Navadni in decimalni ulomki ter operacije z njimi. Neskončni periodični ulomki

domov

vodnjaki

Zgodi se, da je za udobje izračunov potrebno pretvoriti navaden ulomek v decimalno in obratno. O tem, kako to storiti, bomo govorili v tem članku. Analizirali bomo pravila za pretvorbo navadnih ulomkov v decimalke in obratno ter podali primere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Upoštevali bomo pretvorbo navadnih ulomkov v decimalke, pri čemer se bomo držali določenega zaporedja. Najprej razmislite, kako se navadni ulomki z imenovalcem, ki je večkratnik 10, pretvorijo v decimalne številke: 10, 100, 1000 itd. Ulomki s takšnimi imenovalci so pravzaprav bolj okoren zapis decimalnih ulomkov.

Nato si bomo ogledali, kako navadne ulomke pretvoriti v decimalne ulomke s katerim koli imenovalcem, ne le z večkratnikom 10. Upoštevajte, da pri pretvorbi navadnih ulomkov v decimalne ulomke ne dobimo samo končnih decimalnih ulomkov, temveč tudi neskončno periodične decimalne ulomke.

Začnimo!

Prevod navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, 1000 itd. na decimalke

Najprej povejmo, da je treba nekatere ulomke nekaj pripraviti, preden jih pretvorimo v decimalno obliko. Kaj je to? Pred številom v števcu je treba dodati toliko ničel, da postane število števk v števcu enako številu ničel v imenovalcu. Na primer, za ulomek 3100 je treba število 0 dodati enkrat levo od 3 v števcu. Frakcije 610 v skladu z zgornjim pravilom ni treba izboljšati.

Razmislite o še enem primeru, po katerem oblikujemo pravilo, ki je sprva še posebej priročno za uporabo, medtem ko ni toliko izkušenj z ravnanjem z ulomki. Torej bo ulomek 1610000 po dodajanju ničel v števcu videti kot 001510000.

Kako prevesti navaden ulomek z imenovalcem 10, 100, 1000 itd. na decimalno?

Pravilo za pretvorbo navadnih pravih ulomkov v decimalke

Napišite 0 in za njo vstavite vejico.
Zapišemo število iz števca, ki se je izkazalo po dodajanju ničel.

Zdaj pa preidimo na primere.

Primer 1. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalke

Pretvorite navadni ulomek 39100 v decimalko.

Najprej pogledamo ulomek in vidimo, da niso potrebna nobena pripravljalna dejanja - število števk v števcu se ujema s številom ničel v imenovalcu.

Po pravilu zapiši 0 , za njo postavi decimalno vejico in zapiši število iz števca. Dobimo decimalni ulomek 0, 39.

Analizirajmo rešitev drugega primera na to temo.

Primer 2. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalke

Zapišimo ulomek 105 10000000 kot decimalni ulomek.

Število ničel v imenovalcu je 7, števec pa ima samo tri števke. Pred številko v števcu dodamo še 4 ničle:

0000105 10000000

Sedaj zapišemo 0 , za njo postavimo decimalno vejico in zapišemo število iz števca. Dobimo decimalni ulomek 0, 0000105.

Ulomki, obravnavani v vseh primerih, so navadni pravi ulomki. Toda kako pretvoriti nepravilen navadni ulomek v decimalko? Takoj povejmo, da priprava z dodajanjem ničel za takšne ulomke ni potrebna. Oblikujmo pravilo.

Pravilo za pretvorbo navadnih nepravilnih ulomkov v decimalke

Zapišemo število, ki je v števcu.
Z decimalno vejico ločimo toliko števk na desni, kolikor ničel je v imenovalcu prvotnega navadnega ulomka.

Spodaj je primer uporabe tega pravila.

Primer 3. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalne

Pretvorimo ulomek 56888038009 100000 iz navadnega nepravilnega v decimalni.

Najprej zapišite število iz števca:

Zdaj na desni ločimo pet števk z decimalno vejico (število ničel v imenovalcu je pet). Dobimo:

Naslednje vprašanje, ki se seveda pojavi, je, kako pretvoriti mešano število v decimalni ulomek, če je imenovalec njegovega ulomka število 10, 100, 1000 itd. Za pretvorbo v decimalni ulomek takega števila lahko uporabite naslednje pravilo.

Pravilo za pretvorbo mešanih števil v decimalke

Po potrebi pripravimo ulomek števila.
Zapišemo celo število prvotnega števila in za njim postavimo vejico.
Zapišemo število iz števca ulomka skupaj s pripisanimi ničlami.

Poglejmo si primer.

Primer 4. Pretvarjanje mešanih števil v decimalke

Pretvorite mešano število 23 17 10000 v decimalno.

V ulomku imamo izraz 17 10000. Pripravimo ga in dodamo še dve ničli levo od števca. Dobimo: 0017 10000 .

Zdaj zapišemo celo število števila in za njim postavimo vejico: 23,. .

Za vejico zapišemo število iz števnika skupaj z ničlami. Dobimo rezultat:

23 17 10000 = 23 , 0017

Pretvarjanje navadnih ulomkov v končne in neskončne periodične ulomke

Seveda lahko pretvorite v decimalne ulomke in navadne ulomke z imenovalcem, ki ni enak 10, 100, 1000 itd.

Pogosto lahko ulomek enostavno zmanjšamo na nov imenovalec in nato uporabimo pravilo, opisano v prvem odstavku tega članka. Na primer, dovolj je, da števec in imenovalec ulomka 25 pomnožimo z 2, in dobimo ulomek 410, ki ga zlahka zmanjšamo na decimalno obliko 0,4.

Vendar te metode pretvorbe navadnega ulomka v decimalko ni mogoče vedno uporabiti. Spodaj bomo razmislili, kaj storiti, če obravnavane metode ni mogoče uporabiti.

Bistveno nov način pretvorbe navadnega ulomka v decimalko je deljenje števca z imenovalcem s stolpcem. Ta operacija je zelo podobna deljenju naravnih števil s stolpcem, vendar ima svoje značilnosti.

Pri deljenju je števec predstavljen kot decimalni ulomek - desno od zadnje številke števca se postavi vejica in dodajo se ničle. V dobljenem količniku se decimalna vejica postavi, ko se konča deljenje celega dela števca. Kako natančno ta metoda deluje, bo jasno po preučitvi primerov.

Primer 5. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalke

Prevedimo navadni ulomek 621 4 v decimalno obliko.

Predstavimo število 621 iz števca kot decimalni ulomek in za decimalno vejico dodamo nekaj ničel. 621 = 621 00

Zdaj bomo stolpec 621, 00 razdelili na 4. Prvi trije koraki deljenja bodo enaki kot pri deljenju naravnih števil in dobimo.

Ko pridemo do decimalne vejice v dividendu in je ostanek različen od nič, vstavimo decimalno vejico v količnik in nadaljujemo z deljenjem, ne da bi bili več pozorni na vejico v dividendu.

Kot rezultat dobimo decimalni ulomek 155 , 25 , ki je rezultat inverzije navadnega ulomka 621 4

621 4 = 155 , 25

Razmislite o rešitvi drugega primera, da popravite snov.

Primer 6. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalke

Obrnimo navadni ulomek 21 800 .

Če želite to narediti, razdelite ulomek 21.000 na 800 v stolpec. Deljenje celega dela se bo končalo na prvem koraku, zato takoj za njim vstavimo decimalno vejico v količnik in nadaljujemo z deljenjem, ne upoštevamo vejice pri deljenem, dokler ne dobimo ostanka enakega nič.

Kot rezultat smo dobili: 21 800 = 0. 02625 .

A kaj, ko pri deljenju nikoli ne dobimo ostanka 0. V takšnih primerih lahko z deljenjem nadaljujemo v nedogled. Vendar se bodo ostanki od določenega koraka občasno ponavljali. V skladu s tem se bodo ponovile tudi številke v količniku. To pomeni, da se navadni ulomek prevede v decimalni neskončni periodični ulomek. Povedano ponazorimo s primerom.

Primer 7. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalke

Spremenimo navadni ulomek 1944 v decimalko. Če želite to narediti, izvedemo delitev s stolpcem.

Vidimo, da se pri deljenju ostanka 8 in 36 ponovita. Hkrati se v količniku ponovita števili 1 in 8. To je pika v decimalki. Pri pisanju so te številke v oklepaju.

Tako se prvotni navadni ulomek prevede v neskončni periodični decimalni ulomek.

19 44 = 0 , 43 (18) .

Imejmo nezmanjšani navadni ulomek. V kakšni obliki bo? Katere navadne ulomke pretvorimo v končne decimalke in katere v neskončne periodične?

Najprej recimo, da če je mogoče ulomek zmanjšati na enega od imenovalcev 10, 100, 1000 .., potem bo videti kot končni decimalni ulomek. Da se lahko ulomek skrči na enega od teh imenovalcev, mora biti njegov imenovalec delitelj vsaj enega od števil 10, 100, 1000 itd. Iz pravil razlaganja števil na prafaktorje sledi, da je delitelj števil 10, 100, 1000 itd. mora, ko ga razložimo na prafaktorje, vsebovati le števili 2 in 5.

Naj povzamemo povedano:

Navadni ulomek je mogoče zmanjšati na končni decimalni ulomek, če je njegov imenovalec mogoče razstaviti na prafaktorja 2 in 5.
Če so poleg števil 2 in 5 v razširitvi imenovalca še druga praštevila, se ulomek skrči na obliko neskončnega periodičnega decimalnega ulomka.

Vzemimo primer.

Primer 8. Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalne

Kateri od danih ulomkov 47 20, 7 12, 21 56, 31 17 pretvorimo v končni decimalni ulomek in katerega le v periodičnega. Na to vprašanje bomo odgovorili brez neposrednega pretvorbe navadnega ulomka v decimalko.

Kot zlahka vidite, se ulomek 47 20 z množenjem števca in imenovalca s 5 zmanjša na nov imenovalec 100 .

4720 = 235100. Iz tega sklepamo, da je ta ulomek preveden v končni decimalni ulomek.

Če razdelimo imenovalec ulomka 7 12 na faktorje, dobimo 12 = 2 2 3 . Ker je preprost faktor 3 drugačen od 2 in od 5, tega ulomka ni mogoče predstaviti kot končni decimalni ulomek, ampak bo imel obliko neskončnega periodičnega ulomka.

Ulomek 21 56, najprej morate zmanjšati. Po zmanjšanju za 7 dobimo nezmanjšani ulomek 3 8 , katerega imenovalec razširimo na faktorje in damo 8 = 2 · 2 · 2 . Zato je zaključna decimalka.

V primeru ulomka 31 17 je faktorizacija imenovalca samo praštevilo 17. V skladu s tem lahko ta ulomek pretvorimo v neskončni periodični decimalni ulomek.

Navadnega ulomka ni mogoče pretvoriti v neskončen in neponavljajoč se decimalni ulomek

Zgoraj smo govorili samo o končnih in neskončnih periodičnih ulomkih. Toda ali je mogoče vsak navaden ulomek pretvoriti v neskončen neperiodični ulomek?

Odgovorimo: ne!

Pomembno!

Ko neskončni ulomek pretvorite v decimalni ulomek, dobite bodisi končni decimalni ulomek bodisi neskončni periodični decimalni ulomek.

Ostanek deljenja je vedno manjši od delitelja. Z drugimi besedami, po izreku o deljivosti, če neko naravno število delimo s številom q, ostanek pri deljenju v nobenem primeru ne more biti večji od q-1. Po koncu delitve je možna ena od naslednjih situacij:

Dobimo ostanek 0 in tu se deljenje konča.
Dobimo ostanek, ki se ponovi pri naslednjem deljenju, posledično dobimo neskončni periodični ulomek.

Pri pretvarjanju navadnega ulomka v decimalko ne more biti drugih možnosti. Povejmo še, da je dolžina periode (število števk) v neskončnem periodičnem ulomku vedno manjša od števila števk v imenovalcu ustreznega navadnega ulomka.

Pretvarjanje decimalk v navadne ulomke

Zdaj je čas, da razmislimo o obratnem postopku pretvorbe decimalnega ulomka v navadnega. Oblikujmo pravilo prevajanja, ki vključuje tri stopnje. Kako pretvoriti decimalko v navadni ulomek?

Pravilo za pretvorbo decimalnih ulomkov v navadne ulomke

V števec zapišemo število iz prvotnega decimalnega ulomka, pri čemer zavržemo vejico in vse ničle na levi, če obstajajo.
V imenovalec zapišemo ena in za njo toliko ničel, kolikor je števk v prvotnem decimalnem ulomku za decimalno vejico.
Po potrebi zmanjšajte nastalo navadno frakcijo.

Razmislite o uporabi tega pravila s primeri.

Primer 8. Pretvarjanje decimalk v navadne

Predstavimo število 3, 025 kot navaden ulomek.

V števec zapišemo sam decimalni ulomek, vejico pa zavržemo: 3025.
V imenovalec zapišemo ena, za njo pa tri ničle - toliko števk je v prvotnem ulomku za decimalno vejico: 3025 1000.
Nastali ulomek 3025 1000 lahko zmanjšamo za 25 , tako da dobimo: 3025 1000 = 121 40 .

Primer 9. Pretvarjanje decimalk v navadne

Pretvorimo ulomek 0, 0017 iz decimalnega v navadnega.

V števec zapišemo ulomek 0, 0017, pri čemer zavržemo vejice in ničle na levi strani. Dobite 17.
V imenovalec vpišemo ena, za njo pa štiri ničle: 17 10000. Ta ulomek je nezmanjšljiv.

Če je v decimalnem ulomku celo število, potem lahko tak ulomek takoj pretvorimo v mešano število. Kako narediti?

Oblikujmo še eno pravilo.

Pravilo za pretvorbo decimalnih ulomkov v mešana števila.

Število do decimalne vejice zapišemo kot celo število mešanega števila.
V števec zapišemo število, ki je v ulomku za decimalno vejico, pri čemer zavržemo ničle na levi, če so.
V imenovalec ulomka dodamo eno in toliko ničel, kolikor je števk v ulomku za decimalno vejico.

Poglejmo si primer

Primer 10: Pretvarjanje decimalke v mešano število

Predstavimo ulomek 155, 06005 kot mešano število.

Število 155 zapišemo kot celo število.
V števcu zapišemo števila za decimalno vejico, ničlo zavržemo.
V imenovalec zapišemo ena in pet ničel

Poučevanje mešano število: 155 6005 100000

Ulomek lahko zmanjšamo za 5 . Zmanjšamo in dobimo končni rezultat:

155 , 06005 = 155 1201 20000

Pretvarjanje neskončnih ponavljajočih se decimalk v navadne ulomke

Oglejmo si primere, kako periodične decimalne ulomke prevesti v navadne. Preden začnemo, pojasnimo: vsak periodični decimalni ulomek je mogoče pretvoriti v navadnega.

Najenostavnejši primer je, da je obdobje ulomka nič. Periodični ulomek s periodo nič se nadomesti s končnim decimalnim ulomkom, postopek obračanja takega ulomka pa se zmanjša na obračanje končnega decimalnega ulomka.

Primer 11. Pretvarjanje periodične decimalke v navadni ulomek

Obrnimo periodični ulomek 3, 75 (0) .

Če spustimo ničle na desni, dobimo končni decimalni ulomek 3, 75.

Če ta ulomek pretvorimo v navadnega v skladu z algoritmom, obravnavanim v prejšnjih odstavkih, dobimo:

3 , 75 (0) = 3 , 75 = 375 100 = 15 4 .

Kaj pa, če je obdobje ulomka različno od nič? Periodični del je treba obravnavati kot vsoto členov geometrijske progresije, ki pada. Razložimo to s primerom:

0 , (74) = 0 , 74 + 0 , 0074 + 0 , 000074 + 0 , 00000074 + . .

Obstaja formula za vsoto členov neskončne padajoče geometrijske progresije. Če je prvi člen napredovanja b in je imenovalec q tak, da je 0< q < 1 , то сумма равна b 1 - q .

Oglejmo si nekaj primerov z uporabo te formule.

Primer 12. Pretvarjanje periodične decimalke v navadni ulomek

Recimo, da imamo periodični ulomek 0, (8) in ga moramo pretvoriti v navadnega.

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . .

Tu imamo neskončno padajočo geometrijsko progresijo s prvim členom 0, 8 in imenovalcem 0, 1.

Uporabimo formulo:

0 , (8) = 0 , 8 + 0 , 08 + 0 , 008 + . . = 0 , 8 1 - 0 , 1 = 0 , 8 0 , 9 = 8 9

To je želeni navadni ulomek.

Za utrjevanje gradiva si oglejmo še en primer.

Primer 13. Pretvorba periodične decimalke v navadno

Obrnite ulomek 0 , 43 (18) .

Najprej zapišemo ulomek kot neskončno vsoto:

0 , 43 (18) = 0 , 43 + (0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . .)

Upoštevajte izraze v oklepajih. To geometrijsko progresijo lahko predstavimo na naslednji način:

0 , 0018 + 0 , 000018 + 0 , 00000018 . . = 0 , 0018 1 - 0 , 01 = 0 , 0018 0 , 99 = 18 9900 .

Dobljeni ulomek prištejemo končnemu ulomku 0, 43 \u003d 43 100 in dobimo rezultat:

0 , 43 (18) = 43 100 + 18 9900

Po seštevanju teh ulomkov in zmanjševanju dobimo končni odgovor:

0 , 43 (18) = 19 44

Na koncu tega članka bomo povedali, da neperiodičnih neskončnih decimalnih ulomkov ni mogoče pretvoriti v navadne ulomke.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

§ 114. Pretvarjanje navadnega ulomka v decimalni.

Pretvarjanje navadnega ulomka v decimalni pomeni iskanje decimalnega ulomka, ki bi bil enak danemu navadnemu ulomku. Pri pretvorbi navadnih ulomkov v decimalke bomo naleteli na dva primera:

1), ko je navadne ulomke mogoče pretvoriti v decimalke točno;

2) ko je navadne ulomke mogoče pretvoriti samo v decimalke približno. Razmislimo o teh primerih zaporedno.

1. Kako navadni nezmanjšani ulomek pretvoriti v decimalni ali z drugimi besedami, kako navadni ulomek nadomestiti z njemu enakim decimalnim ulomkom?

V primeru, ko so navadni ulomki lahko točno pretvorjeno v decimalno, obstaja dva načina taka pritožba.

Spomnimo se, kako zamenjati en ulomek z drugim, enakim prvemu, ali kako preiti iz enega ulomka v drugega, ne da bi spremenili vrednost prvega. To smo storili, ko smo ulomke zreducirali na skupni imenovalec (§86). Ko ulomke skrčimo na skupni imenovalec, postopamo takole: tem ulomkom poiščemo skupni imenovalec, za vsak ulomek izračunamo dodaten faktor in nato števec in imenovalec vsakega ulomka pomnožimo s tem faktorjem.

Ko smo to opazili, vzemimo nezmanjšani ulomek 3/20 in ga poskusimo pretvoriti v decimalko. Imenovalec tega ulomka je 20 in ga morate prenesti na drug imenovalec, ki bi bil predstavljen z enoto z ničlami. Poiskali bomo najmanjši imenovalec, izražen z enico, ki ji sledijo ničle.

Prvi način pretvorba navadnega ulomka v decimalni temelji na razgradnji imenovalca na enostavne faktorje.

Ugotoviti je treba, s katerim številom je treba pomnožiti 20, da bo zmnožek izražen z ena z ničlami. Če želite to ugotoviti, se morate najprej spomniti, na katere prafaktorje se razgradijo števila, ki jih predstavlja ena z ničlami. Tukaj so razčlenitve:

10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.

Vidimo, da je število, ki ga predstavlja enota z ničlami, razčlenjeno samo na dvojke in petice, drugih faktorjev pa pri razgradnji ni. Poleg tega dvojke in petice vstopijo v razširitev v istem številu. In končno, število teh in drugih dejavnikov posebej je enako številu ničel za enico v podobi danega števila.

Zdaj pa poglejmo, kako se 20 razgradi na prafaktorje: 20 \u003d 2 2 5. To kaže, da sta v razširitvi števila 20 dve dvojki in ena petica. Torej, če tem faktorjem dodamo eno petico, bomo dobili število, ki ga predstavlja enota z ničlami. Z drugimi besedami, da bi imenovalec dobil število, ki ga namesto števila 20 predstavlja ena z ničlami, morate 20 pomnožiti s 5, in da se vrednost ulomka ne spremeni, morate pomnožiti s 5 in njegov števec, tj.

Torej, da bi navaden ulomek spremenili v decimalni, morate imenovalec tega navadnega ulomka razstaviti na preproste faktorje in nato izenačiti število dvojk in petic v njem, vnesti vanj (in seveda v števec ) manjkajoče faktorje v zahtevanem številu.

Uporabimo to izpeljavo za nekatere ulomke.

Pretvori v decimalno 3/50. Imenovalec tega ulomka se razširi na naslednji način:

To pomeni, da mu manjka ena dvojka. Dodajmo ga:

Pretvori v decimalno 7/40.

Imenovalec tega ulomka se razgradi na naslednji način: 40 \u003d 2 2 2 5, to je, da v njem manjkata dve petici. Vstavimo jih v števec in imenovalec kot faktorje:

Iz povedanega ni težko sklepati, kateri navadni ulomki se natančno spreminjajo v decimalke. Povsem očitno je, da se nezmanjšani navadni ulomek, katerega imenovalec ne vsebuje nobenih drugih prafaktorjev razen 2 in 5, natančno spremeni v decimalko. Decimalni ulomek, ki ga dobimo z inverzijo nekega navadnega ulomka, bo imel toliko decimalnih mest, kolikokrat imenovalec navadnega ulomka po njegovem zmanjšanju vključuje številčno prevladujoči faktor 2 ali 5.

Če vzamemo ulomek 9/40, se bo najprej spremenil v decimalko, ker njen imenovalec vključuje faktorje 2 2 2 5, in drugič, dobljeni decimalni ulomek bo imel 3 decimalna mesta, ker številčno prevladujoči faktor 2 vstopi razširitev trikrat. Vsekakor:

Drugi način(z deljenjem števca z imenovalcem).

Naj bo potrebno pretvoriti v decimalni ulomek 3/4. Vemo, da je 3/4 količnik 3, deljen s 4. Ta količnik lahko najdemo tako, da 3 delimo s 4. Naredimo to:

Torej 3/4 = 0,75.

Še en primer: pretvorite 5/8 v decimalno število.

Torej 5/8 = 0,625.

Torej, za pretvorbo navadnega ulomka v decimalko je dovolj, da števec navadnega ulomka delimo z imenovalcem.

2. Razmislimo zdaj o drugem od primerov, navedenih na začetku odstavka, tj. o primeru, ko navadnega ulomka ni mogoče pretvoriti v točno decimalko.

Navaden nezmanjšani ulomek, katerega imenovalec vsebuje kateri koli prafaktor, razen 2 in 5, se ne more natančno spremeniti v decimalko. Dejansko na primer ulomek 8/15 ne more biti decimalni, saj je njegov imenovalec 15 razstavljen na dva faktorja: 3 in 5.

Trojnika ne moremo izključiti iz imenovalca in ne moremo izbrati takega celega števila, da bo zmnožek po množenju danega imenovalca z njim izražen kot enota z ničlami.

V takih primerih je mogoče govoriti samo o približna pretvorba navadne ulomke v decimalke.

Kako se to naredi? To naredimo tako, da števec navadnega ulomka delimo z imenovalcem, torej v tem primeru uporabimo drugo metodo pretvorbe navadnega ulomka v decimalno. To pomeni, da se ta metoda uporablja tako za natančno kot za približno inverzijo.

Če navadni ulomek natančno pretvorimo v decimalni, dobimo končni decimalni ulomek z deljenjem.

Če se navadni ulomek ne spremeni v natančen decimalni ulomek, dobimo z deljenjem neskončni decimalni ulomek.

Ker ne moremo izvesti neskončnega procesa deljenja, moramo deljenje ustaviti na nekem decimalnem mestu, torej opraviti približno deljenje. Deljenje lahko na primer ustavimo na prvi decimalki, torej se omejimo na desetinke; če je treba, se lahko ustavimo na drugem decimalnem mestu, dobimo stotinke itd. V teh primerih rečemo, da zaokrožujemo neskončen decimalni ulomek. Zaokroževanje se izvede z natančnostjo, ki je potrebna za rešitev tega problema.

§ 115. Koncept periodičnega ulomka.

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se ena ali več števk vedno ponavlja v istem zaporedju, imenujemo periodični decimalni ulomek. Na primer:

0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...

Zbirka ponavljajočih se številk se imenuje obdobje ta ulomek. Perioda prvega izmed zgoraj zapisanih ulomkov je 3, perioda drugega ulomka je 12, perioda tretjega ulomka je 234. To pomeni, da je lahko obdobje sestavljeno iz več števk - ena, dve, tri itd. Prvi niz ponavljajočih se števil imenujemo prva perioda, drugi celota - druga perioda itd., tj.

Periodične frakcije so čiste in mešane. Periodični ulomek se imenuje čisti, če se njegovo obdobje začne takoj za decimalno vejico. To pomeni, da bodo zgoraj napisani periodični ulomki čisti. Nasprotno pa se periodični ulomek imenuje mešani, če ima med decimalno vejico in prvo piko eno ali več števk, ki se ne ponavljajo, na primer:

2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160

Če želite skrajšati črko, lahko številke obdobja napišete enkrat v oklepaju in ne postavljate elipse za oklepajem, to je namesto 0,33 ... lahko napišete 0, (3); namesto 2,515151... lahko napišete 2,(51); namesto 0,2333... lahko napišete 0,2(3); namesto 0,8333... lahko napišeš 0,8(3).

Periodični ulomki se berejo takole:

0,(3) - 0 celih števil, 3 v obdobju.

7,2(3) - 7 celih števil, 2 pred piko, 3 v piki.

5,00(17) - 5 celih števil, dve ničli pred piko, 17 v piki.

Kako nastanejo periodični ulomki? Videli smo že, da lahko pri pretvarjanju navadnih ulomkov v decimalke obstajata dva primera.

Prvič, imenovalec navadnega nezmanjšanega ulomka ne vsebuje drugih faktorjev razen 2 in 5; v tem primeru se navadni ulomek spremeni v končno decimalko.

Drugič, imenovalec navadnega nezmanjšanega ulomka vsebuje vse preproste faktorje razen 2 in 5; v tem primeru se navadni ulomek ne spremeni v končno decimalko. V tem zadnjem primeru, ko poskušate navadni ulomek pretvoriti v decimalno tako, da števec delite z imenovalcem, dobite neskončen ulomek, ki bo vedno periodičen.

Da bi to videli, si oglejmo primer. Poskusimo pretvoriti ulomek - 18/7 v decimalko.

Seveda vnaprej vemo, da se ulomek s takim imenovalcem ne more spremeniti v končno decimalko in govorimo le o približni pretvorbi. Števec 18 delite z imenovalcem 7.

Dobili smo osem decimalnih mest v količniku. Delitve ni treba nadaljevati naprej, ker je tako ali tako ne bo konec. Toda iz tega je razvidno, da lahko deljenje nadaljujemo v nedogled in tako dobimo nova števila v količniku. Te nove številke se bodo pojavile, ker bomo ves čas dobivali ostanke; vendar noben ostanek ne more biti večji od delitelja, ki ga imamo 7.

Poglejmo, kakšne ostanke smo imeli: 4; 5; ena; 3; 2; b, to je bila števila, manjša od 7. Očitno jih ne more biti več kot šest in jih bo ob nadaljnjem nadaljevanju deljenja treba ponavljati, za njimi pa se bodo ponavljala števila količnika. Zgornji primer potrjuje to idejo: decimalna mesta v zasebnem gredo v tem vrstnem redu: 571428, nato pa so se spet pojavile številke 57. Prvo obdobje smo torej končali in začenja se drugo.

V to smer, neskončna decimalka, ki izhaja iz obračanja navadnega ulomka, bo vedno periodična.

Če se pri reševanju problema pojavi periodični ulomek, se ga vzame z natančnostjo, ki jo zahteva pogoj problema (do desetinke, do stotinke, do tisočinke itd.).

§ 116. Skupne operacije z navadnimi in decimalnimi ulomki.

Pri reševanju različnih nalog se bomo srečali s takšnimi primeri, ko so v nalogi tako navadni kot decimalni ulomki.

V teh primerih lahko greste na različne načine.

1. Pretvori vse ulomke v decimalke. To je priročno, ker je računanje z decimalkami lažje kot z običajnimi. na primer

Pretvorite ulomke 3/4 in 1 1/5 v decimalke:

2. Pretvori vse ulomke v navadne ulomke. Najpogosteje se to naredi v primerih, ko obstajajo navadni ulomki, ki se ne pretvorijo v končne decimalke.

na primer

Pretvarjanje decimalk v navadne ulomke:

3. Izračuni se izvajajo brez pretvarjanja nekaterih ulomkov v druge.

To je še posebej uporabno, če primer vključuje samo množenje in deljenje. na primer

Prepišimo primer takole:

4. V nekaterih primerih pretvori vse navadne ulomke v decimalke(tudi tistih, ki postanejo periodični) in poiščite približen rezultat. na primer

Spremenimo 2/3 v decimalni ulomek, omejen na tisočinke.

Periodični ulomek

neskončni decimalni ulomek, v katerem je od določenega mesta le periodično ponavljajoča se skupina števk. Na primer, 1,3181818 ...; skratka, ta ulomek je napisan takole: 1,3 (18), to pomeni, da so piko postavili v oklepaj (in rekli: "18 v obdobju"). P.D. se imenuje čista, če se pika začne takoj za decimalno vejico, na primer 2(71) = 2,7171 ..., in mešana, če so za decimalno vejico pred piko števke, na primer 1,3(18). Vloga P. d. v aritmetiki je posledica dejstva, da pri predstavitvi racionalnih števil, to je navadnih (preprostih) ulomkov, z decimalnimi ulomki vedno dobimo bodisi končne bodisi periodične ulomke. Natančneje: končni decimalni ulomek dobimo, če imenovalec nezmanjšanega preprostega ulomka ne vsebuje drugih prafaktorjev razen 2 in 5; v vseh drugih primerih dobimo P.D., poleg tega pa čisto, če imenovalec danega nezmanjšanega ulomka sploh ne vsebuje faktorjev 2 in 5, in mešano, če je vsaj eden od teh faktorjev vsebovan v imenovalcu. Vsak P. d. je mogoče pretvoriti v preprost ulomek (to je, da je enak nekemu racionalnemu številu). Čisti P. d. je enak preprostemu ulomku, katerega števec je obdobje, imenovalec pa predstavlja število 9, zapisano tolikokrat, kolikor je števk v obdobju; pri pretvorbi v preprost ulomek mešanega P. d. je števec razlika med številom, ki ga predstavljajo števila pred drugo periodo, in številom, ki ga predstavljajo števila pred prvo periodo; za sestavljanje imenovalca morate število 9 napisati tolikokrat, kolikor je števk v obdobju, in pripisati toliko ničel na desno stran, kolikor je števk pred obdobjem. Ta pravila predvidevajo, da je dani P. d. pravilen, to pomeni, da ne vsebuje celih enot; sicer se celoštevilski del upošteva posebej.

Znana so tudi pravila za določanje dolžine periode P.D., ki ustreza danemu navadnemu ulomku. Na primer za ulomek a/str, kje R - praštevilo in 1 ≤ a ≤ p- 1 je dolžina obdobja delitelj R - 1. Torej, za znane približke števila (glej Pi) 22/7 in 355/113 je obdobje 6 oziroma 112.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Sopomenke:

Oglejte si, kaj je "periodični ulomek" v drugih slovarjih:

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se od določenega mesta periodično ponavlja določena skupina števk (pika), npr. 0,373737... čisti periodični ulomek ali 0,253737... mešani periodični ulomek... Veliki enciklopedični slovar

Ulomek, neskončni ulomek Slovar ruskih sinonimov. periodični ulomek št., število sinonimov: 2 neskončni ulomek (2) ... Slovar sinonimov

Decimalka, katere število števk se ponavlja v istem vrstnem redu. Na primer, 0,135135135… je p.p., katerega perioda je 135 in je enaka preprostemu ulomku 135/999 = 5/37. Slovar tujih besed, vključenih v ruski jezik. Pavlenkov F ... Slovar tujih besed ruskega jezika

Decimalka je ulomek z imenovalcem 10n, kjer je n naravno število. Ima poseben zapis: celo število v decimalnem številskem sistemu, nato vejica in nato ulomek v decimalnem številskem sistemu ter število števk ulomljenega dela ... Wikipedia

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se, začenši z določenega mesta, periodično ponavlja določena skupina števk (pika); na primer 0,373737... čisti periodični ulomek ali 0,253737... mešani periodični ulomek. * * * PERIODIČNO… … enciklopedični slovar

Neskončni decimalni ulomek, v katerem se, začenši z določenega mesta, periodično ponavlja definicija. skupina števil (pika); npr. 0,373737 ... čisti P. d. ali 0,253737 ... mešani P. d ... Naravoslovje. enciklopedični slovar

Glej del ... Slovar ruskih sinonimov in izrazov, podobnih po pomenu. Spodaj. izd. N. Abramova, M .: Ruski slovarji, 1999. ulomek, malenkost, del; dunst, krogla, zdrob, krogla; delno število Slovar ruskih sinonimov ... Slovar sinonimov

periodična decimalka- - [L.G. Sumenko. Angleško-ruski slovar informacijskih tehnologij. M .: GP TsNIIS, 2003.] Teme informacijska tehnologija na splošno EN obtočna decimalna ponavljajoča se decimalna periodična decimalna periodična decimalna periodična decimalna ... Priročnik tehničnega prevajalca

Če je neko celo število a deljivo z drugim celim številom b, tj. iščemo število x, ki izpolnjuje pogoj bx = a, lahko pride do dveh primerov: ali je v nizu celih števil število x, ki izpolnjuje ta pogoj, ali se izkaže, ... ... Enciklopedični slovar F.A. Brockhaus in I.A. Efron

Ulomek, katerega imenovalec je celoštevilska potenca števila 10. D.d., zapišemo brez imenovalca, tako da v števcu na desni z vejico ločimo toliko števk, kolikor ničel je v imenovalcu. Na primer, v takem zapisu je del na levi ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Že v osnovni šoli se učenci soočajo z ulomki. In potem se pojavijo v vsaki temi. Nemogoče je pozabiti dejanj s temi številkami. Zato morate poznati vse informacije o navadnih in decimalnih ulomkih. Ti koncepti so preprosti, glavna stvar je razumeti vse v redu.

Zakaj so potrebni ulomki?

Svet okoli nas je sestavljen iz celih predmetov. Zato delnice niso potrebne. Toda vsakdanje življenje nenehno potiska ljudi k delu z deli predmetov in stvari.

Na primer, čokolada je sestavljena iz več rezin. Razmislite o situaciji, ko njeno ploščico tvori dvanajst pravokotnikov. Če ga razdelite na dvoje, dobite 6 delov. Dobro bo razdeljen na tri. Toda petica ne bo mogla dati celega števila rezin čokolade.

Mimogrede, te rezine so že ulomki. In njihova nadaljnja delitev vodi do pojava bolj zapletenih števil.

Kaj je "ulomek"?

To je število, sestavljeno iz delov enega. Navzven je videti kot dve številki, ločeni z vodoravno ali poševnico. Ta funkcija se imenuje frakcijska. Število, ki je napisano zgoraj (levo), se imenuje števec. Tisti spodaj (desno) je imenovalec.

Pravzaprav se izkaže, da je črtica z ulomki znak delitve. To pomeni, da števec lahko imenujemo dividenda, imenovalec pa delitelj.

Kaj so ulomki?

V matematiki jih poznamo samo dve vrsti: navadni in decimalni ulomki. Šolarji se s prvimi seznanijo v osnovnih razredih in jih preprosto imenujejo "ulomki". Drugi se učijo v 5. razredu. Takrat se pojavijo ta imena.

Navadni ulomki so vsi tisti, ki so zapisani kot dve števili, ločeni s črto. Na primer 4/7. Decimalka je število, pri katerem ima ulomek položajni zapis in je od celega števila ločen z vejico. Na primer, 4.7. Učencem mora biti jasno, da sta podana primera popolnoma različni številki.

Vsak preprost ulomek lahko zapišemo kot decimalko. Ta izjava skoraj vedno drži tudi obratno. Obstajajo pravila, ki vam omogočajo, da decimalni ulomek zapišete kot navaden ulomek.

Katere podvrste imajo te vrste ulomkov?

Bolje je začeti v kronološkem vrstnem redu, saj se preučujejo. Navadni ulomki so na prvem mestu. Med njimi je mogoče razlikovati 5 podvrst.

Pravilno. Njegov števec je vedno manjši od imenovalca.

Narobe. Njegov števec je večji ali enak imenovalcu.

Zmanjšati / nezmanjšati. Lahko je prav ali narobe. Pomembno je še to, ali imata števec in imenovalec skupne faktorje. Če obstajajo, potem naj bi razdelili oba dela ulomka, torej zmanjšali.

Mešano. Celo število je pripisano njegovemu običajnemu pravilnemu (nepravilnemu) ulomku. In vedno stoji na levi strani.

Sestavljeno. Nastane iz dveh frakcij, razdeljenih druga na drugo. To pomeni, da ima tri delne lastnosti hkrati.

Decimalke imajo samo dve podvrsti:

končni, to je tisti, v katerem je delni del omejen (ima konec);

neskončno - število, katerega števke za decimalno vejico se ne končajo (lahko jih pišemo neskončno).

Kako pretvoriti decimalko v navadno?

Če je to končno število, potem velja povezava po pravilu - kakor slišim, tako pišem. To pomeni, da ga morate pravilno prebrati in zapisati, vendar brez vejice, vendar z ulomkom.

Kot namig glede zahtevanega imenovalca si zapomnite, da je vedno ena in nekaj ničel. Slednjih je treba zapisati toliko, kolikor je števk v ulomku zadevnega števila.

Kako pretvoriti decimalne ulomke v navadne, če njihov cel del manjka, to je enak nič? Na primer 0,9 ali 0,05. Po uporabi navedenega pravila se izkaže, da morate napisati nič celih števil. Vendar ni navedeno. Ostaja, da zapišemo le ulomke. Za prvo številko bo imenovalec 10, za drugo - 100. To pomeni, da bodo navedeni primeri imeli številke kot odgovore: 9/10, 5/100. Poleg tega se izkaže, da je slednje mogoče zmanjšati za 5. Zato mora biti rezultat zanj zapisan 1/20.

Kako iz decimalke narediti navaden ulomek, če je njegov celi del različen od nič? Na primer 5,23 ali 13,00108. Oba primera prebereta celoštevilski del in zapišeta njegovo vrednost. V prvem primeru je to 5, v drugem 13. Nato se morate premakniti na delni del. Z njimi je potrebno izvesti isto operacijo. Prvo število ima 23/100, drugo 108/100000. Drugo vrednost je treba ponovno zmanjšati. Odgovor je mešani ulomek: 5 23/100 in 13 27/25000.

Kako pretvoriti neskončno decimalko v navadni ulomek?

Če je neperiodična, potem takšne operacije ni mogoče izvesti. To dejstvo je posledica dejstva, da se vsak decimalni ulomek vedno pretvori v končni ali periodični.

Edina stvar, ki jo je dovoljeno narediti s takim ulomkom, je, da ga zaokrožimo. Ampak potem bo decimalka približno enaka tej neskončnosti. Lahko se že spremeni v navadnega. Toda obratni postopek: pretvorba v decimalko - ne bo nikoli dala začetne vrednosti. To pomeni, da se neskončni neperiodični ulomki ne prevedejo v navadne ulomke. To si je treba zapomniti.

Kako zapisati neskončni periodični ulomek v obliki navadnega?

V teh številkah se za decimalno vejico vedno pojavi ena ali več števk, ki se ponavljajo. Imenujejo se obdobja. Na primer 0,3(3). Tukaj "3" v obdobju. Uvrščamo jih med racionalne, saj jih je mogoče pretvoriti v navadne ulomke.

Tisti, ki so se srečali s periodičnimi ulomki, vedo, da so lahko čisti ali mešani. V prvem primeru se pika začne takoj od vejice. V drugem se ulomek začne s poljubnimi številkami, nato pa se začne ponavljanje.

Pravilo, po katerem morate zapisati neskončno decimalko v obliki navadnega ulomka, bo za ti dve vrsti števil drugačno. Čiste periodične ulomke je precej enostavno zapisati kot navadne ulomke. Tako kot končne jih je treba pretvoriti: piko vpišemo v števec in število 9 bo imenovalec, ki se ponovi tolikokrat, kolikor je števk v obdobju.

Na primer 0,(5). Številka nima celega dela, zato morate takoj nadaljevati z delnim delom. V števec zapišite 5, v imenovalec pa 9. To pomeni, da bo odgovor ulomek 5/9.

Pravilo, kako zapisati navadni decimalni ulomek, ki je mešani ulomek.

Poglejte dolžino obdobja. Toliko 9 bo imelo imenovalec.

Zapišite imenovalec: najprej devetice, nato ničle.

Če želite določiti števec, morate zapisati razliko dveh števil. Vse števke za decimalno vejico bodo zmanjšane skupaj s piko. Odštevanje - je brez točke.

Na primer 0,5(8) - periodični decimalni ulomek zapišite kot navadni ulomek. Ulomek pred piko je ena številka. Torej bo nič ena. V obdobju je tudi samo ena cifra - 8. Se pravi, samo ena devetica. To pomeni, da morate v imenovalec napisati 90.

Če želite določiti števec od 58, morate odšteti 5. Izkaže se 53. Na primer, kot odgovor boste morali napisati 53/90.

Kako se navadni ulomki pretvorijo v decimalke?

Najenostavnejša možnost je število, katerega imenovalec je število 10, 100 itd. Nato se imenovalec preprosto zavrže, med ulomki in celo število pa se postavi vejica.

Obstajajo situacije, ko se imenovalec zlahka spremeni v 10, 100 itd. Na primer številke 5, 20, 25. Dovolj je, da jih pomnožite z 2, 5 oziroma 4. Samo imenovalec, ampak tudi števec je treba pomnožiti z istim številom.

Za vse ostale primere pa bo prav prišlo preprosto pravilo: števec delite z imenovalcem. V tem primeru lahko dobite dva odgovora: končni ali periodični decimalni ulomek.

Operacije z navadnimi ulomki

Seštevanje in odštevanje

Dijaki jih spoznajo prej kot drugi. In sprva imajo ulomki enake imenovalce, nato pa različne. Splošna pravila se lahko zmanjšajo na tak načrt.

Poiščite najmanjši skupni večkratnik imenovalcev.

Vsem navadnim ulomkom dopiši faktorje.

Pomnožite števce in imenovalce s faktorji, ki so zanje definirani.

Števce ulomkov seštejte (odštejte), skupni imenovalec pa pustite nespremenjen.

Če je števec manjšega manjši od subtrahenda, potem morate ugotoviti, ali imamo mešano število ali pravi ulomek.

V prvem primeru mora celo število vzeti eno. Števcu ulomka dodajte imenovalec. In nato naredite odštevanje.

V drugem - je treba uporabiti pravilo odštevanja od manjšega števila do večjega. To pomeni, da odštejemo modul minuenda od modula subtrahenda in kot odgovor postavimo znak »-«.

Pozorno si oglejte rezultat seštevanja (odštevanja). Če dobite nepravilen ulomek, potem naj bi izbrali cel del. To pomeni, da števec delite z imenovalcem.

Množenje in deljenje

Za njihovo izvedbo ulomkov ni treba reducirati na skupni imenovalec. Tako je lažje ukrepati. Še vedno pa morajo upoštevati pravila.

Pri množenju navadnih ulomkov je treba upoštevati številke v števcih in imenovalcih. Če imata katerikoli števec in imenovalec skupni faktor, ju je mogoče zmanjšati.

Pomnoži števnike.

Pomnožite imenovalce.

Če dobite zmanjšljiv ulomek, ga je treba znova poenostaviti.

Pri deljenju je treba deljenje najprej zamenjati z množenjem, delitelj (drugi ulomek) pa z recipročnim (števec in imenovalec zamenjati).

Nato nadaljujte kot pri množenju (začenši od točke 1).

Pri nalogah, kjer je treba množiti (deliti) s celim številom, naj bi bilo slednje zapisano kot nepravi ulomek. To je z imenovalcem 1. Nato nadaljujte, kot je opisano zgoraj.

Operacije z decimalkami

Seštevanje in odštevanje

Seveda lahko decimalko vedno pretvorite v navaden ulomek. In ukrepajte po že opisanem načrtu. Toda včasih je bolj priročno delovati brez tega prevoda. Potem bodo pravila za njihovo seštevanje in odštevanje popolnoma enaka.

Izenačite število števk v ulomku števila, to je za decimalno vejico. Priredi mu manjkajoče število ničel.

Ulomke zapiši tako, da bo vejica pod vejico.

Seštevamo (odštevamo) kot naravna števila.

Odstranite vejico.

Množenje in deljenje

Pomembno je, da tukaj ni treba dodajati ničel. Ulomke naj bi pustili tako, kot so podani v primeru. In potem pojdite po načrtu.

Za množenje morate ulomke pisati enega pod drugim, ne da bi bili pozorni na vejice.

Množite kot naravna števila.

V odgovor vstavite vejico in odštejte od desnega konca odgovora toliko števk, kolikor jih je v ulomkih obeh faktorjev.

Če želite deliti, morate najprej pretvoriti delitelj: naj bo naravno število. To pomeni, da ga pomnožite z 10, 100 itd., odvisno od tega, koliko števk je v delčku delitelja.

Pomnožite dividendo z istim številom.

Decimalko delite z naravnim številom.

V odgovor vstavi vejico v trenutku, ko se konča delitev celega dela.

Kaj pa, če sta v enem primeru obe vrsti ulomkov?

Da, v matematiki pogosto obstajajo primeri, v katerih morate izvajati operacije na navadnih in decimalnih ulomkih. Obstajata dve možni rešitvi teh težav. Številke morate objektivno pretehtati in izbrati najboljšo.

Prvi način: predstavlja navadne decimalke

Primerno je, če pri deljenju ali pretvarjanju dobimo končne frakcije. Če vsaj ena številka daje periodični del, potem je ta tehnika prepovedana. Torej, tudi če vam ni všeč delo z navadnimi ulomki, jih boste morali prešteti.

Drugi način: decimalne ulomke zapišite kot navadne

Ta tehnika je primerna, če sta v delu za decimalno vejico 1-2 števki. Če jih je več, se lahko izkaže zelo velik navadni ulomek in decimalni zapisi vam bodo omogočili hitrejši in lažji izračun naloge. Zato je vedno treba trezno oceniti nalogo in izbrati najpreprostejši način rešitve.

V tem članku bomo analizirali, kako pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalke, in upoštevajte tudi obratni postopek - pretvorbo decimalnih ulomkov v navadne ulomke. Tukaj bomo izrazili pravila za obračanje ulomkov in podali podrobne rešitve tipičnih primerov.

Navigacija po straneh.

Pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalke

Označimo zaporedje, v katerem bomo obravnavali pretvarjanje navadnih ulomkov v decimalke.

Najprej si bomo ogledali, kako navadne ulomke z imenovalci 10, 100, 1000, ... predstavimo kot decimalne ulomke. To je zato, ker so decimalni ulomki v bistvu kompaktna oblika navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ....

Nato bomo šli še dlje in pokazali, kako lahko vsak navadni ulomek (ne le z imenovalci 10, 100, ...) zapišemo kot decimalni ulomek. S to pretvorbo navadnih ulomkov dobimo tako končne decimalne ulomke kot neskončne periodične decimalne ulomke.

Zdaj o vsem po vrsti.

Pretvarjanje navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ... v decimalne ulomke

Nekateri navadni ulomki potrebujejo "predhodno pripravo" pred pretvorbo v decimalke. To velja za navadne ulomke, katerih število števcev je manjše od števila ničel v imenovalcu. Na primer, navadni ulomek 2/100 je treba najprej pripraviti za pretvorbo v decimalni ulomek, ulomka 9/10 pa ni treba pripraviti.

"Predhodna priprava" pravilnih navadnih ulomkov za pretvorbo v decimalne ulomke je sestavljena iz dodajanja toliko ničel na levo v števcu, tako da skupno število števk tam postane enako številu ničel v imenovalcu. Na primer, ulomek po dodajanju ničel bo videti kot .

Ko pripravite pravilen navadni ulomek, ga lahko začnete pretvarjati v decimalni ulomek.

Dajmo pravilo za pretvorbo pravilnega navadnega ulomka z imenovalcem 10, ali 100, ali 1000, ... v decimalni ulomek. Sestavljen je iz treh korakov:

zapišite 0;
za njim postavite decimalno vejico;
zapišemo število iz števca (skupaj z dodanimi ničlami, če smo jih sešteli).

Razmislite o uporabi tega pravila pri reševanju primerov.

Primer.

Pravilni ulomek 37/100 pretvorite v decimalko.

rešitev.

V imenovalcu je število 100, ki ima v svojem vnosu dve ničli. Števec vsebuje številko 37, v zapisu sta dve števki, zato tega ulomka ni treba pripraviti za pretvorbo v decimalni ulomek.

Sedaj zapišemo 0, postavimo decimalno vejico in iz števca zapišemo število 37, dobimo pa decimalni ulomek 0,37.

odgovor:

0,37 .

Za utrjevanje spretnosti prevajanja običajnih navadnih ulomkov s števci 10, 100, ... v decimalne ulomke bomo analizirali rešitev drugega primera.

Primer.

Pravilni ulomek 107/10.000.000 zapišite kot decimalko.

rešitev.

Število številk v števcu je 3, število ničel v imenovalcu pa 7, zato je treba ta navadni ulomek pripraviti za pretvorbo v decimalni. Levo v števcu moramo dodati 7-3=4 ničle, tako da skupno število števk tam postane enako številu ničel v imenovalcu. Dobimo .

Ostaja še sestaviti želeni decimalni ulomek. Da bi to naredili, najprej zapišemo 0, drugič, postavimo vejico, tretjič, zapišemo številko iz števca skupaj z ničlami 0000107 , kot rezultat imamo decimalni ulomek 0,0000107 .

odgovor:

0,0000107 .

Nepravilnih navadnih ulomkov pri pretvorbi v decimalne ulomke ni treba pripravljati. Upoštevati je treba naslednje pravila za pretvorbo nepravilnih navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ... v decimalne ulomke:

zapiši število iz števnika;
ločimo z decimalno vejico toliko števk na desni, kolikor ničel je v imenovalcu prvotnega ulomka.

Analizirajmo uporabo tega pravila pri reševanju primera.

Primer.

Pretvorite nepravilni navadni ulomek 56 888 038 009/100 000 v decimalko.

rešitev.

Prvič, zapišemo število iz števca 56888038009, in drugič, ločimo 5 števk na desni z decimalno vejico, saj je v imenovalcu prvotnega ulomka 5 ničel. Kot rezultat imamo decimalni ulomek 568 880,38009.

odgovor:

568 880,38009 .

Če želite mešano število pretvoriti v decimalni ulomek, katerega imenovalec ulomka je število 10, ali 100, ali 1000, ..., lahko mešano število pretvorite v nepravi navadni ulomek, po katerem nastali ulomek lahko pretvorimo v decimalni ulomek. Lahko pa uporabite tudi naslednje pravilo za pretvarjanje mešanih števil z imenovalcem ulomka 10, ali 100, ali 1000, ... v decimalne ulomke:

če je potrebno, izvedemo "predhodno pripravo" delnega dela prvotnega mešanega števila z dodajanjem zahtevanega števila ničel na levi v števcu;
zapišite celoštevilski del prvotnega mešanega števila;
postavite decimalno vejico;
število iz števca zapišemo skupaj s prištetimi ničlami.

Oglejmo si primer, pri reševanju katerega bomo izvedli vse potrebne korake, da predstavimo mešano število kot decimalni ulomek.

Primer.

Pretvori mešano število v decimalno.

rešitev.

V imenovalcu ulomka so 4 ničle, v števcu pa številka 17, ki je sestavljena iz 2 števk, zato moramo v števcu dodati dve ničli levo, tako da število znakov tam postane enako število ničel v imenovalcu. S tem bo števec 0017 .

Sedaj zapišemo celoštevilski del prvotnega števila, torej števila 23, postavimo decimalno vejico, za katero zapišemo število iz števca skupaj z dodanimi ničlami, to je 0017, pri čemer dobimo želeno decimalko. ulomek 23,0017.

Naj na kratko zapišemo celotno rešitev: .

Nedvomno je bilo mogoče mešano število najprej predstaviti kot nepravilni ulomek, nato pa ga pretvoriti v decimalni ulomek. S tem pristopom je rešitev videti takole:

odgovor:

23,0017 .

Pretvarjanje navadnih ulomkov v končne in neskončne periodične decimalne ulomke

V decimalni ulomek ni mogoče pretvoriti le navadnih ulomkov z imenovalci 10, 100, ..., ampak navadne ulomke z drugimi imenovalci. Zdaj bomo ugotovili, kako se to naredi.

V nekaterih primerih se prvotni navadni ulomek zlahka skrči na enega od imenovalcev 10, ali 100, ali 1000, ... (glej redukcija navadnega ulomka na nov imenovalec), po katerem ni težko predstaviti dobljeni ulomek kot decimalni ulomek. Očitno je na primer, da je mogoče ulomek 2/5 zmanjšati na ulomek z imenovalcem 10, za to morate števec in imenovalec pomnožiti z 2, kar bo dalo ulomek 4/10, ki glede na pravila, obravnavana v prejšnjem odstavku, je mogoče enostavno pretvoriti v decimalni ulomek 0, štiri .

V drugih primerih morate uporabiti drugačen način pretvorbe navadnega ulomka v decimalno, kar bomo zdaj obravnavali.

Za pretvorbo navadnega ulomka v decimalni ulomek delimo števec ulomka z imenovalcem, števec najprej nadomestimo z enakim decimalnim ulomkom s poljubnim številom ničel za decimalno vejico (o tem smo govorili v razdelku enako in neenaki decimalni ulomki). V tem primeru se deljenje izvaja enako kot deljenje s stolpcem naravnih števil, pri čemer se v količniku, ko se konča deljenje celega dela dividende, postavi decimalna vejica. Vse to bo razvidno iz rešitev spodnjih primerov.

Primer.

Pretvorite navadni ulomek 621/4 v decimalko.

rešitev.

Število v števcu 621 predstavimo kot decimalni ulomek tako, da dodamo decimalno vejico in za njo nekaj ničel. Za začetek bomo dodali 2 števki 0, pozneje, če bo potrebno, lahko vedno dodamo še več ničel. Torej imamo 621,00.

Sedaj pa število 621.000 razdelimo s 4 s stolpcem. Prvi trije koraki se ne razlikujejo od deljenja s stolpcem naravnih števil, po katerem pridemo do naslednje slike:

Tako smo prišli do decimalne vejice dividende, ostanek pa je drugačen od nič. V tem primeru v količniku postavimo decimalno vejico in nadaljujemo deljenje po stolpcu, ne da bi upoštevali vejice:

To deljenje je zaključeno in kot rezultat smo dobili decimalni ulomek 155,25, ki ustreza prvotnemu navadnemu ulomku.

odgovor:

155,25 .

Za utrjevanje snovi razmislite o rešitvi drugega primera.

Primer.

Pretvorite navadni ulomek 21/800 v decimalko.

rešitev.

Če želite ta navadni ulomek pretvoriti v decimalni, decimalni ulomek 21.000 ... razdelimo na 800 s stolpcem. Po prvem koraku bomo morali v količniku postaviti decimalno vejico in nato nadaljevati deljenje:

Končno smo dobili ostanek 0, s tem je pretvorba navadnega ulomka 21/400 v decimalni ulomek končana in prišli smo do decimalnega ulomka 0,02625.

odgovor:

0,02625 .

Lahko se zgodi, da pri deljenju števca z imenovalcem navadnega ulomka nikoli ne dobimo ostanka 0. V teh primerih se lahko delitev nadaljuje, kolikor dolgo želite. Od določenega koraka pa se ostanki začnejo periodično ponavljati, medtem ko se ponavljajo tudi števke v količniku. To pomeni, da se izvirni navadni ulomek pretvori v neskončno periodično decimalno število. Pokažimo to s primerom.

Primer.

Navadni ulomek 19/44 zapišite kot decimalko.

rešitev.

Za pretvorbo navadnega ulomka v decimalko izvedemo deljenje s stolpcem:

Jasno je že, da sta se pri deljenju začela ponavljati ostanka 8 in 36, medtem ko se v količniku ponavljata števili 1 in 8. Tako je prvotni navadni ulomek 19/44 preveden v periodični decimalni ulomek 0,43181818…=0,43(18) .

odgovor:

0,43(18) .

V zaključku tega odstavka bomo ugotovili, katere navadne ulomke je mogoče pretvoriti v končne decimalne ulomke in katere samo v periodične.

Pred seboj imamo nezmanjšljiv navadni ulomek (če je ulomek zmanjšljiv, potem najprej izvedemo zmanjševanje ulomka) in ugotoviti moramo, v kakšen decimalni ulomek ga lahko pretvorimo - v končni ali periodični.

Jasno je, da če lahko navadni ulomek zmanjšamo na enega od imenovalcev 10, 100, 1000, ..., potem lahko dobljeni ulomek enostavno pretvorimo v končni decimalni ulomek po pravilih, obravnavanih v prejšnjem odstavku. Toda na imenovalce 10, 100, 1000 itd. niso podani vsi navadni ulomki. Na takšne imenovalce lahko skrčimo samo ulomke, katerih imenovalec je vsaj eno od števil 10, 100, ... In katera števila so lahko delitelji 10, 100, ...? Številke 10, 100, … nam bodo omogočile odgovor na to vprašanje in so naslednje: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Iz tega sledi, da so delitelji 10, 100, 1000 itd. obstajajo lahko samo števila, katerih razčlenitve na prafaktorje vsebujejo le števili 2 in (ali) 5 .

Zdaj lahko naredimo splošen sklep o pretvorbi navadnih ulomkov v decimalne ulomke:

če sta pri razgradnji imenovalca na prafaktorje prisotni le števili 2 in (ali) 5, potem lahko ta ulomek pretvorimo v končni decimalni ulomek;
če so poleg dvojke in petice v razširitvi imenovalca še druga praštevila, potem se ta ulomek prevede v neskončni decimalni periodični ulomek.

Primer.

Brez pretvarjanja navadnih ulomkov v decimalne, povejte mi, katere od ulomkov 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 je mogoče pretvoriti v končni decimalni ulomek in katere samo v periodične.

rešitev.

Prafaktorizacija imenovalca ulomka 47/20 ima obliko 20=2 2 5 . V tej razširitvi so samo dvojke in petice, zato je ta ulomek mogoče zmanjšati na enega od imenovalcev 10, 100, 1000, ... (v tem primeru na imenovalec 100), zato ga je mogoče pretvoriti v končno decimalko ulomek.

Prafaktorizacija imenovalca ulomka 7/12 ima obliko 12=2 2 3 . Ker vsebuje preprost faktor 3, ki se razlikuje od 2 in 5, tega ulomka ni mogoče predstaviti kot končni decimalni ulomek, lahko pa ga pretvorimo v periodični decimalni ulomek.

Ulomek 21/56 - skrčljiv, po zmanjšanju ima obliko 3/8. Razčlenitev imenovalca na prafaktorje vsebuje tri faktorje, enake 2, zato lahko navadni ulomek 3/8 in s tem njemu enak ulomek 21/56 prevedemo v končni decimalni ulomek.

Končno je razširitev imenovalca ulomka 31/17 sama po sebi 17, zato tega ulomka ni mogoče pretvoriti v končni decimalni ulomek, lahko pa ga pretvorimo v neskončno periodičnega.

odgovor:

47/20 in 21/56 je mogoče pretvoriti v končno decimalko, medtem ko je mogoče 7/12 in 31/17 pretvoriti samo v periodično decimalko.

Navadni ulomki se ne pretvorijo v neskončno število neponavljajočih se decimalk

Informacije iz prejšnjega odstavka postavljajo vprašanje: "Ali je mogoče dobiti neskončen neperiodični ulomek, če števec ulomka delimo z imenovalcem"?

Odgovor: ne. Pri prevajanju navadnega ulomka lahko dobimo bodisi končni decimalni ulomek bodisi neskončni periodični decimalni ulomek. Razložimo, zakaj je tako.

Iz izreka o deljivosti z ostankom je razvidno, da je ostanek vedno manjši od delitelja, torej če neko celo število delimo s celim številom q, potem je samo eno od števil 0, 1, 2, ..., q −1 je lahko ostanek. Iz tega sledi, da bo po končani delitvi celega dela števca navadnega ulomka z imenovalcem q po največ q korakih nastopila ena od naslednjih dveh situacij:

bodisi dobimo ostanek 0, s tem se bo deljenje končalo in dobili bomo zadnji decimalni ulomek;
ali pa bomo dobili ostanek, ki se je že pojavil, nakar se bodo ostanki začeli ponavljati kot v prejšnjem primeru (saj pri deljenju enakih števil s q dobimo enake ostanke, kar izhaja iz že omenjenega izreka o deljivosti), torej dobimo neskončni periodični decimalni ulomek.

Drugih možnosti ne more biti, zato pri pretvorbi navadnega ulomka v decimalni ulomek ni mogoče dobiti neskončnega neperiodičnega decimalnega ulomka.

Iz sklepanja v tem odstavku izhaja tudi, da je dolžina periode decimalnega ulomka vedno manjša od vrednosti imenovalca ustreznega navadnega ulomka.

Pretvarjanje decimalk v navadne ulomke

Zdaj pa ugotovimo, kako pretvoriti decimalni ulomek v navadnega. Začnimo s pretvorbo končnih decimalk v navadne ulomke. Nato razmislite o metodi obračanja neskončnih periodičnih decimalnih ulomkov. Na koncu povejmo o nezmožnosti pretvorbe neskončnih neperiodičnih decimalnih ulomkov v navadne ulomke.

Pretvarjanje končnih decimalk v navadne ulomke

Pridobivanje navadnega ulomka, ki je zapisan kot končni decimalni ulomek, je povsem preprosto. Pravilo za pretvorbo končnega decimalnega ulomka v navadni ulomek je sestavljen iz treh korakov:

najprej dani decimalni ulomek zapiši v števec, pri čemer si pred tem zavrgel decimalno vejico in vse ničle na levi, če so bile;
drugič, v imenovalec zapišite eno in mu dodajte toliko ničel, kolikor je števk za decimalno vejico v prvotnem decimalnem ulomku;
tretjič, po potrebi zmanjšajte nastalo frakcijo.

Razmislimo o primerih.

Primer.

Decimalno število 3,025 pretvorite v navadni ulomek.

rešitev.

Če v prvotnem decimalnem ulomku odstranimo decimalno vejico, dobimo število 3025. Na levi nima ničel, ki bi jih zavrgli. Torej v števcu zahtevanega ulomka zapišemo 3025.

Število 1 zapišemo v imenovalec in mu dodamo desno 3 ničle, saj so v prvotnem decimalnem ulomku za decimalno vejico 3 števke.

Tako smo dobili navaden ulomek 3 025/1 000. Ta ulomek lahko zmanjšamo za 25, dobimo .

odgovor:

Primer.

Pretvori decimalno 0,0017 v navadni ulomek.

rešitev.

Brez decimalne vejice je prvotni decimalni ulomek videti kot 00017, če zavržemo ničle na levi dobimo število 17, ki je števec želenega navadnega ulomka.

V imenovalec zapišemo enoto s štirimi ničlami, saj so v prvotnem decimalnem ulomku za decimalno vejico 4 števke.

Kot rezultat imamo navaden ulomek 17/10.000. Ta ulomek je nezmanjšljiv in pretvorba decimalnega ulomka v navadnega je končana.

odgovor:

Ko je celi del prvotnega končnega decimalnega ulomka drugačen od nič, ga je mogoče takoj pretvoriti v mešano število, mimo navadnega ulomka. Dajmo pravilo za pretvorbo zadnje decimalke v mešano število:

število pred decimalno vejico mora biti zapisano kot celo število želenega mešanega števila;
v števec delnega dela morate zapisati število, ki ga dobite iz delnega dela prvotnega decimalnega ulomka, potem ko ste v njem zavrgli vse ničle na levi;
v imenovalec ulomka je treba napisati številko 1, ki ji na desni strani prišteti toliko ničel, kolikor je števk v vnosu prvotnega decimalnega ulomka za decimalno vejico;
po potrebi zmanjšajte delni del dobljenega mešanega števila.

Razmislite o primeru pretvorbe decimalnega ulomka v mešano število.

Primer.

Izrazite decimalno 152,06005 kot mešano število

Oddelki