Za pojasnitev postopka bo vrstica s številko matrike, ki jo je treba transformirati, označena s simbolom . Stolpec za puščico prikazuje dejanja, ki jih je treba izvesti na vrsticah pretvorjene matrike, da dobimo vrstice nove matrike.

.

Očitno sta prva dva stolpca nastale matrike linearno neodvisna, tretji stolpec je njihova linearna kombinacija, četrti pa ni odvisen od prvih dveh. Vektorji se imenujejo osnovni. Sestavljajo maksimalno linearno neodvisen podsistem sistema , rang sistema pa je tri.

Osnova, koordinate

4. naloga. Poišči osnovo in koordinate vektorjev v tej bazi na množici geometrijskih vektorjev, katerih koordinate izpolnjujejo pogoj .

Odločitev. Množica je ravnina, ki poteka skozi izhodišče. Arbitrarna osnova na ravnini je sestavljena iz dveh nekolinearnih vektorjev. Koordinate vektorjev v izbrani bazi se določijo z reševanjem ustreznega sistema linearnih enačb.

Obstaja še en način za rešitev tega problema, ko lahko najdete osnovo po koordinatah.

Koordinate prostori niso koordinate na ravnini, saj so povezani z relacijo , torej niso neodvisni. Neodvisne spremenljivke in (imenovane so proste) enolično določajo vektor na ravnini in jih zato lahko izberemo kot koordinate v . Nato osnova je sestavljen iz vektorjev, ki ležijo v nizih prostih spremenljivk in jim ustrezajo in , tj.

5. naloga. Poišči osnovo in koordinate vektorjev v tej bazi na množici vseh vektorjev v prostoru , katerih neparne koordinate so med seboj enake.

Odločitev. Izberemo, kot v prejšnjem problemu, koordinate v prostoru.

Kot , nato proste spremenljivke enolično definirajo vektor iz in so zato koordinate. Ustrezna osnova je sestavljena iz vektorjev.

6. naloga. Poišči osnovo in koordinate vektorjev v tej bazi na množici vseh matrik obrazca , kje so poljubne številke.

Odločitev. Vsako matriko iz lahko enolično predstavimo kot:

Ta relacija je razširitev vektorja iz glede na osnovo
s koordinatami .

7. naloga. Poiščite dimenzijo in osnovo linearnega razpona sistema vektorjev

.

Odločitev. S pomočjo EPS transformiramo matriko iz koordinat sistemskih vektorjev v stopničasto trikotno obliko.

.

stolpci zadnje matrike so linearno neodvisni, stolpci pa so linearno izraženi skozi njih. Zato vektorji tvorijo osnovo , in .

Komentar. Osnova v izbrani dvoumno. Na primer vektorji predstavljajo tudi osnovo .

Vektorji, njihove lastnosti in dejanja z njimi

Vektorji, dejanja z vektorji, linearni vektorski prostor.

Vektorji so urejena zbirka končnega števila realnih števil.

Dejanja: 1. Množenje vektorja s številom: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n). (3.4, 0. 7) * 3 = (9, 12,0.21 )

2. Seštevanje vektorjev (spadajo v isti vektorski prostor) vektor x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n-dimenzionalni (linearni prostor) vektor x + vektor 0 = vektor x

Izrek. Da je sistem n vektorjev v n-dimenzionalnem linearnem prostoru linearno odvisen, je potrebno in zadostno, da je eden od vektorjev linearna kombinacija drugih.

Izrek. Vsak niz n+ 1. vektorja n-dimenzionalnega linearnega prostora yavl. linearno odvisna.

Seštevanje vektorjev, množenje vektorjev s številkami. Odštevanje vektorjev.

Vsota dveh vektorjev je vektor, usmerjen od začetka vektorja proti koncu vektorja, pod pogojem, da začetek sovpada s koncem vektorja. Če so vektorji podani z njihovimi razširitvami v smislu baznih vektorjev, potem seštevanje vektorjev sešteje njihove ustrezne koordinate.

Razmislimo o tem na primeru kartezijanskega koordinatnega sistema. Naj bo

Pokažimo to

Slika 3 to prikazuje

Vsoto poljubnega končnega števila vektorjev je mogoče najti s pravilom poligona (slika 4): za sestavljanje vsote končnega števila vektorjev je dovolj, da se začetek vsakega naslednjega vektorja ujema s koncem prejšnjega. in zgradimo vektor, ki povezuje začetek prvega vektorja s koncem zadnjega.

Lastnosti operacije seštevanja vektorjev:

V teh izrazih so m, n števila.

Razlika vektorjev se imenuje vektor.Drugi člen je vektor, ki je po smeri nasproten vektorju, vendar mu je enak po dolžini.

Tako se operacija vektorskega odštevanja nadomesti z operacijo seštevanja

Vektor, katerega začetek je v izhodišču koordinat, konec pa v točki A (x1, y1, z1), se imenuje vektor polmera točke A in je označen ali preprosto. Ker njene koordinate sovpadajo s koordinatami točke A, ima njena ekspanzija v smislu vektorjev obliko

Vektor, ki se začne v točki A(x1, y1, z1) in konča v točki B(x2, y2, z2), lahko zapišemo kot

kjer je r 2 vektor polmera točke B; r 1 - vektor polmera točke A.

Zato ima širitev vektorja v smislu ortov obliko

Njegova dolžina je enaka razdalji med točkama A in B

MNOŽENJE

Torej v primeru ploščatega problema najdemo produkt vektorja z a = (ax; ay) in številom b s formulo

a b = (ax b; ay b)

Primer 1. Poiščite produkt vektorja a = (1; 2) s 3.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Torej v primeru prostorskega problema produkt vektorja a = (ax; ay; az) in števila b najdemo s formulo

a b = (ax b; ay b; az b)

Primer 1. Poiščite produkt vektorja a = (1; 2; -5) z 2.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Pik produkt vektorjev in kjer je kot med vektorjema in ; če je tako, potem

Iz definicije skalarnega produkta sledi, da

kjer je na primer vrednost projekcije vektorja na smer vektorja .

Skalarni kvadrat vektorja:

Lastnosti točkovnega izdelka:

Pik produkt v koordinatah

Če potem

Kot med vektorji

Kot med vektorji - kot med smerema teh vektorjev (najmanjši kot).

Vektorski produkt (Vektorski produkt dveh vektorjev.)- je psevdovektor, pravokoten na ravnino, zgrajen z dvema faktorjema, ki je rezultat binarne operacije "vektorsko množenje" na vektorjih v tridimenzionalnem evklidskem prostoru. Produkt ni niti komutativen niti asociativen (je antikomutativen) in se razlikuje od pik produkta vektorjev. Pri številnih inženirskih in fizikalnih problemih je treba biti sposoben zgraditi vektor pravokotno na dva obstoječa - vektorski produkt ponuja to možnost. Navzkrižni produkt je uporaben za "merjenje" pravokotnosti vektorjev - dolžina navzkrižnega produkta dveh vektorjev je enaka zmnožku njunih dolžin, če sta pravokotna, in se zmanjša na nič, če sta vektorja vzporedna ali protivzporedna.

Vektorski produkt je definiran samo v tridimenzionalnih in sedemdimenzionalnih prostorih. Rezultat vektorskega produkta je tako kot skalarnega produkta odvisen od metrike evklidskega prostora.

Za razliko od formule za izračun skalarnega produkta iz koordinat vektorjev v tridimenzionalnem pravokotnem koordinatnem sistemu je formula za vektorski produkt odvisna od orientacije pravokotnega koordinatnega sistema ali, z drugimi besedami, njegove "kiralnosti"

Kolinearnost vektorjev.

Dva neničelna (ni enaka 0) vektorja se imenujeta kolinearna, če ležita na vzporednih ali na isti premici. Dovoljujemo, vendar ni priporočljivo, sinonim - "vzporedni" vektorji. Kolinearni vektorji so lahko usmerjeni v isto smer ("so-usmerjeni") ali nasprotno usmerjeni (v slednjem primeru jih včasih imenujemo "antikolinearni" ali "antiparalelni").

Mešani produkt vektorjev ( a,b,c)- skalarni produkt vektorja a in vektorski produkt vektorjev b in c:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

včasih se imenuje trojni skalarni produkt vektorjev, očitno zaradi dejstva, da je rezultat skalar (natančneje, psevdoskalar).

Geometrijski pomen: modul mešanega produkta je številčno enak volumnu paralelepipeda, ki ga tvorijo vektorji (a,b,c) .

Lastnosti

Mešani produkt je poševno simetričen glede na vse svoje argumente: tj. e. permutacija poljubnih dveh faktorjev spremeni predznak produkta. Iz tega sledi, da je mešani produkt v desnem kartezijanskem koordinatnem sistemu (v ortonormalni bazi) enak determinanti matrike, sestavljene iz vektorjev in:

Mešani produkt v levem kartezijanskem koordinatnem sistemu (v ortonormalni bazi) je enak determinanti matrike, sestavljene iz vektorjev in vzete s predznakom minus:

Še posebej,

Če sta katera koli dva vektorja vzporedna, potem s katerim koli tretjim vektorjem tvorita mešani produkt enak nič.

Če so trije vektorji linearno odvisni (tj. koplanarni, ležijo v isti ravnini), je njihov mešani produkt nič.

Geometrijski pomen - Mešani produkt v absolutni vrednosti je enak volumnu paralelepipeda (glej sliko), ki ga tvorijo vektorji in; predznak je odvisen od tega, ali je ta trojka vektorjev desna ali leva.

Komplanarnost vektorjev.

Trije vektorji (ali več) se imenujejo komplanarni, če so zmanjšani na skupni izvor, ki ležijo v isti ravnini

Lastnosti skladnosti

Če je vsaj eden od treh vektorjev enak nič, potem veljajo tudi trije vektorji koplanarni.

Trojica vektorjev, ki vsebuje par kolinearnih vektorjev, je komplanarna.

Mešani produkt komplanarnih vektorjev. To je merilo za komplanarnost treh vektorjev.

Koplanarni vektorji so linearno odvisni. To je tudi merilo za komplanarnost.

V 3-dimenzionalnem prostoru 3 nekomplanarni vektorji tvorijo osnovo

Linearno odvisni in linearno neodvisni vektorji.

Linearno odvisni in neodvisni sistemi vektorjev.Opredelitev. Sistem vektorjev se imenuje linearno odvisna, če obstaja vsaj ena netrivialna linearna kombinacija teh vektorjev enaka nič vektorju. Sicer pa t.j. če je ničelnemu vektorju enaka le trivialna linearna kombinacija danih vektorjev, se vektorji kličejo linearno neodvisna.

Izrek (merilo linearne odvisnosti). Da je sistem vektorjev v linearnem prostoru linearno odvisen, je potrebno in zadostno, da je vsaj eden od teh vektorjev linearna kombinacija drugih.

1) Če je med vektorji vsaj en ničelni vektor, je celoten sistem vektorjev linearno odvisen.

Dejansko, če, na primer, , potem, ob predpostavki, imamo netrivialno linearno kombinacijo .▲

2) Če nekateri vektorji tvorijo linearno odvisen sistem, je celoten sistem linearno odvisen.

Dejansko naj so vektorji , , linearno odvisni. Zato obstaja netrivialna linearna kombinacija, ki je enaka ničelnemu vektorju. Ampak potem, ob predpostavki , dobimo tudi netrivialno linearno kombinacijo, ki je enaka ničelnemu vektorju.

2. Osnova in dimenzija. Opredelitev. Sistem linearno neodvisnih vektorjev vektorski prostor se imenuje osnova ta prostor, če je kateri koli vektor iz mogoče predstaviti kot linearno kombinacijo vektorjev tega sistema, t.j. za vsak vektor so realna števila tako, da velja enakost. Ta enakost se imenuje vektorska razgradnja glede na osnovo in številke poklical vektorske koordinate glede na osnovo(oz v osnovi) .

Izrek (o edinstvenosti razširitve glede na osnovo). Vsak vektor prostora je mogoče razširiti glede na osnovo na edinstven način, tj. koordinate vsakega vektorja v bazi so nedvoumno opredeljeni.

V tem članku bomo obravnavali:

• kaj so kolinearni vektorji;
• kakšni so pogoji za kolinearne vektorje;
• kakšne so lastnosti kolinearnih vektorjev;
• kakšna je linearna odvisnost kolinearnih vektorjev.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Kolinearni vektorji so vektorji, ki so vzporedni z isto premico ali ležijo na isti premici.

Primer 1

Pogoji za kolinearne vektorje

Dva vektorja sta kolinearna, če je izpolnjen kateri koli od naslednjih pogojev:

• pogoj 1 . Vektorja a in b sta kolinearna, če obstaja število λ, tako da je a = λ b ;
• pogoj 2 . Vektorja a in b sta kolinearna z enakim razmerjem koordinat:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• pogoj 3 . Vektorja a in b sta kolinearna, če sta vektorski produkt in ničelni vektor enaka:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Opomba 1

Pogoj 2 ni uporabno, če je ena od vektorskih koordinat nič.

Opomba 2

Pogoj 3 velja samo za tiste vektorje, ki so podani v prostoru.

Primeri problemov za preučevanje kolinearnosti vektorjev

Primer 1

Preučujemo kolinearnost vektorjev a = (1; 3) in b = (2; 1).

Kako se odločiti?

V tem primeru je treba uporabiti 2. pogoj kolinearnosti. Za dane vektorje izgleda takole:

Enakost je napačna. Iz tega lahko sklepamo, da sta vektorja a in b nekolinearna.

Odgovori : a | | b

Primer 2

Kakšna vrednost m vektorja a = (1 ; 2) in b = (- 1 ; m) je potrebna, da sta vektorja kolinearna?

Kako se odločiti?

Z uporabo drugega kolinearnega pogoja bodo vektorji kolinearni, če so njihove koordinate sorazmerne:

To kaže, da je m = -2.

odgovor: m = - 2 .

Kriteriji za linearno odvisnost in linearno neodvisnost sistemov vektorjev

Izrek

Sistem vektorjev v vektorskem prostoru je linearno odvisen le, če je mogoče enega od vektorjev sistema izraziti z drugimi vektorji sistema.

Dokaz

Naj bo sistem e 1 , e 2 , . . . , e n je linearno odvisen. Zapišimo linearno kombinacijo tega sistema, ki je enaka ničelnemu vektorju:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

pri katerem vsaj eden od koeficientov kombinacije ni enak nič.

Naj a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n .

Obe strani enakosti delimo s koeficientom, ki ni nič:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Označi:

A k - 1 a m , kjer je m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

V tem primeru:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + βn e n = 0

ali e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iz tega sledi, da je eden od vektorjev sistema izražen z vsemi drugimi vektorji sistema. Kar je bilo treba dokazati (p.t.d.).

Ustreznost

Naj je eden od vektorjev linearno izražen z vsemi drugimi vektorji sistema:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Vektor e k prenesemo na desno stran te enakosti:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Ker je koeficient vektorja e k enak - 1 ≠ 0 , dobimo netrivialno predstavitev nič s sistemom vektorjev e 1 , e 2 , . . . , e n , kar pa pomeni, da je dani sistem vektorjev linearno odvisen. Kar je bilo treba dokazati (p.t.d.).

Posledica:

• Sistem vektorjev je linearno neodvisen, če nobenega od njegovih vektorjev ni mogoče izraziti z vsemi drugimi vektorji sistema.
• Vektorski sistem, ki vsebuje ničelni vektor ali dva enaka vektorja, je linearno odvisen.

Lastnosti linearno odvisnih vektorjev

1. Za 2- in 3-dimenzionalne vektorje je izpolnjen pogoj: dva linearno odvisna vektorja sta kolinearna. Dva kolinearna vektorja sta linearno odvisna.
2. Za 3-dimenzionalne vektorje je izpolnjen pogoj: trije linearno odvisni vektorji so koplanarni. (3 koplanarni vektorji - linearno odvisni).
3. Za n-dimenzionalne vektorje je izpolnjen pogoj: n + 1 vektorjev je vedno linearno odvisnih.

Primeri reševanja problemov za linearno odvisnost ali linearno neodvisnost vektorjev

Primer 3

Preverimo linearno neodvisnost vektorjev a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0.

Odločitev. Vektorji so linearno odvisni, ker je dimenzija vektorjev manjša od števila vektorjev.

Primer 4

Preverimo linearno neodvisnost vektorjev a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

Odločitev. Najdemo vrednosti koeficientov, pri katerih bo linearna kombinacija enaka ničelnemu vektorju:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Vektorsko enačbo zapišemo v obliki linearne:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ta sistem rešujemo z Gaussovo metodo:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. vrstice odštejemo 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od 1. vrstice odštejemo 2., 2. dodamo 3.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iz rešitve izhaja, da ima sistem veliko rešitev. To pomeni, da obstaja neničelna kombinacija vrednosti takšnih številk x 1, x 2, x 3, za katere je linearna kombinacija a, b, c enaka ničelnemu vektorju. Zato so vektorji a, b, c linearno odvisna.

Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Sistem vektorjev se imenuje linearno odvisna, če obstajajo takšne številke , med katerimi je vsaj ena drugačna od nič, da je enakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

Če ta enakost velja le, če vse , potem se imenuje sistem vektorjev linearno neodvisna.

Izrek. Sistem vektorjev bo linearno odvisnače in samo če je vsaj eden od njegovih vektorjev linearna kombinacija drugih.

Primer 1 Polinom je linearna kombinacija polinomov https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polinomi tvorijo linearno neodvisen sistem, saj https polinom: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Primer 2 Matrični sistem , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> je linearno neodvisen, saj je linearna kombinacija enaka ničelna matrika samo pri https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linearno odvisno.

Odločitev.

Sestavite linearno kombinacijo teh vektorjev https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" height =" 22">.

Če izenačimo istoimene koordinate enakih vektorjev, dobimo https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Končno dobimo

in

Sistem ima edinstveno trivialno rešitev, tako da je linearna kombinacija teh vektorjev nič le, če so vsi koeficienti nič. Zato je ta sistem vektorjev linearno neodvisen.

Primer 4 Vektorji so linearno neodvisni. Kakšni bodo sistemi vektorjev

a).;

b).?

Odločitev.

a). Sestavite linearno kombinacijo in jo enačite na nič

Z uporabo lastnosti operacij z vektorji v linearnem prostoru prepišemo zadnjo enakost v obliki

Ker so vektorji linearno neodvisni, morajo biti koeficienti za enaki nič, tj.gif" width="12" height="23 src=">

Nastali sistem enačb ima edinstveno trivialno rešitev .

Od enakosti (*) izvedeno samo na https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linearno neodvisno;

b). Sestavite enakost https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Če uporabimo podobno razmišljanje, dobimo

Z reševanjem sistema enačb po Gaussovi metodi dobimo

oz

Zadnji sistem ima neskončno število rešitev https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Tako obstaja ne- ničelni niz koeficientov, za katerega velja enakost (**) . Zato sistem vektorjev je linearno odvisna.

Primer 5 Vektorski sistem je linearno neodvisen, vektorski sistem pa je linearno odvisen..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

V enakosti (***) . Dejansko bi bil za , sistem linearno odvisen.

Iz razmerja (***) dobimo oz Označi .

Pridobite

Naloge za samostojno reševanje (v učilnici)

1. Sistem, ki vsebuje ničelni vektor, je linearno odvisen.

2. Enovektorski sistem a, je linearno odvisno, če in samo če, a=0.

3. Sistem, sestavljen iz dveh vektorjev, je linearno odvisen, če in samo, če sta vektorja sorazmerna (to pomeni, da je eden od njih pridobljen iz drugega z množenjem s številom).

4. Če linearno odvisnemu sistemu dodamo vektor, dobimo linearno odvisen sistem.

5. Če vektor odstranimo iz linearno neodvisnega sistema, je dobljeni sistem vektorjev linearno neodvisen.

6. Če sistem S linearno neodvisen, vendar postane linearno odvisen, ko se doda vektor b, nato vektor b linearno izraženo z vektorji sistema S.

c). Sistem matrik , , v prostoru matrik drugega reda.

10. Naj bo sistem vektorjev a,b,c vektorski prostor je linearno neodvisen. Dokaži linearno neodvisnost naslednjih sistemov vektorjev:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– poljubno število

c).a+b, a+c, b+c.

11. Naj bo a,b,c so trije vektorji v ravnini, ki jih lahko uporabimo za tvorbo trikotnika. Ali bodo ti vektorji linearno odvisni?

12. Podano sta dva vektorja a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Vzemite še dva 4D vektorja a3 ina4 tako da sistem a1,a2,a3,a4 je bil linearno neodvisen .

Linearna odvisnost in linearna neodvisnost vektorjev.
Osnova vektorjev. Afini koordinatni sistem

V občinstvu je voziček s čokoladami, danes pa bo vsak obiskovalec dobil sladek par - analitično geometrijo z linearno algebro. Ta članek se bo dotaknil dveh oddelkov višje matematike hkrati in videli bomo, kako se ujemata v enem ovitku. Vzemite si odmor, pojejte Twix! ... prekleto, no, prepire neumnosti. Čeprav je v redu, ne bom dosegel točk, na koncu bi moral biti pozitiven odnos do študija.

Linearna odvisnost vektorjev, linearna neodvisnost vektorjev, vektorska osnova in drugi izrazi nimajo le geometrijske interpretacije, temveč predvsem algebraični pomen. Sam koncept "vektorja" z vidika linearne algebre še zdaleč ni vedno "navaden" vektor, ki ga lahko upodobimo na ravnini ali v prostoru. Dokaz vam ni treba iskati daleč, poskusite narisati vektor petdimenzionalnega prostora . Ali pa vremenski vektor, za katerega sem ravnokar šel na Gismeteo: - temperatura in atmosferski tlak. Primer je seveda napačen z vidika lastnosti vektorskega prostora, a kljub temu nihče ne prepoveduje formaliziranja teh parametrov kot vektorja. Dih jeseni...

Ne, ne bom vas dolgočasil s teorijo, linearni vektorski prostori, naloga je, da razumeti definicije in izreke. Novi izrazi (linearna odvisnost, neodvisnost, linearna kombinacija, osnova itd.) so uporabni za vse vektorje z algebraičnega vidika, vendar bodo primeri podani geometrijsko. Tako je vse preprosto, dostopno in vizualno. Poleg problemov analitične geometrije bomo obravnavali tudi nekaj tipičnih nalog algebre. Za obvladovanje gradiva je priporočljivo, da se seznanite z lekcijo Vektorji za lutke in Kako izračunati determinanto?

Linearna odvisnost in neodvisnost ravninskih vektorjev.
Ravninska osnova in afini koordinatni sistem

Razmislite o ravnini vaše računalniške mize (samo miza, nočna omarica, tla, strop, karkoli želite). Naloga bo sestavljena iz naslednjih dejanj:

1) Izberite osnovo ravnine. Grubo rečeno, miza ima dolžino in širino, zato je intuitivno jasno, da sta za izgradnjo osnove potrebna dva vektorja. En vektor očitno ni dovolj, trije vektorji so preveč.

2) Na podlagi izbrane osnove nastavite koordinatni sistem(koordinatna mreža), da dodelite koordinate vsem elementom na mizi.

Ne bodite presenečeni, sprva bodo pojasnila na prstih. Poleg tega na vašem. Prosimo postavite kazalec leve roke na robu mize, tako da gleda v monitor. To bo vektor. Zdaj pa mesto mezinec desne roke na robu mize na enak način - tako, da je usmerjen na zaslon monitorja. To bo vektor. Nasmehni se, super izgledaš! Kaj lahko rečemo o vektorjih? Podatkovni vektorji kolinearno, kar pomeni linearno izraženi drug skozi drugega:
, no, ali obratno: , kjer je število, ki ni nič.

V lekciji si lahko ogledate sliko tega dejanja. Vektorji za lutke, kjer sem razložil pravilo za množenje vektorja s številom.

Ali bodo vaši prsti postavili osnovo na ravnino računalniške mize? Očitno ne. Kolinearni vektorji potujejo naprej in nazaj sam smer, medtem ko ima ravnina dolžino in širino.

Takšni vektorji se imenujejo linearno odvisna.

Referenca: Besede "linearno", "linearno" označujejo dejstvo, da v matematičnih enačbah, izrazih ni kvadratov, kock, drugih potenk, logaritmov, sinusov itd. Obstajajo samo linearni (1. stopnje) izrazi in odvisnosti.

Dva ravna vektorja linearno odvisnače in samo če so kolinearni.

Prekrižajte prste na mizi, tako da je med njimi kakršen koli kot, razen 0 ali 180 stopinj. Dva ravna vektorjalinearno ne so odvisne, če in samo če niso kolinearne. Torej, osnova je prejeta. Ni vam treba biti nerodno, da se je osnova izkazala za "poševno" z nepravokotnimi vektorji različnih dolžin. Zelo kmalu bomo videli, da za njegovo konstrukcijo ni primeren le kot 90 stopinj in ne samo enotni vektorji enake dolžine

Kaj ravninski vektor edina pot razširjeno glede na osnovo:
, kje so realna števila . Številke se kličejo vektorske koordinate v tej podlagi.

To tudi pravijo vektorpredstavljeno v obliki linearna kombinacija baznih vektorjev. To pomeni, da se izraz imenuje vektorska razgradnjaosnova oz linearna kombinacija baznih vektorjev.

Na primer, lahko rečete, da je vektor razširjen v ortonormalni osnovi ravnine, ali pa lahko rečete, da je predstavljen kot linearna kombinacija vektorjev.

Formulirajmo osnovna definicija formalno: ravninska osnova je par linearno neodvisnih (nekolinearnih) vektorjev, , pri čemer kaj ravninski vektor je linearna kombinacija osnovnih vektorjev.

Bistvena točka definicije je dejstvo, da so vzeti vektorji v določenem vrstnem redu. podlage To sta dve popolnoma različni bazi! Kot pravijo, mezinca leve roke ni mogoče premakniti na mesto mezinca desne roke.

Ugotovili smo osnovo, vendar ni dovolj, da nastavite koordinatno mrežo in dodelite koordinate vsakemu elementu na vaši računalniški mizi. Zakaj ne dovolj? Vektorji so prosti in se sprehajajo po celotni ravnini. Kako torej dodelite koordinate tistim majhnim umazanim pikam na mizi, ki so ostale po divjem vikendu? Potrebno je izhodišče. In taka referenčna točka je vsem znana točka - izvor koordinat. Razumevanje koordinatnega sistema:

Začel bom s "šolskim" sistemom. Že v uvodni lekciji Vektorji za lutke Poudaril sem nekatere razlike med pravokotnim koordinatnim sistemom in ortonormalno osnovo. Tukaj je standardna slika:

Ko govorimo o pravokotni koordinatni sistem, takrat najpogosteje pomenijo izvor, koordinatne osi in merilo vzdolž osi. Poskusite v iskalnik vtipkati "pravokotni koordinatni sistem" in videli boste, da vam bodo številni viri povedali o koordinatnih osih, ki jih poznate iz 5.-6. razreda, in o tem, kako narisati točke na ravnini.

Po drugi strani pa dobimo vtis, da je pravokotni koordinatni sistem mogoče dobro definirati v smislu ortonormalne osnove. In skoraj je. Besedilo gre takole:

izvor, in ortonormalno osnovni set Kartezijev koordinatni sistem ravnine . To je pravokotni koordinatni sistem vsekakor je definirana z eno točko in dvema enotnima ortogonalnima vektorjema. Zato vidite risbo, ki sem jo dal zgoraj - v geometrijskih problemih se pogosto (vendar še zdaleč ne vedno) rišejo tako vektorji kot koordinatne osi.

Mislim, da to vsi razumejo s pomočjo točke (izvora) in ortonormalne osnove KAKRšna koli točka ravnine in KATER koli vektor ravnine se lahko dodelijo koordinate. Slikovito rečeno, "vse na letalu je mogoče oštevilčiti."

Ali morajo biti koordinatni vektorji enota? Ne, lahko imajo poljubno dolžino, ki ni nič. Razmislite o točki in dveh ortogonalnih vektorjih poljubne dolžine, ki ni nič:

Takšna osnova se imenuje ortogonalno. Izvor koordinat z vektorji določa koordinatno mrežo in vsaka točka ravnine, vsak vektor ima svoje koordinate v dani bazi. Na primer oz. Očitna nevšečnost je, da so koordinatni vektorji na splošno imajo različne dolžine, razen enote. Če so dolžine enake eni, dobimo običajno ortonormalno osnovo.

! Opomba : v ortogonalni osnovi, kot tudi spodaj v afinih osnovah ravnine in prostora, se upoštevajo enote vzdolž osi POGOJNO. Na primer, ena enota vzdolž abscise vsebuje 4 cm, ena enota vzdolž ordinate vsebuje 2 cm. Te informacije so dovolj za pretvorbo "nestandardnih" koordinat v "naše običajne centimetre", če je potrebno.

In drugo vprašanje, na katerega smo dejansko že odgovorili - ali je kot med osnovnimi vektorji nujno enak 90 stopinj? Ne! Kot pravi definicija, morajo biti osnovni vektorji samo nekolinearno. V skladu s tem je kot lahko kar koli, razen 0 in 180 stopinj.

Poklicana točka na ravnini izvor, in nekolinearno vektorji, , set afini koordinatni sistem ravnine :

Včasih se imenuje ta koordinatni sistem poševno sistem. Točke in vektorji so prikazani kot primeri na risbi:

Kot razumete, je afini koordinatni sistem še manj priročen, formule za dolžine vektorjev in segmentov, ki smo jih obravnavali v drugem delu lekcije, v njem ne delujejo. Vektorji za lutke, veliko okusnih formul, povezanih z skalarni produkt vektorjev. Veljajo pa pravila za seštevanje vektorjev in množenje vektorja s številom, formule za deljenje segmenta v tem pogledu, pa tudi nekatere druge vrste problemov, ki jih bomo kmalu obravnavali.

In sklep je, da je najbolj priročen poseben primer afinega koordinatnega sistema kartezijev pravokotni sistem. Zato je treba najpogosteje videti njo, svojo. ... Vendar je vse v tem življenju relativno - veliko je situacij, v katerih je primerno imeti poševno (ali kakšno drugo, npr. polarno) koordinatni sistem. Ja, in humanoidi bodo takšni sistemi morda okusili =)

Preidimo na praktični del. Vse težave v tej lekciji veljajo tako za pravokotni koordinatni sistem kot za splošni afini primer. Tukaj ni nič zapletenega, ves material je na voljo tudi šolarju.

Kako ugotoviti kolinearnost ravninskih vektorjev?

Tipična stvar. Za dva ravna vektorja so kolinearni, je potrebno in zadostno, da so njihove koordinate sorazmerne.V bistvu gre za koordinatno izpopolnjevanje očitnega razmerja.

Primer 1

a) Preverite, ali so vektorji kolinearni .
b) Ali vektorji tvorijo osnovo? ?

Odločitev:
a) Ugotovite, ali obstaja za vektorje koeficient sorazmernosti, tako da so izpolnjene enakosti:

Vsekakor vam bom povedal o "foppish" različici uporabe tega pravila, ki se v praksi zelo dobro obnese. Ideja je, da takoj sestavite razmerje in preverite, ali je pravilen:

Naredimo razmerje iz razmerij ustreznih koordinat vektorjev:

Skrajšamo:
, torej so ustrezne koordinate sorazmerne, torej

Relacijo je mogoče vzpostaviti in obratno, to je enakovredna možnost:

Za samotestiranje lahko uporabimo dejstvo, da so kolinearni vektorji linearno izraženi drug skozi drugega. V tem primeru obstajajo enakosti . Njihovo veljavnost je mogoče enostavno preveriti z osnovnimi operacijami z vektorji:

b) Dva ravna vektorja tvorita osnovo, če nista kolinearna (linearno neodvisna). Vektorje preverjamo glede kolinearnosti . Ustvarimo sistem:

Iz prve enačbe sledi, da , iz druge enačbe sledi, da , kar pomeni, sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako ustrezne koordinate vektorjev niso sorazmerne.

Zaključek: vektorji so linearno neodvisni in tvorijo osnovo.

Poenostavljena različica rešitve izgleda takole:

Sestavite delež iz ustreznih koordinat vektorjev :
, zato so ti vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo.

Običajno pregledovalci te možnosti ne zavračajo, problem pa nastane v primerih, ko so nekatere koordinate enake nič. Všečkaj to: . ali takole: . ali takole: . Kako delati skozi razmerje tukaj? (Resnično, ne morete deliti z nič). Prav zaradi tega sem poenostavljeno rešitev poimenoval "foppish".

odgovor: a) , b) oblika.

Majhen ustvarjalni primer za samostojno rešitev:

Primer 2

Pri kakšni vrednosti vektorjev parametrov bo kolinearna?

V vzorčni raztopini se parameter najde prek deleža.

Obstaja eleganten algebraični način za preverjanje kolinearnosti vektorjev. Sistematizirajmo naše znanje in ga samo dodajmo kot peto točko:

Za dva ravna vektorja so naslednje izjave enakovredne:

2) vektorji tvorijo osnovo;
3) vektorji niso kolinearni;

+ 5) determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, ni nič.

oz. naslednje nasprotne trditve so enakovredne:
1) vektorji so linearno odvisni;
2) vektorji ne tvorijo osnove;
3) vektorji so kolinearni;
4) vektorje je mogoče linearno izraziti drug skozi drugega;
+ 5) determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, je enaka nič.

Zelo, zelo upam, da trenutno že razumete vse izraze in izjave, na katere ste naleteli.

Poglejmo si novo, peto točko podrobneje: dva ravna vektorja so kolinearni, če in samo če je determinanta, sestavljena iz koordinat danih vektorjev, enaka nič:. Za uporabo te funkcije seveda morate biti sposobni poišči determinante.

Odločili se bomo Primer 1 na drugi način:

a) Izračunaj determinanto, sestavljeno iz koordinat vektorjev :
, zato so ti vektorji kolinearni.

b) Dva ravna vektorja tvorita osnovo, če nista kolinearna (linearno neodvisna). Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat vektorjev :
, zato so vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo.

odgovor: a) , b) oblika.

Izgleda veliko bolj kompaktno in lepše kot rešitev z razmerji.

S pomočjo obravnavanega materiala je mogoče ugotoviti ne le kolinearnost vektorjev, ampak tudi dokazati vzporednost segmentov, ravnih črt. Razmislite o nekaj težavah s posebnimi geometrijskimi oblikami.

Primer 3

Podana so oglišča štirikotnika. Dokaži, da je štirikotnik paralelogram.

Dokaz: V problemu ni treba graditi risbe, saj bo rešitev zgolj analitična. Zapomnite si definicijo paralelograma:
Paralelogram Imenuje se štirikotnik, pri katerem sta nasprotni strani parno vzporedni.

Tako je treba dokazati:
1) vzporednost nasprotnih stranic in;
2) vzporednost nasprotnih strani in .

Dokazujemo:

1) Poiščite vektorje:

2) Poiščite vektorje:

Rezultat je isti vektor ("po šoli" - enaki vektorji). Kolinearnost je precej očitna, vendar se je bolje odločiti pravilno, z razporeditvijo. Izračunaj determinanto, sestavljeno iz koordinat vektorjev:
, tako da so ti vektorji kolinearni, in .

Zaključek: Nasprotni strani štirikotnika sta parno vzporedni, zato je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Več dobrih in drugačnih številk:

Primer 4

Podana so oglišča štirikotnika. Dokaži, da je štirikotnik trapez.

Za strožjo formulacijo dokaza je seveda bolje dobiti definicijo trapeza, vendar je dovolj, da se spomnimo, kako izgleda.

To je naloga za samostojno odločanje. Popolna rešitev na koncu lekcije.

In zdaj je čas, da se iz letala počasi premaknemo v vesolje:

Kako ugotoviti kolinearnost vektorjev prostora?

Pravilo je zelo podobno. Da sta dva vektorja prostora kolinearna, je potrebno in zadostno, da so njune ustrezne koordinate sorazmerne z.

Primer 5

Ugotovite, ali so naslednji vektorji prostora kolinearni:

a) ;
b)
v)

Odločitev:
a) Preverite, ali obstaja koeficient sorazmernosti za ustrezne koordinate vektorjev:

Sistem nima rešitve, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni.

"Poenostavljeno" se določi s preverjanjem deleža. V tem primeru:
– ustrezne koordinate niso sorazmerne, kar pomeni, da vektorji niso kolinearni.

odgovor: vektorji niso kolinearni.

b-c) To so točke za samostojno odločanje. Preizkusite ga na dva načina.

Obstaja metoda za preverjanje kolinearnosti prostorskih vektorjev in preko determinante tretjega reda je ta metoda zajeta v članku Navzkrižni produkt vektorjev.

Podobno kot pri ravnini lahko obravnavana orodja uporabimo za preučevanje vzporednosti prostorskih segmentov in črt.

Dobrodošli v drugem delu:

Linearna odvisnost in neodvisnost tridimenzionalnih vektorjev prostora.
Prostorska osnova in afini koordinatni sistem

Številne zakonitosti, ki smo jih upoštevali na letalu, bodo veljale tudi za vesolje. Poskušal sem čim bolj zmanjšati povzetek teorije, saj je levji delež informacij že prežvečen. Kljub temu priporočam, da pozorno preberete uvodni del, saj se bodo pojavili novi izrazi in pojmi.

Zdaj pa namesto ravnine računalniške mize preučimo tridimenzionalni prostor. Najprej ustvarimo njegovo osnovo. Nekdo je zdaj v zaprtih prostorih, nekdo na prostem, v vsakem primeru pa ne moremo pobegniti od treh dimenzij: širine, dolžine in višine. Zato so za izgradnjo osnove potrebni trije prostorski vektorji. En ali dva vektorja nista dovolj, četrti je odveč.

In spet se ogrejemo na prstih. Prosimo, dvignite roko in jo razprostrite v različne smeri palec, kazalec in srednji prst. To bodo vektorji, gledajo v različne smeri, imajo različne dolžine in imajo med seboj različne kote. Čestitamo, osnova tridimenzionalnega prostora je pripravljena! Mimogrede, tega vam učiteljem ni treba dokazovati, ne glede na to, kako zasukate prste, vendar se ne morete izogniti definicijam =)

Nato postavimo pomembno vprašanje, ali kateri koli trije vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora? Trdno pritisnite tri prste na mizo računalnika. Kaj se je zgodilo? Trije vektorji se nahajajo v isti ravnini in, grobo rečeno, smo izgubili eno od meritev - višino. Takšni vektorji so komplanarno in povsem očitno, da osnova tridimenzionalnega prostora ni ustvarjena.

Treba je opozoriti, da ni nujno, da so komplanarni vektorji v isti ravnini, lahko so v vzporednih ravninah (le tega ne delajte s prsti, le Salvador Dali je tako odletel =)).

Opredelitev: vektorji se imenujejo komplanarnoče obstaja ravnina, s katero so vzporedni. Tukaj je logično dodati, da če taka ravnina ne obstaja, potem vektorji ne bodo komplanarni.

Trije koplanarni vektorji so vedno linearno odvisni, se pravi, da so linearno izraženi drug skozi drugega. Zaradi preprostosti si spet predstavljajte, da ležijo v isti ravnini. Prvič, vektorji niso le komplanarni, ampak so lahko tudi kolinearni, potem je kateri koli vektor mogoče izraziti skozi kateri koli vektor. V drugem primeru, če na primer vektorji niso kolinearni, se tretji vektor izrazi skozi njih na edinstven način: (in zakaj je enostavno uganiti iz gradiva prejšnjega razdelka).

Velja tudi obratno: trije nekoplanarni vektorji so vedno linearno neodvisni, torej nikakor se ne izražata drug skozi drugega. In očitno lahko le takšni vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.

Opredelitev: Osnova tridimenzionalnega prostora se imenuje trojka linearno neodvisnih (nekomplanarnih) vektorjev, vzeti v določenem vrstnem redu, medtem ko kateri koli vektor prostora edina potširi v dani bazi , kjer so koordinate vektorja v dani bazi

Kot opomnik lahko rečete tudi, da je vektor predstavljen kot linearna kombinacija baznih vektorjev.

Koncept koordinatnega sistema je predstavljen na popolnoma enak način kot pri ravnini, zadostuje ena točka in kateri koli trije linearno neodvisni vektorji:

izvor, in nekoplanarno vektorji, vzeti v določenem vrstnem redu, set afini koordinatni sistem tridimenzionalnega prostora :

Seveda je koordinatna mreža "poševna" in neprijetna, a kljub temu zgrajeni koordinatni sistem omogoča, da vsekakor določite koordinate katerega koli vektorja in koordinate katere koli točke v prostoru. Podobno kot pri ravnini tudi v afinem koordinatnem sistemu prostora nekatere formule, ki sem jih že omenil, ne bodo delovale.

Najbolj znan in priročen poseben primer afinskega koordinatnega sistema, kot lahko vsak ugane, je pravokotni prostorski koordinatni sistem:

točka v prostoru imenovana izvor, in ortonormalno osnovni set Kartezijev koordinatni sistem prostora . znana slika:

Preden nadaljujemo s praktičnimi nalogami, ponovno sistematiziramo informacije:

Za tri vektorje prostora so naslednje izjave enakovredne:
1) vektorji so linearno neodvisni;
2) vektorji tvorijo osnovo;
3) vektorji niso komplanarni;
4) vektorjev ni mogoče linearno izraziti drug skozi drugega;
5) determinanta, sestavljena iz koordinat teh vektorjev, je različna od nič.

Mislim, da so nasprotne izjave razumljive.

Linearna odvisnost/neodvisnost vektorjev prostora se tradicionalno preverja z determinanto (točka 5). Preostale praktične naloge bodo izrazite algebraične narave. Čas je, da geometrijsko palico obesite na žebelj in mahnete z linearno algebrsko bejzbolsko palico:

Trije vektorji vesolja so komplanarni, če in samo če je determinanta, sestavljena iz koordinat danih vektorjev, enaka nič: .

Opozarjam vas na majhen tehnični odtenek: koordinate vektorjev lahko zapišete ne samo v stolpce, ampak tudi v vrstice (vrednost determinante se od tega ne bo spremenila - glejte lastnosti determinant). Je pa veliko bolje v stolpcih, saj je bolj koristno za reševanje nekaterih praktičnih problemov.

Za tiste bralce, ki ste malce pozabili metode za računanje determinant ali pa so morda sploh slabo orientirani, priporočam eno mojih najstarejših lekcij: Kako izračunati determinanto?

Primer 6

Preverite, ali naslednji vektorji tvorijo osnovo za tridimenzionalni prostor:

Odločitev: Pravzaprav se celotna rešitev spušča v izračun determinante.

a) Izračunaj determinanto, sestavljeno iz koordinat vektorjev (determinanta je razširjena v prvi vrstici):

, kar pomeni, da so vektorji linearno neodvisni (ne komplanarni) in tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.

Odgovori: ti vektorji tvorijo osnovo

b) To je točka za samostojno odločitev. Popolna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Obstajajo tudi ustvarjalne naloge:

Primer 7

Pri kateri vrednosti parametra bodo vektorji komplanarni?

Odločitev: Vektorji so komplanarni, če in samo če je determinanta, sestavljena iz koordinat danih vektorjev, enaka nič:

V bistvu je potrebno rešiti enačbo z determinanto. Letimo v ničle kot zmaji v jerboe - najbolj donosno je odpreti determinanto v drugi vrstici in se takoj znebiti minusov:

Izvedemo nadaljnje poenostavitve in zadevo reduciramo na najpreprostejšo linearno enačbo:

Odgovori: pri

Tukaj je enostavno preveriti, za to morate dobljeno vrednost nadomestiti v prvotni determinant in se prepričati, da tako, da ga ponovno odprete.

Za zaključek si oglejmo še en tipični problem, ki je bolj algebraične narave in je tradicionalno vključen v tečaj linearne algebre. To je tako pogosto, da si zasluži ločeno temo:

Dokaži, da 3 vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora
in poiščite koordinate 4. vektorja v dani bazi

Primer 8

Podani so vektorji. Pokažite, da vektorji tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora in poiščite koordinate vektorja v tej bazi.

Odločitev: Najprej se ukvarjajmo s stanjem. Po pogoju so podani štirje vektorji in, kot lahko vidite, že imajo koordinate v neki osnovi. Kaj je osnova - nas ne zanima. Zanimiva je naslednja stvar: trije vektorji lahko tvorijo novo osnovo. In prvi korak je popolnoma enak rešitvi primera 6, potrebno je preveriti, ali so vektorji res linearno neodvisni:

Izračunaj determinanto, sestavljeno iz koordinat vektorjev:

, zato so vektorji linearno neodvisni in tvorijo osnovo tridimenzionalnega prostora.

! Pomembno : vektorske koordinate nujno zapisati v stolpce determinanta, ne nizi. V nasprotnem primeru bo prišlo do zmede v algoritmu nadaljnje rešitve.